1
2005年 秋季学期第 1章振动自学总结
（演示实验）
陈信义编
2
振动 （ vibration） 是自然界中最普遍的一种运动形式 。 物体在平衡位置附近做往复的周期性运动,称为机械振动 。 电流,电压,电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化,
称为电磁振动或电磁振荡 。
一般地说,任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象,称为振动 。
虽然各种振动的具体物理机制可能不同,但是作为振动这种运动的形式,它们却具有共同的特征 。
3
一、简谐振动
1,定义
)c os ( tAx
x 可以是位移、电流、场强、温度 …
这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，
称为 简谐振动 （ SHM）。
受迫振动 （有 阻尼 ）? 共振简谐振动阻尼振动
（ Simple Harmonic Motion SHM）
4
2,SHM的判据 （ 以机械振动为例 ）
（ 1）受力
kxF
k — 劲度系数 （ stiffness）
（ 2）微分方程
0
d
d 2
2
2
x
t
x?
ω— 角频率 （ angular frequency）
F — 弹性力或准弹性力圆频率 （ circular frequency）
5
【 思考 】 设地球密度均匀,质点通过穿过地球的直隧道的振动是 SHM吗?
（ 3）能量特征
）（ 的零点平衡位置为势能总能量
Pp
pk
EkxE
EEE
2
1
.c o n s t
2
22
4
1
.c o n s t
AkAEE
E
kp
或以上 （ 1）,（ 2）,（ 3） 中任一条成立即可判定为 SHM。
6
3,SHM的特征量
（ 1）角频率
m
k
— 由系统本身决定（固有角频率）
2?
频率 （ frequency）
周期 （ period）
21T
7
（ 2）振幅 （ amplitude）
k
ExA 2
2
2
02
0
v
— 由初始条件和系统本身情况决定
（ 3）位相 （ phase）
)(tg
0
01
x
v
（一般取主值）
— 由初始条件及系统本身情况决定
8
4,SHM的表示方式
(1)振动函数
)c os ( tAx
)2π c o s (dd tAtxv
xtAt xa 222
2
π) c o s (dd
)(i~ tAex
)c o s (~Re tAxx
（ 复数形式 ）
只要给定振幅 A,角频率?和初位相?,就等于给定了一个简谐振动 。
9
（ 2） 振动曲线
x
o ωt
> 0
=?/2
ωT=2π
A
-A
= 0
o
m
x0 = A
xA
(伸长量 )
m
0< x0 < A
m
0
10
（ 3）旋转矢量?确 定?和研究振动合成很方便
x
v0< 0
v0> 0
0
x0
A/2
20 Ax?
00?v
3
π
例如，已知
x
参考圆
(circle of reference)
A
A? t+?
o x
t
t = 0
x = A cos(? t +? )
·
3
则由左图给出
11
例,已知,U 形管内液体质量为 m，密度为?，
管的截面积为 S 。
有一定的高度差，
试判断液体柱振动的性质。
忽略管壁和液体间的摩擦。
开始时，造成管两边液柱面
2
p 2
1)( kyyg S yE
无损耗,c o n s t?E
SHM
角频率
m
Sg
m
k 2
EP = 0
S
y
y
- y0
gSk?2?
解法 1,分析能量
12
解法 2,分析受力 （ 压强差 ）
ky
令
.c o n s t2 gSk?
SHM
角频率
m
Sg
m
k 2
S
y
y
- y0
恢复力
g S yF?2
13
例,稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动
2
0
2
2
0
d
d
2
1
d
d
)0()( x
x
E
x
x
E
ExE pppp
0
d
d
,0
d
d
0
2
2
0
x
E
x
E pp
在 x =0附近将势能展开对 微振动,可只取到 x2项，且取 Ep(0)=0
m
fx
x
Ep
0
fx
证明：
14
kxx
x
E
x
E
f
x
E
k
kxx
x
E
xE
pp
x
p
p
p
0
2
2
0
0
2
22
0
2
d
d
d
d
0
d
d
2
1
d
d
2
1
)(
则有即，稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。
微振动例：原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格格点的振动等。
15
例,光滑平面上两弹簧和小球在 y 方向微振动,
求振动频率 。
a0 - 自然长度
a - 平衡长度
y - 位移aa a0a0
y
y
0
km
势能：
20222022212 aaykaaykyE p
16
m
a
a
kmk
a
a
kk
a
a
k
ay
aa
k
y
E
ay
a
ky
y
E
y
p
y
p
0
0
0
0
2
3
22
2
0
0
2
2
0
22
0
0
12
12
01212
d
d
012
d
d
体系体系体系
＝
＝
17
二,SHM的合成
1、同方向合成
(1)?1=?2 =?
1
A2
A1
Aω
xxx1x2
2?
k212
若
21 AAA
则
)12( k?若
|| 21 AAA则
)2,1,0( …?k
,合振动仍是同频率的 SHM。
同相
反相
18
（ 2） ||
2121
21
A1
A2 A
ω
ω1ω2
x0 A = Amax = A1+A2
|| 21m i n AAAA
|| 21 拍v
,形成,拍,（ beat）
21 AA
,同向重合时，若反向重合时，
21 AA
,若拍频：
19
t
x1
2
t
x2
1
= 1 -?2?
t
x
|| 21 拍v
20
2、互相垂直时的合成
（ 1）,合成轨迹为 椭圆。
yx
xy
不同，椭圆形状、旋向不同。
= = 3?/2 = 5?/4 = 7?/4
=?/2 =?/4
P··Q
= 0
y
x
= 3?/4
（ -3?/4） （ -?/2） （ -?/4）
21
（以?为界，决定超前、落后）
Ⅰ,Ⅲ 象限 SHM
= 0
y
x
Ⅱ,Ⅳ 象限 SHM
=
= -?/4
y落后 x— 左旋
=?/4
P··Q
y超前 x— 右旋
22
（ 2） 为正整数
nm
n
m,
2
1,?
合成轨迹为 稳定的闭合曲线 — 李萨如图
y
x
A1
A20-A2
- A1
达到最大的次数达到最大的次数
y
x
y
x
y
x
例如左图：
2
3
y
x
应用,测定未知频率
23
xy
2? 1
3? 1
3? 2
x = 0,?y = 0
8
π?
y? 4
π?
y? 8
π3?
y? 2
π?
y?
y
x0
24
三、谐振分析利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干
SHM的叠加。
对周期性振动：
)]c o s ([
2
)(
1
0
kk
k
tkAatx
T
2=T — 周期，
k = 1 基频（?）
k = 2 二次谐频（ 2?）
k = 3 三次谐频（ 3?）
决定 音调决定 音色高次谐频
25x2n = 0,n = 1,2,3,…
Ak
0 2 3 4 5 61 (ω)
k
分立谱,例如对 方波：
x1
t0
x3
t0
x5
t0
0 t
a0
T
x0 +x1+x3+x5
t0 T
t
a0 / 2
0
x0
26
关于阻尼振动要求搞清：
（阻力 fr =v）
m21、固有频率 mk?0?
2、三种阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
过阻尼,
0
临界阻尼,
0
欠 （ 弱 ） 阻尼,
0
teAA
0
,阻尼系数时间常数, 21? Q 值：
02
T
Q
振幅：
能量：
teEE?20
27
关于受迫振动要求搞清：
1、受迫振动的概念在驱动力 tH?c o s 的作用下系统的振动稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率?
2、共振的意义和规律在 弱阻尼 即?<<? 0的情况下，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。
—— 受迫振动。
应用,声、光、电、原子内部、工程技术?
同时要注意避免共振造成破坏。
当? =? 0时，
28
小号发出的声波足以使酒杯破碎
29
随后在大风中因产生共振而断塌
1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动发生共振时由于振幅过大可能损坏机器,设备或建筑 。
30
由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。
据报导,我国某城市有三栋新建的十一层居民楼经常摇晃,引起居民的恐慌 。 后来发现距居民楼 800米处有一家锯石厂,四台大功率锯石机的工作频率为,恰好等于居民楼的固有频率,楼的摇晃原来是一种共振现象 。
Hz5.1
31
（ 1）受迫阻尼 (欠阻尼,0?体系的振动特征
0
22
0
00 cos
teAx t
=b/2m,阻尼系数
f=b(dx/dt),阻力
t
A0e-?tT
补充：品质因数 （ Quality factor）? Q值
32
TtEtE
tE
t
Q
2
2
每周期损失的能量时刻体系的能量
（ 2）品质因数?Q值品质因数 描述 受迫阻尼振动体系 (例如弹簧,电感线圈 )与 无阻尼简谐振动 的 接近程度：
33
（ 3）计算公式固有频率?0?,阻尼系数
2
0
0Q
其中?0?固有频率?无阻尼自由频率?
阻尼系数
1/（ 2?）?时间常数
Q值?
34
证明：
2)()(
)(2
2
1
1
2
1
)()(
,
2
1
2
1
2
1
)(
co s
0
0
2
0
2
0
2
0
22
0
0
22
0
00
TtEtE
tE
Q
T
ekAeekATtEtE
T
ekAekAtE
teAx
t
T
t
t
t
t
表达能量衰减快慢，为时间常数其中
＝
35
例,测量电荷的共振方法 －电荷的量子化带电振子在交变电场中做受迫振动
E0＝ 105伏 /米,m=10-6kg,?0=0.1s-1
Q =100（ Q ＝? 0/ 2?),测量电荷 q。
m,q
E0
共振时的整数倍的整数倍＝实验发现：
电荷测量＝
＝
Cq
mmA
qAqA
q
m
QE
QQ
mqEh
A
R
RR
R
19
15
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
22
0
106.1
16.0
10
4
2
2005年 秋季学期第 1章振动自学总结
（演示实验）
陈信义编
2
振动 （ vibration） 是自然界中最普遍的一种运动形式 。 物体在平衡位置附近做往复的周期性运动,称为机械振动 。 电流,电压,电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化,
称为电磁振动或电磁振荡 。
一般地说,任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象,称为振动 。
虽然各种振动的具体物理机制可能不同,但是作为振动这种运动的形式,它们却具有共同的特征 。
3
一、简谐振动
1,定义
)c os ( tAx
x 可以是位移、电流、场强、温度 …
这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，
称为 简谐振动 （ SHM）。
受迫振动 （有 阻尼 ）? 共振简谐振动阻尼振动
（ Simple Harmonic Motion SHM）
4
2,SHM的判据 （ 以机械振动为例 ）
（ 1）受力
kxF
k — 劲度系数 （ stiffness）
（ 2）微分方程
0
d
d 2
2
2
x
t
x?
ω— 角频率 （ angular frequency）
F — 弹性力或准弹性力圆频率 （ circular frequency）
5
【 思考 】 设地球密度均匀,质点通过穿过地球的直隧道的振动是 SHM吗?
（ 3）能量特征
）（ 的零点平衡位置为势能总能量
Pp
pk
EkxE
EEE
2
1
.c o n s t
2
22
4
1
.c o n s t
AkAEE
E
kp
或以上 （ 1）,（ 2）,（ 3） 中任一条成立即可判定为 SHM。
6
3,SHM的特征量
（ 1）角频率
m
k
— 由系统本身决定（固有角频率）
2?
频率 （ frequency）
周期 （ period）
21T
7
（ 2）振幅 （ amplitude）
k
ExA 2
2
2
02
0
v
— 由初始条件和系统本身情况决定
（ 3）位相 （ phase）
)(tg
0
01
x
v
（一般取主值）
— 由初始条件及系统本身情况决定
8
4,SHM的表示方式
(1)振动函数
)c os ( tAx
)2π c o s (dd tAtxv
xtAt xa 222
2
π) c o s (dd
)(i~ tAex
)c o s (~Re tAxx
（ 复数形式 ）
只要给定振幅 A,角频率?和初位相?,就等于给定了一个简谐振动 。
9
（ 2） 振动曲线
x
o ωt
> 0
=?/2
ωT=2π
A
-A
= 0
o
m
x0 = A
xA
(伸长量 )
m
0< x0 < A
m
0
10
（ 3）旋转矢量?确 定?和研究振动合成很方便
x
v0< 0
v0> 0
0
x0
A/2
20 Ax?
00?v
3
π
例如，已知
x
参考圆
(circle of reference)
A
A? t+?
o x
t
t = 0
x = A cos(? t +? )
·
3
则由左图给出
11
例,已知,U 形管内液体质量为 m，密度为?，
管的截面积为 S 。
有一定的高度差，
试判断液体柱振动的性质。
忽略管壁和液体间的摩擦。
开始时，造成管两边液柱面
2
p 2
1)( kyyg S yE
无损耗,c o n s t?E
SHM
角频率
m
Sg
m
k 2
EP = 0
S
y
y
- y0
gSk?2?
解法 1,分析能量
12
解法 2,分析受力 （ 压强差 ）
ky
令
.c o n s t2 gSk?
SHM
角频率
m
Sg
m
k 2
S
y
y
- y0
恢复力
g S yF?2
13
例,稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动
2
0
2
2
0
d
d
2
1
d
d
)0()( x
x
E
x
x
E
ExE pppp
0
d
d
,0
d
d
0
2
2
0
x
E
x
E pp
在 x =0附近将势能展开对 微振动,可只取到 x2项，且取 Ep(0)=0
m
fx
x
Ep
0
fx
证明：
14
kxx
x
E
x
E
f
x
E
k
kxx
x
E
xE
pp
x
p
p
p
0
2
2
0
0
2
22
0
2
d
d
d
d
0
d
d
2
1
d
d
2
1
)(
则有即，稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。
微振动例：原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格格点的振动等。
15
例,光滑平面上两弹簧和小球在 y 方向微振动,
求振动频率 。
a0 - 自然长度
a - 平衡长度
y - 位移aa a0a0
y
y
0
km
势能：
20222022212 aaykaaykyE p
16
m
a
a
kmk
a
a
kk
a
a
k
ay
aa
k
y
E
ay
a
ky
y
E
y
p
y
p
0
0
0
0
2
3
22
2
0
0
2
2
0
22
0
0
12
12
01212
d
d
012
d
d
体系体系体系
＝
＝
17
二,SHM的合成
1、同方向合成
(1)?1=?2 =?
1
A2
A1
Aω
xxx1x2
2?
k212
若
21 AAA
则
)12( k?若
|| 21 AAA则
)2,1,0( …?k
,合振动仍是同频率的 SHM。
同相
反相
18
（ 2） ||
2121
21
A1
A2 A
ω
ω1ω2
x0 A = Amax = A1+A2
|| 21m i n AAAA
|| 21 拍v
,形成,拍,（ beat）
21 AA
,同向重合时，若反向重合时，
21 AA
,若拍频：
19
t
x1
2
t
x2
1
= 1 -?2?
t
x
|| 21 拍v
20
2、互相垂直时的合成
（ 1）,合成轨迹为 椭圆。
yx
xy
不同，椭圆形状、旋向不同。
= = 3?/2 = 5?/4 = 7?/4
=?/2 =?/4
P··Q
= 0
y
x
= 3?/4
（ -3?/4） （ -?/2） （ -?/4）
21
（以?为界，决定超前、落后）
Ⅰ,Ⅲ 象限 SHM
= 0
y
x
Ⅱ,Ⅳ 象限 SHM
=
= -?/4
y落后 x— 左旋
=?/4
P··Q
y超前 x— 右旋
22
（ 2） 为正整数
nm
n
m,
2
1,?
合成轨迹为 稳定的闭合曲线 — 李萨如图
y
x
A1
A20-A2
- A1
达到最大的次数达到最大的次数
y
x
y
x
y
x
例如左图：
2
3
y
x
应用,测定未知频率
23
xy
2? 1
3? 1
3? 2
x = 0,?y = 0
8
π?
y? 4
π?
y? 8
π3?
y? 2
π?
y?
y
x0
24
三、谐振分析利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干
SHM的叠加。
对周期性振动：
)]c o s ([
2
)(
1
0
kk
k
tkAatx
T
2=T — 周期，
k = 1 基频（?）
k = 2 二次谐频（ 2?）
k = 3 三次谐频（ 3?）
决定 音调决定 音色高次谐频
25x2n = 0,n = 1,2,3,…
Ak
0 2 3 4 5 61 (ω)
k
分立谱,例如对 方波：
x1
t0
x3
t0
x5
t0
0 t
a0
T
x0 +x1+x3+x5
t0 T
t
a0 / 2
0
x0
26
关于阻尼振动要求搞清：
（阻力 fr =v）
m21、固有频率 mk?0?
2、三种阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼
x
t0
过阻尼,
0
临界阻尼,
0
欠 （ 弱 ） 阻尼,
0
teAA
0
,阻尼系数时间常数, 21? Q 值：
02
T
Q
振幅：
能量：
teEE?20
27
关于受迫振动要求搞清：
1、受迫振动的概念在驱动力 tH?c o s 的作用下系统的振动稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率?
2、共振的意义和规律在 弱阻尼 即?<<? 0的情况下，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振。
—— 受迫振动。
应用,声、光、电、原子内部、工程技术?
同时要注意避免共振造成破坏。
当? =? 0时，
28
小号发出的声波足以使酒杯破碎
29
随后在大风中因产生共振而断塌
1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动发生共振时由于振幅过大可能损坏机器,设备或建筑 。
30
由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。
据报导,我国某城市有三栋新建的十一层居民楼经常摇晃,引起居民的恐慌 。 后来发现距居民楼 800米处有一家锯石厂,四台大功率锯石机的工作频率为,恰好等于居民楼的固有频率,楼的摇晃原来是一种共振现象 。
Hz5.1
31
（ 1）受迫阻尼 (欠阻尼,0?体系的振动特征
0
22
0
00 cos
teAx t
=b/2m,阻尼系数
f=b(dx/dt),阻力
t
A0e-?tT
补充：品质因数 （ Quality factor）? Q值
32
TtEtE
tE
t
Q
2
2
每周期损失的能量时刻体系的能量
（ 2）品质因数?Q值品质因数 描述 受迫阻尼振动体系 (例如弹簧,电感线圈 )与 无阻尼简谐振动 的 接近程度：
33
（ 3）计算公式固有频率?0?,阻尼系数
2
0
0Q
其中?0?固有频率?无阻尼自由频率?
阻尼系数
1/（ 2?）?时间常数
Q值?
34
证明：
2)()(
)(2
2
1
1
2
1
)()(
,
2
1
2
1
2
1
)(
co s
0
0
2
0
2
0
2
0
22
0
0
22
0
00
TtEtE
tE
Q
T
ekAeekATtEtE
T
ekAekAtE
teAx
t
T
t
t
t
t
表达能量衰减快慢，为时间常数其中
＝
35
例,测量电荷的共振方法 －电荷的量子化带电振子在交变电场中做受迫振动
E0＝ 105伏 /米,m=10-6kg,?0=0.1s-1
Q =100（ Q ＝? 0/ 2?),测量电荷 q。
m,q
E0
共振时的整数倍的整数倍＝实验发现：
电荷测量＝
＝
Cq
mmA
qAqA
q
m
QE
mqEh
A
R
RR
R
19
15
2
0
0
2
2
0
2
0
0
0
22
0
106.1
16.0
10
4
2
