1
1-4 分析过程,
（ 1）例 1-1 的方法,() ( ) ( ) ( )232 32ft ft f t f t→?→?→
（ 2）方法二,() ( ) ()
2
33 32
3
ft f t f t f t
→→?→
（ 3）方法三,() ( ) ( ) ( )232ft f t f t f t→?→?+ →
解题过程,
（ 1）方法一,
方法二,
方法三,
()f t
1
10 -1 -2
( )2ft?
1 3 2
1
( )32f t?
2/3 1
-2/3-1
1
( )32ft
→
→
→
()f t
10 -1 -2
1
→
( )3f t
-2/3
1/3
→
( )32f t?
1
2/3
1
→
-2/3-1
( )32ft
2
1-5 解题过程,
（ 1） ()?f at 左移
0
t,
()( ) ( )
000
+ = ≠
f a t t f at at f t at
（ 2） ()f at 右移
0
t,() ( ) ( )
000
=?≠
f a t t f at at f t at
（ 3） ()f at 左移
0
t
a
,()()
0
00
+= +≠?
t
f at fat t ft at
a
（ 4） ()f at 右移
0
t
a
,()()
0
00
=?+=?
t
f at f at t ft at
a
故（ 4）运算可以得到正确结果。
注,1-4,1-5 题考察信号时域运算,1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果；
1-5 题提醒所有的运算是针对自变量 t 进行的。如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。
1-9 解题过程,
（ 1）
() ()()2
t
f teut
=? （ 2） ( )
( ) ()
2
32
tt
f teeut
=+
()f t
10 -1 -2
1
→
( )
f t?
2 10-1
1
( )
2ft
0-1 -2 -3
1
→
→
-2/3-1
( )
32ft
3
（ 3）
() ()()
2
55
tt
f teeut
=? （ 4）
( ) ( )( ) ( )
cos 10 1 2
t
ft e t ut utπ
=
1-12 解题过程,
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
（ 5） （ 6）
()f t
1
1
( )f t
1
1
()f t
1
1
( )
f t
1
-1
()f t
1
1
( )f t
3
2
3 2
4
（ 7）
注,1-9,1-12 题中的时域信号均为实因果信号，即 ( ) ( ) ( )=f tftut
1-18 分析过程：任何信号均可分解为奇分量与偶分量之和的形式，即
() ( ) ( ) ( )1
eo
ft ft f t=+ null
其中，
()
e
f t 为偶分量,()
o
f t 为奇分量，二者性质如下,
( ) ( ) ( )
() ( ) ()
2
3
ee
oo
ft f t
ft f t
=?
=
null
null
() ()13～ 式联立得
() () ( )
1
2
e
f tftft= +
() () ( )
1
2
o
f tftft=
解题过程,
(a-1) (a-2)
(a-3) (a-4)
()
f t
1
-2
2 3
5
(b)
()f t
为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1) (c-2)
(c-3) (c-4)
(d-1) (d-2)
(d-3) (d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性
（ 1）线性（ Linearity）,基本含义为叠加性和均匀性
6
即输入 ()
1
x t,()
2
x t 得到的输出分别为 ( )
1
yt,( )
2
yt，
() ()
11
Txt yt=
，
() ()
22
Txt yt=
，则
() ( ) ( ) ( )
11 2 2 11 2 2
Tcxt cx t cyt cy t+=+
（
1
c,
2
c 为常数） 。
线性系统是指系统的全响应可以分解为零输入响应和零状态响应,并且二者均分别具有线性性质。
本题未说明初始条件，可认为系统起始状态为零（,松弛”的）,故零输入响应为零，只需判断系统的输入——输出是否满足线性。
（ 2）时不变性（ Time-Invariblity）,是指当激励延迟一段时间
0
t 时，其响应也同样延迟
0
t,
波形形状不变。
（ 3）因果性（ Causality）,是指系统在
0
t 时刻的响应只与
0
tt= 和
0
tt< 的时刻有关，与未来的时刻无关。
满足因果性的系统又称为物理可实现系统。
判断因果性的方法,
① 通过时域关系式：
() ()yt T xt=
判断是否可能有 ( ) ( )
12
yt T xt=
，
12
tt< 的时刻出现。若有则非因果系统，否则为因果系统；
② 对于时间连续系统
冲激响应
()
( ) ( )
() ()
htut
ht
htut
=?
≠
③ 对于时间离散系统
单位冲激响应 ()
( ) ( )
()()
hnun
hn
hnun
=?
≠
解题过程,
（ 1）
()
()
=
de t
rt
dt
线性,()
()
1
1
=
de t
rt
dt
,()
( )
2
2
=
de t
rt
dt
，则
( ) ( )
() ()
11 2 2
11 2 2
+
=+
dcet ce t
cr t cr t
dt
时不变：输入
()
0
et t,输出
()( )
()
()
00
0
0
= =?
de t t de t t
rt t
dt d t t
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
（ 2）
() () ( )=rt etut
线性：设
() ( )()
11
=rt etut,() ( ) ( )
22
=rt etut,
则
() () () () ( )
11 2 2 11 22
+=+
cetcetutcrtcrt
因果系统
非因果系统
因果系统
非因果系统
7
时变：输入
()
0
et t,输出 ()( ) ( ) ( ) ( )
0000
≠=?ettut ettutt rtt
因果：
()rt
仅与此时刻
()et
有关
（ 3）
() ( )()
sin=
rt et ut
非线性：设
() () ()
11
sin=
rt et ut,( ) ( ) ( )
22
sin=
rt et ut,
则
() () () ( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 11 2 2
sin sin sin+≠ +
ce t ce t u t ce t u t ce t u t
时变：输入 ()
0
et t,输出 ()( ) ( ) ( )( )
0000
sin sin? ≠=
ett ut ett utt rtt
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
（ 4）
() ( )1=?rt e t
线性：设
() ( )
11
1=?rt e t,() ( )
22
1=?rt e t，则 ( ) ( )()()
11 2 2 11 22
+?= +ce tce tcrtcrt
时变：设
() ( )( )
1
1.5=e t ut ut,则 ( ) ( ) ( )
1
0.5=+?rt ut ut
() ( ) ( ) ( )
21
0.5 0.5 2=?=et et ut ut,则 ( ) ( ) ( )( )
21
10.5 0.5=+≠?rt ut ut rt
非因果：取 0=t,则
() ()01=re
，即 0=t 时刻输出与 1=t 时刻输入有关。
（ 5）
() ( )2=rt e t
线性：设
() ( )
11
2=rt e t,() ( )
22
2=rt e t，则 ( ) ( ) ( )()
11 2 2 11 22
22+=+cetcetcrtcrt
时变：设
() ( )( )
1
2=et ut ut,则 ( ) ( ) ( )
1
1=rt ut ut
()()()()
21
224=?=et et ut ut,则 ( ) ( ) ( )()
21
12 2=≠?rt ut ut rt
非因果：取 1=t,则
() ()12=re，即 1=t 时刻输出与 2=t 时刻输入有关。
（ 6）
() ()
2
=rt e t
非线性：设
() ()
2
11
=rt e t,() ( )
2
22
=rt e t,
则 () () () () () () () ()
2
22 2 2
11 2 2 1 1 2 2 1 21 2 11 22
2+=++ ≠+
cetcet cetcet ccetetcrtcrt
时不变：输入 ()
0
et t,输出 ()( )
2
00
=?ett rtt
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
8
（ 7） () ()τ τ
∞
=
∫
t
rt e d
线性：设
() ()
11
t
rt e dτ τ
∞
=
∫
,() ()
22
t
rt e dτ τ
∞
=
∫
,
则
() () () () () () ()
555
11 2 2 1 1 1 2 2 11 22
ttt
ce ce d r t c e d c e d cr t cr tτττ ττ ττ
∞?∞?∞
+== + =+
∫∫∫
时变：输入 ()
0
et t,输出
() () ()
()
()
0
00
555
tx
tttt
etd exdx exdxrtt
τ
ττ
=
∞?∞?∞
=≠=?
∫∫∫
非因果,1t = 时,() ()
5
1redτ τ
∞
=
∫
，
( )
1r 与
( ]
,5?∞ 内的输入有关。
1-21 分析：一个系统可逆，当且仅当输入、输出时一一对应的关系
解题过程,
（ 1） 可逆。逆系统为
() ( )5rt et=+
（ 2） 不可逆。因为 () () ()
dd
rt et et C
dt dt
== +
C 为任意常数
不满足一一对应关系。
（ 3） 可逆。逆系统为
() ()
d
rt et
dt
=
（ 4） 可逆。逆系统为 ()
1
2
rt e t
=
1-23 解题过程,
利用线性时不变系统得微分特性
因为
() ()
21
d
et et
dt
=,所以,
() () () () ()
21
ttt t
dd
rt rt e ut e e t t e
dt dt
α αα α
αδδα
== =?+ =?
1-4 分析过程,
（ 1）例 1-1 的方法,() ( ) ( ) ( )232 32ft ft f t f t→?→?→
（ 2）方法二,() ( ) ()
2
33 32
3
ft f t f t f t
→→?→
（ 3）方法三,() ( ) ( ) ( )232ft f t f t f t→?→?+ →
解题过程,
（ 1）方法一,
方法二,
方法三,
()f t
1
10 -1 -2
( )2ft?
1 3 2
1
( )32f t?
2/3 1
-2/3-1
1
( )32ft
→
→
→
()f t
10 -1 -2
1
→
( )3f t
-2/3
1/3
→
( )32f t?
1
2/3
1
→
-2/3-1
( )32ft
2
1-5 解题过程,
（ 1） ()?f at 左移
0
t,
()( ) ( )
000
+ = ≠
f a t t f at at f t at
（ 2） ()f at 右移
0
t,() ( ) ( )
000
=?≠
f a t t f at at f t at
（ 3） ()f at 左移
0
t
a
,()()
0
00
+= +≠?
t
f at fat t ft at
a
（ 4） ()f at 右移
0
t
a
,()()
0
00
=?+=?
t
f at f at t ft at
a
故（ 4）运算可以得到正确结果。
注,1-4,1-5 题考察信号时域运算,1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果；
1-5 题提醒所有的运算是针对自变量 t 进行的。如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。
1-9 解题过程,
（ 1）
() ()()2
t
f teut
=? （ 2） ( )
( ) ()
2
32
tt
f teeut
=+
()f t
10 -1 -2
1
→
( )
f t?
2 10-1
1
( )
2ft
0-1 -2 -3
1
→
→
-2/3-1
( )
32ft
3
（ 3）
() ()()
2
55
tt
f teeut
=? （ 4）
( ) ( )( ) ( )
cos 10 1 2
t
ft e t ut utπ
=
1-12 解题过程,
（ 1） （ 2）
（ 3） （ 4）
（ 5） （ 6）
()f t
1
1
( )f t
1
1
()f t
1
1
( )
f t
1
-1
()f t
1
1
( )f t
3
2
3 2
4
（ 7）
注,1-9,1-12 题中的时域信号均为实因果信号，即 ( ) ( ) ( )=f tftut
1-18 分析过程：任何信号均可分解为奇分量与偶分量之和的形式，即
() ( ) ( ) ( )1
eo
ft ft f t=+ null
其中，
()
e
f t 为偶分量,()
o
f t 为奇分量，二者性质如下,
( ) ( ) ( )
() ( ) ()
2
3
ee
oo
ft f t
ft f t
=?
=
null
null
() ()13～ 式联立得
() () ( )
1
2
e
f tftft= +
() () ( )
1
2
o
f tftft=
解题过程,
(a-1) (a-2)
(a-3) (a-4)
()
f t
1
-2
2 3
5
(b)
()f t
为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1) (c-2)
(c-3) (c-4)
(d-1) (d-2)
(d-3) (d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性
（ 1）线性（ Linearity）,基本含义为叠加性和均匀性
6
即输入 ()
1
x t,()
2
x t 得到的输出分别为 ( )
1
yt,( )
2
yt，
() ()
11
Txt yt=
，
() ()
22
Txt yt=
，则
() ( ) ( ) ( )
11 2 2 11 2 2
Tcxt cx t cyt cy t+=+
（
1
c,
2
c 为常数） 。
线性系统是指系统的全响应可以分解为零输入响应和零状态响应,并且二者均分别具有线性性质。
本题未说明初始条件，可认为系统起始状态为零（,松弛”的）,故零输入响应为零，只需判断系统的输入——输出是否满足线性。
（ 2）时不变性（ Time-Invariblity）,是指当激励延迟一段时间
0
t 时，其响应也同样延迟
0
t,
波形形状不变。
（ 3）因果性（ Causality）,是指系统在
0
t 时刻的响应只与
0
tt= 和
0
tt< 的时刻有关，与未来的时刻无关。
满足因果性的系统又称为物理可实现系统。
判断因果性的方法,
① 通过时域关系式：
() ()yt T xt=
判断是否可能有 ( ) ( )
12
yt T xt=
，
12
tt< 的时刻出现。若有则非因果系统，否则为因果系统；
② 对于时间连续系统
冲激响应
()
( ) ( )
() ()
htut
ht
htut
=?
≠
③ 对于时间离散系统
单位冲激响应 ()
( ) ( )
()()
hnun
hn
hnun
=?
≠
解题过程,
（ 1）
()
()
=
de t
rt
dt
线性,()
()
1
1
=
de t
rt
dt
,()
( )
2
2
=
de t
rt
dt
，则
( ) ( )
() ()
11 2 2
11 2 2
+
=+
dcet ce t
cr t cr t
dt
时不变：输入
()
0
et t,输出
()( )
()
()
00
0
0
= =?
de t t de t t
rt t
dt d t t
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
（ 2）
() () ( )=rt etut
线性：设
() ( )()
11
=rt etut,() ( ) ( )
22
=rt etut,
则
() () () () ( )
11 2 2 11 22
+=+
cetcetutcrtcrt
因果系统
非因果系统
因果系统
非因果系统
7
时变：输入
()
0
et t,输出 ()( ) ( ) ( ) ( )
0000
≠=?ettut ettutt rtt
因果：
()rt
仅与此时刻
()et
有关
（ 3）
() ( )()
sin=
rt et ut
非线性：设
() () ()
11
sin=
rt et ut,( ) ( ) ( )
22
sin=
rt et ut,
则
() () () ( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2 11 2 2
sin sin sin+≠ +
ce t ce t u t ce t u t ce t u t
时变：输入 ()
0
et t,输出 ()( ) ( ) ( )( )
0000
sin sin? ≠=
ett ut ett utt rtt
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
（ 4）
() ( )1=?rt e t
线性：设
() ( )
11
1=?rt e t,() ( )
22
1=?rt e t，则 ( ) ( )()()
11 2 2 11 22
+?= +ce tce tcrtcrt
时变：设
() ( )( )
1
1.5=e t ut ut,则 ( ) ( ) ( )
1
0.5=+?rt ut ut
() ( ) ( ) ( )
21
0.5 0.5 2=?=et et ut ut,则 ( ) ( ) ( )( )
21
10.5 0.5=+≠?rt ut ut rt
非因果：取 0=t,则
() ()01=re
，即 0=t 时刻输出与 1=t 时刻输入有关。
（ 5）
() ( )2=rt e t
线性：设
() ( )
11
2=rt e t,() ( )
22
2=rt e t，则 ( ) ( ) ( )()
11 2 2 11 22
22+=+cetcetcrtcrt
时变：设
() ( )( )
1
2=et ut ut,则 ( ) ( ) ( )
1
1=rt ut ut
()()()()
21
224=?=et et ut ut,则 ( ) ( ) ( )()
21
12 2=≠?rt ut ut rt
非因果：取 1=t,则
() ()12=re，即 1=t 时刻输出与 2=t 时刻输入有关。
（ 6）
() ()
2
=rt e t
非线性：设
() ()
2
11
=rt e t,() ( )
2
22
=rt e t,
则 () () () () () () () ()
2
22 2 2
11 2 2 1 1 2 2 1 21 2 11 22
2+=++ ≠+
cetcet cetcet ccetetcrtcrt
时不变：输入 ()
0
et t,输出 ()( )
2
00
=?ett rtt
因果：
()rt仅与此时刻 ()et有关
8
（ 7） () ()τ τ
∞
=
∫
t
rt e d
线性：设
() ()
11
t
rt e dτ τ
∞
=
∫
,() ()
22
t
rt e dτ τ
∞
=
∫
,
则
() () () () () () ()
555
11 2 2 1 1 1 2 2 11 22
ttt
ce ce d r t c e d c e d cr t cr tτττ ττ ττ
∞?∞?∞
+== + =+
∫∫∫
时变：输入 ()
0
et t,输出
() () ()
()
()
0
00
555
tx
tttt
etd exdx exdxrtt
τ
ττ
=
∞?∞?∞
=≠=?
∫∫∫
非因果,1t = 时,() ()
5
1redτ τ
∞
=
∫
，
( )
1r 与
( ]
,5?∞ 内的输入有关。
1-21 分析：一个系统可逆，当且仅当输入、输出时一一对应的关系
解题过程,
（ 1） 可逆。逆系统为
() ( )5rt et=+
（ 2） 不可逆。因为 () () ()
dd
rt et et C
dt dt
== +
C 为任意常数
不满足一一对应关系。
（ 3） 可逆。逆系统为
() ()
d
rt et
dt
=
（ 4） 可逆。逆系统为 ()
1
2
rt e t
=
1-23 解题过程,
利用线性时不变系统得微分特性
因为
() ()
21
d
et et
dt
=,所以,
() () () () ()
21
ttt t
dd
rt rt e ut e e t t e
dt dt
α αα α
αδδα
== =?+ =?
