1
2-6 解题过程,
（1）() ()et ut=，()01r
=，( )
'
02r
=
方法一：经典时域法,
①求
Zi
r：由已知条件，有
() ( ) ( )
() ()
() ()
'' '
''
''
320
002
001
Zi Zi Zi
Zi Zi
Zi Zi
rt rt rt
rr
rr
+?
+?
+ +=
==
==
特征方程：
2
320αα++= 特征根为：
1
1α =?，
2
2α =?
故
() ()()
2
12
tt
Zi
rt Ae Ae ut
=+，代入( )
'
0
Zi
r
+
，( )0
Zi
r
+
得
1
4A =，
2
3A =?
故
() ()()
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
②求
Zs
r,将
() ()et ut=
代入原方程，有
( ) ( ) ( ) ( )()
'' '
32 3
Zs Zs Zs
rt rt rt t utδ++=+
用冲激函数匹配法，设
() ( ) ( )
() ()
() ()
''
'
Zs
Zs
Zs
rtatbut
rt aut
rt atut
δ? =+Δ
=Δ
=Δ
代入微分方程，平衡()tδ两边的系数得1a =
故
() ()
''
001
Zs Zs
rr
+?
=+=，() ( )000
Zs Zs
rr
+?
= =
再用经典法求()
Zs
rt：齐次解
( ) ( ) ( )
2
12
tt
Zsh
rt Be Beut
=+
因为
() ()et ut= 故设特解为() ( )
Zsp
rtCut=?，代入原方程得
3
2
C =
故() () () ()
2
12
3
2
tt
Zs Zsh Zsp
rt r t r t Be Be ut
=+=++
代入()
'
0
Zs
r
+
，( )0
Zs
r
+
得
1
2B =?，
2
1
2
B =
故() ()
2
13
2
22
tt
Zs
rt e e ut
=? + +
③全响应：
() () () ()
2
53
2
22
tt
Zi Zs
rt r t r t e e ut
=+=?+
自由响应：
()
2
5
2
2
tt
eeut
2
受迫响应：()
3
2
ut
方法二：p算子法
() () () () ()
2
2
32 3
dd d
rt rt rt et et
dt dt dt
++=+
化为算子形式为：
( ) ( ) ( ) ( )
2
32 3p prtpet++ =+
特征方程：
2
320αα++= 特征根为：
1
1α =?，
2
2α =?
()
Zi
rt的求法与经典时域法一致，( )
( ) ( )
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
再求
()
Zs
rt：() ()et ut=，
()
()()
() ( ) () () ()
2
3
3
12
tt
p
rt ut p eut e ut ut
pp
+
==+
++
其中
() () () () ()
222
0
11
22
t
tt tt
eut e ut ut e e d e e ut
ττ
τ
= =+
∫
() ( ) () ()
22
11 13
32
22 22
tt tt
Zs
rt p e e ut e e ut
∴ =+?+ =? + +
∴全响应() () () ()
2
53
2
22
tt
Zi Zs
rt r t r t e e ut
=+=?+
自由响应：
()
2
5
2
2
tt
eeut
受迫响应：()
3
2
ut
综观以上两种方法可发现p算子法更简洁，准确性也更高
（2）
() ()
3t
et e ut
=，()01r
=，( )
'
02r
=
运用和上题同样的方法，可得
全响应()
()()
2
54
tt
rt e e ut
=?
零输入响应：
() ()( )
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
零状态响应：
() ()( )
2tt
Zs
rt e e ut
=?
自由响应：
()()
2
54
tt
eeut
受迫响应：0
2-10 分析,
3
() () () ( ) () () () () () () ()5
d
rt rt e f t d et et f t et et f t t
dx
τττ δ
+∞
∞
+===
∫
已知冲激函数
()tδ
与单位冲激响应
( )ht
为“输入——输出”对，故
() ()et tδ=
时，
() ()rt ht=
。类似上题，也可以用经典法和算子法两种思路求解该微分方程。
解题过程：方法一：经典法
代入() ()et tδ=，() () ( )3
t
f teut tδ
=+得到
() () () () ()52
t
d
ht ht eut t
dt
δ
+= +?nullnull
对于因果系统
()00h
=
先求满足() () ()
11
5
d
ht ht t
dt
δ+=的( )
1
ht：
( ) ( )
5
1
t
ht Aeut
=
利用冲激函数匹配法，在
()0,0
+
时间段内
() () ()
() ()
1
1
d
ht a t but
dx
ht aut
δ
=+Δ
=Δ
()00t
+
<<
() () () ( )
() ()
() ()
1
5
1
5
1,5
001
t
at but aut t
ab
hahA
ht eut
δδ
+?
+Δ+Δ=
= =?
=+==
=
对于
()?式,
() () () () () () () ()
55 5
1
17
22
44
tttttt
ht h t eut t e ut eut e ut e e utδ
=? + =? + = +
方法二：p算子法
（常用关系式：①
()
()
dx t
pxt
dt
=，②() ()
1
t
eut t
p
λ
δ
λ
=
+
③
() () () () () () ()
11 1
t
x t t xt t xt e ut xt
pp p
λ
δδ
λλ λ
=?=?=
++ +
）
引入微分算子p，( )?式变成,
()() () ()
1
52
1
p ht t t
p
δδ+= +
+
4
() () () () ()
11
11 2 2
44
51 5 5 1 5
ht t t t t
pp p p p p
δ δδδ
=? + = + +
++ + + + +
() ()
5
71
44
tt
ht e e ut
= +
注：由本例再次看到，相比经典法，p算子法形式简洁，易算易记。
2-14 分析：求解两个信号的卷积，可以直接用定义，依照“反转→平移→相乘→求和”
的顺序来求，积分式为
() () () ( )
12 12
x txt x xt dτ ττ
+∞
∞
=?
∫
，但是这种依靠定义的基本方法可能不是最简便的。更应该注意灵活运用卷积的性质（卷积的交换律、结合律、分配律；
卷积的微分与积分；与冲激函数或阶跃函数的卷积）对表达式进一步的化简，甚至直接得到结果。
解题过程,
（1）
() () ( ) () ( ) ( )
11ft ut ut ut t tδδ==
() () () () () ( ) ( ) ( ) ( )
() () () ( ) ( )
() () ( ) ( )
() ( ) ( ) ( ) ( )
11
21 2
21 2
21 1 2 2
st ft ft ut t t ut t t
ut ut t t t
tu t t t t
tu t t u t t u t
δδ δδ
δδ δ
δδ δ
∴ =? =
=+
=+?
=+
（2）() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12ft ut ut ut t tδδ==
() () () () ( ) ( ) ( ) ( )()
()() () ()()
()() ()()
()()()()()()
12 12
22 3 4
22 3 4
2223344
st ft ft ut t t ut t t
ut ut t t t
tu t t t t
tut tut tut
δδ δδ
δδδ
δδδ
∴ =?=
=+
=+?
=+
注：可见（2）中的()st是（1）中( )st右移两位，不难推出如下结论,
() () ()
112
st xt xt=?
() ( ) ( ) ( ) ( )
21122112 12
0,0st xtt xtt stt t t t== ≥≥
2.15 分析：利用卷积的性质：
() ( ) ( ) ( )( )
00 0 0
f tttttfttfttδδ? ++? = ++
可画出如下波形,
（1）
() () () () ( ) ( ) ( )()
1121 1 2
55 5 5st ft ft ft t t ft ftδδ=? =? ++? = ++
（2）
() () () () ( ) ( ) ( ) ( )()
21221
55 55stftftftftttttδδδδ==?++? ++
5
() ( ) () ( )
1
10 2 10ft t t tδδδ=?++ +
()()()
111
10 2 10ft ft ft=++ +?
（3）
() () () ( ) ( ){ } ()
312 2
55s t f t f t ut ut f t=? +
由（1）得() ( )()
12 1
f tftst?=，( ) ( )55ut ut+
相当于一个“时间窗”，保留()5,5?
内的信号，其它范围内的信号为0。
（4）() () ()
413
st ft ft=? 发生时域信号的叠加
2-18 分析：本题可以用经典法、算子法或者直接用LTI系统的性质求解
解题过程,
方法一：经典法
( )
1
st
1
1 2
3 4
5 6
-6 -5
-4 -3
-2 -1
( )
2
st
2
1
1-1 9 11 -9 -11
( )
3
st
1-1
9 10 -9
1
-10
( )
4
st
3/21/2-1/2-3/2
2
1
6
() () () ()rt Het et ht==
∵，() ()
{}
()
dd d
Het Het rt
dt dt dt
==
∴得到微分方程：
() () ()
2
3
t
d
rt rt e ut
dt
+=
此方程齐次解
() ()
3t
n
rt Aeut
=，特解( ) ( )
2t
p
rt Beut
=
将
()
p
rt代入上式得到1B =，即( ) ( )
2t
p
rt eut
=
由于
()rt
是零状态响应，且方程右端无冲激项，故
( )00r
+
=，将此初始条件代入
() () () ()( )
32tt
hp
rt r t r t Ae e ut
=+= +得1A=?
∴ ()
()()
32tt
rt e e ut
=? +
又∵
() () ( )rt et ht=?
() () () () ( ) ( )
332
2(1)
ttt
et ht e ut ht e e ut
∴?=?=?+
nullnullnullnullnullnullnull
又() () () () ()
ddd
et ht et ht rt
dt dt dt
=?=
() ( )()()( )
332
62 3 (2)
tt
eut t ht e e utδ
∴?+?=?
nullnullnullnullnullnullnullnull
（1）*3+（2）得
() () ()
2
1
2
t
tht eutδ
=
即
() ()
2
1
2
t
ht e ut
=
方法二：p算子法
() ()()rt Het=
() () () () () ()
2
3
t
d
HetHpetpHetprt rteut
dt
====?+
()() ()
2
3
t
p rt e ut
∴ +=
() () () () ()
22 3 2
11
2(3)
32
tt t t
rt e ut e ut e ut e ut
p
∴ =?=?
+
nullnullnullnull
又() () () () ( )
3
2(4)
t
rt et ht e ut ht
=∴? =?∵nullnull
由(3)(4)对比可知() ()
2
1
2
t
ht e ut
=
方法三：直接利用LTI系统的性质
7
()()() () ( )
3
2
t
Het rt H e ut rt
=? =
() () () () () ()
32
26 3 5
tt
d
HetH teut rteut
dx
δ
=?=?+
nullnullnull
（4）*3+（5）
() () ()
2
1
2
t
ht H t e utδ
= =
2-20 解题过程：由系统框图知，( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()
1 213
rt et h t et h t h t h t=?+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
() ()
1 213
et ht ht ht ht
et ht
=? +
=?
() () () () ( )
1 213
ht h t h t h t h t∴ =+
其中，() ()
1
ht ut=，
() () ( ) ( ) ( ) ( )()
213
11ht ht ht t ut t utδδ= =
() () ( )1ht ut ut∴ =
2-6 解题过程,
（1）() ()et ut=，()01r
=，( )
'
02r
=
方法一：经典时域法,
①求
Zi
r：由已知条件，有
() ( ) ( )
() ()
() ()
'' '
''
''
320
002
001
Zi Zi Zi
Zi Zi
Zi Zi
rt rt rt
rr
rr
+?
+?
+ +=
==
==
特征方程：
2
320αα++= 特征根为：
1
1α =?，
2
2α =?
故
() ()()
2
12
tt
Zi
rt Ae Ae ut
=+，代入( )
'
0
Zi
r
+
，( )0
Zi
r
+
得
1
4A =，
2
3A =?
故
() ()()
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
②求
Zs
r,将
() ()et ut=
代入原方程，有
( ) ( ) ( ) ( )()
'' '
32 3
Zs Zs Zs
rt rt rt t utδ++=+
用冲激函数匹配法，设
() ( ) ( )
() ()
() ()
''
'
Zs
Zs
Zs
rtatbut
rt aut
rt atut
δ? =+Δ
=Δ
=Δ
代入微分方程，平衡()tδ两边的系数得1a =
故
() ()
''
001
Zs Zs
rr
+?
=+=，() ( )000
Zs Zs
rr
+?
= =
再用经典法求()
Zs
rt：齐次解
( ) ( ) ( )
2
12
tt
Zsh
rt Be Beut
=+
因为
() ()et ut= 故设特解为() ( )
Zsp
rtCut=?，代入原方程得
3
2
C =
故() () () ()
2
12
3
2
tt
Zs Zsh Zsp
rt r t r t Be Be ut
=+=++
代入()
'
0
Zs
r
+
，( )0
Zs
r
+
得
1
2B =?，
2
1
2
B =
故() ()
2
13
2
22
tt
Zs
rt e e ut
=? + +
③全响应：
() () () ()
2
53
2
22
tt
Zi Zs
rt r t r t e e ut
=+=?+
自由响应：
()
2
5
2
2
tt
eeut
2
受迫响应：()
3
2
ut
方法二：p算子法
() () () () ()
2
2
32 3
dd d
rt rt rt et et
dt dt dt
++=+
化为算子形式为：
( ) ( ) ( ) ( )
2
32 3p prtpet++ =+
特征方程：
2
320αα++= 特征根为：
1
1α =?，
2
2α =?
()
Zi
rt的求法与经典时域法一致，( )
( ) ( )
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
再求
()
Zs
rt：() ()et ut=，
()
()()
() ( ) () () ()
2
3
3
12
tt
p
rt ut p eut e ut ut
pp
+
==+
++
其中
() () () () ()
222
0
11
22
t
tt tt
eut e ut ut e e d e e ut
ττ
τ
= =+
∫
() ( ) () ()
22
11 13
32
22 22
tt tt
Zs
rt p e e ut e e ut
∴ =+?+ =? + +
∴全响应() () () ()
2
53
2
22
tt
Zi Zs
rt r t r t e e ut
=+=?+
自由响应：
()
2
5
2
2
tt
eeut
受迫响应：()
3
2
ut
综观以上两种方法可发现p算子法更简洁，准确性也更高
（2）
() ()
3t
et e ut
=，()01r
=，( )
'
02r
=
运用和上题同样的方法，可得
全响应()
()()
2
54
tt
rt e e ut
=?
零输入响应：
() ()( )
2
43
tt
Zi
rt e e ut
=?
零状态响应：
() ()( )
2tt
Zs
rt e e ut
=?
自由响应：
()()
2
54
tt
eeut
受迫响应：0
2-10 分析,
3
() () () ( ) () () () () () () ()5
d
rt rt e f t d et et f t et et f t t
dx
τττ δ
+∞
∞
+===
∫
已知冲激函数
()tδ
与单位冲激响应
( )ht
为“输入——输出”对，故
() ()et tδ=
时，
() ()rt ht=
。类似上题，也可以用经典法和算子法两种思路求解该微分方程。
解题过程：方法一：经典法
代入() ()et tδ=，() () ( )3
t
f teut tδ
=+得到
() () () () ()52
t
d
ht ht eut t
dt
δ
+= +?nullnull
对于因果系统
()00h
=
先求满足() () ()
11
5
d
ht ht t
dt
δ+=的( )
1
ht：
( ) ( )
5
1
t
ht Aeut
=
利用冲激函数匹配法，在
()0,0
+
时间段内
() () ()
() ()
1
1
d
ht a t but
dx
ht aut
δ
=+Δ
=Δ
()00t
+
<<
() () () ( )
() ()
() ()
1
5
1
5
1,5
001
t
at but aut t
ab
hahA
ht eut
δδ
+?
+Δ+Δ=
= =?
=+==
=
对于
()?式,
() () () () () () () ()
55 5
1
17
22
44
tttttt
ht h t eut t e ut eut e ut e e utδ
=? + =? + = +
方法二：p算子法
（常用关系式：①
()
()
dx t
pxt
dt
=，②() ()
1
t
eut t
p
λ
δ
λ
=
+
③
() () () () () () ()
11 1
t
x t t xt t xt e ut xt
pp p
λ
δδ
λλ λ
=?=?=
++ +
）
引入微分算子p，( )?式变成,
()() () ()
1
52
1
p ht t t
p
δδ+= +
+
4
() () () () ()
11
11 2 2
44
51 5 5 1 5
ht t t t t
pp p p p p
δ δδδ
=? + = + +
++ + + + +
() ()
5
71
44
tt
ht e e ut
= +
注：由本例再次看到，相比经典法，p算子法形式简洁，易算易记。
2-14 分析：求解两个信号的卷积，可以直接用定义，依照“反转→平移→相乘→求和”
的顺序来求，积分式为
() () () ( )
12 12
x txt x xt dτ ττ
+∞
∞
=?
∫
，但是这种依靠定义的基本方法可能不是最简便的。更应该注意灵活运用卷积的性质（卷积的交换律、结合律、分配律；
卷积的微分与积分；与冲激函数或阶跃函数的卷积）对表达式进一步的化简，甚至直接得到结果。
解题过程,
（1）
() () ( ) () ( ) ( )
11ft ut ut ut t tδδ==
() () () () () ( ) ( ) ( ) ( )
() () () ( ) ( )
() () ( ) ( )
() ( ) ( ) ( ) ( )
11
21 2
21 2
21 1 2 2
st ft ft ut t t ut t t
ut ut t t t
tu t t t t
tu t t u t t u t
δδ δδ
δδ δ
δδ δ
∴ =? =
=+
=+?
=+
（2）() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12ft ut ut ut t tδδ==
() () () () ( ) ( ) ( ) ( )()
()() () ()()
()() ()()
()()()()()()
12 12
22 3 4
22 3 4
2223344
st ft ft ut t t ut t t
ut ut t t t
tu t t t t
tut tut tut
δδ δδ
δδδ
δδδ
∴ =?=
=+
=+?
=+
注：可见（2）中的()st是（1）中( )st右移两位，不难推出如下结论,
() () ()
112
st xt xt=?
() ( ) ( ) ( ) ( )
21122112 12
0,0st xtt xtt stt t t t== ≥≥
2.15 分析：利用卷积的性质：
() ( ) ( ) ( )( )
00 0 0
f tttttfttfttδδ? ++? = ++
可画出如下波形,
（1）
() () () () ( ) ( ) ( )()
1121 1 2
55 5 5st ft ft ft t t ft ftδδ=? =? ++? = ++
（2）
() () () () ( ) ( ) ( ) ( )()
21221
55 55stftftftftttttδδδδ==?++? ++
5
() ( ) () ( )
1
10 2 10ft t t tδδδ=?++ +
()()()
111
10 2 10ft ft ft=++ +?
（3）
() () () ( ) ( ){ } ()
312 2
55s t f t f t ut ut f t=? +
由（1）得() ( )()
12 1
f tftst?=，( ) ( )55ut ut+
相当于一个“时间窗”，保留()5,5?
内的信号，其它范围内的信号为0。
（4）() () ()
413
st ft ft=? 发生时域信号的叠加
2-18 分析：本题可以用经典法、算子法或者直接用LTI系统的性质求解
解题过程,
方法一：经典法
( )
1
st
1
1 2
3 4
5 6
-6 -5
-4 -3
-2 -1
( )
2
st
2
1
1-1 9 11 -9 -11
( )
3
st
1-1
9 10 -9
1
-10
( )
4
st
3/21/2-1/2-3/2
2
1
6
() () () ()rt Het et ht==
∵，() ()
{}
()
dd d
Het Het rt
dt dt dt
==
∴得到微分方程：
() () ()
2
3
t
d
rt rt e ut
dt
+=
此方程齐次解
() ()
3t
n
rt Aeut
=，特解( ) ( )
2t
p
rt Beut
=
将
()
p
rt代入上式得到1B =，即( ) ( )
2t
p
rt eut
=
由于
()rt
是零状态响应，且方程右端无冲激项，故
( )00r
+
=，将此初始条件代入
() () () ()( )
32tt
hp
rt r t r t Ae e ut
=+= +得1A=?
∴ ()
()()
32tt
rt e e ut
=? +
又∵
() () ( )rt et ht=?
() () () () ( ) ( )
332
2(1)
ttt
et ht e ut ht e e ut
∴?=?=?+
nullnullnullnullnullnullnull
又() () () () ()
ddd
et ht et ht rt
dt dt dt
=?=
() ( )()()( )
332
62 3 (2)
tt
eut t ht e e utδ
∴?+?=?
nullnullnullnullnullnullnullnull
（1）*3+（2）得
() () ()
2
1
2
t
tht eutδ
=
即
() ()
2
1
2
t
ht e ut
=
方法二：p算子法
() ()()rt Het=
() () () () () ()
2
3
t
d
HetHpetpHetprt rteut
dt
====?+
()() ()
2
3
t
p rt e ut
∴ +=
() () () () ()
22 3 2
11
2(3)
32
tt t t
rt e ut e ut e ut e ut
p
∴ =?=?
+
nullnullnullnull
又() () () () ( )
3
2(4)
t
rt et ht e ut ht
=∴? =?∵nullnull
由(3)(4)对比可知() ()
2
1
2
t
ht e ut
=
方法三：直接利用LTI系统的性质
7
()()() () ( )
3
2
t
Het rt H e ut rt
=? =
() () () () () ()
32
26 3 5
tt
d
HetH teut rteut
dx
δ
=?=?+
nullnullnull
（4）*3+（5）
() () ()
2
1
2
t
ht H t e utδ
= =
2-20 解题过程：由系统框图知，( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()
1 213
rt et h t et h t h t h t=?+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
() ()
1 213
et ht ht ht ht
et ht
=? +
=?
() () () () ( )
1 213
ht h t h t h t h t∴ =+
其中，() ()
1
ht ut=，
() () ( ) ( ) ( ) ( )()
213
11ht ht ht t ut t utδδ= =
() () ( )1ht ut ut∴ =
