1
3-1 解题过程,
（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series，以下简称FS）
() ( ) ( )
011
1
cos sin
nn
n
f ta a ntb ntωω
+∞
=
=+ +
∑
式中
1
1
2
T
π
ω =，n为正整数，
1
T为信号周期
（a）直流分量 ()
01
0
0
1
1
tT
t
aftd
T
+
=
∫
（b）余弦分量的幅度 () ( )
01
0
1
1
2
cos
tT
n
t
aftntd
T
ω
+
=
∫
（c）正弦分量的幅度 () ( )
01
0
1
1
2
sin
tT
n
t
bftntd
T
ω
+
=
∫
（2）指数形式的傅立叶级数
() ( )
1
1
jn t
n
ft Fn e
ω
ω
+∞
=?∞
=
∑
其中复数频谱 () ()
01
1
0
1
1
1
tT
jn t
n
t
FFn fte dt
T
ω
ω
+
==
∫
()
1
2
nnn
Fajb=? ()
1
2
nnn
Fajb
=+
由图3-1可知，()f t为奇函数，因而
0
0
n
aa= =
() ( ) () () ()
2
22
111
00
1
0
442
sin sin cos 1 cos
2
02,4
2
1,3,
T
TT
n
EEE
b ft n tdt n tdt n t n
nn
n
E
n
n
ω ωω π
ωπ
π
====
=
=
=
∫∫
null
null
所以，三角形式的FS为
() () () ()
111 1
211 2
sin sin 3 sin 5
35
E
ft t t t
T
π
ωωω ω
π
=+++=
null
指数形式的FS的系数为
0 0,2,4,
1
2 0,1,3,
nn
n
Fjb
jE
n
nπ
=±±
=? =
=±
null
null
2
所以，指数形式的FS为
()
111 1
33
1
2
33
jt jt j t j t
jE jE jE jE
ft e e e e
T
ωωω ω
π
ω
ππ π π
=? +? + + =null
3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式() cos
22
ft E t ut ut
π ττ
τ
=+?
求()f t的傅立叶变换有如下两种方法。
解题过程,
方法一：用定义
()
2
2
2
2
22 22
cos
2
22
cos
2
jt
jt jt
jj jj
FEtedt
E
eedt
EE
ee e e
jj
EE
τ
ω
τ
ππ
τ
ωω
ττ
τ
π τπτ πτπτ
ωω ωω
ττ ττ
π
ω
τ
ππ
τ
ω
π
ω
τ
+
+ +
=
=+
=
+
=+
∫
∫
2
cos
2
2cos
2
1
E
τ
ω
π
ω
τ
τω
τ
ωτ
π
π
+
=
方法二：用FT的性质和典型的FT对
() cos
22
ft E t ut ut
π ττ
τ
=+?
() cos
222
E
F t ut ut
π ττ
ω
πτ
=?+?
FF
其中cos t
π ππ
πδω δω
τ ττ
=++?
F,
2
sin
22 2
ut ut
τ τωτ
ω
+ =
F
代入
() cos
2
E
F t ut ut
π ττ
ω
πτ
=?+?
FF得
3
()
2
2
sin
22
sin sin
22
2cos
2
1
E
F
E
E
π πωτ
ω πδω δω
πττω
ππ
ωτ ωτ
ττ
ππ
ωω
ττ
τω
τ
ωτ
π
π
=? ++
+?
=+
+?
=
其频谱图如下图所示,
3-19 分析：本题意在说明：对于两频域信号，如果其幅频特性相同，但是相频特性不同则它们对应的时域信号是不一样的。
解题过程,
（a）
() ( )( )
00
FAu uωωωωω=+
，
( ) ( )( )
00 0
tu u?ω ω ω ω ω ω=+
所以，
() ( )
( )
( ) ( )
0
00
j jt
FFeAeu u
ω ω
ωω ωωωω==+
先求
() ( ) ( )
100
Fu uω ωω ωω=+的FT：( )
1
f t
由() ()()
ccc
c
Sa t u u
π
ωωωω
ω
=+
F
4
可知 ()() ()
1 0
00 0
uu Sat
ω
ω ωωω ω
π
+ =
F
再由FT的平移性质：
() ( ) ( )
{}
()
0 0
00 00
jt
A
f tAeu u Sat
ω
ω
ωω ωω ω
π
+ = +
=F
（b）
() ( )( )
00
FAu uωωωωω=+
() ()() () ( )
22
uuuu
π π
ω ω ω ω ω ω ω=? +? +
所以，() ()
()
()() () ( )
2
2
00
j
j
j
FFeAeu uAeuu
π
π
ω
ωω ωωω ωωω
== +?+
()( ) ( ) ( )
00
jA u u jA u uωω ω ω ωω=? +? +
欲求
()F ω的反变换，可利用FT的频域微分性质,
() ( ) () () ( )
00
d
FjA jA
d
ω δω ω δω δω δωω
ω
=? +? +
另() ()
00
1
1
11
22
jt jt
djAjA
ft F e e
d
ωω
ω
ωπ π
==?+?
F
()()
00
0
21cos
2
jt jt
jA jA
ee t
ωω
ω
ππ
==?
由 FT的频域微分性质，有() () ()
2 0
10
2
cos 1 sin
2
tAA
ft ft t
tt
ω
ω
ππ
==?=
3-22 分析：FT的时域对称性：若( ) ( )Fftω =
F，则
( )()2Ft fπ ω=
F
（1）
() 1tδ?∵
，
()
0
0
j
te
ω ω
δω+?
∴由FT的时频对称性，有( ) ( )
0
00
22
jt
e
ω
πδωω πδωω+=?
∴
() ( )
0
F ω δωω=?的时间函数
()
0
1
2
jt
f te
ω
π
=
（2）()() ( )
0000
2ut ut Saω ωωω+∵
∴由FT的时频对称性，有
() ( )( ) ( )( )
00 0 0 0 0
22 2Sa t u u u uωω π ωω ωω πωω ωω+= +
即
() ( )( )
0
000
Sa t u u
ω
ω ωω ωω
π
+
∴
() ( ) ( )
00
Fu uω ωω ωω=+的时间函数
() ()
0
0
f tSat
ω
ω
π
=
（3）
()
()
()()
0
0 0
00
0
u
others
ω
ωω ω
π
π
≤
==+
5
利用（2）的结论，()F ω的时间函数() ()
2
0
02
f tSat
ω
ω
π
=
3-32 解题过程：利用性质：
() () () ()
1
2
x tyt xt yt
π
=
FFF
单边正弦函数的FT：
()() () ()
()() ()
()()
00
00
0022
0
1
sin sin
2
11
2
2
tut t ut
j
j
j
ωω
π
π δω ω δωω πδω
πω
δω ω δωω
ωω
=
=? + +
=++?+
3-1 解题过程,
（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series，以下简称FS）
() ( ) ( )
011
1
cos sin
nn
n
f ta a ntb ntωω
+∞
=
=+ +
∑
式中
1
1
2
T
π
ω =，n为正整数，
1
T为信号周期
（a）直流分量 ()
01
0
0
1
1
tT
t
aftd
T
+
=
∫
（b）余弦分量的幅度 () ( )
01
0
1
1
2
cos
tT
n
t
aftntd
T
ω
+
=
∫
（c）正弦分量的幅度 () ( )
01
0
1
1
2
sin
tT
n
t
bftntd
T
ω
+
=
∫
（2）指数形式的傅立叶级数
() ( )
1
1
jn t
n
ft Fn e
ω
ω
+∞
=?∞
=
∑
其中复数频谱 () ()
01
1
0
1
1
1
tT
jn t
n
t
FFn fte dt
T
ω
ω
+
==
∫
()
1
2
nnn
Fajb=? ()
1
2
nnn
Fajb
=+
由图3-1可知，()f t为奇函数，因而
0
0
n
aa= =
() ( ) () () ()
2
22
111
00
1
0
442
sin sin cos 1 cos
2
02,4
2
1,3,
T
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n
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b ft n tdt n tdt n t n
nn
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E
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n
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π
====
=
=
=
∫∫
null
null
所以，三角形式的FS为
() () () ()
111 1
211 2
sin sin 3 sin 5
35
E
ft t t t
T
π
ωωω ω
π
=+++=
null
指数形式的FS的系数为
0 0,2,4,
1
2 0,1,3,
nn
n
Fjb
jE
n
nπ
=±±
=? =
=±
null
null
2
所以，指数形式的FS为
()
111 1
33
1
2
33
jt jt j t j t
jE jE jE jE
ft e e e e
T
ωωω ω
π
ω
ππ π π
=? +? + + =null
3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式() cos
22
ft E t ut ut
π ττ
τ
=+?
求()f t的傅立叶变换有如下两种方法。
解题过程,
方法一：用定义
()
2
2
2
2
22 22
cos
2
22
cos
2
jt
jt jt
jj jj
FEtedt
E
eedt
EE
ee e e
jj
EE
τ
ω
τ
ππ
τ
ωω
ττ
τ
π τπτ πτπτ
ωω ωω
ττ ττ
π
ω
τ
ππ
τ
ω
π
ω
τ
+
+ +
=
=+
=
+
=+
∫
∫
2
cos
2
2cos
2
1
E
τ
ω
π
ω
τ
τω
τ
ωτ
π
π
+
=
方法二：用FT的性质和典型的FT对
() cos
22
ft E t ut ut
π ττ
τ
=+?
() cos
222
E
F t ut ut
π ττ
ω
πτ
=?+?
FF
其中cos t
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πδω δω
τ ττ
=++?
F,
2
sin
22 2
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τ τωτ
ω
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F
代入
() cos
2
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=?+?
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()
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1
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ττ
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ωω
ττ
τω
τ
ωτ
π
π
=? ++
+?
=+
+?
=
其频谱图如下图所示,
3-19 分析：本题意在说明：对于两频域信号，如果其幅频特性相同，但是相频特性不同则它们对应的时域信号是不一样的。
解题过程,
（a）
() ( )( )
00
FAu uωωωωω=+
，
( ) ( )( )
00 0
tu u?ω ω ω ω ω ω=+
所以，
() ( )
( )
( ) ( )
0
00
j jt
FFeAeu u
ω ω
ωω ωωωω==+
先求
() ( ) ( )
100
Fu uω ωω ωω=+的FT：( )
1
f t
由() ()()
ccc
c
Sa t u u
π
ωωωω
ω
=+
F
4
可知 ()() ()
1 0
00 0
uu Sat
ω
ω ωωω ω
π
+ =
F
再由FT的平移性质：
() ( ) ( )
{}
()
0 0
00 00
jt
A
f tAeu u Sat
ω
ω
ωω ωω ω
π
+ = +
=F
（b）
() ( )( )
00
FAu uωωωωω=+
() ()() () ( )
22
uuuu
π π
ω ω ω ω ω ω ω=? +? +
所以，() ()
()
()() () ( )
2
2
00
j
j
j
FFeAeu uAeuu
π
π
ω
ωω ωωω ωωω
== +?+
()( ) ( ) ( )
00
jA u u jA u uωω ω ω ωω=? +? +
欲求
()F ω的反变换，可利用FT的频域微分性质,
() ( ) () () ( )
00
d
FjA jA
d
ω δω ω δω δω δωω
ω
=? +? +
另() ()
00
1
1
11
22
jt jt
djAjA
ft F e e
d
ωω
ω
ωπ π
==?+?
F
()()
00
0
21cos
2
jt jt
jA jA
ee t
ωω
ω
ππ
==?
由 FT的频域微分性质，有() () ()
2 0
10
2
cos 1 sin
2
tAA
ft ft t
tt
ω
ω
ππ
==?=
3-22 分析：FT的时域对称性：若( ) ( )Fftω =
F，则
( )()2Ft fπ ω=
F
（1）
() 1tδ?∵
，
()
0
0
j
te
ω ω
δω+?
∴由FT的时频对称性，有( ) ( )
0
00
22
jt
e
ω
πδωω πδωω+=?
∴
() ( )
0
F ω δωω=?的时间函数
()
0
1
2
jt
f te
ω
π
=
（2）()() ( )
0000
2ut ut Saω ωωω+∵
∴由FT的时频对称性，有
() ( )( ) ( )( )
00 0 0 0 0
22 2Sa t u u u uωω π ωω ωω πωω ωω+= +
即
() ( )( )
0
000
Sa t u u
ω
ω ωω ωω
π
+
∴
() ( ) ( )
00
Fu uω ωω ωω=+的时间函数
() ()
0
0
f tSat
ω
ω
π
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（3）
()
()
()()
0
0 0
00
0
u
others
ω
ωω ω
π
π
≤
==+
5
利用（2）的结论，()F ω的时间函数() ()
2
0
02
f tSat
ω
ω
π
=
3-32 解题过程：利用性质：
() () () ()
1
2
x tyt xt yt
π
=
FFF
单边正弦函数的FT：
()() () ()
()() ()
()()
00
00
0022
0
1
sin sin
2
11
2
2
tut t ut
j
j
j
ωω
π
π δω ω δωω πδω
πω
δω ω δωω
ωω
=
=? + +
=++?+
