6-1 解题过程,
图 6-5 所示的矩形波如解图所示，它表示为
()
( )
()
10
12
π
π π
+<<?
=
<<
t
ft
t
在
[ ]
0,2π 内
() ( )
() ()
() ()
()
2
0
00
2
0
cos
cos cos
11
sin sin
01,23
π
ππ
ππ
π
=+

=?
==
∫
∫∫
"
f t nt dt
nt dt nt dt
nt nt
nn
n
故有 ()f t 与信号 () ( )cos,cos 2,cos"tt nt,正交（ n 为整数） 。
6-2 解题过程,
在区间 ()02π,内，有
() () ()
2
12 1212
0
cos cos
π
≠
∫
nt nt dt n n nn，且 均为不为零的整数
()()
() ()
2
12 12
0
22
12 12
12 12
00
1
cos cos
2
11 11
sin sin
22
0
π
π π
=++

=? + +
+?
=
∫
nnt nntdt
nnt nnt
nn nn
()
() ( )
22 22
2
00 00
1 cos 2 cos 2
1
22
nt nt
cos nt dt dt dt dt
ππ ππ
π
+
= =+ =
∫∫ ∫∫
满足正交函数集的条件，故
( ) ( )cos,cos 2,cos"tt nt,正交（ n 为整数）是区间 ()02π，
中的正交函数集。
6-3 解题过程,
在区间 0
2
π



,内
() () ()
2
12 1212
0
cos cos
π
≠
∫
nt nt dt n n nn，且 均为不为零的整数
()()
() ()
() ()
2
12 12
0
22
12 12
12 12
00
12 12
12 12
1
cos cos
2
11 11
sin sin
22
11 11
sin sin
222
π
ππ
ππ
=++

=? + +
+?
+
=? +?


∫
nnt nntdt
nnt nnt
nn nn
nn nn
nn nn
只有当
()
12
+nn和 ()
12
nn均为偶数时上式为零，因此不满足函数之间的正交性条件，
() ()cos,cos 2,cos"tt nt,正交（ n 为整数）不是区间 0
2
π


,中的正交函数集。
6-4 解题过程,
在区间 ()01,内，有
{}()
1
0
,0,12,3≠∈
∫
ij
xxdx i j i j,
1
1
1
0
0
1
0
11
ij
ij
x
xdx
ij ij
++
+
== =≠
++ ++
∫
不满足正交函数集所要求的第一个条件，故
23
1,,x xx,不是区间 ( )01,上的正交函数集。
6-5 解题过程,
由题 6-2 结论有
() ( )cos,cos 2,cos"tt nt,
正交（ n 为整数）是区间
()02π，
内的正交函数集。以下考察其完备性。
取 () sin=x tt，在区间 ()02π,内有
( )
22
2
00
1cos2
sin
2
ππ
π
=
=<∞
∫∫
t
tdt dt
且有
()
( ) ( )
() ()
22
00
2
0
sin 1 sin 1
sin cos
2
cos 1 cos 1
1
21 1
0
ππ
π
++

=
+
=? +


=
∫∫
nt nt
tntdt dt
nt nt
nn
不符合完备正交函数集的定义，故 ( ) ( )cos,cos 2,cos"tt nt,正交（ n 为整数）不是区间
0
2
π


,内的完备正交函数集。
6-9 解题过程,
令
2
≈++
t
eatbtc，则均方误差
1 2
22
1
1
2
ε
=?++
∫
t
eatbtcdt
2
1 2
2
1
1
0
2
ε


=?+=




∫
t
eatbtcdt
aa
()
1
42 3 2
1
22 22 0
++ =
∫
t
at t e bt ct dt
1
44
210
53
+=?acee （ 1）
2
1 2
2
1
1
0
2
ε


=?+=




∫
t
eatbtcdt
bb
()
1
232
1
2222 0
++ =
∫
t
bt te at ct dt
1
4
24
3
+=bce （ 2）
2
1 2
2
1
1
0
2
ε


=?+=




∫
t
eatbtcdt
cc
()
1
2
1
22 2 2 0
+ + =
∫
t
c e at bt dt
1
4
422
3
+=?caee （ 3）
（ 1） （ 2） （ 3）式联立有
1
1
1
44
210
53
4
24
3
4
422
3
+=?
+=
+=?
acee
bce
caee
解得
()
()
1
1
1
15
4
3
1
333
4
=?
=
=?+
aee
be
cee
6-10 解题过程,
取
() ( )cos 2π=x tt，则 ()x t 满足
()
1
2
0
0 <<∞
∫
xtdt
在拉德马赫（ Rademacher）函数集中任取一函数 Rad(n,t)，波形如解图
() ( )
() () ()
1
0
21
1
22
211
0
22
11111
1
1
,
cos 2 cos 2 cos 2
12 3221
sin sin sin sin sin sin
222222 2
12 1
sin sin 0
2
ππ π
πππππ
π
π
ππ
π π

=?+

=?++ +


===
∫
∫∫ ∫
"
"
nn
n
nn
n
nn n n
n
n
xtRadntdt
tdt tdt tdt
故存在 ()x t 使 () ( )
1
0
,
∫
x t Rad n t dt（ n 为任意正整数） 为 0,拉德马赫函数集不是 ()01，
上的完备正交函数集。
6-11 解题过程,
当 () ( )
1
tcosω=f t,() ( )
2
tsinω=f t 同时作用于单位电阻时产生的能量
() ()
() () () ()
()
2
22
cos sin
cos 2sin cos sin
1sin2
ωω
ωωωω
ω
+∞
∞
+∞
∞
+∞
∞
=+

=+ +
=+

∫
∫
∫
Ettdt
ttttdt
tdt
(),Rad n t
1
-1
1
2
n
2
2
n
21
2
n
n
""
""
取一个周期 ()0 T,其中
2π
ω
=T,则 ( )sin 2ωt 在 ( )0 T,内积分为零，有
()
0
1sin2ω=+ =
∫
T
E tdtT
当 ()
1
tf,()
2
tf 分别作用于单位电阻时各自产生的能量为（仍取 ( )0 T,内）
()
( )2
1
00
1cos2
cos
22
ω
ω
+
== =
∫∫
TTt
T
E t dt dt
()
( )2
2
00
1cos2
sin
22
ω
ω
== =
∫∫
TTt
T
E t dt dt
故
12
+ =EET
即两信号同时作用于单位电阻所产生的能量等于
( )
1
tf 和 ( )
2
tf 分别作用时产生的能量之和。当 () ( )
1
tcosω=f t,( )
( )
2
t cos 45ω=+
D
ft时，同时作用时有
() ()
2
0
0
2
2
0
2
cos cos 45
45 45
2cos cos
22
4cos cos
88
2cos
8
ωω
ωω ωω
ππ
ω
π

=++

++
=



=+


=
∫
∫
∫
D
DD
T
T
T
Ettdt
tt tt
dt
tdt
T
分开作用时
()
( )2
1
00
1cos2
cos
22
ω
ω
+
== =
∫∫
TTt
T
E t dt dt
()
2
2
00
0
1cos2
2
cos
42
1sin2
22
π
ω
π
ω
ω

++



=+=


==
∫∫
∫
TT
T
t
E t dt dt
t
T
dt
12
+≠EE E
即当 () ( )
1
tcosω=f t,
() ( )
2
t cos 45ω=+
D
ft时上述结论不成立，其原因是 ()cos ωt 和
()
cos 45ω +
D
t 相互间不满足正交关系，而 ( )cos ωt 和 ( )sin ωt 满足正交关系。
6-16 解题过程,
（ 1） ()
22
0
1
2
+∞ +∞

∞
===<∞
∫∫
tt
Eeutdtedt
a
则
() ( )
=
at
f teut为能量函数。
由 ()
1
ω
ω
=
+
F
aj
得
()
22
1
τ
ω
=

+
R
a
F
所以 ()
1
22
11
2
τ
τ
ω

==

+

a
R e
aa
F
（ 2）对周期余弦函数 ()
10
cosω=f tE t有
()0,Cal t
1
2
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
1
()1,Cal t
1
4
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
1
1
4
1
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
1
1
8
()
3,Cal t
7/8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
1
5/8
3/8
1/8
()
'
x t
() () ( )
() ( ) () ( )
() ( ) () ( )
2
111
2
0
2
11 11
0
2
22
11 11
00
2
0
1
lim
1
lim
1
lim
cos
2
ττ
ττ
ττ
ωτ
→∞?
→∞
→∞
=?

=?+?


=?++
=
∫
∫∫
∫∫
T
T
T
T
T
T
TT
T
Rftfdt
T
f tftdt ftftdt
T
f tft dt ftft dt
T
E
又 () ( ) () () ( )
01
cos ω==f t E tut f tut
则有
() () ( )
() ( )
() ( )
() ( )
2
2
2
2
2
11
0
2
11
2
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
ττ
τ
τ
τ
→∞?
→∞?
→∞
→∞?
=?
=+
=?
=+
∫
∫
∫
∫
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
R ftft dt
T
f tft dt
T
f tft dt
T
f tft dt
T
所以 () ()
2
10
1
cos
24
τ τωτ==
E
RR
6-17 解题过程,
（ 4）
() ()()sin 2200 sin 1800
2
ππ=

A
f ttt
所以
22 2
884
=+=
AAA
P
功率谱
() ()()()()
2
2200 2200 1800 1800
8
ω πδω π δω π δω π δω π= + +? ++ +

A
P
功率谱如图所示
( )ωP
1800π 2200π 2200π?
1800π?
2
8
A
π
2
8
A
π
2
8
A
π
2
8
A
π
（ 6）
()
()
()
1 cos 400
cos 2000
2
t
f tA t
π
π
=?
() ()()cos 2000 cos 2400 cos 1600
24
AA
tttπππ=? +

所以
22 2
3
81616
=+=
AA A
P
功率谱
() ()()
()()()()
2
2
2000 2000
8
2400 2400 1600 1600
32
ωπδωπδωπ
π δω π δω π δω π δω π
=++?+

++?+++?
A
A
P
功率谱如图所示
6-21 解题过程,
（ 1） () () ()=?rt ft ht
()( )
()( )
τττ
τ ττ
+∞
∞
+∞
∞
=?
=+?
∫
∫
fht d
f sT td
（ 2） =tT时,() () ()()τ ττ
+∞
∞
==
∫
rt rT f s d
（ 3）由题图 6-21 可知
() ()()τ ττ
+∞
∞
=
∫
rT f s d
又冲激响应 () ( )=?ht sT t是信号 ( )st的匹配滤波器冲激响应，则 () 0=st,>tT
所以第（ 2）题中
() ()()
()()
τ ττ
τ ττ
+∞
∞
∞
=
=
∫
∫
T
rT f s d
f sd
( )ωP
2
8
A
π
2
32
A
π
2
32
A
π
2
32
A
π
2
8
A
π
2
32
A
π
2400π? 2000π? 1800π?
1800π 2000π
2400π
6-22 解题过程,
（ 1） () ( )
00
ht xTt=? () ( )
11
ht xT t=? 波形解如下图
（ 2）
0
M 对
0
x 的响应波形：
() ( )
00
ht xt? 如图 (a)；
0
M 对
1
x 的响应波形：
() ()
01
ht xt? 如图 (b)；
1
M 对
0
x 的响应波形,() ( )
10
ht xt? 如图 (c)；
1
M 对
1
x 的响应波形,() ()
11
ht xt? 如图 (d)
（ 3） 由题图可知，
0
M 在 4t = 时 ( )
0
x t 的响应输出为 4,对 ( )
1
x t 的响应输出为 2；
1
M 在 4t =
时对 ()
0
x t 的响应输出为 2，对 ()
1
x t 的输出响应为 4。若使 ( )
0
x t 与 ( )
1
x t 正交，将 ()
0
x t 改为如下图 (a)，则
0
M 为下图 (b)所示。此时
0
M 为
( )
1
x t 的响应输出如下图 (c)所示，
1
M 为
()
0
x t 的输出如下图 (d)。在 4t = 时，
0
M 对 ( )
1
x t 和
1
M 对 ( )
0
x t 的响应为零。
()
0
ht
1
-1
1 2 3 4
( )
1
ht
1
-1
1 2 3
4
() ()
00
ht xt?
4
2
-2
2 4 6 8
( ) ( )
01
ht xt?
3
2
1
-1
-2
2 4 6 8
() ()
10
ht xt?
图 (a)
图 (b)
2 4 6 8
2
4
3
1
-1
-2
2 4 6 8
( ) ( )
01
ht xt?
图 (c)
图 (d)
2 4 6 8
1
-1
()
0
x t
2 4 6 8
1
-1
( )
1
x t
() ()
01
ht xt?
图 (a) 图 (b)
2 4 6 8
2
1
-1
-2
-3
2 4 6 8
2
1
-1
-3
-2
( ) ( )
10
ht xt?
图 (c)
图 (d)