9-2 解：设周期序列
()
p
x n的周期为N，则,
() ()
2
1
0
π


=
=
∑
N
jnk
N
pp
n
Xk xne
() () ()
22
11
00
ππ






==





∑∑
NN
jnk jnk
NN
pp p
nn
Xk xne xn e
由于
()
p
x n是实数序列
() ()
=

pp
x nxn
而
22ππ




=


jnk jnk
NN
ee
于是() ()
2
1
0
π


=
=
∑
N
jnk
N
pp
n
Xk xne
故
() () ()
2
1
0
π


=
= =
∑
N
jnk
N
pp p
n
X kxne Xk
9-3 解题过程,
设()
p
x n的周期为N，则() ()
2
1
0
π


=
=
∑
N
jnk
N
pp
n
Xk xne
() () ()
22
11
00
ππ




==



∑∑
NN
jnk jnk
NN
pp p
nn
Xk xne xne
变量置换，令=?nn，则
() ()
()
2
1
0
π



=
=
∑
N
jnk
N
pp
n
Xk xne
由于
()
p
x n是n的偶函数，所以( ) ( )?=
pp
x nxn
又知
()
p
x n是以N为周期的周期序列，故其在任一周期内的DFS应相同，即
()
()
()
22
1
1
00
ππ




==
=
∑∑
N
N
jnk jnk
NN
pp
nn
xne xne
故
() ()
()
() ()
22
1
1
00
ππ




==
=
∑∑
N
N
jnk jnk
NN
pp p p
nn
X nxne xne Xn
因此
()
p
X k是实数序列。
又由题9-2可知，对实数序列
()
p
x n，有( ) ( )
=?
pp
X kX k
也即
() ( )
=?
pp
X kXk
因此
() ( )=?
pp
X kXk
即
()
p
X k为k的偶函数。
9-7 解题过程,
设()
p
x n如图9-7(a)所示，由定义有
() ( )?=?
p
N
x nxn
因此，()?
N
x n序列即
()
p
x n序列以0=n点为轴反转，如解图9-7(b)所示。
9-8 解题过程,
由定义() ()
3
0=
=
∑
nk
n
X kxnW
其矩阵形式为
()
()
()
()
()
()
()
()
0000
0123
0246
0369
0
0
1
1
2
2
3
3






=








X
xWWWW
X
x
WWWW
x
WWWWX
xWWWW
X
图9-7(b)
图9-7(a)
又有
2π


=
j
N
We，4=N
故
40
=WW，
62
=WW，
91
=WW且
20
=?WW，
31
=?WW
而
0
1=W，
1
=?Wj
所以
()
()
()
()
()
()
()
()
0000
0123
0246
0369
0
0 11 1 1 1 5
1
1 1122
1
2 111 11 54
2
3 1132
3






+



===











X
xWWWW
X
x j jj
WWWW
x
WWWWX
x j jj
WWWW
X
又
() ()
1
0
1
=
=
∑
N
nk
k
xn XkW
N
其矩阵形式为
()
()
()
()
()
()
()
()
00 0 0
01 0 1
000 0
0101
0
0 11 1 1 5 1
1
1 1122
11
2 111 1 5 144
2
3 1123
3








+



===










x
XWW W W
x
X jjj
WW W W
X
WWW Wx
X jjjWW WW
x
与原
()x n一致。
9-9 解题过程,
()
22
11
00
2
22
1
1
01
11
ππ
π
ππ




==













== ≤?
∑∑
n
NN
jnk jk
n NN
nn
n
jk
N
N
jk jk
NN
Xk ae ae
ae
a
kN
ae ae
9-11 解题过程：如题图9-11
先由
()x n绘出()
4
x n，在据()
4
x n绘出( )
( )
4
2xn?，得
( )
1
x n如解图9-11(a)。
图9-11
()x n
同样，得()
2
x n如解图9-11(b)所示。
9-12 解题过程,
如题图9-12
() () () ( )()()
5
6
6
0m
x nhn hmxnmRn
=
=?
∑
()()()()
()()
5
6
6
0
6
6
2
2
m
mxnmRn
xn Rn
δ
=
=
=?
∑
其结果如解图9-12所示。
图 9-11(a)
图 9-11(b)
()x n
( )hn
( )
2
x n
()
1
x n
题图 9-12
9-13 解题过程,
() () () ()
()
11 1
00

+
== =


∑∑ ∑
NN Nl
nm lnk nk
NN
kk m
IDFTYk YkW X k l W X m W
由于()
N
Xm及
( )? +nm l
W都以N为周期,
所以()
()
1
1

+
=?
∑
Nl
nml
N
ml
Xm W
N
()
()
()
()
()
1
0
1
0
1
0
1
1
1
+
=

=

=
=

=?



=?


=?
∑
∑
∑
N
nml
N
m
N
nm nl
N
m
N
nm nl
m
nl
Xm W
N
Xm W W
N
XmW W
N
xn W
即
() ()
=

nl
IDFT Y k x n W
9-21 解题过程,
因为
() () ()
12
=+x nxnjxn，()
1
x n，( )
2
x n为实序列。
所以() () ()
1
1
2
=+

x nxnxn，() () ()
2
1
2
=?

jx n x n x n
() () () ()
{ }
11
1
2
== +

DFT x n X k DFT x n DFT x n
() () () ()
{ }
22
1
2
==

DFT jx n X k DFT x n DFT x n
又() () ()
11
00


==




∑∑
NN
nk nk
nn
DFT x n x n W x n W
由于
nk
W是N的周期函数，而有
( )
=
Nkn nk
WW
解图 9-12
于是
() () () ( )
11
00


==

= ==?


∑∑
NN
nk nk
nn
DFT x n x n W x n W X n k
因此() () ( )
1
1
2
=+?

X kXkXNk，() () ( )
2
1
2
=

X kXkXNk
9-22 解题过程,
() () ()
()
1
0
1
0
2
2
1
0
1
1
0
1
π
π
=
=
==

== ≠
==
∑
∑
N
nk
N
n
kNN
nk
k
n
jNk
N
jk
N
X kDFTxn RnW
W
Wk
W
e
e
若0=k，则
()
1
0
1
=
= =
∑
N
n
X kN,故 ( ) ( )δ=X kNk
帕斯瓦尔定理：
() ()
11
22
00
1

==
=
∑∑
NN
nn
x nXk
N
此题中()
11
2
00
1

==
= =
∑∑
NN
nn
x nN
() ()
11
22
00
δ

==
==
∑∑
NN
nn
X kNkN，故帕斯瓦尔定理成立。
9-23 解题过程,
由逆变换定义 () ()
1
0
1
xn
=
=
∑
N
nk
k
XkW
N
所以
() ()
1
0
1
-
=
=
∑
N
nk
k
x nXkW
N
将变量n，k的取值范围都是从0到N-1,据离散傅里叶变换的定义有
() ( )()
=

N
DFT x n Nx k R n
9-24 解题过程,
（1）
() () () ()
11
1
00 0
1
0
1
∞

== =
= ===>

∑∑ ∑
NNN
nnn
N
nn n
z
Xn xnz R nz z z
z
Z
（2）() ( ) ()=

N
DFT x n Nx k R n
() () () ( )
11
00


==

=?


∑∑
NN
nk nk
nn
DFT x n x n W x n W X n k
（3）
() ()
22 2
22 2
1
1
ω
ω
ω
ω
ω

=




===



j
NNW NW
jj j
jN
j
j WW W
ze
jj j
eee
e
Xe Xz
e
eee
() ()
()
11
22
sin sin
22
sin sin
ωω
θ ω
ωω

+
==








相位幅度
NN
jjj
NN
ee
由于对
sin
2
sin
2
ω
ω
N
取绝对值时，分子分母符号可能不同，因而相位特性有一个()θ ω，()θ ω可能为0或π。
幅度特性曲线如解图9-24所示。（设6N =）
9-34 解题过程,
（1）由于
1
5≤f Hz，所以
1
1
11
0.2
5
=≥=Ts
f
（2）由于
1
1
2
≤
s
T
f
，而最高频率1.25≤
h
f kHz
故
3
1
11
0.4
2 2 1.25 10
≤= =
××
s
Tms
f
，取0.4=
s
Tms
（3）由于
1
=
s
T
N
T
故
3
0.2
500
0.4 10
=
×
N一般要求N为2的整数幂，故取
9
2 512==N
所以1 512 0.4 2 0.2048==××=
s
TNT
N
3
π
2
3
π
π
2π
解图 9-24