四、概率的定义及其性质四、概率的定义及其性质复习在一次试验中，事件发生的可能性究竟有多大？
1.频率
定义：
总的试验次 数发生的频数
=
A
n
n
Af
A
n
)(
频率表示事件
A
发生的频繁程度。
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时
，出现正反面的机会均等。
实验者n n
A
f
n
(A)
De Morgan 2048 1061 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
基本性质,
1)
01≤ ≤fA
n
();
2)
ff
nn
(),()Ω=? =10;
3)
若
AA A
k12
,,,L
是两两不相容事件，则
)()()(
121 knnkn
AfAfAAAf ++= LULUU
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验,
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性 。
概率是频率的稳定值。
2.概率的统计定义
在不变条件下重复做
n
次试验,记
m
为
n
次试验中事件
A
发 生 的次数。当试验次数
n
很大时，如果 频 率
n
m
稳定在某一数值
p
的附近摆动,而且一般说来,随着试验次数的增多，
这 种 摆 动 的 幅 度 愈 来 愈 小，此时数值
p
称为随机事件
A
发生的概率，记作
pAP =)(
。
3．概率的公理化定义,
随机试验的样本空间
Ω
对于随机事件
A
，赋于一实数，记为
PA()
，称为事件
A
的概率，
如果集合函数
P()?
满足下列条件,
1) 对于任一事件
A
，有
PA()≥ 0
。
2)
P()Ω=1
3)设
AA
12
,,L
是两两互不相 容 的 事 件,
即对于
ijAA ij
ij
≠ =? =,,,,12L
则有
PA A PA PA()()()
12 1 2
UUL L= + +
证明,设
An
n
=? =,,,12L,
，则
A
n
n
=?
=
∞
,
1
U
PA P P P
n
n
( ) () () (),
=
∞
=?+?+=?
1
U
L
Q P()? ≥ 0
0)( =?∴ P
概率的性质,
1)
P()?=0
2)
AA A
n12
,,L
是两两互 不相容的 事件，则 有
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L=+++
证明
:
设
Ainn
i
=? = + +,,,12L
，则
UU U
LUULUU
∞
== =
==
11 1
,)(
n
n
i
n
i
iin
AAA
PA PA
ni
in
n
()()=
=
∞
= 11
UU
= + + + +? +PA PA PA P
n
() () () ()
12
LL
= + + +PA PA PA
n
() () ()
12
L
∴
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L= + + +
3)设 BA?,则
)()()( APBPABP?=?
且
)()( APBP ≥
。
证明
:QUBABA ABA==?(),()且由性质 2）：
PB PA B A PA PB A() ( ( ) () ( )=? = +?U
∴
PB A PB PA()()()? =?
Q P B A()? ≥ 0
∴? ≥P B P A() () 0
即
P B P A() ()≥
A
B
B-A
=B -AB
推论：
)()()( ABPBPABP?=?
证明
,ABBAB?=?Q
BAB?
)()()()( ABPBPABBPABP?=?=?∴
A
5)
PA PA() ()=?1
A
A
证明,QUAA AA==?Ω,
∴=+=+=PPAAPAPA() ( ) () ()Ω 1
∴=?PA PA() ()1
4)
PA()≤1
证明：
QA?Ω,
∴ ≤ =PA P() ()Ω 1
P()Ω = 1
A
B
B-AB
6)
PABPAPBPAB()()()()U = +?
证明：
PA B()U
))(( ABBAP?= U
)()()( ABPBPAP?+=
)()( ABBPAP?+=
2)
=? +
=≤≤
∑∑
PA PAA
i
i
n
ijn
ij
() ( )
,11
L
+?
() ( )1
1
12
n
n
PAA AL
PA A A
n12
UULU
1)
推广：
PAA PAA PAA()()()
12 23 13
+PAAA()
123
PA A A PA PA PA())(
123 1 2 3
UU = + +
例 1.设
A
与
B
为两个随机事件，
P A()
= 0.4,
PA B()U
= 0.7,当
A
、
B
互不相容时，求
P B()
。
解：
PA B PA PB PAB()()()()U = +?
QA
，
B
互不相容
∴
0)()( =?= PABP
又
PA()
= 0.4
，
PA B()U
= 0.7
∴
PB PA B PA PAB() ( ) () ( )=? +U
=? +07 04 0..
= 03.
例 2.设
A
，
B
为随机事件，已知
P A()
= 0.7,
P B()
= 0.5，
PA B()?
= 0.3,求
PAB()
和
PB A()?
,
解：
AB A?,A B A AB? =?
则
)()()( BAPAPABP=∴
)()()( ABPBPABP?=?
=? =05 04 01..,
)()()()( ABPAPABAPBAP?=?=?
=? =07 03 04...
A
B
AB
解：
设
A
表示取到的整数能被
6
整除，
B
表示取到的整数能被 8 整除，则
AB
表示取到的整数既能被
6
整除，又能被
8
整除;
AB
表示取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除,
Q
2000
6
333
2
6
2000
8
250
2000
24
83
8
24
===,,,
∴=PA(),
333
2000
PB(),=
250
2000
PAB(),=
83
2000
)(1)()( BAPBAPBAP UU?==∴
=? +?1(() () ( )P A P B P AB
=? +?1
333
2000
250
2000
83
2000
()==
1500
2000
075.
即所求概率为 0.75 。
例 3,在 1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被 6，又不能被 8整除的概率是多少？
五、条件概率复习 返回
1,
定义条 件概率 ──考 虑
A
已 发生的 条件下,
B
发 生的概率。
例 1.一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解：
样本空间
Ω ={
正正，正反，反正，反反 }
事件
A
表示至少有一次为正面，
事件
B
表示两次都是同一面，则
A={
正正，正反，反正 }，
B={
正正，反反 }
现在，求已知
A
发生的条件下，
B
发生的概率。
注意,A
发生，样本空间
Ω
缩小为
′Ω
={正正，正反，反正 }
= A
其中，只有一个“正正”
∈B
，
∴=PBA(|)
1
3
5分分国徽国徽
QPA(),=
3
4
PAB(),=
1
4
∴==
PAB
PA
()
()
14
34
1
3
∴=PBA
PAB
PA
(|)
()
()
PBA
PAB
PA
(| )
()
()
=
恒成立吗？
古典概型的情形设试验的基本事件总数（即样本空间的容量）为
n
，
事件
A
所包含的基本事件数为
mm()> 0
，
事件
AB
所包含的基本事件数为
k
，
则
m
k
ABP =)|(
定义：
设
A
、
B
为两事件，且
PA()> 0
，称
PBA
PAB
PA
(|)
()
()
=
为在事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率。
nm
nk
=
)(
)(
AP
ABP
=
PA(| )?
符合概率定义中的三个条件：
1)
对每一个事件
B
，
PBA(| )≥ 0
2)
PA(|)Ω = 1
3)
设
BB B
n12
,,,LL
是两两互不相容的事件，则有
∑
∞
=
∞
=
=
11
)|()|(
i
i
i
i
ABPABP
U
PA(| )?
具有概率的重要结果：
1) 如
BB B
n12
,,,L
是两两互不相容的事件，则
∑
==
=
n
i
i
n
i
i
ABPABP
11
)|()|(
U
2)
若
BB
12
,
是对立事件，则
PB A PB A(|) (|)
21
1=?
3)
BB
12
,
，
PB B A PBA PB A PBB A( |) ( |) ( |) ( |)
12 1 2 12
U = +?
例 2：一盒装 有 5 只 产品，其 中有 3 只是 一等 品,2 只 二 等品,从 中取 产 品 两 次,每 次 任取一只,作 不 放 回 抽样，设 事件 A为,第 一次取 到的 是一 等 品,,事 件 B为,第二次取 到 的 是 一 等 品,。试 求条件概 率 )|( ABP 。
解：方法一：条件概率的定义。
PA(),=
3
5
PAB
CC
A
()==
3
1
2
1
5
2
6
20
∴===PBA
PAB
PA
(|)
()
()
620
35
1
2
方法二,给产品编号，
1,2,3
为一等品，
4,5
为二等品，
则
Ω={,,}12,34,5
。
在
A
已经发生的条件下,第二次只能从剩余的
2 只一等品,2 只二等品中抽取，
所以，这时抽到一等品的概率为
PBA(|),==
2
4
1
2
2.
乘法定理：
PAB PBA PA() (|)()=?
推广：
1)
P ABC P C AB P B A P A()(|)(|)()=?
2)
PAA A
n
()
12
L
=
PAA A
nn
(| )
11
L
PA A A PAA PA
nn
(| ) (|)()
11 2 21 1
LL
0)( >ABP注意：条件注意：条件
0)( >AP
0)(
121
>
n
AAAP L
注意：条件例 3.一批零件共 100 个,次品率 10%,每次从其中任取一个,取 出的 不再 放回,求 第 三 次 才 取 得 合 格品的概率。
解：
设
A
i
表示第 i 次取得合格品则
321
AAA
==
10
100
9
99
90
98
00083.
即：第三次才取得合格品的概率为
0.0083.
)(P )|()|()(
213121
AAAPAAPAP=
例 4．眼镜 落 地,第一 次 落下打破 的 概 率为 1/2；第一次未打破,第二次落 下被打破的概 率 为 7/10；若前二次未打 破,第三次 落下打破的概 率 为 9/10，试求：眼镜在 三 次落下内 打破的概率。
解：
设
A
i
表示 眼镜 第
i
次 落下打 破，
B
表示 眼镜 落下 三 次内打破，则
BAAAAAA=+ +
121312
方法一：直接计算。
PB PA PAA PAAA() ( ) ( ) ( )=+ +
121312
=+ +PA PAAPA PAAA PAAPA() (|)() (| )(|)()
1 211 312 211
2
1
=
方法二：先算对立事件的概率。
BAAA=
123
PB PAAA PAAPA() ( | ) ( | )( )=?
312 21 1
==
1
10
3
10
1
2
3
200
985.0
200
197
200
3
1)(1)( ==?=?=∴ BPBP
2
1
+
10
7
2
1
10
3
+
10
9
985.0
200
197
==
即：眼镜在三次落下 内 打破的概率为 0.985。
的区别：与 )|()( ABPABP
A
ABP
ABP
Ω
Ω
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP
2.
概率的公理化定义,
(1)定义：随 机试验的 样本空间 Ω对于随 机 事件 A，
赋于一个实数,记为
PA()
,称为事件
A
的概率，如果集合函数
P()?
满足下列条件：
1) 对于任一事件
A
，有
PA()≥ 0
。
2)
P()Ω = 1
3)设
AA
12
,,L
是两两 互不 相容的 事 件,
即对于
ijAA ij
ij
≠=?=,,,,12L
则有
PA A PA PA()()()
12 1 2
UUL L=++
(2)性质：
1)
P()?=0
2)
AA A
n12
,,L
是两 两互 不相 容的 事件,则 有
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L=+++
3)设 BA?,则
)()()( APBPABP?=?
且
)()( APBP ≥
。
4)
PA()≤1
5)
PA PA() ()=?1
6)
PABPAPBPAB()()()()U = +?
推论：
)()()( ABPBPABP?=?
2)
=? +
=≤≤
∑∑
PA PAA
i
i
n
ijn
ij
() ( )
,11
L
+?
() ( )1
1
12
n
n
PAA AL
PA A A
n12
UULU
1)
推广：
PAA PAA PAA()()()
12 23 13
+PAAA()
123
PA A A PA PA PA())(
123 1 2 3
UU = + +
返回设
A
、
B
为两事件，且
0)( >AP
，称
PBA
PAB
PA
(|)
()
()
=
为在事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率。
PA(| )
条件概率条件概率
符合概率定义中的三个条件：
1)
对每一个事件
B
，
PBA(| )≥ 0
2)
PA(|)Ω = 1
3)
设
BB B
n12
,,,LL
是两两互不相容的事件，则有
∑
∞
=
∞
=
=
11
)|()|(
i
i
i
i
ABPABP
U
PA(| )?
具有概率的重要性质。
PAB PBA PA() (|)()=?乘法定理乘法定理推广：
1)
P ABC P C AB P B A P A()(|)(|)()=?
2)
PAA A
n
()
12
L
=
PAA A
nn
(| )
11
L
PA A A PAA PA
nn
(| ) (|)()
11 2 21 1
LL
0)( >ABP注意：条件
0)(
121
>
n
AAAP L
注意：条件注意：条件
0)( >AP
的区别与)|()( ABPABP
A
ABP
ABP
Ω
Ω
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(
1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP
2.
作业 P30 16,17,19
20,21,23,25
课堂练习
1.
已知
P( A)= 0.4
，
P( B)= 0.3,P(
ABU
)= 0.6
，求
P( A B )
。
2.
已知事件
A
和
B
满足条件
P( AB)=P( AB )
,且
P( A)=
p
，求
P( B)
。
BA
ABA
BA
=
=
B
1.06.03.04.0
)()()()(
=?+=
+= BAPBPAPABP U
3.01.04.0)()(
)()()(
=?=?=
=?=
ABPAP
ABAPBAPBAP
)()()()(1
)(1)()(
ABPABPBPAP
BAPBAPBAP
=+=
== UU
0)()(1 =∴ BPAP pAPBP?=?=∴ 1)(1)(
返回
1.频率
定义：
总的试验次 数发生的频数
=
A
n
n
Af
A
n
)(
频率表示事件
A
发生的频繁程度。
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时
，出现正反面的机会均等。
实验者n n
A
f
n
(A)
De Morgan 2048 1061 0.5181
Buffon 4040 2048 0.5069
K,Pearson 12000 6019 0.5016
K,Pearson 24000 12012 0.5005
基本性质,
1)
01≤ ≤fA
n
();
2)
ff
nn
(),()Ω=? =10;
3)
若
AA A
k12
,,,L
是两两不相容事件，则
)()()(
121 knnkn
AfAfAAAf ++= LULUU
可用Excel进行抛掷均匀硬币的实验,
RANDBETWEEN(-1000,1000)产生随机数，按所得数的正负，分别计算频率，观察频率的稳定性 。
概率是频率的稳定值。
2.概率的统计定义
在不变条件下重复做
n
次试验,记
m
为
n
次试验中事件
A
发 生 的次数。当试验次数
n
很大时，如果 频 率
n
m
稳定在某一数值
p
的附近摆动,而且一般说来,随着试验次数的增多，
这 种 摆 动 的 幅 度 愈 来 愈 小，此时数值
p
称为随机事件
A
发生的概率，记作
pAP =)(
。
3．概率的公理化定义,
随机试验的样本空间
Ω
对于随机事件
A
，赋于一实数，记为
PA()
，称为事件
A
的概率，
如果集合函数
P()?
满足下列条件,
1) 对于任一事件
A
，有
PA()≥ 0
。
2)
P()Ω=1
3)设
AA
12
,,L
是两两互不相 容 的 事 件,
即对于
ijAA ij
ij
≠ =? =,,,,12L
则有
PA A PA PA()()()
12 1 2
UUL L= + +
证明,设
An
n
=? =,,,12L,
，则
A
n
n
=?
=
∞
,
1
U
PA P P P
n
n
( ) () () (),
=
∞
=?+?+=?
1
U
L
Q P()? ≥ 0
0)( =?∴ P
概率的性质,
1)
P()?=0
2)
AA A
n12
,,L
是两两互 不相容的 事件，则 有
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L=+++
证明
:
设
Ainn
i
=? = + +,,,12L
，则
UU U
LUULUU
∞
== =
==
11 1
,)(
n
n
i
n
i
iin
AAA
PA PA
ni
in
n
()()=
=
∞
= 11
UU
= + + + +? +PA PA PA P
n
() () () ()
12
LL
= + + +PA PA PA
n
() () ()
12
L
∴
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L= + + +
3)设 BA?,则
)()()( APBPABP?=?
且
)()( APBP ≥
。
证明
:QUBABA ABA==?(),()且由性质 2）：
PB PA B A PA PB A() ( ( ) () ( )=? = +?U
∴
PB A PB PA()()()? =?
Q P B A()? ≥ 0
∴? ≥P B P A() () 0
即
P B P A() ()≥
A
B
B-A
=B -AB
推论：
)()()( ABPBPABP?=?
证明
,ABBAB?=?Q
BAB?
)()()()( ABPBPABBPABP?=?=?∴
A
5)
PA PA() ()=?1
A
A
证明,QUAA AA==?Ω,
∴=+=+=PPAAPAPA() ( ) () ()Ω 1
∴=?PA PA() ()1
4)
PA()≤1
证明：
QA?Ω,
∴ ≤ =PA P() ()Ω 1
P()Ω = 1
A
B
B-AB
6)
PABPAPBPAB()()()()U = +?
证明：
PA B()U
))(( ABBAP?= U
)()()( ABPBPAP?+=
)()( ABBPAP?+=
2)
=? +
=≤≤
∑∑
PA PAA
i
i
n
ijn
ij
() ( )
,11
L
+?
() ( )1
1
12
n
n
PAA AL
PA A A
n12
UULU
1)
推广：
PAA PAA PAA()()()
12 23 13
+PAAA()
123
PA A A PA PA PA())(
123 1 2 3
UU = + +
例 1.设
A
与
B
为两个随机事件，
P A()
= 0.4,
PA B()U
= 0.7,当
A
、
B
互不相容时，求
P B()
。
解：
PA B PA PB PAB()()()()U = +?
QA
，
B
互不相容
∴
0)()( =?= PABP
又
PA()
= 0.4
，
PA B()U
= 0.7
∴
PB PA B PA PAB() ( ) () ( )=? +U
=? +07 04 0..
= 03.
例 2.设
A
，
B
为随机事件，已知
P A()
= 0.7,
P B()
= 0.5，
PA B()?
= 0.3,求
PAB()
和
PB A()?
,
解：
AB A?,A B A AB? =?
则
)()()( BAPAPABP=∴
)()()( ABPBPABP?=?
=? =05 04 01..,
)()()()( ABPAPABAPBAP?=?=?
=? =07 03 04...
A
B
AB
解：
设
A
表示取到的整数能被
6
整除，
B
表示取到的整数能被 8 整除，则
AB
表示取到的整数既能被
6
整除，又能被
8
整除;
AB
表示取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除,
Q
2000
6
333
2
6
2000
8
250
2000
24
83
8
24
===,,,
∴=PA(),
333
2000
PB(),=
250
2000
PAB(),=
83
2000
)(1)()( BAPBAPBAP UU?==∴
=? +?1(() () ( )P A P B P AB
=? +?1
333
2000
250
2000
83
2000
()==
1500
2000
075.
即所求概率为 0.75 。
例 3,在 1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被 6，又不能被 8整除的概率是多少？
五、条件概率复习 返回
1,
定义条 件概率 ──考 虑
A
已 发生的 条件下,
B
发 生的概率。
例 1.一枚硬币抛两次，观察其正反面出现的次数。
解：
样本空间
Ω ={
正正，正反，反正，反反 }
事件
A
表示至少有一次为正面，
事件
B
表示两次都是同一面，则
A={
正正，正反，反正 }，
B={
正正，反反 }
现在，求已知
A
发生的条件下，
B
发生的概率。
注意,A
发生，样本空间
Ω
缩小为
′Ω
={正正，正反，反正 }
= A
其中，只有一个“正正”
∈B
，
∴=PBA(|)
1
3
5分分国徽国徽
QPA(),=
3
4
PAB(),=
1
4
∴==
PAB
PA
()
()
14
34
1
3
∴=PBA
PAB
PA
(|)
()
()
PBA
PAB
PA
(| )
()
()
=
恒成立吗？
古典概型的情形设试验的基本事件总数（即样本空间的容量）为
n
，
事件
A
所包含的基本事件数为
mm()> 0
，
事件
AB
所包含的基本事件数为
k
，
则
m
k
ABP =)|(
定义：
设
A
、
B
为两事件，且
PA()> 0
，称
PBA
PAB
PA
(|)
()
()
=
为在事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率。
nm
nk
=
)(
)(
AP
ABP
=
PA(| )?
符合概率定义中的三个条件：
1)
对每一个事件
B
，
PBA(| )≥ 0
2)
PA(|)Ω = 1
3)
设
BB B
n12
,,,LL
是两两互不相容的事件，则有
∑
∞
=
∞
=
=
11
)|()|(
i
i
i
i
ABPABP
U
PA(| )?
具有概率的重要结果：
1) 如
BB B
n12
,,,L
是两两互不相容的事件，则
∑
==
=
n
i
i
n
i
i
ABPABP
11
)|()|(
U
2)
若
BB
12
,
是对立事件，则
PB A PB A(|) (|)
21
1=?
3)
BB
12
,
，
PB B A PBA PB A PBB A( |) ( |) ( |) ( |)
12 1 2 12
U = +?
例 2：一盒装 有 5 只 产品，其 中有 3 只是 一等 品,2 只 二 等品,从 中取 产 品 两 次,每 次 任取一只,作 不 放 回 抽样，设 事件 A为,第 一次取 到的 是一 等 品,,事 件 B为,第二次取 到 的 是 一 等 品,。试 求条件概 率 )|( ABP 。
解：方法一：条件概率的定义。
PA(),=
3
5
PAB
CC
A
()==
3
1
2
1
5
2
6
20
∴===PBA
PAB
PA
(|)
()
()
620
35
1
2
方法二,给产品编号，
1,2,3
为一等品，
4,5
为二等品，
则
Ω={,,}12,34,5
。
在
A
已经发生的条件下,第二次只能从剩余的
2 只一等品,2 只二等品中抽取，
所以，这时抽到一等品的概率为
PBA(|),==
2
4
1
2
2.
乘法定理：
PAB PBA PA() (|)()=?
推广：
1)
P ABC P C AB P B A P A()(|)(|)()=?
2)
PAA A
n
()
12
L
=
PAA A
nn
(| )
11
L
PA A A PAA PA
nn
(| ) (|)()
11 2 21 1
LL
0)( >ABP注意：条件注意：条件
0)( >AP
0)(
121
>
n
AAAP L
注意：条件例 3.一批零件共 100 个,次品率 10%,每次从其中任取一个,取 出的 不再 放回,求 第 三 次 才 取 得 合 格品的概率。
解：
设
A
i
表示第 i 次取得合格品则
321
AAA
==
10
100
9
99
90
98
00083.
即：第三次才取得合格品的概率为
0.0083.
)(P )|()|()(
213121
AAAPAAPAP=
例 4．眼镜 落 地,第一 次 落下打破 的 概 率为 1/2；第一次未打破,第二次落 下被打破的概 率 为 7/10；若前二次未打 破,第三次 落下打破的概 率 为 9/10，试求：眼镜在 三 次落下内 打破的概率。
解：
设
A
i
表示 眼镜 第
i
次 落下打 破，
B
表示 眼镜 落下 三 次内打破，则
BAAAAAA=+ +
121312
方法一：直接计算。
PB PA PAA PAAA() ( ) ( ) ( )=+ +
121312
=+ +PA PAAPA PAAA PAAPA() (|)() (| )(|)()
1 211 312 211
2
1
=
方法二：先算对立事件的概率。
BAAA=
123
PB PAAA PAAPA() ( | ) ( | )( )=?
312 21 1
==
1
10
3
10
1
2
3
200
985.0
200
197
200
3
1)(1)( ==?=?=∴ BPBP
2
1
+
10
7
2
1
10
3
+
10
9
985.0
200
197
==
即：眼镜在三次落下 内 打破的概率为 0.985。
的区别：与 )|()( ABPABP
A
ABP
ABP
Ω
Ω
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP
2.
概率的公理化定义,
(1)定义：随 机试验的 样本空间 Ω对于随 机 事件 A，
赋于一个实数,记为
PA()
,称为事件
A
的概率，如果集合函数
P()?
满足下列条件：
1) 对于任一事件
A
，有
PA()≥ 0
。
2)
P()Ω = 1
3)设
AA
12
,,L
是两两 互不 相容的 事 件,
即对于
ijAA ij
ij
≠=?=,,,,12L
则有
PA A PA PA()()()
12 1 2
UUL L=++
(2)性质：
1)
P()?=0
2)
AA A
n12
,,L
是两 两互 不相 容的 事件,则 有
PA A A PA PA PA
nn
()()()()
12 1 2
UULU L=+++
3)设 BA?,则
)()()( APBPABP?=?
且
)()( APBP ≥
。
4)
PA()≤1
5)
PA PA() ()=?1
6)
PABPAPBPAB()()()()U = +?
推论：
)()()( ABPBPABP?=?
2)
=? +
=≤≤
∑∑
PA PAA
i
i
n
ijn
ij
() ( )
,11
L
+?
() ( )1
1
12
n
n
PAA AL
PA A A
n12
UULU
1)
推广：
PAA PAA PAA()()()
12 23 13
+PAAA()
123
PA A A PA PA PA())(
123 1 2 3
UU = + +
返回设
A
、
B
为两事件，且
0)( >AP
，称
PBA
PAB
PA
(|)
()
()
=
为在事件
A
发生的条件下，事件
B
发生的概率。
PA(| )
条件概率条件概率
符合概率定义中的三个条件：
1)
对每一个事件
B
，
PBA(| )≥ 0
2)
PA(|)Ω = 1
3)
设
BB B
n12
,,,LL
是两两互不相容的事件，则有
∑
∞
=
∞
=
=
11
)|()|(
i
i
i
i
ABPABP
U
PA(| )?
具有概率的重要性质。
PAB PBA PA() (|)()=?乘法定理乘法定理推广：
1)
P ABC P C AB P B A P A()(|)(|)()=?
2)
PAA A
n
()
12
L
=
PAA A
nn
(| )
11
L
PA A A PAA PA
nn
(| ) (|)()
11 2 21 1
LL
0)( >ABP注意：条件
0)(
121
>
n
AAAP L
注意：条件注意：条件
0)( >AP
的区别与)|()( ABPABP
A
ABP
ABP
Ω
Ω
的样本空间是的样本空间是
)|(
)(
1.
.
"","""",:)|(
,:)(
关系条件先后主从或包含之间有同时发生事件
BAABP
BAABP
2.
作业 P30 16,17,19
20,21,23,25
课堂练习
1.
已知
P( A)= 0.4
，
P( B)= 0.3,P(
ABU
)= 0.6
，求
P( A B )
。
2.
已知事件
A
和
B
满足条件
P( AB)=P( AB )
,且
P( A)=
p
，求
P( B)
。
BA
ABA
BA
=
=
B
1.06.03.04.0
)()()()(
=?+=
+= BAPBPAPABP U
3.01.04.0)()(
)()()(
=?=?=
=?=
ABPAP
ABAPBAPBAP
)()()()(1
)(1)()(
ABPABPBPAP
BAPBAPBAP
=+=
== UU
0)()(1 =∴ BPAP pAPBP?=?=∴ 1)(1)(
返回
