多维随机变量离散型分布函数连续型规范性矩形概率规范性规范性
P{(X,Y)∈G}
二、边际分布、条件分布及统计独立性二维随机变量的边际分布假设二维离散随机变量
),( ηξ
的概率分布为,
null,2,1,,),( ==== jipyxP
ijji
ηξ
,
考虑
的一个概率分布构成记作 ξ
ηξηξξ
null
∪
,2,1
),(},({)(
11
==
=======
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
ipp
yxPyxPxP
j
iji
j
ji
j
jii
称为边际分布列；
同样，记
null,2,1,),()(
11
=======
∑∑
∞
=
∞
=
jpyxPyPP
i
ij
i
jijj
ηξη
也构成
η
的边际分布列。显然
1
1111
===
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
ij
ij
j
j
i
i
ppp
例
1.
已知
10
件产品中有
3
件一等品，
5
件二等品，
2
件三等品。从这批产品中任取
4
件产品，求其中一等品、二等品件数各自的分布律。
解：设
X
及
Y
分别是取出的
4
件产品中一等品及二等品的件数，则我们有
PX iY j
CCC
C
ij ij
(,)===
35 2
4
10
4
，
ij ij==?=0123 01234 4 012,,,;,,,,;,,
即
+0123 01234 234,,,;,,,,;,,
即
Y
X
01 2 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
一等品件数
X
的分布律为：
X 0123
p
i?
35
210
105
210
63
210
7
210
二等品件数
Y
的分布律为：
Y 01234
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
注：边际分布不能全面反映联合分布的内含信息,
二维随机变量
),( ηξ
关于
ηξ,
的边缘分 布函 数
)(),( yFxF
ηξ
,
),(),()()( +∞=+∞<≤=≤= xFxPxPxF ηξξ
ξ
即
),(lim),()( yxFxFxF
y +∞→
=+∞=
ξ
),(),()()( yFyPyPyF +∞=≤+∞<=≤= ηξη
η
即
),(lim),()( yxFyFyF
x +∞→
=+∞=
η
),()( yFyF +∞=
η
),()( +∞= xFxF
ξ
),(0 yF?∞=
),(0?∞= xF
),(1 +∞+∞= F
O
例 1.已知 (X,Y)的分布函数为
≤≤
≤≤
=
其它0
01
01
),( xyyee
yxxee
yxF
yy
yx
求 F
X
(x)与 F
Y
(y)。
解,F
X
(x)=F(x,∞)=
<
≥?
00
01
x
xe
x
F
Y
(y)=F(∞,y)=
<
≥
00
01
y
yyee
yy
连续型随机变量
1)
ξ
的边缘分布函数,
dyyxpdxxFxF
x
),(),()(
∫∫
+∞
∞?∞?
=+∞=
ξ
2)
ξ
的边缘概率密度,
dyyxpxp ),()(
∫
+∞
∞?
=
ξ
3)
η
的边缘分布,
dxyxpdyyFyF
y
),(),()(
∫∫
+∞
∞?∞?
=+∞=
η
4)
η
的边缘概率密度,
dxyxpyp ),()(
∫
+∞
∞?
=
η
r-r
-r
r
x
y
0
例
2.
设
(,)XY
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，求 X 及 Y 边缘概率密度。
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
解：已经求出（ X,Y）的联合密度函数为
2
22
2
21
)(
22
22
r
xr
dy
r
xp
xr
xr
X
ππ
==
∫
>
≤
=∴
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π
22
xr
22
xr?
x
,|| 时当 rx ≤
∫
∞
∞?
= dyyxpxp
X
),()(
0)( =xp
X
,|| 时当 rx >
说明：
(,)XY
的联合分布是均匀分布，
但边缘分布都不是均匀分布 。
r-r
-r
r
x
y
y
22
yr
22
yr?
同理，
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
例3.设(X,Y)的概率密度为
<≤
=
others
xyxc
yxf
0
),(
2
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由规范性
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=? c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
100 >< xorx
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，
求关于X的和关于Y的边缘概率密度
x=y
x=-y
<≤
<<?
=
∫
∫
others
xdy
xdy
xf
x
x
X
0
10
01
)(
1
1
<<
=
∫
others
ydx
yf
y
y
Y
0
10
)(
设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
01,0
(,)
0
cy x y x
fxy
others
< <<<
=
6c
2
0
1
6301
()
0
66(1)01
()
0
x
X
Y y
ydy x x
fx
others
ydx yy y
fy
others
=<<
=
=
=?<<
=
∫
∫
答：
)|()|(
| jiji
yxPyxP === ηξ
ηξ
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
i
p
p
yP
yxP
j
ij
j
ji
η
ηξ
1
11
)|(
|
=?===
∑∑∑?
i
j
j
ij
j
i
j
ij
ji
i
p
p
p
pp
p
yxP
ηξ
)|()|(
| ijij
xyPxyP === ξη
ξη
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
j
p
p
xP
yxP
i
ij
i
ji
ξ
ηξ
1
11
)|(
|
=?===
∑∑∑ iij
ij
ij
p
p
p
pp
p
xyP
ξη
显然
i
j
i
j
i
j
离散型随机变量的条件分布显然条件分布例1,已知 10 件产品中有 3 件一等品,5 件二等品,
2 件三等品。 从这批产品中任取 4 件产品,已知其中有两件二等品,求其中一等品件数的概率分布； 若 其中一等品有一件,求其中二等品的概率分布 。
解,设
X
及
Y
分别是取出的 4 件产品中一等品及二等品的件数，则我们有
PX iY j
CCC
C
ij ij
(,)===
35 2
4
10
4
，
ij ij==?=0123 01234 4 012,,,;,,,,;,,
即
+0123 01234 234,,,;,,,,;,,
一等品 二等品 三等品则（ X,Y）联合分布律及边缘分布律为
Y
X
012 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
则
210100
)2|(
2
2
2 ii
p
p
p
YiXP ====
，
i = 012 3,,,
210105
)1|(
1
1
1 jj
p
p
p
XjYP ====
，
j=01234,,,,
即：
X 0123
)2|( == YiXP
1
10
6
10
3
10
0
Y 01 2 3 4
)1|( == XjYP
0
1
7
4
7
2
7
0
1)
0)( >yp
η
,则在
y=η
条件下，连续 随 机 变 量
ξ
的条件分布函数记作
)|(
|
yxF
ηξ
。
★注意：由于
0)( == yP η
,所 以不能直接用条件概率公式，而从区域上的分布概率入手。
则
)|( yyyxP Δ+≤<≤ ηξ
由积分中值定理,
ydxyyxpdxyxpdy
xxyy
y
ΔΔ?+=
∫∫∫
∞?∞?
Δ+
),(),(
1
θ
yyypdyyp
yy
y
Δ?Δ?+=
∫
Δ+
)()(
2
θ
ηη
设
0)( >
连续型随机变量的条件分布
Δ+≤< yyyP η
,
dyyp
dxyxpdy
yy
y
xyy
y
)(
),(
η
∫
∫∫
Δ+
∞?
Δ+
=
)(
),(
yyyP
yyyxP
Δ+≤<
Δ+≤<≤
=
η
ηξ
)10(
2,1
<< θθ
则
)(
),(
)|(
2
1
yyp
dxyyxp
yyyxP
x
Δ?+
Δ?+
=Δ+≤<≤
∫
∞?
θ
θ
ηξ
η
所以，
)|(lim)|(
0
|
yyyxPyxF
y
Δ+≤<≤=
→Δ
ηξ
ηξ
)(
),(
yp
dxyxp
x
η
∫
∞?
=
)|(
|
yxF
ηξ
对
x
求导，得
)(
),(
)|(
|
yp
yxp
yxp
η
ηξ
=
,
称
)|(
|
yxp
ηξ
为在
y=η
条件下，连续 随机变量
ξ
的条件概率密度函数。
2)
0)( >xp
ξ
,则在
x=ξ
的条件下,连续随机变量
Y
的条件分布函数,
∫
∫
∞?
∞?
==
y
y
dyxyp
xp
dyyxp
xyF )|(
)(
),(
)|(
|| ξη
ξ
ξη;
条件概 率密 度函数,
)(
),(
)|(
|
xp
yxp
xyp
ξ
ξη
=
,
例
2.
设
(,)XY
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，求条件概率密度
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
)|(),|(
||
xypyxp
XYYX
解：已知联合概率密度为
X Y,
的边缘分布密度分别为：
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
r-r
-r
r
x
y
y
22
yr
22
yr?
r-r
-r
r
x
y
22
xr
22
xr?
x
>
≤
==
22
22
22
|
||,0
||
,2
1
)(
),(
)|(
yrx
yrx
yr
yp
yxp
yxp
Y
YX
>
≤
==
22
22
22
|
||,0
||
,2
1
)(
),(
)|(
xry
xry
xr
xp
yxp
xyp
X
XY
即：在
Yy=
的条件下，
X
的条件分布是均匀分布；
在
Xx=
的条件下，
Y
的条件分布是均匀分布。
}5.1|2.0{2
)1(
}.20{
3
=≤
≤≤≤=
XYP
EX
yxyyxD
DYX
）计算（
求
）：，（
上的均匀分布，）服从区域，：设二维随机变量（例
1
0
x
y
21 1.5
xy =
xy?= 2
(1,1)
解：
的联合密度函数为),)(1( YX
≤≤≤
=
其它,0
20,1
),(
yxy
yxp
≤<?
≤≤
=
≤<
≤≤
=
∫
∫
其它其它
,0
21,2
10,
,0
21,
10,
)(
2
0
0
xx
xx
xdy
xdy
xp
x
x
X
∫∫
+?=
2
1
1
0
)2( dxxxxdxxEX
1
3
1
3
1 2
1
3
2
1
2
1
0
3
=?+= xxx
则条 件 概率 密度 函 数,
)(
),(
)|(
|
xp
yxp
xyp
X
XY
=
.
≤≤
=
≤≤
==
其它其它
,0
5.00,2
,0
5.00
,5.0
1
)5.1(
),5.1(
)5.1|(
|
y
y
p
yp
yp
X
XY
∫
∫
==
==≤
∞?
2.0
0
2.0
|
4.02
)5.0|(}5.1|2.0{
dy
dyypXYP
XY
4.0)5.1|2.0(
|
=
XY
F
即例 4 （二维 正 态分 布） 设
ρσσμμ,,,,
2121
为五个 常数，且
0
1
>σ
，
0
2
>σ
，
1≤ρ
，随机变量
),( ηξ
具有密度函 数,
]}
)())((
2
)(
[
)1(2
1
exp{
12
1
),(
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
σ
μ
σσ
μμ
ρ
σ
μ
ρ
ρσπσ
+
×
=
yyxx
yxp
+∞<<∞? yx,
(1) 求 边 际分 布密 度 ;
(2) 求 条 件分 布密 度
解,(1)
∫
+∞
∞?
= dyyxpxp ),()(
ξ
作变换
u
x
=
1
1
σ
μ
，
v
y
=
2
2
σ
μ
，则
∫
∞+
∞?
+?
= dvexp
vuvu ]2[
)1(2
1
2
1
22
2
12
1
)(
ρ
ρ
ξ
ρπσ
注意到
22222
)1()(2 uuvuvu ρρνρ?+?=+?
，故
∫
∞+
∞?
= dveexp
u
uv
2
)1(2
)(
2
1
2
2
2
12
1
)(
ρ
ρ
ξ
ρπσ
=
2
1
2
1
2
2
)(
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπσπ
=
x
u
ee
),( ∞+?∞∈x
即
),(~
2
11
σμξ N
，类似地
),(~
2
22
σμη N
。
(2)条件密度函 数,
|
(,)
(|)
()
pxy
pxy
p y
ξη
ξη
η
=
2
1
2
1
2
2
1
)(
[
)1(2
1
exp{
12
1
σ
μ
ρ
ρσπ
=
x
}
2
)(
]
)())((
2
2
2
2
2
2
2
2
22
21
21
σ
μ
σ
μ
ρ
σσ
μμ
ρ
+
+
yyyx
}))](([
)1(2
1
exp{
12
1
2
2
2
1
1
22
1
2
1
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
+?
= yx
由对称 性,另一个条 件密度为,
}))](([
)1(2
1
exp{
12
1
)|(
2
1
1
2
2
22
2
2
2
|
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
ξη
+?
= xyxyp
例 5 （工作效 率判 断） 为判断 连 续 工 作时 间是 否影
响工作 效 率,对某 厂 139 人进行 调 查,他们 每天 的
连续工 作 时 间 可分 为,6 小时,8 小时,10 小时,
12 小时四种,他 们的 工作 效率
η
可 以 按,低,中,
高分为 三 类,得到 统计 数据如 下,
η
ξ
低
中
高
总和
6
8
10
12
2 人
5 人
8 人
10 人
5 人
30 人
25 人
6 人
10 人
25 人
11 人
2 人
17 人
60 人
44 人
18 人
总和 25 人 66 人 48 人 139 人
如果以,工 作 效率 属于 中、高 二 类 的 概 率 大” 作为
评优标 准,问 每天 连续 工作几 小 时 为 最 佳？
解,首先 以不 同的 数值
321
,,yyy
代 表 工作 效率 的
,低,中,高”三种 不 同 状 态，即
η
的取值 范围 为：
321
,,yyy
,然 后再 利用频率 来近似 概率,并列出
),( ηξ
的二维 联合 分布表,
η
ξ
1
y
2
y
3
y
)(
i
xP =ξ
6
8
10
12
0.014 0.036 0.072
0.036 0.216 0.180
0.058 0.180 0.079
0.072 0.043 0.014
0.122
0.432
0.317
0.129
)(
j
yP =η
0.180 0.475 0.345 1
再把“
2
y=η
”与“
3
y=η
” 合 并为“
4
y=η
”,得到新的分 布 表,
)6|(
1
== ξη yP
)6(
),6(
1
=
==
=
ξ
ηξ
P
yP
115.0
122.0
014.0
=
η
ξ
1
y
4
y
ξ
边缘分 布
6
8
10
12
0.014 0.108
0.036 0.396
0.058 0.259
0.072 0.057
0.122
0.432
0.317
0.129
η
边缘分布
0.180 0.820 1
可得条 件概率
η
1
y
4
y
)6|( == ξη
j
yP
)8|( == ξη
j
yP
)10|( == ξη
j
yP
)12|( == ξη
j
yP
885.0115.0
917.0083.0
817.0183.0
442.0558.0
当
8=ξ
时,条件概率
)8|(
4
== ξη yP
条件 概率最大,达到 0.917。 故 从管理角 度看,把每天的 连续工作时间 定为 8 小 时是合适的。
随机变量的独立性定义,设
),,,(
21 n
ξξξ null
为
n
维随机向量,若对任意的实数
n
xxx,,,
21
成立乘法关系,
)()()(
),,(
2211
2211
nn
nn
xPxPxP
xxxP
≤≤≤=
≤≤≤
ξξξ
ξξξ
null
null
即
1
12
1
(,,) ()
ni
n
ni
i
F xx x Fx
ξξ ξ
=
=
∏
null
null
则称
n
ξξξ,,,
21
null
间是相互独立的。
1.离散型随机变量的独立性
a.
)()(),(
jiji
yPxPyxP =?==== ηξηξ
,
,,2,1 null=i;
null,2,1=j
,
b.
)()|(
iji
xPyxP ==== ξηξ
,
)()|(
jij
yPxyP ==== ηξη
若随机 变量
ξ
与
η
是独立的,则
2.连续型随机变量的独立性
a,
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
b,
)()|(
|
xpyxp
ξηξ
=
,
)()|(
|
ypxyp
ηξη
=
例
1.
已知
10
件产品中有
3
件一等品，
5
件二等品，
2
件三等品。 从这批产品中任取
4
件产品,问：
其中一等品件数和二等品件数是否独立？
Y
X
012 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
解,设
X
与
Y
分别是取出的 4 件产品中一等品与二等品的件数,已 经求出联合分布律,边缘分布律为
}0{}0{
}0,0{
==≠
==
YPXP
YXP∵
X∴
与
Y
不相互独 立,即一,
二等品的件数不相互独立。
例 2,设二维随机变量
),( ηξ
的联合分布列为
η
ξ
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1
α
β
问其中的
α
，
β
取什么值时
ξ
与
η
独立？
解：由规范性可知
βα +++++=
3
1
18
1
9
1
6
1
1
，从而
αβ?=
3
1
,
3
1
18
1
9
1
6
1
)1( =++==ξP
3
2
3
1
1)2( =?==ξP
2
1
3
1
6
1
)1( =+==ηP
αη +==
9
1
)2(P
αη?==
18
7
)3(P
,
联合分布列可补充为,
η
ξ
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
α
α?
3
1
3
2
2
1
α+
9
1
α?
18
7
1
根据独立性：
)2()1()2,1( ===== ηξηξ PPP
,
即
)
9
1
(
3
1
9
1
α+×=
。
从中解出
9
2
=α
，求出
9
1
3
1
=?= αβ
例 3,设
(,)X Y
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，二维概率密度为,
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
问：
X
与
Y
是否相互独立？
解：已经求出
X Y,
的边缘分布密度分别为：
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π,
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
,
显然，
)()(),( ypxpyxp
YX
≠
因此，
X
与
Y
不相互独 立,
说明
(,)XY
的联 合分布是均匀 分布,但边缘分布都不是均匀 分布。
) 边际分布,例如
),()(
1
∑
∞
=
====
j
jii
yxPxP ηξξ
dyyxpxp ),()(
∫
+∞
∞?
=
ξ
) 条件分布,例如
)|()|(
| jiji
yxPyxP === ηξ
ηξ
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
i
p
p
yP
yxP
j
ij
j
ji
η
ηξ
)(
),(
)|(
|
yp
yxp
yxp
η
ηξ
=
独立性：
返回返回作业 P137 3,4,10
11,12,13,18
)(),,(
1
21
1
i
n
i
n
xFxxxF
In
∏
=
ξξξ
null
null
离散型
)()(),(
jiji
yPxPyxP =?==== ηξηξ
,
,,2,1 null=i;
null,2,1=j
,
连续型
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
P{(X,Y)∈G}
二、边际分布、条件分布及统计独立性二维随机变量的边际分布假设二维离散随机变量
),( ηξ
的概率分布为,
null,2,1,,),( ==== jipyxP
ijji
ηξ
,
考虑
的一个概率分布构成记作 ξ
ηξηξξ
null
∪
,2,1
),(},({)(
11
==
=======
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
ipp
yxPyxPxP
j
iji
j
ji
j
jii
称为边际分布列；
同样，记
null,2,1,),()(
11
=======
∑∑
∞
=
∞
=
jpyxPyPP
i
ij
i
jijj
ηξη
也构成
η
的边际分布列。显然
1
1111
===
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
ij
ij
j
j
i
i
ppp
例
1.
已知
10
件产品中有
3
件一等品，
5
件二等品，
2
件三等品。从这批产品中任取
4
件产品，求其中一等品、二等品件数各自的分布律。
解：设
X
及
Y
分别是取出的
4
件产品中一等品及二等品的件数，则我们有
PX iY j
CCC
C
ij ij
(,)===
35 2
4
10
4
，
ij ij==?=0123 01234 4 012,,,;,,,,;,,
即
+0123 01234 234,,,;,,,,;,,
即
Y
X
01 2 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
一等品件数
X
的分布律为：
X 0123
p
i?
35
210
105
210
63
210
7
210
二等品件数
Y
的分布律为：
Y 01234
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
注：边际分布不能全面反映联合分布的内含信息,
二维随机变量
),( ηξ
关于
ηξ,
的边缘分 布函 数
)(),( yFxF
ηξ
,
),(),()()( +∞=+∞<≤=≤= xFxPxPxF ηξξ
ξ
即
),(lim),()( yxFxFxF
y +∞→
=+∞=
ξ
),(),()()( yFyPyPyF +∞=≤+∞<=≤= ηξη
η
即
),(lim),()( yxFyFyF
x +∞→
=+∞=
η
),()( yFyF +∞=
η
),()( +∞= xFxF
ξ
),(0 yF?∞=
),(0?∞= xF
),(1 +∞+∞= F
O
例 1.已知 (X,Y)的分布函数为
≤≤
≤≤
=
其它0
01
01
),( xyyee
yxxee
yxF
yy
yx
求 F
X
(x)与 F
Y
(y)。
解,F
X
(x)=F(x,∞)=
<
≥?
00
01
x
xe
x
F
Y
(y)=F(∞,y)=
<
≥
00
01
y
yyee
yy
连续型随机变量
1)
ξ
的边缘分布函数,
dyyxpdxxFxF
x
),(),()(
∫∫
+∞
∞?∞?
=+∞=
ξ
2)
ξ
的边缘概率密度,
dyyxpxp ),()(
∫
+∞
∞?
=
ξ
3)
η
的边缘分布,
dxyxpdyyFyF
y
),(),()(
∫∫
+∞
∞?∞?
=+∞=
η
4)
η
的边缘概率密度,
dxyxpyp ),()(
∫
+∞
∞?
=
η
r-r
-r
r
x
y
0
例
2.
设
(,)XY
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，求 X 及 Y 边缘概率密度。
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
解：已经求出（ X,Y）的联合密度函数为
2
22
2
21
)(
22
22
r
xr
dy
r
xp
xr
xr
X
ππ
==
∫
>
≤
=∴
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π
22
xr
22
xr?
x
,|| 时当 rx ≤
∫
∞
∞?
= dyyxpxp
X
),()(
0)( =xp
X
,|| 时当 rx >
说明：
(,)XY
的联合分布是均匀分布，
但边缘分布都不是均匀分布 。
r-r
-r
r
x
y
y
22
yr
22
yr?
同理，
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
例3.设(X,Y)的概率密度为
<≤
=
others
xyxc
yxf
0
),(
2
（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由规范性
∫∫
=
1
0
2
1
x
x
cdydx
6=? c
==
∫
∞
∞?
dyyxfxf
X
),()()2(
100 >< xorx
10)(66
2
2
≤≤?=
∫
xxxdy
x
x
设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，
求关于X的和关于Y的边缘概率密度
x=y
x=-y
<≤
<<?
=
∫
∫
others
xdy
xdy
xf
x
x
X
0
10
01
)(
1
1
<<
=
∫
others
ydx
yf
y
y
Y
0
10
)(
设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
01,0
(,)
0
cy x y x
fxy
others
< <<<
=
6c
2
0
1
6301
()
0
66(1)01
()
0
x
X
Y y
ydy x x
fx
others
ydx yy y
fy
others
=<<
=
=
=?<<
=
∫
∫
答：
)|()|(
| jiji
yxPyxP === ηξ
ηξ
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
i
p
p
yP
yxP
j
ij
j
ji
η
ηξ
1
11
)|(
|
=?===
∑∑∑?
i
j
j
ij
j
i
j
ij
ji
i
p
p
p
pp
p
yxP
ηξ
)|()|(
| ijij
xyPxyP === ξη
ξη
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
j
p
p
xP
yxP
i
ij
i
ji
ξ
ηξ
1
11
)|(
|
=?===
∑∑∑ iij
ij
ij
p
p
p
pp
p
xyP
ξη
显然
i
j
i
j
i
j
离散型随机变量的条件分布显然条件分布例1,已知 10 件产品中有 3 件一等品,5 件二等品,
2 件三等品。 从这批产品中任取 4 件产品,已知其中有两件二等品,求其中一等品件数的概率分布； 若 其中一等品有一件,求其中二等品的概率分布 。
解,设
X
及
Y
分别是取出的 4 件产品中一等品及二等品的件数，则我们有
PX iY j
CCC
C
ij ij
(,)===
35 2
4
10
4
，
ij ij==?=0123 01234 4 012,,,;,,,,;,,
即
+0123 01234 234,,,;,,,,;,,
一等品 二等品 三等品则（ X,Y）联合分布律及边缘分布律为
Y
X
012 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
则
210100
)2|(
2
2
2 ii
p
p
p
YiXP ====
，
i = 012 3,,,
210105
)1|(
1
1
1 jj
p
p
p
XjYP ====
，
j=01234,,,,
即：
X 0123
)2|( == YiXP
1
10
6
10
3
10
0
Y 01 2 3 4
)1|( == XjYP
0
1
7
4
7
2
7
0
1)
0)( >yp
η
,则在
y=η
条件下，连续 随 机 变 量
ξ
的条件分布函数记作
)|(
|
yxF
ηξ
。
★注意：由于
0)( == yP η
,所 以不能直接用条件概率公式，而从区域上的分布概率入手。
则
)|( yyyxP Δ+≤<≤ ηξ
由积分中值定理,
ydxyyxpdxyxpdy
xxyy
y
ΔΔ?+=
∫∫∫
∞?∞?
Δ+
),(),(
1
θ
yyypdyyp
yy
y
Δ?Δ?+=
∫
Δ+
)()(
2
θ
ηη
设
0)( >
连续型随机变量的条件分布
Δ+≤< yyyP η
,
dyyp
dxyxpdy
yy
y
xyy
y
)(
),(
η
∫
∫∫
Δ+
∞?
Δ+
=
)(
),(
yyyP
yyyxP
Δ+≤<
Δ+≤<≤
=
η
ηξ
)10(
2,1
<< θθ
则
)(
),(
)|(
2
1
yyp
dxyyxp
yyyxP
x
Δ?+
Δ?+
=Δ+≤<≤
∫
∞?
θ
θ
ηξ
η
所以，
)|(lim)|(
0
|
yyyxPyxF
y
Δ+≤<≤=
→Δ
ηξ
ηξ
)(
),(
yp
dxyxp
x
η
∫
∞?
=
)|(
|
yxF
ηξ
对
x
求导，得
)(
),(
)|(
|
yp
yxp
yxp
η
ηξ
=
,
称
)|(
|
yxp
ηξ
为在
y=η
条件下，连续 随机变量
ξ
的条件概率密度函数。
2)
0)( >xp
ξ
,则在
x=ξ
的条件下,连续随机变量
Y
的条件分布函数,
∫
∫
∞?
∞?
==
y
y
dyxyp
xp
dyyxp
xyF )|(
)(
),(
)|(
|| ξη
ξ
ξη;
条件概 率密 度函数,
)(
),(
)|(
|
xp
yxp
xyp
ξ
ξη
=
,
例
2.
设
(,)XY
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，求条件概率密度
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
)|(),|(
||
xypyxp
XYYX
解：已知联合概率密度为
X Y,
的边缘分布密度分别为：
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
r-r
-r
r
x
y
y
22
yr
22
yr?
r-r
-r
r
x
y
22
xr
22
xr?
x
>
≤
==
22
22
22
|
||,0
||
,2
1
)(
),(
)|(
yrx
yrx
yr
yp
yxp
yxp
Y
YX
>
≤
==
22
22
22
|
||,0
||
,2
1
)(
),(
)|(
xry
xry
xr
xp
yxp
xyp
X
XY
即：在
Yy=
的条件下，
X
的条件分布是均匀分布；
在
Xx=
的条件下，
Y
的条件分布是均匀分布。
}5.1|2.0{2
)1(
}.20{
3
=≤
≤≤≤=
XYP
EX
yxyyxD
DYX
）计算（
求
）：，（
上的均匀分布，）服从区域，：设二维随机变量（例
1
0
x
y
21 1.5
xy =
xy?= 2
(1,1)
解：
的联合密度函数为),)(1( YX
≤≤≤
=
其它,0
20,1
),(
yxy
yxp
≤<?
≤≤
=
≤<
≤≤
=
∫
∫
其它其它
,0
21,2
10,
,0
21,
10,
)(
2
0
0
xx
xx
xdy
xdy
xp
x
x
X
∫∫
+?=
2
1
1
0
)2( dxxxxdxxEX
1
3
1
3
1 2
1
3
2
1
2
1
0
3
=?+= xxx
则条 件 概率 密度 函 数,
)(
),(
)|(
|
xp
yxp
xyp
X
XY
=
.
≤≤
=
≤≤
==
其它其它
,0
5.00,2
,0
5.00
,5.0
1
)5.1(
),5.1(
)5.1|(
|
y
y
p
yp
yp
X
XY
∫
∫
==
==≤
∞?
2.0
0
2.0
|
4.02
)5.0|(}5.1|2.0{
dy
dyypXYP
XY
4.0)5.1|2.0(
|
=
XY
F
即例 4 （二维 正 态分 布） 设
ρσσμμ,,,,
2121
为五个 常数，且
0
1
>σ
，
0
2
>σ
，
1≤ρ
，随机变量
),( ηξ
具有密度函 数,
]}
)())((
2
)(
[
)1(2
1
exp{
12
1
),(
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
σ
μ
σσ
μμ
ρ
σ
μ
ρ
ρσπσ
+
×
=
yyxx
yxp
+∞<<∞? yx,
(1) 求 边 际分 布密 度 ;
(2) 求 条 件分 布密 度
解,(1)
∫
+∞
∞?
= dyyxpxp ),()(
ξ
作变换
u
x
=
1
1
σ
μ
，
v
y
=
2
2
σ
μ
，则
∫
∞+
∞?
+?
= dvexp
vuvu ]2[
)1(2
1
2
1
22
2
12
1
)(
ρ
ρ
ξ
ρπσ
注意到
22222
)1()(2 uuvuvu ρρνρ?+?=+?
，故
∫
∞+
∞?
= dveexp
u
uv
2
)1(2
)(
2
1
2
2
2
12
1
)(
ρ
ρ
ξ
ρπσ
=
2
1
2
1
2
2
)(
1
2
1
2
1
2
1
σ
μ
σπσπ
=
x
u
ee
),( ∞+?∞∈x
即
),(~
2
11
σμξ N
，类似地
),(~
2
22
σμη N
。
(2)条件密度函 数,
|
(,)
(|)
()
pxy
pxy
p y
ξη
ξη
η
=
2
1
2
1
2
2
1
)(
[
)1(2
1
exp{
12
1
σ
μ
ρ
ρσπ
=
x
}
2
)(
]
)())((
2
2
2
2
2
2
2
2
22
21
21
σ
μ
σ
μ
ρ
σσ
μμ
ρ
+
+
yyyx
}))](([
)1(2
1
exp{
12
1
2
2
2
1
1
22
1
2
1
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
+?
= yx
由对称 性,另一个条 件密度为,
}))](([
)1(2
1
exp{
12
1
)|(
2
1
1
2
2
22
2
2
2
|
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
ξη
+?
= xyxyp
例 5 （工作效 率判 断） 为判断 连 续 工 作时 间是 否影
响工作 效 率,对某 厂 139 人进行 调 查,他们 每天 的
连续工 作 时 间 可分 为,6 小时,8 小时,10 小时,
12 小时四种,他 们的 工作 效率
η
可 以 按,低,中,
高分为 三 类,得到 统计 数据如 下,
η
ξ
低
中
高
总和
6
8
10
12
2 人
5 人
8 人
10 人
5 人
30 人
25 人
6 人
10 人
25 人
11 人
2 人
17 人
60 人
44 人
18 人
总和 25 人 66 人 48 人 139 人
如果以,工 作 效率 属于 中、高 二 类 的 概 率 大” 作为
评优标 准,问 每天 连续 工作几 小 时 为 最 佳？
解,首先 以不 同的 数值
321
,,yyy
代 表 工作 效率 的
,低,中,高”三种 不 同 状 态，即
η
的取值 范围 为：
321
,,yyy
,然 后再 利用频率 来近似 概率,并列出
),( ηξ
的二维 联合 分布表,
η
ξ
1
y
2
y
3
y
)(
i
xP =ξ
6
8
10
12
0.014 0.036 0.072
0.036 0.216 0.180
0.058 0.180 0.079
0.072 0.043 0.014
0.122
0.432
0.317
0.129
)(
j
yP =η
0.180 0.475 0.345 1
再把“
2
y=η
”与“
3
y=η
” 合 并为“
4
y=η
”,得到新的分 布 表,
)6|(
1
== ξη yP
)6(
),6(
1
=
==
=
ξ
ηξ
P
yP
115.0
122.0
014.0
=
η
ξ
1
y
4
y
ξ
边缘分 布
6
8
10
12
0.014 0.108
0.036 0.396
0.058 0.259
0.072 0.057
0.122
0.432
0.317
0.129
η
边缘分布
0.180 0.820 1
可得条 件概率
η
1
y
4
y
)6|( == ξη
j
yP
)8|( == ξη
j
yP
)10|( == ξη
j
yP
)12|( == ξη
j
yP
885.0115.0
917.0083.0
817.0183.0
442.0558.0
当
8=ξ
时,条件概率
)8|(
4
== ξη yP
条件 概率最大,达到 0.917。 故 从管理角 度看,把每天的 连续工作时间 定为 8 小 时是合适的。
随机变量的独立性定义,设
),,,(
21 n
ξξξ null
为
n
维随机向量,若对任意的实数
n
xxx,,,
21
成立乘法关系,
)()()(
),,(
2211
2211
nn
nn
xPxPxP
xxxP
≤≤≤=
≤≤≤
ξξξ
ξξξ
null
null
即
1
12
1
(,,) ()
ni
n
ni
i
F xx x Fx
ξξ ξ
=
=
∏
null
null
则称
n
ξξξ,,,
21
null
间是相互独立的。
1.离散型随机变量的独立性
a.
)()(),(
jiji
yPxPyxP =?==== ηξηξ
,
,,2,1 null=i;
null,2,1=j
,
b.
)()|(
iji
xPyxP ==== ξηξ
,
)()|(
jij
yPxyP ==== ηξη
若随机 变量
ξ
与
η
是独立的,则
2.连续型随机变量的独立性
a,
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
b,
)()|(
|
xpyxp
ξηξ
=
,
)()|(
|
ypxyp
ηξη
=
例
1.
已知
10
件产品中有
3
件一等品，
5
件二等品，
2
件三等品。 从这批产品中任取
4
件产品,问：
其中一等品件数和二等品件数是否独立？
Y
X
012 3 4
p
i?
000
10
210
20
210
5
210
35
210
10
15
210
60
210
30
210
0
105
210
2
3
210
30
210
30
210
00
63
210
3
2
210
5
210
00 0
7
210
p
j?
5
210
50
210
100
210
50
210
5
210
1
解,设
X
与
Y
分别是取出的 4 件产品中一等品与二等品的件数,已 经求出联合分布律,边缘分布律为
}0{}0{
}0,0{
==≠
==
YPXP
YXP∵
X∴
与
Y
不相互独 立,即一,
二等品的件数不相互独立。
例 2,设二维随机变量
),( ηξ
的联合分布列为
η
ξ
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
2
3
1
α
β
问其中的
α
，
β
取什么值时
ξ
与
η
独立？
解：由规范性可知
βα +++++=
3
1
18
1
9
1
6
1
1
，从而
αβ?=
3
1
,
3
1
18
1
9
1
6
1
)1( =++==ξP
3
2
3
1
1)2( =?==ξP
2
1
3
1
6
1
)1( =+==ηP
αη +==
9
1
)2(P
αη?==
18
7
)3(P
,
联合分布列可补充为,
η
ξ
1 2 3
1
6
1
9
1
18
1
3
1
2
3
1
α
α?
3
1
3
2
2
1
α+
9
1
α?
18
7
1
根据独立性：
)2()1()2,1( ===== ηξηξ PPP
,
即
)
9
1
(
3
1
9
1
α+×=
。
从中解出
9
2
=α
，求出
9
1
3
1
=?= αβ
例 3,设
(,)X Y
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，二维概率密度为,
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
问：
X
与
Y
是否相互独立？
解：已经求出
X Y,
的边缘分布密度分别为：
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
X
||,0
||,
2
)( 2
22
π,
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
Y
||,0
||,
2
)( 2
22
π
,
显然，
)()(),( ypxpyxp
YX
≠
因此，
X
与
Y
不相互独 立,
说明
(,)XY
的联 合分布是均匀 分布,但边缘分布都不是均匀 分布。
) 边际分布,例如
),()(
1
∑
∞
=
====
j
jii
yxPxP ηξξ
dyyxpxp ),()(
∫
+∞
∞?
=
ξ
) 条件分布,例如
)|()|(
| jiji
yxPyxP === ηξ
ηξ
null,2,1,
)(
),(
==
=
==
=
i
p
p
yP
yxP
j
ij
j
ji
η
ηξ
)(
),(
)|(
|
yp
yxp
yxp
η
ηξ
=
独立性：
返回返回作业 P137 3,4,10
11,12,13,18
)(),,(
1
21
1
i
n
i
n
xFxxxF
In
∏
=
ξξξ
null
null
离散型
)()(),(
jiji
yPxPyxP =?==== ηξηξ
,
,,2,1 null=i;
null,2,1=j
,
连续型
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
