应用案例应用案例例1设电力公司每月可以供应某工厂的电力
ξ
（单位
4
10 kw
）服从
)30,10(
上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力
η
服从
)20,10(
（单位
4
10 kw
）上的均匀分布，
ξ
与
η
相互独立，如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每
kw
4
10
电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每
kw
4
10
电只有10万元利润，试求该工厂每个月的平均利润。
~(10,30)Uξ ξ?电力公司每月供应的电量，
~ (10,20)Uη η?,工厂每月需要的电量
,ξ η独立利润
30万单位供电足够供电不足
10万单位求：平均利润？
解：设工厂每月利润为
ζ
（万元），则
ξη
ξη
ξηξ
η
ηξζ
>
≤
+
==
当当
,
)(1030
30
),(f
（方法一）,
随机变量函数期望公式,
dxdyyxpyxfEfE ),(),(),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
==
ξη
ηξζ
dxdyyxdxdyy
DD
200
1
)1020(
200
1
30
21
++?=
∫∫∫∫
D1
O 10
10
20
20 30
D2
化为二次积分后有
=ζE
∫∫∫∫∫∫
++
y
xy
dxydydyxdxdxydy
10
20
10
2020
10
3020
10
20
1
10
1
20
3
=
∫∫∫
+?+?
20
10
20
10
20
10
)10(
20
1
)20(
10
1
)30(
20
3
dyyydxxxdyyy
=
∫∫∫
+?+?
20
10
2
20
10
2
20
10
2
)10(
20
1
)20(
10
1
)30(
20
3
dyyydxxxdyyy
=
33.433|)
15
1
3(
20
10
32
=? yy
（万元）。
（解法二）先导出有名的“重期望公式”,
定理 设
),( ηξ
为二维随机变量，
ξE
存在，则
))|(( ηξξ EEE =
其中的
)|( ηξE
为条件期望。
证：仅对连续型场合进行证明。
设
),( ηξ
联合密度为
),( yxp
ξη
,
则
),( yxp
ξη
)()|(
|
ypyxp
ηηξ
=
,
记
dxyxpxyEyg )|()|()(
|
∫
∞+
∞?
===
ηξ
ηξ
,
则
)|()( ηξη Eg =
,
从而
dxdyypyxpxdxdyyxpxE )()|(),(
|
η
ηξξη
ξ
∫∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
=?=
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
==?= dyypyEdyypdxyxpx )()|()(})|({
|
ηη
ηξ
ηξ
)).|(())(()()( ηξη
η
EEgEdyypyg ===
∫
+∞
∞?
这就是重期望公式。
解法二：先把
ξ
取定为
x
，考虑
)|( xE =ξζ
。
当
2010 <≤ x
时,
)|( xE =ξζ
)|(30
|
10
xypy
x
ξη
=
∫
dy
dyxypxy
x
)|()2010(
|
20
ξη
++
∫
，
当
3020 ≤≤ x
时，类似有
)|( xE =ξζ 450
10
1
30)(30
20
10
20
10
=?=?=
∫∫
dyydyypy
η
注意到
ξ
与
η
的独立性，故
)()|(
|
ypxyp
ηξη
=
，从而
)|( xE =ξζ
dyypy
x
)(30
10
η
=
∫
dyypxy
x
)()2010(
20
η
++
∫
dyy
x
10
1
30
10
=
∫
dyxy
x
10
1
)2010(
20
++
∫
2
4050 xx?+=
然后对
ξ
再作一次平均，这样
dxxpxEdxxpxExEEE )()|()()|())|((
20
20
20
10
ξξ
ξζξζξζζ
∫∫
=+====
33.433450
20
1
)4050(
20
1
30
20
20
10
2
=+?+=
∫∫
dxdxxx
（万元）。
例2（效用函数与证券组合投资策略）设有一大笔资金，
总量为1，今将其中的
x
投资于甲证券，其余的
yx Δ?1
投资于乙证券，于是
),( yx
构成了一种组合投资，又设证券
（甲，乙）的收益率构成随机向量
),( ηξ
服从正态分布
),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
，试求最佳投资策略。
1 x?
1
x
η乙证券，收益为
ξ甲证券，收益为
22
121 2
(,,,,)Nξ ημμσσρ（，）～
求最佳投资策略解：记
x yζ ξη=+
为组合投资的总收益,
则
2
~(,)Nζ μσ
,
若我们希望平均收益最大，则由
μ
表达式可知只需
根据
1
μ
与
2
μ
的大小，把全部资金投入一种股票即可。
12 122
()ExEyExy xμ ζξημμμμμ= =+=+=?+
,
222
2cov(,)DxD yD xyσζ ξη ξη== + +
22 22 22 2 2
1 2 12 1 2 12
2((1)xy xy x x xxσ σρσσ σ ρσ=++ =+? +?
特点：没有考虑风险
ζD
的影响，对于不怕风险的长期投资者较为适合。
方法一：最大化期望回报准则由于
22
12 12
()2 2(1) 2(`12)
d
Dx x x
dx
ζ σσ ρσ=+?
,
求得根
2
*
212
1
22
12 12
2
x
σρσσ
σ σρσ
=
+?
又Dζ的关于
x
的二阶导数项总大于0，从而
*
1
x
是风险Dζ的极小值点。
然而由于没有顾及总收益的期望，故也不被广大投资者认同。
进一步若不过多强调
*
1
x
的取值范围，则所求出的
*
1
x
与（1－
*
1
x
）就构成了风险最小的组合投资策略,
方法二：方差最小化原则方法三：“效用函数”法（以期望优化为目标，
综合考虑投资者对风险的容忍度。
() (1 )
M
R
UM R e
=?使用指数型效用函数：
*
2
max ( ) min ( )
R
x
xEU Ee
ζ
ζ
==
2
2
()
2
1
()
2
z
zz
RR R
Ee e p z dz e e dz
μ
ζ
σ
ζ
πσ
+∞ +∞
∞?∞
==?
∫∫
3
2
11
() ( )
22
()
11
t
ttt
RR R R
z
t
Eee ede ced
ζμσ
μσ
μ
σ
ππ
+∞ +∞++
∞?∞
=
==
∫∫
22
2
1
()
2
1
2
t
RR
R RR
ecedte
μ σμσ
σ
π
+?+
+∞?+
∞
==
∫
2
2
2
2
2
exp{ ( )}
2
R
RR
MinEe Mine Min
RR
μσ
ζ
μσ
+
∴ ==?+
2
*
12 2 12
2
22
12 12
()
2
R
x
μ μσρσσ
σσ ρσσ
+?
∴ =
+?
**
21
0R xx→→当时（即无风险或最小风险），
例3(决策树与石油投资公司的贝叶斯决策分析)
某投资公司获得一块土地，据地质学家初步分析该块土地有石油的概率为
4
1
，干涸没有石油的概率为
4
3
，
公司若直接把土地卖掉，可收益90（单位：千美元），
如钻探则需再投资钻探费100（千美元），而若发现石油则可获回报800（千美元），但若钻探结果为干涸则回报为0，试问公司应如何投资？
解：（方法一）( 直接决策),
钻探卖出
h
有石油
(
0
.
2
5
)
干涸
(
0
.
7
5
)
-100
90
800
0
e
解：（方法一）( 直接决策),
钻探买出
h
有石油
(
0
.
2
5
)
干涸
(
0
.
7
5
)
-100
90
800
100
100
0
700
-100
90(收益)
h处的平均收益为700*0.25-100*0.75=100
e
直接决策：应用期望收益最大原则缺点：（１）适用于长期运营，不适合短期效应
（２）风险较大
→→例：若有石油的概率从0.25 0.35,则收益180
0.25 0.15,20或有石油的概率从收益
（方法二）后验决策：为减少投资风险，在决策
前先进行地震勘探，花费30（千美元），得到数据,
((PP结果好｜有石油）=0.6，结果不好｜有石油）=0.4
结果好｜干涸）=0.2，结果不好｜干涸）=0.8
((PP结果好｜有石油）=0.6，结果不好｜有石油）=0.4
结果好｜干涸）=0.2，结果不好｜干涸）=0.8
(P
结果不好）＝
(P
有石油）
(P
结果不好|有石油）
＋
(P
干涸）
(P
结果不好|干涸）
＝0.25×0.4+0.75×0.8＝0.7
(P
结果好）＝1－
(P
结果不好）＝1－0.7=0.3
(
( 0.25 0.4 1
0.143
(0.7
P
P
P
×
===
∩
有石油｜勘探结果不好）
有石油结果不好）
＝
结果不好）
16
( 1 0.857
77
P?==干涸｜勘探结果不好）=
(
(0.2506
0.5
3
P
P
P
×
===
∩
有石油｜勘探结果好）
有石油结果好）
结果好）
(
(
P
P
干涸｜勘探结果不好）
=1-有石油｜勘探结果好）=1-0.5=0.5
a
作勘探不作勘探
-
3
0
0
e
钻探卖出
h
有石油
(0
.2
5
)
干枯
(
0
.7
5
)
-100
90
800
0
700=800-100
-100=0-100
100
100
(收益)
b
不好
0
好
0
c
钻探卖出
f
有石油干涸
-100
90
800
0
670＝800-100-30
-130＝0-100-30
60
d
钻探卖出
g
有石油干涸-100
90
800
0
60=90+0-30
-130=0-100-30
270
270123
123
-15.7
670=800-100-30
60=90+0-30
90=90+0
（
0
.
7
）
（
0
.
3
）
(0
.1
43
)
（
0
.8
7
5
）
（
0
.5
）
（
0
.5
）
最佳投资策略：进行地震勘探，若结果不好则卖出土地，若结果好则进行钻探，期望总收益（包括地震勘探与钻探费用）是123（即123，
000美元）。
注：本案例的决策思想是用后验概率减少风险的期望优化过程，由于期望是反映多次重复状况下的平均值，故有利于长期发展的决策，对于短期运作的投资者则可采用本书前面案例中的“效用函数”进行优化决策。
小结边缘分布律离散型——分布律归一性概率计算分布函数与分布立场律的互变独立性边缘分布函数分布函数归一性概率计算边缘概率密度均匀分布正态分布连续型——概率密度归一性概率计算分布函数与概率密度的互变多维随机变量二维随机变量函数的分布
ξ
（单位
4
10 kw
）服从
)30,10(
上的均匀分布，而该工厂每月实际需要的电力
η
服从
)20,10(
（单位
4
10 kw
）上的均匀分布，
ξ
与
η
相互独立，如果工厂能从电力公司得到足够的电力，则每
kw
4
10
电可以创造30万元利润，若工厂从电力公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其他途径解决，由其他途径得到的电力每
kw
4
10
电只有10万元利润，试求该工厂每个月的平均利润。
~(10,30)Uξ ξ?电力公司每月供应的电量，
~ (10,20)Uη η?,工厂每月需要的电量
,ξ η独立利润
30万单位供电足够供电不足
10万单位求：平均利润？
解：设工厂每月利润为
ζ
（万元），则
ξη
ξη
ξηξ
η
ηξζ
>
≤
+
==
当当
,
)(1030
30
),(f
（方法一）,
随机变量函数期望公式,
dxdyyxpyxfEfE ),(),(),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
==
ξη
ηξζ
dxdyyxdxdyy
DD
200
1
)1020(
200
1
30
21
++?=
∫∫∫∫
D1
O 10
10
20
20 30
D2
化为二次积分后有
=ζE
∫∫∫∫∫∫
++
y
xy
dxydydyxdxdxydy
10
20
10
2020
10
3020
10
20
1
10
1
20
3
=
∫∫∫
+?+?
20
10
20
10
20
10
)10(
20
1
)20(
10
1
)30(
20
3
dyyydxxxdyyy
=
∫∫∫
+?+?
20
10
2
20
10
2
20
10
2
)10(
20
1
)20(
10
1
)30(
20
3
dyyydxxxdyyy
=
33.433|)
15
1
3(
20
10
32
=? yy
（万元）。
（解法二）先导出有名的“重期望公式”,
定理 设
),( ηξ
为二维随机变量，
ξE
存在，则
))|(( ηξξ EEE =
其中的
)|( ηξE
为条件期望。
证：仅对连续型场合进行证明。
设
),( ηξ
联合密度为
),( yxp
ξη
,
则
),( yxp
ξη
)()|(
|
ypyxp
ηηξ
=
,
记
dxyxpxyEyg )|()|()(
|
∫
∞+
∞?
===
ηξ
ηξ
,
则
)|()( ηξη Eg =
,
从而
dxdyypyxpxdxdyyxpxE )()|(),(
|
η
ηξξη
ξ
∫∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
=?=
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+∞
∞?
==?= dyypyEdyypdxyxpx )()|()(})|({
|
ηη
ηξ
ηξ
)).|(())(()()( ηξη
η
EEgEdyypyg ===
∫
+∞
∞?
这就是重期望公式。
解法二：先把
ξ
取定为
x
，考虑
)|( xE =ξζ
。
当
2010 <≤ x
时,
)|( xE =ξζ
)|(30
|
10
xypy
x
ξη
=
∫
dy
dyxypxy
x
)|()2010(
|
20
ξη
++
∫
，
当
3020 ≤≤ x
时，类似有
)|( xE =ξζ 450
10
1
30)(30
20
10
20
10
=?=?=
∫∫
dyydyypy
η
注意到
ξ
与
η
的独立性，故
)()|(
|
ypxyp
ηξη
=
，从而
)|( xE =ξζ
dyypy
x
)(30
10
η
=
∫
dyypxy
x
)()2010(
20
η
++
∫
dyy
x
10
1
30
10
=
∫
dyxy
x
10
1
)2010(
20
++
∫
2
4050 xx?+=
然后对
ξ
再作一次平均，这样
dxxpxEdxxpxExEEE )()|()()|())|((
20
20
20
10
ξξ
ξζξζξζζ
∫∫
=+====
33.433450
20
1
)4050(
20
1
30
20
20
10
2
=+?+=
∫∫
dxdxxx
（万元）。
例2（效用函数与证券组合投资策略）设有一大笔资金，
总量为1，今将其中的
x
投资于甲证券，其余的
yx Δ?1
投资于乙证券，于是
),( yx
构成了一种组合投资，又设证券
（甲，乙）的收益率构成随机向量
),( ηξ
服从正态分布
),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
，试求最佳投资策略。
1 x?
1
x
η乙证券，收益为
ξ甲证券，收益为
22
121 2
(,,,,)Nξ ημμσσρ（，）～
求最佳投资策略解：记
x yζ ξη=+
为组合投资的总收益,
则
2
~(,)Nζ μσ
,
若我们希望平均收益最大，则由
μ
表达式可知只需
根据
1
μ
与
2
μ
的大小，把全部资金投入一种股票即可。
12 122
()ExEyExy xμ ζξημμμμμ= =+=+=?+
,
222
2cov(,)DxD yD xyσζ ξη ξη== + +
22 22 22 2 2
1 2 12 1 2 12
2((1)xy xy x x xxσ σρσσ σ ρσ=++ =+? +?
特点：没有考虑风险
ζD
的影响，对于不怕风险的长期投资者较为适合。
方法一：最大化期望回报准则由于
22
12 12
()2 2(1) 2(`12)
d
Dx x x
dx
ζ σσ ρσ=+?
,
求得根
2
*
212
1
22
12 12
2
x
σρσσ
σ σρσ
=
+?
又Dζ的关于
x
的二阶导数项总大于0，从而
*
1
x
是风险Dζ的极小值点。
然而由于没有顾及总收益的期望，故也不被广大投资者认同。
进一步若不过多强调
*
1
x
的取值范围，则所求出的
*
1
x
与（1－
*
1
x
）就构成了风险最小的组合投资策略,
方法二：方差最小化原则方法三：“效用函数”法（以期望优化为目标，
综合考虑投资者对风险的容忍度。
() (1 )
M
R
UM R e
=?使用指数型效用函数：
*
2
max ( ) min ( )
R
x
xEU Ee
ζ
ζ
==
2
2
()
2
1
()
2
z
zz
RR R
Ee e p z dz e e dz
μ
ζ
σ
ζ
πσ
+∞ +∞
∞?∞
==?
∫∫
3
2
11
() ( )
22
()
11
t
ttt
RR R R
z
t
Eee ede ced
ζμσ
μσ
μ
σ
ππ
+∞ +∞++
∞?∞
=
==
∫∫
22
2
1
()
2
1
2
t
RR
R RR
ecedte
μ σμσ
σ
π
+?+
+∞?+
∞
==
∫
2
2
2
2
2
exp{ ( )}
2
R
RR
MinEe Mine Min
RR
μσ
ζ
μσ
+
∴ ==?+
2
*
12 2 12
2
22
12 12
()
2
R
x
μ μσρσσ
σσ ρσσ
+?
∴ =
+?
**
21
0R xx→→当时（即无风险或最小风险），
例3(决策树与石油投资公司的贝叶斯决策分析)
某投资公司获得一块土地，据地质学家初步分析该块土地有石油的概率为
4
1
，干涸没有石油的概率为
4
3
，
公司若直接把土地卖掉，可收益90（单位：千美元），
如钻探则需再投资钻探费100（千美元），而若发现石油则可获回报800（千美元），但若钻探结果为干涸则回报为0，试问公司应如何投资？
解：（方法一）( 直接决策),
钻探卖出
h
有石油
(
0
.
2
5
)
干涸
(
0
.
7
5
)
-100
90
800
0
e
解：（方法一）( 直接决策),
钻探买出
h
有石油
(
0
.
2
5
)
干涸
(
0
.
7
5
)
-100
90
800
100
100
0
700
-100
90(收益)
h处的平均收益为700*0.25-100*0.75=100
e
直接决策：应用期望收益最大原则缺点：（１）适用于长期运营，不适合短期效应
（２）风险较大
→→例：若有石油的概率从0.25 0.35,则收益180
0.25 0.15,20或有石油的概率从收益
（方法二）后验决策：为减少投资风险，在决策
前先进行地震勘探，花费30（千美元），得到数据,
((PP结果好｜有石油）=0.6，结果不好｜有石油）=0.4
结果好｜干涸）=0.2，结果不好｜干涸）=0.8
((PP结果好｜有石油）=0.6，结果不好｜有石油）=0.4
结果好｜干涸）=0.2，结果不好｜干涸）=0.8
(P
结果不好）＝
(P
有石油）
(P
结果不好|有石油）
＋
(P
干涸）
(P
结果不好|干涸）
＝0.25×0.4+0.75×0.8＝0.7
(P
结果好）＝1－
(P
结果不好）＝1－0.7=0.3
(
( 0.25 0.4 1
0.143
(0.7
P
P
P
×
===
∩
有石油｜勘探结果不好）
有石油结果不好）
＝
结果不好）
16
( 1 0.857
77
P?==干涸｜勘探结果不好）=
(
(0.2506
0.5
3
P
P
P
×
===
∩
有石油｜勘探结果好）
有石油结果好）
结果好）
(
(
P
P
干涸｜勘探结果不好）
=1-有石油｜勘探结果好）=1-0.5=0.5
a
作勘探不作勘探
-
3
0
0
e
钻探卖出
h
有石油
(0
.2
5
)
干枯
(
0
.7
5
)
-100
90
800
0
700=800-100
-100=0-100
100
100
(收益)
b
不好
0
好
0
c
钻探卖出
f
有石油干涸
-100
90
800
0
670＝800-100-30
-130＝0-100-30
60
d
钻探卖出
g
有石油干涸-100
90
800
0
60=90+0-30
-130=0-100-30
270
270123
123
-15.7
670=800-100-30
60=90+0-30
90=90+0
（
0
.
7
）
（
0
.
3
）
(0
.1
43
)
（
0
.8
7
5
）
（
0
.5
）
（
0
.5
）
最佳投资策略：进行地震勘探，若结果不好则卖出土地，若结果好则进行钻探，期望总收益（包括地震勘探与钻探费用）是123（即123，
000美元）。
注：本案例的决策思想是用后验概率减少风险的期望优化过程，由于期望是反映多次重复状况下的平均值，故有利于长期发展的决策，对于短期运作的投资者则可采用本书前面案例中的“效用函数”进行优化决策。
小结边缘分布律离散型——分布律归一性概率计算分布函数与分布立场律的互变独立性边缘分布函数分布函数归一性概率计算边缘概率密度均匀分布正态分布连续型——概率密度归一性概率计算分布函数与概率密度的互变多维随机变量二维随机变量函数的分布
