几个常用的连续型随机变量均匀分布正态指数分布分布
P{c<X<d}
两个参数的意义第三章随机向量及其函数的概率分布一、随机向量一、、、
及其联合分布复习随机向量的定义,
设
ni
i
,,2,1)}({ "=ωξ
是定义在同一个概率空间
)( PFΩ
上的个随机变量则称
,,
上的
n
个随机变量，则称
))(,),(),(()(
21
ωξωξωξωξ
n
"=
为
n
维随机向量或
n
维随机变量。
分布函数的定义分布函数的定义对任意实数
xxx
21
"
称函数对任意实数
n
,,,
，称函数
(F
},,,{),,,
221121 nnn
xxxPxxx ≤≤≤= ξξξ " "
为随机向量
ξ
的（联合）分布函数。
二维随机变量
( )X Y
的分布函数二维随机变量
,
的分布函数：
()( )FPXY≤≤
00 0 0
(,)(,F xy PX x y=≤≤
00
,yx
几何意义：分布函数F( )
表示随机点(X Y)落在区域
(){}
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
,
中的概率。如图阴影部分：
二维分布函数
F x y(,)
的性质：维分布函数的性质：
(1)
Fxy(,)
是
x
或
y
的单调非减
.
(2)
01≤≤Fxy(,)
，且
1),(lim),( ==+∞+∞
+∞→
+∞→
yxFF
y
x
Fy Fxy
x
(,)lim(,)?∞ = =
→?∞
0
，
F x F x y(,) lim (,)?∞ = =0
y→?∞
，
FF
x
(,)lim(,)?∞?∞ = =
→?∞
0
y→?∞
(3)
F x y(,)
是
x
或
y
的右连续函数,
)( bYbXP ≤≤
),(),(),(),(
,
21212121
2211
aaFabFbaFbbF
aa
+=
<<
y
b
2
a
2
x
0
a
1
b
1
3
y
y
已知随机变量(X,Y)
y
2
的分布函数F (x,y),
求(X,Y)落在如图区
1
求(,)在图域G内的概率.
答
1
x
2
x
3
x
答:
)]()()()([}){( FFGYXP
=++
+=∈
)],(),(),(),([
,,,,,
22313221
13323312
yxyxyxFyxF
yxyxyxyx
例 1.已知二维随机变量 (X,Y)的分布函数为例
)]()][([),(
y
arctgC
x
arctgBAyxF ++=
32
1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}{,}
解,1]
2
][
2
[),( =++=∞∞
ππ
CBAF
0)]
3
(][
2
[),( =+?=?∞
y
arctgCBAyF
π
0]
2
)][
2
([),( =?+=?∞
π
C
x
arctgBAxF
1π
2
2 π
===? ACB
1
)02()30()32()00(}3020{ +≤<≤< FFFFYXP
16
,,,,,==
离散型随机变量的联合分布列若二维随机变量
),( ηξ
的可能取值为有限个
（或可列个）数对
),(
ji
yx
时，其对应的概率,
},{
jiij
yxPp === ηξ
，
",2,1,=ji
满足规范性条件
1
1,
=
∑
+∞
=ji
ij
p
，则称
),( ηξ
为二维离散型随机变量。
二维离散随机变量的联合分布表,
Y
X
y
1
y
2
"
y
n
"
x
1
p
11
p
12
"
p
n1
"
x
2
p
21
p
22
" p
n2
"
#
#
#
#
x p p " p "
m
#
m1
#
m2
#
mn
#
}{
ij
p
成为某随机变量
),( ηξ
分布列的充要条件仍为：
(1)非负性：
0≥
ij
p；非负性：；
(2)规范性：
1=
∑
+∞
ij
p
。()规范性：
1,=ji
。
例2.已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。从这批产品中任取4件产品，求其中一等品、
二等品件数的二维概率分布,并求一等品不超过2个，二等品至少3个的概率。
解：设
X
及
Y
分别是取出的4件产品中一等品及二等解：设及分别是取出的件产品中等品及二等品的件数，则我们有
C C C
ij ij4
PX iY j
C
(,)= = =
35 2
10
4
，
i j i j= = =0 1 2 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2; ;,,,,,,,,,
即
ij== +0123 01234 234,,,;,,,,;,,
因此得二维分布如下：因此，得二维分布如下：
一等品二等品三等品
Y
X
012 3 4
000
10
210
20
210
5
210
1 0
15 60 30
210 210 210
0
2
3
210
30
210
30
210
00
3
2
210
5
210
00 0
一等品不超过2个，二等品至少3个的概率为：
PX Y(,)0234≤≤ ≤≤
P X Y P X Y P X Y( ) ( ) ( )0 3 0 4 1 3= = = + = = + = =
+==+==+==PX Y PX Y PX Y
,,,
(,)(,)(,)14 23 24
=+++++
20
210
5
210
30
210
000=
55
210
二维离散随机变量的分布函数
∑ ∑
≤≤
=
xxyy
ij
ij
pyxFa ),(.
bxx
ii
.,
+1
是
X
的任意两个相邻的可能值，
yy
jj
,
+1
是
Y
的任意两个相邻的可能值，则在矩形域是的任意两个相邻的可能值，则在矩形域
(
xx yy
ii j j
,;,
++11)内，
Fxy(,)
的值保持不变。
cFxy.(,)
的值总是跳跃式地增加，且
Fxy(,)
右连续因此
F x y( )
的图形是由若干矩形平面块组续，，
,
成的台阶形“曲面”。
例如分布函数的图形为,
例3.二维随机变量
(,)X Y
的联合分布律为,
Y
0 1
p
i?
X
0 0.3 0.2 0.5
1 0.2 0.3 0.5
p
j?
0.5 0.5 1
10,10
00
,3.0
,0
)(
<≤<≤
<<
yx
yorx
F
11
10,11,10
1
,5.0
,
≥≥
<≤≥≥<≤
=
yx
yxoryx
yx
,,
0.5
1
y
0 0.3 0.5
1
x0
1
二维连续随机变量的分布函数
F x y( )
是连续函数
a.
,
。
b,
zFxy= (,)
是介于
z = 0
与
z =1
之间随
x
或单调上升的连续曲面
y
单调上升的连续曲面。
例
F x y
ee xy
xy
( )
()(),,
=
>>
11 00
例
,
,
0其它
二维连续随机变量的联合密度函数
设二维随机变量
),( ηξ
的分布函数为
),( yxF
，如果存在一个定义在
RR×
上的二元非负可积函数存在一个定义在上的二元非负可积函数
),( yxp
，使得对
RRyx ×∈? ),(
，有
∫ ∫
∞? ∞?
=
xy
dudvvupyxF ),(),(
则称
),( ηξ
为二维连续型随机变量，同时称
),( yxp
为
),( ηξ
的联合概率密度函数。
在
),( yxp
的连续点有
),(
),(
2
yxp
yx
yxF
=
)( yxp
为密度函数的充要条件为
,
为密度函数的充要条件为：
(1)非负性：
0),( ≥yxp；非负性：；
(2)规范性
1)( =
∫ ∫
+∞ +∞
dxdyyxp
规范性：
,
∞?∞?
★几何上，此概率即为分布曲面之下，以区域
G
为底的曲顶柱体的体积。
★
),( ηξ
落在平面区域
G
内的概率为：★落在平面区域内的概率为：
∫∫
=∈
G
dxdyyxpGP ),(}),{( ηξ
,
设
<<<<
=
others
yx
yxfYX
0
10,101
),(~),(
求:P{X>Y}
1
y
2
1
1}{
1
=?=>
∫∫
x
dydxYXP
00
1x
例4,设
),( ηξ
具有概率密度
≥≥
=
其他0
0,0,
),(
32
yxce
yxp
yx
,
试求：(1)常数
c；（2）分布函数
),( yxF；试求：常数；（）分布函数；
（3）
)( ηξ >p
。
解：（1）利用密度规范性得
1
0
3
0
2
0 0
32
==
∫∫∫ ∫
∞+
∞+
∞+∞+
dyedxecdxdyce
yxyx
故
6=c
。
（2）
∫∫
∞?∞?
=
xy
dudvvupyxF ),(),(
其他
＋
－（
＝
∞<≤+∞<≤
yx
ee
yx
0,0
,
0
)1)(1
32
其他
∫∫
（3）
)( ηξ >P
∈
=
Gyx
dudvvup
),(
),(
,
化成累次积分,
y
∫∫
∞+
=>
x
yx
dyeedxP
0
32
0
6)( ηξ
G
∫
∞+
=
0
32
)1(2 dxee
xx
5
3
=
。
Ox
二维均匀分布*
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为
∈
=
其它
，
的面积
0
),(
1
),(
2
RDyx
D
yxf
则称(X,Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。
,
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布
G
S
，对D内任意区域G，有
D
S
GYXP =∈ }},{(
例5.设
(,)X Y
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布求二维概率密度上服从均匀分布，求二维概率密度。
解：
( )
,cxy r+ ≤
222
,
,
xy
xyr
=
+>
222
0
( )dd
+∞+∞
∫∫
1
由
,x y dxdy =
∞?∞
，
cdxdy 1
∫∫
= c dxdy? =
∫∫
1
xyr
222
+≤
，
xyr+≤
222
，
dxdy r
2
∫∫
π
1
xyr
222
+≤
=
，
∴ =c
r
2
π
π
(,)
,
xy
r
xyr
=
+≤
1
2
222
2 2 2
,xy r+ >
0
例6.设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布,
1=
D
S
域,
(1)求(X,Y)的概率密度；
(2)求 P{Y<2X} ；求 ；
(3)求F(0.5,0.5)
解:
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(1
),()1(
}2{ XYG <
4
1
1
2
1
2
1
=××=
G
S
=
1
1
4
1
4
}2{)2( ==< XYP
4
1
2
1
1
2
1
3
=××=S
}5.0,5.0{ ≤≤= YXH
1
4
)5.0,5.0()3( =F
H
几种均匀分布的概率密度度1.长度为b-a区间[a,b]上
∈ ),(,
1
)(
bax
b
x?
2面积为s的平面区域S上
=
),(,0 bax
a
.上
∈
=
Syx
s
yx
),(,
1
),(?
3体积为v的空间区域V上
Syx ),(,0
.上
∈Vzyx ),,(,
1
)(
=
Vzyx
v
zyx
),,(,0
,,?
P{c<X<d}
两个参数的意义第三章随机向量及其函数的概率分布一、随机向量一、、、
及其联合分布复习随机向量的定义,
设
ni
i
,,2,1)}({ "=ωξ
是定义在同一个概率空间
)( PFΩ
上的个随机变量则称
,,
上的
n
个随机变量，则称
))(,),(),(()(
21
ωξωξωξωξ
n
"=
为
n
维随机向量或
n
维随机变量。
分布函数的定义分布函数的定义对任意实数
xxx
21
"
称函数对任意实数
n
,,,
，称函数
(F
},,,{),,,
221121 nnn
xxxPxxx ≤≤≤= ξξξ " "
为随机向量
ξ
的（联合）分布函数。
二维随机变量
( )X Y
的分布函数二维随机变量
,
的分布函数：
()( )FPXY≤≤
00 0 0
(,)(,F xy PX x y=≤≤
00
,yx
几何意义：分布函数F( )
表示随机点(X Y)落在区域
(){}
00
,,,yyxxyx ≤<?∞≤<?∞
,
中的概率。如图阴影部分：
二维分布函数
F x y(,)
的性质：维分布函数的性质：
(1)
Fxy(,)
是
x
或
y
的单调非减
.
(2)
01≤≤Fxy(,)
，且
1),(lim),( ==+∞+∞
+∞→
+∞→
yxFF
y
x
Fy Fxy
x
(,)lim(,)?∞ = =
→?∞
0
，
F x F x y(,) lim (,)?∞ = =0
y→?∞
，
FF
x
(,)lim(,)?∞?∞ = =
→?∞
0
y→?∞
(3)
F x y(,)
是
x
或
y
的右连续函数,
)( bYbXP ≤≤
),(),(),(),(
,
21212121
2211
aaFabFbaFbbF
aa
+=
<<
y
b
2
a
2
x
0
a
1
b
1
3
y
y
已知随机变量(X,Y)
y
2
的分布函数F (x,y),
求(X,Y)落在如图区
1
求(,)在图域G内的概率.
答
1
x
2
x
3
x
答:
)]()()()([}){( FFGYXP
=++
+=∈
)],(),(),(),([
,,,,,
22313221
13323312
yxyxyxFyxF
yxyxyxyx
例 1.已知二维随机变量 (X,Y)的分布函数为例
)]()][([),(
y
arctgC
x
arctgBAyxF ++=
32
1)求常数A，B，C。2)求P{0<X<2,0<Y<3}{,}
解,1]
2
][
2
[),( =++=∞∞
ππ
CBAF
0)]
3
(][
2
[),( =+?=?∞
y
arctgCBAyF
π
0]
2
)][
2
([),( =?+=?∞
π
C
x
arctgBAxF
1π
2
2 π
===? ACB
1
)02()30()32()00(}3020{ +≤<≤< FFFFYXP
16
,,,,,==
离散型随机变量的联合分布列若二维随机变量
),( ηξ
的可能取值为有限个
（或可列个）数对
),(
ji
yx
时，其对应的概率,
},{
jiij
yxPp === ηξ
，
",2,1,=ji
满足规范性条件
1
1,
=
∑
+∞
=ji
ij
p
，则称
),( ηξ
为二维离散型随机变量。
二维离散随机变量的联合分布表,
Y
X
y
1
y
2
"
y
n
"
x
1
p
11
p
12
"
p
n1
"
x
2
p
21
p
22
" p
n2
"
#
#
#
#
x p p " p "
m
#
m1
#
m2
#
mn
#
}{
ij
p
成为某随机变量
),( ηξ
分布列的充要条件仍为：
(1)非负性：
0≥
ij
p；非负性：；
(2)规范性：
1=
∑
+∞
ij
p
。()规范性：
1,=ji
。
例2.已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品。从这批产品中任取4件产品，求其中一等品、
二等品件数的二维概率分布,并求一等品不超过2个，二等品至少3个的概率。
解：设
X
及
Y
分别是取出的4件产品中一等品及二等解：设及分别是取出的件产品中等品及二等品的件数，则我们有
C C C
ij ij4
PX iY j
C
(,)= = =
35 2
10
4
，
i j i j= = =0 1 2 3 0 1 2 3 4 4 0 1 2; ;,,,,,,,,,
即
ij== +0123 01234 234,,,;,,,,;,,
因此得二维分布如下：因此，得二维分布如下：
一等品二等品三等品
Y
X
012 3 4
000
10
210
20
210
5
210
1 0
15 60 30
210 210 210
0
2
3
210
30
210
30
210
00
3
2
210
5
210
00 0
一等品不超过2个，二等品至少3个的概率为：
PX Y(,)0234≤≤ ≤≤
P X Y P X Y P X Y( ) ( ) ( )0 3 0 4 1 3= = = + = = + = =
+==+==+==PX Y PX Y PX Y
,,,
(,)(,)(,)14 23 24
=+++++
20
210
5
210
30
210
000=
55
210
二维离散随机变量的分布函数
∑ ∑
≤≤
=
xxyy
ij
ij
pyxFa ),(.
bxx
ii
.,
+1
是
X
的任意两个相邻的可能值，
yy
jj
,
+1
是
Y
的任意两个相邻的可能值，则在矩形域是的任意两个相邻的可能值，则在矩形域
(
xx yy
ii j j
,;,
++11)内，
Fxy(,)
的值保持不变。
cFxy.(,)
的值总是跳跃式地增加，且
Fxy(,)
右连续因此
F x y( )
的图形是由若干矩形平面块组续，，
,
成的台阶形“曲面”。
例如分布函数的图形为,
例3.二维随机变量
(,)X Y
的联合分布律为,
Y
0 1
p
i?
X
0 0.3 0.2 0.5
1 0.2 0.3 0.5
p
j?
0.5 0.5 1
10,10
00
,3.0
,0
)(
<≤<≤
<<
yx
yorx
F
11
10,11,10
1
,5.0
,
≥≥
<≤≥≥<≤
=
yx
yxoryx
yx
,,
0.5
1
y
0 0.3 0.5
1
x0
1
二维连续随机变量的分布函数
F x y( )
是连续函数
a.
,
。
b,
zFxy= (,)
是介于
z = 0
与
z =1
之间随
x
或单调上升的连续曲面
y
单调上升的连续曲面。
例
F x y
ee xy
xy
( )
()(),,
=
>>
11 00
例
,
,
0其它
二维连续随机变量的联合密度函数
设二维随机变量
),( ηξ
的分布函数为
),( yxF
，如果存在一个定义在
RR×
上的二元非负可积函数存在一个定义在上的二元非负可积函数
),( yxp
，使得对
RRyx ×∈? ),(
，有
∫ ∫
∞? ∞?
=
xy
dudvvupyxF ),(),(
则称
),( ηξ
为二维连续型随机变量，同时称
),( yxp
为
),( ηξ
的联合概率密度函数。
在
),( yxp
的连续点有
),(
),(
2
yxp
yx
yxF
=
)( yxp
为密度函数的充要条件为
,
为密度函数的充要条件为：
(1)非负性：
0),( ≥yxp；非负性：；
(2)规范性
1)( =
∫ ∫
+∞ +∞
dxdyyxp
规范性：
,
∞?∞?
★几何上，此概率即为分布曲面之下，以区域
G
为底的曲顶柱体的体积。
★
),( ηξ
落在平面区域
G
内的概率为：★落在平面区域内的概率为：
∫∫
=∈
G
dxdyyxpGP ),(}),{( ηξ
,
设
<<<<
=
others
yx
yxfYX
0
10,101
),(~),(
求:P{X>Y}
1
y
2
1
1}{
1
=?=>
∫∫
x
dydxYXP
00
1x
例4,设
),( ηξ
具有概率密度
≥≥
=
其他0
0,0,
),(
32
yxce
yxp
yx
,
试求：(1)常数
c；（2）分布函数
),( yxF；试求：常数；（）分布函数；
（3）
)( ηξ >p
。
解：（1）利用密度规范性得
1
0
3
0
2
0 0
32
==
∫∫∫ ∫
∞+
∞+
∞+∞+
dyedxecdxdyce
yxyx
故
6=c
。
（2）
∫∫
∞?∞?
=
xy
dudvvupyxF ),(),(
其他
＋
－（
＝
∞<≤+∞<≤
yx
ee
yx
0,0
,
0
)1)(1
32
其他
∫∫
（3）
)( ηξ >P
∈
=
Gyx
dudvvup
),(
),(
,
化成累次积分,
y
∫∫
∞+
=>
x
yx
dyeedxP
0
32
0
6)( ηξ
G
∫
∞+
=
0
32
)1(2 dxee
xx
5
3
=
。
Ox
二维均匀分布*
若二维随机变量(X,Y)的密度函数为
∈
=
其它
，
的面积
0
),(
1
),(
2
RDyx
D
yxf
则称(X,Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。
,
易见，若（X，Y）在区域D上(内) 服从均匀分布
G
S
，对D内任意区域G，有
D
S
GYXP =∈ }},{(
例5.设
(,)X Y
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布求二维概率密度上服从均匀分布，求二维概率密度。
解：
( )
,cxy r+ ≤
222
,
,
xy
xyr
=
+>
222
0
( )dd
+∞+∞
∫∫
1
由
,x y dxdy =
∞?∞
，
cdxdy 1
∫∫
= c dxdy? =
∫∫
1
xyr
222
+≤
，
xyr+≤
222
，
dxdy r
2
∫∫
π
1
xyr
222
+≤
=
，
∴ =c
r
2
π
π
(,)
,
xy
r
xyr
=
+≤
1
2
222
2 2 2
,xy r+ >
0
例6.设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布,
1=
D
S
域,
(1)求(X,Y)的概率密度；
(2)求 P{Y<2X} ；求 ；
(3)求F(0.5,0.5)
解:
∈
=
others
Dyx
yxf
0
),(1
),()1(
}2{ XYG <
4
1
1
2
1
2
1
=××=
G
S
=
1
1
4
1
4
}2{)2( ==< XYP
4
1
2
1
1
2
1
3
=××=S
}5.0,5.0{ ≤≤= YXH
1
4
)5.0,5.0()3( =F
H
几种均匀分布的概率密度度1.长度为b-a区间[a,b]上
∈ ),(,
1
)(
bax
b
x?
2面积为s的平面区域S上
=
),(,0 bax
a
.上
∈
=
Syx
s
yx
),(,
1
),(?
3体积为v的空间区域V上
Syx ),(,0
.上
∈Vzyx ),,(,
1
)(
=
Vzyx
v
zyx
),,(,0
,,?
