乘法公式 样本空间划分全概率公式事件的独立性
Bayes公式第二章随机变量及其分布
?抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计
?随机变量及其概率分布
?随机变量的数学期望随机变量的方差 ?随机变量的方差
?常用随机变量的分布常用随机变量的分布
?应用案例一抽样数据的描述统计一一、一、
建立频率分布表 作频率直方图，
具体步骤,
确定分组数k；
确定组距d；
确定组限 即各小区间的上 下限,,；
计 算样本落 入各小区间的频数、频 率 ；率得频率分布表，作出频率直方图。
上述过程可通过Excel软件来实现
Excel软件的使用加载,分析工具库,,：
工具 / 加载宏 / 分析工具库频率计算与直方图显示：
具 数据分析 直方图工 具 / /
计算样本 统 计 量：计工具 / 数据分析 / 描述统计样本数据的中心描述
∑
n
1
样本均值：
=
=
i
i
x
n
x
1
样本中位数
Me
,将原始数据按大小排序,记为,：,,
.
)()2()1( n
xxx L≤≤
处于中间位置的数称为中位数。
=
+
为偶数为奇数nx
Me
n
][
1
,
)
2
1
(
+
+
为偶数 。nxx
nn
,
2
)1
2
()
2
(
众数
Mod
,它是一组数据中出现机会最大的数。
样本数据的离散程度描述样本方差
2
1?n
S
,
∑∑
==
=?
==
n
i
i
n
i
inn
xnx
n
xx
n
S
1
2
2
1
22
1
2
1
][
1
1
)(
1
1
σ
,
标准偏差
标准偏差
1?n
σ
：
∑
=
n
i
xx
2
1
)(
1
σ
=
i
n
n
1
1
注：有的书上用
∑
=
==
n
i
inn
xx
n
S
1
222
)(
1
σ
,
∑
=
=
n
i
in
xx
n
1
2
)(
1
σ
,
极差
R
,)1()(minmax
xxxxR
n
=?=；
二、随机变量及其概率分布随机变量的定义,
在
),,( PFΩ
概率空间框架下，如果对一切
Rx∈
，有事件
F∈≤= })({ xA ωξ
，则实值函数
)(ωξξ =
（
Ω∈ω
） 称 为 随 机 度 量,有 时数 （ ） 称 为 随 机 度 量,有 时为强调
ξ
与
F
的关系，
ξ
又称为
F
可测的随机 变 量 （ 简 记 为
vr
） 记 为
F∈ξ
机 变 量 （ 简 记 为
..
）,记 为 。
随机变量与普通函数的区别
1
） 随机变量随着试验结果而取不同的值，在试验前只知道它可能取值的范围，而不能预知它取
2) 随机变量取各个值有一定的概率。
什么值。
3)
普通函数定义在实数轴上（一元），而随机变量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不一定是实数。
分布函数的定义,
设
ξ
是定义在
),,( PFΩ
上的随机度量，对于任 意 的 实 数
Rx∈
任 意 的 实 数,
}{})(|{)( xPxPxF ≤=≤= ξωξω
ξ
,
称为
ξ
的分布函数，记为
)(xF
。
注意,
任意一个随机变量都存在唯一的分布函数,而同样 的 分 布 函 数,又 是 可 以样 的 分 布 函 数,又 是 可 以对应不同的随机变量,
例 1,掷一枚硬币,把出现正面与反面分别记为 ＋ 1 与
－ 1，这样可以把掷硬币的结果用随机变量
ξ
来表示，显然对均匀硬币
2
1
)1( =+=ξP
,
（ 1）试求
ξ
的分布函数
)(
1
xF； (2) 若令
ξη?=
，
再 求
η
的 分 布 函 数
)(xF +1
再 求 的 分 布 函 数
2
。
解,
--11
∈
∞∈
= )1,1[,
1
)1,(,0
)(
1
x
x
xF
∞++∈ ),1[,1
2
x
注 意 到
2
1
)1()1( =±=== ξη PP m
注 意 到
)()()(
12
xFxFxF ==∴
η 。
（ 1） 非 降 性,
)(xF
是 单 调 非 降 函 数 即 对 任 意 的性质
（ ） 非 降 性,是 单 调 非 降 函 数,即 对 任 意 的
21
xx <
，有
)()(
21
xFxF ≤；
(2) 0－ 1 性：对任意
Rx∈
,有
1)(0 ≤≤ xF
，且
)(F
)(li F
)(F
)(li F
∞
=
m x
x ∞←
=0，
+∞
m x
x ∞→
=
=1；
(3) 右连左极性：
)(xF
是
x
的右连左极函数，
即对任意的
Rx ∈
0
,有
)()(lim
0
0
xFxF
xx
=
+
→
，即
)()0(
00
xFxF =+
)()()(lim
00
0
xFxFxF
xx
≤?=
→
。
利用分布函数计算概率,
对任意的实数
ba<
，必有
)()()( aFbFbaP?=≤<ξ
).(1)()()( bFbFFbP?=?+∞=>ξ
1
)(lim)(?≤=<
∞→
n
aPaP
n
ξξ
)0()
1
(lim?=?=
∞→
aF
n
aF
n
)()()( <?≤== aPaPaP ξξξ
)0()(= aFaF
)0()0()( FbFbP ξ=<≤ aa
?随机变量的优点：
可以用数学分析（微积分）的方法来研究随机试验。
?随机变量的分类：
（按随机变量可能取值范围）
1
） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）
2)
连续型随机变量（某一区间内）
三、三、离散型随机变量及其分布列
1,
离散型随机变量
X
的概率分布
定义,设
R
上的函数
)(xF
满足分布函数三个充要条件 而且是阶梯型函数 则对应的随机变量称为条件,而且是阶梯型函数,则对应的随机变量称为离散型随机变量。
复习图形特点：右连续，台阶形
Fx()
1
i
p
k
k=
∑
1
pp
12
+
p
1
x
1
0
x
2
x
3
x
i
x
i+1
x
n
x
另一个定义,
随机变量
X
对应于每一取值的概率为,
PX x p k
kk
(),,== =12,L
称为离散型随机变量
X
的概率分布或分布律分布律的表格形式,
X
x
1
x
2
…
x
n
…
p p p p
k
1 2
…
n
…
性 质,性 质,
c非负性：
pk
k
≥ =012,,,L
,
∑
1
d规范性：
p
k
k
=
,
★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它 的分布函数 分布函数 。
∑
==≤=
i
xXPxXPxF }{}{)(
≤xx
i
nipxXP
ii
,,2,1,}{ L===
例如,
,
,0
1
p
xxx
xx
<≤
<
21
1
++
+
=
,
)(
321
21
ppp
pp
xF
xxx
xxx
<≤
<≤
32
,
M
M
43
=+++,1
21 n
ppp L
n
xx ≥
例 1.随机变量
X
的分布律为
X
1 2 3-
p
k
0.25 0.5 0.25
1 3 5
求
X
的分布函数，并求
PX{},≤
2
PX{},
2 2
<≤
P X{ }2 3≤ ≤
。
解：
X
的分布函数为
0
1
F x( )
,
.,
=
025
21 <≤?
<
x
x
.,
,
075
1 3
32
≥
<≤
x
x
PX PX{}{ }.,≤= =?=
1
2
1025
3 5
PX PX{}{}.,
2 2
205<≤= ==
P X PX PX{}{}{}23 2 3
0 5 0 25 0 75
≤ ≤ = = + =
+..,= =
解二：利用
Fx()
求。
25.0)
2
1
(}
2
1
{ ==≤ FXP
,
3553
5.025.075.0)
2
()
2
(}
22
{ =?=?=≤< FFXP
}2{}32{}32{ +≤<≤≤ XPXPXP ==
75.05.075.0125.0)2()3( =+?=+?= FF
例 2,
ξ
是一个离散型随机变量，其分布列如下表 所 示表 所 示
ξ
－ 10 11 0
P
05 1－
q2
2
q
0.5
试求（ 1）常数
q；（ 2）
ξ
的分布函数。
解：
=++ 121
1
2
qq
≤?≤
1210
2
q
≤1
2
q
解 得
2
1?=q
于 是 有 分 布 函 数解 得
2
,于 是 有 分 布 函 数
10 ）（
∈
∞?∈
)0,1[,5.0
,
)(
x
x
F
），（
∈?
=
)1[1
)1,0[,5.02 x
x
∞+∈,,x
例 3.袋中有 2 个白球,3 个黑球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，求取球次数的概率分 布 (分分 布 。 分放回和不放回两种情形讨论,）
解,(1)放 回解 放 回设
X
为取到白球时的取球次数，
则
X =12,,L
则
2
,
5
2
)1( ==XP
,
5
3
5
2
)2(?==XP
几何级数
L,
5
3
5
2
)3(
==XP
1
这种分布称为几何分布
L,
5
3
5
2
)(
==
m
mXP
，
m=12,,L
。
显 然
P X m
m
( )
∞∞
∑ ∑
= =
= =
1
23 25
1
显 然,
mm==
11
55 1 35
(2) 不放回设 为取到白球时的取球次数
4321Y
则
P Y( ),,===1
2
5
04
设
Y
，
,,,=
,则
PY( ),,= =? =2
3
5
2
4
03
PY(),,===3
3
5
2
4
2
3
02
PY(),,===4
3
5
2
4
1
3
2
2
01
Y
1 2 3 4
P
0.4 0.3 0.2 0.1
显然，
PY m
m
()....
=
∑
==+++=
1
4
04 03 02 01 1
Bayes公式第二章随机变量及其分布
?抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计抽样数据的描述统计
?随机变量及其概率分布
?随机变量的数学期望随机变量的方差 ?随机变量的方差
?常用随机变量的分布常用随机变量的分布
?应用案例一抽样数据的描述统计一一、一、
建立频率分布表 作频率直方图，
具体步骤,
确定分组数k；
确定组距d；
确定组限 即各小区间的上 下限,,；
计 算样本落 入各小区间的频数、频 率 ；率得频率分布表，作出频率直方图。
上述过程可通过Excel软件来实现
Excel软件的使用加载,分析工具库,,：
工具 / 加载宏 / 分析工具库频率计算与直方图显示：
具 数据分析 直方图工 具 / /
计算样本 统 计 量：计工具 / 数据分析 / 描述统计样本数据的中心描述
∑
n
1
样本均值：
=
=
i
i
x
n
x
1
样本中位数
Me
,将原始数据按大小排序,记为,：,,
.
)()2()1( n
xxx L≤≤
处于中间位置的数称为中位数。
=
+
为偶数为奇数nx
Me
n
][
1
,
)
2
1
(
+
+
为偶数 。nxx
nn
,
2
)1
2
()
2
(
众数
Mod
,它是一组数据中出现机会最大的数。
样本数据的离散程度描述样本方差
2
1?n
S
,
∑∑
==
=?
==
n
i
i
n
i
inn
xnx
n
xx
n
S
1
2
2
1
22
1
2
1
][
1
1
)(
1
1
σ
,
标准偏差
标准偏差
1?n
σ
：
∑
=
n
i
xx
2
1
)(
1
σ
=
i
n
n
1
1
注：有的书上用
∑
=
==
n
i
inn
xx
n
S
1
222
)(
1
σ
,
∑
=
=
n
i
in
xx
n
1
2
)(
1
σ
,
极差
R
,)1()(minmax
xxxxR
n
=?=；
二、随机变量及其概率分布随机变量的定义,
在
),,( PFΩ
概率空间框架下，如果对一切
Rx∈
，有事件
F∈≤= })({ xA ωξ
，则实值函数
)(ωξξ =
（
Ω∈ω
） 称 为 随 机 度 量,有 时数 （ ） 称 为 随 机 度 量,有 时为强调
ξ
与
F
的关系，
ξ
又称为
F
可测的随机 变 量 （ 简 记 为
vr
） 记 为
F∈ξ
机 变 量 （ 简 记 为
..
）,记 为 。
随机变量与普通函数的区别
1
） 随机变量随着试验结果而取不同的值，在试验前只知道它可能取值的范围，而不能预知它取
2) 随机变量取各个值有一定的概率。
什么值。
3)
普通函数定义在实数轴上（一元），而随机变量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不量 是 定 义 在 样 本 空 间 上 的,样 本 空 间 的 元 素 不一定是实数。
分布函数的定义,
设
ξ
是定义在
),,( PFΩ
上的随机度量，对于任 意 的 实 数
Rx∈
任 意 的 实 数,
}{})(|{)( xPxPxF ≤=≤= ξωξω
ξ
,
称为
ξ
的分布函数，记为
)(xF
。
注意,
任意一个随机变量都存在唯一的分布函数,而同样 的 分 布 函 数,又 是 可 以样 的 分 布 函 数,又 是 可 以对应不同的随机变量,
例 1,掷一枚硬币,把出现正面与反面分别记为 ＋ 1 与
－ 1，这样可以把掷硬币的结果用随机变量
ξ
来表示，显然对均匀硬币
2
1
)1( =+=ξP
,
（ 1）试求
ξ
的分布函数
)(
1
xF； (2) 若令
ξη?=
，
再 求
η
的 分 布 函 数
)(xF +1
再 求 的 分 布 函 数
2
。
解,
--11
∈
∞∈
= )1,1[,
1
)1,(,0
)(
1
x
x
xF
∞++∈ ),1[,1
2
x
注 意 到
2
1
)1()1( =±=== ξη PP m
注 意 到
)()()(
12
xFxFxF ==∴
η 。
（ 1） 非 降 性,
)(xF
是 单 调 非 降 函 数 即 对 任 意 的性质
（ ） 非 降 性,是 单 调 非 降 函 数,即 对 任 意 的
21
xx <
，有
)()(
21
xFxF ≤；
(2) 0－ 1 性：对任意
Rx∈
,有
1)(0 ≤≤ xF
，且
)(F
)(li F
)(F
)(li F
∞
=
m x
x ∞←
=0，
+∞
m x
x ∞→
=
=1；
(3) 右连左极性：
)(xF
是
x
的右连左极函数，
即对任意的
Rx ∈
0
,有
)()(lim
0
0
xFxF
xx
=
+
→
，即
)()0(
00
xFxF =+
)()()(lim
00
0
xFxFxF
xx
≤?=
→
。
利用分布函数计算概率,
对任意的实数
ba<
，必有
)()()( aFbFbaP?=≤<ξ
).(1)()()( bFbFFbP?=?+∞=>ξ
1
)(lim)(?≤=<
∞→
n
aPaP
n
ξξ
)0()
1
(lim?=?=
∞→
aF
n
aF
n
)()()( <?≤== aPaPaP ξξξ
)0()(= aFaF
)0()0()( FbFbP ξ=<≤ aa
?随机变量的优点：
可以用数学分析（微积分）的方法来研究随机试验。
?随机变量的分类：
（按随机变量可能取值范围）
1
） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）） 离 散 型 随 机 变 量 （ 有 限 或 可 列 个 值 ）
2)
连续型随机变量（某一区间内）
三、三、离散型随机变量及其分布列
1,
离散型随机变量
X
的概率分布
定义,设
R
上的函数
)(xF
满足分布函数三个充要条件 而且是阶梯型函数 则对应的随机变量称为条件,而且是阶梯型函数,则对应的随机变量称为离散型随机变量。
复习图形特点：右连续，台阶形
Fx()
1
i
p
k
k=
∑
1
pp
12
+
p
1
x
1
0
x
2
x
3
x
i
x
i+1
x
n
x
另一个定义,
随机变量
X
对应于每一取值的概率为,
PX x p k
kk
(),,== =12,L
称为离散型随机变量
X
的概率分布或分布律分布律的表格形式,
X
x
1
x
2
…
x
n
…
p p p p
k
1 2
…
n
…
性 质,性 质,
c非负性：
pk
k
≥ =012,,,L
,
∑
1
d规范性：
p
k
k
=
,
★对离散型随机变量，若已知分布律，就可求出它 的分布函数 分布函数 。
∑
==≤=
i
xXPxXPxF }{}{)(
≤xx
i
nipxXP
ii
,,2,1,}{ L===
例如,
,
,0
1
p
xxx
xx
<≤
<
21
1
++
+
=
,
)(
321
21
ppp
pp
xF
xxx
xxx
<≤
<≤
32
,
M
M
43
=+++,1
21 n
ppp L
n
xx ≥
例 1.随机变量
X
的分布律为
X
1 2 3-
p
k
0.25 0.5 0.25
1 3 5
求
X
的分布函数，并求
PX{},≤
2
PX{},
2 2
<≤
P X{ }2 3≤ ≤
。
解：
X
的分布函数为
0
1
F x( )
,
.,
=
025
21 <≤?
<
x
x
.,
,
075
1 3
32
≥
<≤
x
x
PX PX{}{ }.,≤= =?=
1
2
1025
3 5
PX PX{}{}.,
2 2
205<≤= ==
P X PX PX{}{}{}23 2 3
0 5 0 25 0 75
≤ ≤ = = + =
+..,= =
解二：利用
Fx()
求。
25.0)
2
1
(}
2
1
{ ==≤ FXP
,
3553
5.025.075.0)
2
()
2
(}
22
{ =?=?=≤< FFXP
}2{}32{}32{ +≤<≤≤ XPXPXP ==
75.05.075.0125.0)2()3( =+?=+?= FF
例 2,
ξ
是一个离散型随机变量，其分布列如下表 所 示表 所 示
ξ
－ 10 11 0
P
05 1－
q2
2
q
0.5
试求（ 1）常数
q；（ 2）
ξ
的分布函数。
解：
=++ 121
1
2
≤?≤
1210
2
q
≤1
2
q
解 得
2
1?=q
于 是 有 分 布 函 数解 得
2
,于 是 有 分 布 函 数
10 ）（
∈
∞?∈
)0,1[,5.0
,
)(
x
x
F
），（
∈?
=
)1[1
)1,0[,5.02 x
x
∞+∈,,x
例 3.袋中有 2 个白球,3 个黑球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，求取球次数的概率分 布 (分分 布 。 分放回和不放回两种情形讨论,）
解,(1)放 回解 放 回设
X
为取到白球时的取球次数，
则
X =12,,L
则
2
,
5
2
)1( ==XP
,
5
3
5
2
)2(?==XP
几何级数
L,
5
3
5
2
)3(
==XP
1
这种分布称为几何分布
L,
5
3
5
2
)(
==
m
mXP
，
m=12,,L
。
显 然
P X m
m
( )
∞∞
∑ ∑
= =
= =
1
23 25
1
显 然,
mm==
11
55 1 35
(2) 不放回设 为取到白球时的取球次数
4321Y
则
P Y( ),,===1
2
5
04
设
Y
，
,,,=
,则
PY( ),,= =? =2
3
5
2
4
03
PY(),,===3
3
5
2
4
2
3
02
PY(),,===4
3
5
2
4
1
3
2
2
01
Y
1 2 3 4
P
0.4 0.3 0.2 0.1
显然，
PY m
m
()....
=
∑
==+++=
1
4
04 03 02 01 1
