多维随机变量边际分布条件分布独立性
F(x,y)=
F(x)F(y)
三、二维随机变量的数字特征
1,二维随机变量的数学期望和条件数学期望二维随机变量
),( ηξ
离散时,用联合分布列
ijji
pyxP === ),( ηξ
表示；
连续时，用联合密度函数
),( yxp
表示。
设随机变量函数
),( ηξζ f=
，其数学期望定义为：
1.离散：
∑∑
=
ij
ijji
pyxfE ),(ζ
2.连续：
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxpyxfE ),(),(ζ
要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件,
∑∑
=
ij
iji
pxEξ
∑∑
=
j
ij
i
i
px
∑∑
=
ij
ijj
pyEη
∑∑
=
i
ij
j
j
py
∑
=
i
i
i
px
j
j
j
py
∑
=
dxd
1）离散型随机变量的数学期望
yyxpxE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=ξ dyyxpxdx ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
dxxxp )(
ξ
∫
+∞
∞?
=
2）连续型随机变量的数学期望
dxdyyxpyE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=η dxyxpydy ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
dyyyp )(
η
∫
+∞
∞?
=
性质 1.
ηξηξ bEaEbaE +=+ )(
，这里
ba，
是常数,
证明,1）离散
∑∑
+=+
ij
ijji
pbyaxbaE )()( ηξ
+=
∑∑
ij
iji
pxa
∑∑
ij
ijj
pyb
ηξ bEaE +=
2） 连续
dxdyyxpbyaxbaE ),()()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+=+ ηξ
dxdyyxxpa ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxypb ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+
ηξ bEaE +=
推论
1.
∑∑
==
=
n
i
ii
n
i
ii
EaaE
11
)( ξξ
数学期望的性质性质 2.设
ηξ，
相互独立，则
ηξξη EEE =
,
证明,1）离散
∑∑
=
ij
ijji
pyxEξη
jj
ij
ii
pypx
=
∑∑
))((
∑ ∑
=
ij
jjii
pypx
ηξ EE?=
2） 连续
dxdyyxxypE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=ξη
dxdyypxxyp )()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
ηξ
dyyypdxxxp )()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
ηξ
ηξ EE?=
例 1,在单位长的线段上任取两个点 M 和
N
，求线段
MN
长度的数学期望,
解：设 M 和
N
的坐标分别为
ξ
和
η
,
∫∫∫∫
∫∫
+?=
=?
1
0
11
00
1
0
1
0
])([])([
1
x
x
dxdyxydxdyyx
dxdyyxE ηξ
则
ηξ,
都服从
]1,0[U
,且相互独立,故联合密度为
≤≤≤≤
=
其他
10,10
,
0
1
),(
yx
yxp
ξη
∫
==
1
0
2
3
1
2
2 dx
x
,
例 2,一辆民航大巴载有 20 位旅客自机场开出,旅途有 10
个车 站可 以下 车,如果 到车站时没有旅客下车，大巴就不停车,设 各位 旅客 下车 是独立的，且在每站下车都是等可能的，求大巴停车次数
ξ
的期望,
解,设
站没有旅客下 车 第站有旅客下 车 第
,
0
1
i
i
i
=ξ
,
则
PP
i
== )0(ξ
{20 位旅客在第
i
站都不下车 },
每一位旅客在第 i站下车概率为
10
1
,
不下车概率为
10
9
10
1
1 =? 。
由独立性
20
)
10
9
()0( ==
i
P ξ
，
20
)
10
9
(1)1(?==
i
P ξ
,
20
10
9
1)1(1)0(0
==×+=×=
iii
PPE ξξξ
,
大巴停车次数
101
ξξξ ++= "
,
故
101
ξξξ EEE ++= "
])
20
9
(1[10
20
=
。
例 3,设
ηξ,
相互独立，都服从
）,10(N
，求
22
1
ηξζ +=
，
ηξζ?=
2
的数学期望,
解：
),( ηξ
的联合密度为,
2
22
2
1
),(
yx
eyxp
+
=
π
ξη
dxdyyxpyxEE ),
2222
1
（
ξη
ηξζ
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+=+=
。
作极坐标变换
∫∫
∞+?∞+?
∞+
=+?=
0
2
0
2
0
2
222
2
1
2| dredrere
rrr
π
π
∫∫∫
∞+?∞+?
=?=
0
2
0
2
2
2
0
1
22
2
1
2
1
rr
rdedrerdE
π
θζ
π
利用密度规范性,
2
2
1
2
2
1
2
π
π
π
ζ ==
∞+
∞?
∫
dreE
r
对于
2
ζ
可类似有,
dxdyyxpyxEE ),(
2 ξη
ηξζ
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
=?=
利用对称性
dxdyeyxE
yx
x
]
2
1
)([2
2
2
22
+
∞+
∞?∞?
∫∫
=
π
ζ
dxdyeyxe
y
x
x
])([
1
22
22
∞+
∞?∞?
∫∫
=
π
∫∫∫∫
∞+
∞?∞?
∞+
∞?∞?
=
x
yx
x
yx
dxdyyeedxdyexe ][
1
][
1
2222
2222
ππ
计算：
)(][
1
][
1
2222
2222
x
x
y
x
yx
eddyedxdyexe
∞+
∞?∞?
∞?
∞+
∞?
=
∫∫∫∫
ππ
=
}|][{
1
2222
2222
dxeedyee
xx
x
yx
∞+
∞?
∞+
∞?
∞?
∞+
∞?
+?
∫∫∫
π
∫
∞+
∞?
= dxe
x
2
1
π
π
1
=
dxededxdyyee
y
x
x
y
x
x
)]([
1
][
1
2
2
2
2
2
2
2
2
∞?
∞+
∞?
∞?
∞+
∞?
∫∫∫∫
=
ππ
π
ππ
111
2
22
22
===
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
dxedxee
x
xx
,
得到
π
ζ
2
2
=E
定义 以条件分布构成的数学期望（若存在）
称之为条件期望，此时有
连续型离散型
),(
),(
,
)|(
)|(
)|(
|
ηξ
ηξ
ξη
ξη
ξη
==
==
∫
∑
∞+
∞?
dyxyyP
xyPy
xE
j
jj
==
==
∫
∑
∞+
∞?
续型,连离散型，
),()|(
),()|(
)|(
|
ηξ
ηξηξ
ηξ
ηξ
dxyxxP
yxPx
yE
i
ii
条件数学期望概念不仅在实际应用中，同时在深入讨论近代概率论的各种概念时也是非常重要的。
例 4,求二元正态
），，，,ρσσμμ
2
2
2
121
(N
的条件期望。
解,
))(([
)1(2
1
exp{
12
1
)|(
1
1
2
2
22
2
2
2
|
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
ξη
+?
= xyxyp
它实际上是
(N
1
1
2
2
( μ
σ
σ
ρμ?+ x
），
)1(
22
2
ρσ?
）的密度,
)()()|(
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
μ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμξη?+=?+== xxxE
)()()|(
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
μ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμηξ?+=?+== yyyE
故条件期望为类似地
2,二维随机变量的方差设随机向量
),( ηξ
的期望存在，且
()ηηξξ
ηη
ξξ
EE
E
E
各个分量的期望也都存在，则
=
2
2
)())((
))(()(
),(
ηηξξηη
ηηξξξξ
ηηξξ
ηη
ξξ
EEEEE
EEEEE
EE
E
E
E
称为
),( ηξ
的协方差矩阵，其中的
ξξξ DEE =?
2
)(
，
ηηη DEE =?
2
)(
，分别为 边 际 分 布
ξ
，
η
的方差，而
))(( ηηξξ EEE
称为
),( ηξ
的协方差,记 为
),cov( ηξ
二维随机变量
),( ηξ
离散时，用联合分布列
ijji
pyxP === ),( ηξ
表示；
∑∑
=
ij
iji
pExD
2
)( ξξ
∑∑
=
j
ij
i
i
pEx
2
)( ξ
∑∑
=
ij
ijj
pEyD
2
)( ηη
∑∑
=
i
ij
j
j
pEy
2
)( η
22
)()( ξξξ EEpEx
i
i
i
=?=
∑
22
)()( ηηη EEpEy
j
j
j
=?=
∑
连续时，用联合密度函数
),( yxp
表示。
dxdyyxpExD ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ξξ
dyyxpdxEx ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ξ
22
)()()( ξξξ
ξ
EEdxxpEx?=?=
∫
+∞
∞?
dxdyyxpEyD ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ηη
dxyxpdyEy ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= η
22
)()()( ηηη
η
EEdyypEy?=?=
∫
+∞
∞?
协方差的性质性质 1（展开公式）
)()(),cov( ηξξηηξ EEE=
,
性质 2（可交换性 ）
),cov(),cov( ξηηξ =
,
性质 3（线性性质 ）设
ba,
为二个参数,
ζηξ,,
为
随机变量,则
),cov(),cov(),cov( ζηζξζηξ baba +=+
,
性质 4 若
ηξ,
独立，且它们的协方差存在，则协
方差必为 0,
性质 5 设
ξ
与
η
的方差存在，则
),cov(2)( ηξηξηξ ++=+ DDD
,
例 5,设
n
ξξξ,,,
21
"是任意 n个随机变量,证明：
∑∑∑
≤<≤==
+=
nji
ij
n
i
i
n
i
i
KDD
111
2)( ξξ
,
其中
ij
K
表示随机 变 量
i
ξ 与
j
ξ
的协方差,即
)])([(
jjii
EEEK ξξξξ
ξη
= ；并由此证明：如果
n
ξξξ,,,
21
"相互独立，则 有
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( ξξ 。
证明：
)(
1
∑
=
n
i
i
D ξ
2
11
)]()[(
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
EE ξξ
2
11
)]()[(
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
EE ξξ
2
1
)]([
i
n
i
i
EE ξξ?=
∑
=
]))((2)([
1
2
1
∑∑
≤<≤=
+?=
nji
jjiii
n
i
i
EEEE ξξξξξξ
∑∑
≤<≤=
+?=
nji
jjiii
n
i
i
EEEEE
1
2
1
))((2)( ξξξξξξ
∑∑
≤<≤=
+=
nji
ij
n
i
i
KD
11
2ξ
若
n
ξξξ,,,
21
"相互 独立,则所有 的 0=
ij
K,
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( ξξ
即例 6.进行
n
次独立试验,事件
A
在第
i
次试验中发生的概率
p
i
(,,,)0112< < =pi n
i
"
。求事件
A
在
n
次试验中发生次数
X
的数学期望及方差。
解：设
X
i
表示第
i
次试验中
A
发生的次数，
则
X
i
服从两点分布，设分布律为
X
i
01
P
1? p
i
p
i
EX p
ii
=
，
DX p p
ii i
=?()1
设
XX
i
i
n
=
=
∑
1
，由于
XX X
n12
,,, "
相互独立,
则
EX EX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=
=
∑
p
i
i
n
1
,
DX DX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=?
=
∑
pp
ii
i
n
()1
1
,
若事 件
A
在第 各次试 验中 发生的 概率相 同，即
pp pp
n12
==== "
，
则
EX EX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=
=
∑
p
i
i
n
1
= np
，
DX DX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=?
=
∑
pp
ii
i
n
()1
1
=?np p()1
.
这时，
XX
i
i
n
=
=
∑
1
服从二项分布
Bnp(,)
.
注意,尽 管
EX EY DX DY= =,
，但
X
与
Y
不是服从同一个分布。
例 7,设
)3(~ pξ
,
}
18
44
exp{
23
1
)(~
2
+?
=
xx
xp
π
η
η
，且二者相互独立，令
ηξζ 436?+=
，试求
ζD
,
解：首先由
)3(~ pξ
，故
3=ξD；
而
η
的密度
}
18
)2(
exp{
23
1
)(
2
=
x
xp
π
η
从而
9=ηD；
)4(36)436( ηξηξζ?++=?+= DDDDD
171169 =+= ηξ DD
,
例 8,（ 匹 配问题）某人任意地将写好的
n
张信纸随意地装入
n
个信封中,记
ξ
为信纸与信封配对的个数，设法求
ξE
与
ξD
。
解,设
n
ξξξ ++=
1
,其中当第
i
张信纸与信封匹配时
1=
i
ξ
，当第 i张信纸与信封不匹配时
i
ξ
=0,
由于
nn
n
P
i
1
!
)!1(
)1( =
==ξ
,
n
P
i
1
1)0(?==ξ
,
故
n
EEE ξξξ ++=
1
=
)
1
0
1
1(
n
n
n
n
×+××
=1
由于
)1(
1
!
)!2(
)1,1()1(
=
=====
nnn
n
PP
jiji
ξξξξ
,
)1(
1
1)1(1)0(
==?==
nn
PP
jiji
ξξξξ
,
故
)1(
1
)1(1)0(0)(
==×+=×=
nn
PPE
jijiji
ξξξξξξ
,
由此可得
ξD
=
22
1
22
1)()(?=?
∑
=
n
i
i
EEE ξξξ
1)2(
11
2
+=
∑∑
≤<≤=
j
nji
i
n
i
i
E ξξξ
=
1)(2
11
2
+
∑∑
≤<≤=
j
nji
i
n
i
i
EE ξξξ
=
11
2)1(
21
=?
×
+×
n
nn
n
n
例 9,设
),( ηξ
服从三角形区域 G上的均匀分布，
其中 G 是 以（0,1），（1,0 ），（1,1） 为顶点的 xoy平面上的三角形区域（见图）,
试求随机变量
ηξζ +=
的方差。
G
o
1
1
解一,
),( ηξ
的密度函数为
Gyx
Gyx
yxp
∈
=
),(
),(
,
,
0
2
),(
ξη
,
所以
∫∫
+=
+=
G
dxdyyxpyx
EE
),()(
)(
ξη
ηξζ
∫∫
+=
1
1
1
0
)(2
x
dyyxdx
3
4
)
2
(2
1
0
2
2
=+?=
∫
dxx
x
x
6
11
)(2),()()(
1
1
2
1
0
222
=+=+=+=
∫∫∫∫
x
G
dyyxdxdxdyyxpyxEE
ξη
ηξζ
，
从而
18
1
=ζD
解二：计算
),( ηξ
的边缘分布
)1,0(
)1,0(
,
,
0
2
)1,0(
)1,0(
,
,
0
2
),()(
1
1
∈
=
∈
==
∫
∫
∞+
∞?
x
xx
x
x
dy
dyyxpxp x
ξηξ
,
由此可得
3
2
2)(
1
0
1
0
2
===
∫∫
dxxdxxxpE
ξ
ξ
,
2
1
2)(
1
0
1
0
322
===
∫∫
dxxdxxpxE
ξ
ξ
,
18
1
9
4
2
1
)(
22
=?=?= ξξξ EED
。
类似有
18
1
,
3
2
== ηη DE
,
由于
12
5
2
2),(
1
1
1
0
==
==
∫∫
∫∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
x
G
ydyxdx
dxdyxydxdyyxxypE
ξη
ξη
,
从而
),cov( ηξ
=
36
1
9
4
12
5
=?=×? ηξξη EEE
,
这样
18
1
),cov(2)( =++=+= ηξηξηξζ DDDD
F(x,y)=
F(x)F(y)
三、二维随机变量的数字特征
1,二维随机变量的数学期望和条件数学期望二维随机变量
),( ηξ
离散时,用联合分布列
ijji
pyxP === ),( ηξ
表示；
连续时，用联合密度函数
),( yxp
表示。
设随机变量函数
),( ηξζ f=
，其数学期望定义为：
1.离散：
∑∑
=
ij
ijji
pyxfE ),(ζ
2.连续：
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxpyxfE ),(),(ζ
要求满足级数求和或积分绝对收敛的条件,
∑∑
=
ij
iji
pxEξ
∑∑
=
j
ij
i
i
px
∑∑
=
ij
ijj
pyEη
∑∑
=
i
ij
j
j
py
∑
=
i
i
i
px
j
j
j
py
∑
=
dxd
1）离散型随机变量的数学期望
yyxpxE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=ξ dyyxpxdx ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
dxxxp )(
ξ
∫
+∞
∞?
=
2）连续型随机变量的数学期望
dxdyyxpyE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=η dxyxpydy ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
dyyyp )(
η
∫
+∞
∞?
=
性质 1.
ηξηξ bEaEbaE +=+ )(
，这里
ba，
是常数,
证明,1）离散
∑∑
+=+
ij
ijji
pbyaxbaE )()( ηξ
+=
∑∑
ij
iji
pxa
∑∑
ij
ijj
pyb
ηξ bEaE +=
2） 连续
dxdyyxpbyaxbaE ),()()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+=+ ηξ
dxdyyxxpa ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxypb ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+
ηξ bEaE +=
推论
1.
∑∑
==
=
n
i
ii
n
i
ii
EaaE
11
)( ξξ
数学期望的性质性质 2.设
ηξ，
相互独立，则
ηξξη EEE =
,
证明,1）离散
∑∑
=
ij
ijji
pyxEξη
jj
ij
ii
pypx
=
∑∑
))((
∑ ∑
=
ij
jjii
pypx
ηξ EE?=
2） 连续
dxdyyxxypE ),(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=ξη
dxdyypxxyp )()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
ηξ
dyyypdxxxp )()(
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
=
ηξ
ηξ EE?=
例 1,在单位长的线段上任取两个点 M 和
N
，求线段
MN
长度的数学期望,
解：设 M 和
N
的坐标分别为
ξ
和
η
,
∫∫∫∫
∫∫
+?=
=?
1
0
11
00
1
0
1
0
])([])([
1
x
x
dxdyxydxdyyx
dxdyyxE ηξ
则
ηξ,
都服从
]1,0[U
,且相互独立,故联合密度为
≤≤≤≤
=
其他
10,10
,
0
1
),(
yx
yxp
ξη
∫
==
1
0
2
3
1
2
2 dx
x
,
例 2,一辆民航大巴载有 20 位旅客自机场开出,旅途有 10
个车 站可 以下 车,如果 到车站时没有旅客下车，大巴就不停车,设 各位 旅客 下车 是独立的，且在每站下车都是等可能的，求大巴停车次数
ξ
的期望,
解,设
站没有旅客下 车 第站有旅客下 车 第
,
0
1
i
i
i
=ξ
,
则
PP
i
== )0(ξ
{20 位旅客在第
i
站都不下车 },
每一位旅客在第 i站下车概率为
10
1
,
不下车概率为
10
9
10
1
1 =? 。
由独立性
20
)
10
9
()0( ==
i
P ξ
，
20
)
10
9
(1)1(?==
i
P ξ
,
20
10
9
1)1(1)0(0
==×+=×=
iii
PPE ξξξ
,
大巴停车次数
101
ξξξ ++= "
,
故
101
ξξξ EEE ++= "
])
20
9
(1[10
20
=
。
例 3,设
ηξ,
相互独立，都服从
）,10(N
，求
22
1
ηξζ +=
，
ηξζ?=
2
的数学期望,
解：
),( ηξ
的联合密度为,
2
22
2
1
),(
yx
eyxp
+
=
π
ξη
dxdyyxpyxEE ),
2222
1
（
ξη
ηξζ
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
+=+=
。
作极坐标变换
∫∫
∞+?∞+?
∞+
=+?=
0
2
0
2
0
2
222
2
1
2| dredrere
rrr
π
π
∫∫∫
∞+?∞+?
=?=
0
2
0
2
2
2
0
1
22
2
1
2
1
rr
rdedrerdE
π
θζ
π
利用密度规范性,
2
2
1
2
2
1
2
π
π
π
ζ ==
∞+
∞?
∫
dreE
r
对于
2
ζ
可类似有,
dxdyyxpyxEE ),(
2 ξη
ηξζ
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
=?=
利用对称性
dxdyeyxE
yx
x
]
2
1
)([2
2
2
22
+
∞+
∞?∞?
∫∫
=
π
ζ
dxdyeyxe
y
x
x
])([
1
22
22
∞+
∞?∞?
∫∫
=
π
∫∫∫∫
∞+
∞?∞?
∞+
∞?∞?
=
x
yx
x
yx
dxdyyeedxdyexe ][
1
][
1
2222
2222
ππ
计算：
)(][
1
][
1
2222
2222
x
x
y
x
yx
eddyedxdyexe
∞+
∞?∞?
∞?
∞+
∞?
=
∫∫∫∫
ππ
=
}|][{
1
2222
2222
dxeedyee
xx
x
yx
∞+
∞?
∞+
∞?
∞?
∞+
∞?
+?
∫∫∫
π
∫
∞+
∞?
= dxe
x
2
1
π
π
1
=
dxededxdyyee
y
x
x
y
x
x
)]([
1
][
1
2
2
2
2
2
2
2
2
∞?
∞+
∞?
∞?
∞+
∞?
∫∫∫∫
=
ππ
π
ππ
111
2
22
22
===
∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
dxedxee
x
xx
,
得到
π
ζ
2
2
=E
定义 以条件分布构成的数学期望（若存在）
称之为条件期望，此时有
连续型离散型
),(
),(
,
)|(
)|(
)|(
|
ηξ
ηξ
ξη
ξη
ξη
==
==
∫
∑
∞+
∞?
dyxyyP
xyPy
xE
j
jj
==
==
∫
∑
∞+
∞?
续型,连离散型，
),()|(
),()|(
)|(
|
ηξ
ηξηξ
ηξ
ηξ
dxyxxP
yxPx
yE
i
ii
条件数学期望概念不仅在实际应用中，同时在深入讨论近代概率论的各种概念时也是非常重要的。
例 4,求二元正态
），，，,ρσσμμ
2
2
2
121
(N
的条件期望。
解,
))(([
)1(2
1
exp{
12
1
)|(
1
1
2
2
22
2
2
2
|
μ
σ
σ
ρμ
ρσ
ρσπ
ξη
+?
= xyxyp
它实际上是
(N
1
1
2
2
( μ
σ
σ
ρμ?+ x
），
)1(
22
2
ρσ?
）的密度,
)()()|(
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
μ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμξη?+=?+== xxxE
)()()|(
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
μ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμ
σ
σ
ρμηξ?+=?+== yyyE
故条件期望为类似地
2,二维随机变量的方差设随机向量
),( ηξ
的期望存在，且
()ηηξξ
ηη
ξξ
EE
E
E
各个分量的期望也都存在，则
=
2
2
)())((
))(()(
),(
ηηξξηη
ηηξξξξ
ηηξξ
ηη
ξξ
EEEEE
EEEEE
EE
E
E
E
称为
),( ηξ
的协方差矩阵，其中的
ξξξ DEE =?
2
)(
，
ηηη DEE =?
2
)(
，分别为 边 际 分 布
ξ
，
η
的方差，而
))(( ηηξξ EEE
称为
),( ηξ
的协方差,记 为
),cov( ηξ
二维随机变量
),( ηξ
离散时，用联合分布列
ijji
pyxP === ),( ηξ
表示；
∑∑
=
ij
iji
pExD
2
)( ξξ
∑∑
=
j
ij
i
i
pEx
2
)( ξ
∑∑
=
ij
ijj
pEyD
2
)( ηη
∑∑
=
i
ij
j
j
pEy
2
)( η
22
)()( ξξξ EEpEx
i
i
i
=?=
∑
22
)()( ηηη EEpEy
j
j
j
=?=
∑
连续时，用联合密度函数
),( yxp
表示。
dxdyyxpExD ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ξξ
dyyxpdxEx ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ξ
22
)()()( ξξξ
ξ
EEdxxpEx?=?=
∫
+∞
∞?
dxdyyxpEyD ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= ηη
dxyxpdyEy ),()(
2
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= η
22
)()()( ηηη
η
EEdyypEy?=?=
∫
+∞
∞?
协方差的性质性质 1（展开公式）
)()(),cov( ηξξηηξ EEE=
,
性质 2（可交换性 ）
),cov(),cov( ξηηξ =
,
性质 3（线性性质 ）设
ba,
为二个参数,
ζηξ,,
为
随机变量,则
),cov(),cov(),cov( ζηζξζηξ baba +=+
,
性质 4 若
ηξ,
独立，且它们的协方差存在，则协
方差必为 0,
性质 5 设
ξ
与
η
的方差存在，则
),cov(2)( ηξηξηξ ++=+ DDD
,
例 5,设
n
ξξξ,,,
21
"是任意 n个随机变量,证明：
∑∑∑
≤<≤==
+=
nji
ij
n
i
i
n
i
i
KDD
111
2)( ξξ
,
其中
ij
K
表示随机 变 量
i
ξ 与
j
ξ
的协方差,即
)])([(
jjii
EEEK ξξξξ
ξη
= ；并由此证明：如果
n
ξξξ,,,
21
"相互独立，则 有
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( ξξ 。
证明：
)(
1
∑
=
n
i
i
D ξ
2
11
)]()[(
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
EE ξξ
2
11
)]()[(
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
EE ξξ
2
1
)]([
i
n
i
i
EE ξξ?=
∑
=
]))((2)([
1
2
1
∑∑
≤<≤=
+?=
nji
jjiii
n
i
i
EEEE ξξξξξξ
∑∑
≤<≤=
+?=
nji
jjiii
n
i
i
EEEEE
1
2
1
))((2)( ξξξξξξ
∑∑
≤<≤=
+=
nji
ij
n
i
i
KD
11
2ξ
若
n
ξξξ,,,
21
"相互 独立,则所有 的 0=
ij
K,
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
DD
11
)( ξξ
即例 6.进行
n
次独立试验,事件
A
在第
i
次试验中发生的概率
p
i
(,,,)0112< < =pi n
i
"
。求事件
A
在
n
次试验中发生次数
X
的数学期望及方差。
解：设
X
i
表示第
i
次试验中
A
发生的次数，
则
X
i
服从两点分布，设分布律为
X
i
01
P
1? p
i
p
i
EX p
ii
=
，
DX p p
ii i
=?()1
设
XX
i
i
n
=
=
∑
1
，由于
XX X
n12
,,, "
相互独立,
则
EX EX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=
=
∑
p
i
i
n
1
,
DX DX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=?
=
∑
pp
ii
i
n
()1
1
,
若事 件
A
在第 各次试 验中 发生的 概率相 同，即
pp pp
n12
==== "
，
则
EX EX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=
=
∑
p
i
i
n
1
= np
，
DX DX
i
i
n
i
i
n
()
==
∑∑
=
11
=?
=
∑
pp
ii
i
n
()1
1
=?np p()1
.
这时，
XX
i
i
n
=
=
∑
1
服从二项分布
Bnp(,)
.
注意,尽 管
EX EY DX DY= =,
，但
X
与
Y
不是服从同一个分布。
例 7,设
)3(~ pξ
,
}
18
44
exp{
23
1
)(~
2
+?
=
xx
xp
π
η
η
，且二者相互独立，令
ηξζ 436?+=
，试求
ζD
,
解：首先由
)3(~ pξ
，故
3=ξD；
而
η
的密度
}
18
)2(
exp{
23
1
)(
2
=
x
xp
π
η
从而
9=ηD；
)4(36)436( ηξηξζ?++=?+= DDDDD
171169 =+= ηξ DD
,
例 8,（ 匹 配问题）某人任意地将写好的
n
张信纸随意地装入
n
个信封中,记
ξ
为信纸与信封配对的个数，设法求
ξE
与
ξD
。
解,设
n
ξξξ ++=
1
,其中当第
i
张信纸与信封匹配时
1=
i
ξ
，当第 i张信纸与信封不匹配时
i
ξ
=0,
由于
nn
n
P
i
1
!
)!1(
)1( =
==ξ
,
n
P
i
1
1)0(?==ξ
,
故
n
EEE ξξξ ++=
1
=
)
1
0
1
1(
n
n
n
n
×+××
=1
由于
)1(
1
!
)!2(
)1,1()1(
=
=====
nnn
n
PP
jiji
ξξξξ
,
)1(
1
1)1(1)0(
==?==
nn
PP
jiji
ξξξξ
,
故
)1(
1
)1(1)0(0)(
==×+=×=
nn
PPE
jijiji
ξξξξξξ
,
由此可得
ξD
=
22
1
22
1)()(?=?
∑
=
n
i
i
EEE ξξξ
1)2(
11
2
+=
∑∑
≤<≤=
j
nji
i
n
i
i
E ξξξ
=
1)(2
11
2
+
∑∑
≤<≤=
j
nji
i
n
i
i
EE ξξξ
=
11
2)1(
21
=?
×
+×
n
nn
n
n
例 9,设
),( ηξ
服从三角形区域 G上的均匀分布，
其中 G 是 以（0,1），（1,0 ），（1,1） 为顶点的 xoy平面上的三角形区域（见图）,
试求随机变量
ηξζ +=
的方差。
G
o
1
1
解一,
),( ηξ
的密度函数为
Gyx
Gyx
yxp
∈
=
),(
),(
,
,
0
2
),(
ξη
,
所以
∫∫
+=
+=
G
dxdyyxpyx
EE
),()(
)(
ξη
ηξζ
∫∫
+=
1
1
1
0
)(2
x
dyyxdx
3
4
)
2
(2
1
0
2
2
=+?=
∫
dxx
x
x
6
11
)(2),()()(
1
1
2
1
0
222
=+=+=+=
∫∫∫∫
x
G
dyyxdxdxdyyxpyxEE
ξη
ηξζ
，
从而
18
1
=ζD
解二：计算
),( ηξ
的边缘分布
)1,0(
)1,0(
,
,
0
2
)1,0(
)1,0(
,
,
0
2
),()(
1
1
∈
=
∈
==
∫
∫
∞+
∞?
x
xx
x
x
dy
dyyxpxp x
ξηξ
,
由此可得
3
2
2)(
1
0
1
0
2
===
∫∫
dxxdxxxpE
ξ
ξ
,
2
1
2)(
1
0
1
0
322
===
∫∫
dxxdxxpxE
ξ
ξ
,
18
1
9
4
2
1
)(
22
=?=?= ξξξ EED
。
类似有
18
1
,
3
2
== ηη DE
,
由于
12
5
2
2),(
1
1
1
0
==
==
∫∫
∫∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
x
G
ydyxdx
dxdyxydxdyyxxypE
ξη
ξη
,
从而
),cov( ηξ
=
36
1
9
4
12
5
=?=×? ηξξη EEE
,
这样
18
1
),cov(2)( =++=+= ηξηξηξζ DDDD
