)矩：
设
k
为正整数，
ξ
为随机变量，如果下面的数学期望存在，则
1) 称
)(
k
k
E ξμ =
为
ξ
的
k
阶原点矩；
2)称
k
k
EEv )( ξξ?=
为
ξ
的
k
阶中心矩,
ξη
ρηξ
ηξ
ηξ
的相关系数，记为与为随机变量称
DD
Cov ),(
ηξ
ηξ
ρ
ξη
DD
Cov ),(
=即
)相关系数：
不相关：
.
0:
不相关与称，的相关系数为与若随机变量定义
η
ξηξ
随机变量函数的分布：
离散型：列表归纳法连续型：单调函数的密度公式，由F求p.
当
yfx= ()
是单调函数时，它的反函数
x g y= ()
。
|)(|))(()( ygygpyp
′
=
ξη
2,随机向量函数的分布随机向量函数的分布问题：已知
),( ηξ
的分布，如何求
),( ηξζ f=
的分布？
1.和（差）的分布
ηξζ +=
2.平方和分布
22
ηξζ +=
3.商的分布主要内容
η
ξ
ζ =
4.最大值与最小值分布
a,离散
设
ζ
的可能取值为
k
z
，
jik
yxz +=
,
则
)()(
kk
zPzp == ζ
ζ
),(
∑
=+
===
kii
zyx
ji
yxP ηξ
∑∑
=?===
i
iki
i
iki
xzxpxzxP ),(),( ηξ
或者,
),(),()(
∑∑
==?==
j
jjk
j
jjkk
yyzpyyzPzp ηξ
ζ
)(
k
zP =+= ηξ
若
ξ
与
η
独立，则
∑
=
i
ikik
xzpxpzp )()()(
ηξζ
或者，
)()()(
∑
=
j
jjkk
ypyzpzp
ηξζ
1.和（差）的分布
ηξζ +=
例1.设
XB~(,)2
1
2
，
YB~(,)2
1
3
，
X
与
Y
独立,
求
ZXY= +
的分布。
Z
的一切可能取值为
012 34,,,,
.
PZ PX Y()(,)== = ==×=000
1
4
1
9
1
36
PZ PX Y PX Y()(,)(,)== = =+ = =
=×+×=
10110
1
4
4
9
2
4
1
9
6
36
解：
X
与
Y
的分布律如下：
X 012 Y 012
p
X
1
4
2
4
1
4
p
Y
1
9
4
9
4
9
P Z P XY P XY
PX Y
()(,)(,)
(,)
= = = = + = =
+==
20211
20
=×+×+×=
1
4
4
9
2
4
4
9
1
4
1
9
13
36
PZ PX Y PX Y()(,)(,)== = =+ = =31221
=×+×=
2
4
4
9
1
4
4
9
12
36
PZ PX Y()(,)== = =422
=×=
1
4
4
9
4
36
∴
Z
的分布律为：
Z 01234
p
Z
1
36
6
36
13
36
12
36
4
36
例2.设
XP~()λ
1
，
YP~()λ
2
，
X
与
Y
独立,
求
Z X Y= +
的分布。
解：
Z
的一切可能取值为
0123,,,,null
PZ k PX iPY k i
i
k
() ()( )== = =?
=
∑
0
=?
=
∑
λλ
λλ12
0
12
ik
i
k
i
e
ki
e
!()!
=
+
=
∑
e
k
k
ik i
i
i
k
ki
()
!
!
!( )!
λλ
λλ
12
1
0
2
=
+
=
∑
e
k
C
k
ii
i
k
ki
()
!
λλ
λλ
12
1
0
2
=+
+
e
k
k
()
!
()
λλ
λλ
12
12
=
+
+
()
!
()
λλ
λλ
12
12
k
k
e
∴ +ZP~( )λ λ
12
结论：独立的服从泊松分布的随机变量之和仍服从泊松分布，且参数为前两个参数之和。
y
b,连续
x y z+ =
)()( zPzF ≤+= ηξ
ζ
x y z+ <
∫∫
≤+
=
zyx
dxdyyxp ),(
dyyxpdx
xz
),(
∫∫
∞?
+∞
∞?
=
0 x
上式两边对
z
求导,
∫
+∞
∞?
= dxxzxpzp ),()(
ζ,
同理：
∫∫
∞?
+∞
∞?
=
yz
dxyxpdyzF ),()(
ζ
dyyyzpzp ),()(
∫
+∞
∞?
=
ζ
★若
ξ
与
η
独立，则
∫
+∞
∞?
= dxxzpxpzp )()()(
ηξζ
或者，
dyypyzpzp )()()(
∫
+∞
∞?
=
ηξζ
例3.
ξ
与
η
独立，且都服从
[,]?aa
上的均匀分布,
求
ηξζ +=
的分布。
解：
≤≤
==
其它,0
||,||,
4
1
)()(),(
2
ayax
a
ypxpyxp
ηξ
方法一：从分布函数入手。 0 2< ≤z a y za= 2
ηξζ +=
的取值范围
a
在
[,]?22aa
。 z = 0
c
z a≤?2
，
0)( =zF
ζ
a
o
a
x
(
z<ζ∵
是不可能事件)
a
za=?2? < ≤2 0a z
dy
a
dxzF
xz
a
az
a
∫∫
+
=
2
4
1
)(
ζ
=
+
++
()za
a
z
a
2
2
8 4
3
8
e
02<≤z a
y
x0a-a
a
-a
x+y=z
dy
a
dxdy
a
dxzF
xz
a
a
az
a
a
az
a
∫∫∫∫

+=
22
4
1
4
1
)(
ζ
)2
2
1
2(
4
1
22
2
azaz
a
+?=
f
z a> 2
z<ζ∵
是必然事件，∴
1)( =zF
ζ
d
<≤20a z
x+y=z
y
xa-a
a
-a
0
综合cdef得,
>
≤<+?
≤<?++
+
≤
=
az
azazaz
a
za
a
z
a
az
az
zF
2,1
20,)2
2
1
2(
4
1
02,
8
3
48
)(
2,0
)(
22
2
2
2
ζ
所以，
ζ
的密度函数为,
≤<+?
≤<?+
=
其它,0
20,)2(
4
1
02,)2(
4
1
)(
2
2
azaz
a
zaaz
a
zp
ζ
方法二：直接用卷积公式。
>
≤
=
ax
ax
a
xp
||,0
||,
2
1
)(
ξ
，
>
≤
=
ay
ay
a
yp
||,0
||,
2
1
)(
η
dxxzpxpzp )()()(?=
∫
+∞
∞?
ηξζ
dxxzp
a
a
a
)(
2
1
=
∫
η
令
txz =?
，则
dtdx?=
，
azazt?→+:
∴
∫
+
=
az
az
dttp
a
zp ))((
2
1
)(
ηζ
∫
+
=
az
az
dttp
a
))((
2
1
η
c
z aaz a+ < <?2
，
0)( =tp
η
，∴
0)( =zp
ζ
.
[ ]
z a?
z a+? a
o
a
t
d
z aaz aaz?≤? ≤ + ≤ ≤20
)2(
4
1
2
1
2
1
)(
2
az
a
dt
aa
zp
az
a
+==
∫
+
ζ
[ ]
z a?
a z a+ o
a
t
e
z aaz a z a?≤< +? < ≤02
)2(
4
1
2
1
2
1
)(
2
az
a
dt
aa
zp
a
az
+?==
∫
ζ
[ ]
a z a? o
a
z a+
t
f
a z a z a<>2
0)( =tp
η
，∴
0)( =zp
ζ
[ ]
a
o
a
z a?
z a+
t
综合cdef得：
≤<+?
≤≤?+
=
其它,0
20,)2(
4
1
02,)2(
4
1
)(
2
2
azaz
a
zaaz
a
zp
ζ
具有以上密度函数的随机变量的分布称为辛普森(Simpson)分布。
z-2a 2a0
)(zp
ζ
1/2a
例4.
),(~
2
11
σμξ N
，
),(~
2
22
σμη N
，
ξ
与
η
独立，求
ηξζ +=
的分布。
解,
2
1
2
1
2
)(
1
2
1
)(
σ
μ
ξ
σπ
=
x
exp
，
2
2
2
2
2
)(
2
2
1
)(
σ
μ
η
σπ
=
y
eyp
,
dxeezp
xzx
2
2
2
2
2
1
2
1
2
)(
2
2
)(
1
2
1
2
1
)(
σ
μ
σ
μ
ζ
σπσπ

∞+
∞?
=
∫
dxe
CBxAx )2(
21
2
2
1
+
∞+
∞?
∫
=
σπσ
dxe
A
e
A
A
A
B
x
A
BAC
2
2
2
)21(2
)(
21
212
1
2
1
∞+
∞?
∫
=
π
π
σπσ
A
BAC
e
A
2
21
2
1
=
π
σπσ
A=+
1
2
11
1
2
2
2
σσ
，
B
z
=+
1
2
1
1
2
2
2
2
μ
σ
μ
σ
，
C
z
=+
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
μ
σ
μ
σ
()
∴
()
)(2
)]([
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
σσ
μμ
ζ
σσπ
+
+?
+?
=
z
ezp
∴
),(~
2
2
2
121
σσμμζ ++N
结论：两个独立的正态随机变量之和仍为正态分布。
推论：有限个独立的正态随机变量之和仍为正态分布。
即,相互独立的
niN
iii
,,2,1),,(~
2
null=σμξ
,
则
),(~
1
2
11
∑∑∑
===
n
i
i
n
i
i
n
i
i
N σμξ
,
2.平方和分布
22
ηξζ +=
已知
),( ηξ
的联合概率密度为
),( yxp
,
则
)()()(
22
zPzPzF ≤+=≤= ηξζ
ζ
∫∫
≤+
=
zyx
dxdyyxp
22
),(
上式对
z
求导，得
dz
zdF
zp
)(
)(
ζ
ζ
=
例5.
ξ
与
η
独立，且
)1,0(~ Nξ
，
)1,0(~ Nη
,
求
22
ηξζ +=
的概率密度。
解：
2
2
2
1
)(
x
exp
=
π
ξ
，
2
2
2
1
)(
y
eyp
=
π
η
2
22
2
1
),(
yx
eyxp
+
=
π
当
z ≤ 0
时，
0)( =zF
ζ
,
0)( =zp
ζ
当
z > 0
时，
rdreddxdyezF
ryx
zyx
2
0
2
0
2
222
22
2
1
2
1
)(
∞+
+
<+
∫∫∫∫
==
π
θ
π
π
ζ
()
z
r
e
0
2
2
12
2
1
= π
π
2
1
z
e
=
∴
2
2
1
)(
z
ezp
=
ζ
∴
≤
>
=
0,0
0,
2
1
)(
2
z
ze
zp
z
ζ
)
2
1
(~ Eζ∴
)2(~
2
χζ或者，
)
2
1
,1(~ Γζ或者，
2.商的分布
η
ξ
ζ =
已知
),( ηξ
的联合概率密度为
),( yxp
,
则
)()()( zPzPzF ≤=≤=
η
ξ
ζ
ζ
∫∫
≤
=
z
y
x
dxdyyxp ),(
dxyxpdy
zy
),(
0
∫∫
∞
∞?
=
dxyxpdy
zy
),(
0
∫∫
∞?
+∞
+
上式对
z
求导，得
∫
+∞
∞?
= dyyyyzpzp ||),()(
ζ,
★若
ξ
与
η
独立，则
∫
+∞
∞?
= dyyypyzpzp ||)()()(
ηξζ
例6,设
ξ
与
η
独立，都服从指数分布
)(λE
，试求
η
ξ
ζ =
的分布
解：
≤
>
=
0
0
,
0
)(
x
x
e
xp
xλ
ξ
λ
,
≤
>
=
0
0
,
0
)(
y
y
e
yp
yλ
η
λ
dyeyzpydyypyzpyzp
yλ
ξηξζ
λλ
∞+∞+
∞?
∫∫
=?= )()()()(
0
当
0≤z
时，由于
0)( =yzp
ξ
，故
0)( =zp
ζ
当
0>z
时
2
)1(2
0
2
0
)1(
1
)(
+
=?==
+?
∞+

∞+
∫∫
z
dyeydyeeyzp
yzyyz λλλ
ζ
λλ
归并后得到
0
0
,
0
)1(
1
)(
2
≤
>
+
=
z
z
z
zp
ζ
设
ξ
与
η
独立，它们的分布函数为
)(xF
ξ
和
)( yF
η
,
4.最大值与最小值分布
(1)最大值
),max( ηξζ =
的分布
}),{max( z≤ηξ∵
=
}{}{ zz ≤≤ ηξ ∩
∴
),(}),{max()(
max
zzPzPzF ≤≤=≤= ηξηξ
)()()()( zFzFzPzP
ηξ
ηξ =≤≤=
推论：设
n
ξξξ,,,
21
null
独立，它们的分布函数为
nixF
i
i
,,2,1),( null=
ξ
，则
),,,max(
21 n
ξξξ null
的分布函数为,
)()(
1
max
zFzF
n
i
i
∏
=
=
ξ
特别：当
n
ξξξ,,,
21
null
独立同分布时，设
)()( zFzF
i
=
ξ
，则
n
zFzF )]([)(
max
=
(2)最小值
),min( ηξζ =
的分布
)),(min(1}),{min()(
min
zPzPzF >?=≤= ηξηξ
)()(1),(1 zPzPzzP >>?=>>?= ηξηξ
)](1)][(1[1 zPzP ≤?≤= ηξ
)](1)][(1[1 zFzF
ηξ
=
推论：设
n
ξξξ,,,
21
null
独立，它们的分布函数为
nixF
i
i
,,2,1),( null=
ξ
，则
),,,min(
21 n
ξξξ null
的分布函数为,
)](1[1)(
1
min
zFzF
n
i
i
∏
=
=
ξ
特别：当
n
ξξξ,,,
21
null
独立同分布时，设
)()( zFzF
i
=
ξ
，则
n
zFzF )](1[1)(
min
=
例7,系统如图所示,
LLL
11 12 13
6个元件相互
独立，
L
ij
的
LLL
21 22 23
使用寿命
X
ij
(,;,,)ij= =12 123
均服从指数分布
()E λ
，求系统使用寿命
Z
的概率密度。
解：
设
X
为由
LLL
11 12 13
,,
串联而成的子系统的寿命，
XXXX= min(,,)
11 12 13；设
Y
为由
LLL
21 22 23
,,
串联而成的子系统的寿命，
YXXX= min(,,)
21 22 23
，则整个系统的寿命
ZXY= max(,)
。
∵Xi j
ij
(,;,,)= =12 123
独立同分布于
()E λ
,
∴
Fz Fz
ez
z
ij
X
z
ij
() ()
,
,
,(,;,,)==
>
≤
==
10
00
12 123
λ
X
与
Y
也独立同分布，且它们的分布函数为：
Fz Fz Fz Gz
XY
() () [ ()] ()== =11
3
=
>
≤
10
00
3
ez
z
zλ
,
,
∴系统的使用寿命
Z
的分布函数为：
Fz Gz
Z
() [ ()]=
2
=
>
≤
(),
,
10
00
32
ez
z
zλ
Z
的密度函数为：
λ
λλ
Z
zz
z
ee z
z
()
(),
,
=
>
≤

61 0
00
33
若系统如下图所示，则系统的寿命又如何？
LLL
11 12 13
LLL
21 22 23
这时，系统的寿命应为
ZXY= +,

XY
xxx() () ()= = =
>
≤
30
00
3
λ
λ
ex
x
x
,
,
由卷积公式：当
z > 0
时，密度函数为

ZXY
zxzxd() () ( )=?
∞
+∞
∫
=
∫

0
33
33
z
xzx
ee dxλλ
λλ()
=
∫
9
2
0
3
λ
λ
z
z
edx=
9
23
λ
λ
ze
z
当
z≤0
时，密度函数
Z
z()= 0
∴
λ
λ
Z
z
z
ze z
z
()
,
,
=
>
≤
90
00
23