四连续型随机变量连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度四、
连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度
1)定 义,如 果 对 于 随 机 变 量
X
的 分 布 函 数
F x( )
存 在定 义 如 果 对 于 随 机 变 量 的 分 布 函 数 存 在非负函数
()x
，使对于任意实数
x x R,∈
，
x
∫有
Fx tdt() ()=
∞
,则称
X
为连续型随机变量 其 中
( )x
称 为
X
的 概 率 密 度 函 数量,其 中,称 为 的 概 率 密 度 函 数 。
2)性 质,
(1)
( )x ≥ 0;
性 质,
(2)
( )x dx =
∞
∫
1;
∞
3)已 知 概 率 密 度 求 分 布 函 数已 知 概 率 密 度 求 分 布 函 数
∫
=?=<≤
2
)()()(}{
1221
x
x
dxxxFxFxXxP?
.
1
4)已知分布函数求概率密度,
若
()x
在点
x
处连续，则
′ =Fx x() ()?
( ) ( )F x x F x+Δ
xxXxP Δ+≤< )(
即
( ) limx
x
x
=
→Δ
Δ
0
x
x
Δ
=
→Δ
lim
0
在 概率 似 等当
Δx→0
时，
xxFxxxxXxP Δ
′
=Δ≈Δ+≤< )()()(?
即
X
落 在 区间
],( xxx Δ+
上的 概率 近 似 地 等 于
()x x?Δ
.
5)
结论
(1)
对连续型随机变量
X
P X c{ }= = 0
：,
(2)
Pa X b Pa X b( ) ( )≤ ≤ = < ≤ )( bXaP <≤=
()
)( bXaP <<= =?Fb Fa() ()
(3)
连续型随机变量的分布函数是连续函数 。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别,
1)由于连续型随机变量 X
是在一个区间内取值，
所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因而不能用分布律来描述它。
2)
它在任一指定值的概率为
0
。即：
PX c()= = 0
例
1.
一个靶子是半径为
2
米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶，以
X
表示弹着点与圆心的距离，
（
1
） 试求随机变量 的分布函数
F( )
（
2
） 将靶（ ） 试求随机变量
X
的分布函数
x； （ ） 将靶的半径
10
等分,若击中点落在以
0
为中心,内外径
1
分别为
2
10
×
i
及
i+
×
10
2
的圆环内，则记为
()10? i
环 求 次射击得到
( )10 i
环的概率
( )i 0 1 9
环,求 一 次射击得到
环的概率
,,,= L
。
解：（ 1）求
)(xF
当
0<x
时，
xX ≤
是不可能事件，则
x
2
0}{)( =≤= xXPxF
当
20 ≤≤x
时，
}{)( xXPxF ≤= }0{}0{ xXPXP ≤≤+<=
22
0 xkxk ππ =+=
kkXP 42}20{
2
≤≤ ππ =?=
而
20 ≤≤X
是必然事件，因此，
1}20{ =≤≤XP
1
k
)(
2
x
F
即
14 =πk
，
π4
=
。
4
x =∴
当
x > 2
时，
Xx<
是必然事件，
1}{)( =≤= xXPxF
<
x,00
2
∴= ≤<
≥
Fx
x
x(),
4
02
1 2
x,
（ 2）
)
2
()
)1(2
()
)1(22
(
i
F
i
F
i
X
i
P?
+
=
+
≤<
（ ）
10101010
++14 1 14 2 1
22
( )iii
= =
4 100 4 100 100
(,,,)i= 01 9L
环数
1234567 8 910
概率
1
100
3
100
5
100
7
100
9
100
11
100
13
100
15
100
17
100
19
100
例
2.
随机变量
X
的分布函数为
<x 0,0
≤≤= Rx
R
x
xF 0,)(
2
2
，
>Rx,1
，
求
X
的概率密度 。求 的概率密度 。
解
<≤
=
0,
2
)(
2
Rx
R
x
x?
解,
其它,0
注 意
R
时 左 导 数 为
2
右 导 数 为
0
所 以注 意,
x =
时,左 导 数 为
R
,右 导 数 为,所 以,
Fx()
在
x R=
不可导，现规定
() ()RFR= ′ = 0
。
即：
()x
在
xR=
间断
.(
密度函数
fx()
不一定连续 。
)
续 。
例
3.
使用
t
小时的电子管在以后的 Δ
t
小时内，损坏的概率为
λ λ? + >Δ Δt o t( ),0
,求电子管寿命 （ 即电子,（
管损坏前已使用的时数）的分布函数。
解：设电子管的寿命为
T
，它的分布函数为
}{)( tTPtF ≤=
。
当
t ≤ 0
时，
F t()= 0
当
0≥t
时，
){)( ttTPttF Δ+≤=Δ+
}{}{ ttTtPtTP Δ+≤<+≤=
}{}|{)( tTPtTttTPtF >>Δ+≤+=
)](1)][([)( tFtottF?Δ+Δ?+= λ
即
( ) ( ) [ ( )][ ( )]Δ Δ Δλ 1
即
F t t F t t o t F t+? =? +?
)](1[
)()()(
tF
t
tot
t
tFttF
Δ
Δ+Δ?
=
Δ
Δ+ λ
lim
()()
lim
()
[()]
ΔΔ
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
tt
Ft t Ft
t
tot
t
Ft
→→
+?
=
+
00
1
λ
′ =?Ft Ft() [ ()]λ 1
>?
=∴
0,1
)(
te
tF
tλ
≤ 0,0 t
。
例
4.
设随机变量
X
具有概率密度为
k
x
>
3
0
()
,
,
x
ex
x
=
≤
00
,
试确定常数
k
，并求
PX(.)> 01
及
Fx()
。
解,(1)
Q? ( )x dx =
∞
∫
1 ∴ =
∞
∫
ke dx
x3
1
解,
∞
，
0
，
ke
x
=
∞
1
3
1
3
0
，
∴ =k 3
，，,
即
( )
,
x
ex
x
=
>
30
3
即
,x ≤
00
(2)
P X x dx e dx
x
(,) ( )> = =
∞∞
∫∫
01 3
3
.,0101
=? =
∞
e
x3
01
0 7408
.
.
(3) 当 x ≤ 0时，
Fx dx
x
()==
∞
∫
00
当
x> 0
时，
Fx dx e dx
x
x
()=+
∞
∫∫
03
0
3
0
=? =?
ee
x
x
x3
0
3
1
3
∴=
>
≤
Fx
ex
x
x
()
,
,
10
00
一般 随机变量
X
的分布密度为，
λ
λ
( )
,
x
ex
x
=
>
0
,x ≤
00
，
λ > 0
则称
X
为指数分布 记为
e( )λ
，,。
（常用在产品的寿命）
例
5
设连续型随机变量
ξ
的密度函数为例
,
104
3
<<
=
其它，0
,
)(
xx
xp
（
1
） 若已知存在
a
，使
}{}{ aPaP >=< ξξ
，试求常数
a
（
2
） 已知
05.0}( =>bP ξ
，试求常数
b
。
解,(1)
.1}{}{}{ =>+=+< aPaPaP ξξξ
5.0}{}{,0}{ =>=<∴== aPaPaP ξξξQ
)10(
由密度公式显然可设
,∈a
0
)()()(}{ dttdttdttP
aa
∫∫∫
ξ
3
0
pppa
a
+==<
∫
∞?∞?
4
0
4
0
|40 atdtt
a
==+=
4
.8409.05.0 ==∴a
(2)
4
1
3
14}{ bdttbP >
∫
ξ
b
==
987309500501
44
∴b,..,==?=
例
6.
连续型随机变量
X
的概率密度函数为
()
,
x
Ax e x
kx
=
>
2
1
2
0
,x ≤
00
其中，
k
为正整数。求系数
A
的值。
kk
+∞
∫
1 1
解：
Q?()xdx Ax e dx
kx
==
+∞
∞
∞
∫∫
2
1
2
0
1
k
d
k
t
2
1
+∞
∫
令
xt= 2
，则
Atedt
t
=
221
2 2
0
12
2
Γ
k
A
k
=∴
1
A
k
Γ tet
2
0
=
∴
,
2
=
Γ
2
2
2
k
.
∴连续型随机变量
X
的概率密度函数为
0
1
2
1
2
xk
>
Γ
=
,
2
2
)(
2
xex
k
x
k
≤ 0,0 x
称随机变量
X
服从自由度为
k
的卡方分布 记为
X k( )χ
2
称随机变量 服从自由度为 的卡方分布,记为
~
。
?
Γ
函 数,
Γ( ),α α
α
= >
+∞
∫
x edx
x1
0
函 数,
0
Γ
函数的性质：
Γ Γ() ()α α α+ =1
Γ()!nn+=1
Γ()
1
2
= π
连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度
1)定 义,如 果 对 于 随 机 变 量
X
的 分 布 函 数
F x( )
存 在定 义 如 果 对 于 随 机 变 量 的 分 布 函 数 存 在非负函数
()x
，使对于任意实数
x x R,∈
，
x
∫有
Fx tdt() ()=
∞
,则称
X
为连续型随机变量 其 中
( )x
称 为
X
的 概 率 密 度 函 数量,其 中,称 为 的 概 率 密 度 函 数 。
2)性 质,
(1)
( )x ≥ 0;
性 质,
(2)
( )x dx =
∞
∫
1;
∞
3)已 知 概 率 密 度 求 分 布 函 数已 知 概 率 密 度 求 分 布 函 数
∫
=?=<≤
2
)()()(}{
1221
x
x
dxxxFxFxXxP?
.
1
4)已知分布函数求概率密度,
若
()x
在点
x
处连续，则
′ =Fx x() ()?
( ) ( )F x x F x+Δ
xxXxP Δ+≤< )(
即
( ) limx
x
x
=
→Δ
Δ
0
x
x
Δ
=
→Δ
lim
0
在 概率 似 等当
Δx→0
时，
xxFxxxxXxP Δ
′
=Δ≈Δ+≤< )()()(?
即
X
落 在 区间
],( xxx Δ+
上的 概率 近 似 地 等 于
()x x?Δ
.
5)
结论
(1)
对连续型随机变量
X
P X c{ }= = 0
：,
(2)
Pa X b Pa X b( ) ( )≤ ≤ = < ≤ )( bXaP <≤=
()
)( bXaP <<= =?Fb Fa() ()
(3)
连续型随机变量的分布函数是连续函数 。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别,
1)由于连续型随机变量 X
是在一个区间内取值，
所以它的所有可能取值不能一一列举出来，因而不能用分布律来描述它。
2)
它在任一指定值的概率为
0
。即：
PX c()= = 0
例
1.
一个靶子是半径为
2
米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶，以
X
表示弹着点与圆心的距离，
（
1
） 试求随机变量 的分布函数
F( )
（
2
） 将靶（ ） 试求随机变量
X
的分布函数
x； （ ） 将靶的半径
10
等分,若击中点落在以
0
为中心,内外径
1
分别为
2
10
×
i
及
i+
×
10
2
的圆环内，则记为
()10? i
环 求 次射击得到
( )10 i
环的概率
( )i 0 1 9
环,求 一 次射击得到
环的概率
,,,= L
。
解：（ 1）求
)(xF
当
0<x
时，
xX ≤
是不可能事件，则
x
2
0}{)( =≤= xXPxF
当
20 ≤≤x
时，
}{)( xXPxF ≤= }0{}0{ xXPXP ≤≤+<=
22
0 xkxk ππ =+=
kkXP 42}20{
2
≤≤ ππ =?=
而
20 ≤≤X
是必然事件，因此，
1}20{ =≤≤XP
1
k
)(
2
x
F
即
14 =πk
，
π4
=
。
4
x =∴
当
x > 2
时，
Xx<
是必然事件，
1}{)( =≤= xXPxF
<
x,00
2
∴= ≤<
≥
Fx
x
x(),
4
02
1 2
x,
（ 2）
)
2
()
)1(2
()
)1(22
(
i
F
i
F
i
X
i
P?
+
=
+
≤<
（ ）
10101010
++14 1 14 2 1
22
( )iii
= =
4 100 4 100 100
(,,,)i= 01 9L
环数
1234567 8 910
概率
1
100
3
100
5
100
7
100
9
100
11
100
13
100
15
100
17
100
19
100
例
2.
随机变量
X
的分布函数为
<x 0,0
≤≤= Rx
R
x
xF 0,)(
2
2
，
>Rx,1
，
求
X
的概率密度 。求 的概率密度 。
解
<≤
=
0,
2
)(
2
Rx
R
x
x?
解,
其它,0
注 意
R
时 左 导 数 为
2
右 导 数 为
0
所 以注 意,
x =
时,左 导 数 为
R
,右 导 数 为,所 以,
Fx()
在
x R=
不可导，现规定
() ()RFR= ′ = 0
。
即：
()x
在
xR=
间断
.(
密度函数
fx()
不一定连续 。
)
续 。
例
3.
使用
t
小时的电子管在以后的 Δ
t
小时内，损坏的概率为
λ λ? + >Δ Δt o t( ),0
,求电子管寿命 （ 即电子,（
管损坏前已使用的时数）的分布函数。
解：设电子管的寿命为
T
，它的分布函数为
}{)( tTPtF ≤=
。
当
t ≤ 0
时，
F t()= 0
当
0≥t
时，
){)( ttTPttF Δ+≤=Δ+
}{}{ ttTtPtTP Δ+≤<+≤=
}{}|{)( tTPtTttTPtF >>Δ+≤+=
)](1)][([)( tFtottF?Δ+Δ?+= λ
即
( ) ( ) [ ( )][ ( )]Δ Δ Δλ 1
即
F t t F t t o t F t+? =? +?
)](1[
)()()(
tF
t
tot
t
tFttF
Δ
Δ+Δ?
=
Δ
Δ+ λ
lim
()()
lim
()
[()]
ΔΔ
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
tt
Ft t Ft
t
tot
t
Ft
→→
+?
=
+
00
1
λ
′ =?Ft Ft() [ ()]λ 1
>?
=∴
0,1
)(
te
tF
tλ
≤ 0,0 t
。
例
4.
设随机变量
X
具有概率密度为
k
x
>
3
0
()
,
,
x
ex
x
=
≤
00
,
试确定常数
k
，并求
PX(.)> 01
及
Fx()
。
解,(1)
Q? ( )x dx =
∞
∫
1 ∴ =
∞
∫
ke dx
x3
1
解,
∞
，
0
，
ke
x
=
∞
1
3
1
3
0
，
∴ =k 3
，，,
即
( )
,
x
ex
x
=
>
30
3
即
,x ≤
00
(2)
P X x dx e dx
x
(,) ( )> = =
∞∞
∫∫
01 3
3
.,0101
=? =
∞
e
x3
01
0 7408
.
.
(3) 当 x ≤ 0时，
Fx dx
x
()==
∞
∫
00
当
x> 0
时，
Fx dx e dx
x
x
()=+
∞
∫∫
03
0
3
0
=? =?
ee
x
x
x3
0
3
1
3
∴=
>
≤
Fx
ex
x
x
()
,
,
10
00
一般 随机变量
X
的分布密度为，
λ
λ
( )
,
x
ex
x
=
>
0
,x ≤
00
，
λ > 0
则称
X
为指数分布 记为
e( )λ
，,。
（常用在产品的寿命）
例
5
设连续型随机变量
ξ
的密度函数为例
,
104
3
<<
=
其它，0
,
)(
xx
xp
（
1
） 若已知存在
a
，使
}{}{ aPaP >=< ξξ
，试求常数
a
（
2
） 已知
05.0}( =>bP ξ
，试求常数
b
。
解,(1)
.1}{}{}{ =>+=+< aPaPaP ξξξ
5.0}{}{,0}{ =>=<∴== aPaPaP ξξξQ
)10(
由密度公式显然可设
,∈a
0
)()()(}{ dttdttdttP
aa
∫∫∫
ξ
3
0
pppa
a
+==<
∫
∞?∞?
4
0
4
0
|40 atdtt
a
==+=
4
.8409.05.0 ==∴a
(2)
4
1
3
14}{ bdttbP >
∫
ξ
b
==
987309500501
44
∴b,..,==?=
例
6.
连续型随机变量
X
的概率密度函数为
()
,
x
Ax e x
kx
=
>
2
1
2
0
,x ≤
00
其中，
k
为正整数。求系数
A
的值。
kk
+∞
∫
1 1
解：
Q?()xdx Ax e dx
kx
==
+∞
∞
∞
∫∫
2
1
2
0
1
k
d
k
t
2
1
+∞
∫
令
xt= 2
，则
Atedt
t
=
221
2 2
0
12
2
Γ
k
A
k
=∴
1
A
k
Γ tet
2
0
=
∴
,
2
=
Γ
2
2
2
k
.
∴连续型随机变量
X
的概率密度函数为
0
1
2
1
2
xk
>
Γ
=
,
2
2
)(
2
xex
k
x
k
≤ 0,0 x
称随机变量
X
服从自由度为
k
的卡方分布 记为
X k( )χ
2
称随机变量 服从自由度为 的卡方分布,记为
~
。
?
Γ
函 数,
Γ( ),α α
α
= >
+∞
∫
x edx
x1
0
函 数,
0
Γ
函数的性质：
Γ Γ() ()α α α+ =1
Γ()!nn+=1
Γ()
1
2
= π
