常用的离随机
0-1分布离散型随机变量二项分布泊松分布几何分布超几何分布常用的连续型随机变量
(1)
均匀分布
Uab(,)
(Uniform distribution)
a,
定义
X
的概率密度密度为
( )
,
x
b a
axb
=
<<
1
称
X
在区间
( )a b
上服从均匀分布的概率密度密度为
,
0其它记为
X U a b~ ( )
( )x
称在区间
,
上服从均匀分布，记为
,
。
:数学期望
1
.
2
ba
EX
+
=
ba?
方差,
)(
2
b
0xab
12
a
DX
=
b.意义
X
具有下述意义的等可能性即
X
落在
( )a b
中任，即
,
意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长说，
度，而与子区间的位置无关。
即
+( ) ( )l b
即
,,,c c a
Pc X c l x dx
l
b
cl
{ } ( )≤ < + = =
+
∫
F x()
1
a
c
xa,≤
0
Fx
x a
ba
axb
x b
(),=
<≤
>
1
ab0x
,
c.应用：
1)
读刻度器上读数时，把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差
.
2)
每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停靠站上，乘客候车的时间
.
例1.秒表的最小刻度差为0.2秒，如果计时的精确度是取最近的刻度值求使用该秒表计时产度是取最近的刻度值，求使用该秒表计时产生的随机误差的概率分布，并计算误差的绝对值不超过秒的概率对值不超过0.05秒的概率。
0-02 02
-0.1 01
解：设随机误差
X
可能取得区间
(-0.1
，
0.1)
内的任一值并在此区间内服从均匀分布则
X
的密度函
0.2 0.2
0.1
值，并在此区间内服从均匀分布，则的密度函数为
≥
<
=
1.0||,0
1.0||,5
)(
x
x
x?
∴
PX dx(| |,),
.
.
≤= =
∫
005 5 05
005
005
即误差的绝对值不超过
0.05
秒的概率为
0.5
。
例2,设随机变量
ξ
服从
)10,0(
上的均匀分布，现对
ξ
进行观察试求在不多于3次的观察中对进行观察，试求在不多于次的观察中至少有一次观察值超过8的概率。
解：对
ξ
进行一次观察发现其值超过8的概率
11
510
)8(
10
8
==>=
∫
dxPp ξ
。
令
η
为观察值首次超过8次的观察次数，则
)(~ pGeη
,
)3()2()1()3( ++≤ PPPP
61
2
=++=
====
pqqpp
ηηηη
125
。
(2)指数分布
)(λE
(Exponential distribution)
a.定义
若随机变量
X
的分布密度为
λ
λ
( )
,
x
ex
x
=
>
0
λ 0
,x ≤
00
，
>
，
则这种分布叫做指数分布，称随机变量
X
服从参数，
为
λ
的指数分布，记为
)(~ λEX
。
数分布函数为
>?
0,1
)(
xe
F
xλ
≤
=
0,0 x
x
?密度函数和分布函数的图形：
( ) F( )
x
x
λ
1
0 x 0 x
b.
应用：寿命、某种服务的等待时间（如银行取款，
售票处买票等）。
数学期望
λ
1
=EX
，2
1
λ
=DX方差因为
EX
=?
+∞
∫
0
xedx
x
λ
λ
)()(
x
edx
λ?
+∞
=
∫
dxeex
xx
∫
+∞
+∞
= )1()(
λλ
0
0
0
∞+
=
0
1
0
x
e
λ
λ
λλ
1
)10(
1
==
而
2
EX
dxex
xλ
λ
+∞
=
∫
2
0
)()(
2
0
x
edx
λ?
+∞
=
∫
dxexex
xx
∫
+∞
+∞
=
0
0
2
)2()(
λλ
2
dxex
xλ?
+∞
+=
∫
0
20
)(
0
x
exd
λ
λ
+∞
∫
=
2
+∞∞+
∫
22
+
222
112
)(
00
dxeex
xx λλ
λ
=
2
0
2
λλ
λ
==
∞
x
e
22
)()(
λλλ
=?=?= EXEXDX
例3.已知某种电子管的寿命
X
服从指数分布，密度函数为
x
1
()
,
,
x
e x
x
=
>
≤
1000
0
00
1000
求这种电子管能使用1000小时以上的概率。
+∞
∫解：
P Xxdx()()≥ =1000
1000
+∞
∫
1
x
=
1000
1000
1000
edx
+∞
=? = ≈
ee
x
1000
1
0 368.
1000
例4,设观察到银行窗口等待服务的时间
ξ
（分钟）服从指数分布
)
5
1
(E
，该顾客在窗口最多等候分钟如超过分钟他就离假多等候10分钟，如超过10分钟他就离开。假设他一个月到该银行5次，试求他在一个月内到银行未等到服务而离开窗口的平均次数。
解设
η
是顾客未等到服务而离开窗口的次数解：设，
（可能取值为0 15）
),5(~ pBη
（,1,…,5）
2
5
1
)(}10{
∞+?∞+
===≥=
∫∫
edxedxxpPp
x
ξ
所需的离开窗口平均次数为
2
55
== epEη
1010
5
所需。
(3)
正态分布
N (,)μσ
2
（高斯分布，常态分布）
a
定义
,
定义若随机变量
X
的分布密度为
μ( )x
2
πσ
σ
()xe=
1
2
2
2
，
μσ,
2
0>
是常数，
则称随机变量
X
服从正态分布，记为
),(~
2
σμNX
()x
0 x
?密度函数图形特点：
( )x
σπ2
1
密度函数图形特点：
c关于
x = μ
对称；
1
σμ?=x
σμ+=x
d极大值：
μ
πσ
极大
==()
2；
0 x
μ
?关于参数的说明：
e拐点：在
x = ±μ σ
处； f渐近线：
x
轴。
关于参数的说明：
c位置参数
μ
（在
x
轴上平移）
d比例参数
σ
：
σ
大，图形平坦；
σ
小，图形呈尖塔形。
b.分布函数：
2
Fx e dx
x
x
()
()
=
∞
∫
1
2
2
2
πσ
μ
σ
分布函数的图形：
F x( )
x
?标准正态分布
XN~(,)01
分布密度为
π
()xe
x
=
1
2
2
2
()x
)( x?Φ
)(1 xΦ?
0
x
-x x
分布函数记为
Φ()x
，即
Φ()xedt
t
x
=
∞
∫
1
2
2
2
π
。
Φ()x
的性质：
( ) ( ) ( ) ( )
(1)
Φ,005=
,(2)
Φ +∞ = 1
,(3)
Φ Φ? =?xx1
.
?
Φ()x
的图形：
Φ( )x
0,5
0
x
定理
1.
若随机变量
X N~ (,)μ σ
2
，
X
的分布函数为定理若随机变量，的分布函数为
Fx( )
，则
Z
X
N=
μ
σ
~(,)01
，
Fx
x
() ( )=
Φ
μ
σ
。
x
x
∫
2
2
2
)(
1
μ
证明
dxexXPxF
∞?
=<=
2
)()(
σ
σπ
2
明
σμ)(?= xt
dte
x t
∫
∞
σ
μ
2
2
1
π
)(
μ?
Φ
x
σ
=
定理
2.
若随机变量
XN~(,)μσ
2
，则
X
落在区间
(,)xx
12
内的概率：
Px X x()
12
<<
=
ΦΦ()()
xx
21
μ
σ
μ
σ
证明
:
Px X x Fx Fx()()()
1221
< < =?
=
ΦΦ()()
xx
21
μ
σ
μ
σ
例5.
)4,1(~ NX
，求
P X(.)016< ≤
。
10161
解：
PX(.)016< ≤
)50()30( ΦΦ
)]50(1[)30( ΦΦ
)
2
()
2
.
(
Φ?
Φ=
.,=
.,=
6915.016179.0 +?=
3094.0=
.μ=EX数学期望因为
EX
=?
∞
+∞?
∫
xedx
x
1
2
2
2
2
πσ
μ
σ
()
令
x
t
=
μ
σ
，令，
dtetEX
t
2
2
1
)(
∞+
+=
∫
σμ
2
∞?
π
dttdt
tt
22
22
1
∞+?∞+
∫∫
σ
μ=
ee
22
∞?∞?
+=
ππ
μ
（
∵te
t
2
2
是奇函数，∴
∞
+∞
∫
=te dt
t
2
2
0
）
2
)(
2
σ=DX
方差因为
2
EX
dxex
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
∞+
∞?
=
∫
令
t
x
=
σ
μ
,
222
dtetEX
t
2
22
2
2
1
)(
∞+
∞?
+=
∫
π
σμ
dte
t
dttedte
ttt
∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
++=
2
2
2
22
2
22
2
2
1
π
σ
π
μσ
π
μ
dteet
tt
∫
∞+?
+∞
+
2
2
2
2
2
22
σσ
μ
22
σμ +
∞?
∞?
=
22 ππ
=
222222
)( σμσμ =?+=?=∴ EXEXDX
例6.将一温度调节器放置在贮存着某种液体例将度调节器放在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在
d
℃，液体的温度
X
（以℃计）是一个随机变量且温度（以℃计）是一个随机变量，且
XNd~(,.)05
2
。（1）若
d
=90，求
X
小于89的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于099问
d
温度至少为的概率不低于0.99，问至少为多少？
解：（
1
）所求概率为
Φ=
<
=<
5.0
9089
5.0
9089
5.0
90
}89{
X
PXP
=?Φ()2 = 00228.
。9772.01)2(1?=Φ?=
}80{ >XP
（
2
）按题意需求
d
满足
≤99.0
=
>
P
Xd d
0 5
80
0 5.,
=?
≤
1
05
80
05
P
Xd d
..
=?
1
80
05
Φ
d
.
即
Φ
80
05
1099 001
≤? =
d
.
..
( )x
∴
≥Φ
d 80
0 99
05.
.
80
0 5
d
d?80
0
0 x
,5.
查表的：
Φ(,),2 32 0 9898=
，
Φ(,),2 33 0 9901=
由插值法得
Φ( )2 327 0 99=
由插值法得：
.,
∴
≥
d 80
0 5
2 327.
.
即
d ≥ 811635.
。
例7.设
XN~(,)μσ
2
，求
X
落在区间
(,)μ σ μ σ? +k k
内的概率。
(,,)k = 12null
解
P k X k( )
Φ
+
Φ
μσμμσμ kk
解：
μ σ μ σ? < < +
=
σσ
)()( kk ΦΦ )](1[)( kk ΦΦ= 1)(2Φ k
0 6826.,k = 1
==
0 9544
09973
.,
.,
k
k
=
=
2
3
=
0 99994
0 9999994
.,k
k
=
=
4
5
.,
null null
把区间
(,)μ σ μ σ? +33
看作是随机变量
X
实际可能的取值区间。这一原理叫作“
3σ
原理”。原叫作原例8在电源电压不超过200伏在200 240
，
，
例,伏，在～
伏之间和超过240伏的三种情况下，电子元件损坏概率分别为0.1，0.001和0.2，今设电源电压
)15,220(~
2
Nξ
，试求该元件损坏的概率。压，
解：设事件
A
为“电子元件损坏”，事件
}200{
1
≤= ξB
,
}240200{
2
≤<= ξB
，
}240{
3
ξ<=B
1.0)|(
1
=BAP
001.0)|(
2
=BAP
2.0)|(
3
=BAP
220200
0918.0)
15
(}200{)(
1
=
Φ=≤= ξPBP
)
15
220200
()
15
220240
(}240200{)(
2
Φ?
Φ=≤<= ξPBP
8164.01)33.1(2 =?Φ=
220240
0918.0)33.1(1)
15
(1}240{)(
3
=Φ?=
Φ?=<= ξPBP
由全概率公式,
)|()()(
ii
BAPBPAP
∑
=
=0.0284
例9.（对数正态分布）设随机变量
),(~
2
σμξ N
，例试求
ξ
η e=
的数学期望。
∫
+∞
x
2
)(
1
μ
μ?x μξ?
解：
dxxpeEeE
x
)(
ξ
ξ
η
∞?
==
∫
∞+
∞?
= dxee
x
2
2
2
σ
σπ
使用变换
σ
=y
（注意
σ
相对应）
∫∫
∞+?∞+?
e
y
y
y
22
1
σ
μ
∞?∞?
+
== dyedyeeE
y
22
22
σμ
πσπ
η
22
)(
2
222
1
σ
μ
σσ
μ +∞+
+
∫
edyee
y
2π
∞?
==
应用案例应用案例应用案例应用案例例1（随机模拟与均匀分布定理证明）
设随机变量
~(0,1)Nξ
，其分布函数为
()xΦ
，
试问新随机变量
()η Φξ=
是否服从
(0,1)
间的
(0 1)U
均匀分布
,1)
。
方法（随机模拟）一：（随机模拟）
1）用随机数发生器产生4×20个
)1,0(N
随机数，（“工具”菜单下的“数据分析”）
2 )
η
=
NORMDIST
(,0,1,)xTRUE
（见书中P74）
3) 再用“直方图”显示其频率图，可见
η
类似于均匀分布
(0 1)U,1)
证明：设
η
的分布函数为
()F y
η
，则
() { } { () }ξF yP yP y
η
η Φ=≤= ≤
0()()0yFyP
η
φ<==１）当时，
1()()1yFyP
η
Ω>=２）当时，
3)当
[0,1)y∈
，
Φ严格增加
3 ) 当，
∵严格增加,
1
( ) { ( ) } { ( )} ( ( ))Fy P y P y F y
ηξ
Φξ ξ Φ Φ
∴ =≤=≤=
~(0,1)Nξ∵又
1
1
()
() ()| (()
xy
Fy x yy
η
Φ
Φ ΦΦ
=
∴ ===
0,0
(),0 1
y
F yy y
η
<
= ≤<
即
1,1y≤
例2为验证汽车轮胎使用寿命对产品进行例，
一系列测试，测试结果为（单位：公里）公
75007 77443 78302 81109 80146 73535
74883 79339 78059 74010 79799 73672
82066 76974 79211 70494 72638 76303 70494
74987 80451
ξ ξ
μσ
记为轮胎的使用寿命，问是否服从正态分布，
并求出并求出，。
可用正态概率纸来近似计算可用正态概率纸来近似计算
()
x μ
Φ
横坐标为（等间隔）纵坐标xy
σ
=横坐标为（等间隔），纵坐标若数据服从正态分布则在此坐标系下为若数据服从正态分布，则在此坐标系下为一条直线。
x
y
μ?
=所拟合的直线实际上为
σ
所拟合的直线实际上为例3（市场货源组织与随机模拟）
通过经济预测国际市场每年对我国某出，
口商品的需求量为随机变量
ξ
（单位：吨）,
它服从 [2000，4000]上的均匀分布，设每售
出一吨商品可创3万元而假如售不出囤，,
积于仓库,则每吨需支付保养费 1 万元，问
应组织多少货源，使收益最佳。
(2000,4000)Uξ～
每吨获利3万元商品剩下的每吨亏1万元
（步骤一）,
y
—货源数量，
2000 4000y≤ ≤
，
3yyξ ≥
η
—总收益，
ξ
—总需求
,
(,)
3( ),
fyηξ
ξξ ξ
==
<
dxydxxyxE
y
y
∫∫
+=
4000
2000
2000
1
3
2000
1
)](3[η
3
（令）
26
1
( 7000 4 10 )
1000
yy=?+?×
32
10y t=×（令）
10)47( ×?+?= ttEη
*
dEη
令解得0,3.5t
dt
==令可解得
*
Etη ∴∵又的二阶导数小于0,为最大值。
（步骤二）用El验证结果的有效性（步骤二）用Excel
(2000,4000)RANDBETWEEN１）用产生样本值(,用产样本值
2)代入收益函数
3
35 10
(,)|
y
fyξ
=×
得到对应的收
3.51
益，（见书中P79模拟结果）
结果：20次模拟中收益相当分散原因：均值适合于长期结果，对于短期运作光注意是不够的还需进步分析注意
Eη
，还需进一步分析
Dη
步骤三：方差分析
232 6
10 64
{178}10
33
Etttη =? + +? ×
22432 6
32 112
(){ 40 64 }10
33
DE E t t t tηη η=? =?+?+?×
'32
() 4( 8 2016)0,2,4D tt t tt
D
η
η
= +? = = =令解得且在[2,4]单调递增[,]
,E Dη η兼顾和要求在期望函数收益8000≥ηE的条件下
随机模拟的结果见书中使风险尽量小，从而
]4,3[∈t
,即
3
*
=t
为最佳值。
随机模拟的结果见书中P80
0-1分布离散型随机变量二项分布泊松分布几何分布超几何分布常用的连续型随机变量
(1)
均匀分布
Uab(,)
(Uniform distribution)
a,
定义
X
的概率密度密度为
( )
,
x
b a
axb
=
<<
1
称
X
在区间
( )a b
上服从均匀分布的概率密度密度为
,
0其它记为
X U a b~ ( )
( )x
称在区间
,
上服从均匀分布，记为
,
。
:数学期望
1
.
2
ba
EX
+
=
ba?
方差,
)(
2
b
0xab
12
a
DX
=
b.意义
X
具有下述意义的等可能性即
X
落在
( )a b
中任，即
,
意等长度的子区间内的可能性是相同的。换句话说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长说，
度，而与子区间的位置无关。
即
+( ) ( )l b
即
,,,c c a
Pc X c l x dx
l
b
cl
{ } ( )≤ < + = =
+
∫
F x()
1
a
c
xa,≤
0
Fx
x a
ba
axb
x b
(),=
<≤
>
1
ab0x
,
c.应用：
1)
读刻度器上读数时，把零头数化为最靠近整分度时所发生的误差
.
2)
每隔一定时间有一辆公共汽车通过的汽车停靠站上，乘客候车的时间
.
例1.秒表的最小刻度差为0.2秒，如果计时的精确度是取最近的刻度值求使用该秒表计时产度是取最近的刻度值，求使用该秒表计时产生的随机误差的概率分布，并计算误差的绝对值不超过秒的概率对值不超过0.05秒的概率。
0-02 02
-0.1 01
解：设随机误差
X
可能取得区间
(-0.1
，
0.1)
内的任一值并在此区间内服从均匀分布则
X
的密度函
0.2 0.2
0.1
值，并在此区间内服从均匀分布，则的密度函数为
≥
<
=
1.0||,0
1.0||,5
)(
x
x
x?
∴
PX dx(| |,),
.
.
≤= =
∫
005 5 05
005
005
即误差的绝对值不超过
0.05
秒的概率为
0.5
。
例2,设随机变量
ξ
服从
)10,0(
上的均匀分布，现对
ξ
进行观察试求在不多于3次的观察中对进行观察，试求在不多于次的观察中至少有一次观察值超过8的概率。
解：对
ξ
进行一次观察发现其值超过8的概率
11
510
)8(
10
8
==>=
∫
dxPp ξ
。
令
η
为观察值首次超过8次的观察次数，则
)(~ pGeη
,
)3()2()1()3( ++≤ PPPP
61
2
=++=
====
pqqpp
ηηηη
125
。
(2)指数分布
)(λE
(Exponential distribution)
a.定义
若随机变量
X
的分布密度为
λ
λ
( )
,
x
ex
x
=
>
0
λ 0
,x ≤
00
，
>
，
则这种分布叫做指数分布，称随机变量
X
服从参数，
为
λ
的指数分布，记为
)(~ λEX
。
数分布函数为
>?
0,1
)(
xe
F
xλ
≤
=
0,0 x
x
?密度函数和分布函数的图形：
( ) F( )
x
x
λ
1
0 x 0 x
b.
应用：寿命、某种服务的等待时间（如银行取款，
售票处买票等）。
数学期望
λ
1
=EX
，2
1
λ
=DX方差因为
EX
=?
+∞
∫
0
xedx
x
λ
λ
)()(
x
edx
λ?
+∞
=
∫
dxeex
xx
∫
+∞
+∞
= )1()(
λλ
0
0
0
∞+
=
0
1
0
x
e
λ
λ
λλ
1
)10(
1
==
而
2
EX
dxex
xλ
λ
+∞
=
∫
2
0
)()(
2
0
x
edx
λ?
+∞
=
∫
dxexex
xx
∫
+∞
+∞
=
0
0
2
)2()(
λλ
2
dxex
xλ?
+∞
+=
∫
0
20
)(
0
x
exd
λ
λ
+∞
∫
=
2
+∞∞+
∫
22
+
222
112
)(
00
dxeex
xx λλ
λ
=
2
0
2
λλ
λ
==
∞
x
e
22
)()(
λλλ
=?=?= EXEXDX
例3.已知某种电子管的寿命
X
服从指数分布，密度函数为
x
1
()
,
,
x
e x
x
=
>
≤
1000
0
00
1000
求这种电子管能使用1000小时以上的概率。
+∞
∫解：
P Xxdx()()≥ =1000
1000
+∞
∫
1
x
=
1000
1000
1000
edx
+∞
=? = ≈
ee
x
1000
1
0 368.
1000
例4,设观察到银行窗口等待服务的时间
ξ
（分钟）服从指数分布
)
5
1
(E
，该顾客在窗口最多等候分钟如超过分钟他就离假多等候10分钟，如超过10分钟他就离开。假设他一个月到该银行5次，试求他在一个月内到银行未等到服务而离开窗口的平均次数。
解设
η
是顾客未等到服务而离开窗口的次数解：设，
（可能取值为0 15）
),5(~ pBη
（,1,…,5）
2
5
1
)(}10{
∞+?∞+
===≥=
∫∫
edxedxxpPp
x
ξ
所需的离开窗口平均次数为
2
55
== epEη
1010
5
所需。
(3)
正态分布
N (,)μσ
2
（高斯分布，常态分布）
a
定义
,
定义若随机变量
X
的分布密度为
μ( )x
2
πσ
σ
()xe=
1
2
2
2
，
μσ,
2
0>
是常数，
则称随机变量
X
服从正态分布，记为
),(~
2
σμNX
()x
0 x
?密度函数图形特点：
( )x
σπ2
1
密度函数图形特点：
c关于
x = μ
对称；
1
σμ?=x
σμ+=x
d极大值：
μ
πσ
极大
==()
2；
0 x
μ
?关于参数的说明：
e拐点：在
x = ±μ σ
处； f渐近线：
x
轴。
关于参数的说明：
c位置参数
μ
（在
x
轴上平移）
d比例参数
σ
：
σ
大，图形平坦；
σ
小，图形呈尖塔形。
b.分布函数：
2
Fx e dx
x
x
()
()
=
∞
∫
1
2
2
2
πσ
μ
σ
分布函数的图形：
F x( )
x
?标准正态分布
XN~(,)01
分布密度为
π
()xe
x
=
1
2
2
2
()x
)( x?Φ
)(1 xΦ?
0
x
-x x
分布函数记为
Φ()x
，即
Φ()xedt
t
x
=
∞
∫
1
2
2
2
π
。
Φ()x
的性质：
( ) ( ) ( ) ( )
(1)
Φ,005=
,(2)
Φ +∞ = 1
,(3)
Φ Φ? =?xx1
.
?
Φ()x
的图形：
Φ( )x
0,5
0
x
定理
1.
若随机变量
X N~ (,)μ σ
2
，
X
的分布函数为定理若随机变量，的分布函数为
Fx( )
，则
Z
X
N=
μ
σ
~(,)01
，
Fx
x
() ( )=
Φ
μ
σ
。
x
x
∫
2
2
2
)(
1
μ
证明
dxexXPxF
∞?
=<=
2
)()(
σ
σπ
2
明
σμ)(?= xt
dte
x t
∫
∞
σ
μ
2
2
1
π
)(
μ?
Φ
x
σ
=
定理
2.
若随机变量
XN~(,)μσ
2
，则
X
落在区间
(,)xx
12
内的概率：
Px X x()
12
<<
=
ΦΦ()()
xx
21
μ
σ
μ
σ
证明
:
Px X x Fx Fx()()()
1221
< < =?
=
ΦΦ()()
xx
21
μ
σ
μ
σ
例5.
)4,1(~ NX
，求
P X(.)016< ≤
。
10161
解：
PX(.)016< ≤
)50()30( ΦΦ
)]50(1[)30( ΦΦ
)
2
()
2
.
(
Φ?
Φ=
.,=
.,=
6915.016179.0 +?=
3094.0=
.μ=EX数学期望因为
EX
=?
∞
+∞?
∫
xedx
x
1
2
2
2
2
πσ
μ
σ
()
令
x
t
=
μ
σ
，令，
dtetEX
t
2
2
1
)(
∞+
+=
∫
σμ
2
∞?
π
dttdt
tt
22
22
1
∞+?∞+
∫∫
σ
μ=
ee
22
∞?∞?
+=
ππ
μ
（
∵te
t
2
2
是奇函数，∴
∞
+∞
∫
=te dt
t
2
2
0
）
2
)(
2
σ=DX
方差因为
2
EX
dxex
x
2
2
2
2
1
σ
μ
σπ
∞+
∞?
=
∫
令
t
x
=
σ
μ
,
222
dtetEX
t
2
22
2
2
1
)(
∞+
∞?
+=
∫
π
σμ
dte
t
dttedte
ttt
∫∫∫
∞+
∞?
∞+
∞?
∞+
∞?
++=
2
2
2
22
2
22
2
2
1
π
σ
π
μσ
π
μ
dteet
tt
∫
∞+?
+∞
+
2
2
2
2
2
22
σσ
μ
22
σμ +
∞?
∞?
=
22 ππ
=
222222
)( σμσμ =?+=?=∴ EXEXDX
例6.将一温度调节器放置在贮存着某种液体例将度调节器放在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在
d
℃，液体的温度
X
（以℃计）是一个随机变量且温度（以℃计）是一个随机变量，且
XNd~(,.)05
2
。（1）若
d
=90，求
X
小于89的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于099问
d
温度至少为的概率不低于0.99，问至少为多少？
解：（
1
）所求概率为
Φ=
<
=<
5.0
9089
5.0
9089
5.0
90
}89{
X
PXP
=?Φ()2 = 00228.
。9772.01)2(1?=Φ?=
}80{ >XP
（
2
）按题意需求
d
满足
≤99.0
=
>
P
Xd d
0 5
80
0 5.,
=?
≤
1
05
80
05
P
Xd d
..
=?
1
80
05
Φ
d
.
即
Φ
80
05
1099 001
≤? =
d
.
..
( )x
∴
≥Φ
d 80
0 99
05.
.
80
0 5
d
d?80
0
0 x
,5.
查表的：
Φ(,),2 32 0 9898=
，
Φ(,),2 33 0 9901=
由插值法得
Φ( )2 327 0 99=
由插值法得：
.,
∴
≥
d 80
0 5
2 327.
.
即
d ≥ 811635.
。
例7.设
XN~(,)μσ
2
，求
X
落在区间
(,)μ σ μ σ? +k k
内的概率。
(,,)k = 12null
解
P k X k( )
Φ
+
Φ
μσμμσμ kk
解：
μ σ μ σ? < < +
=
σσ
)()( kk ΦΦ )](1[)( kk ΦΦ= 1)(2Φ k
0 6826.,k = 1
==
0 9544
09973
.,
.,
k
k
=
=
2
3
=
0 99994
0 9999994
.,k
k
=
=
4
5
.,
null null
把区间
(,)μ σ μ σ? +33
看作是随机变量
X
实际可能的取值区间。这一原理叫作“
3σ
原理”。原叫作原例8在电源电压不超过200伏在200 240
，
，
例,伏，在～
伏之间和超过240伏的三种情况下，电子元件损坏概率分别为0.1，0.001和0.2，今设电源电压
)15,220(~
2
Nξ
，试求该元件损坏的概率。压，
解：设事件
A
为“电子元件损坏”，事件
}200{
1
≤= ξB
,
}240200{
2
≤<= ξB
，
}240{
3
ξ<=B
1.0)|(
1
=BAP
001.0)|(
2
=BAP
2.0)|(
3
=BAP
220200
0918.0)
15
(}200{)(
1
=
Φ=≤= ξPBP
)
15
220200
()
15
220240
(}240200{)(
2
Φ?
Φ=≤<= ξPBP
8164.01)33.1(2 =?Φ=
220240
0918.0)33.1(1)
15
(1}240{)(
3
=Φ?=
Φ?=<= ξPBP
由全概率公式,
)|()()(
ii
BAPBPAP
∑
=
=0.0284
例9.（对数正态分布）设随机变量
),(~
2
σμξ N
，例试求
ξ
η e=
的数学期望。
∫
+∞
x
2
)(
1
μ
μ?x μξ?
解：
dxxpeEeE
x
)(
ξ
ξ
η
∞?
==
∫
∞+
∞?
= dxee
x
2
2
2
σ
σπ
使用变换
σ
=y
（注意
σ
相对应）
∫∫
∞+?∞+?
e
y
y
y
22
1
σ
μ
∞?∞?
+
== dyedyeeE
y
22
22
σμ
πσπ
η
22
)(
2
222
1
σ
μ
σσ
μ +∞+
+
∫
edyee
y
2π
∞?
==
应用案例应用案例应用案例应用案例例1（随机模拟与均匀分布定理证明）
设随机变量
~(0,1)Nξ
，其分布函数为
()xΦ
，
试问新随机变量
()η Φξ=
是否服从
(0,1)
间的
(0 1)U
均匀分布
,1)
。
方法（随机模拟）一：（随机模拟）
1）用随机数发生器产生4×20个
)1,0(N
随机数，（“工具”菜单下的“数据分析”）
2 )
η
=
NORMDIST
(,0,1,)xTRUE
（见书中P74）
3) 再用“直方图”显示其频率图，可见
η
类似于均匀分布
(0 1)U,1)
证明：设
η
的分布函数为
()F y
η
，则
() { } { () }ξF yP yP y
η
η Φ=≤= ≤
0()()0yFyP
η
φ<==１）当时，
1()()1yFyP
η
Ω>=２）当时，
3)当
[0,1)y∈
，
Φ严格增加
3 ) 当，
∵严格增加,
1
( ) { ( ) } { ( )} ( ( ))Fy P y P y F y
ηξ
Φξ ξ Φ Φ
∴ =≤=≤=
~(0,1)Nξ∵又
1
1
()
() ()| (()
xy
Fy x yy
η
Φ
Φ ΦΦ
=
∴ ===
0,0
(),0 1
y
F yy y
η
<
= ≤<
即
1,1y≤
例2为验证汽车轮胎使用寿命对产品进行例，
一系列测试，测试结果为（单位：公里）公
75007 77443 78302 81109 80146 73535
74883 79339 78059 74010 79799 73672
82066 76974 79211 70494 72638 76303 70494
74987 80451
ξ ξ
μσ
记为轮胎的使用寿命，问是否服从正态分布，
并求出并求出，。
可用正态概率纸来近似计算可用正态概率纸来近似计算
()
x μ
Φ
横坐标为（等间隔）纵坐标xy
σ
=横坐标为（等间隔），纵坐标若数据服从正态分布则在此坐标系下为若数据服从正态分布，则在此坐标系下为一条直线。
x
y
μ?
=所拟合的直线实际上为
σ
所拟合的直线实际上为例3（市场货源组织与随机模拟）
通过经济预测国际市场每年对我国某出，
口商品的需求量为随机变量
ξ
（单位：吨）,
它服从 [2000，4000]上的均匀分布，设每售
出一吨商品可创3万元而假如售不出囤，,
积于仓库,则每吨需支付保养费 1 万元，问
应组织多少货源，使收益最佳。
(2000,4000)Uξ～
每吨获利3万元商品剩下的每吨亏1万元
（步骤一）,
y
—货源数量，
2000 4000y≤ ≤
，
3yyξ ≥
η
—总收益，
ξ
—总需求
,
(,)
3( ),
fyηξ
ξξ ξ
==
<
dxydxxyxE
y
y
∫∫
+=
4000
2000
2000
1
3
2000
1
)](3[η
3
（令）
26
1
( 7000 4 10 )
1000
yy=?+?×
32
10y t=×（令）
10)47( ×?+?= ttEη
*
dEη
令解得0,3.5t
dt
==令可解得
*
Etη ∴∵又的二阶导数小于0,为最大值。
（步骤二）用El验证结果的有效性（步骤二）用Excel
(2000,4000)RANDBETWEEN１）用产生样本值(,用产样本值
2)代入收益函数
3
35 10
(,)|
y
fyξ
=×
得到对应的收
3.51
益，（见书中P79模拟结果）
结果：20次模拟中收益相当分散原因：均值适合于长期结果，对于短期运作光注意是不够的还需进步分析注意
Eη
，还需进一步分析
Dη
步骤三：方差分析
232 6
10 64
{178}10
33
Etttη =? + +? ×
22432 6
32 112
(){ 40 64 }10
33
DE E t t t tηη η=? =?+?+?×
'32
() 4( 8 2016)0,2,4D tt t tt
D
η
η
= +? = = =令解得且在[2,4]单调递增[,]
,E Dη η兼顾和要求在期望函数收益8000≥ηE的条件下
随机模拟的结果见书中使风险尽量小，从而
]4,3[∈t
,即
3
*
=t
为最佳值。
随机模拟的结果见书中P80
