连续型随机变量的概率密度
F( ) f( )
规范性
x …f(x
非负性
P{a<X<b}
五、数学期望
2009-3-16
离散随机变量的数学期望
1.
定义,设离散型随机变量
X
的分布律为：
X
x
1
x
2
…
x
i
…
p p p p
k 1 2
…
i
…
若级数
x p
∞
∑
绝对收敛 则称级数
x p
∞
∑
的和若级数
i
i
i
=1
绝对收敛,则称级数
i
i
i
=1
为随机变 量
X
的数学期 望,记为
E X( )
或
EX
。为随机变 的数学期 或即
E X( )
=
x p
i i
∞
∑
即
i=1
。
2009-3-16
例
1.
甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为
X
1
、
X
它们的分布律分别为
2
X
1
012
X
2
012
p
k
00.20.8
p
k
0.6 0.3 0.1
试评定他们的成绩的好坏。
解,8.18.022.0100
1
=×+×+×=EX
5.01.023.016.00
2
=×+×+×=EX
即乙的成绩远不如甲的成绩。
甲 乙
2009-3-16
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试验中所得随机变量的观测值的算术平均值 （ 称为样本平均值 ） 有密切的关（ ）
系。
设进行
n
次独立试验 得到随机变量
X
的,的统计分布如下：
X
x
1
x
2
L x
l
总计频数
m
1
m
2
L m
l
n频数频率
ω()x
1
ω()x
2
L ω()x
l
1
2009-3-16
计算随机变量
X
的样本平均值：
x m x m x m+ + +
l
1
x
n
ll
=
11 2 2
L
∑
=
=
i
ii
mx
n
1
m m m
或者，
xx
n
x
n
x
n
i
l
=+++
1
1
2
2
L
l
与期望
E X( )
x p
∞
∑
比较
=+++xx xx xx
ll11 2 2
ωω ω() () ()L
=
=
∑
xx
i
i
i
1
ω()
= i
i
i
=1
上式中 只是用频率
ω( )x
代替了概率
p
，
i i
已知，当试验次数很大时，事件
Xx
i
=
的频率
ω()x
i
在对应的概率
p
i
附近摆动，所以，当试验次数很大时，
随机变量
X
的样本平均值
x
将在随机变量
X
的数学期
2009-3-16
望
E X()
附近摆动。
例 2 按规定 某车站每天 800 900900 1000都恰有例,,8:00~,00,9:00~10:00
一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立 其规律为。
到站时间
8:10
910
8:30
930
8:50
9509:10 9:30 9:50
概率
1/6 3/6 2/6
旅客 到车 求他候车时间的数学期望
(1)
一
8:00
站，
.
(2)
一旅客
8:20
到车站，求他候车时间的数学期望
.
2009-3-16
解：设旅客的候车时间为
X
分钟，
() 的分布律为(1) X
X
10 30 50
1/6 3/6 2/6
p
k
候车时间的数学期望为
1 3 2
EX(),=×+×+×=10
6
30
6
50
6
3333
（分钟）
(2) X 的分布律为
X
10 30 50 70 90
p 3
2 1 1 3 1 2 1
k
6
6 6 6
×
6 6
×
6 6
×
23123
36
90
36
70
36
50
6
30
6
10)( ×+×+×+×+×=XE
= 27 22
（ 分钟 ）
.
（ 分钟 ）
2.
连续随机变量的数学期望定义 设连续型随机变量 的概率密度为
( )
若：
X
x
,若积分
x x dx?( )
∞
∫ 绝对收敛 （ 即
| | ( )x x dx?
∞
∫ 存
∞
（ 即
∞
存在），则称积分
xxdx?()
∞
∞
∫ 的值为随机变量
X
的数学期望。记为
EX()
或
EX
。即
E X( )
=
x x dx?( )
∞
∫
数学期望简称为 期望,又称为 均值 。
∞
。
期望是分布密度曲线与
X
轴之间的平面几何意义：
图形的重心的横坐标。
例 3.
已知随机变量
X
的概率密度函数为,
( )
,
x
b a
axb
=
<<
1
,
0 其它
,
求 期 望 EX
解
EX
=?
∫
b
x
b
dx
1
=
1
2
2
( )b
x
b
求 期 望,
解
a
a
a
a
=
ba
22
=
+ab
ba2( )
2
)(~ baUXX服从均匀分布 记作称
.
,,
ba
EX
+
=
，称
2
例 4,
已知随机变量
X
的密度函数为
k x
( )
,
x
k
xe x
k
=
≥
1
2
0
2
2
1
2
Γ
,x <
2
00
解
求期望 EX
解
EX x
k
xedx
k
kx
=?
+∞
∫
0
2
1
2
1
dxex
k
xk
k
22
0
2
2
1
∞+
∫
Γ
=
2
2
2
Γ
2
令
x t2 dx dt2
得令
=
，
=
,得
EX
k
tedt
k
t
=
+∞
∫
2
0
2
Γ
=
+
2
2
1
Γ
Γ
k
k
2 2
=
=
2
Γ
kk
k
2
22
Γ
k
注意,并不是所有的随机变量都有数学期望注意,并不是所有的随机变量都有数学期望 。
例 6.设随机变量
X
服从柯西分布，其密度函数为
1
π
()
()
,x
x
x=
+
∞ < < +∞
1
2
求 数 学 期 望
EX
求 数 学 期 望 。
解
EX x dx=?
+∞
∫
1
解,
x+
∞
1
2
π()
2
1
1
+∞
+∞
∫
x
d l( )
发散
Q
0
2
0
12+
= +
x
dx xln(
+∞
∫
| |x
d
+∞
∫
x
d
∴
∞
+ x
x
1
2
发散，即
∞
+ x
x
1
2
不绝对收敛。
∴
EX
不存在 。。
数学期望的性质
1)随机变量函数的期望随机变量
Y
是随机变量
X
的函数，
Y f X= ()
随机变量 是离散的1)
X
，
分布律为
P X x p
k k
( )= =
，
k n=12,,,L
则
EY f x p
kk
k
n
=
=
∑
()
1
2)
随机变量
X
是连续的，密度函数为
()x
，
+∞
∫定义：若
|()|()fx xdx?
∞
收敛，则
+∞
∫
EY Ef X f x x dx= =
∞
() ()()?
是随机变量
Y
的数学期望是随机变量 的数学期望 。
例 7.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为
X
1
、
它 们 的 分 布 律 分 别 为
X
2
它 们 的 分 布 律 分 别 为
X
1
0 1 2
X
2
0 1 2
p
k
0 0.2 0.8
p
k
0.6 0.3 0.1
求
YX
ii
=?21,
和
ZX
i i
=
2
(,)i = 12
的数学期望。
解：
EY() ( ),,,
1
1010230826=? × + × + × =
E Y( ) ( )1 0 6 1 0 3 3 0 1 0+ +...
2
=? × × × =
EZ(),,,
1
00102408 34= × + × + × =
EZ(),,,,
2
006103401 07= × + × + × =
数 学 期 望 的 性 质2) 数 学 期 望 的 性 质性质 1,
baEXbaXE +=+ )(
性 质性 质 2,
)()())()(( XEgXEfXgXfE +=+
性质 3,设
)()( xgxf ≤
,连续或分段连续，则
)()( XEgXEf ≤
例 8,据统计在一年内健康人的死亡率为 2‰，保险公司开展生命保险业务，参加者每年支付 1200 元保险费，若一年死亡，保险公司赔偿
A
元（
)1200>A
,问
A
应为多少，才能使保险公司获益？
解 设保险公司从每个投保者处获得的净收益为随机解,
变量
ξ
，则
ξ
的分布列为
ξ
A?1200 1200
p 002.0 998.0
期望值
AAE 002.01200998.01200002.0)1200(?=×+×?=ξ
，
为使
0ξE
必须
600000A
又考虑到
1200A
故
>
，
<
，
>
,故当
6000001200 << A
时公司有望获益。
例 9 设 随 机 变 量
ξ
与
η
具 有 相 同 的 密 度 函 数例,设 随 机 变 量 与 具 有 相 同 的 密 度 函 数
<< 20
3
2
=
其他，0
,
8
)(
xx
xp
（ 1）设事件
})(|{ aA >= ωξω
与事件
})(|{ aB >= ωηω
独立，且
4
3
)( =BAP U
，求常数
a；
（ 2）求 2
1
ξ
E
。
解：（ 1）首先
∫
+∞
=>==>=
a
BPaPdxxpaPAP )(}{)(}{)( ηξ
，
得：
4
3
)]([)(2)()()()(
2
=?=?+= APAPABPBPAPBAP U
解出位于 [0,1]的解
2
1
)( =AP
。于是有
)8(
8
1
2
|
8
1
8
3
)()(
2
1
33
2
2
a
a
xdxxdxxpAP
aa
=====
∫∫
∞+
解出
3
4=a
。
（ 2）
4
3
|
8
3
8
31
)(
1
)
1
(
2
0
2
2
0
222
==?==
∫∫
+∞
∞?
xdxx
x
dxxp
x
E
ξ
。
数学期望的定义
E X()
=
xp
i
i
i
∞
∑
1
。
E X()
=
xxdx?()
∞
∞
∫ 。
=
数学期望的性质性质 1,
baEXbaXE +=+ )(
性质 2,
)()())()(( XEgXEfXgXfE +=+
性 质 3,设
)()( xgxf ≤
,连 续 或 分 段 连 续,则性 质 设,连 续 或 分 段 连 续,则
)()( XEgXEf ≤
EY f x p
kk
k
n
=
=
∑
()
1
EY Ef X f x x dx==
∞
+∞
∫
() ()()?
F( ) f( )
规范性
x …f(x
非负性
P{a<X<b}
五、数学期望
2009-3-16
离散随机变量的数学期望
1.
定义,设离散型随机变量
X
的分布律为：
X
x
1
x
2
…
x
i
…
p p p p
k 1 2
…
i
…
若级数
x p
∞
∑
绝对收敛 则称级数
x p
∞
∑
的和若级数
i
i
i
=1
绝对收敛,则称级数
i
i
i
=1
为随机变 量
X
的数学期 望,记为
E X( )
或
EX
。为随机变 的数学期 或即
E X( )
=
x p
i i
∞
∑
即
i=1
。
2009-3-16
例
1.
甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为
X
1
、
X
它们的分布律分别为
2
X
1
012
X
2
012
p
k
00.20.8
p
k
0.6 0.3 0.1
试评定他们的成绩的好坏。
解,8.18.022.0100
1
=×+×+×=EX
5.01.023.016.00
2
=×+×+×=EX
即乙的成绩远不如甲的成绩。
甲 乙
2009-3-16
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试验中所得随机变量的观测值的算术平均值 （ 称为样本平均值 ） 有密切的关（ ）
系。
设进行
n
次独立试验 得到随机变量
X
的,的统计分布如下：
X
x
1
x
2
L x
l
总计频数
m
1
m
2
L m
l
n频数频率
ω()x
1
ω()x
2
L ω()x
l
1
2009-3-16
计算随机变量
X
的样本平均值：
x m x m x m+ + +
l
1
x
n
ll
=
11 2 2
L
∑
=
=
i
ii
mx
n
1
m m m
或者，
xx
n
x
n
x
n
i
l
=+++
1
1
2
2
L
l
与期望
E X( )
x p
∞
∑
比较
=+++xx xx xx
ll11 2 2
ωω ω() () ()L
=
=
∑
xx
i
i
i
1
ω()
= i
i
i
=1
上式中 只是用频率
ω( )x
代替了概率
p
，
i i
已知，当试验次数很大时，事件
Xx
i
=
的频率
ω()x
i
在对应的概率
p
i
附近摆动，所以，当试验次数很大时，
随机变量
X
的样本平均值
x
将在随机变量
X
的数学期
2009-3-16
望
E X()
附近摆动。
例 2 按规定 某车站每天 800 900900 1000都恰有例,,8:00~,00,9:00~10:00
一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立 其规律为。
到站时间
8:10
910
8:30
930
8:50
9509:10 9:30 9:50
概率
1/6 3/6 2/6
旅客 到车 求他候车时间的数学期望
(1)
一
8:00
站，
.
(2)
一旅客
8:20
到车站，求他候车时间的数学期望
.
2009-3-16
解：设旅客的候车时间为
X
分钟，
() 的分布律为(1) X
X
10 30 50
1/6 3/6 2/6
p
k
候车时间的数学期望为
1 3 2
EX(),=×+×+×=10
6
30
6
50
6
3333
（分钟）
(2) X 的分布律为
X
10 30 50 70 90
p 3
2 1 1 3 1 2 1
k
6
6 6 6
×
6 6
×
6 6
×
23123
36
90
36
70
36
50
6
30
6
10)( ×+×+×+×+×=XE
= 27 22
（ 分钟 ）
.
（ 分钟 ）
2.
连续随机变量的数学期望定义 设连续型随机变量 的概率密度为
( )
若：
X
x
,若积分
x x dx?( )
∞
∫ 绝对收敛 （ 即
| | ( )x x dx?
∞
∫ 存
∞
（ 即
∞
存在），则称积分
xxdx?()
∞
∞
∫ 的值为随机变量
X
的数学期望。记为
EX()
或
EX
。即
E X( )
=
x x dx?( )
∞
∫
数学期望简称为 期望,又称为 均值 。
∞
。
期望是分布密度曲线与
X
轴之间的平面几何意义：
图形的重心的横坐标。
例 3.
已知随机变量
X
的概率密度函数为,
( )
,
x
b a
axb
=
<<
1
,
0 其它
,
求 期 望 EX
解
EX
=?
∫
b
x
b
dx
1
=
1
2
2
( )b
x
b
求 期 望,
解
a
a
a
a
=
ba
22
=
+ab
ba2( )
2
)(~ baUXX服从均匀分布 记作称
.
,,
ba
EX
+
=
，称
2
例 4,
已知随机变量
X
的密度函数为
k x
( )
,
x
k
xe x
k
=
≥
1
2
0
2
2
1
2
Γ
,x <
2
00
解
求期望 EX
解
EX x
k
xedx
k
kx
=?
+∞
∫
0
2
1
2
1
dxex
k
xk
k
22
0
2
2
1
∞+
∫
Γ
=
2
2
2
Γ
2
令
x t2 dx dt2
得令
=
，
=
,得
EX
k
tedt
k
t
=
+∞
∫
2
0
2
Γ
=
+
2
2
1
Γ
Γ
k
k
2 2
=
=
2
Γ
kk
k
2
22
Γ
k
注意,并不是所有的随机变量都有数学期望注意,并不是所有的随机变量都有数学期望 。
例 6.设随机变量
X
服从柯西分布，其密度函数为
1
π
()
()
,x
x
x=
+
∞ < < +∞
1
2
求 数 学 期 望
EX
求 数 学 期 望 。
解
EX x dx=?
+∞
∫
1
解,
x+
∞
1
2
π()
2
1
1
+∞
+∞
∫
x
d l( )
发散
Q
0
2
0
12+
= +
x
dx xln(
+∞
∫
| |x
d
+∞
∫
x
d
∴
∞
+ x
x
1
2
发散，即
∞
+ x
x
1
2
不绝对收敛。
∴
EX
不存在 。。
数学期望的性质
1)随机变量函数的期望随机变量
Y
是随机变量
X
的函数，
Y f X= ()
随机变量 是离散的1)
X
，
分布律为
P X x p
k k
( )= =
，
k n=12,,,L
则
EY f x p
kk
k
n
=
=
∑
()
1
2)
随机变量
X
是连续的，密度函数为
()x
，
+∞
∫定义：若
|()|()fx xdx?
∞
收敛，则
+∞
∫
EY Ef X f x x dx= =
∞
() ()()?
是随机变量
Y
的数学期望是随机变量 的数学期望 。
例 7.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为
X
1
、
它 们 的 分 布 律 分 别 为
X
2
它 们 的 分 布 律 分 别 为
X
1
0 1 2
X
2
0 1 2
p
k
0 0.2 0.8
p
k
0.6 0.3 0.1
求
YX
ii
=?21,
和
ZX
i i
=
2
(,)i = 12
的数学期望。
解：
EY() ( ),,,
1
1010230826=? × + × + × =
E Y( ) ( )1 0 6 1 0 3 3 0 1 0+ +...
2
=? × × × =
EZ(),,,
1
00102408 34= × + × + × =
EZ(),,,,
2
006103401 07= × + × + × =
数 学 期 望 的 性 质2) 数 学 期 望 的 性 质性质 1,
baEXbaXE +=+ )(
性 质性 质 2,
)()())()(( XEgXEfXgXfE +=+
性质 3,设
)()( xgxf ≤
,连续或分段连续，则
)()( XEgXEf ≤
例 8,据统计在一年内健康人的死亡率为 2‰，保险公司开展生命保险业务，参加者每年支付 1200 元保险费，若一年死亡，保险公司赔偿
A
元（
)1200>A
,问
A
应为多少，才能使保险公司获益？
解 设保险公司从每个投保者处获得的净收益为随机解,
变量
ξ
，则
ξ
的分布列为
ξ
A?1200 1200
p 002.0 998.0
期望值
AAE 002.01200998.01200002.0)1200(?=×+×?=ξ
，
为使
0ξE
必须
600000A
又考虑到
1200A
故
>
，
<
，
>
,故当
6000001200 << A
时公司有望获益。
例 9 设 随 机 变 量
ξ
与
η
具 有 相 同 的 密 度 函 数例,设 随 机 变 量 与 具 有 相 同 的 密 度 函 数
<< 20
3
2
=
其他，0
,
8
)(
xx
xp
（ 1）设事件
})(|{ aA >= ωξω
与事件
})(|{ aB >= ωηω
独立，且
4
3
)( =BAP U
，求常数
a；
（ 2）求 2
1
ξ
E
。
解：（ 1）首先
∫
+∞
=>==>=
a
BPaPdxxpaPAP )(}{)(}{)( ηξ
，
得：
4
3
)]([)(2)()()()(
2
=?=?+= APAPABPBPAPBAP U
解出位于 [0,1]的解
2
1
)( =AP
。于是有
)8(
8
1
2
|
8
1
8
3
)()(
2
1
33
2
2
a
a
xdxxdxxpAP
aa
=====
∫∫
∞+
解出
3
4=a
。
（ 2）
4
3
|
8
3
8
31
)(
1
)
1
(
2
0
2
2
0
222
==?==
∫∫
+∞
∞?
xdxx
x
dxxp
x
E
ξ
。
数学期望的定义
E X()
=
xp
i
i
i
∞
∑
1
。
E X()
=
xxdx?()
∞
∞
∫ 。
=
数学期望的性质性质 1,
baEXbaXE +=+ )(
性质 2,
)()())()(( XEgXEfXgXfE +=+
性 质 3,设
)()( xgxf ≤
,连 续 或 分 段 连 续,则性 质 设,连 续 或 分 段 连 续,则
)()( XEgXEf ≤
EY f x p
kk
k
n
=
=
∑
()
1
EY Ef X f x x dx==
∞
+∞
∫
() ()()?
