概率条件概率乘式概率的定义及性质乘 法公 式非负性规范性可列可加性其它运算性质书 P13
定义 1.2.2,设 Ω为一样本空间,F 为 Ω某些子集所组成的集合类，如果 F 满足,
（ 1） F∈Ω ；
（ 2）若 F∈A,则对立事件 F∈A ；
（ 3） 若,,2,1,L=∈ nA
n
F 则可列并 F∈
∞
U n
A,
=1n
一般地，称空间 Ω上满足上述三个要求的集类为 σ 域，或代数 称 F 为事件域σ 代数 。 称 为事件域 。
六、独立性复习返回设
A
、
B
是两个随机事件
一般
PBA PB(| ) ()≠
，即
A
的发生对
B
发生有影响，
若这种影响不存在,则
)()|( BPABP =
,则独立的定义对于随机事件
A
、
B
，若有
)()()( BPAPABP =
，
则称
A
与
B
相互独立。否则
A
与
B
相互不独立。
独立性的另一种定义
)()|( BPABP =
注意若
PAPB()()> 0
，则“
A
、
B
互不相容”与“
A
、
B
：
相互独立”不能同时成立。
（“
A
、
B
互不相容”
=? =PAB P() ()0
，
“
A B
相 互 独 立,
= >P AB P A P B( ) ( ) ( ) 0
）,相 互 独 立
.
）
性质,若
A
与
B
相互独立，则
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也相互独立。
证明
A
与 相互独立证明与
B
)()( ABAPBAP?=
,
)()( ABPAP?=
)()()( BPAPAP?=
))(1)(( BPAP?=
)()( BPAP=
即
A
与
B
相互独立
.
例 1,设有甲、乙两名射手，他们命中目标的概率分别为
08和 07 现 两 人 同 时 向 该 目 标 射 击 一 次 试 求,0.8 和 0.7,现 两 人 同 时 向 该 目 标 射 击 次,试 求,
（ 1）目标被击中的概率； (2) 若已知目标被击中，
问 它 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少？
解：设
=A
{甲命中目标 },
{=B
乙命中目标 },
{=C
目标被命中 }
问 它 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少？
)()()()()()( BPAPBPAPBAPCP U
(1)
+==
=0.94.
也可用对立事件计算,
940)()(1
)(1)(1)(
=?=
=?=
BPAP
BAPCPCP
,
（ 2）所求为条件概率
)|( CAP
,
.
47
40
94.0
8.0
)(
)(
)(
)(
)|( ====
CP
AP
CP
ACP
CAP
,
推广
:
(1)三个事件
A B C,,
两两独立：
若 满 足
P ABPA PB( ) ( ) ( )=
两两独立相互独立若 满 足
PBC PBPC() ()()=
PAC PAPC() ()()=
=
？
(2)
ABC,,
相互独立：
若满足
PAB PAPB() ()()=
PBC PBPC() ()()=
P ACPA P C() ()()=
PABC PAPBPC( ) ()()()=
注意,两两独立
≠
相互独立
.
例 2.有四个球，其中一个红，一个白，一个黑，还有个 是 红 白 黑 三 色 球 任 取 球 设
A B C
分 别一 个 是 红 白 黑 三 色 球,任 取 一 球,设
,,
分 别表示取到的球上有红、白、黑色，问
ABC,,
是否相 互 独 立相 互 独 立 。
解：;
2
1
)()()( === CPBPAP
1
4
)()()( ===∴ BCPACPABP
)()()( BPAPABP =
)()()( CPAPACP =
)()()( CPBPBCP =
∴ABC,,
是两两独立的。
11
A B C
不 是 相 互 独 立 的
8
)()((
4
)( =≠= CPBAPPABCPQ
∴,,
不 是 相 互 独 立 的 。
推广
A A A
相互独立：
n12
,,,L
,
如果 对任意的
nmm ≤≤2,
，
任取
niii
m
≤<<<≤ L
21
1
有
)()()()(
2121 mm
iiiiii
APAPAPAAAP LL =
共 有 等 式
C C C C C
n n2 3 0 1
1 1( )
（ 共 有 等 式
nn n nn
+ + = +L
=21
n
n
个）
例 3.加工零件要三道工序，三道工序的次品率分别为 2%,3%和 5%，
各道工序互不影响,问加工出来的零件的次品率是多少？
解：
设
A
i
表示第 i 道工序出次品，则
AAA
123
,,
相互独立，
PA PA PA() () ()
12 3
2%,3%,5%= = =
各道工序互不影响,问加工出来的零件的次品率是多少？
三道工序中只要有一道工序出次品，加工出来的零件就是次品，
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )U U
即
PAA PAA PAA PAAA()()()( )
123 1 2 3
12 23 13 123
= + +
+
P A P A P A P A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +
+PAPA PAPA PA()() ()()()
1231223
13 123
=,0 09693
或者，
)(1)(1)(
321321321
AAAPAAAPAAAP?=?= UUUU
1 P A P A P A( ) ( ) ( )=?
=×?×?1 1 2%) 1 3%) 1 5%)
1 0 90307 0 09693
123
(((
=? =..
加工出来的零件的次品率是 0.09693。
试验的独立性设有两个试验
1
E
和
2
E
，试验
1
E
的任一结果（事件
A
）
与试验
2
E
的任一结果（事件
B
）都是独立时，称这两个 试 验 是 独 立 的个 试 验 是 独 立 的 。
推 广 到 多 个 试 验 的 相 互 独 立 性 。 对 试 验
,
1
E,
2
E
,L
n
E
而 言,推 广 到 多 个 试 验 的 相 互 独 立 性 。 对 试 验 而 言,
如果
1
E
的任一结果，
2
E
的任一结果，…
n
E
的任一结果都是相 互 独 立 的,则 称 这
n
个 试 验 相 互 独 立。相 互 独 的,则 称 这 个 试 验 相 互 独如果这
n
个独立试验是同一种试验，称为
n
重复独立试验。进一步，若每次试验的结果只有两个，则这种试验称为
n
重伯努利试验。
七、全概率公式和和贝叶斯公式复返习回
1.样本空间的划分：
Ω
为试验
E
的样本空间，
BB B
n12
,,,L
为
E
一组事件，若
(1)
BB i j ni j
ij
=? = ≠,,,,,;12L；
(2)
B B B
1 2
U UL U =Ω
n
则称
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分。
即 将
Ω
划 分 成 组 互 不 相 容 的 事 件即,将 划 分 成 一 组 互 不 相 容 的 事 件 。
例 1.掷一骰子，观察其点数。
解,样本空间
Ω = {,,,,,}123456
B
1
123= {,,}
，
B
2
45= {,}
，
B
3
6= {}
是
Ω
的一 个 划 分是 个 分
C
1
123= {,,}
，
C
2
34= {,}
，
C
3
56= {,}
不是
Ω
的划分。
2.全概率公式
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，
且
P B( ) 0
则且
i
>
，
P A P A B P B
i i
n
( ) ( | ) ( )=
∑
则
i=1
证明,))(()()(
21 n
BBBAPAPAP L++=Ω=
= + +PAB AB AB
n
()
12
L
= + +P AB P B P AB P B P AB P B( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
nn11 2 2
L
=
∑
P A B P B
i i
n
( | ) ( )
=i 1
例 4
有十个袋子 装球情况
2个个例,
，
如左图所示。任选一个袋子 并从中任取两球,.
求取出的两球都是白球
3个个的概率。
个个
5个个个个解：
设
A
表示取出的
2
个球都是白球，
B
表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第 种
i
表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第
i
种
（
i=123,,
）。
C
2
2 1
PB PAB
C
(),(|) ;
11
2
6
2
10 15
===
C
2
3 3
PB PAB
C
(),(|) ;
22
3
6
2
10 15
===
PB PAB
C
C
(),(|),
33
4
2
6
2
5
10
6
15
===
∴ = + +PA PABPB PAB PB PAB PB() (| )( ) (| )( ) (| )( )
11 2 2 33
21 33 56 41
0 23=? +? +? = =
10 15 10 15 10 15 150
273.
例 5某 工 厂 生 产 的 产 品 以 100 个 为 一 批 在 进 行 抽 样 调例,某 工 厂 生 产 的 产 品 以 个 为 批 。 在 进 行 抽 样 调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中 有 次 品 则 认 为 这 批 产 品 是 不 合 格 的 假 定 每 一中 有 次 品,则 认 为 这 批 产 品 是 不 合 格 的 。 假 定 每 一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有
)43210( 个 次 品 的 概 率 如 下,,,,=ii 个 次 品 的 概 率 如 下,
一批产品中有次品数
0 1 2 3 4
概 率
01 02 04 02 01
概 率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求各批产品通过检查的概 率 。率解,设事件
B
i
表示一批产品中有
i
个次品（
i = 01234,,,,
），
则 PB PB PB
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ) ( )
01 2
01 02 04
0 2 01
= = =
.,..
34
= =
设事件
A
表示这批产品通过检查，即抽样检查的
10
个 产 品 都 是 合 格 品 则 P A B( | ) 1个 产 品 都 是 合 格 品,则,
0
=
P A B
C
( | )
99
10
0 900 P A B
C
( | )
98
10
0 809
C
.,
1
100
10
= =
C
.,
2
100
10
= =
C
10
C
10
PAB
C
(| ),,
3
97
100
10
0727==
PAB
C
(| ),
4
96
100
10
0652==
∴= =
=
∑
PA PABPB
ii
i
() (| )( ),
0
4
08142
继续全概率公式
PA PABPB
ii
i
n
() (| )( )=
∑
1=
PB
i
()
── 试验前的假设概率。 （
in= 012,,,,L
）
如 果 进 行 一 次 试 验 事 件
A
确 实 发 生 了如 果 进 行 次 试 验,事 件 确 实 发 生 了,
则应当重新估计事件的概率，即求
PBA
i
(|)
。
P B A
i
( | )
── 试验后的假设概率。 （
i n=012,,,,L
）
3.贝叶斯公式,
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，且
P A( ) > 0 P B i n( ) > =0 1 2 L
：
,
i
,,,,
则
P B A
PABPB
i n
i
ii
( | )
(| )( )
,,,,= =1 2 L
则
PABPB
ii
i
n
(| )( )
=
∑
1
例6,商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱
.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0
,B
1
,B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知,P(B )08 P(B) 0 1 P(B )01
1)|( BAP
0
)=0.8,P(B
1
=,,
2
)=0.1
0
=
4
)|(
4
19
==
C
BAP
12
)|(
4
18
==
C
BAP
5
4
20
1
C 19
4
20
2
C
由Bayes公式:
)|()( BAPBP
4
10 ×
∑
=
2
11
1
)|()(
)|(
ii
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
.
≈
×+×+×
=
=0i
例 7,数字通讯过程中，信源发射 0,1两种状态信号，其中发 0的概率为 0.55，发 1的概率为 0.45。由于信道中存在干扰，
在发 0的时候，接收端分别以概率 0.9,0.05和 0.05接收为 0,1
和,不清,在发 1的时候 接收端分别以概率 0 85 0 05和和,,。,,,,和
0.1接收为 1,0和“不清”。现接收端接收到一个,1”的信号
。 问发端发的是 0的概率是多少?。
解：设 A---发射端发射 0，
B--- 接收端接收到 一 个,1”的信号
)BA (P ＝
)A(P)AB(P
＝
＝
0.067
个,
450850550050
55.005.0 ×
)A(P)AB(P)A(P)AB(P
+
...,×+×
0 (0.55) 0
1
(0.9)
(0.05)
1 (0.45)
1
0
(0.85)
(0.05)
不
(0.05)
不
(0.1)
例 8.临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 95% 对非癌症试验结果呈阳性反应者占,对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占 96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 4‰,‰,
求,（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率 （ ） 试验结果呈阴； （ 2） 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率 。 性反应的被检查者确实未患癌症的概率解,设事件 A表示试验结果呈阳性反应，事件 B表示被 检查 者 患 有 癌 症查 者 患 有 癌 症,
则据题意：
P B(),= 0004
，
P A B( | ).= 095
，
P A B(|),= 096
∴=PB(),,0 996
PAB(|),,=005 PAB(|),=004
() ( | )
()(|)
( ) ( | ) ( ) ( | )
1 PBA
PBPAB
P B P A B P B P A B
=
+
=
×
× + ×
=
0004 095
0004 095 0996 004
0 0871
..
.
....
说明,试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大 还需，
要通过进一步的检查才能确诊。
( ) ( | )P B P A B
() ( | )
()(|) ()(|)
2 P BA
PBPAB PBPAB
=
+
=
×
×+ ×
=
0996 096
0004 005 0996 096
0 9998
..
....
.
说明,试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大 。
返回应 用 案 例应 用 案 例返回例 9.某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有 )43210( =ii 个次品的概率如下,恰有,,,,个次品的概率如下,
一批产品中有次品数
0 1 2 3 4
概 率
01 02 04 02 01
概 率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求通过检查的各批产品中恰有
i
（
i=012 3 4
） 个求通过检查的各批产品中恰有 （
,,,,
） 个次品的概率。
解：
设事件
A
表示这批产品通过检查，即抽样检查的
10
个产品都是合格品，则
8142.0)( =AP
设事件
B
i
表示一批产品中有
i
个次品（
i = 01234,,,,
），
P B P B P B( ) ( ) ( )01 0 2 0 4
PB PB
.,.,.,
(),,(),.
01 2
3 4
02 01
= = =
==
P BA
PABPB
P A
i
i
ii
( | )
(| )( )
( )
,,,,,= =01234
一批产品中有次品数
01234
概 率 P B A( | )
0 123 0221 0397 0179 0080
概 率
i
,0.221 0.397 0.179 0.080
)|( ABP
i
比较与
)(
i
BP
一批产品中有次品数
01234
概 率 PB
i
()
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
比较,PB A(|)
0
>PB()
0
,
PB A(|)
1
>PB()
1
,
P B A( | )
2
<P B( )
2
P B A( | )
3
<P B( )
3
,,
PB A(|)
4
< PB()
4
.
结论 没有次品的必然通过检查 较少次品的较：,
易通过检查；次品较多的较难通过检查。
检查前后的次品数的概率分布是有所不同的。
例 10.验收一批 （ 100 件） 乐器，
验收方案如下 自该批乐：
器中随机地取 3 件测试
（ 设 3 件乐器的测试是相（ 设互独立的），如果 3 件中至少有一件在测试中被认为音色不纯 则这批乐器，
就被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为
0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01。如果已知这
100 件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，试问：这批乐器被接受的概率是多少？少？
解：
设
H
i
表示三件中恰有 i 件音色不纯,
3,2,1,0=i
，
设
A
表示乐器被接受，各件乐器彼此独立。
设,,
这批乐器被接受，可能是三件中有
i
（
3,2,1,0=i
） 件音色不纯但被误认为音色纯即音色不纯但被误认为音色纯,
即
,
3
i
HAA
∑
=
件音色纯的经测试被认为纯的概率为
099
一件音色不纯的经测试被误认为音色纯的概率为 0.05，
0i=
一
0.99
，
,)05.0()99.0()|(
3 ii
i
HAP
=Q
P H
CC
C
i
i
ii
( ),,,,= =
496
3
3
012 3
100
∴ =
∑
P A P AH P H
i i
( ) ( | ) ( )
3
=
∑
(,) (,)099 005
3
3 496
3
3
ii
ii
CC
C
=i 0
=0
100
i
= + + + =0 8574 0 0055 0 0 0 8629..,
例 11.考察由
n
个相互独立的元件构成的系统的可靠性,1）串联系统 ； 2） 并联系统 。； ） 。
（元件的可靠性是指一个电子元件能正常工作的概率；系统的可靠性是指由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率。）
(1)串联系统 (2)并联系统
解,设
A
i
表示第
i
个元件可靠，
PA p i n
i
i
(),,,
,
= = 12L
1） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时 系 统） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时,系 统才会可靠，所以串联系统可靠性为：
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( ) p p p
nnn12 1 2 12
LLL= =
2） 并联情况下，只要有一个元件是可靠的，系统 就 是 可 靠 的 所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为统 就 是 可 靠 的,所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为,
)(1)(
2121 nn
AAAPAAAP?= LULUU
)1()1)(1(1
)()()(1
21 n
ppp
APAPAP
=
=
L
L
21 n
L
若这
n
个元件（相互独立）相同,PA p
i
()=
i n= 1 2 L,,,
则 串联,( ) ( )( ) ( )PAA A PAPA PA p
nn
n
12 1 2
LL==
并联,( ) ( )P A A A
n
1 1U U U p
n12
L =
例 12.将三个字母 A,B,C 之一输入信道,输出为原字母的概率为
α
，而输出为其它字母的概率都是
1
2
α
。今将字母串 AAAA,BBBB,CCCC 之一输入信道，输入 AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为
pppp p p
1231 2 3
1,,( )+ + =
。已知输出为
ABCA,问输入的是 AAAA 的概率是多少？ (设信道传输每个字母的工作是相互独立的道传输每个字母的工作是相互独立的 。 )
解：
设
A
表示输入
AAAA
，
B
表示输入
BBBB
，
C
表示输 入 CCCC
D
表 示 输 出 ABCA输 入,表 示 输 出,
已知
2
3
PA p PB p PC p(),(),()= = =
123
PDA(|),=?
α
α
2
1
2
PDB(|),=?
α
α1
2
1
3
PDC(|)=?
α
α
2
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P D P D A P A P DBP B P DC P C= + +
)|( DAP
)(ADP
=
)()|( APADP
=
=
2
1
pα
)(DP
)(DP
+?31
11
ppαα
独独立 立性 性事件
A
、
B
称为相互独立，如果
A
、
B
满足下面 三 个 等 式 之 一,面 三 个 等 式 之,
)()|( APBAP =
)()|( BPABP =
)()()( BPAPABP =
定理
若
A
与
B
相互独立，则
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也相互独立。
注意,两两独立
≠
相互独立
.
：
n
AAA,,,
21
L 相互独立全概率公式 PA PABPB
ii
n
() (| )( )=
∑
i=1
PB
i
()
── 试验前的假设概率。 （
in= 012,,,,L
）
P B A
i
(|)
── 试验后的假设概率。 （
= 012,,,,L
）
贝叶斯公式
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，且
P A( ) 0,>
PBA
PABPB
in
i
ii
n
(|)
(| )( )
,,,,==12L
PABPB
ii
i
(| )( )
=
∑
1
定义 1.2.2,设 Ω为一样本空间,F 为 Ω某些子集所组成的集合类，如果 F 满足,
（ 1） F∈Ω ；
（ 2）若 F∈A,则对立事件 F∈A ；
（ 3） 若,,2,1,L=∈ nA
n
F 则可列并 F∈
∞
U n
A,
=1n
一般地，称空间 Ω上满足上述三个要求的集类为 σ 域，或代数 称 F 为事件域σ 代数 。 称 为事件域 。
六、独立性复习返回设
A
、
B
是两个随机事件
一般
PBA PB(| ) ()≠
，即
A
的发生对
B
发生有影响，
若这种影响不存在,则
)()|( BPABP =
,则独立的定义对于随机事件
A
、
B
，若有
)()()( BPAPABP =
，
则称
A
与
B
相互独立。否则
A
与
B
相互不独立。
独立性的另一种定义
)()|( BPABP =
注意若
PAPB()()> 0
，则“
A
、
B
互不相容”与“
A
、
B
：
相互独立”不能同时成立。
（“
A
、
B
互不相容”
=? =PAB P() ()0
，
“
A B
相 互 独 立,
= >P AB P A P B( ) ( ) ( ) 0
）,相 互 独 立
.
）
性质,若
A
与
B
相互独立，则
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也相互独立。
证明
A
与 相互独立证明与
B
)()( ABAPBAP?=
,
)()( ABPAP?=
)()()( BPAPAP?=
))(1)(( BPAP?=
)()( BPAP=
即
A
与
B
相互独立
.
例 1,设有甲、乙两名射手，他们命中目标的概率分别为
08和 07 现 两 人 同 时 向 该 目 标 射 击 一 次 试 求,0.8 和 0.7,现 两 人 同 时 向 该 目 标 射 击 次,试 求,
（ 1）目标被击中的概率； (2) 若已知目标被击中，
问 它 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少？
解：设
=A
{甲命中目标 },
{=B
乙命中目标 },
{=C
目标被命中 }
问 它 是 甲 命 中 的 概 率 是 多 少？
)()()()()()( BPAPBPAPBAPCP U
(1)
+==
=0.94.
也可用对立事件计算,
940)()(1
)(1)(1)(
=?=
=?=
BPAP
BAPCPCP
,
（ 2）所求为条件概率
)|( CAP
,
.
47
40
94.0
8.0
)(
)(
)(
)(
)|( ====
CP
AP
CP
ACP
CAP
,
推广
:
(1)三个事件
A B C,,
两两独立：
若 满 足
P ABPA PB( ) ( ) ( )=
两两独立相互独立若 满 足
PBC PBPC() ()()=
PAC PAPC() ()()=
=
？
(2)
ABC,,
相互独立：
若满足
PAB PAPB() ()()=
PBC PBPC() ()()=
P ACPA P C() ()()=
PABC PAPBPC( ) ()()()=
注意,两两独立
≠
相互独立
.
例 2.有四个球，其中一个红，一个白，一个黑，还有个 是 红 白 黑 三 色 球 任 取 球 设
A B C
分 别一 个 是 红 白 黑 三 色 球,任 取 一 球,设
,,
分 别表示取到的球上有红、白、黑色，问
ABC,,
是否相 互 独 立相 互 独 立 。
解：;
2
1
)()()( === CPBPAP
1
4
)()()( ===∴ BCPACPABP
)()()( BPAPABP =
)()()( CPAPACP =
)()()( CPBPBCP =
∴ABC,,
是两两独立的。
11
A B C
不 是 相 互 独 立 的
8
)()((
4
)( =≠= CPBAPPABCPQ
∴,,
不 是 相 互 独 立 的 。
推广
A A A
相互独立：
n12
,,,L
,
如果 对任意的
nmm ≤≤2,
，
任取
niii
m
≤<<<≤ L
21
1
有
)()()()(
2121 mm
iiiiii
APAPAPAAAP LL =
共 有 等 式
C C C C C
n n2 3 0 1
1 1( )
（ 共 有 等 式
nn n nn
+ + = +L
=21
n
n
个）
例 3.加工零件要三道工序，三道工序的次品率分别为 2%,3%和 5%，
各道工序互不影响,问加工出来的零件的次品率是多少？
解：
设
A
i
表示第 i 道工序出次品，则
AAA
123
,,
相互独立，
PA PA PA() () ()
12 3
2%,3%,5%= = =
各道工序互不影响,问加工出来的零件的次品率是多少？
三道工序中只要有一道工序出次品，加工出来的零件就是次品，
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )U U
即
PAA PAA PAA PAAA()()()( )
123 1 2 3
12 23 13 123
= + +
+
P A P A P A P A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +
+PAPA PAPA PA()() ()()()
1231223
13 123
=,0 09693
或者，
)(1)(1)(
321321321
AAAPAAAPAAAP?=?= UUUU
1 P A P A P A( ) ( ) ( )=?
=×?×?1 1 2%) 1 3%) 1 5%)
1 0 90307 0 09693
123
(((
=? =..
加工出来的零件的次品率是 0.09693。
试验的独立性设有两个试验
1
E
和
2
E
，试验
1
E
的任一结果（事件
A
）
与试验
2
E
的任一结果（事件
B
）都是独立时，称这两个 试 验 是 独 立 的个 试 验 是 独 立 的 。
推 广 到 多 个 试 验 的 相 互 独 立 性 。 对 试 验
,
1
E,
2
E
,L
n
E
而 言,推 广 到 多 个 试 验 的 相 互 独 立 性 。 对 试 验 而 言,
如果
1
E
的任一结果，
2
E
的任一结果，…
n
E
的任一结果都是相 互 独 立 的,则 称 这
n
个 试 验 相 互 独 立。相 互 独 的,则 称 这 个 试 验 相 互 独如果这
n
个独立试验是同一种试验，称为
n
重复独立试验。进一步，若每次试验的结果只有两个，则这种试验称为
n
重伯努利试验。
七、全概率公式和和贝叶斯公式复返习回
1.样本空间的划分：
Ω
为试验
E
的样本空间，
BB B
n12
,,,L
为
E
一组事件，若
(1)
BB i j ni j
ij
=? = ≠,,,,,;12L；
(2)
B B B
1 2
U UL U =Ω
n
则称
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分。
即 将
Ω
划 分 成 组 互 不 相 容 的 事 件即,将 划 分 成 一 组 互 不 相 容 的 事 件 。
例 1.掷一骰子，观察其点数。
解,样本空间
Ω = {,,,,,}123456
B
1
123= {,,}
，
B
2
45= {,}
，
B
3
6= {}
是
Ω
的一 个 划 分是 个 分
C
1
123= {,,}
，
C
2
34= {,}
，
C
3
56= {,}
不是
Ω
的划分。
2.全概率公式
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，
且
P B( ) 0
则且
i
>
，
P A P A B P B
i i
n
( ) ( | ) ( )=
∑
则
i=1
证明,))(()()(
21 n
BBBAPAPAP L++=Ω=
= + +PAB AB AB
n
()
12
L
= + +P AB P B P AB P B P AB P B( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
nn11 2 2
L
=
∑
P A B P B
i i
n
( | ) ( )
=i 1
例 4
有十个袋子 装球情况
2个个例,
，
如左图所示。任选一个袋子 并从中任取两球,.
求取出的两球都是白球
3个个的概率。
个个
5个个个个解：
设
A
表示取出的
2
个球都是白球，
B
表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第 种
i
表 示 所 选 的 袋 子 中 装 球 的 情 况 属 于 第
i
种
（
i=123,,
）。
C
2
2 1
PB PAB
C
(),(|) ;
11
2
6
2
10 15
===
C
2
3 3
PB PAB
C
(),(|) ;
22
3
6
2
10 15
===
PB PAB
C
C
(),(|),
33
4
2
6
2
5
10
6
15
===
∴ = + +PA PABPB PAB PB PAB PB() (| )( ) (| )( ) (| )( )
11 2 2 33
21 33 56 41
0 23=? +? +? = =
10 15 10 15 10 15 150
273.
例 5某 工 厂 生 产 的 产 品 以 100 个 为 一 批 在 进 行 抽 样 调例,某 工 厂 生 产 的 产 品 以 个 为 批 。 在 进 行 抽 样 调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中 有 次 品 则 认 为 这 批 产 品 是 不 合 格 的 假 定 每 一中 有 次 品,则 认 为 这 批 产 品 是 不 合 格 的 。 假 定 每 一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有
)43210( 个 次 品 的 概 率 如 下,,,,=ii 个 次 品 的 概 率 如 下,
一批产品中有次品数
0 1 2 3 4
概 率
01 02 04 02 01
概 率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求各批产品通过检查的概 率 。率解,设事件
B
i
表示一批产品中有
i
个次品（
i = 01234,,,,
），
则 PB PB PB
P B P B
( ),,( ),,( ),,
( ) ( )
01 2
01 02 04
0 2 01
= = =
.,..
34
= =
设事件
A
表示这批产品通过检查，即抽样检查的
10
个 产 品 都 是 合 格 品 则 P A B( | ) 1个 产 品 都 是 合 格 品,则,
0
=
P A B
C
( | )
99
10
0 900 P A B
C
( | )
98
10
0 809
C
.,
1
100
10
= =
C
.,
2
100
10
= =
C
10
C
10
PAB
C
(| ),,
3
97
100
10
0727==
PAB
C
(| ),
4
96
100
10
0652==
∴= =
=
∑
PA PABPB
ii
i
() (| )( ),
0
4
08142
继续全概率公式
PA PABPB
ii
i
n
() (| )( )=
∑
1=
PB
i
()
── 试验前的假设概率。 （
in= 012,,,,L
）
如 果 进 行 一 次 试 验 事 件
A
确 实 发 生 了如 果 进 行 次 试 验,事 件 确 实 发 生 了,
则应当重新估计事件的概率，即求
PBA
i
(|)
。
P B A
i
( | )
── 试验后的假设概率。 （
i n=012,,,,L
）
3.贝叶斯公式,
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，且
P A( ) > 0 P B i n( ) > =0 1 2 L
：
,
i
,,,,
则
P B A
PABPB
i n
i
ii
( | )
(| )( )
,,,,= =1 2 L
则
PABPB
ii
i
n
(| )( )
=
∑
1
例6,商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1
，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱
.问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B
0
,B
1
,B
2
分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知,P(B )08 P(B) 0 1 P(B )01
1)|( BAP
0
)=0.8,P(B
1
=,,
2
)=0.1
0
=
4
)|(
4
19
==
C
BAP
12
)|(
4
18
==
C
BAP
5
4
20
1
C 19
4
20
2
C
由Bayes公式:
)|()( BAPBP
4
10 ×
∑
=
2
11
1
)|()(
)|(
ii
BAPBP
ABP
0848.0
19
12
1.0
5
4
1.018.0
5
.
≈
×+×+×
=
=0i
例 7,数字通讯过程中，信源发射 0,1两种状态信号，其中发 0的概率为 0.55，发 1的概率为 0.45。由于信道中存在干扰，
在发 0的时候，接收端分别以概率 0.9,0.05和 0.05接收为 0,1
和,不清,在发 1的时候 接收端分别以概率 0 85 0 05和和,,。,,,,和
0.1接收为 1,0和“不清”。现接收端接收到一个,1”的信号
。 问发端发的是 0的概率是多少?。
解：设 A---发射端发射 0，
B--- 接收端接收到 一 个,1”的信号
)BA (P ＝
)A(P)AB(P
＝
＝
0.067
个,
450850550050
55.005.0 ×
)A(P)AB(P)A(P)AB(P
+
...,×+×
0 (0.55) 0
1
(0.9)
(0.05)
1 (0.45)
1
0
(0.85)
(0.05)
不
(0.05)
不
(0.1)
例 8.临床诊断记录表明，利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占 95% 对非癌症试验结果呈阳性反应者占,对非癌症患者进行试验呈阴性反应者占 96%。现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的 4‰,‰,
求,（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率 （ ） 试验结果呈阴； （ 2） 试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率 。 性反应的被检查者确实未患癌症的概率解,设事件 A表示试验结果呈阳性反应，事件 B表示被 检查 者 患 有 癌 症查 者 患 有 癌 症,
则据题意：
P B(),= 0004
，
P A B( | ).= 095
，
P A B(|),= 096
∴=PB(),,0 996
PAB(|),,=005 PAB(|),=004
() ( | )
()(|)
( ) ( | ) ( ) ( | )
1 PBA
PBPAB
P B P A B P B P A B
=
+
=
×
× + ×
=
0004 095
0004 095 0996 004
0 0871
..
.
....
说明,试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大 还需，
要通过进一步的检查才能确诊。
( ) ( | )P B P A B
() ( | )
()(|) ()(|)
2 P BA
PBPAB PBPAB
=
+
=
×
×+ ×
=
0996 096
0004 005 0996 096
0 9998
..
....
.
说明,试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大 。
返回应 用 案 例应 用 案 例返回例 9.某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时，只从每批中抽取 10 个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个，并且其中恰有 )43210( =ii 个次品的概率如下,恰有,,,,个次品的概率如下,
一批产品中有次品数
0 1 2 3 4
概 率
01 02 04 02 01
概 率
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求通过检查的各批产品中恰有
i
（
i=012 3 4
） 个求通过检查的各批产品中恰有 （
,,,,
） 个次品的概率。
解：
设事件
A
表示这批产品通过检查，即抽样检查的
10
个产品都是合格品，则
8142.0)( =AP
设事件
B
i
表示一批产品中有
i
个次品（
i = 01234,,,,
），
P B P B P B( ) ( ) ( )01 0 2 0 4
PB PB
.,.,.,
(),,(),.
01 2
3 4
02 01
= = =
==
P BA
PABPB
P A
i
i
ii
( | )
(| )( )
( )
,,,,,= =01234
一批产品中有次品数
01234
概 率 P B A( | )
0 123 0221 0397 0179 0080
概 率
i
,0.221 0.397 0.179 0.080
)|( ABP
i
比较与
)(
i
BP
一批产品中有次品数
01234
概 率 PB
i
()
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
比较,PB A(|)
0
>PB()
0
,
PB A(|)
1
>PB()
1
,
P B A( | )
2
<P B( )
2
P B A( | )
3
<P B( )
3
,,
PB A(|)
4
< PB()
4
.
结论 没有次品的必然通过检查 较少次品的较：,
易通过检查；次品较多的较难通过检查。
检查前后的次品数的概率分布是有所不同的。
例 10.验收一批 （ 100 件） 乐器，
验收方案如下 自该批乐：
器中随机地取 3 件测试
（ 设 3 件乐器的测试是相（ 设互独立的），如果 3 件中至少有一件在测试中被认为音色不纯 则这批乐器，
就被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为
0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01。如果已知这
100 件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，试问：这批乐器被接受的概率是多少？少？
解：
设
H
i
表示三件中恰有 i 件音色不纯,
3,2,1,0=i
，
设
A
表示乐器被接受，各件乐器彼此独立。
设,,
这批乐器被接受，可能是三件中有
i
（
3,2,1,0=i
） 件音色不纯但被误认为音色纯即音色不纯但被误认为音色纯,
即
,
3
i
HAA
∑
=
件音色纯的经测试被认为纯的概率为
099
一件音色不纯的经测试被误认为音色纯的概率为 0.05，
0i=
一
0.99
，
,)05.0()99.0()|(
3 ii
i
HAP
=Q
P H
CC
C
i
i
ii
( ),,,,= =
496
3
3
012 3
100
∴ =
∑
P A P AH P H
i i
( ) ( | ) ( )
3
=
∑
(,) (,)099 005
3
3 496
3
3
ii
ii
CC
C
=i 0
=0
100
i
= + + + =0 8574 0 0055 0 0 0 8629..,
例 11.考察由
n
个相互独立的元件构成的系统的可靠性,1）串联系统 ； 2） 并联系统 。； ） 。
（元件的可靠性是指一个电子元件能正常工作的概率；系统的可靠性是指由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率。）
(1)串联系统 (2)并联系统
解,设
A
i
表示第
i
个元件可靠，
PA p i n
i
i
(),,,
,
= = 12L
1） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时 系 统） 串 联 情 况 下 只 有 当 每 个 元 件 都 可 靠 时,系 统才会可靠，所以串联系统可靠性为：
P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( ) p p p
nnn12 1 2 12
LLL= =
2） 并联情况下，只要有一个元件是可靠的，系统 就 是 可 靠 的 所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为统 就 是 可 靠 的,所 以 并 联 系 统 的 可 靠 性 为,
)(1)(
2121 nn
AAAPAAAP?= LULUU
)1()1)(1(1
)()()(1
21 n
ppp
APAPAP
=
=
L
L
21 n
L
若这
n
个元件（相互独立）相同,PA p
i
()=
i n= 1 2 L,,,
则 串联,( ) ( )( ) ( )PAA A PAPA PA p
nn
n
12 1 2
LL==
并联,( ) ( )P A A A
n
1 1U U U p
n12
L =
例 12.将三个字母 A,B,C 之一输入信道,输出为原字母的概率为
α
，而输出为其它字母的概率都是
1
2
α
。今将字母串 AAAA,BBBB,CCCC 之一输入信道，输入 AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为
pppp p p
1231 2 3
1,,( )+ + =
。已知输出为
ABCA,问输入的是 AAAA 的概率是多少？ (设信道传输每个字母的工作是相互独立的道传输每个字母的工作是相互独立的 。 )
解：
设
A
表示输入
AAAA
，
B
表示输入
BBBB
，
C
表示输 入 CCCC
D
表 示 输 出 ABCA输 入,表 示 输 出,
已知
2
3
PA p PB p PC p(),(),()= = =
123
PDA(|),=?
α
α
2
1
2
PDB(|),=?
α
α1
2
1
3
PDC(|)=?
α
α
2
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )P D P D A P A P DBP B P DC P C= + +
)|( DAP
)(ADP
=
)()|( APADP
=
=
2
1
pα
)(DP
)(DP
+?31
11
ppαα
独独立 立性 性事件
A
、
B
称为相互独立，如果
A
、
B
满足下面 三 个 等 式 之 一,面 三 个 等 式 之,
)()|( APBAP =
)()|( BPABP =
)()()( BPAPABP =
定理
若
A
与
B
相互独立，则
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也相互独立。
注意,两两独立
≠
相互独立
.
：
n
AAA,,,
21
L 相互独立全概率公式 PA PABPB
ii
n
() (| )( )=
∑
i=1
PB
i
()
── 试验前的假设概率。 （
in= 012,,,,L
）
P B A
i
(|)
── 试验后的假设概率。 （
= 012,,,,L
）
贝叶斯公式
A
为一事件，
BB B
n12
,,,L
为
Ω
的一个划分，且
P A( ) 0,>
PBA
PABPB
in
i
ii
n
(|)
(| )( )
,,,,==12L
PABPB
ii
i
(| )( )
=
∑
1
