方的方 差 的 定义方差性质切比雪夫不等式常用的离散型随机变量
a 随 机 变 量
X
以 概 率 1 取 常 数 C 记 为
c 单点分布
.随 机 变 量 以 概 率 取 常 数,记 为
)(~ CxIX?
,
b.分布律：
1)( == CXP
显然
CEX =
,
0=DX
c.定义：如果随机变量
X
具有以上的分布律，
则 称
X
服 从 单 点 分 布则 称 服 从 单 点 分 布 。
② 0-1 分布（两点分布）
(即样本空间 Ω 只含有两个基本事件 )
a.随机变量 X 的取值范围,0,1.
.
或者
b.分布律：
PX m pq m p q
mm
(),,;== = +=
1
01 1
，
X
01
P X m( )= 1 p
p
c.定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律，
则称
X
服从两点分布。
d 期 望
EX 1)1(0
.期 望
ppp =×+?×=
，
方差
pqppEXEXDX =?=?=
222
)(
e.例子
? 客户是男士还是女士
? 产品是否合格
? 抛硬币是国徽朝上还是分值朝上国徽 分分5分分利用它可构成下面的二项分布和超几何分布,
e二项分布（贝努里概型）
Bnp(,)
X
的可能取值为
0 1 2
a.
：
,,,,L n
b.
分布律为：
PX m Pm Cpq p q
nn
mmnm
()(),,== = +=
1
mn= 12,,,L
其中
P m p q
n
n
( ) ( )
∑
= + = 1
c.
如果随机变量
X
具有以 上 的分布律,则称
X
服从
，
n
m=0
的分布律,
二项分布，记
XBnp~(,)
。
d.期望
npEX =
,
方差
npqDX =
证明：
E X()
=
np
。
[证 ]
E X()
=
mnm
n
m
m
n
ppCm
=
∑
)1(
0
mnm
n
m
pp
mnm
n
m
=
=
∑
)1(
)!(!
!
0
)1()1(1
)1(
)]!1()1)![(1(
)!1(
=
∑
mnm
n
pp
mnm
n
pn
1=m
∑
=
1
)1()1(11
1
)1(
n
mnmm
n
ppCnp
=+?
np p p
n
[( )]1
1
= np
=? 01m
类似地可得：
nppnnEX +?=
22
)1(
,
于 是 方 差
EXEXDX
22
)(
于 是 方 差
npq=?=
例 1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过
1500 小 时 为 一 级 品 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一小 时 为 一 级 品 。 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20 只，
问 20 只 元 件 中,恰 有
k
( )k = 0 1 20L
只 为 一问 只 元 件 中,恰 有
,,,
只 为级品的概率是多少？
解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。
随机变量
X
表示
20
只中的一级品个数，
则
X
～
B p p(,),.20 0 2=
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则
PX k Cpq k
kk k
(),,,,== =
20
20
012 20L
P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 0.055 0.022 0.007 0.002
当
k ≥11
时，
PX k().=<0001
例 2.从某大学到火车站途中有 6个交通岗,假设在各例个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是 1/3.
(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.
(2)求汽车行驶途中至少遇到 5次红灯的概率,
解,(1)由题意,X～B(6,1/3),于是,X的分布律为,解 ()由题意 /3),于是 的分布律为
6,...,1,0
21
}{
6
6
=
==
kCkXP
kk
k
33
}6{}5{}5{)2( =+==≥ XPXPXP
13121
65
5
6
=
+
=C
729333
p(x)
B(20,0.25)
B(20,0.5)
B(20,0.75)
x0
例 3.已知随机变量
X B n p~(,)
，问：当
m
为何值时，
P X m()=
最大？
解：分析：找一个
m
，使
PX m PX m()()=? ≤ =1
，且
PX m PX m()()=+≤ =1
。
PXm Cpq nm p n pm
n
mmnm
() ()=?+
+
+?
1
1
1
当
( )n p m+?>1 0
,即
m n p< +( )1
时,
PX m PX m( ) ( )=? < =1
PX m C p q m q m p
n
mmnm
() ()=?
= =? =
+
1 1
11 1
当,即 时,
当
()npm+?<10
，即
mn p>+()1
时，
PX m PX m()()=?> =1
1)
当
( )n p+ 1
是整数时 取
m n p1= +( )
这时,
PX m
P X m
()
( )
=
=
=
0
1
1
，
当,取
0
，
，
0
，
则
PX m PX m()()=? = =
00
1
都是最大值。
2)
当
()np+1
不是整数时，取
mnpnp
0
11= + < +[( ) ] ( )
，
这时有
PX m PX m()()=? < =
00
1
，而
mnp
0
11+ > +()
，
所以，
PX m PX m()()= + < =
00
1
。
最后得,
P X m( )=
0
是最大值 。,。
例 4,某车间有 200 台独立工作的车床，各台车床开工的概率都是 开工时每台车床耗电
k
0.6,1
w
，
问供电所至少要供给此车间多少电力（
kw
），
才能以 99.9％的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。
解：设
ξ
为实际开工的车床数，则
),(~ pnBξ
，其中
200=n
，
6.0=p
。令
x
（
kw
）为供电局的供电数，
则问题要求的是使下面不等式成立的最小的整数
x
：
9990}0{ ≥≤≤P ξ
.x
可用 Excel里的统计函数 BINOMDIST来计算
BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)
Number_s 为试验成功的次数。
Trials 为独立试验的 总 次数 。 总 。
Probability_s 为每次试验中成功的概率。
Cumulative= true 至多 number_s 次成功的概率
(即 １ － number s 的累积概率 ）即 １ _ ）
= false number_s 次成功的概率（单次概率）
BINOMDIST 999.0998687.0),6.0,200,140( <=TRUE
,
而
BINOMDIST
999.0),6.0,200,141( >TRUE
，而故解
141=x
（
kw
）。
二项分布常用公式:
事件 A发生的次数 不到 k次的概率,
)1()1()0(?+++ kPPP
nnn
L
事件 A发生的次数 多于 k次的概率：
)()2()1( nPkPkP +++++
事件 A发生的次数 不少于 k次的概率：
nnn
L
事件 A发生的次数 不多于 k次的概率,
)()1()( nPkPkP
nnn
++++ L
：
)()1()0( kPPP
nnn
+++ L
f泊松分布
(Poisson)
P()λ
a,X
的可能取值为：
012,,,L
b X
的分布律为,
.
的分布律为,
P X m P m e
m
( ) ( )
!
,= = = >
λ
λ
λ
λ 0
c.
记为
X~
P()λ
，
λ
是参数。
m
∞ ∞
λ
∞
m
λ
m
其中，
PX m
m
e
m m
()
!
==
= =
∑ ∑
00
λ
=
=
∑
e
m
m
λ
!
0
=?=
ee
λλ
1
d.期 望
λ=EX
，期 望,
方差
λ=DX
证 明
E X( )
=
λ
。
[证 ]
λ
λ
+∞
=
∑
e
m
mXE
m
!
)(
)!1(
1
=
+∞
∑
e
m
λ
λ
λ
证 明 。
=m 0 1
=
m
m
∑
+∞
=
1
)!1(
m
e
λ
λ
λ
=?
01m
m
=?
λ
λλ
ee=λ
类似地可得：
λλ +=
22
EX
,
于 是 方 差
λ=?=
22
)(EXEXDX
于 是 方 差
P(x)
λ
=2.5
λ
=5
λ
=10
x
0
注意：泊松分布是非对称的，但是，
λ
越大，非对称性 越 不 明 显性 越 不 明 显 。
应用,用于稠密性问题中
.
应用,用于稠密性问题中例如,例如,
某一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数某一段时间内候车的旅客数某一段时间内原子放射粒子个数
1,X,例 设每对夫妇的子女数 服从参数为 λ的泊松分布且知一对夫妇有不超过 1个孩子的概率为 3e
-2
.求任选一对夫妇,至少有 3个孩子的概率。
解,由题意
( )
2
3}1{}0{1),(~
==+==≤ eXPXPXPpX
且
λQ
解,
}2{}1{}0{1}3{ ≥ XPXPXPXP
23
2
=?=+
λλ
λλ
eee
=?=?=?=
323051
22
1
22
2
2
1
2
.
!2!1
≈?== eeee
例 2.由销售记录知道,某种商品每月销售数可用
10=λ
的泊松分布描述 （ 统计中将会介绍,（
如何利用销售记录确定分布类型）为了以
95％ 以上的概率保证不脱销 问商品在月底％,
至少应该进该种商品多少件？ （假设上月没有存货 ））
解：设月底进货
x
件，每月销售量为
ξ
件，由题意要求最小整数
x
，使
95.0
!
10
)(
0
10
≥=≤
∑
x
k
k
e
k
xP ξ
,
=
查表得
95.09166.0
!
10
14
0
10
<≈
∑
=
k
k
e
k
以及
95.09513.0
!
10
15
0
10
>≈
∑
=
k
k
e
k
,
故求得最少进货
15=x
件。
可用 Excel里的统计函数 Poisson来计算
POISSON(x,mean,cumulative)
x 事件数
参数mean
cumulative=true 累积概率
=false 单次概率
POISSON 95.0),10,14( <TRUE
，
而
POISSON
95.0),10,15( >TRUE
,
故解
15=x
（ 件 ）。（ 件
⑤超几何分布
H n M N(,,)
a 实际背景,一 批产品共有
N
个,其中有
M
个次品 现从.,个,。
这批产品中任取
n
个,求取出的
n
个产品中有
m
个次品的概率 。
b X的取值范围
012 min( )L n M
。
设随机变量
X
表示
n
个产品中的次品数，则
,的取值范围,
,,,,,L
c,X的分布律：
PX m
C C
C
M
m
NM
nm
N
n
()==
，
其中
P X m
nM
( )
min(,)
∑
1
mnM= 012,,,,min(,)L
.
，
m
= =
=0
望
nM
EX
差
)1(
nNMnM
DX
d.期 望
N
=
，方 差
1?
=
NNN
e.定义：如果随机变量
X
具有以上的分布律，则称 记
X
服 从 超 几 何 分 布 记
X
～
H n M N( )
称 记 服 从 超 几 何 分 布,记 ～
,,
。
()
H(5,10,100)
p(x)
H(10,10,100)
H(20 10 100),,
x
13570
⑥几何分布 (Geometrical Distribution)
)( pGe
a.
X
的可能取值为：
L,2,1
b
X
的 分 布 律 为,的 分 布 律 为,
0,)1()(
1
>?==
pppmXP
m
c.记为
X
~
)(pGe
，
p
是参数。
其中，
1)1()(
1
11
=?==
∞∞
∑∑
ppmXP
m
mm
==
期 望
EX
1
=
方 差
q
DX =
d.期 望
p
,方 差
2
p
证 明
E X( )
1
[证 ]
+∞
′
∞+
证 明,=
p
。
证
)(XE
∑
=
=
1
1
)1(
k
m
ppm
=
∑
=1
)1(
m
m
pp
=?
′
p
p
p
1
1 1( )
=?
′
p
p
p
1
= +
′
p
p
1
1
=
( )p
1
1
p
2
=
p
类 似 地 可 得
q
EX
12
2
+=
类 似 地 可 得,
pp
2
,
22
)(
q
EXEXDX
于是方差
2
p
=?=
例 1,进行独立重复试验,每次成功的概率为 p，例,,
令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数
,求 X的分布律 。,求 。
解,m=1时,
,...2,1,)1(}{
1
=?==
kppkXP
k
m>1时,X的全部取值为,m,m+1,m+2,…
m
XP }{ pm ==
P{X=m+1}=P{第 m+1次试验时成功并且第 m1
在前 m次试验中成功了 m-1次 }
11
21)1(}{
11
++∴
kCkXP
mkmm
pppC
mm
m
)1(?=
,...,,
1
=?==
mmmppp
k
a 随 机 变 量
X
以 概 率 1 取 常 数 C 记 为
c 单点分布
.随 机 变 量 以 概 率 取 常 数,记 为
)(~ CxIX?
,
b.分布律：
1)( == CXP
显然
CEX =
,
0=DX
c.定义：如果随机变量
X
具有以上的分布律，
则 称
X
服 从 单 点 分 布则 称 服 从 单 点 分 布 。
② 0-1 分布（两点分布）
(即样本空间 Ω 只含有两个基本事件 )
a.随机变量 X 的取值范围,0,1.
.
或者
b.分布律：
PX m pq m p q
mm
(),,;== = +=
1
01 1
，
X
01
P X m( )= 1 p
p
c.定义：如果随机变量 X 具有以上的分布律，
则称
X
服从两点分布。
d 期 望
EX 1)1(0
.期 望
ppp =×+?×=
，
方差
pqppEXEXDX =?=?=
222
)(
e.例子
? 客户是男士还是女士
? 产品是否合格
? 抛硬币是国徽朝上还是分值朝上国徽 分分5分分利用它可构成下面的二项分布和超几何分布,
e二项分布（贝努里概型）
Bnp(,)
X
的可能取值为
0 1 2
a.
：
,,,,L n
b.
分布律为：
PX m Pm Cpq p q
nn
mmnm
()(),,== = +=
1
mn= 12,,,L
其中
P m p q
n
n
( ) ( )
∑
= + = 1
c.
如果随机变量
X
具有以 上 的分布律,则称
X
服从
，
n
m=0
的分布律,
二项分布，记
XBnp~(,)
。
d.期望
npEX =
,
方差
npqDX =
证明：
E X()
=
np
。
[证 ]
E X()
=
mnm
n
m
m
n
ppCm
=
∑
)1(
0
mnm
n
m
pp
mnm
n
m
=
=
∑
)1(
)!(!
!
0
)1()1(1
)1(
)]!1()1)![(1(
)!1(
=
∑
mnm
n
pp
mnm
n
pn
1=m
∑
=
1
)1()1(11
1
)1(
n
mnmm
n
ppCnp
=+?
np p p
n
[( )]1
1
= np
=? 01m
类似地可得：
nppnnEX +?=
22
)1(
,
于 是 方 差
EXEXDX
22
)(
于 是 方 差
npq=?=
例 1.规定某种型号的电子元件使用寿命超过
1500 小 时 为 一 级 品 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一小 时 为 一 级 品 。 已 知 某 一 大 批 产 品 的 一级品率为 0.2，现在从中随机地抽查 20 只，
问 20 只 元 件 中,恰 有
k
( )k = 0 1 20L
只 为 一问 只 元 件 中,恰 有
,,,
只 为级品的概率是多少？
解：由于产品的数量很大，可作为放回抽样处理。
随机变量
X
表示
20
只中的一级品个数，
则
X
～
B p p(,),.20 0 2=
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
则
PX k Cpq k
kk k
(),,,,== =
20
20
012 20L
P 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109 0.055 0.022 0.007 0.002
当
k ≥11
时，
PX k().=<0001
例 2.从某大学到火车站途中有 6个交通岗,假设在各例个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是 1/3.
(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.
(2)求汽车行驶途中至少遇到 5次红灯的概率,
解,(1)由题意,X～B(6,1/3),于是,X的分布律为,解 ()由题意 /3),于是 的分布律为
6,...,1,0
21
}{
6
6
=
==
kCkXP
kk
k
33
}6{}5{}5{)2( =+==≥ XPXPXP
13121
65
5
6
=
+
=C
729333
p(x)
B(20,0.25)
B(20,0.5)
B(20,0.75)
x0
例 3.已知随机变量
X B n p~(,)
，问：当
m
为何值时，
P X m()=
最大？
解：分析：找一个
m
，使
PX m PX m()()=? ≤ =1
，且
PX m PX m()()=+≤ =1
。
PXm Cpq nm p n pm
n
mmnm
() ()=?+
+
+?
1
1
1
当
( )n p m+?>1 0
,即
m n p< +( )1
时,
PX m PX m( ) ( )=? < =1
PX m C p q m q m p
n
mmnm
() ()=?
= =? =
+
1 1
11 1
当,即 时,
当
()npm+?<10
，即
mn p>+()1
时，
PX m PX m()()=?> =1
1)
当
( )n p+ 1
是整数时 取
m n p1= +( )
这时,
PX m
P X m
()
( )
=
=
=
0
1
1
，
当,取
0
，
，
0
，
则
PX m PX m()()=? = =
00
1
都是最大值。
2)
当
()np+1
不是整数时，取
mnpnp
0
11= + < +[( ) ] ( )
，
这时有
PX m PX m()()=? < =
00
1
，而
mnp
0
11+ > +()
，
所以，
PX m PX m()()= + < =
00
1
。
最后得,
P X m( )=
0
是最大值 。,。
例 4,某车间有 200 台独立工作的车床，各台车床开工的概率都是 开工时每台车床耗电
k
0.6,1
w
，
问供电所至少要供给此车间多少电力（
kw
），
才能以 99.9％的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。
解：设
ξ
为实际开工的车床数，则
),(~ pnBξ
，其中
200=n
，
6.0=p
。令
x
（
kw
）为供电局的供电数，
则问题要求的是使下面不等式成立的最小的整数
x
：
9990}0{ ≥≤≤P ξ
.x
可用 Excel里的统计函数 BINOMDIST来计算
BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)
Number_s 为试验成功的次数。
Trials 为独立试验的 总 次数 。 总 。
Probability_s 为每次试验中成功的概率。
Cumulative= true 至多 number_s 次成功的概率
(即 １ － number s 的累积概率 ）即 １ _ ）
= false number_s 次成功的概率（单次概率）
BINOMDIST 999.0998687.0),6.0,200,140( <=TRUE
,
而
BINOMDIST
999.0),6.0,200,141( >TRUE
，而故解
141=x
（
kw
）。
二项分布常用公式:
事件 A发生的次数 不到 k次的概率,
)1()1()0(?+++ kPPP
nnn
L
事件 A发生的次数 多于 k次的概率：
)()2()1( nPkPkP +++++
事件 A发生的次数 不少于 k次的概率：
nnn
L
事件 A发生的次数 不多于 k次的概率,
)()1()( nPkPkP
nnn
++++ L
：
)()1()0( kPPP
nnn
+++ L
f泊松分布
(Poisson)
P()λ
a,X
的可能取值为：
012,,,L
b X
的分布律为,
.
的分布律为,
P X m P m e
m
( ) ( )
!
,= = = >
λ
λ
λ
λ 0
c.
记为
X~
P()λ
，
λ
是参数。
m
∞ ∞
λ
∞
m
λ
m
其中，
PX m
m
e
m m
()
!
==
= =
∑ ∑
00
λ
=
=
∑
e
m
m
λ
!
0
=?=
ee
λλ
1
d.期 望
λ=EX
，期 望,
方差
λ=DX
证 明
E X( )
=
λ
。
[证 ]
λ
λ
+∞
=
∑
e
m
mXE
m
!
)(
)!1(
1
=
+∞
∑
e
m
λ
λ
λ
证 明 。
=m 0 1
=
m
m
∑
+∞
=
1
)!1(
m
e
λ
λ
λ
=?
01m
m
=?
λ
λλ
ee=λ
类似地可得：
λλ +=
22
EX
,
于 是 方 差
λ=?=
22
)(EXEXDX
于 是 方 差
P(x)
λ
=2.5
λ
=5
λ
=10
x
0
注意：泊松分布是非对称的，但是，
λ
越大，非对称性 越 不 明 显性 越 不 明 显 。
应用,用于稠密性问题中
.
应用,用于稠密性问题中例如,例如,
某一段时间内电话用户对电话站的呼唤次数某一段时间内候车的旅客数某一段时间内原子放射粒子个数
1,X,例 设每对夫妇的子女数 服从参数为 λ的泊松分布且知一对夫妇有不超过 1个孩子的概率为 3e
-2
.求任选一对夫妇,至少有 3个孩子的概率。
解,由题意
( )
2
3}1{}0{1),(~
==+==≤ eXPXPXPpX
且
λQ
解,
}2{}1{}0{1}3{ ≥ XPXPXPXP
23
2
=?=+
λλ
λλ
eee
=?=?=?=
323051
22
1
22
2
2
1
2
.
!2!1
≈?== eeee
例 2.由销售记录知道,某种商品每月销售数可用
10=λ
的泊松分布描述 （ 统计中将会介绍,（
如何利用销售记录确定分布类型）为了以
95％ 以上的概率保证不脱销 问商品在月底％,
至少应该进该种商品多少件？ （假设上月没有存货 ））
解：设月底进货
x
件，每月销售量为
ξ
件，由题意要求最小整数
x
，使
95.0
!
10
)(
0
10
≥=≤
∑
x
k
k
e
k
xP ξ
,
=
查表得
95.09166.0
!
10
14
0
10
<≈
∑
=
k
k
e
k
以及
95.09513.0
!
10
15
0
10
>≈
∑
=
k
k
e
k
,
故求得最少进货
15=x
件。
可用 Excel里的统计函数 Poisson来计算
POISSON(x,mean,cumulative)
x 事件数
参数mean
cumulative=true 累积概率
=false 单次概率
POISSON 95.0),10,14( <TRUE
，
而
POISSON
95.0),10,15( >TRUE
,
故解
15=x
（ 件 ）。（ 件
⑤超几何分布
H n M N(,,)
a 实际背景,一 批产品共有
N
个,其中有
M
个次品 现从.,个,。
这批产品中任取
n
个,求取出的
n
个产品中有
m
个次品的概率 。
b X的取值范围
012 min( )L n M
。
设随机变量
X
表示
n
个产品中的次品数，则
,的取值范围,
,,,,,L
c,X的分布律：
PX m
C C
C
M
m
NM
nm
N
n
()==
，
其中
P X m
nM
( )
min(,)
∑
1
mnM= 012,,,,min(,)L
.
，
m
= =
=0
望
nM
EX
差
)1(
nNMnM
DX
d.期 望
N
=
，方 差
1?
=
NNN
e.定义：如果随机变量
X
具有以上的分布律，则称 记
X
服 从 超 几 何 分 布 记
X
～
H n M N( )
称 记 服 从 超 几 何 分 布,记 ～
,,
。
()
H(5,10,100)
p(x)
H(10,10,100)
H(20 10 100),,
x
13570
⑥几何分布 (Geometrical Distribution)
)( pGe
a.
X
的可能取值为：
L,2,1
b
X
的 分 布 律 为,的 分 布 律 为,
0,)1()(
1
>?==
pppmXP
m
c.记为
X
~
)(pGe
，
p
是参数。
其中，
1)1()(
1
11
=?==
∞∞
∑∑
ppmXP
m
mm
==
期 望
EX
1
=
方 差
q
DX =
d.期 望
p
,方 差
2
p
证 明
E X( )
1
[证 ]
+∞
′
∞+
证 明,=
p
。
证
)(XE
∑
=
=
1
1
)1(
k
m
ppm
=
∑
=1
)1(
m
m
pp
=?
′
p
p
p
1
1 1( )
=?
′
p
p
p
1
= +
′
p
p
1
1
=
( )p
1
1
p
2
=
p
类 似 地 可 得
q
EX
12
2
+=
类 似 地 可 得,
pp
2
,
22
)(
q
EXEXDX
于是方差
2
p
=?=
例 1,进行独立重复试验,每次成功的概率为 p，例,,
令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数
,求 X的分布律 。,求 。
解,m=1时,
,...2,1,)1(}{
1
=?==
kppkXP
k
m>1时,X的全部取值为,m,m+1,m+2,…
m
XP }{ pm ==
P{X=m+1}=P{第 m+1次试验时成功并且第 m1
在前 m次试验中成功了 m-1次 }
11
21)1(}{
11
++∴
kCkXP
mkmm
pppC
mm
m
)1(?=
,...,,
1
=?==
mmmppp
k
