两维期望、方差、协方差的定义两维期望、方差、协方差的性质
3、矩与相关系数设
k
为正整数，
ξ
为随机变量，如果下面的数学期望存在，则
1) 称
)(
k
k
E ξμ =
为
ξ
的
k
阶原点矩；
2)称
k
k
EEv )( ξξ?=
为
ξ
的
k
阶中心矩,
例如：一阶原点矩就是数学期望,
二阶中心矩就是方差,
例 1 试求正态分布
),(
2
σμN
的各阶中心矩与原点矩。
解：设
k
为正整数，
),(~
2
σμξ N
，则
k
阶中心矩为
kk
k
EEEv )()( μξξξ?=?=
∫
∞+
∞?
= dxex
x
k
2
2
2
)(
)(
2
1
σ
μ
μ
σπ
引进标准化变换
y
x
=
σ
μ
为偶数为奇数
k
k
dyey
dyeyv
y
kk
y
kk
k
,
2
2
0
2
1
0
2
2
2
2
==
∫
∫
∞+?
∞+
∞?
σ
π
σ
π
利用
)1(
2
+kχ
的密度规范性,
k
k
k
k
k
kk
v σ
π
σ
π
)
2
1
(2
2
)
2
1
(2
22
1
+
Γ
=
+
Γ
=
+
注意到
)
2
1
()
2
1
()
2
3
)(
2
1
()
2
1
( Γ
=
+
Γ null
kkk
故
kk
k
k
k
v σσπ
π
!)!1(
!)!1(
=
=
,
综上所述
为偶数为奇数
k
k
k
v
k
k
,
!)!1(
0
=
σ
注意到
1=k
时
μξμ == E
1
。
当
1.>k
时，原点矩为
iki
k
i
k
k
EEE
i
k
E
=
==
∑
)()(
0
ξξξξμ
ik
i
k
i
v
i
k
=
∑
= μ
0
相关系数定义：
ξη
ρηξ
ηξ
ηξ
的相关系数，记为与为随机变量称
DD
Cov ),(
ηξ
ηξ
ρ
ξη
DD
Cov ),(
=即是无量纲的量。
ξη
ρ
η
ηη
η
ξ
ξξ
ξηξρ
ξη
D
E
D
E
Cov
=
==
****
,),( 其中，结论：
))((),(
******
η
ηη
ξ
ξξ
ηξηξηξ
D
E
D
E
EEEECov
=?=
ξη
ρ
ηξ
ηηξξ
=
=
DD
EEE ))((
证：
性质 1.任意两个随机变量的相关系数的绝
对值不超过 1，即
1|| ≤
ξη
ρ
,
证明：设
**
ηξζ +=
),cov(2)(
******
ηξηξηξζ ±+=±= DDDD∵
**
22
ηξ
ρ±=
)1(2
ξη
ρ±=
≥ 0
,
01 ≥±
ξη
相关系数的性质
ρ
11 ≤≤?
ξη
ρ
1|| ≤
ξη
ρ
性质 2,
1+=
ξη
ρ
的充要条件为：
ξ
与
η
间“几乎处处”有线性关系，即存在常数
)0(≠a
与
b
，使
1}{ =+= baP ξη
，且
1,0
1,0
a
a
ξη
ρ
>
=
<
,
证明,(1)必要性：设
1+=
ξη
ρ
，令
**
ηξζ?=
，由于
)1(2)(
**
ξη
ρηξζ == DD
,
当
1+=
ξη
ρ
时
0=ζD
。故
1)( == ζζ EP
，即
1)()0(
**
=
+=
==
η
ηη
ξ
ξξ
ηξ
D
E
D
E
PP?
。
令
ξ
η
D
D
a +=
，
ξ
ξ
η
η E
D
D
Eb +=
后，就有
1)( =+= baP ξη
。
(2)充分性,设存在常数
a
,
b
，使
1}{ =+= baP ξη
，
由于“零概集”
}{ ba +≠ ξη
不影响期望计算，故
baEbaEE +=+= ξξη }{
,
ξξη DabaDD
2
)( =+=
注意到
)))((),cov( ηηξξηξ EEE=
ξξξξξξξ aDEaEaEaEE =?==
2
)())((
,
a
a
DaD
aD
DD
===
ηξ
ξ
ηξ
ηξ
ρ
ξη
2
),cov(
。
因此当
0>a
时
1=
ξη
ρ
，
0<a
时
1?=
ξη
ρ
,
注意：随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量之间的 线性相关性 。随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大时另一变量有按线性关系增大（当
b> 0
）或 减 小（ 当
b < 0
）的趋势。
当相关系数愈接近 1 或 -1 时，这种趋势就愈明显。
不相关
.
0:
不相关与称，的相关系数为与若随机变量定义
η
ξηξ
ηξηξ
ηξξη
ηξ
ηξ
ηξ
DDD
EEE
Cov
+=+
=
=
)()4(
)3(
0),(2
1
）（
不相关与）（
下列命题是等价的。与定理：对随机变量与不相关等价的命题不相关。与独立，则与若随机变量定理 ηξηξ:
证：,是连续型随机变量），若（ ηξ
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxpEyExCov ),())((),( ηξηξ则
dyypEydxxpEx )()()()(
ηξ
ηξ=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
,0)()( == ηηξξ EEEE
独立，与 ηξ∵
不相关。与即 ηξρ
ξη
,0=
,不相关与独立与 ηξηξ
注意：
例 2.设
),( ηξ
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，二维概率密度为,
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
考察
ξ
与
η
之间的独立性。
解：
∫∫
=
R
dxdyyxxpE ),(ξ
dx
r
x
dy
yr
yr
r
r
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
∫∫
=
R
dxdyyxypE ),(η
dy
r
y
dx
xr
xr
r
r
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
dxdyyxpEyExCov ),())((),( ηξηξ=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxdy
r
xy
r
r
yr
yr
2
1
22
22
π
=
∫∫
dx
r
x
ydy
r
r
yr
yr
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
ηξ,
的边缘分布密度分别为,
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
||,0
||,
2
)( 2
22
π
ξ
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
||,0
||,
2
)( 2
22
π
η
)()(),( ypxpyxp
ηξ
≠
因而，尽管
0),( =ηξCov
，但
ξ
与
η
不独立。
注意,相关系数描述了随机变量间的线性相关程度,它只能描述变量间的线性关系，但不一定能描述其它的函数关系。
例 3.设
)1,0(~ Nξ
，显然，
0=ξE
设
2
ξη =
，显然，
ξ
与
η
不独立,
0)()()(
33
=?== ξξξξη EEEE
,（前面在讲中心矩的时候已经证明，服从正态分布的随机变量的奇数阶中心矩为零。）
000),cov( === ηξξξηηξ EEEE
∴
0
),cov(
==
ηξ
ηξ
ρ
ξη
DD
,
二维正态分布独立与不相关等价计算
),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
的边际分布间的相关系数
设
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμηξ N
则
ρ
σσ
σρσ
ηξ
ηξ
ρ
ξη
===
21
21
),cov(
DD
23
,
2
1
),16,0(~),9,1(~.5
ηξ
ζρηξ
ξη
+=?=NN设例
。的相关系数与求
ξζ
ρζξζζ )2(;,)1(,DE
.16,0;9,1 ==== ηηξξ DEDE解：
3
1
23
)1( =+=
ηξ
ζ
EE
E
1
2
1
3
1
25)
2
,
3
cov(2
49
=××+=++= ηξρ
ηξηξ
ζ
ξη
DD
DD
D
0
2
1
3
1
),cov(
2
1
),cov(
3
1
),cov(
)2(
=
+
=
+
=
=
ζξ
ηξρξ
ζξ
ηξξξ
ζξ
ζξ
ρ
ξη
ξζ
DD
DDD
DDDD
相关系数四、随机变量（向量）
函数的概率分布例
1,
测量圆轴直径
d
，而关心的是截面积
A
，
Ad=
1
4
2
π
。已知直径
d
的分布，要求截面积
A
的分布。
问题：如何从已知分布的随机变量出发，去求其函数的分布？
注意：随机变量的函数仍然是随机变量。
一、随机变量函数的分布若已知
X
分布律为
X
x
1
x
2
…
x
n
…
p
k
p
1
p
2
…
p
n
…
则
YfX= ()
的分布律为：
（
1
）
fx
i
()
各不相等
Y
fx()
1
fx()
2
…
fx
n
()
…
p
k
p
1
p
2
…
p
n
…
（
2
）
fx
i
()
中有相等的，则由概 率加法定理，把 有相同
fx
i
()
的概率相加，即
PY f x PX x
ik
fx fx
ki
(() ( )
() ()
== =
=
∑
1.
离散型随机变量函数的分布例
2.
已知随机变量
X
的分布律为
X?10 1 2
p
k
02,03,01.04.
求
()12YX=?
，
() ( )21
2
YX=?
的分布律。
解：
XY 2)1(?=
是单值函数，
fx
i
()
各不相等，所以有
Y 20?2?4
p
k
02.03,01.04.
2.0)1()2( =?=== XPYP
3.0)0()0( ==== XPYP
1.0)1()2( ===?= XPYP
4.0)2()4( ===?= XPYP
() ( )21
2
YX=?
不是单值函数，
即
Y 0 14
p
k
01.07.02.
PY PX()( ).== ==0101
，
PY()=1 ==+=PX PX()()02
=+03 04..= 07.
，
2.0)1()4( =?=== XPYP
例
3.
已知随机变量
X
的分布律为
X 12
3 null n null
p
k
1
2
1
2
2
1
2
3
null
1
2
n
null
求
YX= sin( )
π
2
的分布律。
解：
Y
的可能取值为
101,,
，对应的
X
的取值为
41243 12kkkk=,,,,,null
PY PX k
k
() ( )=? = =?
=
∞
∑
141
1
=+++
1
2
1
2
1
2
371
null
=
=
1
2
1
1
2
2
15
3
4
PY PX k
k
() ( )== =
=
∞
∑
02
1
=+++
1
2
1
2
1
2
246
null
=
=
1
2
1
1
2
1
3
2
2
PY PX k
k
() ( )== =?
=
∞
∑
143
1
=+ + +
1
2
1
2
1
2
59
null
=
1
2
1
1
2
4
=
=
1
2
1
1
2
8
15
4
Y? 1 0 1
p
k
215 13 815
2.
连续型随机变量函数的分布问题,如何根据
X
的密度函数
)(xp
X
寻找
Y f X= ()
的密度函数
)(yp
Y
？
1
）当
yfx= ()
是单调函数时，它的反函数
xgy= ()
也是单调的。
a.若
fx()↑
，则
gy()↑
，即
′ >gy() 0
,
))(()( yXfPyYP ≤=≤ ))(( ygXP ≤=
dxxp
yg
X
)(
)(
∫
∞?
=
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
b.若
fx()↓
，则
gy()↓
，即
′ <gy() 0
,
))(()( yXfPyYP ≤=≤ ))(( ygXP ≥=
dxxp
yg
X
)(
)(
∫
+∞
=
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
综合 a,b 得：
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
例 4.随机变量
X
的概率密度为
<<
=
其它,0
40,
8
)(
x
x
xp
X
求
Y X= +28
的概率密度
Y
y()
。
解：
yx=+↑28
，
∴= =
↑xgy
y
()
8
2
,
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
)(
2
8
yg
y
p
X
′
=
<
<?
=
其它,0
4
2
8
0,
2
1
2
8
8
1 yy
<<
=
其它,0
168,
32
8
y
y
由
，
.
例
5.
XN~(,)μσ
2
，求
YabXb=+ ≠,( )0
的概率密度。
解：
bxaxfy +== )(
，
b
ay
ygx
==∴ )(
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
=?
1
2
1
1
2
2
2
πσ
σ
μ
e
b
ya
b
=
1
2
2
22
2
πσ
μ
σ
||
()
b
e
ya b
b
∴+YNab b~(,)μσ
22
结论：服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。
即：若
XN~(,)μσ
2
，则
abX Nab b++~(,)μσ
22
命题：若
XN~(,)μσ
2
，则
X
N
μ
σ
~(,)01
证明：取
baXY +=
,0
1
=+?=+= μ
σσ
μ
μbaEY
1
1
2
222
=
==
σ
σσ bDY
abX X+=?+
μ
σσ
1
=
X μ
σ
)1,0(~ N
X
σ
μ?
∴
2）当
yfx= ()
不是单调函数时,求
Y
的概率密度比较复杂，一般从分布函数入手。如图所示,
y
yfx= ()
y
Δ
1
()y
0
Δ
2
()y
Δ
3
()y
x
()PY y≤
=∈
<∈
∑
PX y
i
if x yx y
i
(()
:(),()
Δ
Δ
∑
∫
Δ∈<
Δ
=
)(,)(:
)(
)(
yxyxfi
y
X
i
i
dxxp
两边对
y
求导即得
)(yp
Y
。
例
6.
XN~(,)01
，求
YX=
2
的概率密度。
解：
2
2
2
1
)(
x
X
exp
=
π
两边对
y
求导,
y
eyp
y
Y
2
1
2
1
2)(
2
=
π
=
1
2
1
22
π
ye
y
当
y ≤ 0
时，
() ( ) 0
Y
Fy PY y= ≤=
，
0)( =yp
Y；
当
y > 0
时，
2
() ( ) ( )
Y
Fy PY y PX y= ≤= ≤
()P y X y=?≤≤
=
∫
1
2
2
2
π
edx
x
y
y
=
∫
2
1
2
2
2
0
π
edx
x
y
≤
>
=∴
0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yp
y
Y
π
这是
χ
2
1()
分布。
Xk~()χ
2
──随机变量
X
服从自由度为
k
的卡方分布。
X
的概率密度,
<
≥?
Γ
=
0,0
0,
2
2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
k
xp
xk
k
Γ
函数的性质：
Γ Γ() ()α α α+ =1
Γ()!nn+=1
Γ()
1
2
= π
?
Γ
函数：
Γ(),αα
α
=>
+∞
∫
xedx
x1
0
0
例
7.
随机变量
Θ
在区间
(,)?
π π
22
内服从均匀分布,求
VA= sinΘ
的概率密度。
解：
vA= sinθ
在
(,)?
π π
22
内单调增加,
θ = arcsin
v
A
也是单调增加的（
||vA<
）,
πππ
θ
1
22
1
)( =
=
Θ
p
||θ
π
<
2
2222
111
)(
vAvA
vp
V
=
=∴
π
π
||vA<
≥
<
=∴
Av
Av
vA
vp
V
||,0
||,
1
)(
22
π
，
例
8.
随机变量
Θ
在区间
(,)0 π
内服从均匀分布，求
VA= sinΘ
的概率密度。
=+
∫∫
11
0
π
θ
π
θ
π
π
dd
v
A
v
A
arcsin
arcsin
解：注意：
vA= sinθ
在
(,)0 π
内不是单调的，因而不能直接用定理,
vA= sinθ
A
v
0arcsin
v
A
π
2
π? arcsin
v
A
d当
0 < <v A
时,
F v()
=
()P Vv≤
(sin )P Av=Θ
(0 arcsin ) ( arcsin )
vv
PP
AA
π π=≤Θ≤ +? ≤Θ≤
c当
v ≤ 0
时,
F v()
=
()0PV v≤ =
=+
11
ππ
ππarcsin [ ( arcsin )]
v
A
v
A
=
2
π
arcsin
v
A
e当
v A≥
时，
F v()
=
()1PV v≤=
∴=
≤
<<
≥
Fv
v
v
A
vA
vA
()
,
arcsin,
,
00
2
0
1
π,
(2)
再求概率密度函数
()v
π
()
,
,
v
Av
vA
=
<<
2
0
0
22
其它
3、矩与相关系数设
k
为正整数，
ξ
为随机变量，如果下面的数学期望存在，则
1) 称
)(
k
k
E ξμ =
为
ξ
的
k
阶原点矩；
2)称
k
k
EEv )( ξξ?=
为
ξ
的
k
阶中心矩,
例如：一阶原点矩就是数学期望,
二阶中心矩就是方差,
例 1 试求正态分布
),(
2
σμN
的各阶中心矩与原点矩。
解：设
k
为正整数，
),(~
2
σμξ N
，则
k
阶中心矩为
kk
k
EEEv )()( μξξξ?=?=
∫
∞+
∞?
= dxex
x
k
2
2
2
)(
)(
2
1
σ
μ
μ
σπ
引进标准化变换
y
x
=
σ
μ
为偶数为奇数
k
k
dyey
dyeyv
y
kk
y
kk
k
,
2
2
0
2
1
0
2
2
2
2
==
∫
∫
∞+?
∞+
∞?
σ
π
σ
π
利用
)1(
2
+kχ
的密度规范性,
k
k
k
k
k
kk
v σ
π
σ
π
)
2
1
(2
2
)
2
1
(2
22
1
+
Γ
=
+
Γ
=
+
注意到
)
2
1
()
2
1
()
2
3
)(
2
1
()
2
1
( Γ
=
+
Γ null
kkk
故
kk
k
k
k
v σσπ
π
!)!1(
!)!1(
=
=
,
综上所述
为偶数为奇数
k
k
k
v
k
k
,
!)!1(
0
=
σ
注意到
1=k
时
μξμ == E
1
。
当
1.>k
时，原点矩为
iki
k
i
k
k
EEE
i
k
E
=
==
∑
)()(
0
ξξξξμ
ik
i
k
i
v
i
k
=
∑
= μ
0
相关系数定义：
ξη
ρηξ
ηξ
ηξ
的相关系数，记为与为随机变量称
DD
Cov ),(
ηξ
ηξ
ρ
ξη
DD
Cov ),(
=即是无量纲的量。
ξη
ρ
η
ηη
η
ξ
ξξ
ξηξρ
ξη
D
E
D
E
Cov
=
==
****
,),( 其中，结论：
))((),(
******
η
ηη
ξ
ξξ
ηξηξηξ
D
E
D
E
EEEECov
=?=
ξη
ρ
ηξ
ηηξξ
=
=
DD
EEE ))((
证：
性质 1.任意两个随机变量的相关系数的绝
对值不超过 1，即
1|| ≤
ξη
ρ
,
证明：设
**
ηξζ +=
),cov(2)(
******
ηξηξηξζ ±+=±= DDDD∵
**
22
ηξ
ρ±=
)1(2
ξη
ρ±=
≥ 0
,
01 ≥±
ξη
相关系数的性质
ρ
11 ≤≤?
ξη
ρ
1|| ≤
ξη
ρ
性质 2,
1+=
ξη
ρ
的充要条件为：
ξ
与
η
间“几乎处处”有线性关系，即存在常数
)0(≠a
与
b
，使
1}{ =+= baP ξη
，且
1,0
1,0
a
a
ξη
ρ
>
=
<
,
证明,(1)必要性：设
1+=
ξη
ρ
，令
**
ηξζ?=
，由于
)1(2)(
**
ξη
ρηξζ == DD
,
当
1+=
ξη
ρ
时
0=ζD
。故
1)( == ζζ EP
，即
1)()0(
**
=
+=
==
η
ηη
ξ
ξξ
ηξ
D
E
D
E
PP?
。
令
ξ
η
D
D
a +=
，
ξ
ξ
η
η E
D
D
Eb +=
后，就有
1)( =+= baP ξη
。
(2)充分性,设存在常数
a
,
b
，使
1}{ =+= baP ξη
，
由于“零概集”
}{ ba +≠ ξη
不影响期望计算，故
baEbaEE +=+= ξξη }{
,
ξξη DabaDD
2
)( =+=
注意到
)))((),cov( ηηξξηξ EEE=
ξξξξξξξ aDEaEaEaEE =?==
2
)())((
,
a
a
DaD
aD
DD
===
ηξ
ξ
ηξ
ηξ
ρ
ξη
2
),cov(
。
因此当
0>a
时
1=
ξη
ρ
，
0<a
时
1?=
ξη
ρ
,
注意：随机变量的相关系数实质上只是表示随机变量之间的 线性相关性 。随机变量之间的线性相关性就是：当一个变量增大时另一变量有按线性关系增大（当
b> 0
）或 减 小（ 当
b < 0
）的趋势。
当相关系数愈接近 1 或 -1 时，这种趋势就愈明显。
不相关
.
0:
不相关与称，的相关系数为与若随机变量定义
η
ξηξ
ηξηξ
ηξξη
ηξ
ηξ
ηξ
DDD
EEE
Cov
+=+
=
=
)()4(
)3(
0),(2
1
）（
不相关与）（
下列命题是等价的。与定理：对随机变量与不相关等价的命题不相关。与独立，则与若随机变量定理 ηξηξ:
证：,是连续型随机变量），若（ ηξ
)()(),( ypxpyxp
ηξ
=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
= dxdyyxpEyExCov ),())((),( ηξηξ则
dyypEydxxpEx )()()()(
ηξ
ηξ=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
,0)()( == ηηξξ EEEE
独立，与 ηξ∵
不相关。与即 ηξρ
ξη
,0=
,不相关与独立与 ηξηξ
注意：
例 2.设
),( ηξ
在以原点为中心，
r
为半径的圆域
R
上服从均匀分布，二维概率密度为,
>+
≤+
=
222
222
2
,0
,
1
),(
ryx
ryx
r
yxp
π
考察
ξ
与
η
之间的独立性。
解：
∫∫
=
R
dxdyyxxpE ),(ξ
dx
r
x
dy
yr
yr
r
r
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
∫∫
=
R
dxdyyxypE ),(η
dy
r
y
dx
xr
xr
r
r
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
dxdyyxpEyExCov ),())((),( ηξηξ=
∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
dxdy
r
xy
r
r
yr
yr
2
1
22
22
π
=
∫∫
dx
r
x
ydy
r
r
yr
yr
2
22
22
π
∫∫
=
= 0
ηξ,
的边缘分布密度分别为,
>
≤
=
rx
rx
r
xr
xp
||,0
||,
2
)( 2
22
π
ξ
>
≤
=
ry
ry
r
yr
yp
||,0
||,
2
)( 2
22
π
η
)()(),( ypxpyxp
ηξ
≠
因而，尽管
0),( =ηξCov
，但
ξ
与
η
不独立。
注意,相关系数描述了随机变量间的线性相关程度,它只能描述变量间的线性关系，但不一定能描述其它的函数关系。
例 3.设
)1,0(~ Nξ
，显然，
0=ξE
设
2
ξη =
，显然，
ξ
与
η
不独立,
0)()()(
33
=?== ξξξξη EEEE
,（前面在讲中心矩的时候已经证明，服从正态分布的随机变量的奇数阶中心矩为零。）
000),cov( === ηξξξηηξ EEEE
∴
0
),cov(
==
ηξ
ηξ
ρ
ξη
DD
,
二维正态分布独立与不相关等价计算
),,,,(
2
2
2
121
ρσσμμN
的边际分布间的相关系数
设
),,,,(~),(
2
2
2
121
ρσσμμηξ N
则
ρ
σσ
σρσ
ηξ
ηξ
ρ
ξη
===
21
21
),cov(
DD
23
,
2
1
),16,0(~),9,1(~.5
ηξ
ζρηξ
ξη
+=?=NN设例
。的相关系数与求
ξζ
ρζξζζ )2(;,)1(,DE
.16,0;9,1 ==== ηηξξ DEDE解：
3
1
23
)1( =+=
ηξ
ζ
EE
E
1
2
1
3
1
25)
2
,
3
cov(2
49
=××+=++= ηξρ
ηξηξ
ζ
ξη
DD
DD
D
0
2
1
3
1
),cov(
2
1
),cov(
3
1
),cov(
)2(
=
+
=
+
=
=
ζξ
ηξρξ
ζξ
ηξξξ
ζξ
ζξ
ρ
ξη
ξζ
DD
DDD
DDDD
相关系数四、随机变量（向量）
函数的概率分布例
1,
测量圆轴直径
d
，而关心的是截面积
A
，
Ad=
1
4
2
π
。已知直径
d
的分布，要求截面积
A
的分布。
问题：如何从已知分布的随机变量出发，去求其函数的分布？
注意：随机变量的函数仍然是随机变量。
一、随机变量函数的分布若已知
X
分布律为
X
x
1
x
2
…
x
n
…
p
k
p
1
p
2
…
p
n
…
则
YfX= ()
的分布律为：
（
1
）
fx
i
()
各不相等
Y
fx()
1
fx()
2
…
fx
n
()
…
p
k
p
1
p
2
…
p
n
…
（
2
）
fx
i
()
中有相等的，则由概 率加法定理，把 有相同
fx
i
()
的概率相加，即
PY f x PX x
ik
fx fx
ki
(() ( )
() ()
== =
=
∑
1.
离散型随机变量函数的分布例
2.
已知随机变量
X
的分布律为
X?10 1 2
p
k
02,03,01.04.
求
()12YX=?
，
() ( )21
2
YX=?
的分布律。
解：
XY 2)1(?=
是单值函数，
fx
i
()
各不相等，所以有
Y 20?2?4
p
k
02.03,01.04.
2.0)1()2( =?=== XPYP
3.0)0()0( ==== XPYP
1.0)1()2( ===?= XPYP
4.0)2()4( ===?= XPYP
() ( )21
2
YX=?
不是单值函数，
即
Y 0 14
p
k
01.07.02.
PY PX()( ).== ==0101
，
PY()=1 ==+=PX PX()()02
=+03 04..= 07.
，
2.0)1()4( =?=== XPYP
例
3.
已知随机变量
X
的分布律为
X 12
3 null n null
p
k
1
2
1
2
2
1
2
3
null
1
2
n
null
求
YX= sin( )
π
2
的分布律。
解：
Y
的可能取值为
101,,
，对应的
X
的取值为
41243 12kkkk=,,,,,null
PY PX k
k
() ( )=? = =?
=
∞
∑
141
1
=+++
1
2
1
2
1
2
371
null
=
=
1
2
1
1
2
2
15
3
4
PY PX k
k
() ( )== =
=
∞
∑
02
1
=+++
1
2
1
2
1
2
246
null
=
=
1
2
1
1
2
1
3
2
2
PY PX k
k
() ( )== =?
=
∞
∑
143
1
=+ + +
1
2
1
2
1
2
59
null
=
1
2
1
1
2
4
=
=
1
2
1
1
2
8
15
4
Y? 1 0 1
p
k
215 13 815
2.
连续型随机变量函数的分布问题,如何根据
X
的密度函数
)(xp
X
寻找
Y f X= ()
的密度函数
)(yp
Y
？
1
）当
yfx= ()
是单调函数时，它的反函数
xgy= ()
也是单调的。
a.若
fx()↑
，则
gy()↑
，即
′ >gy() 0
,
))(()( yXfPyYP ≤=≤ ))(( ygXP ≤=
dxxp
yg
X
)(
)(
∫
∞?
=
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
b.若
fx()↓
，则
gy()↓
，即
′ <gy() 0
,
))(()( yXfPyYP ≤=≤ ))(( ygXP ≥=
dxxp
yg
X
)(
)(
∫
+∞
=
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
上式两边对
y
求导：
0)())(()( ≥
′
= ygygpyp
XY
综合 a,b 得：
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
例 4.随机变量
X
的概率密度为
<<
=
其它,0
40,
8
)(
x
x
xp
X
求
Y X= +28
的概率密度
Y
y()
。
解：
yx=+↑28
，
∴= =
↑xgy
y
()
8
2
,
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
)(
2
8
yg
y
p
X
′
=
<
<?
=
其它,0
4
2
8
0,
2
1
2
8
8
1 yy
<<
=
其它,0
168,
32
8
y
y
由
，
.
例
5.
XN~(,)μσ
2
，求
YabXb=+ ≠,( )0
的概率密度。
解：
bxaxfy +== )(
，
b
ay
ygx
==∴ )(
|)(|))(()( ygygpyp
XY
′
=
=?
1
2
1
1
2
2
2
πσ
σ
μ
e
b
ya
b
=
1
2
2
22
2
πσ
μ
σ
||
()
b
e
ya b
b
∴+YNab b~(,)μσ
22
结论：服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。
即：若
XN~(,)μσ
2
，则
abX Nab b++~(,)μσ
22
命题：若
XN~(,)μσ
2
，则
X
N
μ
σ
~(,)01
证明：取
baXY +=
,0
1
=+?=+= μ
σσ
μ
μbaEY
1
1
2
222
=
==
σ
σσ bDY
abX X+=?+
μ
σσ
1
=
X μ
σ
)1,0(~ N
X
σ
μ?
∴
2）当
yfx= ()
不是单调函数时,求
Y
的概率密度比较复杂，一般从分布函数入手。如图所示,
y
yfx= ()
y
Δ
1
()y
0
Δ
2
()y
Δ
3
()y
x
()PY y≤
=∈
<∈
∑
PX y
i
if x yx y
i
(()
:(),()
Δ
Δ
∑
∫
Δ∈<
Δ
=
)(,)(:
)(
)(
yxyxfi
y
X
i
i
dxxp
两边对
y
求导即得
)(yp
Y
。
例
6.
XN~(,)01
，求
YX=
2
的概率密度。
解：
2
2
2
1
)(
x
X
exp
=
π
两边对
y
求导,
y
eyp
y
Y
2
1
2
1
2)(
2
=
π
=
1
2
1
22
π
ye
y
当
y ≤ 0
时，
() ( ) 0
Y
Fy PY y= ≤=
，
0)( =yp
Y；
当
y > 0
时，
2
() ( ) ( )
Y
Fy PY y PX y= ≤= ≤
()P y X y=?≤≤
=
∫
1
2
2
2
π
edx
x
y
y
=
∫
2
1
2
2
2
0
π
edx
x
y
≤
>
=∴
0,0
0,
2
1
)(
22
1
y
yey
yp
y
Y
π
这是
χ
2
1()
分布。
Xk~()χ
2
──随机变量
X
服从自由度为
k
的卡方分布。
X
的概率密度,
<
≥?
Γ
=
0,0
0,
2
2
1
)(
2
1
2
2
x
xex
k
xp
xk
k
Γ
函数的性质：
Γ Γ() ()α α α+ =1
Γ()!nn+=1
Γ()
1
2
= π
?
Γ
函数：
Γ(),αα
α
=>
+∞
∫
xedx
x1
0
0
例
7.
随机变量
Θ
在区间
(,)?
π π
22
内服从均匀分布,求
VA= sinΘ
的概率密度。
解：
vA= sinθ
在
(,)?
π π
22
内单调增加,
θ = arcsin
v
A
也是单调增加的（
||vA<
）,
πππ
θ
1
22
1
)( =
=
Θ
p
||θ
π
<
2
2222
111
)(
vAvA
vp
V
=
=∴
π
π
||vA<
≥
<
=∴
Av
Av
vA
vp
V
||,0
||,
1
)(
22
π
，
例
8.
随机变量
Θ
在区间
(,)0 π
内服从均匀分布，求
VA= sinΘ
的概率密度。
=+
∫∫
11
0
π
θ
π
θ
π
π
dd
v
A
v
A
arcsin
arcsin
解：注意：
vA= sinθ
在
(,)0 π
内不是单调的，因而不能直接用定理,
vA= sinθ
A
v
0arcsin
v
A
π
2
π? arcsin
v
A
d当
0 < <v A
时,
F v()
=
()P Vv≤
(sin )P Av=Θ
(0 arcsin ) ( arcsin )
vv
PP
AA
π π=≤Θ≤ +? ≤Θ≤
c当
v ≤ 0
时,
F v()
=
()0PV v≤ =
=+
11
ππ
ππarcsin [ ( arcsin )]
v
A
v
A
=
2
π
arcsin
v
A
e当
v A≥
时，
F v()
=
()1PV v≤=
∴=
≤
<<
≥
Fv
v
v
A
vA
vA
()
,
arcsin,
,
00
2
0
1
π,
(2)
再求概率密度函数
()v
π
()
,
,
v
Av
vA
=
<<
2
0
0
22
其它
