数学期望的定义数学期望的性质随机变量函数的期望
2
σ
DX
六
2
)( EXXE?
六、
DX
22
)(EXEXDX?=
σ
随机变量
X
的离差反映随机的，
变量
X
的一切可能值在其数学期望周围的分散程度。
离差的均值为零。0)( =?EXXE
定义：称
EX EX()?
2
为随机变量
X
的方差，记为
D X()
，
或
var( )X
或。
离散：
i
i
i
pEXxXD
2
)()(?=
∑
)(
ii
xXPp ==其中，
连续：
dxxEXxXD )()()(
2
∫
+∞
∞?
=
注意：方差
D X( ) > 0
的密度函数是其中，Xx)(?
：
说明：当随机变量的可能值密集在数学期望的附近时方差较小反之方差较大时，；，。
重要公式：
DX EX EX=?
22
()
证明
DX E X EX( )
2
：
=?
))(2(
22
EXEXXXE +=
22
)(2 EXEXEXEX +=
22
)(EXEX?=
例1某人进行打靶所得分数
X
的分布律为例.某，
1
为
X
1
0 1 2
p
k
00.2
0.8
试求
DX
1
。
解：
EX
1
0010220818= × + × + × =...
EX
1
22 2 2
0 0 1 02 2 08 34= × + × + × =...
DX EX EX
11
2
1
2
=?()
=? =? =34 18 34 324 016
2
..,.,
例2：已知随机变量
X
的概率密度密度为,
( )
,
x
ba
axb
=
<<
1
称之服从均匀分布
,
0其它
,
求随机变量
X
的方差.
解：
EX
2
=?
∫
a
b
x
b a
dx
2
1
=
1
3
3
( )b a
x
a
b
求随机变量的方差
=
ba
b a
33
3( )
,
3
22
baba ++
=
2
ba
EX
+
=
所以
DX EX EX=
22
( )
=
++
+
aabb ab
22
2
，
32
+?aabbab
22 2
2()
= =
12 12
例 3,设随机变量 X的概率密度为例,
<<?+ 011
)(
xx
xf
<≤?
=
101 xx
1)求 D（ X）求 （ ）
0)1()1()()1(
10
∫∫
ddXE解
01
=?++=
xxxxxx解：
1
10
6
)1()1()(
0
2
1
22
=?++=
∫∫
dxxxdxxxXE
6
1
)( =∴ XD
定义：标准差（均方差）：
DX
，其量纲与
X
相同。
方差的性质
性质1,
Dc()= 0
性
2
注意各性质2,
DXaBaXD )( =+
性质
DXCXE ≥
2
)(
各参数性质3,
等号当且仅当
EXC =
时成立,
数的意性质4,标准化随机变量：
Y
XEX
DX
=
，则
意义
EY = 0
，
DY = 1
,
切贝雪夫不等式设随机变量（
rv
）
ξ
的
Eξ
及
Dξ
存在性质5
切贝雪夫不等式设随机变量（
.,
）的及存在，
则对于任何
ε>0
，有
PE
D
()ξξε
ξ
ε
≥≤
2,
或
PE
D
()ξξε
ξ
ε
<≥?1
2（对立事件）
证明：
1)
设
ξ
是离散型
rv.,
，事件
ξξε?≥E
表示
rv.,ξ
取得一切满足
x E? ≥ξ ε
的可能值
x
i
则取得切满足
i
的可能值，则
PE px
i
E
()()
| |
ξξε
ξ
≥=
≥
∑
x
i
ε?
由
ξξεξξε
ξξ
ε
≥ ≥?
≥EE
E
()
()
22
2
2
1
得
PE
xE
px
i
i
E
()
()
()
| |
ξξε
ξ
ε
ξ
≥≤
≥
∑
2
2
x
i
ε?
=?
≥
∑
1
2
2
ε
ξ
ξ ε
()()
| |
xE px
ii
x E?
i
≤?
∑
1
2
2
ε
ξ()()xE px
ii
i
=
D ξ
ε
2
2) 设
ξ
是连续型
rv..
，事件
ξ ξ ε?≥E
表示
rv..ξ
落在区间
(,)EEξεξε?+
之外，则
PE xdx
xE
()()
||
ξξε?
ξε
≥=
≥
∫
（
()x
是
ξ
概率密度）
P E
xE
x dx( )
()
( )ξ ξ ε
ξ
≥≤
∫
2
2
x E||
ε
ξ ε? ≥
∫
1
2
ξ( ) ( )E d=?
≥
2
ε
ξε||
x x x
xE
+
∫
1
≤?
∞
∞
2
2
ε
ξ?()()xE xdx
=
D ξ
ε
2 ＃
例3：利用切贝雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差不小于三倍标准差的概率。
解设随机变量
ξ
期望
Eξ
方差
Dξ
解：设随机变量，期望，方差，
取
ε ξ=3 D
由切贝雪夫不等式取，由切贝雪夫不等式：
P E D
D
( )ξ ξ ξ
ξ
≥ ≤ = ≈3
1
0 111
D()
.
ξ3
9
2
所以随机变量与其数学期望的差不小于三倍所以，随机变量与其数学期望的差不小于三倍标准差的概率约为
0111.
。
例4：设随机变量
ξ
服从均匀分布，试分别用切比雪夫不等式估计
}|{|
i
EP εξξ ≥?
，其中
ab?
=ε
)(3 ab?
ε
4
1，
8
2
=
。
解：
ba
E
+
=ξ
)(
2
ab
D
=ξ
解：
2
，
12
,
对
1
ε
用切比雪夫不等式得到估计对用切比雪夫不等式得到估计
.
3
4
}
4
|
2
{|
2
=≤
≥
+
ε
ξ
ξ
Dabba
P
1
当
2
ε
时，估计式为
.
27
16
)}(
8
3
|
2
{|
2
2
=≤?≥
+
ε
ξ
ξ
D
ab
ba
P
用密度函数计算不等式左边,
3b
)()}(
8
|
2
{|
)(
3
||
=?≥
+
∫
≥
+
dxxpab
a
P
ab
ba
x
ξ
1
1)(1
8
7
)(
8
3
2
82
==
∫∫
+
+
+

dxdxxp
ba
ab
ba
1771
8
7
)(
8
3
2
++

+

+
baba
ab
ba
ab
ba
4
)
88
(1 =?
=
ab
例5：试证方差为0的随机变量必是单点分布，
即
1}{ ξξ EP
即
.==
证：对任
0>ε
，有
.0}|{|
2
=≤≥?
ε
ξ
εξξ
D
EP
有即当
1
=ε
时有
0}
1
|{| =≥? EP ξξ
即当
n
时，有
.
n
注意到
U
∞
∞→
≥≥?=>? }
1
|||{}
1
|||{lim}0|{|
n
n
E
n
EE ξξωξξωξξ
=1n
}
1
|{|)}
1
|(|{}0|{| ≥?≤≥?≤>?
∑
∞ ∞
EPEPEP ξξξξξξ
U
故
.0
)(
2
1 1
=≤
∑
∞
= =n n
D
nn
ξ
故
1
1=n
n
定义：称
EX EX()?
2
为随机变量
X
的方差，记为
D X()
，或
var( )X
。
2 2
重要公式：
DXEX EX=?()
性质1,
Dc()= 0
性质2.
DXaBaXD
2
)( =+
性质
性质3,
DXCXE ≥?
2
)(
等号当且仅当
EXC
时成立等号当且仅当
=
时成立.
性质4.标准化随机变量：
Y
XEX
DX
=
，则性质 标准化随机变量：，则
EY = 0
，
DY = 1
,
返回返回性质5切贝雪夫不等式设随机变量（
rv
）
ξ
的
Eξ
及
Dξ
存在，切贝雪夫不等式设随机变量（
.,
）的及存在，
则对于任何
ε>0
，有
Dξ
PE()ξξε
ε
≥≤
2,
Dξ
或
PE()ξξε
ε
<≥?1
2（对立事件）