材料力学 第九章 压杆稳定
§ 9-1 压杆稳定的概念
§ 9-2 两端铰支细长杆的临界压力
§ 9-3 其他支座条件下细长杆的 临界压力
§ 9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式
§ 9-5 压杆的稳定校核
§ 9-6 提高压杆稳定的措施
§ 9-7 纵横弯曲的概念材料力学 第九章 压杆稳定压杆材料力学 第九章 压杆稳定桁架中的压杆材料力学 第九章 压杆稳定液压缸顶杆材料力学 第九章 压杆稳定高压输电线路保持相间距离的受压构件材料力学 第九章 压杆稳定脚手架中的压杆材料力学 第九章 压杆稳定
§ 9-1 压杆稳定的概念
Δ
FP
FP
材料力学 第九章 压杆稳定例：一长为 300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm?
1mm 。钢的许用应力为 [?]=196MPa。按强度条件计算得 钢板尺所能承受的轴向压力为
[P] = A[?] = 3.92 KN
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，
而是与 受压时变弯 有关。
材料力学 第九章 压杆稳定一、稳定平衡与不稳定平衡的概念当 F小于某一临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是 稳定平衡 。
材料力学 第九章 压杆稳定
F
F
(a)
Q
crF F?
crF F?
(b)
当 F增大到一定的临界值
Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，
压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡 。
材料力学 第九章 压杆稳定材料力学 第九章 压杆稳定两端球形绞支，长为 L的等截面 细长 中心受压直杆。
§ 9-2两端铰支细长压杆的临界压力材料力学 第九章 压杆稳定
v
crF
δ
x
A
B
crF
() crM x yF?
mm
y B
y
材料力学 第九章 压杆稳定压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移为 y = f (x)
该截面的弯矩为
() crM x yF
杆的挠曲线近似微分方程为
" ( ) crE I y M x yF
crF
() crM x yF?
mm
y B
y
材料力学 第九章 压杆稳定其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令则有二阶常系数线性微分方程
0" 2 yy k
Pcr
yPxM cr?)(
mm
y B
y
2k
EI
Fcr?
yFxME Iy cr"
材料力学 第九章 压杆稳定其通解为
kxBkxAy c o ss in
A,B,k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。
0" 2 yky
2k
EI
Fcr?
材料力学 第九章 压杆稳定边界条件：
ox? 0?y
2
lxy
得
B=0
2
s in
kl
A
kxBkxAy c o ss in
材料力学 第九章 压杆稳定
B=0,
2
s in
kl
A
lx? 0?y
2
c os2s i n
2
s i n
0
kl
kl
kl
kxBkxAy c o ss in
边界条件：
材料力学 第九章 压杆稳定
2
2
2
0 klklkl c o ssi n
si n
δδ
要想压杆在微弯状态下平衡只有
02c os?kl
)5,3,1(22 nnkl?
2
c os2s i n
2
s i n
0
kl
kl
kl
要想压杆在微弯状态下平衡只有材料力学 第九章 压杆稳定其最小解为 n = 1 的解
crk l l
EI
F
2cr
EI
F k?
)5,3,1(22 nnkl?
材料力学 第九章 压杆稳定即得这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式
（欧拉公式）
l
EI
Flk cr
2
2
l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
1 两端绞支 2 一端固定另端绞支
C为拐点
l
A
B
c
r
P
C
§ 9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
2
l
EIF
cr
2
2
7.0 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
l
A
B
c
r
P
3 两端固定
C,D为 拐点
C
D
2
2
5.0 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
4 一端固定另端自由
crP
2
2
2 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定表 7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式两端绞支一端固定另绞支端两端固定
2
205(,)cr
EIF
l
2
207(,)cr
EIF
l
一端固定另端自由
2
22()cr
EIF
l
2
2cr
EIF l
支承情况 临界力的欧拉公式 长度系数?
= 1
= 0.7
= 0.5
= 2
材料力学 第九章 压杆稳定欧拉公式 的统一形式
为压杆的长度系数 ;? l 为相当长度。
讨论：
（ 1）相当长度?l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的 相当长度? l 。
2
2
l
EIF
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
为长度系数
l 为相当长度
（ 2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。
2
2
l
EIF
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。 I 为其相应的对中性轴的惯性矩。
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-3-1,图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大,哪一根的最小？
al 2)( 1
al 3.1)( 2
aal 12.16.17.0)( 3
a
P
(1)
P
1.3
a
(2)
P
(3)
1.6
a
321 lll因为又
2
2
l
EIF
cr?
可知
321 crcrcr FFF
（ 1）杆所能承受的临界压力最小，
最先失稳；
（ 3） 杆所能承受的临界压力 最大，最稳定。
材料力学 第九章 压杆稳定
F
a
A
Ba
\2
c
aal AB 5.05.0
解,
aal BC 35.05.07.0
22
2205 0 35(,),
AB BC
c r c r
EI EIFF
a a
故取
2
205.cr
EIF
a
例 9-3-2,已知：图示压杆 EI,且杆在 B支承处不能转动求：临界压力材料力学 第九章 压杆稳定例 9-3-3,由 A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在
xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支,?z = 1,长度为 l1 。在 xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定?y
= 0.6,长度为 l2 。求 Fcr。
z
y
22
12
6
6
24
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
22
12
6
6
24
解,在 xy平面内失稳时,z为中性轴
）（＋
）（
2
33
156222
622
12
1
22412
12
1
z
I
21
2
2
1
2
1 1 l
EI
l
EI z
z
z
crF
材料力学 第九章 压杆稳定在 xz平面内失稳时,y为中性轴
z
y
22
12
6
6
24
33 22612121224121yI
2
2
2 6.0 l
EI
F ycr
21,m i n crcrcr FFF?
材料力学 第九章 压杆稳定一、欧拉公式的应用范围
(1) 压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）
压杆受临界力 Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按? = F/A 计算。
§ 9-4 欧拉公式的应用范围? 经验公式材料力学 第九章 压杆稳定按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径
2
2
2
2
/ il
E
Al
EI
A
F cr
cr?
A
Ii?
材料力学 第九章 压杆稳定称为 压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，
杆端约束，截面尺寸和形状对 临界应力的影响。
i
l
2
2
2
2
/ il
E
Al
EI
A
F cr
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
越大，相应的?cr 越小，压杆越容易失稳。
若 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算压杆的临界应力?cr 。
2
2
E
cr? crcr AF
材料力学 第九章 压杆稳定
(2) 欧拉公式的应用范围只有在?crP 的 范围内，才可以用欧拉公式 计算压杆的临界力 Fcr（临界应力?cr ）。
Pcr
E
2
2
或
1
2
pp
EE
材料力学 第九章 压杆稳定
1.大柔度杆或细长杆 1
压杆将发生弹性屈曲,此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限,
2.中长杆 12?
压杆亦发生屈曲,此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限,截面上某些部分已进入塑性状态,为非弹性屈曲,
3.粗短杆 2
压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服,O?
cr?
2
2
E
cr?
P?
P?
bacrS?
S?
临界应力总图材料力学 第九章 压杆稳定
当? >?1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。
当1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。
用经验公式
A 3 钢 (? = 0— 123 )
16 锰 钢 (? = 0— 102 )
20 0 6 6 6.02 3 5cr
20 1 4 2.03 4 3cr
材料力学 第九章 压杆稳定右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线
，虚线部分无意义。
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于 Q235钢，可取 E=206MPa,?p=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线
，虚线部分无意义。
1001
p
E
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于 Q235
钢，可取 E=206MPa，
P=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。
2
2 E
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定二、压杆的临界应力总图
λ1
σP
σs
σcr
)( ilμλ?o
2
2 E
cr?
经验公式材料力学 第九章 压杆稳定解,圆形截面杆：
4241
2
64
1
1
d
d
d
A
Ii
d
l
d
l
i
l 11
1
1
2
4/
5.0
例 9-4-1 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为 d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。
圆形截面杆：
材料力学 第九章 压杆稳定
dd
ll 21 322?
所以 3
2
1?
l
l
正方形截面杆：
由?1 =?2 得
122
4
12
1
2
d
d
d
A
Ii
d
l
d
l
i
l 22
2
2
32
12/
1
材料力学 第九章 压杆稳定
l
dE
l
dEE
cr 124 2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
3
2
1?
l
l EE
21? d
l2 1
1 d
l32 2
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2 12 Crcr l
dEE
4
4
1
2
2
2
1
22
11
1
1?
d
d
A
A
A
A
F
F
cr
cr
cr
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
Fcr—— 压杆的临界压力
nst —— 压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：
§ 9-5 压杆的稳定校核
F—— 工作压力
st
cr
n
FF?
st
cr n
F
Fn
材料力学 第九章 压杆稳定图中所示之压杆，其直径均为 d，材料都是 Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：
1.分析那一根杆的临界荷载较大？
2.计算 d＝ 160mm,E＝ 206GPa时，二杆的临界荷载。
1,计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。
材料力学 第九章 压杆稳定
2,计算各杆的临界荷载材料力学 第九章 压杆稳定
st
cr
st n
φ,稳定系数,主要与柔度 λ有关压杆的强度条件 (强度许用应力 )
压杆的稳定性条件 (稳定许用应力 )
st
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料,截面形状,求：
44103 0 6 mmI z 44102 3 5 mmI
y
解,1,计算截面的惯性半径 i (取最小 )
查表算得组合截面对其形心主轴 y,z的惯性矩
st?
材料力学 第九章 压杆稳定
M P a8.97st
3,计算稳定许用应力 [σ]st
根据 λ=97，查表得 φ=0.575，代入公式可得压杆的稳定许用应力为
zy II?
mm9.30AIii yym i n
zy ii?
且为等截面,故
2,计算杆件柔度 λ (取最大 )
97i l
m i n
m a x
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 P=120KN，取稳定安全系数 nw =2，校核连杆的稳定性。
在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。
在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。
z
y
x
h=60
材料力学 第九章 压杆稳定在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，
长度 l =940 。
z
y
x
h=60
解,(1) 求柔度?
cm
h
bhA
bh
Ii z
z
7 3 2.1
32
12
3
3.54
7 3 2.1
941
i zz
l
i
l
材料力学 第九章 压杆稳定在 xz 面内失稳近似两端固定，
长度 l 1=880 。 z
y
x
h=60
i
l
cm
b
bhA
hb
Ii y
y
7 2 2.0
32
12
3
3.5461
7 22.0
885.0
z
y
y i
l
杆在 xz 面内先失稳，应用?y 计算临界力。
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
x
h=60
（ 2）求临界力，作稳定校核因为?y = 61 < 123，用经验公式计算
M Pacr 2 1 00 0 6 6 6.02 3 5 2
压杆是稳定的
kNAF crcr 315
w
cr n
F
Fn 63.2
120
315
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
x
h=60
（ 3）如果要求连杆在两平面内失稳时的临界力相等
crcr AP
2
2 E
cr?
A
l
I zxy
1?
A
I
l
y
xz
1
5.0?
l
l
I
I
y
z
2
1
2
4?
ll?1
II yz 4?
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-3 两端绞支压杆，材料为 A3钢，截面为圆环，
P=180KN,l =2500mm,r=60mm，稳定安全系数
nw=2.5，计算钢管壁厚 t 。
P
P
l
r
t
材料力学 第九章 压杆稳定
P
P
l
r
t
解：按薄壁管考虑
trA2
tI r 3
mmr
tr
ti r 4.42
22
3
12 359 i l
用经验公式计算材料力学 第九章 压杆稳定
P
P
l
r
t
M Pacr 212235 00666.0 2
5.2602212
10180 3
t
P
A
P
crcrP
trA2
mmt 6.5?
取壁厚 t =6mm，此时
1.0?rt
不超过 10%，可按薄环处理。
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例，
试选择工字型截面。已知材料的 E = 206GPa，强度许用应力 [?] = 140MPa。
解：用试算法先根据 A3 钢的 强度 许用应力求一截面作参考
1 4 0101 8 0
3
AA
P
mmA 1286 2?
材料力学 第九章 压杆稳定
mmA 1286 2?
考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。
选出 18号 工字截面查表,A = 30.6cm2,Imin=122cm4，截面的最小惯性半径 imin = 2cm
123125 i l
用欧拉公式计算材料力学 第九章 压杆稳定
KN
EI
lP cr
39 72
2
5.22.21 8 03 9 7PP cr
稳定性不足，再选 20a 工字截面查表,A = 35.5cm2,imin = 2.12cm
123118 i l
用经验公式材料力学 第九章 压杆稳定
123118 i l
M P acr 142235 1 1 80 0 6 6 6.0
2
5.28.2
P
A
P
crcrP?
20a 号工字钢可用。
材料力学 第九章 压杆稳定祝大家学习愉快 !
§ 9-1 压杆稳定的概念
§ 9-2 两端铰支细长杆的临界压力
§ 9-3 其他支座条件下细长杆的 临界压力
§ 9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式
§ 9-5 压杆的稳定校核
§ 9-6 提高压杆稳定的措施
§ 9-7 纵横弯曲的概念材料力学 第九章 压杆稳定压杆材料力学 第九章 压杆稳定桁架中的压杆材料力学 第九章 压杆稳定液压缸顶杆材料力学 第九章 压杆稳定高压输电线路保持相间距离的受压构件材料力学 第九章 压杆稳定脚手架中的压杆材料力学 第九章 压杆稳定
§ 9-1 压杆稳定的概念
Δ
FP
FP
材料力学 第九章 压杆稳定例：一长为 300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm?
1mm 。钢的许用应力为 [?]=196MPa。按强度条件计算得 钢板尺所能承受的轴向压力为
[P] = A[?] = 3.92 KN
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，
而是与 受压时变弯 有关。
材料力学 第九章 压杆稳定一、稳定平衡与不稳定平衡的概念当 F小于某一临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是 稳定平衡 。
材料力学 第九章 压杆稳定
F
F
(a)
Q
crF F?
crF F?
(b)
当 F增大到一定的临界值
Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，
压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡 。
材料力学 第九章 压杆稳定材料力学 第九章 压杆稳定两端球形绞支，长为 L的等截面 细长 中心受压直杆。
§ 9-2两端铰支细长压杆的临界压力材料力学 第九章 压杆稳定
v
crF
δ
x
A
B
crF
() crM x yF?
mm
y B
y
材料力学 第九章 压杆稳定压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移为 y = f (x)
该截面的弯矩为
() crM x yF
杆的挠曲线近似微分方程为
" ( ) crE I y M x yF
crF
() crM x yF?
mm
y B
y
材料力学 第九章 压杆稳定其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令则有二阶常系数线性微分方程
0" 2 yy k
Pcr
yPxM cr?)(
mm
y B
y
2k
EI
Fcr?
yFxME Iy cr"
材料力学 第九章 压杆稳定其通解为
kxBkxAy c o ss in
A,B,k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。
0" 2 yky
2k
EI
Fcr?
材料力学 第九章 压杆稳定边界条件：
ox? 0?y
2
lxy
得
B=0
2
s in
kl
A
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材料力学 第九章 压杆稳定
B=0,
2
s in
kl
A
lx? 0?y
2
c os2s i n
2
s i n
0
kl
kl
kl
kxBkxAy c o ss in
边界条件：
材料力学 第九章 压杆稳定
2
2
2
0 klklkl c o ssi n
si n
δδ
要想压杆在微弯状态下平衡只有
02c os?kl
)5,3,1(22 nnkl?
2
c os2s i n
2
s i n
0
kl
kl
kl
要想压杆在微弯状态下平衡只有材料力学 第九章 压杆稳定其最小解为 n = 1 的解
crk l l
EI
F
2cr
EI
F k?
)5,3,1(22 nnkl?
材料力学 第九章 压杆稳定即得这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式
（欧拉公式）
l
EI
Flk cr
2
2
l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
1 两端绞支 2 一端固定另端绞支
C为拐点
l
A
B
c
r
P
C
§ 9-3其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
2
l
EIF
cr
2
2
7.0 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
l
A
B
c
r
P
3 两端固定
C,D为 拐点
C
D
2
2
5.0 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
4 一端固定另端自由
crP
2
2
2 l
EIF
cr
材料力学 第九章 压杆稳定表 7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式两端绞支一端固定另绞支端两端固定
2
205(,)cr
EIF
l
2
207(,)cr
EIF
l
一端固定另端自由
2
22()cr
EIF
l
2
2cr
EIF l
支承情况 临界力的欧拉公式 长度系数?
= 1
= 0.7
= 0.5
= 2
材料力学 第九章 压杆稳定欧拉公式 的统一形式
为压杆的长度系数 ;? l 为相当长度。
讨论：
（ 1）相当长度?l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的 相当长度? l 。
2
2
l
EIF
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
为长度系数
l 为相当长度
（ 2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。
2
2
l
EIF
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。 I 为其相应的对中性轴的惯性矩。
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-3-1,图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大,哪一根的最小？
al 2)( 1
al 3.1)( 2
aal 12.16.17.0)( 3
a
P
(1)
P
1.3
a
(2)
P
(3)
1.6
a
321 lll因为又
2
2
l
EIF
cr?
可知
321 crcrcr FFF
（ 1）杆所能承受的临界压力最小，
最先失稳；
（ 3） 杆所能承受的临界压力 最大，最稳定。
材料力学 第九章 压杆稳定
F
a
A
Ba
\2
c
aal AB 5.05.0
解,
aal BC 35.05.07.0
22
2205 0 35(,),
AB BC
c r c r
EI EIFF
a a
故取
2
205.cr
EIF
a
例 9-3-2,已知：图示压杆 EI,且杆在 B支承处不能转动求：临界压力材料力学 第九章 压杆稳定例 9-3-3,由 A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在
xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支,?z = 1,长度为 l1 。在 xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定?y
= 0.6,长度为 l2 。求 Fcr。
z
y
22
12
6
6
24
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
22
12
6
6
24
解,在 xy平面内失稳时,z为中性轴
）（＋
）（
2
33
156222
622
12
1
22412
12
1
z
I
21
2
2
1
2
1 1 l
EI
l
EI z
z
z
crF
材料力学 第九章 压杆稳定在 xz平面内失稳时,y为中性轴
z
y
22
12
6
6
24
33 22612121224121yI
2
2
2 6.0 l
EI
F ycr
21,m i n crcrcr FFF?
材料力学 第九章 压杆稳定一、欧拉公式的应用范围
(1) 压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）
压杆受临界力 Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按? = F/A 计算。
§ 9-4 欧拉公式的应用范围? 经验公式材料力学 第九章 压杆稳定按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径
2
2
2
2
/ il
E
Al
EI
A
F cr
cr?
A
Ii?
材料力学 第九章 压杆稳定称为 压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，
杆端约束，截面尺寸和形状对 临界应力的影响。
i
l
2
2
2
2
/ il
E
Al
EI
A
F cr
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定
越大，相应的?cr 越小，压杆越容易失稳。
若 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度?，并按较大者计算压杆的临界应力?cr 。
2
2
E
cr? crcr AF
材料力学 第九章 压杆稳定
(2) 欧拉公式的应用范围只有在?crP 的 范围内，才可以用欧拉公式 计算压杆的临界力 Fcr（临界应力?cr ）。
Pcr
E
2
2
或
1
2
pp
EE
材料力学 第九章 压杆稳定
1.大柔度杆或细长杆 1
压杆将发生弹性屈曲,此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限,
2.中长杆 12?
压杆亦发生屈曲,此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限,截面上某些部分已进入塑性状态,为非弹性屈曲,
3.粗短杆 2
压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服,O?
cr?
2
2
E
cr?
P?
P?
bacrS?
S?
临界应力总图材料力学 第九章 压杆稳定
当? >?1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。
当1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。
用经验公式
A 3 钢 (? = 0— 123 )
16 锰 钢 (? = 0— 102 )
20 0 6 6 6.02 3 5cr
20 1 4 2.03 4 3cr
材料力学 第九章 压杆稳定右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线
，虚线部分无意义。
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于 Q235钢，可取 E=206MPa,?p=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线
，虚线部分无意义。
1001
p
E
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于 Q235
钢，可取 E=206MPa，
P=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。
2
2 E
cr?
材料力学 第九章 压杆稳定二、压杆的临界应力总图
λ1
σP
σs
σcr
)( ilμλ?o
2
2 E
cr?
经验公式材料力学 第九章 压杆稳定解,圆形截面杆：
4241
2
64
1
1
d
d
d
A
Ii
d
l
d
l
i
l 11
1
1
2
4/
5.0
例 9-4-1 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为 d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。
圆形截面杆：
材料力学 第九章 压杆稳定
dd
ll 21 322?
所以 3
2
1?
l
l
正方形截面杆：
由?1 =?2 得
122
4
12
1
2
d
d
d
A
Ii
d
l
d
l
i
l 22
2
2
32
12/
1
材料力学 第九章 压杆稳定
l
dE
l
dEE
cr 124 2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
3
2
1?
l
l EE
21? d
l2 1
1 d
l32 2
2
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2 12 Crcr l
dEE
4
4
1
2
2
2
1
22
11
1
1?
d
d
A
A
A
A
F
F
cr
cr
cr
cr
材料力学 第九章 压杆稳定
Fcr—— 压杆的临界压力
nst —— 压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：
§ 9-5 压杆的稳定校核
F—— 工作压力
st
cr
n
FF?
st
cr n
F
Fn
材料力学 第九章 压杆稳定图中所示之压杆，其直径均为 d，材料都是 Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：
1.分析那一根杆的临界荷载较大？
2.计算 d＝ 160mm,E＝ 206GPa时，二杆的临界荷载。
1,计算柔度判断两杆的临界荷载两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。
材料力学 第九章 压杆稳定
2,计算各杆的临界荷载材料力学 第九章 压杆稳定
st
cr
st n
φ,稳定系数,主要与柔度 λ有关压杆的强度条件 (强度许用应力 )
压杆的稳定性条件 (稳定许用应力 )
st
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料,截面形状,求：
44103 0 6 mmI z 44102 3 5 mmI
y
解,1,计算截面的惯性半径 i (取最小 )
查表算得组合截面对其形心主轴 y,z的惯性矩
st?
材料力学 第九章 压杆稳定
M P a8.97st
3,计算稳定许用应力 [σ]st
根据 λ=97，查表得 φ=0.575，代入公式可得压杆的稳定许用应力为
zy II?
mm9.30AIii yym i n
zy ii?
且为等截面,故
2,计算杆件柔度 λ (取最大 )
97i l
m i n
m a x
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 P=120KN，取稳定安全系数 nw =2，校核连杆的稳定性。
在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。
在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。
z
y
x
h=60
材料力学 第九章 压杆稳定在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，
长度 l =940 。
z
y
x
h=60
解,(1) 求柔度?
cm
h
bhA
bh
Ii z
z
7 3 2.1
32
12
3
3.54
7 3 2.1
941
i zz
l
i
l
材料力学 第九章 压杆稳定在 xz 面内失稳近似两端固定，
长度 l 1=880 。 z
y
x
h=60
i
l
cm
b
bhA
hb
Ii y
y
7 2 2.0
32
12
3
3.5461
7 22.0
885.0
z
y
y i
l
杆在 xz 面内先失稳，应用?y 计算临界力。
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
x
h=60
（ 2）求临界力，作稳定校核因为?y = 61 < 123，用经验公式计算
M Pacr 2 1 00 0 6 6 6.02 3 5 2
压杆是稳定的
kNAF crcr 315
w
cr n
F
Fn 63.2
120
315
材料力学 第九章 压杆稳定
z
y
x
h=60
（ 3）如果要求连杆在两平面内失稳时的临界力相等
crcr AP
2
2 E
cr?
A
l
I zxy
1?
A
I
l
y
xz
1
5.0?
l
l
I
I
y
z
2
1
2
4?
ll?1
II yz 4?
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-3 两端绞支压杆，材料为 A3钢，截面为圆环，
P=180KN,l =2500mm,r=60mm，稳定安全系数
nw=2.5，计算钢管壁厚 t 。
P
P
l
r
t
材料力学 第九章 压杆稳定
P
P
l
r
t
解：按薄壁管考虑
trA2
tI r 3
mmr
tr
ti r 4.42
22
3
12 359 i l
用经验公式计算材料力学 第九章 压杆稳定
P
P
l
r
t
M Pacr 212235 00666.0 2
5.2602212
10180 3
t
P
A
P
crcrP
trA2
mmt 6.5?
取壁厚 t =6mm，此时
1.0?rt
不超过 10%，可按薄环处理。
材料力学 第九章 压杆稳定例 9-5-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例，
试选择工字型截面。已知材料的 E = 206GPa，强度许用应力 [?] = 140MPa。
解：用试算法先根据 A3 钢的 强度 许用应力求一截面作参考
1 4 0101 8 0
3
AA
P
mmA 1286 2?
材料力学 第九章 压杆稳定
mmA 1286 2?
考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。
选出 18号 工字截面查表,A = 30.6cm2,Imin=122cm4，截面的最小惯性半径 imin = 2cm
123125 i l
用欧拉公式计算材料力学 第九章 压杆稳定
KN
EI
lP cr
39 72
2
5.22.21 8 03 9 7PP cr
稳定性不足，再选 20a 工字截面查表,A = 35.5cm2,imin = 2.12cm
123118 i l
用经验公式材料力学 第九章 压杆稳定
123118 i l
M P acr 142235 1 1 80 0 6 6 6.0
2
5.28.2
P
A
P
crcrP?
20a 号工字钢可用。
材料力学 第九章 压杆稳定祝大家学习愉快 !
