材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§ 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能
§ 2-5 材料压缩时的力学性能
§ 2-7 失效、安全因素和强度计算
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时变形
§ 2-9 轴向拉伸或压缩的应变能
§ 2-10 拉伸、压超静定问题
§ 2-11 温度应力和装配应力
§ 2-12 应力集中的概念
§ 2-13 剪切和挤压实用计算材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1．概念材料力学
2009年 7月 31日星期五轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
FF
FF
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
2．实例材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力定义：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。
1,内力材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
原有内力材料力学中的内力
F
第二章 拉伸、压缩与剪切
F+F‘
F'
附加内力材料力学
2009年 7月 31日星期五
SFX=0,FN-F=0； FN=F
2．截面法、轴力
F I
FF I II
FII
FN x
x
SFX=0,-FN’+F=0； FN’=F
FN’
截面法
①
切取
②
代替
③
平衡第二章 拉伸、压缩与剪切轴力的符号？
材料力学
2009年 7月 31日星期五轴力的正负规定,
F N > 0
FNFN
F N < 0
FNFN
x
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
① 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
3．轴力图 —— FN (x) 的图象表示。
FN
x+
意义第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
150kN 100kN50kN
FN +
-
例 2-2-1,作图示杆件的轴力图，并指出 | FN |max
I
I
II
II
| FN |max=100kN
FN2=-100kN100kN
II
II
FN2
FN1=50kN
I
FN1
I
50kN
50kN
100kN
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
5kN 8kN 4kN 1kN
O
例 2-2-2：作图示杆的轴力图。
第二章 拉伸、压缩与剪切
FN
x
2kN
3kN
5kN
1kN++
–
材料力学
2009年 7月 31日星期五解,x 坐标向右为正，坐标原点在自由端
。取左侧 x 段为对象，内力 N(x)为：
q
qL
xO
2
0 2
1d)( kxxkxxF x
N -=-=?
2
m a x 2
1)( kLxF
N -=
例 2-2-3：图示杆长为 L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，
试画出杆的轴力图。
L
q(x)
FN(x)
x
q(x)
FN x
O
–
2
2kL
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
P FN
P FN
强度?内力?应力
4,应力第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
A
M
全应力（总应力）：
A
F
A
Fp
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
==
第二章 拉伸、压缩与剪切应力的概念,截面上某点的内力集度。
材料力学
2009年 7月 31日星期五全应力分解为：
p?
M?
A
F
A
F NN
A d
d
Δ
Δl i m
0Δ
==
A
F
A
F SS
A d
d
Δ
Δl i m
0Δ
==
垂直于截面的应力称为,正应力”,
位于截面内的应力称为,剪应力”,
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五应力特征,
（ 1）必须明确截面及点的位置；
（ 2）是矢量 ；
（ 3）单位,Pa(帕 )和 MPa(兆帕 )
1MPa=106Pa
轴向拉伸和压缩第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五拉（压）杆横截面上的应力第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五变形前
1）变形规律 试验 及平面假设：
平面假设,原为平面的横截面在变形后仍为平面，
纵向纤维变形相同。
受载后 P Pd ′a′c′ b′
拉（压）杆横截面上的应力第二章 拉伸、压缩与剪切
a b
c d
材料力学
2009年 7月 31日星期五
2）拉伸应力：
FNF
A
F N=?
轴力引起的正应力 ——?,在横截面上均布。
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
3）危险截面及最大工作应力：
))( )(m a x ( m a x xA xF N=?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
4）圣维南（ Saint-Venant） 原理：
第二章 拉伸、压缩与剪切
100N1mm
厚度为 1mm
100N
50N1mm
厚度为 1mm
50N
100MPa
1mm
厚度为 1mm
100MPa
50N 50N
材料力学
2009年 7月 31日星期五
103
98
143
35
第二章 拉伸、压缩与剪切
100N1mm
厚度为 1mm
100N
686
33
-160
材料力学
2009年 7月 31日星期五
101.7
99.5
167
29
第二章 拉伸、压缩与剪切
855
33
-244
50N1mm50N
50N 50N
材料力学
2009年 7月 31日星期五
100MPa
1mm
厚度为 1mm
100MPa
第二章 拉伸、压缩与剪切
100MPa
100MPa
100MPa
材料力学
2009年 7月 31日星期五
4）圣维南（ Saint-Venant） 原理：
如用与外力系静力等效的合力来代替原力，
则除了原力系起作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，上述代替的影响就非常微小，
可以不计。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
50
M P a52
35
41050
M P a1 9 1
20
41060
0
2
3
3
3N
3
2
3
2
2N
2
1
1N
1
=
==
=
==
==
A
F
A
F
A
F
例 2-3-1：作图示杆件的轴力图，并求 1-1,2-2,3-3
截面的应力。
30? 20? 35
50kN60kN 40kN 30kN
1
1
3
32
2
20
60
kN
图NF
kN50
kN60
0
3N
2N
1N
=
=
=
F
F
F
+
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-2：图示结构，试求杆件 AB,CB的应力。已知 F=20kN；斜杆 AB为直径 20mm的圆截面杆，水平杆 CB为 15× 15的方截面杆。
F
A
B
C
= 0yF
kN3.281 =NF
解,1、计算各杆件的轴力。
kN202 -=NF
= 0xF
45°
045c o s 21 =+ NN FF?
045s in1 =- FF N?
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2、计算各杆件的应力。
M Pa90
20
4
103.28
2
3
1
1
1 =
==
A
F N
M Pa89
15
1020
2
3
2
2
2 -=
-==
A
F N?
F
A
B
C
45°
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-3：试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知 F = 50 kN。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
Ⅱ 段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为?max=?2= -1.1
MPa (压应力）
解,Ⅰ 段柱横截面上的正应力
M P a87.0
240
1050
2
3
1
1N
1 -=
-==
A
F?
M P a1.1
3 7 0
101 5 0
2
3
2
2N
2 -=
-==
A
F?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-4：试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知,d = 200 mm,δ= 5 mm,p
= 2 MPa。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2
R
N
FF =
pbddpbF =?= ) s ind2(π
0R
M P a 40
52
2002
2
)
2
(
1
=
=
==
pdpbd
b
解：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力变形假设：平面假设仍成立。
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同。
p
FF
F
NF
材料力学
2009年 7月 31日星期五
p
c o sc o s 0== AFp
2c o sc o s == p
2s i n2s i n 0== p
① 全应力：
② 正应力：
③ 切应力：
1） α=00时,σmax＝ σ
2） α＝ 450时,τmax=σ/2
第二章 拉伸、压缩与剪切正应力和切应力的正负规定：
)(+
)(+
)(-
)(-
F
NF
p
FF
材料力学
2009年 7月 31日星期五
M P a7.632/4.1272/0m a x ===
M P a5.95)60c o s1(2 4.127)2c o s1(2 0 =+=+=
M P a2.5560s in2 4.1272s in2 0 ===
M P a4.127 1014.3 100004 20 === AP?
例 2-3-1 直径为 d =1 cm 杆受拉力 P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角 30° 的斜截面上的正应力和剪应力 。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能力学性能 (机械性质 ),材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性材料力学包含的两个方面理论分析实验研究测定材料的力学性能；解决某些不能全靠理论分析的问题材料力学
2009年 7月 31日星期五一试件和实验条件常温
、
静载第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能国家标准,金属拉伸试验方法,（ GB228-2002）
材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
1,低碳钢拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
a
b
c
e
f
明显的四个阶段
1、弹性阶段 ob
—P? 比例极限
E=
—e? 弹性极限
ta n==E
2、屈服阶段 bc（失去抵抗变形的能力）
—s? 屈服极限
3、强化阶段 ce（恢复抵抗变形的能力）
强度极限—b?
4、局部变形阶段 ef
P?e?
s?
b?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五两个塑性指标,
%1 00
0
01?-=
l
ll?
断后伸长率断面收缩率
%100
0
10?-=
A
AA?
%5 为塑性材料
%5 为脆性材料低碳钢的 %3020 — %60
为塑性材料
0
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五卸载定律及冷作硬化
1、弹性范围内卸载、再加载
o
a
b
c
e
f
P?
e? s?
b?
2、过弹性范围卸载、再加载
d
d? g hf?
即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，
这就是 卸载定律 。
材料的比例极限增高，
延伸率降低，称之为 冷作硬化或加工硬化 。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五注意：
1,低碳钢的?s,?b都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是 名义应力 。
2,低碳钢的强度极限?b是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。
3,超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是 名义应变 (工程应变 )。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
4,伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积 (或直径 )之比，原因在此。
思考,低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（ l = 10d 和 l = 5d）,试问所得伸长率
10和?5 哪一个大？
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限 σ 0.2来表示。
%2.0
2.0?
第二章 拉伸、压缩与剪切
2．其它塑性材料拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五伸长率
√√×局部变形阶段
√√√强化阶段
×××屈服阶段
√√√弹性阶段退火球墨铸铁强铝锰钢材料
%5? %5? %5?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
b?
①?b— 拉伸强度极限（约为 140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
② 应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且?b很低。
第二章 拉伸、压缩与剪切
3．铸铁拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-5 材料压缩时的力学性能一试件和实验条件常温
、
静载材料力学
2009年 7月 31日星期五拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。
第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸与压缩在屈服阶段以后为啥不相同？
(MPa)
200
400
0.1 0.2O
低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢拉伸应力应变曲线材料力学
2009年 7月 31日星期五
O
bL
灰铸铁的拉伸曲线
by
灰铸铁的压缩曲线
by>? bL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成 45o
～ 55o的滑移面破坏。
2,铸铁压缩第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五失效：由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。
脆性材料拉?max=?u拉 =?b拉塑性材料?max=?u=?s
拉压构件材料的失效判据：
脆性材料压?max=?u压 =?b压第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-7 失效、安全因素和强度计算材料力学
2009年 7月 31日星期五
I,材料的拉、压许用应力塑性材料：
,][][
s
2.0
s
s
nn
== 或脆性材料：许用拉应力
b
b
t ][ n
=
其中,ns—— 对应于屈服极限的安全因数其中,nb—— 对应于拉、压强度的安全因数第二章 拉伸、压缩与剪切
b
bc
c ][ n
=许用压应力材料力学
2009年 7月 31日星期五
II,拉 (压 )杆的强度条件其中,?max—— 拉 (压 )杆的最大工作应力；
[?]—— 材料拉伸 (压缩 )时的许用应力。
][ma xma x
=
xA
xF N
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
III,关于安全因数的考虑
（ 1） 理论与实际差别,考虑极限应力 (?s,?0.2，
b,?bc),横截面尺寸、荷载等的变异，以及计算简图与实际结构的差异。
（ 2） 足够的安全储备,使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。
安全系数的取值,安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.2～ 2.5；对于脆性材料通常取为 2.0 ～ 3.5，甚至更大。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
Ⅳ,强度计算的三种类型
(3) 许可荷载的确定,FN,max=A[?]
(2) 截面选择：
][
m a x,N
FA?
][m a x,Nm a x= AF
(1) 强度校核：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-1 已知一圆杆受拉力 P =25 k N,许用应力
[?]=170MPa,直径 d =14mm，校核此杆强度。
解,① 轴力,FN = P =25kN
M P a1 6 214143 10254 2
3
m a x =?
==
.A
F N?② 应力：
③ 强度校核,= 1 6 2 MP a
m a x
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例题 2-7-5 简易起重机构如图,AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为 P，为使 BD杆最轻，角? 应为何值？
已知 BD 杆的 许用应力为 [?]。
x
L
h
P
A B
C
D
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
PxhFm BDA =?=? )c t g() s i n(,0
c o sh
PxF
BD =
/m a x,BDFABD杆面积 A：
解,?BD杆 内力 FN,取 AC为研究对象，如图
YA
XA
FBD
x
L
P
A B
C
第二章 拉伸、压缩与剪切
c o sm a x,h
PLF
BD =
材料力学
2009年 7月 31日星期五
③ 求 VBD 的 最小值：;2s in ][ 2s in/ PLAhALV BDBD?==
][
2 45
m i n
o
PLV,==? 时第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-6 D=350mm,p=1MPa。螺栓 [?]=40MPa，求螺栓 直径。
pDF 24π=
每个螺栓承受轴力为总压力的 1/6
解：油缸盖受到的力根据强度条件= AF Nm a x
2 2,6 m m406
13 5 0
6
22
=
=?
pDd
即螺栓的轴力为 pDFF
N
2
24
π
6 ==
N
FA?得
244
22 pDd
即螺栓的直径为
Dp
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-7 图示空心圆截面杆，外径 D＝ 20mm，内径 d＝
15mm，承受轴向荷载 F＝ 20kN作用，材料的屈服应力
s＝ 235MPa，安全因数 n=1.5。试校核杆的强度。
解：
可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全 。
1 5 6 M Pa
1.5
2 3 5 ===
s
s
n
1 4 5 M P a1520
102044
22
3
22 =-
=
-
=
dD
F
F F D
d
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1．杆的纵向总变形：
L
LL
L
L -=?= 1?
2．线应变：
一、拉压杆的变形及应变
LLL -=? 1
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时变形
3．杆的横向变形：
bbb -=? 1
5,泊松比（或横向变形系数）
=, -=?或
L
FF
L1
b b1
4．杆的横向 应变,
b
b?=
材料力学
2009年 7月 31日星期五二、拉压杆的弹性定律
A
FLL
EA
LF
EA
FLL N==?
)(
d)()d(
xEA
xxFx N=?
=?=? LL xEA xxNxL )( d)( )d(
=
=?
n
i ii
iNi
AE
LFL
1
内力在 n段中分别为常量时
※,EA” 称为杆的抗拉压刚度。
FF
N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
第二章 拉伸、压缩与剪切
E=
材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-8-1 图示等直杆的横截面积为 A、弹性模量为 E，
试计算 D点的位移。
解,
A
a
P
图 5-1
P
a
B C
33 P
a
D
x
EA
Pal
CD
3-=?
0=? BCl
EA
Pal
AB -=?
EA
Pa
llllD CDBCABAD
4
-=
+?+?=?=?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-8-3 图示结构中①杆是直径为 32mm的圆杆,②
杆为 2× No.5槽钢。材料均为 Q235钢,E=210GPa。已知 F=60kN，试计算 B点的位移。
1.8
m
2.4m
C
A
B
F
①
② -==
=-=
=--=
FF
FF
FFF
FFF
N
N
N
NN
33.1
67.1
0s in0
0c o s0
2
1
1Y
21X
：
：
mm78.1
32
4
10210
3 0 0 0106067.1
23
3
1
11
1 =
==?
EA
LFL N
mm66.0693210210 2 4 0 0106033.1 3
3
2
22
2 -=
-==?
EA
LFL NF
1NF
2NF
B
解,1、计算各杆上的轴力
2、计算各杆的变形第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1.8
m
2.4m
C
A
B
F
①
②
3、计算 B点的位移 （ 以切代弧 ）
B?
B
B?
B4B3
2B 2l?
1B
1l?
mm87.366.081.3
||||||
22
2
2
2
2
=+=
+= BBBBBB
mm81.3|||||
mm77.2||||
mm08.2||||
mm42.1c o s||
mm04.1s i ns i n||||
3322
133
14213
114
1132
=+=
==
=+?=
=?=
=?==
BBBBBB
c t gBBBB
BBLBB
LBB
LBBBB
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知 α ＝ 300，杆长 L
＝ 2m，杆的直径 d=25mm，材料的弹性模量 E＝ 2.1× 105MPa，
设在结点 A处悬挂一重物 F＝ 100kN，试求结点 A的位移 δ A。
α α
A
C
F
B 1 2
A?
= 0X
FNACFNAB
0s ins in =- N A BN A C FF
= 0Y 0c o sc o s =-+ FFF N A BN A Cc o s2
FFF
N A BN A C ==
c o s2 EA
FL
EA
LFLL N A C
ACAB ==?=?
A
ACL?
ABL?
A?
AAA?=cos ACL?=?2c os2 EA FL=
06265
3
30c o s1025410101.22
210100
=
-?
mm3.1=
材料力学
2009年 7月 31日星期五 F
F
F
应变能,伴随着弹性变形的增减而改变的能量
V
WV =?
§ 2-9 轴向拉伸或压缩的应变能材料力学
2009年 7月 31日星期五
l
1l
F
l?
l?
F
F
O
l?LFLFW N?=?= 2
1
2
1
NFV 2
1=
EA
LFN
L?
=?L
EA
LFN
2
2
=
应变能密度,单位体积内的应变能
V
Vv?
= AL
LF?
= 2
1
21=
材料力学
2009年 7月 31日星期五
(a) (b)
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-10 拉伸、压超静定问题图 a所示静定杆系为减小杆 1,2中的内力或节点 A的位移 (如图 b)而增加了杆 3。此时有三个未知内力 FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程
── 一次超静定问题 。
材料力学
2009年 7月 31日星期五静定结构,约束反力（轴力）
可由静力平衡方程求得；
§ 2-8第二章 拉伸、压缩与剪切超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得；
超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数材料力学
2009年 7月 31日星期五
1、列出独立的平衡方程,
超静定结构的求解方法：
== 210 NNx FFF
=+= FFFF NNy 31 c o s20?
2、变形几何关系
c o s321 lll?=?=?
3、物理关系
c os
1
1 EA
lFl N=?
EA
lFl N 3
3 =?
4、补充方程?
c osc os
31
EA
lF
EA
lF NN =
231 c o sNN FF =
5、求解方程组得
3
2
21 c o s21
c o s
+==
FFF
NN?33 c o s21 +=
FF
N
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-10-1 求图 a所示等直杆 AB上,下端的约束力，并求 C截面的位移。杆的拉压刚度为 EA。
解,FA+FB-F=0，故为一次超静定问题。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2.相容条件 Δ BF+Δ BB=0，参见图 c,d。
3.补充方程为
0=- EA lFEAFa B
l
FaF
B =
由此求得所得 FB为正值，表示 FB的指向与假设的指向相符，即向上。
第二章 拉伸、压缩与剪切得 FA=F-Fa/l=Fb/l。
5,可求得 C截面位移
== lE AF a bEA aFΔ AC
4.由平衡方程 FA+FB-F=0
材料力学
2009年 7月 31日星期五
1、静定问题无温度应力。
一、温度应力
2、静不定问题存在温度应力。
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-11 温度应力和装配应力材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-11-1 如图,1,2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由 T1变到 T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为?i ; △ T= T2 -T1)
C
A
B D
1 2
3
第二章 拉伸、压缩与剪切解 (1)平衡方程,
=+= 0s i ns i n 21 NN FFX
=++= 0c o sc o s 321 NNN FFFY
F
A
FN1
FN3
FN2
材料力学
2009年 7月 31日星期五
C
A
B D
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
(2) 几何方程
co s31 LL?=?
ii
ii
iNi
i LTAE
LFL+=?
(3) 物理方程：
第二章 拉伸、压缩与剪切
(4) 补充方程,
(5) 解平衡方程和补充方程，得,
c o s)( 33
33
33
11
11
11 LT
AE
LFLT
AE
LF NN?+=?+
/ c o s21 )c o s(
3311
3
2
3111
21 AEAE
TAEFF
NN?
+
--==
/ c o s21 c o s)c o s(2
3311
3
2
3111
3 AEAE
TAEF
N?
+
-=
材料力学
2009年 7月 31日星期五
a
a
a
a
N1
N2
例 2-11-2 如图阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃ 时被固定，杆的上下两段的面积分别=?cm2,=cm2，当温度升至 T2=25℃ 时,求各杆的温度应力。（线膨胀系数?=12.5× 10-6 1/?C；弹性模量
E=200GPa）
、几何方程：
解,?、平衡方程,? =-= 0
21 NN FFY
0=?-?=? FT LLL
第二章 拉伸、压缩与剪切
、物理方程：
解平衡方程和补充方程，得,
kN3.3321 == NN FF
,补充方程：
2
2
1
12
EA
F
EA
FT NN +=
、温度应力
M P a7.66
1
1
1 == A
F N? M P a3.33
2
2
2 == A
F N?
TaL T?=? 2
材料力学
2009年 7月 31日星期五
2、静不定问题存在装配应力。
二、装配应力 —— 预应力
1、静定问题无装配应力。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
几何方程解,? 平衡方程,
=-= 0s i ns i n 21 NN FFX
=-+= 0c o sc o s 321 NNN FFFY
13 co s)( LL?=?-
例 2-11-3 如图,3号杆的尺寸误差为?，求各杆的装配内力。
B
A
C
1 2
D
A1
3
第二章 拉伸、压缩与剪切
A1
N1 N2
N3
A
A13L?
2L?1L?
材料力学
2009年 7月 31日星期五
c o s)(
33
33
11
11
AE
LF
AE
LF NN -=
、物理方程及 补充方程,
、解平衡方程和补充方程，得,
/ c o s21
c o s
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
L
FF NN
+
==
/ c o s21
c o s2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
L
F N
+
=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例题 2-11-4 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆 1、
2（图 a），其长度 l =200 mm，
直径 d =10 mm。求将长度为
200.11 mm，亦即?e=0.11
mm的铜杆 3（图 b）装配在与杆 1和杆 2对称的位置后
（图 c）各杆横截面上的应力。
已知：铜杆 3的横截面为 20
mm× 30 mm的矩形，钢的弹性模量 E=210 GPa，铜的弹性模量 E3=100 GPa。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
(d)
解,
02 0 1NN3 =-=? FFF x,
变形相容条件（图 c）为
ell?=?+? 31
利用物理关系得补充方程：
e
AE
lF
EA
lF?=+
33
N3N1
将补充方程与平衡方程联立求解得：
+
=
+
==
EA
AEl
AeE
F
AE
EAl
e E A
FF
2
1
1
21
1
33
33
3N
33
2NN1,
材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切各杆横截面上的装配应力如下：
（压）
拉
M P a51.19
)(M P a53.74
3
N3
3
1N
21
==
===
A
F
A
F
材料力学
2009年 7月 31日星期五由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-12 应力集中的概念
m a x=K
理论应力集中因数：
具有小孔的均匀受拉平板,K≈3 。
材料力学
2009年 7月 31日星期五应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：
荷载增大进入弹塑性极限荷载第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五均匀的脆性材料或塑性差的材料 (如高强度钢 )制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。
非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。
塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-13 剪切和挤压实用计算材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1,受力特征,
2,变形特征：
一,剪切的实用计算第二章 拉伸、压缩与剪切上刀刃下刀刃
n
n
F
F
F
FS剪切面材料力学
2009年 7月 31日星期五
A
FS=?
剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于是得剪切面上的名义切应力为：
= AF S —— 剪切强度条件剪切面为圆形时，其剪切面积为：
4
2d
A?=
对于平键,其剪切面积为：
lbA?=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-1 如图所示冲床,Fmax=400kN,冲头 [σ ]＝ 400MPa,冲剪钢板 τ u=360 MPa,设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值 。
解 (1)按冲头的压缩强度计算 d
FFdA =?= N2
4
cm
Pd 4.34 =
(2)按钢板剪切强度计算 t
uA
F= s
u
FdtA
= cmd
Ft
u
04.1=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-2 图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知破坏时的荷载为 10kN，试求胶接处的极限剪（切）应力。
③
①
②
胶缝
10m
m
F
①
FSFS
F
kN52S == FF
23 0 01030 mmA s =?=
M P a7.163 0 0105
3
S =?==
s
u A
F?
解：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-3 如图螺钉，已知,[?]=0.6[?]，求其 d:h的合理比解,
h
F
d
当?,?分别达到 [?],[?]时,
材料的利用最合理
==
==
dh
F
A
F
d
F
A
F
S
S
2
N 4
4.2:46.0 2 == hddFdhF 得
剪切面
d
h
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
F
挤压面
FF
压溃 (塑性变形 )
挤压计算对联接件与被联接件都需进行二、挤压的实用计算第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五挤压强度条件,
bsbsm a x)(
挤压许用应力,由模拟实验测定
① 挤压面为平面，计算挤压面就是该面
② 挤压面为弧面,取受力面对半径的投影面挤压应力
bs
bs
bs A
F=?
t
d
Fbs挤压力计算挤压面
Abs=td
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
h/2
b
ld
O
FS
n nFs
Fbs
F
Me
n n
O
Me
=
==
blA
dMF
S
e kN1.57/2S
=== M Pa6.28SS blFAF
S
校核键的剪切强度：
kN157S,FF bs ==
bsbs
bs
bs
bs hl
F
A
F=== M Pa2.95
2/)(
/2bs hlA =校核键的挤压强度：
例 2-13-4 图示轴与齿轮的平键联接 。 已知轴直径 d=70mm，
键 的 尺 寸 为 b× h× l=20× 12× 100mm,传 递 的 力 偶 矩
Me=2kN·m,键的许用应力 [?]=60MPa,[?]bs=100MPa。 试校核键的强度 。
强度满足要求第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-5 电瓶车挂钩由插销联接,如图示 。 插销材料为 20钢,
[τ]=30MPa,[σbs]＝ 100MPa,直径 d=20mm。 挂钩及被联接的板件的厚度分别为 t=8mm和 1.5t=12mm。 牵引力 F=15kN。 试校核插销的强度 。
ⅠⅡ
2
2
= AF S
=
=
==
-
M P a9.23
10202
10154
2
4
23
3
2
S
d
F
A
F
bs
33
3
bs
bs
bs
M Pa5.62
10201012
1015
5.1
=
=
==
--
dt
F
A
F
bs
bs
bs
bs= A
F
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五祝大家学习愉快 !
第二章 拉伸、压缩与剪切
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
§ 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能
§ 2-5 材料压缩时的力学性能
§ 2-7 失效、安全因素和强度计算
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时变形
§ 2-9 轴向拉伸或压缩的应变能
§ 2-10 拉伸、压超静定问题
§ 2-11 温度应力和装配应力
§ 2-12 应力集中的概念
§ 2-13 剪切和挤压实用计算材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
1．概念材料力学
2009年 7月 31日星期五轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
FF
FF
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
2．实例材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力定义：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。
1,内力材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
原有内力材料力学中的内力
F
第二章 拉伸、压缩与剪切
F+F‘
F'
附加内力材料力学
2009年 7月 31日星期五
SFX=0,FN-F=0； FN=F
2．截面法、轴力
F I
FF I II
FII
FN x
x
SFX=0,-FN’+F=0； FN’=F
FN’
截面法
①
切取
②
代替
③
平衡第二章 拉伸、压缩与剪切轴力的符号？
材料力学
2009年 7月 31日星期五轴力的正负规定,
F N > 0
FNFN
F N < 0
FNFN
x
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
① 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
3．轴力图 —— FN (x) 的图象表示。
FN
x+
意义第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
150kN 100kN50kN
FN +
-
例 2-2-1,作图示杆件的轴力图，并指出 | FN |max
I
I
II
II
| FN |max=100kN
FN2=-100kN100kN
II
II
FN2
FN1=50kN
I
FN1
I
50kN
50kN
100kN
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
5kN 8kN 4kN 1kN
O
例 2-2-2：作图示杆的轴力图。
第二章 拉伸、压缩与剪切
FN
x
2kN
3kN
5kN
1kN++
–
材料力学
2009年 7月 31日星期五解,x 坐标向右为正，坐标原点在自由端
。取左侧 x 段为对象，内力 N(x)为：
q
qL
xO
2
0 2
1d)( kxxkxxF x
N -=-=?
2
m a x 2
1)( kLxF
N -=
例 2-2-3：图示杆长为 L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，
试画出杆的轴力图。
L
q(x)
FN(x)
x
q(x)
FN x
O
–
2
2kL
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
P FN
P FN
强度?内力?应力
4,应力第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
A
M
全应力（总应力）：
A
F
A
Fp
A d
d
Δ
Δlim
0Δ
==
第二章 拉伸、压缩与剪切应力的概念,截面上某点的内力集度。
材料力学
2009年 7月 31日星期五全应力分解为：
p?
M?
A
F
A
F NN
A d
d
Δ
Δl i m
0Δ
==
A
F
A
F SS
A d
d
Δ
Δl i m
0Δ
==
垂直于截面的应力称为,正应力”,
位于截面内的应力称为,剪应力”,
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五应力特征,
（ 1）必须明确截面及点的位置；
（ 2）是矢量 ；
（ 3）单位,Pa(帕 )和 MPa(兆帕 )
1MPa=106Pa
轴向拉伸和压缩第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五拉（压）杆横截面上的应力第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五变形前
1）变形规律 试验 及平面假设：
平面假设,原为平面的横截面在变形后仍为平面，
纵向纤维变形相同。
受载后 P Pd ′a′c′ b′
拉（压）杆横截面上的应力第二章 拉伸、压缩与剪切
a b
c d
材料力学
2009年 7月 31日星期五
2）拉伸应力：
FNF
A
F N=?
轴力引起的正应力 ——?,在横截面上均布。
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
3）危险截面及最大工作应力：
))( )(m a x ( m a x xA xF N=?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
4）圣维南（ Saint-Venant） 原理：
第二章 拉伸、压缩与剪切
100N1mm
厚度为 1mm
100N
50N1mm
厚度为 1mm
50N
100MPa
1mm
厚度为 1mm
100MPa
50N 50N
材料力学
2009年 7月 31日星期五
103
98
143
35
第二章 拉伸、压缩与剪切
100N1mm
厚度为 1mm
100N
686
33
-160
材料力学
2009年 7月 31日星期五
101.7
99.5
167
29
第二章 拉伸、压缩与剪切
855
33
-244
50N1mm50N
50N 50N
材料力学
2009年 7月 31日星期五
100MPa
1mm
厚度为 1mm
100MPa
第二章 拉伸、压缩与剪切
100MPa
100MPa
100MPa
材料力学
2009年 7月 31日星期五
4）圣维南（ Saint-Venant） 原理：
如用与外力系静力等效的合力来代替原力，
则除了原力系起作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处，上述代替的影响就非常微小，
可以不计。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
50
M P a52
35
41050
M P a1 9 1
20
41060
0
2
3
3
3N
3
2
3
2
2N
2
1
1N
1
=
==
=
==
==
A
F
A
F
A
F
例 2-3-1：作图示杆件的轴力图，并求 1-1,2-2,3-3
截面的应力。
30? 20? 35
50kN60kN 40kN 30kN
1
1
3
32
2
20
60
kN
图NF
kN50
kN60
0
3N
2N
1N
=
=
=
F
F
F
+
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-2：图示结构，试求杆件 AB,CB的应力。已知 F=20kN；斜杆 AB为直径 20mm的圆截面杆，水平杆 CB为 15× 15的方截面杆。
F
A
B
C
= 0yF
kN3.281 =NF
解,1、计算各杆件的轴力。
kN202 -=NF
= 0xF
45°
045c o s 21 =+ NN FF?
045s in1 =- FF N?
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2、计算各杆件的应力。
M Pa90
20
4
103.28
2
3
1
1
1 =
==
A
F N
M Pa89
15
1020
2
3
2
2
2 -=
-==
A
F N?
F
A
B
C
45°
1
2
B
F
1NF
2NF x
y
45°
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-3：试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知 F = 50 kN。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
Ⅱ 段柱横截面上的正应力所以，最大工作应力为?max=?2= -1.1
MPa (压应力）
解,Ⅰ 段柱横截面上的正应力
M P a87.0
240
1050
2
3
1
1N
1 -=
-==
A
F?
M P a1.1
3 7 0
101 5 0
2
3
2
2N
2 -=
-==
A
F?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-3-4：试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知,d = 200 mm,δ= 5 mm,p
= 2 MPa。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2
R
N
FF =
pbddpbF =?= ) s ind2(π
0R
M P a 40
52
2002
2
)
2
(
1
=
=
==
pdpbd
b
解：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力变形假设：平面假设仍成立。
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同。
p
FF
F
NF
材料力学
2009年 7月 31日星期五
p
c o sc o s 0== AFp
2c o sc o s == p
2s i n2s i n 0== p
① 全应力：
② 正应力：
③ 切应力：
1） α=00时,σmax＝ σ
2） α＝ 450时,τmax=σ/2
第二章 拉伸、压缩与剪切正应力和切应力的正负规定：
)(+
)(+
)(-
)(-
F
NF
p
FF
材料力学
2009年 7月 31日星期五
M P a7.632/4.1272/0m a x ===
M P a5.95)60c o s1(2 4.127)2c o s1(2 0 =+=+=
M P a2.5560s in2 4.1272s in2 0 ===
M P a4.127 1014.3 100004 20 === AP?
例 2-3-1 直径为 d =1 cm 杆受拉力 P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角 30° 的斜截面上的正应力和剪应力 。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能力学性能 (机械性质 ),材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性材料力学包含的两个方面理论分析实验研究测定材料的力学性能；解决某些不能全靠理论分析的问题材料力学
2009年 7月 31日星期五一试件和实验条件常温
、
静载第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-4 材料拉伸时的力学性能国家标准,金属拉伸试验方法,（ GB228-2002）
材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
1,低碳钢拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
a
b
c
e
f
明显的四个阶段
1、弹性阶段 ob
—P? 比例极限
E=
—e? 弹性极限
ta n==E
2、屈服阶段 bc（失去抵抗变形的能力）
—s? 屈服极限
3、强化阶段 ce（恢复抵抗变形的能力）
强度极限—b?
4、局部变形阶段 ef
P?e?
s?
b?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五两个塑性指标,
%1 00
0
01?-=
l
ll?
断后伸长率断面收缩率
%100
0
10?-=
A
AA?
%5 为塑性材料
%5 为脆性材料低碳钢的 %3020 — %60
为塑性材料
0
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五卸载定律及冷作硬化
1、弹性范围内卸载、再加载
o
a
b
c
e
f
P?
e? s?
b?
2、过弹性范围卸载、再加载
d
d? g hf?
即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，
这就是 卸载定律 。
材料的比例极限增高，
延伸率降低，称之为 冷作硬化或加工硬化 。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五注意：
1,低碳钢的?s,?b都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是 名义应力 。
2,低碳钢的强度极限?b是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。
3,超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，因而是 名义应变 (工程应变 )。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
4,伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积 (或直径 )之比，原因在此。
思考,低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（ l = 10d 和 l = 5d）,试问所得伸长率
10和?5 哪一个大？
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限 σ 0.2来表示。
%2.0
2.0?
第二章 拉伸、压缩与剪切
2．其它塑性材料拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五伸长率
√√×局部变形阶段
√√√强化阶段
×××屈服阶段
√√√弹性阶段退火球墨铸铁强铝锰钢材料
%5? %5? %5?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
o
b?
①?b— 拉伸强度极限（约为 140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。
② 应力应变不成比例，无屈服、颈缩现象，变形很小且?b很低。
第二章 拉伸、压缩与剪切
3．铸铁拉伸时的力学性能材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-5 材料压缩时的力学性能一试件和实验条件常温
、
静载材料力学
2009年 7月 31日星期五拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。
第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸与压缩在屈服阶段以后为啥不相同？
(MPa)
200
400
0.1 0.2O
低碳钢压缩应力应变曲线低碳钢拉伸应力应变曲线材料力学
2009年 7月 31日星期五
O
bL
灰铸铁的拉伸曲线
by
灰铸铁的压缩曲线
by>? bL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为与轴向大致成 45o
～ 55o的滑移面破坏。
2,铸铁压缩第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五失效：由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。
脆性材料拉?max=?u拉 =?b拉塑性材料?max=?u=?s
拉压构件材料的失效判据：
脆性材料压?max=?u压 =?b压第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-7 失效、安全因素和强度计算材料力学
2009年 7月 31日星期五
I,材料的拉、压许用应力塑性材料：
,][][
s
2.0
s
s
nn
== 或脆性材料：许用拉应力
b
b
t ][ n
=
其中,ns—— 对应于屈服极限的安全因数其中,nb—— 对应于拉、压强度的安全因数第二章 拉伸、压缩与剪切
b
bc
c ][ n
=许用压应力材料力学
2009年 7月 31日星期五
II,拉 (压 )杆的强度条件其中,?max—— 拉 (压 )杆的最大工作应力；
[?]—— 材料拉伸 (压缩 )时的许用应力。
][ma xma x
=
xA
xF N
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
III,关于安全因数的考虑
（ 1） 理论与实际差别,考虑极限应力 (?s,?0.2，
b,?bc),横截面尺寸、荷载等的变异，以及计算简图与实际结构的差异。
（ 2） 足够的安全储备,使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。
安全系数的取值,安全系数是由多种因素决定的。可从有关规范或设计手册中查到。在一般静载下，对于塑件材料通常取为 1.2～ 2.5；对于脆性材料通常取为 2.0 ～ 3.5，甚至更大。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
Ⅳ,强度计算的三种类型
(3) 许可荷载的确定,FN,max=A[?]
(2) 截面选择：
][
m a x,N
FA?
][m a x,Nm a x= AF
(1) 强度校核：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-1 已知一圆杆受拉力 P =25 k N,许用应力
[?]=170MPa,直径 d =14mm，校核此杆强度。
解,① 轴力,FN = P =25kN
M P a1 6 214143 10254 2
3
m a x =?
==
.A
F N?② 应力：
③ 强度校核,= 1 6 2 MP a
m a x
④ 结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例题 2-7-5 简易起重机构如图,AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为 P，为使 BD杆最轻，角? 应为何值？
已知 BD 杆的 许用应力为 [?]。
x
L
h
P
A B
C
D
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
PxhFm BDA =?=? )c t g() s i n(,0
c o sh
PxF
BD =
/m a x,BDFABD杆面积 A：
解,?BD杆 内力 FN,取 AC为研究对象，如图
YA
XA
FBD
x
L
P
A B
C
第二章 拉伸、压缩与剪切
c o sm a x,h
PLF
BD =
材料力学
2009年 7月 31日星期五
③ 求 VBD 的 最小值：;2s in ][ 2s in/ PLAhALV BDBD?==
][
2 45
m i n
o
PLV,==? 时第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-6 D=350mm,p=1MPa。螺栓 [?]=40MPa，求螺栓 直径。
pDF 24π=
每个螺栓承受轴力为总压力的 1/6
解：油缸盖受到的力根据强度条件= AF Nm a x
2 2,6 m m406
13 5 0
6
22
=
=?
pDd
即螺栓的轴力为 pDFF
N
2
24
π
6 ==
N
FA?得
244
22 pDd
即螺栓的直径为
Dp
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-7-7 图示空心圆截面杆，外径 D＝ 20mm，内径 d＝
15mm，承受轴向荷载 F＝ 20kN作用，材料的屈服应力
s＝ 235MPa，安全因数 n=1.5。试校核杆的强度。
解：
可见，工作应力小于许用应力，说明杆件安全 。
1 5 6 M Pa
1.5
2 3 5 ===
s
s
n
1 4 5 M P a1520
102044
22
3
22 =-
=
-
=
dD
F
F F D
d
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1．杆的纵向总变形：
L
LL
L
L -=?= 1?
2．线应变：
一、拉压杆的变形及应变
LLL -=? 1
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-8 轴向拉伸或压缩时变形
3．杆的横向变形：
bbb -=? 1
5,泊松比（或横向变形系数）
=, -=?或
L
FF
L1
b b1
4．杆的横向 应变,
b
b?=
材料力学
2009年 7月 31日星期五二、拉压杆的弹性定律
A
FLL
EA
LF
EA
FLL N==?
)(
d)()d(
xEA
xxFx N=?
=?=? LL xEA xxNxL )( d)( )d(
=
=?
n
i ii
iNi
AE
LFL
1
内力在 n段中分别为常量时
※,EA” 称为杆的抗拉压刚度。
FF
N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
第二章 拉伸、压缩与剪切
E=
材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-8-1 图示等直杆的横截面积为 A、弹性模量为 E，
试计算 D点的位移。
解,
A
a
P
图 5-1
P
a
B C
33 P
a
D
x
EA
Pal
CD
3-=?
0=? BCl
EA
Pal
AB -=?
EA
Pa
llllD CDBCABAD
4
-=
+?+?=?=?
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-8-3 图示结构中①杆是直径为 32mm的圆杆,②
杆为 2× No.5槽钢。材料均为 Q235钢,E=210GPa。已知 F=60kN，试计算 B点的位移。
1.8
m
2.4m
C
A
B
F
①
② -==
=-=
=--=
FF
FF
FFF
FFF
N
N
N
NN
33.1
67.1
0s in0
0c o s0
2
1
1Y
21X
：
：
mm78.1
32
4
10210
3 0 0 0106067.1
23
3
1
11
1 =
==?
EA
LFL N
mm66.0693210210 2 4 0 0106033.1 3
3
2
22
2 -=
-==?
EA
LFL NF
1NF
2NF
B
解,1、计算各杆上的轴力
2、计算各杆的变形第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1.8
m
2.4m
C
A
B
F
①
②
3、计算 B点的位移 （ 以切代弧 ）
B?
B
B?
B4B3
2B 2l?
1B
1l?
mm87.366.081.3
||||||
22
2
2
2
2
=+=
+= BBBBBB
mm81.3|||||
mm77.2||||
mm08.2||||
mm42.1c o s||
mm04.1s i ns i n||||
3322
133
14213
114
1132
=+=
==
=+?=
=?=
=?==
BBBBBB
c t gBBBB
BBLBB
LBB
LBBBB
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知 α ＝ 300，杆长 L
＝ 2m，杆的直径 d=25mm，材料的弹性模量 E＝ 2.1× 105MPa，
设在结点 A处悬挂一重物 F＝ 100kN，试求结点 A的位移 δ A。
α α
A
C
F
B 1 2
A?
= 0X
FNACFNAB
0s ins in =- N A BN A C FF
= 0Y 0c o sc o s =-+ FFF N A BN A Cc o s2
FFF
N A BN A C ==
c o s2 EA
FL
EA
LFLL N A C
ACAB ==?=?
A
ACL?
ABL?
A?
AAA?=cos ACL?=?2c os2 EA FL=
06265
3
30c o s1025410101.22
210100
=
-?
mm3.1=
材料力学
2009年 7月 31日星期五 F
F
F
应变能,伴随着弹性变形的增减而改变的能量
V
WV =?
§ 2-9 轴向拉伸或压缩的应变能材料力学
2009年 7月 31日星期五
l
1l
F
l?
l?
F
F
O
l?LFLFW N?=?= 2
1
2
1
NFV 2
1=
EA
LFN
L?
=?L
EA
LFN
2
2
=
应变能密度,单位体积内的应变能
V
Vv?
= AL
LF?
= 2
1
21=
材料力学
2009年 7月 31日星期五
(a) (b)
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-10 拉伸、压超静定问题图 a所示静定杆系为减小杆 1,2中的内力或节点 A的位移 (如图 b)而增加了杆 3。此时有三个未知内力 FN1,FN2,FN3，但只有二个独立的平衡方程
── 一次超静定问题 。
材料力学
2009年 7月 31日星期五静定结构,约束反力（轴力）
可由静力平衡方程求得；
§ 2-8第二章 拉伸、压缩与剪切超静定结构：约束反力不能由平衡方程求得；
超静定度（次）数：约束反力多于独立平衡方程的数材料力学
2009年 7月 31日星期五
1、列出独立的平衡方程,
超静定结构的求解方法：
== 210 NNx FFF
=+= FFFF NNy 31 c o s20?
2、变形几何关系
c o s321 lll?=?=?
3、物理关系
c os
1
1 EA
lFl N=?
EA
lFl N 3
3 =?
4、补充方程?
c osc os
31
EA
lF
EA
lF NN =
231 c o sNN FF =
5、求解方程组得
3
2
21 c o s21
c o s
+==
FFF
NN?33 c o s21 +=
FF
N
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-10-1 求图 a所示等直杆 AB上,下端的约束力，并求 C截面的位移。杆的拉压刚度为 EA。
解,FA+FB-F=0，故为一次超静定问题。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
2.相容条件 Δ BF+Δ BB=0，参见图 c,d。
3.补充方程为
0=- EA lFEAFa B
l
FaF
B =
由此求得所得 FB为正值，表示 FB的指向与假设的指向相符，即向上。
第二章 拉伸、压缩与剪切得 FA=F-Fa/l=Fb/l。
5,可求得 C截面位移
== lE AF a bEA aFΔ AC
4.由平衡方程 FA+FB-F=0
材料力学
2009年 7月 31日星期五
1、静定问题无温度应力。
一、温度应力
2、静不定问题存在温度应力。
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-11 温度应力和装配应力材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-11-1 如图,1,2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由 T1变到 T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为?i ; △ T= T2 -T1)
C
A
B D
1 2
3
第二章 拉伸、压缩与剪切解 (1)平衡方程,
=+= 0s i ns i n 21 NN FFX
=++= 0c o sc o s 321 NNN FFFY
F
A
FN1
FN3
FN2
材料力学
2009年 7月 31日星期五
C
A
B D
1 2
3
A1
1L?2
L?
3L?
(2) 几何方程
co s31 LL?=?
ii
ii
iNi
i LTAE
LFL+=?
(3) 物理方程：
第二章 拉伸、压缩与剪切
(4) 补充方程,
(5) 解平衡方程和补充方程，得,
c o s)( 33
33
33
11
11
11 LT
AE
LFLT
AE
LF NN?+=?+
/ c o s21 )c o s(
3311
3
2
3111
21 AEAE
TAEFF
NN?
+
--==
/ c o s21 c o s)c o s(2
3311
3
2
3111
3 AEAE
TAEF
N?
+
-=
材料力学
2009年 7月 31日星期五
a
a
a
a
N1
N2
例 2-11-2 如图阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃ 时被固定，杆的上下两段的面积分别=?cm2,=cm2，当温度升至 T2=25℃ 时,求各杆的温度应力。（线膨胀系数?=12.5× 10-6 1/?C；弹性模量
E=200GPa）
、几何方程：
解,?、平衡方程,? =-= 0
21 NN FFY
0=?-?=? FT LLL
第二章 拉伸、压缩与剪切
、物理方程：
解平衡方程和补充方程，得,
kN3.3321 == NN FF
,补充方程：
2
2
1
12
EA
F
EA
FT NN +=
、温度应力
M P a7.66
1
1
1 == A
F N? M P a3.33
2
2
2 == A
F N?
TaL T?=? 2
材料力学
2009年 7月 31日星期五
2、静不定问题存在装配应力。
二、装配应力 —— 预应力
1、静定问题无装配应力。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
几何方程解,? 平衡方程,
=-= 0s i ns i n 21 NN FFX
=-+= 0c o sc o s 321 NNN FFFY
13 co s)( LL?=?-
例 2-11-3 如图,3号杆的尺寸误差为?，求各杆的装配内力。
B
A
C
1 2
D
A1
3
第二章 拉伸、压缩与剪切
A1
N1 N2
N3
A
A13L?
2L?1L?
材料力学
2009年 7月 31日星期五
c o s)(
33
33
11
11
AE
LF
AE
LF NN -=
、物理方程及 补充方程,
、解平衡方程和补充方程，得,
/ c o s21
c o s
3311
3
2
11
3
21 AEAE
AE
L
FF NN
+
==
/ c o s21
c o s2
3311
3
3
11
3
3 AEAE
AE
L
F N
+
=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例题 2-11-4 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆 1、
2（图 a），其长度 l =200 mm，
直径 d =10 mm。求将长度为
200.11 mm，亦即?e=0.11
mm的铜杆 3（图 b）装配在与杆 1和杆 2对称的位置后
（图 c）各杆横截面上的应力。
已知：铜杆 3的横截面为 20
mm× 30 mm的矩形，钢的弹性模量 E=210 GPa，铜的弹性模量 E3=100 GPa。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
(d)
解,
02 0 1NN3 =-=? FFF x,
变形相容条件（图 c）为
ell?=?+? 31
利用物理关系得补充方程：
e
AE
lF
EA
lF?=+
33
N3N1
将补充方程与平衡方程联立求解得：
+
=
+
==
EA
AEl
AeE
F
AE
EAl
e E A
FF
2
1
1
21
1
33
33
3N
33
2NN1,
材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切各杆横截面上的装配应力如下：
（压）
拉
M P a51.19
)(M P a53.74
3
N3
3
1N
21
==
===
A
F
A
F
材料力学
2009年 7月 31日星期五由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。
第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-12 应力集中的概念
m a x=K
理论应力集中因数：
具有小孔的均匀受拉平板,K≈3 。
材料力学
2009年 7月 31日星期五应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：
荷载增大进入弹塑性极限荷载第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五均匀的脆性材料或塑性差的材料 (如高强度钢 )制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。
非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。
塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切
§ 2-13 剪切和挤压实用计算材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
1,受力特征,
2,变形特征：
一,剪切的实用计算第二章 拉伸、压缩与剪切上刀刃下刀刃
n
n
F
F
F
FS剪切面材料力学
2009年 7月 31日星期五
A
FS=?
剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于是得剪切面上的名义切应力为：
= AF S —— 剪切强度条件剪切面为圆形时，其剪切面积为：
4
2d
A?=
对于平键,其剪切面积为：
lbA?=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-1 如图所示冲床,Fmax=400kN,冲头 [σ ]＝ 400MPa,冲剪钢板 τ u=360 MPa,设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值 。
解 (1)按冲头的压缩强度计算 d
FFdA =?= N2
4
cm
Pd 4.34 =
(2)按钢板剪切强度计算 t
uA
F= s
u
FdtA
= cmd
Ft
u
04.1=
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-2 图示装置常用来确定胶接处的抗剪强度，如已知破坏时的荷载为 10kN，试求胶接处的极限剪（切）应力。
③
①
②
胶缝
10m
m
F
①
FSFS
F
kN52S == FF
23 0 01030 mmA s =?=
M P a7.163 0 0105
3
S =?==
s
u A
F?
解：
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-3 如图螺钉，已知,[?]=0.6[?]，求其 d:h的合理比解,
h
F
d
当?,?分别达到 [?],[?]时,
材料的利用最合理
==
==
dh
F
A
F
d
F
A
F
S
S
2
N 4
4.2:46.0 2 == hddFdhF 得
剪切面
d
h
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
F
F
挤压面
FF
压溃 (塑性变形 )
挤压计算对联接件与被联接件都需进行二、挤压的实用计算第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五挤压强度条件,
bsbsm a x)(
挤压许用应力,由模拟实验测定
① 挤压面为平面，计算挤压面就是该面
② 挤压面为弧面,取受力面对半径的投影面挤压应力
bs
bs
bs A
F=?
t
d
Fbs挤压力计算挤压面
Abs=td
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五
h/2
b
ld
O
FS
n nFs
Fbs
F
Me
n n
O
Me
=
==
blA
dMF
S
e kN1.57/2S
=== M Pa6.28SS blFAF
S
校核键的剪切强度：
kN157S,FF bs ==
bsbs
bs
bs
bs hl
F
A
F=== M Pa2.95
2/)(
/2bs hlA =校核键的挤压强度：
例 2-13-4 图示轴与齿轮的平键联接 。 已知轴直径 d=70mm，
键 的 尺 寸 为 b× h× l=20× 12× 100mm,传 递 的 力 偶 矩
Me=2kN·m,键的许用应力 [?]=60MPa,[?]bs=100MPa。 试校核键的强度 。
强度满足要求第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五例 2-13-5 电瓶车挂钩由插销联接,如图示 。 插销材料为 20钢,
[τ]=30MPa,[σbs]＝ 100MPa,直径 d=20mm。 挂钩及被联接的板件的厚度分别为 t=8mm和 1.5t=12mm。 牵引力 F=15kN。 试校核插销的强度 。
ⅠⅡ
2
2
= AF S
=
=
==
-
M P a9.23
10202
10154
2
4
23
3
2
S
d
F
A
F
bs
33
3
bs
bs
bs
M Pa5.62
10201012
1015
5.1
=
=
==
--
dt
F
A
F
bs
bs
bs
bs= A
F
第二章 拉伸、压缩与剪切材料力学
2009年 7月 31日星期五祝大家学习愉快 !
第二章 拉伸、压缩与剪切
