材料力学 第三章 扭 转
§ 3-1 扭转的概念和实例
§ 3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§ 3-3 纯剪切
§ 3-4 圆轴扭转时的应力
§ 3-5 圆轴扭转时的变形材料力学 第三章 扭 转
§ 3-1 扭转的概念和实例
1,受力特征,在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等,方向相反的外力偶 。
2,变形特征,横截面形状大小未变,只是绕轴线发生相对转动 。
轴,以扭转为主要变形的构件称为轴 。
材料力学 第三章 扭 转材料力学 第三章 扭 转受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，
所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图直接计算
1．外力偶矩材料力学 第三章 扭 转按输入功率和转速计算电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0 PW
602
nMW
e
已知轴转速－ n 转 /分钟输出功率－ P 千瓦求：力偶矩 Me
m)(N9549 nPm
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-1 传动轴如图所示，主动轮 A输入功率 PA=50kW，从动轮 B,C,D输出功率分别为 PB=PC=15kW,PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
MAM
B MC
B C
A D
MD
解,计算外力偶矩
mN6 3 79 5 4 9
mN5.4 7 79 5 4 9
mN1 5 9 29 5 4 9
n
P
M
n
P
MM
n
P
M
D
D
B
CB
A
A
材料力学 第三章 扭 转
2,扭矩与扭矩图
,0 xM由 0 eMT
eMT＝得
T称为截面 n-n上的扭矩。
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩 T为正，
如果由平衡方程得到 T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图,正的扭矩画在 x轴上方，负的扭矩画在 x轴下方。
注意
MeMe
Me T
x
扭矩符号规定：
材料力学 第三章 扭 转右手定则,右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。
扭矩符号规定
：
mI
T
I
m
I
I
T
mI
T
I
m
I
I
T
T
T
材料力学 第三章 扭 转扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-2 计算例 3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MAM
B MC
B C
A D
MD
解：已知
mN6 3 7
mN5.4 7 7
mN1 5 9 2
D
CB
A
M
MM
M
477.5N·m
955N·m
637N·m
T+
-
作扭矩图如左图示。
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-3 已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m)1 5,9 ( k N
300
500
9,5 4 9549.9 11
n
P
m
m)( kN 78.4
300
150
9.5 49
549.9 232
n
P
mm
m)( kN 37.6
300
200
9.549549.9 44
n
P
m
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
材料力学 第三章 扭 转
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
.)..mmT
mmT
mkN37.6
,0
43
43
mT
mT
材料力学 第三章 扭 转
③ 绘制扭矩图 mkN 569
m a x,T
BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
–
–
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-3 纯剪切薄壁圆筒,壁厚
r101 （ r,为平均半径）
1．实验,实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
材料力学 第三章 扭 转
2,实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3,结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
材料力学 第三章 扭 转
a
c d
dx
b
dy
′
′
① 无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力
，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
4,?与? 的关系：
L
R
RL
微小矩形单元体如图所示：
材料力学 第三章 扭 转
5,薄壁圆筒剪应力?大小：
2 2
2d
d
22
r
M
r
T
TrrAr
TrA
e
A
A
材料力学 第三章 扭 转二、切应力互等定理：
0
故
d x d yd x d y
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
dy
′
′
δ
z
材料力学 第三章 扭 转三、切应变 剪切胡克定律单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为 纯剪切应力状态。
材料力学 第三章 扭 转
T=m
)( )2(
2
R
Lr
T
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第三章 扭 转
G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因?
无量纲，故 G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
材料力学 第三章 扭 转
1,横截面变形后仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
§ 3-4 圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：
材料力学 第三章 扭 转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
材料力学 第三章 扭 转
x
dx
T T
d?
d
dx
dx
d
dx
d
材料力学 第三章 扭 转
xd
d
距圆心为?任一点处的与到圆心的距离?成正比。
xdd?
—— 扭转角沿长度方向变化率。
材料力学 第三章 扭 转
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
G
xGxGG d
d
d
d
xG d
d
材料力学 第三章 扭 转
3,静力学关系：
O
dA
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
AI Ap d2令
xGI T p d
d pGI
T
x? d
d?
代入物理关系式 得：
xG d
d
pI
T
材料力学 第三章 扭 转
pI
T
—横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中,T— 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
— 该点到圆心的距离。
Ip— 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学 第三章 扭 转单位,mm4,m4。
AI Ap d2
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
32
d2
d
4
2
0
2
2
D
AI
D
Ap
对于实心圆截面：
D?
d?
O
材料力学 第三章 扭 转对于空心圆截面：
)1(
32
)(
32
d2
d
4
4
44
2
2
2
2
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd
d DO
d?
材料力学 第三章 扭 转
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
材料力学 第三章 扭 转
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T
由 知：当
m a x,2
dR
)
2
(
2
2
m a x
d
IW
W
T
d
I
T
I
d
T
p
t
p
p
令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面：
163DRIW pt
对于空心圆截面,16)1(
43 DRIW pt
材料力学 第三章 扭 转由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（ A）、（ B）、（ C）、（ D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
d2
d
T
1G
2G
O
(A) (B) (C) (D)
材料力学 第三章 扭 转解,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，
即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。
由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层
（圆环截面）的剪切弹性模量（ G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（ A）和（ B）都是不正确的。
在答案（ D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（ C）
材料力学 第三章 扭 转三,强度条件强度条件,,[?]— 许用切应力 ；
][
p
ma x
ma W
T
x
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于 纯剪切状态,所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 [?]
与许用正应力 [?]之间存在下述关系：
对于塑性材料,[?] ＝ (0.5一 0.577) [?]
对于脆性材料,[?] ＝ (0.8— 1.0) [?l]
式中,[?l]代表许用拉应力。
材料力学 第三章 扭 转强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x
tW
T
][
m a x
TW
t?
][m a x?tWT?
）（空：
实：
4
3
3
1
16
16
D
D
W t
材料力学 第三章 扭 转例 3-4-1：一厚度为 30mm、内直径为 230mm 的空心圆管，承受扭矩 T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解,(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
tr
T
2m a x 2
)1(
16
4
3m a x
D
T
(2) 利用精确的扭转理论可求得
43
3
2 9 0
2 3 0
1
16
29.0
101 8 0
M P a2.62?
03.013.02
101 8 0
2
3
M P a5.56?
材料力学 第三章 扭 转例 3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为 α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，
内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为 d,D，面积增大一倍后内外径分别变为 d1,D1,最大许可扭矩为Ｔ 1
由
T
D
T
D
1
1
3
4
3
4
16
1
16
1
( ) ( )
[ ]
由 得D D DD1
2
2
2
2 1
4 1 0 5 2 4 1 0 5 2(,) (,)
828.22 2/3
3
11
D
D
T
T得材料力学 第三章 扭 转例 3-4-3,某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm,壁厚 t=2.5mm，
传递扭矩 T=1.98kN·m,[?]=100MPa,试校核轴的强度 。
33p
p
444
4
p
103.20
2/
101.77)1(
32
mm
D
I
W
mm
D
I?
][5.97
P
M P a
W
T m a x
m a x
解：计算截面参数：
由强度条件：
故轴的强度满足要求。
材料力学 第三章 扭 转同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，
故 空心轴较实心轴合理 。
3
1334.0
44
)2( 222 dtDD
A
A
实空空心轴与实心轴的截面面积比 (重量比 )为：
M P a
dW
T m a x
m a x 5.9716/
1098.1
3
3
p
由上式解出,d=46.9mm。
M P am a x 5.97若将空心轴改成实心轴，仍使
，则材料力学 第三章 扭 转
§ 3-5 圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式
pGI
T
x
d
d?
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角?为值不变）若,( d d
0 P
p
l
p
IT
GI
Tlx
GI
T
对于阶梯轴，两端面间相对扭转角?为
1
n
i pi
ii
GI
lT?
材料力学 第三章 扭 转二、单位扭转角,( r a d / m )
d
d
pGI
T
x
/ m )( 1 8 0
d
d
pGI
T
x
或三、刚度条件 ( r a d / m )
m a x
pGI
T
/ m )( 180 m a x
pGI
T 或
GIp — 抗扭刚度,表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 。
[ ]称为许用单位扭转角。
材料力学 第三章 扭 转刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
] [
m a x
G
T
I p
] [ m a x pGIT
有时，还可依据此条件进行选材。
m a x
材料力学 第三章 扭 转例 3-5-1,图示圆截面轴 AC，承受扭力矩 MA,MB与 MC 作用，试计算该轴的总扭转角 φAC(即截面 C对截面 A的相对转角 )，并校核轴的刚度。 已知 MA＝ 180N·m,MB＝ 320 N ·m,MC＝ 140N·m，
Iρ＝ 3.0× 105mm4,l=2m,G＝ 80GPa,[φ’]＝ 0.50／ m。
解,1．扭转变形分析利用截面法，得 AB段,BC段的扭矩分别为：
T1＝ 180 N·m,T2＝ -140 N·m
CMBMAM
l l
材料力学 第三章 扭 转
r a d1050.1
)m1010Pa ) ( 3,010( 8 0
)m2)(mN180(
2
41259
1
GI
lT
AB
r a d1017.1
)m1010P a ) ( 3,010( 8 0
)m2)(mN1 4 0(
2
41259
2
GI
lT
BC
设其扭转角分别为 φAB和 φBC，则：
材料力学 第三章 扭 转各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
由此得轴 AC的总扭转角为
r a d100,3 3
r a d101,1 7-r a d1050.1
2-
-22
BCABAC
2 刚度校核轴 AC为等截面轴，而 AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。 AB段的扭转角变化率为：
可见，该轴的扭转刚度 符合要求 。
'/m43.0π1 8 0)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 mN1 8 0dd' 0412591
GI Tx
材料力学 第三章 扭 转例 3-5-2,长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8,G=80GPa,许用剪应力 [?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [ ]=2o/m,试校核此杆的刚度，并求右端面转角。
材料力学 第三章 扭 转
② 由扭转刚度条件校核刚度
1 8 0' m a xm a x
PGI
T
解,①设计杆的外径
][
m a x
TW
t? 116
D 43 ）（
tW
3
1
4
m a x
][ 1
16
）（
T
D
代入数值得,D? 0.0226m。
'89.1)1(1080 1804032 4429D
材料力学 第三章 扭 转
40Nm
x
T
③ 右端面转角 为：
弧度）( 033.0
)4(
102040 2
0
2
2
00
xx
GI
dx
GI
x
dx
GI
T
PP
L
P
材料力学 第三章 扭 转如图所示阶梯轴。外力偶矩 M1＝ 0.8KN·m,M2＝ 2.3KN·m,M3＝
1.5KN·m,AB段的直径 d1＝ 4cm,BC段的直径 d2＝ 7cm。已知材料的剪切弹性模量 G＝ 80GPa，试计算 φ AB和 φ AC。
0.8kN·m
1.5kN·m
0.8m 1.0m
1M
2M
3M
1d 2d
A B C
32
4
1
1
dI
P
41.25 cm?
32
4
2
2
dI
P
4236 cm?
1
11
P
AB GI
LT r a d0 3 1 8.0?
2
22
P
BC GI
LT r a d0 0 7 9.0
BCABAC r a dr a d 0 0 7 9.00 3 1 8.0 r a d0 2 3 9.0?
材料力学 第三章 扭 转图示一空心传动轴，轮 1为主动轮，力偶矩 M1＝ 9KN·m，轮 2、轮 3、轮 4为从动轮,力偶矩分别为 M2＝ 4KN·m,M3＝ 3.5KN·m,M4＝ 1.5KN·m。已知空心轴内外径之比 d/D＝ 1/2，试设计此轴的外径 D，并求出全轴两端的相对扭转角 φ 24。 G＝
80GPa，［ τ ］ ＝ 60MPa。
5kN 1.5kN
4kN
500 500
1M
2M 3M 4M
500
4
3
116 DW P
m a x
TW
P
m a x43 1
16
TD
3 4m a x3 1
16
TD mm7.76?mmD 78? mmd 39?
PGI
LT 21
21 r a d0 0 7 3 4.0?
PGI
LT 13
13
r a d0 0 9 1 7.0
PGI
LT 34
34 r a d0 0 2 7 5.0
34132124 r a d0 0 4 5 8.0
材料力学 第三章 扭 转
x
y
z dx
dz
dy?
dxd y d zdW 21单元体外力作功 dx dy dz21?
dVdW?
应变能密度
dV
dVv?
d x d y d z
d x d y d z
2
1
2
1?
等直圆杆扭转时的应变能
V dVvV
l A
d A d xvv21
G
l A
dA dxGV 2
2?
PI
T
A
P
dA
I
T
G
l 22
2
PGI
lT
2
2
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-7 非圆截面杆扭转的概念材料力学 第三章 扭 转自由扭转,
非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。
约束扭转：
横截面可以自由翘曲。
横截面的翘曲受到限制。
横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力材料力学 第三章 扭 转矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零边缘各点切应力沿切线方向最大切应力 发生在长边中点
T
max?
1?
2m a x hb
T
tGI
Tl 3hbI
t
m a x1
材料力学 第三章 扭 转
2m a x hb
T
m a x1
（长边中点处〕 （短边中点处〕
3hbG
Tl
GI
Tl
t?
材料力学 第三章 扭 转
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
最大切应力发生在长边中点材料力学 第三章 扭 转轴向拉压 扭 转内力分量 内力分量轴力 FN 扭矩 T
应力分布规律 应力分布规律正应力均匀分布 切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量
A
FN
PI
T
m a x
m a x
PW
T
强度条件
m a x
m a x A
F N
PW
T?
m a x?
变形公式
EA
LFL N
PGI
TL
EA
FN
PGI
T
位移截点或截面的线位移 截面的角位移刚度条件
01 8 0
PGI
T
应变能
EA
LFV N
2
2?
2
1?v
PGI
LTV
2
2
21?v
材料力学 第三章 扭 转
作业,P102
3.1(c)
3.8
3.10
§ 3-1 扭转的概念和实例
§ 3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§ 3-3 纯剪切
§ 3-4 圆轴扭转时的应力
§ 3-5 圆轴扭转时的变形材料力学 第三章 扭 转
§ 3-1 扭转的概念和实例
1,受力特征,在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等,方向相反的外力偶 。
2,变形特征,横截面形状大小未变,只是绕轴线发生相对转动 。
轴,以扭转为主要变形的构件称为轴 。
材料力学 第三章 扭 转材料力学 第三章 扭 转受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，
所以本章主要介绍圆轴扭转。
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图直接计算
1．外力偶矩材料力学 第三章 扭 转按输入功率和转速计算电机每秒输入功：
外力偶作功完成：
)N,m(1 0 0 0 PW
602
nMW
e
已知轴转速－ n 转 /分钟输出功率－ P 千瓦求：力偶矩 Me
m)(N9549 nPm
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-1 传动轴如图所示，主动轮 A输入功率 PA=50kW，从动轮 B,C,D输出功率分别为 PB=PC=15kW,PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
MAM
B MC
B C
A D
MD
解,计算外力偶矩
mN6 3 79 5 4 9
mN5.4 7 79 5 4 9
mN1 5 9 29 5 4 9
n
P
M
n
P
MM
n
P
M
D
D
B
CB
A
A
材料力学 第三章 扭 转
2,扭矩与扭矩图
,0 xM由 0 eMT
eMT＝得
T称为截面 n-n上的扭矩。
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩 T为正，
如果由平衡方程得到 T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图,正的扭矩画在 x轴上方，负的扭矩画在 x轴下方。
注意
MeMe
Me T
x
扭矩符号规定：
材料力学 第三章 扭 转右手定则,右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。
扭矩符号规定
：
mI
T
I
m
I
I
T
mI
T
I
m
I
I
T
T
T
材料力学 第三章 扭 转扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-2 计算例 3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。
MAM
B MC
B C
A D
MD
解：已知
mN6 3 7
mN5.4 7 7
mN1 5 9 2
D
CB
A
M
MM
M
477.5N·m
955N·m
637N·m
T+
-
作扭矩图如左图示。
材料力学 第三章 扭 转例 3-2-3 已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m)1 5,9 ( k N
300
500
9,5 4 9549.9 11
n
P
m
m)( kN 78.4
300
150
9.5 49
549.9 232
n
P
mm
m)( kN 37.6
300
200
9.549549.9 44
n
P
m
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
材料力学 第三章 扭 转
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
.)..mmT
mmT
mkN37.6
,0
43
43
mT
mT
材料力学 第三章 扭 转
③ 绘制扭矩图 mkN 569
m a x,T
BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
–
–
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-3 纯剪切薄壁圆筒,壁厚
r101 （ r,为平均半径）
1．实验,实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
材料力学 第三章 扭 转
2,实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3,结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
材料力学 第三章 扭 转
a
c d
dx
b
dy
′
′
① 无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力
，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
4,?与? 的关系：
L
R
RL
微小矩形单元体如图所示：
材料力学 第三章 扭 转
5,薄壁圆筒剪应力?大小：
2 2
2d
d
22
r
M
r
T
TrrAr
TrA
e
A
A
材料力学 第三章 扭 转二、切应力互等定理：
0
故
d x d yd x d y
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
dy
′
′
δ
z
材料力学 第三章 扭 转三、切应变 剪切胡克定律单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为 纯剪切应力状态。
材料力学 第三章 扭 转
T=m
)( )2(
2
R
Lr
T
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学 第三章 扭 转
G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因?
无量纲，故 G的量纲与?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
)1(2
EG
材料力学 第三章 扭 转
1,横截面变形后仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
平面假设：
变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
§ 3-4 圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：
材料力学 第三章 扭 转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
材料力学 第三章 扭 转
x
dx
T T
d?
d
dx
dx
d
dx
d
材料力学 第三章 扭 转
xd
d
距圆心为?任一点处的与到圆心的距离?成正比。
xdd?
—— 扭转角沿长度方向变化率。
材料力学 第三章 扭 转
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
G
xGxGG d
d
d
d
xG d
d
材料力学 第三章 扭 转
3,静力学关系：
O
dA
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
AI Ap d2令
xGI T p d
d pGI
T
x? d
d?
代入物理关系式 得：
xG d
d
pI
T
材料力学 第三章 扭 转
pI
T
—横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
② 式中,T— 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
— 该点到圆心的距离。
Ip— 极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
材料力学 第三章 扭 转单位,mm4,m4。
AI Ap d2
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
32
d2
d
4
2
0
2
2
D
AI
D
Ap
对于实心圆截面：
D?
d?
O
材料力学 第三章 扭 转对于空心圆截面：
)1(
32
)(
32
d2
d
4
4
44
2
2
2
2
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd
d DO
d?
材料力学 第三章 扭 转
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
材料力学 第三章 扭 转
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T
由 知：当
m a x,2
dR
)
2
(
2
2
m a x
d
IW
W
T
d
I
T
I
d
T
p
t
p
p
令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面：
163DRIW pt
对于空心圆截面,16)1(
43 DRIW pt
材料力学 第三章 扭 转由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（ A）、（ B）、（ C）、（ D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
d2
d
T
1G
2G
O
(A) (B) (C) (D)
材料力学 第三章 扭 转解,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，
即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。
由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层
（圆环截面）的剪切弹性模量（ G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（ A）和（ B）都是不正确的。
在答案（ D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（ C）
材料力学 第三章 扭 转三,强度条件强度条件,,[?]— 许用切应力 ；
][
p
ma x
ma W
T
x
轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于 纯剪切状态,所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 [?]
与许用正应力 [?]之间存在下述关系：
对于塑性材料,[?] ＝ (0.5一 0.577) [?]
对于脆性材料,[?] ＝ (0.8— 1.0) [?l]
式中,[?l]代表许用拉应力。
材料力学 第三章 扭 转强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x
tW
T
][
m a x
TW
t?
][m a x?tWT?
）（空：
实：
4
3
3
1
16
16
D
D
W t
材料力学 第三章 扭 转例 3-4-1：一厚度为 30mm、内直径为 230mm 的空心圆管，承受扭矩 T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解,(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
tr
T
2m a x 2
)1(
16
4
3m a x
D
T
(2) 利用精确的扭转理论可求得
43
3
2 9 0
2 3 0
1
16
29.0
101 8 0
M P a2.62?
03.013.02
101 8 0
2
3
M P a5.56?
材料力学 第三章 扭 转例 3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为 α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，
内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为 d,D，面积增大一倍后内外径分别变为 d1,D1,最大许可扭矩为Ｔ 1
由
T
D
T
D
1
1
3
4
3
4
16
1
16
1
( ) ( )
[ ]
由 得D D DD1
2
2
2
2 1
4 1 0 5 2 4 1 0 5 2(,) (,)
828.22 2/3
3
11
D
D
T
T得材料力学 第三章 扭 转例 3-4-3,某汽车主传动轴钢管外径 D=76mm,壁厚 t=2.5mm，
传递扭矩 T=1.98kN·m,[?]=100MPa,试校核轴的强度 。
33p
p
444
4
p
103.20
2/
101.77)1(
32
mm
D
I
W
mm
D
I?
][5.97
P
M P a
W
T m a x
m a x
解：计算截面参数：
由强度条件：
故轴的强度满足要求。
材料力学 第三章 扭 转同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，
故 空心轴较实心轴合理 。
3
1334.0
44
)2( 222 dtDD
A
A
实空空心轴与实心轴的截面面积比 (重量比 )为：
M P a
dW
T m a x
m a x 5.9716/
1098.1
3
3
p
由上式解出,d=46.9mm。
M P am a x 5.97若将空心轴改成实心轴，仍使
，则材料力学 第三章 扭 转
§ 3-5 圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式
pGI
T
x
d
d?
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角?为值不变）若,( d d
0 P
p
l
p
IT
GI
Tlx
GI
T
对于阶梯轴，两端面间相对扭转角?为
1
n
i pi
ii
GI
lT?
材料力学 第三章 扭 转二、单位扭转角,( r a d / m )
d
d
pGI
T
x
/ m )( 1 8 0
d
d
pGI
T
x
或三、刚度条件 ( r a d / m )
m a x
pGI
T
/ m )( 180 m a x
pGI
T 或
GIp — 抗扭刚度,表示杆抵抗扭转变形能力的强弱 。
[ ]称为许用单位扭转角。
材料力学 第三章 扭 转刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
] [
m a x
G
T
I p
] [ m a x pGIT
有时，还可依据此条件进行选材。
m a x
材料力学 第三章 扭 转例 3-5-1,图示圆截面轴 AC，承受扭力矩 MA,MB与 MC 作用，试计算该轴的总扭转角 φAC(即截面 C对截面 A的相对转角 )，并校核轴的刚度。 已知 MA＝ 180N·m,MB＝ 320 N ·m,MC＝ 140N·m，
Iρ＝ 3.0× 105mm4,l=2m,G＝ 80GPa,[φ’]＝ 0.50／ m。
解,1．扭转变形分析利用截面法，得 AB段,BC段的扭矩分别为：
T1＝ 180 N·m,T2＝ -140 N·m
CMBMAM
l l
材料力学 第三章 扭 转
r a d1050.1
)m1010Pa ) ( 3,010( 8 0
)m2)(mN180(
2
41259
1
GI
lT
AB
r a d1017.1
)m1010P a ) ( 3,010( 8 0
)m2)(mN1 4 0(
2
41259
2
GI
lT
BC
设其扭转角分别为 φAB和 φBC，则：
材料力学 第三章 扭 转各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。
由此得轴 AC的总扭转角为
r a d100,3 3
r a d101,1 7-r a d1050.1
2-
-22
BCABAC
2 刚度校核轴 AC为等截面轴，而 AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。 AB段的扭转角变化率为：
可见，该轴的扭转刚度 符合要求 。
'/m43.0π1 8 0)m1010P a ) ( 3,010( 8 0 mN1 8 0dd' 0412591
GI Tx
材料力学 第三章 扭 转例 3-5-2,长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8,G=80GPa,许用剪应力 [?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [ ]=2o/m,试校核此杆的刚度，并求右端面转角。
材料力学 第三章 扭 转
② 由扭转刚度条件校核刚度
1 8 0' m a xm a x
PGI
T
解,①设计杆的外径
][
m a x
TW
t? 116
D 43 ）（
tW
3
1
4
m a x
][ 1
16
）（
T
D
代入数值得,D? 0.0226m。
'89.1)1(1080 1804032 4429D
材料力学 第三章 扭 转
40Nm
x
T
③ 右端面转角 为：
弧度）( 033.0
)4(
102040 2
0
2
2
00
xx
GI
dx
GI
x
dx
GI
T
PP
L
P
材料力学 第三章 扭 转如图所示阶梯轴。外力偶矩 M1＝ 0.8KN·m,M2＝ 2.3KN·m,M3＝
1.5KN·m,AB段的直径 d1＝ 4cm,BC段的直径 d2＝ 7cm。已知材料的剪切弹性模量 G＝ 80GPa，试计算 φ AB和 φ AC。
0.8kN·m
1.5kN·m
0.8m 1.0m
1M
2M
3M
1d 2d
A B C
32
4
1
1
dI
P
41.25 cm?
32
4
2
2
dI
P
4236 cm?
1
11
P
AB GI
LT r a d0 3 1 8.0?
2
22
P
BC GI
LT r a d0 0 7 9.0
BCABAC r a dr a d 0 0 7 9.00 3 1 8.0 r a d0 2 3 9.0?
材料力学 第三章 扭 转图示一空心传动轴，轮 1为主动轮，力偶矩 M1＝ 9KN·m，轮 2、轮 3、轮 4为从动轮,力偶矩分别为 M2＝ 4KN·m,M3＝ 3.5KN·m,M4＝ 1.5KN·m。已知空心轴内外径之比 d/D＝ 1/2，试设计此轴的外径 D，并求出全轴两端的相对扭转角 φ 24。 G＝
80GPa，［ τ ］ ＝ 60MPa。
5kN 1.5kN
4kN
500 500
1M
2M 3M 4M
500
4
3
116 DW P
m a x
TW
P
m a x43 1
16
TD
3 4m a x3 1
16
TD mm7.76?mmD 78? mmd 39?
PGI
LT 21
21 r a d0 0 7 3 4.0?
PGI
LT 13
13
r a d0 0 9 1 7.0
PGI
LT 34
34 r a d0 0 2 7 5.0
34132124 r a d0 0 4 5 8.0
材料力学 第三章 扭 转
x
y
z dx
dz
dy?
dxd y d zdW 21单元体外力作功 dx dy dz21?
dVdW?
应变能密度
dV
dVv?
d x d y d z
d x d y d z
2
1
2
1?
等直圆杆扭转时的应变能
V dVvV
l A
d A d xvv21
G
l A
dA dxGV 2
2?
PI
T
A
P
dA
I
T
G
l 22
2
PGI
lT
2
2
材料力学 第三章 扭 转
§ 3-7 非圆截面杆扭转的概念材料力学 第三章 扭 转自由扭转,
非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。
约束扭转：
横截面可以自由翘曲。
横截面的翘曲受到限制。
横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力材料力学 第三章 扭 转矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零边缘各点切应力沿切线方向最大切应力 发生在长边中点
T
max?
1?
2m a x hb
T
tGI
Tl 3hbI
t
m a x1
材料力学 第三章 扭 转
2m a x hb
T
m a x1
（长边中点处〕 （短边中点处〕
3hbG
Tl
GI
Tl
t?
材料力学 第三章 扭 转
角点切应力等于零
边缘各点切应力沿切线方向
最大切应力发生在长边中点材料力学 第三章 扭 转轴向拉压 扭 转内力分量 内力分量轴力 FN 扭矩 T
应力分布规律 应力分布规律正应力均匀分布 切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量
A
FN
PI
T
m a x
m a x
PW
T
强度条件
m a x
m a x A
F N
PW
T?
m a x?
变形公式
EA
LFL N
PGI
TL
EA
FN
PGI
T
位移截点或截面的线位移 截面的角位移刚度条件
01 8 0
PGI
T
应变能
EA
LFV N
2
2?
2
1?v
PGI
LTV
2
2
21?v
材料力学 第三章 扭 转
作业,P102
3.1(c)
3.8
3.10
