材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-1 工程中的弯曲变形问题
§ 6-2 挠曲线的微分方程
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
§ 6-5 简单超静定梁
§ 6-6 提高弯曲刚度的一些措施材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-1 工程中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，
以保证结构或机器正常工作。
材料力学 第六章 弯曲变形摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
材料力学 第六章 弯曲变形桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
材料力学 第六章 弯曲变形但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
2
P
2
P
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-2 挠曲线的微分方程
1.梁的 挠曲线,梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 。
B
A
B1
Fx
q
q
w
y
x
2.梁位移的度量：
② 挠度,梁横截面形心的竖向位移 w,向上的挠度为正
① 转角,梁横截面绕中性轴转动的角度 q，逆时针转动为正
③ 挠曲线方程,挠度作为轴线坐标的函数 — w=f(x)
④ 转角方程 (小变形下 )：转角与挠度的关系 — )(' xf
dx
dwtg qq
3.计算位移的目的,刚度校核、解超静定梁、适当施工措施材料力学 第六章 弯曲变形
4.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
材料力学 第六章 弯曲变形由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
d
dx
d
略去高阶小量，得
2
21
dx
d?
所以
zEI
xM
dx
d )(
2
2
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
材料力学 第六章 弯曲变形由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
d )(
2
2
由上式进行积分，再利用边界条件（ boundary condition）
和连续条件 (continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。
材料力学 第六章 弯曲变形
① 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。
④ 优点：使用范围广，直接求出较精确；
⑤ 缺点：计算较繁。
5.讨论：
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-3 用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：
EI
xM
dx
d )(
2
2
积分一次得转角方程为：
CdxEI xMdxd )(?q
)(2
2
xMdxdEI
再积分一次得挠度方程为：
DxCdxdx
EI
xM
)(?
材料力学 第六章 弯曲变形积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
~~
~
~
~
0?A? 0?A?
0?Aq
A?
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL
ARAL qq?
ARAL
－ 弹簧变形?
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),( FF Ay )(FlM A?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdxdEI
ClxFEIdxdEI 2)(21q?
DCxlxFEI 3)(61?
积分一次再积分一次
Bq
A B x
y
x
l
F
By
材料力学 第六章 弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 Ayx
0,0 Ax q
32
6
1,
2
1 FlDFlC代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEIq
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFEI
EI
Fl
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a xqq
Bq
A B x
y
x
l
F
By
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-2 已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax
和 ωmax。
x
q
y
l
x
A B
解：
M x ql x q x( )2 2 2
2
22'' x
qxqlEI
CxqxqlEI 32 64'?
DCxxqxqlEI 43 2412?
材料力学 第六章 弯曲变形梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
)46(24 332 lxlxEIqq )2(24 332 lxlxEIqx
最大转角和最大挠度分别为：
EI
ql
BA 24
3
m a x qqq
EI
ql
lx 3 8 4
5 4
2
m a x
q
θA θB
由边界条件：
0;00 时，时,lxx
得：
0,24
3
DqlC
x
l
A
B
x
y
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx,,0
2）弯矩方程
axxlFbxFxM Ay 1111 0,
AC 段：
lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(
CB 段：
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdxdEI
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dEI q?
111
3
1 16 DxCxl
FbEI
AC 段,ax 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdxdEI
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dEI q?
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbEI
CB 段,lxa
2
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 llx?
0)0(,0 11x
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx qq
)()(,2121 aaaxx
l
FbF b lCC
66
1 3
21
021 DD
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221
1
bllFbxlFbEIq
1
223
1 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbEI
AC 段,ax
10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEIq
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbEI
CB 段,lxa
2
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
6）确定最大转角和最大挠度令 得，0?
dx
dq
))((6,m a x alE I lF a blx B qq
令 得，0?
dx
d?
)(39 )(,3
322
m a x
22
EI l
blFbblx
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
)(2
2
xM''EIdxdEI
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为
M(x)，转角为 q，挠度为 ω，则有：
)( xM''EI ii
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩为 Mi(x),
转角为 qi，挠度为 ωi，则有：
由弯矩的叠加原理知：
)()(
1
xMxM
n
i
i
所以,)('')(''
11
xMEIEI
n
i
i
n
i
i
材料力学 第六章 弯曲变形故 '')(''
1
n
i
i
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
n
i
iqq?
n
i
i
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
材料力学 第六章 弯曲变形叠加法前提
力与位移之间的线性关系
小变形材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-1 按叠加原理求 A点转角和 C点挠度。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
qa
EI
Pa
qAPAA 34
32
qqq
EI
Pa
EI
qa
C 624
5 34
EI
Pa
PC 6
3
EIPaPA 4
2
q
EI
qL
qC 24
5 4
EI
qa
qA 3
3
q
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-2 已知简支梁受力如图示,q,l,EI均为已知。
求 C 截面的挠度 ωC ； B截面的转角 qB。
材料力学 第六章 弯曲变形
ωC1
ωC2
ωC3
EI
ql
B 24
3
1?q
EI
ql
B 16
3
2?q
EI
ql
B 3
3
3q
EI
ql
C 3 8 4
5 4
1
EI
ql
C 48
4
2
EI
ql
C 16
4
3
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
C 3 8 4
11
16483 8 4
5 4444
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
B 48
11
31624
3333
q
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C截面的挠度 ωC和转角 qC。
C?
材料力学 第六章 弯曲变形
C?,
8
4
1 EI
ql
C
,
248128
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
BBC
q EI
ql
C 6
3
1q
EI
ql
C 48
3
2?q
EI
ql
i
CiC 3 8 4
41 42
1
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
qq
2C?
2Bw
材料力学 第六章 弯曲变形结构形式叠加（逐段刚化法）：
材料力学 第六章 弯曲变形变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度 ω c,
A
1L 2L
1zEI 2zEI
F
B C
B
F
C
2
3
2
1 3
z
C EI
FL
A
F
B C
2FLM?
1
3
1
3 zBF EI
FL
1
2
1
2 zBF EI
FL?q
1
2
12
2 zBM EI
LFL
1
12
z
BM EI
LFL?q
BMBFC2
23 LBMBFC qq
3213 CCCC
2
2
2
3 zEI
FL?
1
3
1
3 zEI
FL
1
2
12
2 zEI
LFL?
1
2
2
1
2 zEI
LFL?
1
1
2
2
zEI
LFL?
1
2
2
1
zEI
LFL?
材料力学 第六章 弯曲变形图示简支梁 AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的 C截面处弯矩为零,试求弹簧常数 k.
L
BA
zEI
L
q
C
C处挠度等于弹簧变形。
根据对称关系平衡关系叠加法求挠度材料力学 第六章 弯曲变形
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(a)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(b)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(C)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(d)
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。
AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-5 简单超静定梁例 6-5-1 试求图示系统的求全部未知力。
解,?建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构 —— 静定基。
=
EI
q0
LA
B
L
q0MA
BA
q0
L RBA
B
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形
几何方程 —— 变形协调方程
0 BBRBqB
+
q0
L RBA
B
=
RB
A B
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
EI
LR
EI
qL B
BRBq B 3;8
34
038
34
EILREIqL B 83 qLR B
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
材料力学 第六章 弯曲变形
几何方程
—— 变形协调方程：
解,?建立静定基
BCBRBqB LB
=
例 6-5-1结构如图，求 B点反力。
LBCEA
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形
=
LBCEA
q0
L RBA
B
C
RB
A B+
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
求解其它问题（反力、应力、变形等）
EI
LR
EI
qL B
BRBq B 3; 8
34
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
L
I
qL
R
BC
B
EA
LRL BCB
BC
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-5-3 试求图 a所示系统中钢杆 AD内的拉力 FN。
钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量 E已知；钢杆的横截面积 A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩 I 亦为已知。
材料力学 第六章 弯曲变形材料力学 第六章 弯曲变形
EA
lFl
EI
aF
EI
qa
DAAFAqA
N
3
N
4
127,
需要注意，因?lDA亦即图 b中的 是向下的，故上式中
ωAF为负的。
1AA
材料力学 第六章 弯曲变形于是根据位移 (变形 )
相容条件得补充方程：
由此求得
EA
lF
EI
aF
EI
qa N3N4
12
7
3
4
N 12
7
AalI
AqaF
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-6 提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式材料力学 第六章 弯曲变形改变载荷类型材料力学 第六章 弯曲变形二、选择合理的截面形状材料力学 第六章 弯曲变形三,选用高强度材料，提高许用应力值同类 材料,,E”值相差不多,,?b”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢
E=200GPa,铜 E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。
但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生很大的改变！
材料力学 第六章 弯曲变形试用叠加法求图示梁 C截面挠度,EI为已知。
2l
A
q
C
2l
zEI
2l
2q
B D
材料力学 第六章 弯曲变形多跨静定梁如图示，试求力作用点 E处的挠度 ω E,
F21 F21
F21 F21
z
B EI
LF
3
32 3
A
L3
B
L
D
C
zEI
FL
2
9 3?
A
L3 L L LB C
D
E
L LB
CE
z
E EI
LF
48
2 3
1
zEI
FL
6
3?
z
C EI
LF
3
2 3
zEI
FL
6?
121 ECBE
Z
E EI
FL
2
5 3
材料力学 第六章 弯曲变形祝大家学习愉快 !
§ 6-1 工程中的弯曲变形问题
§ 6-2 挠曲线的微分方程
§ 6-3 用积分法求弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
§ 6-5 简单超静定梁
§ 6-6 提高弯曲刚度的一些措施材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-1 工程中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，
以保证结构或机器正常工作。
材料力学 第六章 弯曲变形摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
材料力学 第六章 弯曲变形桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。
材料力学 第六章 弯曲变形但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
2
P
2
P
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-2 挠曲线的微分方程
1.梁的 挠曲线,梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线 。
B
A
B1
Fx
q
q
w
y
x
2.梁位移的度量：
② 挠度,梁横截面形心的竖向位移 w,向上的挠度为正
① 转角,梁横截面绕中性轴转动的角度 q，逆时针转动为正
③ 挠曲线方程,挠度作为轴线坐标的函数 — w=f(x)
④ 转角方程 (小变形下 )：转角与挠度的关系 — )(' xf
dx
dwtg qq
3.计算位移的目的,刚度校核、解超静定梁、适当施工措施材料力学 第六章 弯曲变形
4.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：
zEI
M
ρ
1?
忽略剪力对变形的影响
zEI
xM
x
)(
)(
1?
材料力学 第六章 弯曲变形由数学知识可知：
32
2
2
])(1[
1
dx
d
dx
d
略去高阶小量，得
2
21
dx
d?
所以
zEI
xM
dx
d )(
2
2
2
M ( x ) > 0 M ( x ) > 0
O
d y
d x
2 > 0
x
y
M ( x ) < 0
O
d x
d y
< 02
2
y
x
M ( x ) < 0
材料力学 第六章 弯曲变形由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
zEI
xM
dx
d )(
2
2
由上式进行积分，再利用边界条件（ boundary condition）
和连续条件 (continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。
材料力学 第六章 弯曲变形
① 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
② 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③ 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。
④ 优点：使用范围广，直接求出较精确；
⑤ 缺点：计算较繁。
5.讨论：
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-3 用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：
EI
xM
dx
d )(
2
2
积分一次得转角方程为：
CdxEI xMdxd )(?q
)(2
2
xMdxdEI
再积分一次得挠度方程为：
DxCdxdx
EI
xM
)(?
材料力学 第六章 弯曲变形积分常数 C,D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
A
A A A
~~
~
~
~
A
A
~~
~
~
~
0?A? 0?A?
0?Aq
A?
位移边界条件 光滑连续条件
ARAL
ARAL qq?
ARAL
－ 弹簧变形?
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
,0?AxF ),( FF Ay )(FlM A?
2）写出 x截面的弯矩方程
)()()( lxFxlFxM
3）列挠曲线近似微分方程并积分
)()(2
2
lxFxMdxdEI
ClxFEIdxdEI 2)(21q?
DCxlxFEI 3)(61?
积分一次再积分一次
Bq
A B x
y
x
l
F
By
材料力学 第六章 弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
0,0 Ayx
0,0 Ax q
32
6
1,
2
1 FlDFlC代入求解
5）确定转角方程和挠度方程
6）确定最大转角和最大挠度
22
2
1)(
2
1 FllxFEIq
323
6
1
2
1)(
6
1 FlxFllxFEI
EI
Fl
EI
Fllx
BB 3,2,
3
m a x
2
m a xqq
Bq
A B x
y
x
l
F
By
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-2 已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷 q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 θmax
和 ωmax。
x
q
y
l
x
A B
解：
M x ql x q x( )2 2 2
2
22'' x
qxqlEI
CxqxqlEI 32 64'?
DCxxqxqlEI 43 2412?
材料力学 第六章 弯曲变形梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
)46(24 332 lxlxEIqq )2(24 332 lxlxEIqx
最大转角和最大挠度分别为：
EI
ql
BA 24
3
m a x qqq
EI
ql
lx 3 8 4
5 4
2
m a x
q
θA θB
由边界条件：
0;00 时，时,lxx
得：
0,24
3
DqlC
x
l
A
B
x
y
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-3-3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的 EI已知,l=a+b,a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
l
FaF
l
FbFF
ByAyAx,,0
2）弯矩方程
axxlFbxFxM Ay 1111 0,
AC 段：
lxaaxFxlFbaxFxFxM Ay 222222 ),()(
CB 段：
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
112
1
1
2
)( xlFbxMdxdEI
1
2
1
1
1
12)( Cxl
FbxEI
dx
dEI q?
111
3
1 16 DxCxl
FbEI
AC 段,ax 10
)()( 2222
2
2
2
axFxlFbxMdxdEI
2
2
2
2
2
2
2 )(
22)( 2 Cax
Fx
l
FbxEI
dx
dEI q?
222
3
2
3
2 )(66 2 DxCax
Fx
l
FbEI
CB 段,lxa
2
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
0)(,22 llx?
0)0(,0 11x
代入求解，得位移边界条件光滑连续条件
)()(,2121 aaaxx qq
)()(,2121 aaaxx
l
FbF b lCC
66
1 3
21
021 DD
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
)(62 2221
1
bllFbxlFbEIq
1
223
1 )(66 1 xbll
Fbx
l
FbEI
AC 段,ax
10
)(6)(22 2222222 bllFbaxFxlFbEIq
2
223
2
3
22 )(6)(66 xbll
FbaxFx
l
FbEI
CB 段,lxa
2
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
6）确定最大转角和最大挠度令 得，0?
dx
dq
))((6,m a x alE I lF a blx B qq
令 得，0?
dx
d?
)(39 )(,3
322
m a x
22
EI l
blFbblx
maxy
a b
1x
2x
A CD
F
x
AyF ByF
Aq
Bq
y
B
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-4 用叠加法求弯曲变形
)(2
2
xM''EIdxdEI
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为
M(x)，转角为 q，挠度为 ω，则有：
)( xM''EI ii
若梁上只有第 i个载荷单独作用，截面上弯矩为 Mi(x),
转角为 qi，挠度为 ωi，则有：
由弯矩的叠加原理知：
)()(
1
xMxM
n
i
i
所以,)('')(''
11
xMEIEI
n
i
i
n
i
i
材料力学 第六章 弯曲变形故 '')(''
1
n
i
i
由于梁的边界条件不变，因此
,
1
n
i
iqq?
n
i
i
1
重要结论：
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。
这就是 计算弯曲变形的叠加原理 。
材料力学 第六章 弯曲变形叠加法前提
力与位移之间的线性关系
小变形材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-1 按叠加原理求 A点转角和 C点挠度。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
qa
EI
Pa
qAPAA 34
32
qqq
EI
Pa
EI
qa
C 624
5 34
EI
Pa
PC 6
3
EIPaPA 4
2
q
EI
qL
qC 24
5 4
EI
qa
qA 3
3
q
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-2 已知简支梁受力如图示,q,l,EI均为已知。
求 C 截面的挠度 ωC ； B截面的转角 qB。
材料力学 第六章 弯曲变形
ωC1
ωC2
ωC3
EI
ql
B 24
3
1?q
EI
ql
B 16
3
2?q
EI
ql
B 3
3
3q
EI
ql
C 3 8 4
5 4
1
EI
ql
C 48
4
2
EI
ql
C 16
4
3
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
C 3 8 4
11
16483 8 4
5 4444
EI
ql
EI
ql
EI
ql
EI
ql
B 48
11
31624
3333
q
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示,q,l,EI均为已知。求 C截面的挠度 ωC和转角 qC。
C?
材料力学 第六章 弯曲变形
C?,
8
4
1 EI
ql
C
,
248128
2
34
222
l
EI
ql
EI
ql
l
BBC
q EI
ql
C 6
3
1q
EI
ql
C 48
3
2?q
EI
ql
i
CiC 3 8 4
41 42
1
EI
ql
i
CiC 48
7 32
1
2C?
2Bw
材料力学 第六章 弯曲变形结构形式叠加（逐段刚化法）：
材料力学 第六章 弯曲变形变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度 ω c,
A
1L 2L
1zEI 2zEI
F
B C
B
F
C
2
3
2
1 3
z
C EI
FL
A
F
B C
2FLM?
1
3
1
3 zBF EI
FL
1
2
1
2 zBF EI
FL?q
1
2
12
2 zBM EI
LFL
1
12
z
BM EI
LFL?q
BMBFC2
23 LBMBFC qq
3213 CCCC
2
2
2
3 zEI
FL?
1
3
1
3 zEI
FL
1
2
12
2 zEI
LFL?
1
2
2
1
2 zEI
LFL?
1
1
2
2
zEI
LFL?
1
2
2
1
zEI
LFL?
材料力学 第六章 弯曲变形图示简支梁 AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的 C截面处弯矩为零,试求弹簧常数 k.
L
BA
zEI
L
q
C
C处挠度等于弹簧变形。
根据对称关系平衡关系叠加法求挠度材料力学 第六章 弯曲变形
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(a)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(b)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(C)
B
A
C2l 2l2l
eMeM
D
(d)
AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。
AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-5 简单超静定梁例 6-5-1 试求图示系统的求全部未知力。
解,?建立静定基确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构 —— 静定基。
=
EI
q0
LA
B
L
q0MA
BA
q0
L RBA
B
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形
几何方程 —— 变形协调方程
0 BBRBqB
+
q0
L RBA
B
=
RB
A B
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
EI
LR
EI
qL B
BRBq B 3;8
34
038
34
EILREIqL B 83 qLR B
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
材料力学 第六章 弯曲变形
几何方程
—— 变形协调方程：
解,?建立静定基
BCBRBqB LB
=
例 6-5-1结构如图，求 B点反力。
LBCEA
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形
=
LBCEA
q0
L RBA
B
C
RB
A B+
q0
A B
物理方程 —— 变形与力的关系
补充方程
求解其它问题（反力、应力、变形等）
EI
LR
EI
qL B
BRBq B 3; 8
34
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
L
I
qL
R
BC
B
EA
LRL BCB
BC
x
f
材料力学 第六章 弯曲变形例 6-5-3 试求图 a所示系统中钢杆 AD内的拉力 FN。
钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量 E已知；钢杆的横截面积 A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩 I 亦为已知。
材料力学 第六章 弯曲变形材料力学 第六章 弯曲变形
EA
lFl
EI
aF
EI
qa
DAAFAqA
N
3
N
4
127,
需要注意，因?lDA亦即图 b中的 是向下的，故上式中
ωAF为负的。
1AA
材料力学 第六章 弯曲变形于是根据位移 (变形 )
相容条件得补充方程：
由此求得
EA
lF
EI
aF
EI
qa N3N4
12
7
3
4
N 12
7
AalI
AqaF
材料力学 第六章 弯曲变形
§ 6-6 提高弯曲刚度的一些措施一、改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式材料力学 第六章 弯曲变形改变载荷类型材料力学 第六章 弯曲变形二、选择合理的截面形状材料力学 第六章 弯曲变形三,选用高强度材料，提高许用应力值同类 材料,,E”值相差不多,,?b”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢
E=200GPa,铜 E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。
但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生很大的改变！
材料力学 第六章 弯曲变形试用叠加法求图示梁 C截面挠度,EI为已知。
2l
A
q
C
2l
zEI
2l
2q
B D
材料力学 第六章 弯曲变形多跨静定梁如图示，试求力作用点 E处的挠度 ω E,
F21 F21
F21 F21
z
B EI
LF
3
32 3
A
L3
B
L
D
C
zEI
FL
2
9 3?
A
L3 L L LB C
D
E
L LB
CE
z
E EI
LF
48
2 3
1
zEI
FL
6
3?
z
C EI
LF
3
2 3
zEI
FL
6?
121 ECBE
Z
E EI
FL
2
5 3
材料力学 第六章 弯曲变形祝大家学习愉快 !
