材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-1 应力状态概述
§ 7-2 二向和三向应力状态的实例
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 解析法
§ 7-4 二向应力状态分析 —— 图解法
§ 7-5 三向应力状态
§ 7-8 广义胡克定律
§ 7-9 复杂应力状态的应变能密度
§ 7-10 强度理论概论
§ 7-11 四种常用强度理论材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-1 应力状态概述材料力学 第七章 应力和应变分析轴向拉压 扭 转内力分量 内力分量轴力 FN 扭矩 T
对称弯曲内力分量弯矩 M,剪力 FS
应力分布规律 应力分布规律正应力均匀分布 切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线
A
FN
PI
T
ZI
My
bI
SF
Z
ZS
*
应力状态 应力状态应力状态单向应力状态纯剪切应力状态m a xm a x ZWM? 单向应力状态
m a x
*
m a x
bI
SF
Z
ZS?
纯剪切应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析强度条件 强度条件轴向拉压 扭 转对称弯曲强度条件变形公式 变形公式变形公式轴向线应变 单位长度扭转角挠曲线曲率截面位移 截面位移截面位移轴向线位移扭转角挠度与转角材料力学 第七章 应力和应变分析
F F
A
FN
2.圆轴扭转时,
pI
T
T
3.剪切弯曲的梁,
zI
yM
bI
SF
z
zs
*?
P
材料力学 第七章 应力和应变分析应力,不同横截面应力不同 ;同一横截面上不同点处应力不同。
同一点不同截面方位,应力是不是变化?
如果变化,又以怎样的规律变化?
得出：
材料力学 第七章 应力和应变分析
20 co sco s p
2s i n2s i n 0 p
单向应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析重 要 结 论不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力,而且也要研究斜截面上的应力 。
材料力学 第七章 应力和应变分析应 力指明哪一个面上哪一点？
哪一点哪个方向面？
材料力学 第七章 应力和应变分析过一点不同方向面上应力的集合，
称之为这一点的 应力状态 。
就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。
材料力学 第七章 应力和应变分析单元体的特点受力构件内任意点各截面方位上的应力情况的集合。
研究方法：
2、单元体：
2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的。
3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况。
1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。
F F
1、应力状态：
取单元体的方法。
围绕受力构件内任意点切取的微元体。
材料力学 第七章 应力和应变分析
l/2 l/2
S平面FP5
4
3
2
1
3、原始单元体,各侧面上的应力情况为已知的单元体。
材料力学 第七章 应力和应变分析
5
4
3
2
1
4
P lFM
z?
2
PF
FP
l/2 l/2
S平面
5
4
3
2
1
ZW
M?
1?1
ZI
My?
2?2 3
bI
QS
Z
Z?
2?
材料力学 第七章 应力和应变分析主平面 —— 单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。
主应力 —— 主平面上的正应力（也是单元体内各截面上正应力的极值）。
通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面 。
对应的有三个主应力,相应的用,,来表示，它们按代数 值 的大小顺序排列，即
1? 2? 3?
321
材料力学 第七章 应力和应变分析
应力都不等于零）三向应力状态（三个主不等于零的主应力）二向应力状态（有两个
—复杂应力状态个不等于零的主应力）单向应力状态（只有一—简单应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析应力状态的研究方法
dz
dy
dx
0dzdydx
材料力学 第七章 应力和应变分析应力状态的分类
σ σ
τ
τ
轴向拉伸
A
FN
σ σ
τ
τ
扭 转
pI
T
材料力学 第七章 应力和应变分析弯曲变形τ
τσ σ
τσ σ
τ
τσ x σ x
σ y
σ y
y
x
z
Z
I
yM
bI
SF
Z
zs
*
x?x?
y?
y?
材料力学 第七章 应力和应变分析
x?
y?
z?
材料力学 第七章 应力和应变分析三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-2 二向和三向应力状态的实例
4
2D
pF
02 p l Dl
0 s i n2 p l DdDplF N
2
pD
Dp
D
4
2
材料力学 第七章 应力和应变分析材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 解析法平面应力状态的普遍形式,在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力 σ 又有切应力 τ 。 可将该单元体用平面图形来表示。
x
xy
y
材料力学 第七章 应力和应变分析
σ,τ正负号规定,
σ—— 拉为正，压为负；
τ—— 以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；
xyx
单元体各面上的已知应力分量,和,,
确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点处的主应力和主平面。
yxy
x
xy
y
材料力学 第七章 应力和应变分析规定, 截面外法线同向为正；
a绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
一、任意斜截面上的应力
x
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
材料力学 第七章 应力和应变分析设：斜截面面积为 A，由分离体平衡得：
F n 0
0c o ss ins in
s inc o sc o s
2
2
AA
AAA
yxy
xyxx
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
2s in2c o s22 xyyxyx
2c o s2s i n2 xyyx
同理：
n
2
2c o s1c o s 2
2
2c o s1s in 2
材料力学 第七章 应力和应变分析
02c o s22s in,00
0
xyyxd
d令二、极值应力
yx
xy
22tg
0
和两各极值：）、（
由此的两个驻点：
20101
！极值正应力就是主应力 00
） 2222 xyyxyx
m in
m ax
±
（
材料力学 第七章 应力和应变分析
x
y
x
xy
y
O
主单元体
max在剪应力相对的相限内，
且偏向于?x 及?y大的一侧。
0
d
d:
1
令
xy
yx
2
2tg 1
22
2 x y
yx
min
max
±?
）（
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
2
1
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-3-2 图示应力状态（单位,Mpa），求：（ 1）
斜截面上的应力；（ 2）主应力的大小；（ 3）主平面方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；
（ 4）最大切应力。
解：（ 1）易知 30?
M P ax 40 M P ay 20
，
M Paxy 10
M P axyxyx 4.262s i n2c o s)(21)(21
M P axyx 66.132c o s2s i n)(21
材料力学 第七章 应力和应变分析
（ 2）主应力大小
MP axyxyx 1.44
4
)(
)(
2
1 22
m a x
MP axyxyx 9.15
4
)(
)(
2
1 22
m i n
M P aM P aM P a 09.151.44 321,，故，
（ 3）主平面方位
122t a n 0
yx
x
5.1575.670 或
法线与 x轴夹角为 67.5o的主平面上对应的是?2。
材料力学 第七章 应力和应变分析
（ 4）最大切应力
M P a1.222 21m a x
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-4 二向应力状态分析 —— 图解法
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx
对上述方程消去参数（ 2?），得：x
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
n
材料力学 第七章 应力和应变分析
建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）
二、应力圆的画法
在 坐标系内画出点 A(?x，
xy)和 B(?y,?yx)
AB与?a 轴的交点 C便是圆心。
以 C为圆心，以 AC为半径画圆 —— 应力圆；
x
xy
y
x
y
O
n
a
O
a
a
C
A(? x,? xy)
B(? y,?yx)
x
2a
n D(?a,? a)
材料力学 第七章 应力和应变分析三、单元体与应力圆的对应关系
面上的 应力 (,)
应力圆上一点 (,)
面的法线 应力圆的半径
两面夹角? 两半径夹角 2? ；
且转向一致。
x
xy
y
x
y
O
n
a
O
a
a
C
A(? x,? xy)
B(? y,?yx)
x
2a
n D(?a,? a)
材料力学 第七章 应力和应变分析
y
yx?
xy?
x
c
a
A
材料力学 第七章 应力和应变分析
c
转向对应、二倍角对应
a
n
b
材料力学 第七章 应力和应变分析试用应力圆法计算图示单元体 e--f截面上的应力。图中应力的单位为 MPa。
4.4
2.2
n
030
e
f
o
a
d
c
M Pa2.5030
M Pa8.0030
060
材料力学 第七章 应力和应变分析
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
）（
半径四、在应力圆上标出极值应力
22
m i nm a x
m i n
m a x
2
2
xy
yx
R
）（
半径
O C
a
a
A(?x,? xy)
B(? y,? yx)
x
2a1
min?
max?
2a0
1? 2? 3
材料力学 第七章 应力和应变分析已知矩形截面梁,某截面上的剪力 Fs=120kN及弯矩 M=10kNm.绘出表示 1、
2,3,4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
b=60mm,h=100mm.
b
h
z
sF
M1
2
3
mm25
4
1、画各点应力状态图
1
3? 2
3
4
1?
2、计算各点主应力
12
3bhI
z?
4500 cm
zI
My?1?
4
3
10500
501010
MPa100?
1点
021 M P a1 0 03
2点 (处于纯剪状态 )
A
F s
2
3
max 1 0 0602 101 2 03
3
MPa30?
2213 4212 xyxyx
M P a301 02 M P a303
3点 (一般平面状态 )
zI
My?3?
4
3
10500
251010
MPa50 bI
SF
z
zs
*
6010500
5.37256010120
4
3
M P a5.22?
M P a6.581
02 M P a6.83
4点
M P a1 0 01
02 03
材料力学 第七章 应力和应变分析
30
80°
0.20
30
60°
0.60.4
-40
-40
例 7-4-1 已知求此单元体在?＝
30° 和?＝ -40° 两斜截面上的应力。
，,M PaM Pa yx 2.01
，,M P aM P a yxxy 2.02.0
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-4-2,讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。
解,1,取单元体 ABCD,其中
，,这是纯剪切应力状态。
,0 yx
xy
PW
T
材料力学 第七章 应力和应变分析
2,作应力圆 主应力为,并可确定主平面的法线 。 31,
材料力学 第七章 应力和应变分析
3,分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等,
但一为拉应力,另一为压应力 。 由于铸铁抗拉强度较低,圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45o
的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏 。
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-4-3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
材料力学 第七章 应力和应变分析
3
45
325
325
95
150
°
A
B
1
2
解,?主应力坐标系如图
AB的垂直平分线与?a轴的交点 C便是圆心，以 C为圆心，以 AC为半径画圆 —— 应力圆。
0
1? 2
B A
C
2?0
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B)325,95(A
在 坐标系内画出点材料力学 第七章 应力和应变分析
主应力及主平面如图
0
20
1 2 0
3
2
1
300
3
45
325
325
95
150
°
A
B
1
2
0
1? 2
B A
C
2?0
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
材料力学 第七章 应力和应变分析
2c o s2s in2 xyyx
45
325
325
95
150
°解法 2— 解析法：分析 —— 建立坐标系如图
xyyx
y
M P a325
M P a45
x?
22
2
1
22 xy
yxyx
）（
60°
M P a325
M P a95
60
60
x
y
O
材料力学 第七章 应力和应变分析主单元体：六个平面都是主平面
1
2
3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力,
§ 7-5 三向应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析
1?1
2
2?
3
3?3
3?
2
1
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?
1
2
2
3
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?
1
2
2
3
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3
这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力 σn和 τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
在三向应力状态情况下：
m a x? 1
1
2
3
τmax 作用在与 σ2平行且与 σ1和 σ3的方向成 45° 角的平面上，
以 τ1,3表示
m i n? 3
m ax1 3
2
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-5-1,求图示应力状态的主应力和最大剪应力。
（应力单位为 MPa）。
材料力学 第七章 应力和应变分析
M P a
2.42
2.52
40
2
2030
2
2030 22
3
1
解：
M P a502
ma x,1 32 47 2 MPa
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-5-2 求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为 MPa）。
1
2
3
M P a
M P a
M P a
M P a
50
50
50
2
50
1 3
m a x
解：
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-5-3 试根据图 a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。
(a)
材料力学 第七章 应力和应变分析解,1,图 a所示单元体上正应力?z=20 MPa的作用面 (z截面 )上无切应力，因而该正应力为主应力。
2,与主平面 z截面垂直的各截面上的应力与主应力?z无关，故可画出显示与 z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。
(a)
材料力学 第七章 应力和应变分析从圆上得出两个主应力 46 MPa和 -26 MPa。这样就得到了包括?z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为
1＝ 46 MPa,? 2＝ 20 MPa,? 3＝ -26 MPa。
(b)(a)
3,依据三个主应力值作出的三个应力圆如图 b所示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
2a0＝ 34?可知为 a0＝ 17?且由 x截面逆时针转动，如图 c中所示。
(c)
(b)
材料力学 第七章 应力和应变分析
4,最大切应力?max由应力圆上点 B的纵座标知为?max＝
36 MPa，作用在由?1 作用面绕?2 逆时针 45? 的面上 (图 c)。
(c)
(b)
材料力学 第七章 应力和应变分析图示为某点的应力状态，其最大切应力
τmax=_____MPa.
MPa40
MPa20
MPa20 M P a20m a x
M P a20m i n
M P a401 M P a202 M P a203
2
31
m a x
2
2040 M P a30?
30
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-8 广义胡克定律一、单拉下的应力 --应变关系
E
x
x
xy E?
xz E?
二,纯剪的应力 --应变关系
G
xy
xy
) 0 x,y,z( i,jij
)( 0 x,y,zii
0 zxyz
x
y
z
x
y
z
x y
材料力学 第七章 应力和应变分析三、复杂状态下的应力 --- 应变关系依叠加原理,得,
zyx
zyx
x
E
EEE
1
xzyy E 1
yxzz E 1
G
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
zyxx E 1
x
y
z
y
xy
x
材料力学 第七章 应力和应变分析当单元体三个平面皆为主平面时,
2133
1322
3211
1
1
1
E
E
E
0 zxyzxy
分别为 x,y,z 方向的主应变，与主应力的方向一致，,三主平面内的切应变等于零。
321,、
321
材料力学 第七章 应力和应变分析对平面应力状态
,
)(
1
)(
1
xyy
yxx
E
E
,Gxyxy
zxyz
yxz
E
)(
材料力学 第七章 应力和应变分析某点的应力状态如图所示,当 σx,σy,σz不变,τxy增大时,
关于 εx值的说法正确的是 ____.
A,不变 B,增大 C,减小 D,无法判定
y?
x?
z?
εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，
线应变不变。
A
zyxx E 1
材料力学 第七章 应力和应变分析一受扭圆轴,直径 d=20mm,圆轴的材料为钢,E=200GPa,ν=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成 450方向的应变为 ε=5.2× 10-4,试求圆轴所承受的扭矩,
T
045
tW
T
1?3?
1 023
3211 1 E
E11E 1
116
3dE
T3.0116 2102 0 0102.5
334
Nm7.125?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2,各向同性材料的体积应变体积应变,每单位体积的体积变化，用 θ表示设单元体的三对平面均为主平面，其三个边长分别为 dx,
dy,dz,
变形前体积,dzdydxV
0
变形后体积：
d x d y d z
dzdydxV
)1(
)1()1()1(
321
3211
则体积应变为,.
321
0
01
V
VV
代入广义胡克定律得,
321
21
E
即,任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比。
材料力学 第七章 应力和应变分析体积弹性模量令 )21(3?EK
平均应力 )(31 321 m
体积胡克定律则 K m
同理，可得,
zyxE 21
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-8-2 边长为 0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量
E=100GPa，泊松比 μ ＝ 0.34。当铜块受到 F=300kN
的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。
M P a301.0 10300 2
3
AFy?
解：铜块横截面上的压应力为材料力学 第七章 应力和应变分析
0
1
0
1
yxzz
zyxx
E
E
0 yx
由题意：
M P a30M P a,5.15 321
按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：
M P a5.151 yzx
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-9 复杂应力状态的应变能密度
2
1
V
2
1
v
W
lPW
l?
P
单向应力状态下：
1?
2?
3?
dz
dx
dy
1.空间应力状态的应变能密度
)(21 332211
可得,
将广义胡克定律代入上式,
133221232221 22 1 E
材料力学 第七章 应力和应变分析
l
1l
F
l?
l?
F
F
O
l?
LFLFW N 2121
NFV 2
1?
EA
LFN
L?
L
EA
LFN
2
2
应变能密度,单位体积内的应变能,V
Vv?
AL
LF?
2
1
21?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2.体积改变能密度和畸变能密度应变能密度 ＝体积改变能密度（ υV） +
畸变能密度（ υd）
)(
332211,, mmm令
32131m
（ a)
m?
m?
（ b)
m?
1?
2?
3?
= +?1?
2?
3?
（ c)
材料力学 第七章 应力和应变分析
2
321
2
222
)(
6
21
2
)21(3
2
2
1
EE
E
u
m
mmmmmmmmmV
213232221 )()()(61 EVd
体积改变能密度 υV
畸变能密度 υd
（ a）和（ b）状态的主应力之和相等，故它们的体积应变相等，其 也相等，所以只须把 代入应变能密度公式即得：
V? m?
(b)状态只有体积改变而无形状改变，称为体积改变能密度 υV
(c)状态只有形状改变而无体积改变，称为畸变能密度 υd
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-9-1 证明三个弹性常数间的关系。
G22
1 2
纯剪单元体的比能为：
纯剪单元体比能的主应力表示为：
312321232221 22 1 E
)(002)(02 1 22 E
21
E
12 EG
txy
A
1
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-10 强度理论概论强度条件的建立材料因强度不足而引起失效现象是不同的，
它取决于：
1.材料本身的性质，包括塑性材料和脆性材料：
单向拉伸试验 塑性材料出现屈服,s脆性材料突然断裂
b
材料力学 第七章 应力和应变分析危险点是复杂应力状态时
σ1,σ2,σ3 之间有任意比值，不可能通过做所有情况的试验来确定其极限应力值。
危险点是简单应力状态及纯剪切应力状态时直接通过试验结果建立：
单向拉压,
纯剪切,
2.材料的受力状态，包括简单应力状态，复杂应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析强度理论的基本思想,
1)确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一共同力学原因的假设；
2)根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 （ 如拉伸 ） 结果,建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件 。
3)实际上,当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式,分别提出共同力学原因的假设 。
材料力学 第七章 应力和应变分析脆性断裂 ──最大拉应力理论、最大伸长线应变理论屈服失效 ──最大切应力理论、畸变能密度理论材料破坏材料力学 第七章 应力和应变分析一、最大拉应力（第一强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
1、破坏判据,0)(;
11 b
2、强度准则, 0)( ;
11
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
材料力学 第七章 应力和应变分析试验证明，这一理论与铸铁、岩石材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，
这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。
材料力学 第七章 应力和应变分析二、最大伸长线应变（第二强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
1、破坏判据：
0)(; 11 b
2、强度准则：
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
EE b 3211 1
b 321
321
材料力学 第七章 应力和应变分析三、最大剪应力（第三强度）理论：
认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。
1、破坏判据：
sm a x
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
s
s
22
31
m a x
s 31
2、强度准则,
31
材料力学 第七章 应力和应变分析第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力 σ2的影响，其带来的最大误差不超过 15％，而在大多数情况下远比此为小。
材料力学 第七章 应力和应变分析
4.畸变能密度理论（第四强度理论）
基本假设：畸变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素复杂应力状态下2
13
2
32
2
21 )()()(6
1
Ed
屈服准则,
s
2
13
2
32
2
21 )()()(2
1
强度条件,
n
s 2
13
2
32
2
21 )()()(2
1
单向拉伸屈服时，
畸变能密度的极限值是,22
6
1
sd Ev?
0,321 s
材料力学 第七章 应力和应变分析适用范围：它既突出了最大主切应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主切应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米塞斯（ Mises ）屈服准则，
由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，安全系数的估计较准确，因而较多地采用第四强度理论。
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。
材料力学 第七章 应力和应变分析四个强度理论的强度条件可写成统一形式,
r? [ ]
r
r
r
r
r
1 1
2 1 2 3
3 1 3
4 1 2
2
2 3
2
3 1
2
1
2
( )
( ) ( ) ( )
称为相当应力材料力学 第七章 应力和应变分析塑性材料 第三强度理论 可进行偏保守（安全）设计。
第四强度理论 可用于更精确设计，要求对材料强 度指标,载荷计算较有把握。
脆性材料第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。
第一强度理论 用于 脆性材料的拉伸、扭转。
按某种强度理论进行强度校核时,要保证满足如下两个条件,
1,所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应 ;
2,用以确定许用应力 [的,也必须是相应于该破坏形式的极限应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析塑性材料 （ 如低碳钢 ） 在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏,应选用第一强度理论 。
注意脆性材料 （ 如大理石 ） 在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态,应选用第三,第四强度理论 。
例 (a) 一钢质球体防入沸腾的热油中,将引起爆裂，试分析原因。
受力分析,钢球入热油中，其外部因骤热而迅速 膨胀，
内芯受拉且处于三向受拉应力状态，而发生脆断破坏。
例（ b） 深海海底的石块，尽管受到很大的 静水压力,并不破坏，试分析原因。
受力分析：石块处于三向受压状态。
材料力学 第七章 应力和应变分析对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状态下的强度条件，并导出剪切许用应力［ τ］与拉伸许用应力［ σ］之间的关系。
K
τ
1?
3?
＝，＝，＝ 321 0
单元体纯剪切强度条件
第一强度理论1
第二强度理论）＋（－
321）＋（ 1
＋＝ 1 对于铸铁,25.0 8.0?
第三强度理论
312
2
5.0?
第四强度理论
213232221213 6.0?
对于脆性材料, 0.18.0 ～＝ 对于塑性材料, 6.05.0 ～＝
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-10-1 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力。
110 MPa
140 MPa(b)已知
1=14 0MPa,?2=110MPa,?3=0
M P ar 1 4 0313
M P ar 1 2 821 4 021 1 0230214
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-10-2 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论,比较两者的危险程度。
解：一、判断由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分别相等，因此，其畸变能密度也相等，故两种情况下的危险程度相等。
(a) (b)
材料力学 第七章 应力和应变分析状态 (b) 设，则
(a) (b)
二、核算 (1) 两种情况下的主应力为状态 (a )
2
2
223
0
2
2
221
2
321
材料力学 第七章 应力和应变分析由第四强度理论的计算应力状态 (a )
两种情况下的危险程度相等。
状态 (b )
22 34r
22 34r
材料力学 第七章 应力和应变分析现有两种说法：（ 1）塑性材料中若某点的最大拉应力 σ max=σ s，则该点一定会产生屈服；（ 2）脆性材料中若某点的最大拉应力 σ max=σ b，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强度理论可知，说法 ( ),
A.（ 1）正确、（ 2）不正确；
B.（ 1）不正确、（ 2）正确；
C.（ 1）、（ 2）都正确；
D.（ 1）、（ 2）都不正确。
B
材料力学 第七章 应力和应变分析铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，
而管内的冰却不会破坏。这是因为（ ）。
A.冰的强度较铸铁高；
B.冰处于三向受压应力状态；
C.冰的温度较铸铁高；
D.冰的应力等于零。
313r 0?
B
材料力学 第七章 应力和应变分析若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除（ ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到的相当应力是相等的。
A.第一； B.第二； C.第三； D.第四；
B
材料力学 第七章 应力和应变分析已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为［ σ t］＝ 30MPa，试校核该点处的强度是否安全。
23
11
10
(单位 MPa)
t1
2
22
22
x
yxyx
072.328.29 321,,M P aM P a
M P aM P a t 3028.291
M P a
M P a
72.3
28.29?
第一强度理论材料力学 第七章 应力和应变分析某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中 σ ＝
116.7MPa,τ ＝ 46.3MPa。材料为钢，许用应力［ σ ］＝
160MPa。试校核此结构是否安全。
τ
σ 2
2
1
22
2
2
22
x
yxyx
2
2
3
22
第三强度理论
31 22 4
第四强度理论 21323222121 22 3
M P a0.149
M P a6.141
材料力学 第七章 应力和应变分析图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。
（ 1）从梁表面的 A,B,C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。
（ 2）定性地绘出 A,B,C三点的应力圆。
（ 3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。
（ 4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在 B,C两点处的走向。
BA C
B 1?
B C
A
C
B
C
1?
3?
A
1?
3?
F F aa
A B C
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-12 莫尔强度理论莫尔强度理论是以各种状态下材料的破坏试验结果为依据，而不是简单地假设材料地破坏是由某一个因素达到了极限值而引起地，从而建立起来的带有一定经验性的强度理论
°￠ íDa ( O,M o hr),1 8 3 5 1 9 1 8
材料力学 第七章 应力和应变分析
O
极限应力圆一、两个概念：
1、极限应力圆：
1s?
2s?3s?
s?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2、极限曲线：
材料力学 第七章 应力和应变分析
3、近似极限曲线：
材料力学 第七章 应力和应变分析二、莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。
下面推导莫尔强度理论的破坏条件材料力学 第七章 应力和应变分析材料力学 第七章 应力和应变分析整理得破坏条件材料力学 第七章 应力和应变分析强度条件：
相当应力：
适用范围：
考虑了材料拉压强度不等的情况，可以用于铸铁等脆性材料，也可用于塑性材料。当材料的拉压强度相同时，和第三强度理论相同 。
材料力学 第七章 应力和应变分析
][
][
][
31 t
c
t
31
][
][
c
t
Mr
材料力学 第七章 应力和应变分析祝大家学习愉快 !
§ 7-1 应力状态概述
§ 7-2 二向和三向应力状态的实例
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 解析法
§ 7-4 二向应力状态分析 —— 图解法
§ 7-5 三向应力状态
§ 7-8 广义胡克定律
§ 7-9 复杂应力状态的应变能密度
§ 7-10 强度理论概论
§ 7-11 四种常用强度理论材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-1 应力状态概述材料力学 第七章 应力和应变分析轴向拉压 扭 转内力分量 内力分量轴力 FN 扭矩 T
对称弯曲内力分量弯矩 M,剪力 FS
应力分布规律 应力分布规律正应力均匀分布 切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线
A
FN
PI
T
ZI
My
bI
SF
Z
ZS
*
应力状态 应力状态应力状态单向应力状态纯剪切应力状态m a xm a x ZWM? 单向应力状态
m a x
*
m a x
bI
SF
Z
ZS?
纯剪切应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析强度条件 强度条件轴向拉压 扭 转对称弯曲强度条件变形公式 变形公式变形公式轴向线应变 单位长度扭转角挠曲线曲率截面位移 截面位移截面位移轴向线位移扭转角挠度与转角材料力学 第七章 应力和应变分析
F F
A
FN
2.圆轴扭转时,
pI
T
T
3.剪切弯曲的梁,
zI
yM
bI
SF
z
zs
*?
P
材料力学 第七章 应力和应变分析应力,不同横截面应力不同 ;同一横截面上不同点处应力不同。
同一点不同截面方位,应力是不是变化?
如果变化,又以怎样的规律变化?
得出：
材料力学 第七章 应力和应变分析
20 co sco s p
2s i n2s i n 0 p
单向应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析重 要 结 论不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力,而且也要研究斜截面上的应力 。
材料力学 第七章 应力和应变分析应 力指明哪一个面上哪一点？
哪一点哪个方向面？
材料力学 第七章 应力和应变分析过一点不同方向面上应力的集合，
称之为这一点的 应力状态 。
就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。
材料力学 第七章 应力和应变分析单元体的特点受力构件内任意点各截面方位上的应力情况的集合。
研究方法：
2、单元体：
2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的。
3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况。
1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的。
F F
1、应力状态：
取单元体的方法。
围绕受力构件内任意点切取的微元体。
材料力学 第七章 应力和应变分析
l/2 l/2
S平面FP5
4
3
2
1
3、原始单元体,各侧面上的应力情况为已知的单元体。
材料力学 第七章 应力和应变分析
5
4
3
2
1
4
P lFM
z?
2
PF
FP
l/2 l/2
S平面
5
4
3
2
1
ZW
M?
1?1
ZI
My?
2?2 3
bI
QS
Z
Z?
2?
材料力学 第七章 应力和应变分析主平面 —— 单元体的三个相互垂直的面上都无切应力。
主应力 —— 主平面上的正应力（也是单元体内各截面上正应力的极值）。
通过结构内一点总可找到三个相互垂直的截面皆为主平面 。
对应的有三个主应力,相应的用,,来表示，它们按代数 值 的大小顺序排列，即
1? 2? 3?
321
材料力学 第七章 应力和应变分析
应力都不等于零）三向应力状态（三个主不等于零的主应力）二向应力状态（有两个
—复杂应力状态个不等于零的主应力）单向应力状态（只有一—简单应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析应力状态的研究方法
dz
dy
dx
0dzdydx
材料力学 第七章 应力和应变分析应力状态的分类
σ σ
τ
τ
轴向拉伸
A
FN
σ σ
τ
τ
扭 转
pI
T
材料力学 第七章 应力和应变分析弯曲变形τ
τσ σ
τσ σ
τ
τσ x σ x
σ y
σ y
y
x
z
Z
I
yM
bI
SF
Z
zs
*
x?x?
y?
y?
材料力学 第七章 应力和应变分析
x?
y?
z?
材料力学 第七章 应力和应变分析三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-2 二向和三向应力状态的实例
4
2D
pF
02 p l Dl
0 s i n2 p l DdDplF N
2
pD
Dp
D
4
2
材料力学 第七章 应力和应变分析材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-3 二向应力状态分析 —— 解析法平面应力状态的普遍形式,在常见的受力构件中，在两对平面上既有正应力 σ 又有切应力 τ 。 可将该单元体用平面图形来表示。
x
xy
y
材料力学 第七章 应力和应变分析
σ,τ正负号规定,
σ—— 拉为正，压为负；
τ—— 以对微单元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负；
xyx
单元体各面上的已知应力分量,和,,
确定任一斜截面上的未知应力分量，从而确定该点处的主应力和主平面。
yxy
x
xy
y
材料力学 第七章 应力和应变分析规定, 截面外法线同向为正；
a绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。
一、任意斜截面上的应力
x
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
材料力学 第七章 应力和应变分析设：斜截面面积为 A，由分离体平衡得：
F n 0
0c o ss ins in
s inc o sc o s
2
2
AA
AAA
yxy
xyxx
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
2s in2c o s22 xyyxyx
2c o s2s i n2 xyyx
同理：
n
2
2c o s1c o s 2
2
2c o s1s in 2
材料力学 第七章 应力和应变分析
02c o s22s in,00
0
xyyxd
d令二、极值应力
yx
xy
22tg
0
和两各极值：）、（
由此的两个驻点：
20101
！极值正应力就是主应力 00
） 2222 xyyxyx
m in
m ax
±
（
材料力学 第七章 应力和应变分析
x
y
x
xy
y
O
主单元体
max在剪应力相对的相限内，
且偏向于?x 及?y大的一侧。
0
d
d:
1
令
xy
yx
2
2tg 1
22
2 x y
yx
min
max
±?
）（
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
2
1
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-3-2 图示应力状态（单位,Mpa），求：（ 1）
斜截面上的应力；（ 2）主应力的大小；（ 3）主平面方位，并在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；
（ 4）最大切应力。
解：（ 1）易知 30?
M P ax 40 M P ay 20
，
M Paxy 10
M P axyxyx 4.262s i n2c o s)(21)(21
M P axyx 66.132c o s2s i n)(21
材料力学 第七章 应力和应变分析
（ 2）主应力大小
MP axyxyx 1.44
4
)(
)(
2
1 22
m a x
MP axyxyx 9.15
4
)(
)(
2
1 22
m i n
M P aM P aM P a 09.151.44 321,，故，
（ 3）主平面方位
122t a n 0
yx
x
5.1575.670 或
法线与 x轴夹角为 67.5o的主平面上对应的是?2。
材料力学 第七章 应力和应变分析
（ 4）最大切应力
M P a1.222 21m a x
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-4 二向应力状态分析 —— 图解法
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx
对上述方程消去参数（ 2?），得：x
y
O
x
xy
y
n
y?xy
x
n
材料力学 第七章 应力和应变分析
建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）
二、应力圆的画法
在 坐标系内画出点 A(?x，
xy)和 B(?y,?yx)
AB与?a 轴的交点 C便是圆心。
以 C为圆心，以 AC为半径画圆 —— 应力圆；
x
xy
y
x
y
O
n
a
O
a
a
C
A(? x,? xy)
B(? y,?yx)
x
2a
n D(?a,? a)
材料力学 第七章 应力和应变分析三、单元体与应力圆的对应关系
面上的 应力 (,)
应力圆上一点 (,)
面的法线 应力圆的半径
两面夹角? 两半径夹角 2? ；
且转向一致。
x
xy
y
x
y
O
n
a
O
a
a
C
A(? x,? xy)
B(? y,?yx)
x
2a
n D(?a,? a)
材料力学 第七章 应力和应变分析
y
yx?
xy?
x
c
a
A
材料力学 第七章 应力和应变分析
c
转向对应、二倍角对应
a
n
b
材料力学 第七章 应力和应变分析试用应力圆法计算图示单元体 e--f截面上的应力。图中应力的单位为 MPa。
4.4
2.2
n
030
e
f
o
a
d
c
M Pa2.5030
M Pa8.0030
060
材料力学 第七章 应力和应变分析
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
）（
半径四、在应力圆上标出极值应力
22
m i nm a x
m i n
m a x
2
2
xy
yx
R
）（
半径
O C
a
a
A(?x,? xy)
B(? y,? yx)
x
2a1
min?
max?
2a0
1? 2? 3
材料力学 第七章 应力和应变分析已知矩形截面梁,某截面上的剪力 Fs=120kN及弯矩 M=10kNm.绘出表示 1、
2,3,4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
b=60mm,h=100mm.
b
h
z
sF
M1
2
3
mm25
4
1、画各点应力状态图
1
3? 2
3
4
1?
2、计算各点主应力
12
3bhI
z?
4500 cm
zI
My?1?
4
3
10500
501010
MPa100?
1点
021 M P a1 0 03
2点 (处于纯剪状态 )
A
F s
2
3
max 1 0 0602 101 2 03
3
MPa30?
2213 4212 xyxyx
M P a301 02 M P a303
3点 (一般平面状态 )
zI
My?3?
4
3
10500
251010
MPa50 bI
SF
z
zs
*
6010500
5.37256010120
4
3
M P a5.22?
M P a6.581
02 M P a6.83
4点
M P a1 0 01
02 03
材料力学 第七章 应力和应变分析
30
80°
0.20
30
60°
0.60.4
-40
-40
例 7-4-1 已知求此单元体在?＝
30° 和?＝ -40° 两斜截面上的应力。
，,M PaM Pa yx 2.01
，,M P aM P a yxxy 2.02.0
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-4-2,讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。
解,1,取单元体 ABCD,其中
，,这是纯剪切应力状态。
,0 yx
xy
PW
T
材料力学 第七章 应力和应变分析
2,作应力圆 主应力为,并可确定主平面的法线 。 31,
材料力学 第七章 应力和应变分析
3,分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等,
但一为拉应力,另一为压应力 。 由于铸铁抗拉强度较低,圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45o
的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏 。
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-4-3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
材料力学 第七章 应力和应变分析
3
45
325
325
95
150
°
A
B
1
2
解,?主应力坐标系如图
AB的垂直平分线与?a轴的交点 C便是圆心，以 C为圆心，以 AC为半径画圆 —— 应力圆。
0
1? 2
B A
C
2?0
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B)325,95(A
在 坐标系内画出点材料力学 第七章 应力和应变分析
主应力及主平面如图
0
20
1 2 0
3
2
1
300
3
45
325
325
95
150
°
A
B
1
2
0
1? 2
B A
C
2?0
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
材料力学 第七章 应力和应变分析
2c o s2s in2 xyyx
45
325
325
95
150
°解法 2— 解析法：分析 —— 建立坐标系如图
xyyx
y
M P a325
M P a45
x?
22
2
1
22 xy
yxyx
）（
60°
M P a325
M P a95
60
60
x
y
O
材料力学 第七章 应力和应变分析主单元体：六个平面都是主平面
1
2
3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力,
§ 7-5 三向应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析
1?1
2
2?
3
3?3
3?
2
1
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?
1
2
2
3
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?
1
2
2
3
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3
这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
1?2?3?
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力 σn和 τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
在三向应力状态情况下：
m a x? 1
1
2
3
τmax 作用在与 σ2平行且与 σ1和 σ3的方向成 45° 角的平面上，
以 τ1,3表示
m i n? 3
m ax1 3
2
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-5-1,求图示应力状态的主应力和最大剪应力。
（应力单位为 MPa）。
材料力学 第七章 应力和应变分析
M P a
2.42
2.52
40
2
2030
2
2030 22
3
1
解：
M P a502
ma x,1 32 47 2 MPa
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-5-2 求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为 MPa）。
1
2
3
M P a
M P a
M P a
M P a
50
50
50
2
50
1 3
m a x
解：
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-5-3 试根据图 a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。
(a)
材料力学 第七章 应力和应变分析解,1,图 a所示单元体上正应力?z=20 MPa的作用面 (z截面 )上无切应力，因而该正应力为主应力。
2,与主平面 z截面垂直的各截面上的应力与主应力?z无关，故可画出显示与 z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。
(a)
材料力学 第七章 应力和应变分析从圆上得出两个主应力 46 MPa和 -26 MPa。这样就得到了包括?z=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为
1＝ 46 MPa,? 2＝ 20 MPa,? 3＝ -26 MPa。
(b)(a)
3,依据三个主应力值作出的三个应力圆如图 b所示。
材料力学 第七章 应力和应变分析
2a0＝ 34?可知为 a0＝ 17?且由 x截面逆时针转动，如图 c中所示。
(c)
(b)
材料力学 第七章 应力和应变分析
4,最大切应力?max由应力圆上点 B的纵座标知为?max＝
36 MPa，作用在由?1 作用面绕?2 逆时针 45? 的面上 (图 c)。
(c)
(b)
材料力学 第七章 应力和应变分析图示为某点的应力状态，其最大切应力
τmax=_____MPa.
MPa40
MPa20
MPa20 M P a20m a x
M P a20m i n
M P a401 M P a202 M P a203
2
31
m a x
2
2040 M P a30?
30
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-8 广义胡克定律一、单拉下的应力 --应变关系
E
x
x
xy E?
xz E?
二,纯剪的应力 --应变关系
G
xy
xy
) 0 x,y,z( i,jij
)( 0 x,y,zii
0 zxyz
x
y
z
x
y
z
x y
材料力学 第七章 应力和应变分析三、复杂状态下的应力 --- 应变关系依叠加原理,得,
zyx
zyx
x
E
EEE
1
xzyy E 1
yxzz E 1
G
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
zyxx E 1
x
y
z
y
xy
x
材料力学 第七章 应力和应变分析当单元体三个平面皆为主平面时,
2133
1322
3211
1
1
1
E
E
E
0 zxyzxy
分别为 x,y,z 方向的主应变，与主应力的方向一致，,三主平面内的切应变等于零。
321,、
321
材料力学 第七章 应力和应变分析对平面应力状态
,
)(
1
)(
1
xyy
yxx
E
E
,Gxyxy
zxyz
yxz
E
)(
材料力学 第七章 应力和应变分析某点的应力状态如图所示,当 σx,σy,σz不变,τxy增大时,
关于 εx值的说法正确的是 ____.
A,不变 B,增大 C,减小 D,无法判定
y?
x?
z?
εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，
线应变不变。
A
zyxx E 1
材料力学 第七章 应力和应变分析一受扭圆轴,直径 d=20mm,圆轴的材料为钢,E=200GPa,ν=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成 450方向的应变为 ε=5.2× 10-4,试求圆轴所承受的扭矩,
T
045
tW
T
1?3?
1 023
3211 1 E
E11E 1
116
3dE
T3.0116 2102 0 0102.5
334
Nm7.125?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2,各向同性材料的体积应变体积应变,每单位体积的体积变化，用 θ表示设单元体的三对平面均为主平面，其三个边长分别为 dx,
dy,dz,
变形前体积,dzdydxV
0
变形后体积：
d x d y d z
dzdydxV
)1(
)1()1()1(
321
3211
则体积应变为,.
321
0
01
V
VV
代入广义胡克定律得,
321
21
E
即,任一点处的体积应变与该点处的三个主应力之和成正比。
材料力学 第七章 应力和应变分析体积弹性模量令 )21(3?EK
平均应力 )(31 321 m
体积胡克定律则 K m
同理，可得,
zyxE 21
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-8-2 边长为 0.1m的铜方块，无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量
E=100GPa，泊松比 μ ＝ 0.34。当铜块受到 F=300kN
的均布压力作用时，试求铜块的三个主应力的大小。
M P a301.0 10300 2
3
AFy?
解：铜块横截面上的压应力为材料力学 第七章 应力和应变分析
0
1
0
1
yxzz
zyxx
E
E
0 yx
由题意：
M P a30M P a,5.15 321
按主应力的代数值顺序排列，得该铜块的主应力为：
M P a5.151 yzx
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-9 复杂应力状态的应变能密度
2
1
V
2
1
v
W
lPW
l?
P
单向应力状态下：
1?
2?
3?
dz
dx
dy
1.空间应力状态的应变能密度
)(21 332211
可得,
将广义胡克定律代入上式,
133221232221 22 1 E
材料力学 第七章 应力和应变分析
l
1l
F
l?
l?
F
F
O
l?
LFLFW N 2121
NFV 2
1?
EA
LFN
L?
L
EA
LFN
2
2
应变能密度,单位体积内的应变能,V
Vv?
AL
LF?
2
1
21?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2.体积改变能密度和畸变能密度应变能密度 ＝体积改变能密度（ υV） +
畸变能密度（ υd）
)(
332211,, mmm令
32131m
（ a)
m?
m?
（ b)
m?
1?
2?
3?
= +?1?
2?
3?
（ c)
材料力学 第七章 应力和应变分析
2
321
2
222
)(
6
21
2
)21(3
2
2
1
EE
E
u
m
mmmmmmmmmV
213232221 )()()(61 EVd
体积改变能密度 υV
畸变能密度 υd
（ a）和（ b）状态的主应力之和相等，故它们的体积应变相等，其 也相等，所以只须把 代入应变能密度公式即得：
V? m?
(b)状态只有体积改变而无形状改变，称为体积改变能密度 υV
(c)状态只有形状改变而无体积改变，称为畸变能密度 υd
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-9-1 证明三个弹性常数间的关系。
G22
1 2
纯剪单元体的比能为：
纯剪单元体比能的主应力表示为：
312321232221 22 1 E
)(002)(02 1 22 E
21
E
12 EG
txy
A
1
3
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-10 强度理论概论强度条件的建立材料因强度不足而引起失效现象是不同的，
它取决于：
1.材料本身的性质，包括塑性材料和脆性材料：
单向拉伸试验 塑性材料出现屈服,s脆性材料突然断裂
b
材料力学 第七章 应力和应变分析危险点是复杂应力状态时
σ1,σ2,σ3 之间有任意比值，不可能通过做所有情况的试验来确定其极限应力值。
危险点是简单应力状态及纯剪切应力状态时直接通过试验结果建立：
单向拉压,
纯剪切,
2.材料的受力状态，包括简单应力状态，复杂应力状态材料力学 第七章 应力和应变分析强度理论的基本思想,
1)确认引起材料失效存在共同的力学原因,提出关于这一共同力学原因的假设；
2)根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验 （ 如拉伸 ） 结果,建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件 。
3)实际上,当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式,分别提出共同力学原因的假设 。
材料力学 第七章 应力和应变分析脆性断裂 ──最大拉应力理论、最大伸长线应变理论屈服失效 ──最大切应力理论、畸变能密度理论材料破坏材料力学 第七章 应力和应变分析一、最大拉应力（第一强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断了。
1、破坏判据,0)(;
11 b
2、强度准则, 0)( ;
11
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
材料力学 第七章 应力和应变分析试验证明，这一理论与铸铁、岩石材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，
这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。
材料力学 第七章 应力和应变分析二、最大伸长线应变（第二强度）理论：
认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。
1、破坏判据：
0)(; 11 b
2、强度准则：
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。
EE b 3211 1
b 321
321
材料力学 第七章 应力和应变分析三、最大剪应力（第三强度）理论：
认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。
1、破坏判据：
sm a x
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
s
s
22
31
m a x
s 31
2、强度准则,
31
材料力学 第七章 应力和应变分析第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力 σ2的影响，其带来的最大误差不超过 15％，而在大多数情况下远比此为小。
材料力学 第七章 应力和应变分析
4.畸变能密度理论（第四强度理论）
基本假设：畸变能密度是引起材料塑性屈服的主要因素复杂应力状态下2
13
2
32
2
21 )()()(6
1
Ed
屈服准则,
s
2
13
2
32
2
21 )()()(2
1
强度条件,
n
s 2
13
2
32
2
21 )()()(2
1
单向拉伸屈服时，
畸变能密度的极限值是,22
6
1
sd Ev?
0,321 s
材料力学 第七章 应力和应变分析适用范围：它既突出了最大主切应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主切应力的影响，它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好。此准则也称为米塞斯（ Mises ）屈服准则，
由于机械、动力行业遇到的载荷往往较不稳定，因而较多地采用偏于安全的第三强度理论；土建行业的载荷往往较为稳定，安全系数的估计较准确，因而较多地采用第四强度理论。
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。
材料力学 第七章 应力和应变分析四个强度理论的强度条件可写成统一形式,
r? [ ]
r
r
r
r
r
1 1
2 1 2 3
3 1 3
4 1 2
2
2 3
2
3 1
2
1
2
( )
( ) ( ) ( )
称为相当应力材料力学 第七章 应力和应变分析塑性材料 第三强度理论 可进行偏保守（安全）设计。
第四强度理论 可用于更精确设计，要求对材料强 度指标,载荷计算较有把握。
脆性材料第二强度理论 仅用于石料、混凝土等少数材料。
第一强度理论 用于 脆性材料的拉伸、扭转。
按某种强度理论进行强度校核时,要保证满足如下两个条件,
1,所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应 ;
2,用以确定许用应力 [的,也必须是相应于该破坏形式的极限应力。
材料力学 第七章 应力和应变分析塑性材料 （ 如低碳钢 ） 在三向拉伸应力状态下呈脆断破坏,应选用第一强度理论 。
注意脆性材料 （ 如大理石 ） 在三向压缩应力状态下呈塑性屈服失效状态,应选用第三,第四强度理论 。
例 (a) 一钢质球体防入沸腾的热油中,将引起爆裂，试分析原因。
受力分析,钢球入热油中，其外部因骤热而迅速 膨胀，
内芯受拉且处于三向受拉应力状态，而发生脆断破坏。
例（ b） 深海海底的石块，尽管受到很大的 静水压力,并不破坏，试分析原因。
受力分析：石块处于三向受压状态。
材料力学 第七章 应力和应变分析对图示的纯剪切应力状态，试按强度理论建立纯剪切状态下的强度条件，并导出剪切许用应力［ τ］与拉伸许用应力［ σ］之间的关系。
K
τ
1?
3?
＝，＝，＝ 321 0
单元体纯剪切强度条件
第一强度理论1
第二强度理论）＋（－
321）＋（ 1
＋＝ 1 对于铸铁,25.0 8.0?
第三强度理论
312
2
5.0?
第四强度理论
213232221213 6.0?
对于脆性材料, 0.18.0 ～＝ 对于塑性材料, 6.05.0 ～＝
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-10-1 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力。
110 MPa
140 MPa(b)已知
1=14 0MPa,?2=110MPa,?3=0
M P ar 1 4 0313
M P ar 1 2 821 4 021 1 0230214
材料力学 第七章 应力和应变分析例 7-10-2 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论,比较两者的危险程度。
解：一、判断由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分别相等，因此，其畸变能密度也相等，故两种情况下的危险程度相等。
(a) (b)
材料力学 第七章 应力和应变分析状态 (b) 设，则
(a) (b)
二、核算 (1) 两种情况下的主应力为状态 (a )
2
2
223
0
2
2
221
2
321
材料力学 第七章 应力和应变分析由第四强度理论的计算应力状态 (a )
两种情况下的危险程度相等。
状态 (b )
22 34r
22 34r
材料力学 第七章 应力和应变分析现有两种说法：（ 1）塑性材料中若某点的最大拉应力 σ max=σ s，则该点一定会产生屈服；（ 2）脆性材料中若某点的最大拉应力 σ max=σ b，则该点一定会产生断裂，根据第一、第四强度理论可知，说法 ( ),
A.（ 1）正确、（ 2）不正确；
B.（ 1）不正确、（ 2）正确；
C.（ 1）、（ 2）都正确；
D.（ 1）、（ 2）都不正确。
B
材料力学 第七章 应力和应变分析铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，
而管内的冰却不会破坏。这是因为（ ）。
A.冰的强度较铸铁高；
B.冰处于三向受压应力状态；
C.冰的温度较铸铁高；
D.冰的应力等于零。
313r 0?
B
材料力学 第七章 应力和应变分析若构件内危险点的应力状态为二向等拉，则除（ ）强度理论以外，利用其他三个强度理论得到的相当应力是相等的。
A.第一； B.第二； C.第三； D.第四；
B
材料力学 第七章 应力和应变分析已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为［ σ t］＝ 30MPa，试校核该点处的强度是否安全。
23
11
10
(单位 MPa)
t1
2
22
22
x
yxyx
072.328.29 321,,M P aM P a
M P aM P a t 3028.291
M P a
M P a
72.3
28.29?
第一强度理论材料力学 第七章 应力和应变分析某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中 σ ＝
116.7MPa,τ ＝ 46.3MPa。材料为钢，许用应力［ σ ］＝
160MPa。试校核此结构是否安全。
τ
σ 2
2
1
22
2
2
22
x
yxyx
2
2
3
22
第三强度理论
31 22 4
第四强度理论 21323222121 22 3
M P a0.149
M P a6.141
材料力学 第七章 应力和应变分析图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。
（ 1）从梁表面的 A,B,C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。
（ 2）定性地绘出 A,B,C三点的应力圆。
（ 3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。
（ 4）试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏时裂缝在 B,C两点处的走向。
BA C
B 1?
B C
A
C
B
C
1?
3?
A
1?
3?
F F aa
A B C
材料力学 第七章 应力和应变分析
§ 7-12 莫尔强度理论莫尔强度理论是以各种状态下材料的破坏试验结果为依据，而不是简单地假设材料地破坏是由某一个因素达到了极限值而引起地，从而建立起来的带有一定经验性的强度理论
°￠ íDa ( O,M o hr),1 8 3 5 1 9 1 8
材料力学 第七章 应力和应变分析
O
极限应力圆一、两个概念：
1、极限应力圆：
1s?
2s?3s?
s?
材料力学 第七章 应力和应变分析
2、极限曲线：
材料力学 第七章 应力和应变分析
3、近似极限曲线：
材料力学 第七章 应力和应变分析二、莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。
下面推导莫尔强度理论的破坏条件材料力学 第七章 应力和应变分析材料力学 第七章 应力和应变分析整理得破坏条件材料力学 第七章 应力和应变分析强度条件：
相当应力：
适用范围：
考虑了材料拉压强度不等的情况，可以用于铸铁等脆性材料，也可用于塑性材料。当材料的拉压强度相同时，和第三强度理论相同 。
材料力学 第七章 应力和应变分析
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材料力学 第七章 应力和应变分析祝大家学习愉快 !
