材料力学 第十章 动载荷
§ 10-1 概述
§ 10-2 动静法的应用
§ 10-3 受迫振动的应力计算
§ 10-4 杆件受冲击时的应力和变形
§ 10-5 冲击韧性材料力学 第十章 动载荷
§ 10-1 概述材料力学 第十章 动载荷动荷载,荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。
动载荷问题分为三类,1.一般加速度问题；
2.冲击载荷；
3.交变载荷材料力学 第十章 动载荷材力除研究杆件由于静荷引起的应力，还要 研究动荷引起的应力 —— 称 动应力 σd
实验表明,
当 σd〈 σp（比例极限）时,胡克定律仍然有效，
且弹性模量与静荷下的数值相同材料力学 第十章 动载荷
§ 10-2 动静法的应用材料力学 第十章 动载荷解,1、截面法求钢索 FNd
将钢索截开，取下部分受力分析，如右图所示。若为静荷载，则 FNd =P。但此时钢索具有 a，为不平衡状态，不能用平衡方程求内力 。
例 10-2-1 钢索起吊重物，已知 P,A,a，
求：钢索
d?
可用动静法，附加一惯性力 F’= –ma，在实际力与惯性力的共同作用下，钢索平衡。则 ( 1 )Nd PaF P a P
gg
a dN
g/Pa
P
P
材料力学 第十章 动载荷说明,1、由此例题可知动载荷下的应力计算是运用动静法,将其转化为静荷载求得。
2、计算结果 中 反映了在相应静荷载基础上动载荷的效应，
N d d d
d
s t s t s t
Fk
F
称动荷系数，用 表示，则
)ga1(std )ga1(?
dk
)1()1( gagaAPAF stdNd2、求钢索
3.动载荷下的强度条件：
d d s tK
材料力学 第十章 动载荷
§ 10-4构件受冲击时的应力和变形冲击,两个物体相对碰撞时，在极短的时间内，速度发生有限的变化，产生很大的相互作用力。由于冲击时间极短，
加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。
Ⅱ,不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；
Ⅰ,不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；
Ⅲ,不计冲击过程中的能量损失。
材料力学 第十章 动载荷一重量为 P的重物由高度为 h的位置自由下落,与一块和直杆相连的平板发生冲击。
AA A
P
B dF
B B
P
st?d?
一,自由落体冲击,
材料力学 第十章 动载荷冲击前,势能冲击后,变形能（动能无变化，不考虑冲击物的变形，且杆件变形在弹性范围内）
11 () dV P h
2
1
2 ddV V F
解,按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。设最低位置势能为 0。
AA A
P
B d
F
B B
P
st?d?
材料力学 第十章 动载荷将 代入得：
dd FlAEEAPlst 0222 hstdstd
st
std
h211
dK
由结果可得 为自由落体冲击的动荷因数，
为降低 可采取如下措施
st
d
h211k
1VV
12d d dP h F
根据能量守恒定理：
即：
材料力学 第十章 动载荷
1、增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间放置一弹簧 （ 缓冲弹簧）。
2、减小冲击物自由下落的高度。当 即重物骤然加在杆件上，,表明骤然载荷引起的动应力是将重物缓慢作用引的静应力的 2倍。
0?h
2?dk
措施,
材料力学 第十章 动载荷若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v，则
g
vh
2
2
K
h
d
st
1 1
2
1 1
2v
g st?
材料力学 第十章 动载荷若已知冲击物自高度 h 处以初速度 下落,
则
v v gh2 0 2 2
K
v
g
d
st
1 1
2
v0
1 1
20 2v gh
g st?
材料力学 第十章 动载荷例 10-4-1 等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
材料力学 第十章 动载荷解：
st Q a
E I
4
3
3
K
h
E I h
Q a
d
st
1 1
2
1 1
3
2
3
d d stK
E I h
Q a
Q a
Wm a x m a x
1 1 3
2 3
材料力学 第十章 动载荷例 10-4-2 重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点处，求 B
点的挠度。
CL14TU14
材料力学 第十章 动载荷解：
st Q l
E I
Q l
E bh
3 3
33
4
K
h E b h
Q l
d
st
1 1
2
1 1
2
4
3?
3
3
3
4 4
2
11
E b h
lQ
lQ
hbE
K stddB
材料力学 第十章 动载荷例 10-4-3,图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短
0.625mm。钢杆直径 d=40mm,l
=4m，许用应力 [σ]=120MPa,
E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度 h。
CL14TU15
材料力学 第十章 动载荷解：
st Q lEA15 0 625 10 9 62 103 3.,m
K hd
st
1 1 2
st
Q
A d
15 10
4
12
3
2
M P a
d d st
st
K
h
h
1 1
2
12 120
0 385
[ ]
,m = 3 8 5 m m
材料力学 第十章 动载荷例 10-4-4 图 a,b所示简支梁均由 20b号工字钢制成。 E=210
GPa,P =2 kN,h=20 mm 。图 b 中 B支座弹簧的刚度系数 k
=300 kN/m 。试分别求图 a,b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）
h
P
1.5m 1.5m
z
A
C
B
z
h
P
1.5m 1.5m
A
C
B
(a) (b)
材料力学 第十章 动载荷解,1,图 a
由型钢查得 20b号工字钢的
Wz和 Iz分别为
Wz=250× 103 mm3,Iz=2 500× 104 mm4
M P a6102 5 0 104/324/ 3
6
ma x,st
zW
Pl?
mm32 1 4.0105 0 02102 1 048 10310248 43
9333
st
EI
PlwΔ
C
梁的最大静应力为
C 截面的静位移为
z
h
P
1.5m 1.5m
A
C
B
材料力学 第十章 动载荷动荷因数为
7.14
3214.0
20211211
st
d?
Δ
hK
梁的最大动应力为
M P a2.8867.14m a x,stdd K
材料力学 第十章 动载荷
2,图 b
mm08 8 1.13 0 04 1022 1 4 3.02 2/48
33
st
k
P
EI
PlΔ
7.50881.1 20211dK
M P a2.3467.5m ax,d
C 截面的静位移为动荷因数为梁的最大动应力为
6.27.5 7.14)( )(
bd
ad
K
K 。可见增加?st可使 Kd 减小。
h
P
1.5m 1.5m
z
A
C
B
材料力学 第十章 动载荷二,水平冲击已知：同截面杆 AB在 C处受一重量为 G，速度为 v的物体沿水平方向冲击 。 求：杆在危险点处的 。d?
st
2
d
st
2
d
2
21
g
v
K
PK
2
1
v
g
P
2
1
UU
由能量守恒冲击前 （小球动能）
冲击后 （杆应变能）
22
1 vg
P
2
1mv
2
1U
2
1
2ddVF
解,
st?d?
B B B
C C CdF P
AAA
材料力学 第十章 动载荷静荷载 动荷载 WPaWM)( m a xst
W
Pa
g
vk)(
st
2
stdm a xd
三、起吊重物时的冲击
ststd21 P21PvgP21U
2
1
2 ddUF
（杆应变能）
冲击前冲击后已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当吊索长度为 l时，突然刹车
,A,E,V,P。求,Fd,?d。
l
dP
P
材料力学 第十章 动载荷说明,由结果可知,欲使,除 外,还可采取 的措施,如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧 。
dK?v?st?
st
d g
vK
2
121 UU?
st
2
std
g
v
1
材料力学 第十章 动载荷例 10-4-5：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求动荷系数。
CL14TU13
材料力学 第十章 动载荷解：
st Q a
E I
4
3
3
K
v
g
E I v
g Q a
d
st
2
2
3
3
4
§ 10-1 概述
§ 10-2 动静法的应用
§ 10-3 受迫振动的应力计算
§ 10-4 杆件受冲击时的应力和变形
§ 10-5 冲击韧性材料力学 第十章 动载荷
§ 10-1 概述材料力学 第十章 动载荷动荷载,荷载作用过程中随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。
动载荷问题分为三类,1.一般加速度问题；
2.冲击载荷；
3.交变载荷材料力学 第十章 动载荷材力除研究杆件由于静荷引起的应力，还要 研究动荷引起的应力 —— 称 动应力 σd
实验表明,
当 σd〈 σp（比例极限）时,胡克定律仍然有效，
且弹性模量与静荷下的数值相同材料力学 第十章 动载荷
§ 10-2 动静法的应用材料力学 第十章 动载荷解,1、截面法求钢索 FNd
将钢索截开，取下部分受力分析，如右图所示。若为静荷载，则 FNd =P。但此时钢索具有 a，为不平衡状态，不能用平衡方程求内力 。
例 10-2-1 钢索起吊重物，已知 P,A,a，
求：钢索
d?
可用动静法，附加一惯性力 F’= –ma，在实际力与惯性力的共同作用下，钢索平衡。则 ( 1 )Nd PaF P a P
gg
a dN
g/Pa
P
P
材料力学 第十章 动载荷说明,1、由此例题可知动载荷下的应力计算是运用动静法,将其转化为静荷载求得。
2、计算结果 中 反映了在相应静荷载基础上动载荷的效应，
N d d d
d
s t s t s t
Fk
F
称动荷系数，用 表示，则
)ga1(std )ga1(?
dk
)1()1( gagaAPAF stdNd2、求钢索
3.动载荷下的强度条件：
d d s tK
材料力学 第十章 动载荷
§ 10-4构件受冲击时的应力和变形冲击,两个物体相对碰撞时，在极短的时间内，速度发生有限的变化，产生很大的相互作用力。由于冲击时间极短，
加速度很难确定，不能用动静法进行分析。通常在以下假设的基础上用能量法作近似计算。
Ⅱ,不计被冲击物的质量，被冲击物的变形在线弹性范围内；
Ⅰ,不计冲击物的变形，且冲击物和被冲击物接触后不回弹；
Ⅲ,不计冲击过程中的能量损失。
材料力学 第十章 动载荷一重量为 P的重物由高度为 h的位置自由下落,与一块和直杆相连的平板发生冲击。
AA A
P
B dF
B B
P
st?d?
一,自由落体冲击,
材料力学 第十章 动载荷冲击前,势能冲击后,变形能（动能无变化，不考虑冲击物的变形，且杆件变形在弹性范围内）
11 () dV P h
2
1
2 ddV V F
解,按简化计算法，不考虑系统冲击过程中热能、声能及其它形式能量的损失。设最低位置势能为 0。
AA A
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B d
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B B
P
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材料力学 第十章 动载荷将 代入得：
dd FlAEEAPlst 0222 hstdstd
st
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由结果可得 为自由落体冲击的动荷因数，
为降低 可采取如下措施
st
d
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1VV
12d d dP h F
根据能量守恒定理：
即：
材料力学 第十章 动载荷
1、增大相应的静位移。例如在发生冲击的物体间放置一弹簧 （ 缓冲弹簧）。
2、减小冲击物自由下落的高度。当 即重物骤然加在杆件上，,表明骤然载荷引起的动应力是将重物缓慢作用引的静应力的 2倍。
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措施,
材料力学 第十章 动载荷若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为 v，则
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材料力学 第十章 动载荷例 10-4-1 等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物 Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
CL14TU12
材料力学 第十章 动载荷解：
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4
3
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材料力学 第十章 动载荷例 10-4-2 重物 Q自由落下冲击在 AB梁的 B点处，求 B
点的挠度。
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材料力学 第十章 动载荷解：
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材料力学 第十章 动载荷例 10-4-3,图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩短
0.625mm。钢杆直径 d=40mm,l
=4m，许用应力 [σ]=120MPa,
E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度 h。
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材料力学 第十章 动载荷解：
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材料力学 第十章 动载荷例 10-4-4 图 a,b所示简支梁均由 20b号工字钢制成。 E=210
GPa,P =2 kN,h=20 mm 。图 b 中 B支座弹簧的刚度系数 k
=300 kN/m 。试分别求图 a,b所示梁的最大正应力。（不计梁和弹簧的自重）
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P
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材料力学 第十章 动载荷解,1,图 a
由型钢查得 20b号工字钢的
Wz和 Iz分别为
Wz=250× 103 mm3,Iz=2 500× 104 mm4
M P a6102 5 0 104/324/ 3
6
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梁的最大静应力为
C 截面的静位移为
z
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P
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A
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材料力学 第十章 动载荷动荷因数为
7.14
3214.0
20211211
st
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梁的最大动应力为
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材料力学 第十章 动载荷
2,图 b
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2
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由能量守恒冲击前 （小球动能）
冲击后 （杆应变能）
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1
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st?d?
B B B
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材料力学 第十章 动载荷静荷载 动荷载 WPaWM)( m a xst
W
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st
2
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三、起吊重物时的冲击
ststd21 P21PvgP21U
2
1
2 ddUF
（杆应变能）
冲击前冲击后已知：起重吊索下端挂一重物等速下降，当吊索长度为 l时，突然刹车
,A,E,V,P。求,Fd,?d。
l
dP
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材料力学 第十章 动载荷说明,由结果可知,欲使,除 外,还可采取 的措施,如在吊索与重物间安置一缓冲弹簧 。
dK?v?st?
st
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材料力学 第十章 动载荷例 10-4-5：重量为 Q的物体以水平速度ｖ撞在等截面刚架的端点 C，刚架的 EI已知，试求动荷系数。
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材料力学 第十章 动载荷解：
st Q a
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4
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K
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2
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