材料力学 第八章 组合变形
§ 8-1 组合变形和叠加原理
§ 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
§ 8-3 偏心压缩和截面核心
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
§ 8-5 组合变形的普遍情况材料力学 第八章 组合变形
qF eM
AyF ByF
x
B
A
y
对称面 向纵
1、轴向拉压
2、扭转
3、弯曲材料力学 第八章 组合变形压弯组合变形组合变形工程实例材料力学 第八章 组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例材料力学 第八章 组合变形组合变形,构件在荷载作用下,同时发生两种或两种以上的基本变形,称为组合变形。
屋架传来的压力吊车传来的压力自重风力组合变形强度计算的步骤,
1.外力分析 将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系。
2.内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危险截面位置及其相应内力分量,按 叠加原理 画出危险点的应力状态。
3.应力分析 按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置。
4.强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。
§ 8-1 组合变形和叠加原理材料力学 第八章 组合变形前提条件：
① 线弹性材料,加载在弹性范围内,即服从胡克定律；
② 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关 。
叠加原理 —— 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，
则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，
应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。
材料力学 第八章 组合变形
§ 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学 第八章 组合变形横向力与轴向力共同作用
q
l
A BF F NF
z
zM
A
F N
N
+ =
Z
M I
yM m a x
Z
zN
I
yM
A
F
m i n
m a x?
材料力学 第八章 组合变形例 8-2-2 已知：,300,15 mmekNP 许用拉应力试设计立柱直径 d。?,32 M P a
t
解：将力 P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯矩为：
kNPF N 15
mNPeM 45
材料力学 第八章 组合变形
2
4
d
P
A
P
1?
w?
横截面上与 对应的拉应力均匀分布，NF
横截面上与 M 对应的弯曲正应力按线性分布，
3
32
d
Pe
W
M
z?
td Ped P 32 324
两种应力叠加后应满足强度条件,
3230010153210154 3
3
2
3
dd mmd 1 1 4?
材料力学 第八章 组合变形例 8-2-3 图 a所示起重机的最大吊重 F=12kN，许用应力,试为横梁 AB选择合适的工字钢。?
M P a1 0 0
解：根据横梁 AB的受力图，由平衡方程可得：
kNFkNFM cxcyA 24,18,0
做弯矩图和轴力图，危险截面为 C点左侧截面。
注意,求工字钢截面几何尺寸时，因为 A,W不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压组合进行强度校核。
24kN
例6.2图
1ｍ
1.5ｍ
2ｍ
.
12kN m
材料力学 第八章 组合变形查型钢表，可选用 16号钢，,
按弯压组合强度条件，可知 C点左侧截面下边缘各点压应力最大：
23 1.26,1 4 1 cmAcmW
M P aWMAF Nc 3.94m a xm a x
说明所选工字钢合适。
36
3
1 2 0101 0 0 1012 cmMW
按弯曲强度条件可得：
材料力学 第八章 组合变形一受拉弯组合变形的圆截面钢轴，若用第三强度理论设计的直径为 d3，用第四强度理论设计的直径为 d4，则
d3 _____ d4。 （填,＞,,,＜,或,＝,）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
＝
材料力学 第八章 组合变形如图示一矩形截面折杆，已知 F＝ 50kN，尺寸如图所示,α
＝ 30° 。（ 1）求 B点横截面上的应力
（ 2）求 B点 α ＝ 30° 截面上的正应力；
（ 3）求 B点的主应力 σ 1,σ 2,σ 3 。
mm600
mm400
mm200
mm200
mm100
F
B
cosF
sinF
sinF
sin200 F
A
F
W
M N
6
c o s400s in200
2bh
FF
bh
F?sin?
M P a23.17
B
32.170
30 60c o s120
M P a9.12 01 02
M Pa23.173
材料力学 第八章 组合变形例 8-2-1 具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：
（ 1） m-m截面上的最大拉应力 σt 和最大压应力 σc；
（ 2）此 σt是截面削弱前的 σt值的几倍？
材料力学 第八章 组合变形解,(1)
W
M
A
F N
c
t
P
a
P a
a
a
2
2
2
4
2
6
8
4
2
2
P
a
P
a
材料力学 第八章 组合变形
§ 8-4 扭转与弯曲的组合材料力学 第八章 组合变形图图
A B
FaTFlM,
作弯矩图和扭矩图，
可知危险截面为固定端截面：
材料力学 第八章 组合变形
危险截面上的 1点和 2点有最大弯曲正应力和最大扭转切应力：
W
Fl
tW
Fa
0,
22 2
2
2
3
1
围绕 1点取单元体，可见 1点处于平面应力状态，其三个主应力为：
材料力学 第八章 组合变形由第三强度理论建立强度条件：
由第四强度理论建立强度条件：
将 (3)代入 (1)、（ 2）式得：
22313 4r （ 1）
222132322214 321r
（ 2）
对于圆轴有 WWt 2?
W
M
tW
T （ 3）
W
TM
W
T
W
M
P
r
2222
3 4
W
TM
W
T
W
M
P
r
2222
4
75.03
（ 4）
材料力学 第八章 组合变形
F
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B
B I
yM
PI
T
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M m a x
m a x PW
T?
max?
B
B?
2
2
13
22
x
xx
31 22 4
21323222121
22 3
材料力学 第八章 组合变形图示圆轴,已知,F=8kN,M=3kNm,［ σ ］ =100MPa,试用第三强度理论求轴的最小直径,
F
Mm5.0
FLM?max kNm4? k N mT 3?
22 4
22
4
pz
z
W
T
W
M 22
zz
z
W
T
W
M
z
z TM
22
22 TM
W zz 35105 m 3 32? zWd? mm8.79?
材料力学 第八章 组合变形例 8-4-1 图 a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮 C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径 dC=400 mm,齿轮 D的节圆直径
dD=200 mm。已知许用应力 [σ ]=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。
材料力学 第八章 组合变形
1,作该传动轴的受力图（图 b），并作弯矩图－ Mz图和 My图（图 c,d）及扭矩图－－ T 图（图 e）。
解：
材料力学 第八章 组合变形
2,由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩 Mz和 My按矢量相加。
mN1 0 6 4)mN1 0 0 0()mN3 6 4( 2222 zByBB MMM
例如,B截面上的弯矩
MzB和 MyB（图 f）按矢量相加所得的总弯矩
MB（图 g）为：
材料力学 第八章 组合变形由 Mz图和 My图可知,B
截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见 B截面上的扭矩与 CD段其它横截面上相同,TB＝ -1000 N·m，于是判定横截面 B为危险截面。
材料力学 第八章 组合变形
3,根据 MB和 TB按第四强度理论建立的强度条件为
][75.0
22
4r
W
TM
Pa101 0 0)mN1 0 0 0(75.0)mN1 0 6 4( 6
22
W
即
Pa101 0 032/π mN1 3 7 2 63d
亦即
mm9.51m0 5 1 9.0)Pa101 0 0(π mN1 3 7 232
3
6
d
于是得材料力学 第八章 组合变形例 8-4-2 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径 R=200mm，径向啮合力
F1=1400N，轴的材料许用应力 〔 σ〕 =100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径 d。
解：（ 1）受力分析，作计算简图
eMRF?2 N1 5 0 02.0
3 0 0
2 R
MF e
150
200
N.m300
N.m300
N1500
N1400
材料力学 第八章 组合变形
（ 2）作内力图
N,m300
N,m120
N.m6.128
危险截面 E 左处
150 200
N.m300
N.m300
N1500
N1400
材料力学 第八章 组合变形
W
M
tW
T
W TMr 223
W
TM
r
22
4
75.0
材料力学 第八章 组合变形
（ 2）作内力图
N,m300
N,m120
N.m6.128
危险截面 E 左处
N.m300?T
N,m1 7 622 zy MMM
W TMr 223
150 200
N.m300
N.m300
N1500
N1400
（ 3）由强度条件设计 d
32
3d
W
3
2232
TMd
3
6
22
101 0 0
3 0 01 7 632
mm8.32m108.32 3
材料力学 第八章 组合变形祝大家学习愉快 !
§ 8-1 组合变形和叠加原理
§ 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
§ 8-3 偏心压缩和截面核心
§ 8-4 扭转与弯曲的组合
§ 8-5 组合变形的普遍情况材料力学 第八章 组合变形
qF eM
AyF ByF
x
B
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对称面 向纵
1、轴向拉压
2、扭转
3、弯曲材料力学 第八章 组合变形压弯组合变形组合变形工程实例材料力学 第八章 组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例材料力学 第八章 组合变形组合变形,构件在荷载作用下,同时发生两种或两种以上的基本变形,称为组合变形。
屋架传来的压力吊车传来的压力自重风力组合变形强度计算的步骤,
1.外力分析 将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系。
2.内力分析 分别做出各基本变形的内力图,确定构件危险截面位置及其相应内力分量,按 叠加原理 画出危险点的应力状态。
3.应力分析 按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置。
4.强度分析根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。
§ 8-1 组合变形和叠加原理材料力学 第八章 组合变形前提条件：
① 线弹性材料,加载在弹性范围内,即服从胡克定律；
② 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算,且能保证与加载次序无关 。
叠加原理 —— 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，
则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，
应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。
材料力学 第八章 组合变形
§ 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学 第八章 组合变形横向力与轴向力共同作用
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材料力学 第八章 组合变形例 8-2-2 已知：,300,15 mmekNP 许用拉应力试设计立柱直径 d。?,32 M P a
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解：将力 P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯矩为：
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材料力学 第八章 组合变形
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横截面上与 对应的拉应力均匀分布，NF
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两种应力叠加后应满足强度条件,
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材料力学 第八章 组合变形例 8-2-3 图 a所示起重机的最大吊重 F=12kN，许用应力,试为横梁 AB选择合适的工字钢。?
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解：根据横梁 AB的受力图，由平衡方程可得：
kNFkNFM cxcyA 24,18,0
做弯矩图和轴力图，危险截面为 C点左侧截面。
注意,求工字钢截面几何尺寸时，因为 A,W不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压组合进行强度校核。
24kN
例6.2图
1ｍ
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.
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材料力学 第八章 组合变形查型钢表，可选用 16号钢，,
按弯压组合强度条件，可知 C点左侧截面下边缘各点压应力最大：
23 1.26,1 4 1 cmAcmW
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说明所选工字钢合适。
36
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按弯曲强度条件可得：
材料力学 第八章 组合变形一受拉弯组合变形的圆截面钢轴，若用第三强度理论设计的直径为 d3，用第四强度理论设计的直径为 d4，则
d3 _____ d4。 （填,＞,,,＜,或,＝,）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
＝
材料力学 第八章 组合变形如图示一矩形截面折杆，已知 F＝ 50kN，尺寸如图所示,α
＝ 30° 。（ 1）求 B点横截面上的应力
（ 2）求 B点 α ＝ 30° 截面上的正应力；
（ 3）求 B点的主应力 σ 1,σ 2,σ 3 。
mm600
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材料力学 第八章 组合变形例 8-2-1 具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：
（ 1） m-m截面上的最大拉应力 σt 和最大压应力 σc；
（ 2）此 σt是截面削弱前的 σt值的几倍？
材料力学 第八章 组合变形解,(1)
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材料力学 第八章 组合变形
§ 8-4 扭转与弯曲的组合材料力学 第八章 组合变形图图
A B
FaTFlM,
作弯矩图和扭矩图，
可知危险截面为固定端截面：
材料力学 第八章 组合变形
危险截面上的 1点和 2点有最大弯曲正应力和最大扭转切应力：
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围绕 1点取单元体，可见 1点处于平面应力状态，其三个主应力为：
材料力学 第八章 组合变形由第三强度理论建立强度条件：
由第四强度理论建立强度条件：
将 (3)代入 (1)、（ 2）式得：
22313 4r （ 1）
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（ 2）
对于圆轴有 WWt 2?
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材料力学 第八章 组合变形图示圆轴,已知,F=8kN,M=3kNm,［ σ ］ =100MPa,试用第三强度理论求轴的最小直径,
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材料力学 第八章 组合变形例 8-4-1 图 a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮 C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径 dC=400 mm,齿轮 D的节圆直径
dD=200 mm。已知许用应力 [σ ]=100 MPa。试按第四强度理论求轴的直径。
材料力学 第八章 组合变形
1,作该传动轴的受力图（图 b），并作弯矩图－ Mz图和 My图（图 c,d）及扭矩图－－ T 图（图 e）。
解：
材料力学 第八章 组合变形
2,由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩 Mz和 My按矢量相加。
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例如,B截面上的弯矩
MzB和 MyB（图 f）按矢量相加所得的总弯矩
MB（图 g）为：
材料力学 第八章 组合变形由 Mz图和 My图可知,B
截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见 B截面上的扭矩与 CD段其它横截面上相同,TB＝ -1000 N·m，于是判定横截面 B为危险截面。
材料力学 第八章 组合变形
3,根据 MB和 TB按第四强度理论建立的强度条件为
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Pa101 0 0)mN1 0 0 0(75.0)mN1 0 6 4( 6
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即
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亦即
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3
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于是得材料力学 第八章 组合变形例 8-4-2 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径 R=200mm，径向啮合力
F1=1400N，轴的材料许用应力 〔 σ〕 =100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径 d。
解：（ 1）受力分析，作计算简图
eMRF?2 N1 5 0 02.0
3 0 0
2 R
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材料力学 第八章 组合变形
（ 2）作内力图
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危险截面 E 左处
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材料力学 第八章 组合变形
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材料力学 第八章 组合变形
（ 2）作内力图
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（ 3）由强度条件设计 d
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材料力学 第八章 组合变形祝大家学习愉快 !
