材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-1 弯曲的概念和实例
§ 4-2 受弯构件的简化
§ 4-3 剪力和弯矩
§ 4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§ 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§ 4-6 平面曲杆的弯曲内力材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-1 弯曲的概念和实例受力特点,
变形特点,
一、弯曲的概念以弯曲变形为主要变形的杆件称为 梁 。
① 轴线是直线的称为 直梁,轴线是曲线的称为 曲梁 。
② 有对称平面的梁称为 对称梁,没有对称平面的梁称为 非对称梁。
材料力学 第四章 弯曲内力对称弯曲,若梁上所有外力都作用在纵向对称面内,梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲 。
非对称弯曲,若梁不具有纵向对称面,或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲 。
F
q
FA FB
纵向 对称 面对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
材料力学 第四章 弯曲内力弯曲实例材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-2 受弯构件的简化梁的 计算简图,梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-2 受弯构件的简化一、梁支座的简化
a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
RF
RyF
RxF
RyF
RxF
RM
材料力学 第四章 弯曲内力二,载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
(b)分布荷载
q(x)
任意分布荷载
q
均布荷载材料力学 第四章 弯曲内力静定梁 —— 仅用静力平衡方程即可求得反力的梁 。
(a)悬臂梁 (b)简支梁 (c)外伸梁三,静定梁的基本形式超静定梁 —— 仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-3 剪力和弯矩
ASSAy 0:0 FFFFF
xFMxFMM AAC 0:0
xAF
SF
MC
F
SF
M
BF
C
ABSBSy 0:0 FFFFFFFF
xFxlFxFMxlFxFMM ABBC 0:0
Fl alF A FlaFB?
材料力学 第四章 弯曲内力
① 剪力,平行于横截面的内力符号规定：
MM MM
FS FS FSFS
② 弯矩,绕截面转动的内力符号规定：
剪力为正 剪力为负弯矩为正 弯矩为负材料力学 第四章 弯曲内力例 4-3-1 如图所示的简支梁，试求 1－ 1及 C左右截面上的内力。
解,1.求支座反力
0
3
,0)(
0,0
l
FlFFM
FFFF
BA
BAy
得 FFFF
BA 3
1,
3
2
2.求截面 1－ 1上的内力
FFF AD 32S FaaFM AD 32
材料力学 第四章 弯曲内力右左右左 ＝ CCCC MMFF,SS?
同理,对于 C左 截面：
Fl
l
FM
FFF
C
AC
9
2
33
2
3
2
S
＝左左对于 C右 截面：
3S
FFFF
AC右 Fl
lFM
AC 9
2
3右在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。
负号表示假设方向与实际方向相反。
材料力学 第四章 弯曲内力
)0(
kN29030
kN150
2
3
35.460
y
的正误或校核求也可由 BBA
BBA
AAB
FFM
FqFFFF
FqFFM
例 4-3-2 求下图所示简支梁 1-1与 2-2截面的剪力和弯矩。
21
1
2m
2
1.5m
q=12kN/m
3m1.5m 1.5m
F=8kN
A B
FA FB
解,1、求支反力材料力学 第四章 弯曲内力
mkN26)5.12(2
kN7
A1
A1S
FFM
FFF
mkN30
2
5.15.15.1
kN115.1
B2
B2S
qFM
FqF
2、计算 1-1截面的内力
3、计算 2-2截面的内力
FB
q=12kN/m
S2F
2M
F=8kN
FA
S1F
1M
材料力学 第四章 弯曲内力建议：求截面 FS和 M时，均按规定正向假设，
这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
)(
)(SS
xMM
xFF剪力、弯矩方程：
剪力、弯矩图,剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
材料力学 第四章 弯曲内力例 4-4-2 试画出如图示简支梁 AB的剪力图和弯矩图。
解,1.求支反力，由 0,0 Ax mF
得
l
FaF
l
FbF
BA,
2.列剪力、弯矩方程在 AC段内,axlFbFxF AS 0,)(1
axxlFbxFxM A 0,)(1
在 BC段内,lxalFaFxF B,)(2S
lxaxllFaxlFxM B,)(2
材料力学 第四章 弯曲内力集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。
在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。
材料力学 第四章 弯曲内力
32/3 2ql 32/3 2ql
BA
lFAY
q
FBY
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ BA MM
FAy＝ FBy＝ ql/2
2,写出剪力和弯矩方程
y
xCx
lxqxqlxF S 02/＝
lxqxq lxxM 02/2/ 2＝
FS
x
M
x
2/ql
2/ql
8/2ql
例 4-4-3 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，
并画出剪力图和弯矩图。
材料力学 第四章 弯曲内力
集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小 ;
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。
在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。
在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩 M最大值发生于 FS=0处。
在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。
总结材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系一,剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系假设：规定 q(x)向上为正,向下为负；
y
x
M F1
q(x)
A B
x dx
dx
O
材料力学 第四章 弯曲内力分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系
x
m
m
n
n
dx
y
x
xFs )()( xdFxF SS?
)()( xdMxM?
dx
m n
)(xq
m n
)(xM
0 sss dFFdxxqF qdx
dF s?
0
2
2
dMMdxxqdxFM S
SFdx
dM?
材料力学 第四章 弯曲内力
qdx MdFdxdMqdxdF Ss 2
2
0?dxdF s CFS? 剪力图是水平直线,
CdxdM? 弯矩图是斜直线,
0?dxdM CM? 弯矩图是水平直线,
qdxdF s? 剪力图是斜直线,弯矩图是二次抛物线,
dxxqdF xxFF SS
S
2
1
2
1
2
112
x
xSS dxxqFF
2
112
x
x S dxxFMM
若 x1,x2两截面间无集中力作用,则 x2截面上的 FS1等于
x1截面上的 FS1加上两截面之间分布荷载图的面积,
若 x1,x2两截面间无集中力偶作用,则 x2截面上的 M2
等于 x1截面上的 M1加上两截面之间剪力图的面积,
材料力学 第四章 弯曲内力一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置
q<0
向下的均布荷载 无荷载 集中力
F
C
集中力偶
m C
上凸的二次抛物线在 FS=0的截面一般斜直线或在 C处有突变在 C处有尖角或在剪力突变的截面在 C处无变化
C
在 C处有突变
m
在紧靠 C的某一侧截面向右下倾斜的直线
水平直线?
2,各种荷载下剪力图与弯矩图的形态,
材料力学 第四章 弯曲内力
q
c
A C D B
AF
a b
BF
l
+
-AF
BFx
+
aFA bFB
材料力学 第四章 弯曲内力突 变 规 律 (从左向右画 )
1,集中力作用处,FS图突变，方向、大小与力同； M图斜率突变，突变成的尖角与集中力 F的箭头是同向。
2,集中力偶作用处,M图发生突变，顺下逆上，大小与 M
同,FS图不发生变化。
材料力学 第四章 弯曲内力例 4-5-1 外伸梁 AB承受荷载如图所示，作该梁的 FS— M图。
解,1、求支反力
kN8.3kN2.7 BA FF
2、判断各段 FS,M图形状：
CA和 DB段,q=0,FS图为水平线,M图为斜直线。
AD段,q<0,FS 图为向下斜直线,M图为上凸抛物线。
D
A B
m1 m4 m1
kN3 kN/m2 mkN6?
C
3、先确定各分段点的 FS,
M值，用相应形状的线条连接。
FS
+_ _
3
(kN)
4.2
3.8
E
x=3.1m
FA FB
材料力学 第四章 弯曲内力
（ -）
（ +）
FAy＝ 0.89 kN
FFy＝ 1.11 kNFBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
Fs（ kN）
0.89
1.11
例 4-5-2 作图示梁的 FS— M图。
（ -）（ -）
M（ kN.m）
1.330
0.330
1.665
解,1,确定约束力材料力学 第四章 弯曲内力解,1,确定约束力
qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
qa
q
BA
D
a4a
C
例 4-5-3 作图示梁的 FS— M图。
（ +）
（ -）
（ +）
O
FS
x
O
M
x
4/9qa
4/7qa
qa
32/81 2qa
4/9a
2qa
FByFAy
材料力学 第四章 弯曲内力
m4
kN3
mkN2
kN160
A
C
D B
kN310
E
mkN40 kN40
kN130
m1 m2 m4 m2
mkN?80
F
m1
材料力学 第四章 弯曲内力
kN6
A C
D
B
mkN2
m2 m2 m2
kN6
mkN2
m2 m2 m2
材料力学 第四章 弯曲内力
A
B
a
q
q
2
qa
2
qa
a
A B
F
a a aa
2F2F
F
F
材料力学 第四章 弯曲内力改错
X
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆,轴线为平面内曲线的杆件结构。
内力符号和内力图画法约定：
（ 1）轴力,拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；
（ 2）剪力,以所考虑的一段曲杆内任一点取矩，
顺时针为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；
（ 3）弯矩,使轴线曲率增加一侧的弯矩为正，
画在曲杆受压一侧，不注明正、负号；
材料力学 第四章 弯曲内力
s inFF N
解：写出曲杆的内力方程F
R
m
m
F
NF
SF
M c o sFF S?
sinFRM?
F
NF
F
SF
FR
M
例 4-6-1 作出该曲杆的内力图。
材料力学 第四章 弯曲内力祝大家学习愉快 !
§ 4-1 弯曲的概念和实例
§ 4-2 受弯构件的简化
§ 4-3 剪力和弯矩
§ 4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§ 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
§ 4-6 平面曲杆的弯曲内力材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-1 弯曲的概念和实例受力特点,
变形特点,
一、弯曲的概念以弯曲变形为主要变形的杆件称为 梁 。
① 轴线是直线的称为 直梁,轴线是曲线的称为 曲梁 。
② 有对称平面的梁称为 对称梁,没有对称平面的梁称为 非对称梁。
材料力学 第四章 弯曲内力对称弯曲,若梁上所有外力都作用在纵向对称面内,梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲 。
非对称弯曲,若梁不具有纵向对称面,或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲 。
F
q
FA FB
纵向 对称 面对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
材料力学 第四章 弯曲内力弯曲实例材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-2 受弯构件的简化梁的 计算简图,梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
吊车大梁简化实例材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-2 受弯构件的简化一、梁支座的简化
a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
RF
RyF
RxF
RyF
RxF
RM
材料力学 第四章 弯曲内力二,载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
(b)分布荷载
q(x)
任意分布荷载
q
均布荷载材料力学 第四章 弯曲内力静定梁 —— 仅用静力平衡方程即可求得反力的梁 。
(a)悬臂梁 (b)简支梁 (c)外伸梁三,静定梁的基本形式超静定梁 —— 仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-3 剪力和弯矩
ASSAy 0:0 FFFFF
xFMxFMM AAC 0:0
xAF
SF
MC
F
SF
M
BF
C
ABSBSy 0:0 FFFFFFFF
xFxlFxFMxlFxFMM ABBC 0:0
Fl alF A FlaFB?
材料力学 第四章 弯曲内力
① 剪力,平行于横截面的内力符号规定：
MM MM
FS FS FSFS
② 弯矩,绕截面转动的内力符号规定：
剪力为正 剪力为负弯矩为正 弯矩为负材料力学 第四章 弯曲内力例 4-3-1 如图所示的简支梁，试求 1－ 1及 C左右截面上的内力。
解,1.求支座反力
0
3
,0)(
0,0
l
FlFFM
FFFF
BA
BAy
得 FFFF
BA 3
1,
3
2
2.求截面 1－ 1上的内力
FFF AD 32S FaaFM AD 32
材料力学 第四章 弯曲内力右左右左 ＝ CCCC MMFF,SS?
同理,对于 C左 截面：
Fl
l
FM
FFF
C
AC
9
2
33
2
3
2
S
＝左左对于 C右 截面：
3S
FFFF
AC右 Fl
lFM
AC 9
2
3右在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。
负号表示假设方向与实际方向相反。
材料力学 第四章 弯曲内力
)0(
kN29030
kN150
2
3
35.460
y
的正误或校核求也可由 BBA
BBA
AAB
FFM
FqFFFF
FqFFM
例 4-3-2 求下图所示简支梁 1-1与 2-2截面的剪力和弯矩。
21
1
2m
2
1.5m
q=12kN/m
3m1.5m 1.5m
F=8kN
A B
FA FB
解,1、求支反力材料力学 第四章 弯曲内力
mkN26)5.12(2
kN7
A1
A1S
FFM
FFF
mkN30
2
5.15.15.1
kN115.1
B2
B2S
qFM
FqF
2、计算 1-1截面的内力
3、计算 2-2截面的内力
FB
q=12kN/m
S2F
2M
F=8kN
FA
S1F
1M
材料力学 第四章 弯曲内力建议：求截面 FS和 M时，均按规定正向假设，
这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
)(
)(SS
xMM
xFF剪力、弯矩方程：
剪力、弯矩图,剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
材料力学 第四章 弯曲内力例 4-4-2 试画出如图示简支梁 AB的剪力图和弯矩图。
解,1.求支反力，由 0,0 Ax mF
得
l
FaF
l
FbF
BA,
2.列剪力、弯矩方程在 AC段内,axlFbFxF AS 0,)(1
axxlFbxFxM A 0,)(1
在 BC段内,lxalFaFxF B,)(2S
lxaxllFaxlFxM B,)(2
材料力学 第四章 弯曲内力集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。
在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。
材料力学 第四章 弯曲内力
32/3 2ql 32/3 2ql
BA
lFAY
q
FBY
解,1,确定约束力
00 ＝，＝ BA MM
FAy＝ FBy＝ ql/2
2,写出剪力和弯矩方程
y
xCx
lxqxqlxF S 02/＝
lxqxq lxxM 02/2/ 2＝
FS
x
M
x
2/ql
2/ql
8/2ql
例 4-4-3 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，
并画出剪力图和弯矩图。
材料力学 第四章 弯曲内力
集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小 ;
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。
在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。
在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩 M最大值发生于 FS=0处。
在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。
总结材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系一,剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系假设：规定 q(x)向上为正,向下为负；
y
x
M F1
q(x)
A B
x dx
dx
O
材料力学 第四章 弯曲内力分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系
x
m
m
n
n
dx
y
x
xFs )()( xdFxF SS?
)()( xdMxM?
dx
m n
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0 sss dFFdxxqF qdx
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0
2
2
dMMdxxqdxFM S
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材料力学 第四章 弯曲内力
qdx MdFdxdMqdxdF Ss 2
2
0?dxdF s CFS? 剪力图是水平直线,
CdxdM? 弯矩图是斜直线,
0?dxdM CM? 弯矩图是水平直线,
qdxdF s? 剪力图是斜直线,弯矩图是二次抛物线,
dxxqdF xxFF SS
S
2
1
2
1
2
112
x
xSS dxxqFF
2
112
x
x S dxxFMM
若 x1,x2两截面间无集中力作用,则 x2截面上的 FS1等于
x1截面上的 FS1加上两截面之间分布荷载图的面积,
若 x1,x2两截面间无集中力偶作用,则 x2截面上的 M2
等于 x1截面上的 M1加上两截面之间剪力图的面积,
材料力学 第四章 弯曲内力一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置
q<0
向下的均布荷载 无荷载 集中力
F
C
集中力偶
m C
上凸的二次抛物线在 FS=0的截面一般斜直线或在 C处有突变在 C处有尖角或在剪力突变的截面在 C处无变化
C
在 C处有突变
m
在紧靠 C的某一侧截面向右下倾斜的直线
水平直线?
2,各种荷载下剪力图与弯矩图的形态,
材料力学 第四章 弯曲内力
q
c
A C D B
AF
a b
BF
l
+
-AF
BFx
+
aFA bFB
材料力学 第四章 弯曲内力突 变 规 律 (从左向右画 )
1,集中力作用处,FS图突变，方向、大小与力同； M图斜率突变，突变成的尖角与集中力 F的箭头是同向。
2,集中力偶作用处,M图发生突变，顺下逆上，大小与 M
同,FS图不发生变化。
材料力学 第四章 弯曲内力例 4-5-1 外伸梁 AB承受荷载如图所示，作该梁的 FS— M图。
解,1、求支反力
kN8.3kN2.7 BA FF
2、判断各段 FS,M图形状：
CA和 DB段,q=0,FS图为水平线,M图为斜直线。
AD段,q<0,FS 图为向下斜直线,M图为上凸抛物线。
D
A B
m1 m4 m1
kN3 kN/m2 mkN6?
C
3、先确定各分段点的 FS,
M值，用相应形状的线条连接。
FS
+_ _
3
(kN)
4.2
3.8
E
x=3.1m
FA FB
材料力学 第四章 弯曲内力
（ -）
（ +）
FAy＝ 0.89 kN
FFy＝ 1.11 kNFBY
BA
1.5m1.5m1.5mF
AY
1kN.m
2kN
DC
Fs（ kN）
0.89
1.11
例 4-5-2 作图示梁的 FS— M图。
（ -）（ -）
M（ kN.m）
1.330
0.330
1.665
解,1,确定约束力材料力学 第四章 弯曲内力解,1,确定约束力
qaFqaF ByAy 4349 ＝＝,
qa
q
BA
D
a4a
C
例 4-5-3 作图示梁的 FS— M图。
（ +）
（ -）
（ +）
O
FS
x
O
M
x
4/9qa
4/7qa
qa
32/81 2qa
4/9a
2qa
FByFAy
材料力学 第四章 弯曲内力
m4
kN3
mkN2
kN160
A
C
D B
kN310
E
mkN40 kN40
kN130
m1 m2 m4 m2
mkN?80
F
m1
材料力学 第四章 弯曲内力
kN6
A C
D
B
mkN2
m2 m2 m2
kN6
mkN2
m2 m2 m2
材料力学 第四章 弯曲内力
A
B
a
q
q
2
qa
2
qa
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A B
F
a a aa
2F2F
F
F
材料力学 第四章 弯曲内力改错
X
材料力学 第四章 弯曲内力
§ 4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆,轴线为平面内曲线的杆件结构。
内力符号和内力图画法约定：
（ 1）轴力,拉伸为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；
（ 2）剪力,以所考虑的一段曲杆内任一点取矩，
顺时针为正，可画在曲杆轴线的任一侧（通常正值画在曲杆外侧），但须注明正负号；
（ 3）弯矩,使轴线曲率增加一侧的弯矩为正，
画在曲杆受压一侧，不注明正、负号；
材料力学 第四章 弯曲内力
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解：写出曲杆的内力方程F
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例 4-6-1 作出该曲杆的内力图。
材料力学 第四章 弯曲内力祝大家学习愉快 !
