第二章 光的衍射 （3）
一,选择题：
1．（D） 2．（D） 3．（A） 4．（B） 5．（C）
二,填空题：
1,15×10-2cos(6πt+1/2π) 2,2π，暗 3．36mm 4．3
参考解：
按给定条件β/α=d/a=2a/a=2
衍射包线的第一级小出现α=π，所以β=2π，而双缝干涉条纹强度极大值出现在β=mπ（m=0，1，2…），m=2，相应于第二干涉极大，但衍射包线的第一极小与干涉条纹的第二极大相重合，所以在中央衍射包线中只含干涉条纹的中央极大及两侧的第一极大，即总共含有3个明条纹。
5．（a+b）sinθ=±kλ，变小
6．(2λd)1/2
7,982
参考解：
λ/△λ=N
λ=(5896+5890)/2=5893?
△λ=5896-5890=6?
N=5893/6=982
8,相等
2πl/λ|（n0-ne）|+π
三,算题：
1．解,(1) a=λ sinφ=λ/λ=1 φ=900
(2) a=10λ sinφ=λ/10λ=0.1 φ=5044ˊ
(3) a=100λ sinφ=λ/100λ=0.01 φ=34ˊ
这说明，比值λ/a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄（其他明纹也相应地靠近中心点），衍射效应越来越不明显，（λ/a）→0的极限情形即几何光学的情形：光线沿直线传播，无衍射效应。
2．解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为,
asinθ1=λ x1=f tgθ1≈fsinθ1≈fλ/a (∵θ1很小)
单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为：
asinθ2=2λ x2=f tgθ2≈fsinθ2≈2fλ/a (∵θ2很小)
单缝衍射中央亮纹傍第一个亮纹的宽度 △x1=x2-x1=5.00mm
4．解：（1）由单缝衍射公式得 asinθ1=λ1 asinθ2=2λ2
由题意可知 θ1=θ2,sinθ1= sinθ2
代入上式可得 λ1=2λ2
（2）asinθ1=k1λ1=2k1λ2 (k1=1,2,……)
asinθ2=k2λ2 (k2=1,2,……)
对于 k2=2 k1，则 θ1=θ2，相应的两暗纹相重合。
5．解：光栅常数 d=1m/(5×10-5)= 2×10-6m
设 λ1=450nm,λ2=650nm,则根据光栅方程，λ1和λ2的第2级谱线有 dsinθ1=2λ1；dsinθ2=2λ2
根据上式得,θ1=26.74°，θ2=40.54°
第2级光谱的宽度 x2-x1=f (tgθ2-tgθ1)
∴透镜的焦距 f=100cm
6．解：由光栅公式得 sinφ=k1λ1/(a+b)= k2λ2/(a+b) k2/k1=λ1/λ2=0.688/0.447
将k2/k1约为整数比k2/k1=3/2=6/4=12/8……
取最小的k1和k2，k1= 2，k2=3，
对应的光栅常数 (a+b)= k1λ1/ sinφ=3.92μm
7．解：由光栅衍射主极大公式得dsinφ1=k1λ1
dsinφ 2=k2λ2
sinφ1/ sinφ 2=2k1/3k2
当两谱线重合时有 φ1=φ2
∴ k1/k2=3/2=6/4=9/6……
当第二次重合时 k1/k2=6/4,k1=6,k1=4
由光栅公式可知 dsin60°=6λ1 d=3.05×10-3mm
8．解：（1）由题意λ1的k级与λ2的(k+1)级谱线重合所以
dsinφ1=kλ1 dsinφ2=(k+1)λ2
∴k=2
（2）因x/f很小 tgφ1≈sinφ1≈x/f
∴d= kλ1f /x=3.05×10-3cm
9．解：（1）斜入射时的光栅方程 dsinθ-dsini= kλ,k=0,±1,±2,……
规定i从光栅G的法线n--n起，逆时针方向为正；
θ从光栅G的法线n--n起，逆时针方向为正。
（2）对应于i=30°,θ=90°,设k=kmax1,则有dsin90°-dsin30°= kmax1λ
kmax1=2.10 取整kmax1=2.
（3）对应于i=30°,θ=－90°,设k=kmax2,则有dsin(－90°)-dsin30°= kmax2λ
kmax2=－6.30 取整kmax2=－6
（4）但因d/a=3，所以，第-6，-3，……级谱线缺级。
（5）综上所述，能看到以下各级光谱线：-5，-4，-2，-1，0，1，2，共7条光谱线。
10．解：可以把这个光栅看作是N个衍射单元所组成的，每个衍射单元是由一组间隔为d的双缝组成。在衍射角为θ时，每个衍射单元的光强为
I′=4I0(sinα/α)2cos2β,其中 α=πasinθ/λ,β=πdsinθ/λ
在衍射角为θ时，N个衍射单元的多光束干涉的光强为（相邻两个衍射单元的间隔为3d）
I= I′(sinNγ/sinγ)2,其中 γ=π(3d)sinθ/λ
这块光栅的光强公式为 I=4I0(sinα/α)2cos2β(sinNγ/sinγ)2，
其中α=πasinθ/λ,β=πdsinθ/λ,γ=π(3d)sinθ/λ.
11．解：当圆孔对于P点能分成整数k个波带时，有 k=(D/2)2(1/R+1/r0)/ λ
因点光源级远，上式中R→∞，变为 k=D2/4λr0
代入数据算得 k=3
可知圆孔对P点恰可分为奇数个半波带，故P点为亮点。
12．解：设晶面间距为d；第一束X射线波长为λ1，掠射角θ1=30°，级次k1=1；另一束射线波长为λ2=0.097nm，掠射角θ2=60°，级次k2=3.
根据布拉格公式：第一束 dsinθ1=k1λ1
第二束 dsinθ2=k2λ2
两式相除得 λ1=0.168nm
四,问答题
1,答：主要是因为声波（空气中）波长为0.1米到10米的范围，而可见光波长数量级为1微米，日常生活中遇到的孔或屏的线度接近或小于声波波长，而又远大于光波波长，所以，声波衍射现象很明显，而光波的衍射现象就很难观察到。
2,答：由单缝衍射暗纹条件 sinθ=kλ/a,(k=±1,±2,……)可知，当λ/a很小的时候，k不太大的那些暗纹都密集在狭窄的中央明纹附近，以致不能分辨出条纹。
并且k很大的暗纹之间的明纹本来就弱到看不见了，不必加以考虑。这样，就观察不到衍射条纹。
3,因 k=±4的主极大出现在θ=90°的方向上，实际观察不到。
所以，可观察到的有k=0,±1,±2,±3共7条明条纹。
一,选择题：
1．（D） 2．（D） 3．（A） 4．（B） 5．（C）
二,填空题：
1,15×10-2cos(6πt+1/2π) 2,2π，暗 3．36mm 4．3
参考解：
按给定条件β/α=d/a=2a/a=2
衍射包线的第一级小出现α=π，所以β=2π，而双缝干涉条纹强度极大值出现在β=mπ（m=0，1，2…），m=2，相应于第二干涉极大，但衍射包线的第一极小与干涉条纹的第二极大相重合，所以在中央衍射包线中只含干涉条纹的中央极大及两侧的第一极大，即总共含有3个明条纹。
5．（a+b）sinθ=±kλ，变小
6．(2λd)1/2
7,982
参考解：
λ/△λ=N
λ=(5896+5890)/2=5893?
△λ=5896-5890=6?
N=5893/6=982
8,相等
2πl/λ|（n0-ne）|+π
三,算题：
1．解,(1) a=λ sinφ=λ/λ=1 φ=900
(2) a=10λ sinφ=λ/10λ=0.1 φ=5044ˊ
(3) a=100λ sinφ=λ/100λ=0.01 φ=34ˊ
这说明，比值λ/a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄（其他明纹也相应地靠近中心点），衍射效应越来越不明显，（λ/a）→0的极限情形即几何光学的情形：光线沿直线传播，无衍射效应。
2．解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为,
asinθ1=λ x1=f tgθ1≈fsinθ1≈fλ/a (∵θ1很小)
单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为：
asinθ2=2λ x2=f tgθ2≈fsinθ2≈2fλ/a (∵θ2很小)
单缝衍射中央亮纹傍第一个亮纹的宽度 △x1=x2-x1=5.00mm
4．解：（1）由单缝衍射公式得 asinθ1=λ1 asinθ2=2λ2
由题意可知 θ1=θ2,sinθ1= sinθ2
代入上式可得 λ1=2λ2
（2）asinθ1=k1λ1=2k1λ2 (k1=1,2,……)
asinθ2=k2λ2 (k2=1,2,……)
对于 k2=2 k1，则 θ1=θ2，相应的两暗纹相重合。
5．解：光栅常数 d=1m/(5×10-5)= 2×10-6m
设 λ1=450nm,λ2=650nm,则根据光栅方程，λ1和λ2的第2级谱线有 dsinθ1=2λ1；dsinθ2=2λ2
根据上式得,θ1=26.74°，θ2=40.54°
第2级光谱的宽度 x2-x1=f (tgθ2-tgθ1)
∴透镜的焦距 f=100cm
6．解：由光栅公式得 sinφ=k1λ1/(a+b)= k2λ2/(a+b) k2/k1=λ1/λ2=0.688/0.447
将k2/k1约为整数比k2/k1=3/2=6/4=12/8……
取最小的k1和k2，k1= 2，k2=3，
对应的光栅常数 (a+b)= k1λ1/ sinφ=3.92μm
7．解：由光栅衍射主极大公式得dsinφ1=k1λ1
dsinφ 2=k2λ2
sinφ1/ sinφ 2=2k1/3k2
当两谱线重合时有 φ1=φ2
∴ k1/k2=3/2=6/4=9/6……
当第二次重合时 k1/k2=6/4,k1=6,k1=4
由光栅公式可知 dsin60°=6λ1 d=3.05×10-3mm
8．解：（1）由题意λ1的k级与λ2的(k+1)级谱线重合所以
dsinφ1=kλ1 dsinφ2=(k+1)λ2
∴k=2
（2）因x/f很小 tgφ1≈sinφ1≈x/f
∴d= kλ1f /x=3.05×10-3cm
9．解：（1）斜入射时的光栅方程 dsinθ-dsini= kλ,k=0,±1,±2,……
规定i从光栅G的法线n--n起，逆时针方向为正；
θ从光栅G的法线n--n起，逆时针方向为正。
（2）对应于i=30°,θ=90°,设k=kmax1,则有dsin90°-dsin30°= kmax1λ
kmax1=2.10 取整kmax1=2.
（3）对应于i=30°,θ=－90°,设k=kmax2,则有dsin(－90°)-dsin30°= kmax2λ
kmax2=－6.30 取整kmax2=－6
（4）但因d/a=3，所以，第-6，-3，……级谱线缺级。
（5）综上所述，能看到以下各级光谱线：-5，-4，-2，-1，0，1，2，共7条光谱线。
10．解：可以把这个光栅看作是N个衍射单元所组成的，每个衍射单元是由一组间隔为d的双缝组成。在衍射角为θ时，每个衍射单元的光强为
I′=4I0(sinα/α)2cos2β,其中 α=πasinθ/λ,β=πdsinθ/λ
在衍射角为θ时，N个衍射单元的多光束干涉的光强为（相邻两个衍射单元的间隔为3d）
I= I′(sinNγ/sinγ)2,其中 γ=π(3d)sinθ/λ
这块光栅的光强公式为 I=4I0(sinα/α)2cos2β(sinNγ/sinγ)2，
其中α=πasinθ/λ,β=πdsinθ/λ,γ=π(3d)sinθ/λ.
11．解：当圆孔对于P点能分成整数k个波带时，有 k=(D/2)2(1/R+1/r0)/ λ
因点光源级远，上式中R→∞，变为 k=D2/4λr0
代入数据算得 k=3
可知圆孔对P点恰可分为奇数个半波带，故P点为亮点。
12．解：设晶面间距为d；第一束X射线波长为λ1，掠射角θ1=30°，级次k1=1；另一束射线波长为λ2=0.097nm，掠射角θ2=60°，级次k2=3.
根据布拉格公式：第一束 dsinθ1=k1λ1
第二束 dsinθ2=k2λ2
两式相除得 λ1=0.168nm
四,问答题
1,答：主要是因为声波（空气中）波长为0.1米到10米的范围，而可见光波长数量级为1微米，日常生活中遇到的孔或屏的线度接近或小于声波波长，而又远大于光波波长，所以，声波衍射现象很明显，而光波的衍射现象就很难观察到。
2,答：由单缝衍射暗纹条件 sinθ=kλ/a,(k=±1,±2,……)可知，当λ/a很小的时候，k不太大的那些暗纹都密集在狭窄的中央明纹附近，以致不能分辨出条纹。
并且k很大的暗纹之间的明纹本来就弱到看不见了，不必加以考虑。这样，就观察不到衍射条纹。
3,因 k=±4的主极大出现在θ=90°的方向上，实际观察不到。
所以，可观察到的有k=0,±1,±2,±3共7条明条纹。
