第三章系统的数学描述主要内容
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象出的线性模型系统。通常可用框图来形象地表示一个系统：
它既有输入信号（例如电压），也有输出信号
（例如位移）。
从这个框图已经可以看出：一个系统在激励下的响应事实上完全是由系统自身的结构确定的。因此,对系统的描述就成为一切控制系统分析和综合的出发点。
3.1 引言在工业控制系统中，对系统的数学描述常用的方法有两种,系统的外部描述 （输入/输出描述）和 系统的内部表示 （状态空间描述）。
? 输入/输出描述的是系统的外部特性。将系统当成一个内部结构和信息无法知道的,黑箱,，避开表征系统内部变量的动态过程，直接反映系统外部变量组间动态因果关系。在工程上简便易行，得到广泛应用；
? 状态空间描述包括了系统的内外部特性，是一种全面的描述方法。由于获得了系统的全面信息，故可设计出性能良好的系统。但在许多情况下，得到系统的状态空间描述是困难的。
3.1 引言
3.2 输入输出描述一、输入 / 输出描述系统的输入/输出描述是建立在这样的基础上的：
我们不知道系统的内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入和输出信号。此时我们可以将系统视为一个,黑箱,：
我们能做的，只是通过向该黑箱施加各种类型的输入并测量与之相应的输出，然后从这些输入/输出对中得出系统的重要特性。
3.2 输入输出描述
定义3.1,如果系统仅有一个输入端和输出端，
称为 单输入-单输出系统 。如果系统有多个输入端或多个输出端，称为 多输入-多输出系统 。
当且仅当 p = q = 1时，系统为单变量系统。
否则称为多变量系统。
p
p
Ruuuu ∈= ]...[
21
q
q
Ryyyy ∈= ]...[
21
3.2 输入输出描述在经典控制论中主要讨论的是单变量系统。而且，直观地看，多变量系统的分析和设计应较单变量系统来得困难。但事实上，无论是多变量系统还是单变量系统，其分析和控制律设计的复杂程度主要取决于我们对该系统的了解。例如，即使是如下的单变量系统：
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
][
32
2
1
3
u
asasas
k
y
p
+++
=
3.2 输入输出描述二、初始松弛的概念若系统在t
1
时刻的输出仅取决于该时刻所加的输入，即该系统为 瞬时系统 （Instantaneous System）或称为 无记忆系统 （Zero-Memory System）。如仅有电阻构成的网络属于此类系统，大多数系统是有记忆的。
在推导输入－输出描述时，在加输入之前必须假设系统是松弛的或静止的，而且输出仅仅唯一地由其后的输入所引起。将能量概念应用于系统，便可认为，若在时刻t
1
系统不存储能量，则称系统在 时刻t
1
是松弛的 。
当t
1
＝－ ∞ 时，定义：
3.2 输入输出描述定义3－1,称-∞时松弛或静止的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。
在松弛系统假定前提下，自然有：
y＝Hu （3-3）
其中，H是某一个算子或函数，它按照系统的输入u 唯一地 规定系统的输出y。式3－3也可以表示为：
y(t)=Hu(-∞,+∞ ) (3-3－1)
3.2 输入输出描述三、线性性质
1、定义3－2,一个松弛系统，当且仅当对于任何输入
u
1
和u
2
以及任何实数α
1
和α
2
均有
H(α
1
u
1
+α
2
u
2
) =α
1
Hu
1
+α
2
Hu
2
（ 3－ 4）
时，称其为线性的，否则称松弛系统为非线性的。工程文献中，通常写成：
H(u
1
+u
2
) =Hu
1
+Hu
2
（可加性） （ 3－ 5）
H(α u
1
) =α Hu
1
（齐次性） （ 3－ 6）
若一松弛系统同时具有上述两各特性，称其满足 叠加性原理。
3.2 输入输出描述注意:
1）在一般情况下，具有齐次性的系统未必意味着有可加性。
2） 可加性几乎都隐含着齐次性。
容易验证，该系统满足齐次性，但不满足可加性，因此，不是线性系统。
3）满足叠加原理是一个系统是否为线性系统的唯一判别准则。
=?
≠
=
0)1(,0
0)01(,
)1(
)(
)(
2
tuif
tuif
tu
tu
ty
3.2 输入输出描述
2、线性松弛系统的脉冲响应脉冲函数(Pulse function),
对所有的?,的面积均为1，当?趋向于零时，极限,函数,称为 脉冲函数 (Impulse function,or
Dirac function)，或简称为 δ －函数。
Δ+>
Δ+<≤
Δ
<
=?
Δ
1
11
1
1
,0
,
1
,0
)(
tt
ttt
tt
ttδ
Δ
1/
Δ
t
1
t
1
+Δ
)(
1
tt?
Δ
δ
)(lim)(
1
0
1
tttt
Δ
→Δ
δδ
3.2 输入输出描述说明：
1）δ 函数,在 t
1
时刻产生的一个作用时间无限短、幅值无穷大，且满足下式的信号。
)(
1
tt?δ
1)()(
1
1
11
=?=?
∫∫
+
+∞
∞?
dtttdttt
t
t
ε
ε
δδ
3.2 输入输出描述
2）δ 函数的重要性质:采样性。 在 t
1
连续的任意函数 f(t)，有
)()()(
11
tfdttttf =?
∫
+∞
∞?
δ
() () (0)ft tdt fδ
+∞
∞
=
∫
() ()
() () ( 1) (0)
nnn
ft tdt fδ
+∞
∞
=?
∫
)()1()()(
1
)(
1
)(
tfdttttf
nnn
=?
∫
+∞
∞?
δ
3.2 输入输出描述
δ 函数的其它性质：
)()(
11
tttt?=? δδ
)(1)( tdtt
t
=
∫
∞?
δ
)()(1
11
tttt
dt
d
=? δ
≥
=
0,0
0,1
)(1
t
t
t
其中,
(1) (1)
11
() ()tt t tδδ? =
() () ( ) ( ) ()tft f d ftδδττ?=?=
∫
() () ()tt tδ δδ? =
()
[()] 1
[()]
kk
t
ts
δ
δ
=
=
3.2 输入输出描述
3） 用 δ
Δ
(t-t
i
)近似表示信号,每一连续或分段连续的输入 u(·)均可用一系列脉冲函数来近似，如下图所示：
因此：
() () ( )
ii i
ut ut t tδ
Δ
=?Δ
() ( )
ii
i
uutttδ
Δ
Δ
∑
t
n
u(t)
Δ?
Δ
)()(
nn
tttu
δ
3、线性系统y=Hu的脉冲响应函数：
称为 系统脉冲响应函数,它的物理意义是在时刻 对松弛系统施加一个脉冲函数而得到的系统的输出。
当?趋向于零时，近似等式趋于精确相等，且和式可用积分取代。因而随着?趋向于零，上式变为：
Δ?=
Δ?=
Δ?≈=
∑
∑
∑
Δ
Δ
Δ
)()]([(
)()(
])()([
i
1
i
ii
i
i
ii
tuttH
tuttH
tuttHHuy
δ
δ
δ
齐次性）
（可加性）
τττδ dutHy )(])([
∫
+∞
∞?
=
)( τδ?tH
τ
3.2 输入输出描述脉冲响应又可表示为下列双变量的函数：
),()( ττδ?=? gtH
g是一个双变量函数，其中第二个变量τ表示δ
函数加于系统的时刻，而第一个变量是观测输出的时刻。g( ·,τ)是脉冲函数引起的响应，故称其为系统的脉冲响应。系统在时刻t的输出为
（3－11）
τττ dutgty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
3.2 输入输出描述
4、脉冲响应矩阵,若一个初始松弛的线性系统，
具有 p 个输入端和 q 个输出端，则（3 —11）式可相应地推广为：
其中,
g
ij
(t,τ)是第i个输出端在时刻t的响应，它是由在时刻 τ加于第j个输入端的脉冲函数所引起的。这时认为其它输入端的输入为零，或等价地说 g
ij
(t,τ)是第
i个输出端对第j个输入端的脉冲响应，因此 G称为系统的脉冲响应矩阵 。
（ t,
=
),(),),(
),(),(),(
),(),(),(
),(
21
22221
11211
τττ
τττ
τττ
τ
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
tG
qpqq
p
p
（
nullnullnull
τττ dutGty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
若系统在时刻 t 的输出不取决于 t 之后的输入，而只取决于时刻 t 和在 t 之前的输入则称系统是 因果的 或 非预期的 。
任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说，任何实际物理过程，结果总不会在引起这种结果的的原因发生之前产生，即未来的输入（原因）对过去和现在的输出（结果）无影响。
四、因果律
2,具有线性和因果性的松弛系统,当且仅当所有
τ及t<τ，均有时，线性系统才有因果律。因而，线性和因果性的松弛系统的输入 —输出描述为：
0),( =τtG
τττ dutGty
t
)(),()(
∫
∞?
=
1,有因果性的松弛系统,其输入和输出的关系可以写成即,t 时刻的输出只取决于 t 和在 t 之前的输入。
),(
)(
t
Huty
∞
=
1,t
0
时刻松弛系统的定义(3-3)：
五、松弛性当且仅当系统输出y(t
0
，∞)唯一地由u(t
0
，∞)
所激励时，称系统在时刻t
0
是松弛的。
若已知系统在 t
0
时松弛，则其输入 —输出关系可以写成若系统同时为线性系统，则上式可表示为：
),(),(
00
∞+∞
=
tt
Huy
0
)(),()(
0
tdutGty
t
>=
∫
+∞
ττττ
若系统即是线性的又是因果率的松弛系统，则上式可表示为：
0
)(),()(
0
tdutGty
t
t
>=
∫
ττττ
定理3-1,由 描述的系统，当且仅当u
[t0,∞)
≡0隐含有y
[t0,∞)
= 0时，则该系统在t
0
是松弛的。
证明：
必要性,设系统在时刻t
0
松弛，则对于t≧t
0
,输出y(t)
为：
因此，若 u
[t0,∞ )
≡ 0必有 y
[t0,∞ )
=0。
τττ dutGty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
∫
∞
=
0
)(),()(
t
dutGty τττ
充分性：
假定u
[t0,∞)
≡0必有y
[t0,∞)
≡ 0，则有：
这意味 u
[－∞,t0)
对输出y(t)(t>t
0
)的影响为零，因此系统在时刻t
0
是松弛的。
定理3－1表明，若一个系统是线性系统，为了确定其是否在 t
0
时刻松弛，无须知道系统 t
0
时刻以前的历史。
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+==
0
0
)(),()(),()(),()(
t
t
dutGdutGdutGty τττττττττ
0)(),(
0
=
∫
∞?
t
dutG τττ
推理3-1,若系统的脉冲响应矩阵G(t,τ)可以分解为
G(t,τ )=M(t)N(τ)，且 M中每一元素在 (－∞,∞ )上是解析的,则当且仅当对于某一固定的正ε，
u
(t0,t0+ε)
≡ 0隐含有y
(t0,t0+ε)
≡ 0时，系统在 t
0
时刻才是松弛的。
注：由于 ε只是一个固定的正数，故推论较定理3-1在工程意义上更可以操作。若在该区间系统输出为零，则系统在该瞬时是松弛的。
注,实变量解析函数与复变量解析函数的区别,若 f(t)是一个复变函数，只要 f(t)具有一阶连续导数，则 f(t)必具有任意阶的连续导数，因而必定就是解析函数。但实变量解析函数则不同，即使一个实变量函数具有连续的一阶导数，其二阶导数也不一定存在，即使存在也不一定连续。
六、时不变性如果一个 系统的特性 不随时间而变化，则称系统是时不变的。确切地说，一个松弛的时不变线性系统具有这样的特性：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟 α 秒，且波形不变。
uy
t
u
y
t
t
α
α
t
首先介绍位移算子 Q
α
的概念。
位移算子 Q
α
的作用效果如下图所示。经 Q
α
作用后的输出等于延迟了 α 秒的输入（输入和输出的波形一样，但输出延迟了 α 秒。
1,位移算子和时不变系统的定义
u
t
α
t
:=Qu u
α
用数学式子可表示为：
() ()=ut Qut
α
即对任意的 t，有
() ()()=? +=uut ut utαα或成立(见以下的示意图）。
u
t
α
t
:=Qu u
α
()ut
()+ut α
定义3 —4 松弛系统称为时不变的，当且仅当对于任何输入 u 和任何实数 α,有
118=?（）QHu HQu
αα
成立。否则称为时变的。
这个定义恰恰反映了一个松弛的时不变线性系统的特性：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟
α 秒。
定义的含义是 若输入位移 α 秒，输出波形保持不变只是位移了 α 秒。 换句话说，不管在任何时刻对时不变松弛系统施加输入，输出波形总是相同的。
2,时不变、线性、松弛系统的脉冲响应函数对线性松弛系统，若又具有时不变性，这时的脉冲响应函数仅仅取决于加脉冲时刻 τ 和观测时刻 t 之差，
实际上，根据时不变性与线性有：
即：
)0,()(),( ττδτ?=?= tgtHtg
),())((
)()(),(
ατατδ
τδτδτ
+?=+?=
=?=?
gtH
tHQtHQgQ
aaa
),(),(
),(),(
ατατ
αττ
α
++=
+?=?
tgtg
ggQ
即：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟 α秒。
上式左边说明，系统的脉冲作用时刻 τ,观测时刻为
t；而左边等于右边表明，对时不变系统来说，其脉冲响应仅仅取决于观测时刻 t 与脉冲作用时刻 τ 的差。
特别，如取α＝－τ就可得为了方便起见，今后把 记为 。
(,) (,0)gt gtτ τ=?
)0,( τ?tg
)( τ?tg
(,) (,0) ( )gt gt gtτ ττ=?=?
3,推广到多变量系统对于所有的 t 和 τ 有因而具有线性、时不变性，在 t
0
时刻松驰的因果系统，其输入一输出对满足在时不变的情况下，不失一般性，总可以选零作为初始时刻 t
0
，即 t
0
=0是开始研究系统或开始向系统提供输入u的时刻，这时上式就变成下列卷积积分的形式：
)()0,(),( τττ?=?= tGtGtG
∫
=
t
t
dutGty
0
)()()( τττ
∫∫
=?=
tt
dtuGdutGty
00
)()()()()( ττττττ
由拉氏变换(拉普拉斯变换)的卷积定理，可得式中：
是脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换，称为系统的 传递函数阵 。 本教材中所讨论的传递函数阵，其元素都是 s
的有理函数，这样的传递函数阵称为有理函数矩阵。
七、传递函数阵
1,传递函数阵,对以下时不变系统进行拉氏变换：
∫
=
t
dutGty
0
)()()( τττ
∫
∞
∧
==
0
)()]([)( dtetytyLsy
st
∧∧∧
= )()()( susGsy
∫
∞
∧
=
0
)()( dtetGsG
st
时松弛0
|
)(
)(
)(
=
∧
∧
∧
=
t
su
sy
sG
注：每当应用传递函数时，总是暗指系统在t＝0时松弛。
2,正则与严格正则,通常总假定 G( s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。
定义：若 g(∞ )是有限常量 (零或非零 )，则称有理函数
g(s)是正则的。若 g(∞ )＝ 0，则称 g(s)是严格正则的。
若 G(∞ )是有限 (零或非零 )常量矩阵，则称有理函数
G(s)是正则的。若 G(∞ )＝ 0，则称 G(s)是严格正则的。
对于有理函数矩阵，当且仅当其所有元素是正则时，有理矩阵才是正则的。
若传递函数非正则，高频噪声将会大幅度被放大以致淹没载息信号。因此，非正则有理函数难于得到实际应用，通常研究的是正则有理函数和正则有理矩阵。
t
0
松弛：
0
[,) 0
() [,)
+∞
= ∈+∞
t
yt Hu t t
+ 线性
0
0
() (,) ( )
+∞
= ≥
∫
t
yt Gt u d t tτττ
+ 因果性
+ 时不变性
0
0
() (,)()
(,) 0
= ≥
=<
∫
t
t
yt Gt u d t t
Gt t
τττ
ττ
0
0
() ( )()=?≥
∫
t
t
yt Gt u d t tτττ
3－1 小 结
g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。
t
0
=0
0
() ( )() 0=?≥
∫
t
yt Gt u d tτττ
Laplace变换
() () ()=ys Gsus
单入、单出
() () ()=ys gsus
0
() ( ) ( ) 0
t
yt gt u d tτττ=?≥
∫
上面我们对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。
以上的初始松弛、线性、因果性、时不变性等假设都具有公理的性质，即它们是由一些不争的事实构成的。因此，由以上假设得到的系统描述又称为系统的 公理化 描述。
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统线性系统理论研究对象是由物理系统中抽象出的线性模型系统。通常可用框图来形象地表示一个系统：
它既有输入信号（例如电压），也有输出信号
（例如位移）。
从这个框图已经可以看出：一个系统在激励下的响应事实上完全是由系统自身的结构确定的。因此,对系统的描述就成为一切控制系统分析和综合的出发点。
3.1 引言在工业控制系统中，对系统的数学描述常用的方法有两种,系统的外部描述 （输入/输出描述）和 系统的内部表示 （状态空间描述）。
? 输入/输出描述的是系统的外部特性。将系统当成一个内部结构和信息无法知道的,黑箱,，避开表征系统内部变量的动态过程，直接反映系统外部变量组间动态因果关系。在工程上简便易行，得到广泛应用；
? 状态空间描述包括了系统的内外部特性，是一种全面的描述方法。由于获得了系统的全面信息，故可设计出性能良好的系统。但在许多情况下，得到系统的状态空间描述是困难的。
3.1 引言
3.2 输入输出描述一、输入 / 输出描述系统的输入/输出描述是建立在这样的基础上的：
我们不知道系统的内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入和输出信号。此时我们可以将系统视为一个,黑箱,：
我们能做的，只是通过向该黑箱施加各种类型的输入并测量与之相应的输出，然后从这些输入/输出对中得出系统的重要特性。
3.2 输入输出描述
定义3.1,如果系统仅有一个输入端和输出端，
称为 单输入-单输出系统 。如果系统有多个输入端或多个输出端，称为 多输入-多输出系统 。
当且仅当 p = q = 1时，系统为单变量系统。
否则称为多变量系统。
p
p
Ruuuu ∈= ]...[
21
q
q
Ryyyy ∈= ]...[
21
3.2 输入输出描述在经典控制论中主要讨论的是单变量系统。而且，直观地看，多变量系统的分析和设计应较单变量系统来得困难。但事实上，无论是多变量系统还是单变量系统，其分析和控制律设计的复杂程度主要取决于我们对该系统的了解。例如，即使是如下的单变量系统：
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
][
32
2
1
3
u
asasas
k
y
p
+++
=
3.2 输入输出描述二、初始松弛的概念若系统在t
1
时刻的输出仅取决于该时刻所加的输入，即该系统为 瞬时系统 （Instantaneous System）或称为 无记忆系统 （Zero-Memory System）。如仅有电阻构成的网络属于此类系统，大多数系统是有记忆的。
在推导输入－输出描述时，在加输入之前必须假设系统是松弛的或静止的，而且输出仅仅唯一地由其后的输入所引起。将能量概念应用于系统，便可认为，若在时刻t
1
系统不存储能量，则称系统在 时刻t
1
是松弛的 。
当t
1
＝－ ∞ 时，定义：
3.2 输入输出描述定义3－1,称-∞时松弛或静止的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。
在松弛系统假定前提下，自然有：
y＝Hu （3-3）
其中，H是某一个算子或函数，它按照系统的输入u 唯一地 规定系统的输出y。式3－3也可以表示为：
y(t)=Hu(-∞,+∞ ) (3-3－1)
3.2 输入输出描述三、线性性质
1、定义3－2,一个松弛系统，当且仅当对于任何输入
u
1
和u
2
以及任何实数α
1
和α
2
均有
H(α
1
u
1
+α
2
u
2
) =α
1
Hu
1
+α
2
Hu
2
（ 3－ 4）
时，称其为线性的，否则称松弛系统为非线性的。工程文献中，通常写成：
H(u
1
+u
2
) =Hu
1
+Hu
2
（可加性） （ 3－ 5）
H(α u
1
) =α Hu
1
（齐次性） （ 3－ 6）
若一松弛系统同时具有上述两各特性，称其满足 叠加性原理。
3.2 输入输出描述注意:
1）在一般情况下，具有齐次性的系统未必意味着有可加性。
2） 可加性几乎都隐含着齐次性。
容易验证，该系统满足齐次性，但不满足可加性，因此，不是线性系统。
3）满足叠加原理是一个系统是否为线性系统的唯一判别准则。
=?
≠
=
0)1(,0
0)01(,
)1(
)(
)(
2
tuif
tuif
tu
tu
ty
3.2 输入输出描述
2、线性松弛系统的脉冲响应脉冲函数(Pulse function),
对所有的?,的面积均为1，当?趋向于零时，极限,函数,称为 脉冲函数 (Impulse function,or
Dirac function)，或简称为 δ －函数。
Δ+>
Δ+<≤
Δ
<
=?
Δ
1
11
1
1
,0
,
1
,0
)(
tt
ttt
tt
ttδ
Δ
1/
Δ
t
1
t
1
+Δ
)(
1
tt?
Δ
δ
)(lim)(
1
0
1
tttt
Δ
→Δ
δδ
3.2 输入输出描述说明：
1）δ 函数,在 t
1
时刻产生的一个作用时间无限短、幅值无穷大，且满足下式的信号。
)(
1
tt?δ
1)()(
1
1
11
=?=?
∫∫
+
+∞
∞?
dtttdttt
t
t
ε
ε
δδ
3.2 输入输出描述
2）δ 函数的重要性质:采样性。 在 t
1
连续的任意函数 f(t)，有
)()()(
11
tfdttttf =?
∫
+∞
∞?
δ
() () (0)ft tdt fδ
+∞
∞
=
∫
() ()
() () ( 1) (0)
nnn
ft tdt fδ
+∞
∞
=?
∫
)()1()()(
1
)(
1
)(
tfdttttf
nnn
=?
∫
+∞
∞?
δ
3.2 输入输出描述
δ 函数的其它性质：
)()(
11
tttt?=? δδ
)(1)( tdtt
t
=
∫
∞?
δ
)()(1
11
tttt
dt
d
=? δ
≥
=
0,0
0,1
)(1
t
t
t
其中,
(1) (1)
11
() ()tt t tδδ? =
() () ( ) ( ) ()tft f d ftδδττ?=?=
∫
() () ()tt tδ δδ? =
()
[()] 1
[()]
kk
t
ts
δ
δ
=
=
3.2 输入输出描述
3） 用 δ
Δ
(t-t
i
)近似表示信号,每一连续或分段连续的输入 u(·)均可用一系列脉冲函数来近似，如下图所示：
因此：
() () ( )
ii i
ut ut t tδ
Δ
=?Δ
() ( )
ii
i
uutttδ
Δ
Δ
∑
t
n
u(t)
Δ?
Δ
)()(
nn
tttu
δ
3、线性系统y=Hu的脉冲响应函数：
称为 系统脉冲响应函数,它的物理意义是在时刻 对松弛系统施加一个脉冲函数而得到的系统的输出。
当?趋向于零时，近似等式趋于精确相等，且和式可用积分取代。因而随着?趋向于零，上式变为：
Δ?=
Δ?=
Δ?≈=
∑
∑
∑
Δ
Δ
Δ
)()]([(
)()(
])()([
i
1
i
ii
i
i
ii
tuttH
tuttH
tuttHHuy
δ
δ
δ
齐次性）
（可加性）
τττδ dutHy )(])([
∫
+∞
∞?
=
)( τδ?tH
τ
3.2 输入输出描述脉冲响应又可表示为下列双变量的函数：
),()( ττδ?=? gtH
g是一个双变量函数，其中第二个变量τ表示δ
函数加于系统的时刻，而第一个变量是观测输出的时刻。g( ·,τ)是脉冲函数引起的响应，故称其为系统的脉冲响应。系统在时刻t的输出为
（3－11）
τττ dutgty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
3.2 输入输出描述
4、脉冲响应矩阵,若一个初始松弛的线性系统，
具有 p 个输入端和 q 个输出端，则（3 —11）式可相应地推广为：
其中,
g
ij
(t,τ)是第i个输出端在时刻t的响应，它是由在时刻 τ加于第j个输入端的脉冲函数所引起的。这时认为其它输入端的输入为零，或等价地说 g
ij
(t,τ)是第
i个输出端对第j个输入端的脉冲响应，因此 G称为系统的脉冲响应矩阵 。
（ t,
=
),(),),(
),(),(),(
),(),(),(
),(
21
22221
11211
τττ
τττ
τττ
τ
tgtgtg
tgtgtg
tgtgtg
tG
qpqq
p
p
（
nullnullnull
τττ dutGty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
若系统在时刻 t 的输出不取决于 t 之后的输入，而只取决于时刻 t 和在 t 之前的输入则称系统是 因果的 或 非预期的 。
任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说，任何实际物理过程，结果总不会在引起这种结果的的原因发生之前产生，即未来的输入（原因）对过去和现在的输出（结果）无影响。
四、因果律
2,具有线性和因果性的松弛系统,当且仅当所有
τ及t<τ，均有时，线性系统才有因果律。因而，线性和因果性的松弛系统的输入 —输出描述为：
0),( =τtG
τττ dutGty
t
)(),()(
∫
∞?
=
1,有因果性的松弛系统,其输入和输出的关系可以写成即,t 时刻的输出只取决于 t 和在 t 之前的输入。
),(
)(
t
Huty
∞
=
1,t
0
时刻松弛系统的定义(3-3)：
五、松弛性当且仅当系统输出y(t
0
，∞)唯一地由u(t
0
，∞)
所激励时，称系统在时刻t
0
是松弛的。
若已知系统在 t
0
时松弛，则其输入 —输出关系可以写成若系统同时为线性系统，则上式可表示为：
),(),(
00
∞+∞
=
tt
Huy
0
)(),()(
0
tdutGty
t
>=
∫
+∞
ττττ
若系统即是线性的又是因果率的松弛系统，则上式可表示为：
0
)(),()(
0
tdutGty
t
t
>=
∫
ττττ
定理3-1,由 描述的系统，当且仅当u
[t0,∞)
≡0隐含有y
[t0,∞)
= 0时，则该系统在t
0
是松弛的。
证明：
必要性,设系统在时刻t
0
松弛，则对于t≧t
0
,输出y(t)
为：
因此，若 u
[t0,∞ )
≡ 0必有 y
[t0,∞ )
=0。
τττ dutGty )(),()(
∫
+∞
∞?
=
∫
∞
=
0
)(),()(
t
dutGty τττ
充分性：
假定u
[t0,∞)
≡0必有y
[t0,∞)
≡ 0，则有：
这意味 u
[－∞,t0)
对输出y(t)(t>t
0
)的影响为零，因此系统在时刻t
0
是松弛的。
定理3－1表明，若一个系统是线性系统，为了确定其是否在 t
0
时刻松弛，无须知道系统 t
0
时刻以前的历史。
∫∫∫
+∞
∞?
+∞
∞?
+==
0
0
)(),()(),()(),()(
t
t
dutGdutGdutGty τττττττττ
0)(),(
0
=
∫
∞?
t
dutG τττ
推理3-1,若系统的脉冲响应矩阵G(t,τ)可以分解为
G(t,τ )=M(t)N(τ)，且 M中每一元素在 (－∞,∞ )上是解析的,则当且仅当对于某一固定的正ε，
u
(t0,t0+ε)
≡ 0隐含有y
(t0,t0+ε)
≡ 0时，系统在 t
0
时刻才是松弛的。
注：由于 ε只是一个固定的正数，故推论较定理3-1在工程意义上更可以操作。若在该区间系统输出为零，则系统在该瞬时是松弛的。
注,实变量解析函数与复变量解析函数的区别,若 f(t)是一个复变函数，只要 f(t)具有一阶连续导数，则 f(t)必具有任意阶的连续导数，因而必定就是解析函数。但实变量解析函数则不同，即使一个实变量函数具有连续的一阶导数，其二阶导数也不一定存在，即使存在也不一定连续。
六、时不变性如果一个 系统的特性 不随时间而变化，则称系统是时不变的。确切地说，一个松弛的时不变线性系统具有这样的特性：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟 α 秒，且波形不变。
uy
t
u
y
t
t
α
α
t
首先介绍位移算子 Q
α
的概念。
位移算子 Q
α
的作用效果如下图所示。经 Q
α
作用后的输出等于延迟了 α 秒的输入（输入和输出的波形一样，但输出延迟了 α 秒。
1,位移算子和时不变系统的定义
u
t
α
t
:=Qu u
α
用数学式子可表示为：
() ()=ut Qut
α
即对任意的 t，有
() ()()=? +=uut ut utαα或成立(见以下的示意图）。
u
t
α
t
:=Qu u
α
()ut
()+ut α
定义3 —4 松弛系统称为时不变的，当且仅当对于任何输入 u 和任何实数 α,有
118=?（）QHu HQu
αα
成立。否则称为时变的。
这个定义恰恰反映了一个松弛的时不变线性系统的特性：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟
α 秒。
定义的含义是 若输入位移 α 秒，输出波形保持不变只是位移了 α 秒。 换句话说，不管在任何时刻对时不变松弛系统施加输入，输出波形总是相同的。
2,时不变、线性、松弛系统的脉冲响应函数对线性松弛系统，若又具有时不变性，这时的脉冲响应函数仅仅取决于加脉冲时刻 τ 和观测时刻 t 之差，
实际上，根据时不变性与线性有：
即：
)0,()(),( ττδτ?=?= tgtHtg
),())((
)()(),(
ατατδ
τδτδτ
+?=+?=
=?=?
gtH
tHQtHQgQ
aaa
),(),(
),(),(
ατατ
αττ
α
++=
+?=?
tgtg
ggQ
即：输入信号延迟 α 秒，其响应也恰好延迟 α秒。
上式左边说明，系统的脉冲作用时刻 τ,观测时刻为
t；而左边等于右边表明，对时不变系统来说，其脉冲响应仅仅取决于观测时刻 t 与脉冲作用时刻 τ 的差。
特别，如取α＝－τ就可得为了方便起见，今后把 记为 。
(,) (,0)gt gtτ τ=?
)0,( τ?tg
)( τ?tg
(,) (,0) ( )gt gt gtτ ττ=?=?
3,推广到多变量系统对于所有的 t 和 τ 有因而具有线性、时不变性，在 t
0
时刻松驰的因果系统，其输入一输出对满足在时不变的情况下，不失一般性，总可以选零作为初始时刻 t
0
，即 t
0
=0是开始研究系统或开始向系统提供输入u的时刻，这时上式就变成下列卷积积分的形式：
)()0,(),( τττ?=?= tGtGtG
∫
=
t
t
dutGty
0
)()()( τττ
∫∫
=?=
tt
dtuGdutGty
00
)()()()()( ττττττ
由拉氏变换(拉普拉斯变换)的卷积定理，可得式中：
是脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换，称为系统的 传递函数阵 。 本教材中所讨论的传递函数阵，其元素都是 s
的有理函数，这样的传递函数阵称为有理函数矩阵。
七、传递函数阵
1,传递函数阵,对以下时不变系统进行拉氏变换：
∫
=
t
dutGty
0
)()()( τττ
∫
∞
∧
==
0
)()]([)( dtetytyLsy
st
∧∧∧
= )()()( susGsy
∫
∞
∧
=
0
)()( dtetGsG
st
时松弛0
|
)(
)(
)(
=
∧
∧
∧
=
t
su
sy
sG
注：每当应用传递函数时，总是暗指系统在t＝0时松弛。
2,正则与严格正则,通常总假定 G( s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。
定义：若 g(∞ )是有限常量 (零或非零 )，则称有理函数
g(s)是正则的。若 g(∞ )＝ 0，则称 g(s)是严格正则的。
若 G(∞ )是有限 (零或非零 )常量矩阵，则称有理函数
G(s)是正则的。若 G(∞ )＝ 0，则称 G(s)是严格正则的。
对于有理函数矩阵，当且仅当其所有元素是正则时，有理矩阵才是正则的。
若传递函数非正则，高频噪声将会大幅度被放大以致淹没载息信号。因此，非正则有理函数难于得到实际应用，通常研究的是正则有理函数和正则有理矩阵。
t
0
松弛：
0
[,) 0
() [,)
+∞
= ∈+∞
t
yt Hu t t
+ 线性
0
0
() (,) ( )
+∞
= ≥
∫
t
yt Gt u d t tτττ
+ 因果性
+ 时不变性
0
0
() (,)()
(,) 0
= ≥
=<
∫
t
t
yt Gt u d t t
Gt t
τττ
ττ
0
0
() ( )()=?≥
∫
t
t
yt Gt u d t tτττ
3－1 小 结
g(s)为有理函数，即是经典控制理论中研究的模型。
t
0
=0
0
() ( )() 0=?≥
∫
t
yt Gt u d tτττ
Laplace变换
() () ()=ys Gsus
单入、单出
() () ()=ys gsus
0
() ( ) ( ) 0
t
yt gt u d tτττ=?≥
∫
上面我们对输入、输出描述中的常用概念作了精确、系统的介绍。
以上的初始松弛、线性、因果性、时不变性等假设都具有公理的性质，即它们是由一些不争的事实构成的。因此，由以上假设得到的系统描述又称为系统的 公理化 描述。
