第八章线性系统的稳定性分析
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1,高为炳编著,运动稳定性基础，高等教育出版社,1987 年5月
2,黄琳：稳定性理论，北京大学出版社,1992
年7月
3,秦元勋、王慕秋、王联：
运动稳定性理论与应用,科学出版社,1980年
4,王柔怀、伍卓群编：
常微分方程讲义,人民教育出版社,1978年5月
5,黄琳：稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社，
2003年2月参考书
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3
6.LaSalle,J,P.,Stability by Lyapunov direct method,
New York,Academic Press,1961.
7.Hahn,W.,Stability of motion,New York,Springer-
Verlag,1967.
8.Desoer,C.A,and Vidyasagar,M.,Feedback
systems,Input-output properties,New York,
Academic Press,1975.
9.线性系统理论（第2版）清华大学出版社郑大中
10.线性系统理论与设计科学出版社陈启宗
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任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。
此外，我们知道，描述系统的数学模型，
绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，
或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。
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预备知识:微分方程解的存在性及唯一性条件、
解对初值的连续依赖性。
1,微分方程解的表示。考虑微分方程：
00
(,)()
()
Exfxt
xtx
=
=
&
其解x(t) 是自变量t 的函数，而t0,x0 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值t0、x0 的函数,可记为 x(t,t0,x0)
例如
000 00(,,)()t ttxxxxttxextex=?===&
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6
问题：当初值变动时，对应的解如何变动？
在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
00
12
12
(,),(),
(,)(,)
(,):,IWR
xfxtxtx
ttt
ttx
==
∈∞+∞
=∈?
&
2,Lipschitz条件：
(,)fxt ×的定义域记为 。WI
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若存在一个常数L，使得对任何 都有,,∈∈IWtxy
(,)(,)fxtfytLxy?≤?
则称f 在 上满足Lipschitz条件。这个定义可以推广到W为任意有限n维空间的情形。
×WI
注：满足Lipschitz条件可保证微分方程解的存在性和唯一性。
3,解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性
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定理1（解的存在性及唯一性定理）：对于微分方程若f (x,t) 在W×I域内连续且满足Lipschitz条件，则对任意的初始条件
x(x0,t0)∈W×I，
总存在常数a>0，使得有唯一解
x=x(t,t0,x0)
在[t0?a,t0+a]上存在、对t 连续，且满足初始条件
x(t0)=x0。
稳定性的核心是研究解的渐近性质，即当解x(t)
在t→∞时的性状。故总假定在[t0,∞) 上解是存在的。
(,)xfxt=&
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定理2（解对初值的连续依赖性）：在定理1的条件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz条件，
则微分方程的解x(t,t0,x0) 作为t,t0,x0的函数在它的存在范围内是连续的,即
e >0,?d >0,使得当‖x (t0)?y (t0)‖<d时,有
‖x(t,t0,x(t0))?y (t,t0,y(t0))‖<e,
a≤t≤b,a≤t0≤b
以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和y (t0)十分接近，则在定义域[a,b]内的解x (t)和y (t)也会十分接近。
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§8-1 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间[t0,∞)满足存在和唯一性条件。
一、平衡状态的稳定性
1.平衡状态考虑系统：
(,),nxfxtx=∈R&
若随着时间t 的变化，状态x=xe保持不变（即恒为常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程
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的一个解，即 的解。(,)0=efxt
2,简化的平衡状态
()0A==&考虑微分方程,显然是它的一个解并且是它的一个平衡状态。
extxx例：
在初始时刻t0 时,干扰引起的状态向量x0 与平衡状态xe 之差
00eyxx=?
称为初始扰动向量。由x0 所决定的运动过程是
(,)xfxt=&
00()(,,)xtxttx=的解,称为，记为 。运动被扰由于平衡状态和被扰运动均为微分方程
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(,)xftx=& 的解。由此可导出扰动向量
ex称为关于平衡状态 的扰动方程，即
(,)yGyt=&
(,)(0,)0GytGt≡其中,满足 。这是因为
(0,)(,)0eGtfxt=≡
(),eytxx=?
应服从微分方程
()(,)(,):(,)eeddyxxfxtfyxtGytdtdt=?==+=
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满足
F(0,t)=0 (8-2)
(,)xxt= F& (8-1)
因此，在下面考虑一般的时变、非线性、多变量系统时，我们总假定它的微分方程其中x为n 维向量，F(x,t)为n 维的函数向量。这时方程（8-1）有解x=0 (满足x(t0)= 0),称为（8-1）
的显然解或零解。
在以下讨论平衡状态的稳定性时，只需要讨论零解这个平衡状态的稳定性就可以了。
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设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态x=0。若初始扰动为x(t0)=x0，显然在这个初始扰动作用下，方程（8-1）所决定的运动是下列初值问题
00()(,,)= 。xtxttx的解。将这个解表示为
00()xtx=(,)Fxxt=&
3,李雅普诺夫稳定性的定义考虑微分方程例：
4xx=&
0=显然，是它的一个平衡状态。现若有初始扰动ex
x(0)=0.001，
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15
可见，即使初始值微小地偏离了平衡状态，且在任意有限的时间内其解有界，但最终将发散。
40.001,0txet=≥
则其解为考虑微分方程例：
4xx=?&
0=显然是它的一个平衡状态。现若有初始扰动ex
(0)=100x
则其解为
4100,0txet?=≥
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事实上无论初始扰动多么大，最终将收敛到平衡状态。
以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳定的例子。从第一个例子还可以看到，尽管在任意有限的时间内解是有界的，但若讨论时间趋于无穷
(或在工程上，当时间“很长”）时系统的行为，则这种发散的特性就是完全不能接受的了。
Lyapunov稳定性就是要研究微分方程的解在
t∈[t0，+∞）上的有界性。
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根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0)
偏离x=0（平衡状态）也可以任意小。现在要研究这一性质是否对[t0,+∞)均成立。
定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) ‖＜d (t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
成立。则称系统关于平衡状态（或原点）x=0 是
（i.s.L.李雅普诺夫意义下）稳定的。
定义8-2 若定义8-1中的d =d(e)，即d与t0 无关(关于t0 一致)，则称所定义的稳定为一致稳定。
‖x(t0)?0‖
‖x(t,t0,x0)?0‖＜e
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定义8-1（李雅普诺夫意义下稳定）的图示：
e
d
tt0
1,此处d随着e、t0而变化；
2.‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当
‖x(t0) ‖＜d (t0,e)
时有 ‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0 成立初值变化充分小时，解的变化( t≥t0)可任意小(不是无变化)；3.显然，d (t0,e)≤ e。
x(t0)
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19
e
d(t0,e)
x0
x(t)
定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) ‖＜d (t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
李雅普诺夫意义下稳定
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例：讨论下列系统的稳定性和一致稳定性：
11
00xx
=
&
其解为：
00()()11020
2200
()()(1)()
()(),
t ttxtextext
xtxttt
=+?
=?≥
00,(t>=任给取与无关），则只要ede
10201020()()()2()xtxtxtxt+≤+<=，de
1这里，取为向量范数。
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21
0t=故系统是(李氏）稳定的。又由于,即与 无关，系统还是一致稳定的。
de
就有
00()()12102020
10200
()()()[1]()()
()2()
t ttxtxtextextxt
xtxttt
+≤+?+
≤+<?≥，e
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关于不稳定的定义：
定义8-3：若对任意给定的e＞0，无论d多么小，总可以找到满足‖x(t0) ‖＜d的某一初值x0，使得从它出发的运动轨线x(t,t0,x0) 在某一时刻t1>t0，有‖x(t,t0,x0) ‖=
e，则称系统(8-1)的零解是不稳定的。
x(t0)
e
d
tt0 t1
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定义8-4 若(a) x=0是稳定的。(b)存在d(t0)>0，使得对任意的e＞0，存在T(e,t0,x0),当‖x(t0) ‖＜ d(t0)，
t > t0 + T(e,t0,x0)时，有‖x(t,t0,x0) ‖＜ e 。则称x=0
为渐近稳定。
t0
d(t0)
e
t0 + T(e,t0,x0)
1.此处d(t0)是固定的一个范围(称为吸引区，不是任意小的；T 称为吸引时间或衰减时间)；
2.‖x(t,t0,x0) ‖＜e，t > t0 + T(e,t0,x0)
(a) x=0是稳定的,x在t > t0的行为已决定
(b) 是t 充分大时的性质。
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讨论：
1) 定义8-4的第二部分(b)又称为关于零解是吸引的。
它反映的是解的渐近性质。可以将(b)改成：
存在d(t0)>0，使得‖x(t0) ‖＜d(t0) 蕴涵
00lim(,,)0→∞ =t xttx
2) 稳定和吸引（即(a)和(b)）是相互独立的概念，对于一般的系统，它们之间不存在蕴涵关系。苏联人给出了一个著名的反例 (参见黄琳“稳定性理论”，
1992，p.7），表明一个微分方程的解是吸引的但却不是关于零解稳定的。
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定义8-5 若
a) x=0是一致稳定的。
b) 存在d0 >0，使得对任意的e＞0,存在T(e),
当‖x(t0) ‖＜d0,t > t0 + T(e)时有‖x(t,t0,x0) ‖＜
e。则称x=0为一致渐近稳定，即
3) 正数d(t0) 称为系统渐近稳定的吸引区。若吸引区是整个空间，称系统是关于原点全局渐近稳定的。
0000(,,)0txxttx→关于、均一致这里，一致性在于：d0不依赖于t0、且T仅依赖于e，
不依赖于t0、x0。
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定义8-6 若存在n ＞0,对任意的e＞0,存在d(e) ＞0,
使得当‖x(t0)‖＜d (e)，就有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e e?n (t?t0)?t≥t0
成立。则称x=0是按指数渐近稳定的。
这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在x=0的附近成立即可。但在工程技术上，特别是在控制系统中，所发生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，
就我们所讨论的线性系统而言，因其具有齐次性，
全局和局部的稳定性是一致的。
显然，以上定义关于t0、x0是一致的。
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指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定各种稳定性之间的蕴涵关系
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28
e
d(t0,e)
x0
x(t)
xe
a
b
c
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例：讨论下列时不变系统是否稳定、是否一致稳定、
是否渐近稳定：
12
21
=
=?
&
&
xx
xx
A这是一个定常系统，利用拉氏变换立即可得 并有
：,te解
2222
1 1020()()()()xtxtxtxt+=+
22
1020
22
120
0()(),
()()
xtxt
xtxtt
>+<
+<
eded显然，任给,只要取 =，则当就有 。故系统是李氏稳定的。又与注：这里 以下同。de ==,d;:e
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无关，故系统还是一致稳定的。但例：讨论下列时变系统是否一致稳定、是否渐近稳定、是否一致渐近稳定：
1=? +
dxx
dtt解：容易解出：
0
000
1(,,)
1
txttxx
t
+=
+
00
000
0
(,,)
ttx
xttxx
>=≥<
≤<
任给，取，则对所有,只要,
就有,故其零解一致稳定。又
eded
e
2222
1 1020lim()()()()()0t xtxtxtxtxt→∞ =+=+≠
2故系统不是渐近稳定的。这里，取 为向量 范数。
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00T0T,T,?>?=另一方面，，今取 = 即 + 有tttt
0
0
0000
1(,,)0
T1 t
txttxxx
→∞
+=→≠
++
0
000
1lim(,,)lim0
tt
txttxx
→∞→∞
+==，
故零解渐近稳定。
类似的例子还可以举出许多，可参看教学参考书或廖晓昕的“稳定性的数学理论及应用”
故系统的零解不是一致渐进稳定的(参见定义8-4)。
可见，系统一致稳定且渐进稳定未必意味着其一致渐进稳定。
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二、运动的稳定性前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动——
平衡状态的稳定性，现在来讨论系统
(,)xxt= F& (8-1)
任一运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一的解
00(,,)xttx
一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(8-1)的某一个运动：
000(),()()xftxtxft===
我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动，或未被扰运动。
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进而，设于初始时刻t0，系统受到干扰，状态由
x0 变成x0+y0
从这一初始状态出发的运动，即初值问题
000()(,),()()xtxtxtfty==+F&
的解，称为被扰运动。类比于平衡状态的稳定性
（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。
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34
,1(),0xxuutt=?+=≥&
例：考虑系统：
设给定运动为x(0)=0时的系统响应：
1
则所有非零初始条件x(0)≠0时的系统响应均为（相应于给定运动的）扰动运动。显然，给定运动可视为前面讨论的“零解”。
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35
定义 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) –f(t0) ‖＜d(t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) – f(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
成立。则称系统关于给定运动
x=f(t,t0,x0)
是（李雅普诺夫意义下）稳定的。
但需要指出，关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的。
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易见
(0,)0≡Gt
这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为(8-3)的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程(8-3)零解的稳定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。
为此，考虑变换y=x –f，则扰动方程定义为：
t)G(y,:t)F(f(t),t)f,F(y
t)F(f(t),t),F((t)(t)y
=?+=
=?= xfx &&&
(8-3)
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三、线性系统稳定性的特点
（8-4）式比一般的方程（8-1）式的结构要简单，
因此它在稳定性方面有更多的简单特性。
定理8-1 对于方程(8-4) 所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。
因此，对线性系统而言，今后可笼统地说“系统是稳定的”，而一般的非线性系统并不具备这一特性。
()()xtxtu=+AB& (8-4)考虑其对应的齐次方程为：
()(1)xtxs=?A&
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证明：
1)设(8-4)的一个运动x1(t)是稳定的，即对任给的e＞0，
使得对满足(8-4)的任一运动x(t)，只要‖x(t0) – x1(t0) ‖
＜d(t0,e)，就有
‖x(t)– x1(t) ‖＜e,?t≥t0 (A-1)
成立。但
1
11
()()
()()(()())()(()())ABABA
xtxt
txtutxtutxtxt
=+?+=?
&&
01()()()xtxtxt=?令
00()()()(2)AxttxtA=?&
则上式（扰动方程）等价于@p38
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39
1xed于是，根据上述 -的语言，关于运动的稳定性等价于
()()()Axttxt=&
关于零解的稳定性。
2) 现在，设y1(t)为(8-4)的另一个运动，y(t)为(8-4)的任一运动，则当‖y(t0)?y1(t0) ‖＜d(t0,e)，必有
‖y(t0)?y1(t0) ‖＜e,?t≥t0
成立。这里，d只要选择得与(A-1)式相同就可以了。事实上，与前面的分析一样，考虑
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1:()()xytyt=?%
比较式（A-2) @p37和（A-3),它们显然有相同的形式，故上述结论成立。
11(()() ()(()())Aytyttytyt=?&&
1()()ytyt&&
()()(()())()(()())ABABAtytutytutytyt=+?+=?
()(3)AxtxA?=?&%%
证完。
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结论
1) 从上面的分析可以看出，讨论线性系统
()()(.1)xtxtuB=+AB&
在任意输入u 作用下任一实际运动的稳定性，等价于讨论其所对应的齐次方程
()(.2)xtxB= A&
关于零解的稳定性且
2)(B.1)具有什么性质的稳定性等价于(B.2)具有同一种性质的稳定性。
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例：讨论如下系统的稳定性：
05,0,(0):xxttxx=?+≥=&
根据上面的分析，只需要讨论所对应的齐次方程的零解稳定性即可。
齐次方程渐近稳定，故原系统渐近稳定。
此外，注意到在这个例子中，系统的响应是无界的。这是由于输入信号是无界的。这和系统的稳定性不是同一个概念。
t
未被扰运动被扰运动
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四、线性系统的稳定性判据对于（8-5）零解的稳定性问题。由于A(t)不是常量矩阵，因此一般不能用特征值来讨论系统运动的性质，而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵 Φ(t,t0) 。
例8-2 齐次方程如下
21
01
te
xx=
&
由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性，故这里只讨论齐次方程
x)t(Ax =
(8-5)
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A的特征值为?1，?1。
1
2 ()(,0)
0
ttt
t
eeet
e
Φ=
000
0
111
22
0
()()()()
0 0
=
tttttteeeeee
x xt
e e
当t→∞时，只要x2(0)≠0，就有‖x(t)‖趋于无穷，故零解不稳定。因此，简单地由特征值来判断将导致错误的结论。
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定理8-2 设A(t)是连续（或分段连续）的函数矩阵，
则有以下充分必要条件成立：
1) （（8-5））稳定?存在某常数N(t0)，
使得对于任意的t0和t≥t0有
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0) （8-6）
()Axtx=&
2) （8-5）一致稳定? 1)中的N(t0)与t0 无关。
0()
0(,)
Φ≤Cttt Ne
4) （8-5）一致渐近稳定?存在N、C >0，使得对于任意的t0和t≥t0有
3) （8-5)渐近稳定 00 =Φ?
∞→
)t,t(lim
t
(8-7)
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1,李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性；
2,一致稳定等价于状态转移矩阵范数‖ Φ(t,t0) ‖
的一致有界性；
3,渐近稳定等价于状态转移矩阵范数‖ Φ(t,t0) ‖
趋向于零；
4,一致渐近稳定等价于状态转移矩阵按指数规律稳定。
定理8-2表明：对线性系统
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讨论：
1）定理8-2所给出的线性系统的重要性质，完全是由
0 00(,,)(,)xtxtttx=Φ
2）线性系统的稳定性具有全局性质。
定义 对任意的x(0),均有x(t)有界,则称 =A(t)x 的零解是李雅普诺夫意义下稳定的。
x&
中,对 的线性关系所致。状态转移阵 决定了解的一切性质。一般地，对于非线性系统，定理8-2的结论均不成立。
)t,x,t(x 00 0x
)t,t( 0Φ
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48
定义：系统 的零解称为是全局（一致）渐近稳定的，若其零解是（一致）渐近稳定的且无论初始扰动多大，均有
(,)xxt= F&
lim()0t xt→∞ =
统：系例
4xx=?&
是全局渐近稳定的。
定理8-2之(3)、(4)清楚地表明，对于线性系统
=A(t)x 而言，若其零解是（一致)渐近稳定的，那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点，
即原点的渐近稳定的吸引区遍及整个状态空间，这就是上面定义所述的全局（一致）渐近稳定或大范围
（一致）渐近稳定的概念。
x&
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3) 对于线性系统而言，零解的吸引性蕴涵其稳定性，
而一般的非线性系统则不具备这一性质（此性质将进一步讨论）。
已经证明，其扰动运动的稳定性等价于对应的齐次方程零解的稳定性。根据定理8-2，如下推论为显然：
推论1：若(8-4)稳定，则它的所有解或同时有界，
或同时无界。
4）再回到方程
()()xtxtu=+AB& (8-4)
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0
0()(,)(0)(,)()()B
t
t
xtttxtud=Φ+Φ∫14243
有界
tttt
故任一初始条件下的解x(t,t0,x0)有界与否等价于其特解
0
()(,)()()B
t
t
xttud=Φ∫% tttt
的有界与否。而上式是所有解共有的。故只要有一个解有界，则说明上式必定有界，从而所有的解均有界；反之，若有一个解无界，则说明上式必定无界，从而所有的解均无界。 证毕。
0(,)ttΦ
推论1的证明：因为(8-4)的稳定性等价于其对应的齐次方程 =A(t)x的稳定性，由定理8-2之(1)或(2)
可知此时 (一致)有界。而(8-4)的解为
&x
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0 00(,,)(,)()xttxttxt≤Φ
考虑到充分性。
1)dx/dt=A(t)x(t)（8-5））稳定?存在某常数N(t0)，
使得对于任意的t0和t≥t0有
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0) （8-6）
000(,)()t NtttΦ≤?≥
若则
0 0000(,,)(,)()()()xttxttxtNtxt≤Φ≤
定理8-2的证明
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52
0 00
00
0
(,,)(,)()
()() ()
xttxttxt
NtNt Ntede
≤Φ
<==
00()(,)xtt<那么，当时，就有de
0
0
(,) ()t Ntede=
0,e >故对任意给定的 只要取
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53
故有界。依此可证明所有列，从而Φ(t,t0)有界。证完。
0000
22 tt,C:x)t,t()t,t(
j ≥=<Φ=Φ edd
显然，‖ x0‖≤δ/2< d，且 Φ(t,t0)的第j 列是
000
2 x)t,t()t,t(
j Φ=Φ d
必要性。因为零解x=0稳定，故对任意给定的e >0，
存在d(t0,e)>0，只要‖ x(t0)‖< d，就有
‖ Φ(t,t0)x0‖< e t≥t0
今取 ( ) n,,,j,x T
j
== 21002000 d
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54
2)dx/dt=A(t)x(t)（8-5）一致稳定? 1)中的N(t0)与t0
无关：
‖ Φ(t,t0) ‖≤N （8-6）
证明：与1)类似。--(留给同学课后自己证明)
充分性。因
‖Φ(t,t0)‖→0 (t →∞)
故存在常数N(t0)，使得
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0),t≥t0
3) （8-5)渐近稳定 00 =Φ?
∞→
)t,t(lim
t
(8-7)
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55
必要性。因零解x=0吸引，则存在d (t0)，使得只要‖ x(t0)‖< d (t0)，就有
x(t)=Φ(t,t0)x0→0 (t →∞)
由本定理命题1）知零解x=0稳定。又
x(t)= Φ(t,t0)x0
由Φ(t,t0) →0 (t →∞) 知
x(t )=x(t,t0,x0) =Φ(t,t0)x0→0 (t →∞)
即零解是吸引的。
今取 ( ) n,,,j,x T
j
== 21002000 d
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56
注：该命题表明，对于线性系统，零解的吸引性蕴涵稳定性。
02000→?Φ=Φ= ∞→tj )t,t(x)t,t()t(x d
00→?Φ ∞→tj )t,t(即
x(t)与x0的线性关系表明 和x0无关，
即线性系统是全局渐进稳定的。
00→?Φ ∞→tj )t,t(
jn取 1,2,,=L
00→?Φ ∞→tj )t,t(
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0()0 000(,,)(,)()()≤Φ≤CttxttxttxtNext
充分性,若下列条件成立：
()
00(,),
Φ≤?≥oCttt Nett
（4） 一致渐近稳定?存在N、C >0，使得对于任意的t0和t≥t0有
()=&xtxA
0()
0(,)
Φ≤Cttt Ne
使得只要
0
0ed>任意给定的因此，任给,对 >0，都存在一与无关t,
NlnCT 0
1
d
e?=
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58
,TttTtt
)t(x
+≥?≥?
<
00
00 d
就有
edde
d
e
=<
=≤?
0
0
00
0
NN
)t(xNe)t(xNe)t(x N
lnCT
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必要性：设系统一致渐近稳定，要证明
0()
00(,),
≤?≥Cttt NettF
由于系统一致稳定，故对t0一致地有(本定理之2)
00(,),1Φt ktts≤?≥ （-）
又根据一致渐近稳定的定义，
0 00(,,)(,)0xttxttx=Φ→
对t0、x0一致，故
0(,)0ttΦ→
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60
也对t0一致。这样，存在T (e)>0,使得
00 0
1(,)(*)
2?Φ+≤t ttT
对一切t0成立。于是
00001(,)(,)()Φ=Φ+Φ+），t ttTtTt
000
1
0
2
0[,(,2])(),2
≤ ≤
∈+≤ +Φ+Φ+≤142431442443，
k
kttTt tTtT tTt
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2) 进而，注意到对任意的正整数n，根据(s-1)式，有
00 0(,),([,2()] )1ttttnTMksnTtnTΦ?∈++++≤≤?
则更一般地，可以得到
(1):?前者用到了s
(*):后者用到了
000
1(,)
2Φ+≤?tTtt
000(,),[,2]Φ+≤?∈++ttTkttTtT
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00
0(1)0(1) 001
0000
:
0 00
(,)(,(1))
1((1),(2) (,)
2
(3)
+
+ =
Φ+≤Φ++?×
×Φ+?+?××Φ+≤
678647448
64474486474864748
L
nn
nn
tTt
tTt tt
n
tnTttnTtnT
tnTtnTtTt
s
0000
000
(,)(,)()
(,)()2n
t ttnTtnTt
kttnTtnTt
Φ=Φ+Φ+
≤Φ+Φ+≤
，
，
于是对,有00[,(1)]?∈+++ttnTtnT
这里，前者用到了(s-2)，后者用到了(s-3)。
这里，累次用到了(*)。
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0
0
0
()
()
()
2
12,2
Ctt
Ctt
CT
Ctt
Ne
ke
kee
=
==
构造包络线
0
00
3)(,) 2
[,(1)],0,1,
n
ktt
ttnTtnTn
Φ≤
∈+++=L
根据
0,)ttΦ以指数衰减函数为界的 (
2k
0t 0tT+
k
/2k
0 2tT+ 0 3tT+
2/2k
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通过引入正数N 及C:
2,2CTNke==
则由上图易见：
0()0 000(,,)(,) CttxttxttxNex≤Φ≤
这就证明了系统按指数渐近稳定。 证完。
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65
例：讨论下列系统是否一致稳定、是否渐近稳定、
是否一致渐近稳定：
1=? +
dxx
dtt解：解出：
0
000
1(,,)
1
txttxx
t
+=
+
根据定理8-2，只要直接对其状态转移矩阵进行讨论就可以了：
0
00
1(,)
1
ttx
t
+Φ=
+
一致稳定、渐近稳定、不是一致渐进稳定。
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1,高为炳编著,运动稳定性基础，高等教育出版社,1987 年5月
2,黄琳：稳定性理论，北京大学出版社,1992
年7月
3,秦元勋、王慕秋、王联：
运动稳定性理论与应用,科学出版社,1980年
4,王柔怀、伍卓群编：
常微分方程讲义,人民教育出版社,1978年5月
5,黄琳：稳定性与鲁棒性的理论基础,科学出版社，
2003年2月参考书
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3
6.LaSalle,J,P.,Stability by Lyapunov direct method,
New York,Academic Press,1961.
7.Hahn,W.,Stability of motion,New York,Springer-
Verlag,1967.
8.Desoer,C.A,and Vidyasagar,M.,Feedback
systems,Input-output properties,New York,
Academic Press,1975.
9.线性系统理论（第2版）清华大学出版社郑大中
10.线性系统理论与设计科学出版社陈启宗
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任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。
此外，我们知道，描述系统的数学模型，
绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，
或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。
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预备知识:微分方程解的存在性及唯一性条件、
解对初值的连续依赖性。
1,微分方程解的表示。考虑微分方程：
00
(,)()
()
Exfxt
xtx
=
=
&
其解x(t) 是自变量t 的函数，而t0,x0 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值t0、x0 的函数,可记为 x(t,t0,x0)
例如
000 00(,,)()t ttxxxxttxextex=?===&
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6
问题：当初值变动时，对应的解如何变动？
在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
00
12
12
(,),(),
(,)(,)
(,):,IWR
xfxtxtx
ttt
ttx
==
∈∞+∞
=∈?
&
2,Lipschitz条件：
(,)fxt ×的定义域记为 。WI
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若存在一个常数L，使得对任何 都有,,∈∈IWtxy
(,)(,)fxtfytLxy?≤?
则称f 在 上满足Lipschitz条件。这个定义可以推广到W为任意有限n维空间的情形。
×WI
注：满足Lipschitz条件可保证微分方程解的存在性和唯一性。
3,解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性
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定理1（解的存在性及唯一性定理）：对于微分方程若f (x,t) 在W×I域内连续且满足Lipschitz条件，则对任意的初始条件
x(x0,t0)∈W×I，
总存在常数a>0，使得有唯一解
x=x(t,t0,x0)
在[t0?a,t0+a]上存在、对t 连续，且满足初始条件
x(t0)=x0。
稳定性的核心是研究解的渐近性质，即当解x(t)
在t→∞时的性状。故总假定在[t0,∞) 上解是存在的。
(,)xfxt=&
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定理2（解对初值的连续依赖性）：在定理1的条件下，若f (x,t) 在域内连续且满足Lipschitz条件，
则微分方程的解x(t,t0,x0) 作为t,t0,x0的函数在它的存在范围内是连续的,即
e >0,?d >0,使得当‖x (t0)?y (t0)‖<d时,有
‖x(t,t0,x(t0))?y (t,t0,y(t0))‖<e,
a≤t≤b,a≤t0≤b
以上定理说明：若在初始时刻x (t0)和y (t0)十分接近，则在定义域[a,b]内的解x (t)和y (t)也会十分接近。
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§8-1 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的解在无穷区间[t0,∞)满足存在和唯一性条件。
一、平衡状态的稳定性
1.平衡状态考虑系统：
(,),nxfxtx=∈R&
若随着时间t 的变化，状态x=xe保持不变（即恒为常数），则称这个状态为系统的平衡状态。由于平衡状态也是系统的一个状态，故它是上述微分方程
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的一个解，即 的解。(,)0=efxt
2,简化的平衡状态
()0A==&考虑微分方程,显然是它的一个解并且是它的一个平衡状态。
extxx例：
在初始时刻t0 时,干扰引起的状态向量x0 与平衡状态xe 之差
00eyxx=?
称为初始扰动向量。由x0 所决定的运动过程是
(,)xfxt=&
00()(,,)xtxttx=的解,称为，记为 。运动被扰由于平衡状态和被扰运动均为微分方程
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(,)xftx=& 的解。由此可导出扰动向量
ex称为关于平衡状态 的扰动方程，即
(,)yGyt=&
(,)(0,)0GytGt≡其中,满足 。这是因为
(0,)(,)0eGtfxt=≡
(),eytxx=?
应服从微分方程
()(,)(,):(,)eeddyxxfxtfyxtGytdtdt=?==+=
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满足
F(0,t)=0 (8-2)
(,)xxt= F& (8-1)
因此，在下面考虑一般的时变、非线性、多变量系统时，我们总假定它的微分方程其中x为n 维向量，F(x,t)为n 维的函数向量。这时方程（8-1）有解x=0 (满足x(t0)= 0),称为（8-1）
的显然解或零解。
在以下讨论平衡状态的稳定性时，只需要讨论零解这个平衡状态的稳定性就可以了。
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设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡状态x=0。若初始扰动为x(t0)=x0，显然在这个初始扰动作用下，方程（8-1）所决定的运动是下列初值问题
00()(,,)= 。xtxttx的解。将这个解表示为
00()xtx=(,)Fxxt=&
3,李雅普诺夫稳定性的定义考虑微分方程例：
4xx=&
0=显然，是它的一个平衡状态。现若有初始扰动ex
x(0)=0.001，
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15
可见，即使初始值微小地偏离了平衡状态，且在任意有限的时间内其解有界，但最终将发散。
40.001,0txet=≥
则其解为考虑微分方程例：
4xx=?&
0=显然是它的一个平衡状态。现若有初始扰动ex
(0)=100x
则其解为
4100,0txet?=≥
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事实上无论初始扰动多么大，最终将收敛到平衡状态。
以上两个例子是熟悉的线性系统的稳定和不稳定的例子。从第一个例子还可以看到，尽管在任意有限的时间内解是有界的，但若讨论时间趋于无穷
(或在工程上，当时间“很长”）时系统的行为，则这种发散的特性就是完全不能接受的了。
Lyapunov稳定性就是要研究微分方程的解在
t∈[t0，+∞）上的有界性。
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根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0)
偏离x=0（平衡状态）也可以任意小。现在要研究这一性质是否对[t0,+∞)均成立。
定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) ‖＜d (t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
成立。则称系统关于平衡状态（或原点）x=0 是
（i.s.L.李雅普诺夫意义下）稳定的。
定义8-2 若定义8-1中的d =d(e)，即d与t0 无关(关于t0 一致)，则称所定义的稳定为一致稳定。
‖x(t0)?0‖
‖x(t,t0,x0)?0‖＜e
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定义8-1（李雅普诺夫意义下稳定）的图示：
e
d
tt0
1,此处d随着e、t0而变化；
2.‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当
‖x(t0) ‖＜d (t0,e)
时有 ‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0 成立初值变化充分小时，解的变化( t≥t0)可任意小(不是无变化)；3.显然，d (t0,e)≤ e。
x(t0)
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19
e
d(t0,e)
x0
x(t)
定义8-1 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) ‖＜d (t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
李雅普诺夫意义下稳定
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例：讨论下列系统的稳定性和一致稳定性：
11
00xx
=
&
其解为：
00()()11020
2200
()()(1)()
()(),
t ttxtextext
xtxttt
=+?
=?≥
00,(t>=任给取与无关），则只要ede
10201020()()()2()xtxtxtxt+≤+<=，de
1这里，取为向量范数。
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21
0t=故系统是(李氏）稳定的。又由于,即与 无关，系统还是一致稳定的。
de
就有
00()()12102020
10200
()()()[1]()()
()2()
t ttxtxtextextxt
xtxttt
+≤+?+
≤+<?≥，e
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关于不稳定的定义：
定义8-3：若对任意给定的e＞0，无论d多么小，总可以找到满足‖x(t0) ‖＜d的某一初值x0，使得从它出发的运动轨线x(t,t0,x0) 在某一时刻t1>t0，有‖x(t,t0,x0) ‖=
e，则称系统(8-1)的零解是不稳定的。
x(t0)
e
d
tt0 t1
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定义8-4 若(a) x=0是稳定的。(b)存在d(t0)>0，使得对任意的e＞0，存在T(e,t0,x0),当‖x(t0) ‖＜ d(t0)，
t > t0 + T(e,t0,x0)时，有‖x(t,t0,x0) ‖＜ e 。则称x=0
为渐近稳定。
t0
d(t0)
e
t0 + T(e,t0,x0)
1.此处d(t0)是固定的一个范围(称为吸引区，不是任意小的；T 称为吸引时间或衰减时间)；
2.‖x(t,t0,x0) ‖＜e，t > t0 + T(e,t0,x0)
(a) x=0是稳定的,x在t > t0的行为已决定
(b) 是t 充分大时的性质。
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讨论：
1) 定义8-4的第二部分(b)又称为关于零解是吸引的。
它反映的是解的渐近性质。可以将(b)改成：
存在d(t0)>0，使得‖x(t0) ‖＜d(t0) 蕴涵
00lim(,,)0→∞ =t xttx
2) 稳定和吸引（即(a)和(b)）是相互独立的概念，对于一般的系统，它们之间不存在蕴涵关系。苏联人给出了一个著名的反例 (参见黄琳“稳定性理论”，
1992，p.7），表明一个微分方程的解是吸引的但却不是关于零解稳定的。
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定义8-5 若
a) x=0是一致稳定的。
b) 存在d0 >0，使得对任意的e＞0,存在T(e),
当‖x(t0) ‖＜d0,t > t0 + T(e)时有‖x(t,t0,x0) ‖＜
e。则称x=0为一致渐近稳定，即
3) 正数d(t0) 称为系统渐近稳定的吸引区。若吸引区是整个空间，称系统是关于原点全局渐近稳定的。
0000(,,)0txxttx→关于、均一致这里，一致性在于：d0不依赖于t0、且T仅依赖于e，
不依赖于t0、x0。
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定义8-6 若存在n ＞0,对任意的e＞0,存在d(e) ＞0,
使得当‖x(t0)‖＜d (e)，就有
‖x(t,t0,x0) ‖＜e e?n (t?t0)?t≥t0
成立。则称x=0是按指数渐近稳定的。
这里所定义的稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定和按指数渐近稳定都是局部的概念，即定义中的条件只要在x=0的附近成立即可。但在工程技术上，特别是在控制系统中，所发生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，
就我们所讨论的线性系统而言，因其具有齐次性，
全局和局部的稳定性是一致的。
显然，以上定义关于t0、x0是一致的。
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指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定各种稳定性之间的蕴涵关系
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28
e
d(t0,e)
x0
x(t)
xe
a
b
c
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例：讨论下列时不变系统是否稳定、是否一致稳定、
是否渐近稳定：
12
21
=
=?
&
&
xx
xx
A这是一个定常系统，利用拉氏变换立即可得 并有
：,te解
2222
1 1020()()()()xtxtxtxt+=+
22
1020
22
120
0()(),
()()
xtxt
xtxtt
>+<
+<
eded显然，任给,只要取 =，则当就有 。故系统是李氏稳定的。又与注：这里 以下同。de ==,d;:e
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无关，故系统还是一致稳定的。但例：讨论下列时变系统是否一致稳定、是否渐近稳定、是否一致渐近稳定：
1=? +
dxx
dtt解：容易解出：
0
000
1(,,)
1
txttxx
t
+=
+
00
000
0
(,,)
ttx
xttxx
>=≥<
≤<
任给，取，则对所有,只要,
就有,故其零解一致稳定。又
eded
e
2222
1 1020lim()()()()()0t xtxtxtxtxt→∞ =+=+≠
2故系统不是渐近稳定的。这里，取 为向量 范数。
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00T0T,T,?>?=另一方面，，今取 = 即 + 有tttt
0
0
0000
1(,,)0
T1 t
txttxxx
→∞
+=→≠
++
0
000
1lim(,,)lim0
tt
txttxx
→∞→∞
+==，
故零解渐近稳定。
类似的例子还可以举出许多，可参看教学参考书或廖晓昕的“稳定性的数学理论及应用”
故系统的零解不是一致渐进稳定的(参见定义8-4)。
可见，系统一致稳定且渐进稳定未必意味着其一致渐进稳定。
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二、运动的稳定性前一节讨论了动态系统的一种特殊的运动——
平衡状态的稳定性，现在来讨论系统
(,)xxt= F& (8-1)
任一运动的稳定性问题。我们已经知道，每一个初始状态x(t0)=x0确定唯一的解
00(,,)xttx
一个系统随着初始条件不同可以有很多不同的运动。现在，设我们关心(8-1)的某一个运动：
000(),()()xftxtxft===
我们欲研究这个运动的稳定性。我们称这个运动为给定运动，或未被扰运动。
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进而，设于初始时刻t0，系统受到干扰，状态由
x0 变成x0+y0
从这一初始状态出发的运动，即初值问题
000()(,),()()xtxtxtfty==+F&
的解，称为被扰运动。类比于平衡状态的稳定性
（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等），也可以相应地定义相对于给定运动的稳定性（李氏稳定、一致稳定、渐近稳定等等）。
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34
,1(),0xxuutt=?+=≥&
例：考虑系统：
设给定运动为x(0)=0时的系统响应：
1
则所有非零初始条件x(0)≠0时的系统响应均为（相应于给定运动的）扰动运动。显然，给定运动可视为前面讨论的“零解”。
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35
定义 对于任意的e＞0，都存在d(t0,e)>0，使得当‖x(t0) –f(t0) ‖＜d(t0,e)时有
‖x(t,t0,x0) – f(t,t0,x0) ‖＜e?t≥t0
成立。则称系统关于给定运动
x=f(t,t0,x0)
是（李雅普诺夫意义下）稳定的。
但需要指出，关于给定运动的稳定性可以变换成关于零解的稳定性问题，故上述定义事实上是不必要的。
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易见
(0,)0≡Gt
这说明，通过上述变换可以将给定运动（或称为未被扰运动）的稳定性问题化为(8-3)的零解稳定性问题。也就是说，今后讨论运动的稳定性时，可先列出其扰动方程，然后讨论扰动方程(8-3)零解的稳定性就可以了，而没有必要再给出运动稳定性的其它定义。
为此，考虑变换y=x –f，则扰动方程定义为：
t)G(y,:t)F(f(t),t)f,F(y
t)F(f(t),t),F((t)(t)y
=?+=
=?= xfx &&&
(8-3)
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三、线性系统稳定性的特点
（8-4）式比一般的方程（8-1）式的结构要简单，
因此它在稳定性方面有更多的简单特性。
定理8-1 对于方程(8-4) 所表示的线性系统，若有一个运动稳定，则其所有运动稳定。
因此，对线性系统而言，今后可笼统地说“系统是稳定的”，而一般的非线性系统并不具备这一特性。
()()xtxtu=+AB& (8-4)考虑其对应的齐次方程为：
()(1)xtxs=?A&
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证明：
1)设(8-4)的一个运动x1(t)是稳定的，即对任给的e＞0，
使得对满足(8-4)的任一运动x(t)，只要‖x(t0) – x1(t0) ‖
＜d(t0,e)，就有
‖x(t)– x1(t) ‖＜e,?t≥t0 (A-1)
成立。但
1
11
()()
()()(()())()(()())ABABA
xtxt
txtutxtutxtxt
=+?+=?
&&
01()()()xtxtxt=?令
00()()()(2)AxttxtA=?&
则上式（扰动方程）等价于@p38
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39
1xed于是，根据上述 -的语言，关于运动的稳定性等价于
()()()Axttxt=&
关于零解的稳定性。
2) 现在，设y1(t)为(8-4)的另一个运动，y(t)为(8-4)的任一运动，则当‖y(t0)?y1(t0) ‖＜d(t0,e)，必有
‖y(t0)?y1(t0) ‖＜e,?t≥t0
成立。这里，d只要选择得与(A-1)式相同就可以了。事实上，与前面的分析一样，考虑
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1:()()xytyt=?%
比较式（A-2) @p37和（A-3),它们显然有相同的形式，故上述结论成立。
11(()() ()(()())Aytyttytyt=?&&
1()()ytyt&&
()()(()())()(()())ABABAtytutytutytyt=+?+=?
()(3)AxtxA?=?&%%
证完。
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结论
1) 从上面的分析可以看出，讨论线性系统
()()(.1)xtxtuB=+AB&
在任意输入u 作用下任一实际运动的稳定性，等价于讨论其所对应的齐次方程
()(.2)xtxB= A&
关于零解的稳定性且
2)(B.1)具有什么性质的稳定性等价于(B.2)具有同一种性质的稳定性。
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例：讨论如下系统的稳定性：
05,0,(0):xxttxx=?+≥=&
根据上面的分析，只需要讨论所对应的齐次方程的零解稳定性即可。
齐次方程渐近稳定，故原系统渐近稳定。
此外，注意到在这个例子中，系统的响应是无界的。这是由于输入信号是无界的。这和系统的稳定性不是同一个概念。
t
未被扰运动被扰运动
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四、线性系统的稳定性判据对于（8-5）零解的稳定性问题。由于A(t)不是常量矩阵，因此一般不能用特征值来讨论系统运动的性质，而应该用与系统运动关系密切的状态转移矩阵 Φ(t,t0) 。
例8-2 齐次方程如下
21
01
te
xx=
&
由于线性动态方程的稳定性等价于其对应的齐次方程的零解的稳定性，故这里只讨论齐次方程
x)t(Ax =
(8-5)
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A的特征值为?1，?1。
1
2 ()(,0)
0
ttt
t
eeet
e
Φ=
000
0
111
22
0
()()()()
0 0
=
tttttteeeeee
x xt
e e
当t→∞时，只要x2(0)≠0，就有‖x(t)‖趋于无穷，故零解不稳定。因此，简单地由特征值来判断将导致错误的结论。
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定理8-2 设A(t)是连续（或分段连续）的函数矩阵，
则有以下充分必要条件成立：
1) （（8-5））稳定?存在某常数N(t0)，
使得对于任意的t0和t≥t0有
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0) （8-6）
()Axtx=&
2) （8-5）一致稳定? 1)中的N(t0)与t0 无关。
0()
0(,)
Φ≤Cttt Ne
4) （8-5）一致渐近稳定?存在N、C >0，使得对于任意的t0和t≥t0有
3) （8-5)渐近稳定 00 =Φ?
∞→
)t,t(lim
t
(8-7)
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1,李氏稳定等价于状态转移矩阵范数的有界性；
2,一致稳定等价于状态转移矩阵范数‖ Φ(t,t0) ‖
的一致有界性；
3,渐近稳定等价于状态转移矩阵范数‖ Φ(t,t0) ‖
趋向于零；
4,一致渐近稳定等价于状态转移矩阵按指数规律稳定。
定理8-2表明：对线性系统
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讨论：
1）定理8-2所给出的线性系统的重要性质，完全是由
0 00(,,)(,)xtxtttx=Φ
2）线性系统的稳定性具有全局性质。
定义 对任意的x(0),均有x(t)有界,则称 =A(t)x 的零解是李雅普诺夫意义下稳定的。
x&
中,对 的线性关系所致。状态转移阵 决定了解的一切性质。一般地，对于非线性系统，定理8-2的结论均不成立。
)t,x,t(x 00 0x
)t,t( 0Φ
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48
定义：系统 的零解称为是全局（一致）渐近稳定的，若其零解是（一致）渐近稳定的且无论初始扰动多大，均有
(,)xxt= F&
lim()0t xt→∞ =
统：系例
4xx=?&
是全局渐近稳定的。
定理8-2之(3)、(4)清楚地表明，对于线性系统
=A(t)x 而言，若其零解是（一致)渐近稳定的，那么由状态空间任一点为起点的运动轨线都要收敛到原点，
即原点的渐近稳定的吸引区遍及整个状态空间，这就是上面定义所述的全局（一致）渐近稳定或大范围
（一致）渐近稳定的概念。
x&
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3) 对于线性系统而言，零解的吸引性蕴涵其稳定性，
而一般的非线性系统则不具备这一性质（此性质将进一步讨论）。
已经证明，其扰动运动的稳定性等价于对应的齐次方程零解的稳定性。根据定理8-2，如下推论为显然：
推论1：若(8-4)稳定，则它的所有解或同时有界，
或同时无界。
4）再回到方程
()()xtxtu=+AB& (8-4)
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0
0()(,)(0)(,)()()B
t
t
xtttxtud=Φ+Φ∫14243
有界
tttt
故任一初始条件下的解x(t,t0,x0)有界与否等价于其特解
0
()(,)()()B
t
t
xttud=Φ∫% tttt
的有界与否。而上式是所有解共有的。故只要有一个解有界，则说明上式必定有界，从而所有的解均有界；反之，若有一个解无界，则说明上式必定无界，从而所有的解均无界。 证毕。
0(,)ttΦ
推论1的证明：因为(8-4)的稳定性等价于其对应的齐次方程 =A(t)x的稳定性，由定理8-2之(1)或(2)
可知此时 (一致)有界。而(8-4)的解为
&x
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0 00(,,)(,)()xttxttxt≤Φ
考虑到充分性。
1)dx/dt=A(t)x(t)（8-5））稳定?存在某常数N(t0)，
使得对于任意的t0和t≥t0有
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0) （8-6）
000(,)()t NtttΦ≤?≥
若则
0 0000(,,)(,)()()()xttxttxtNtxt≤Φ≤
定理8-2的证明
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52
0 00
00
0
(,,)(,)()
()() ()
xttxttxt
NtNt Ntede
≤Φ
<==
00()(,)xtt<那么，当时，就有de
0
0
(,) ()t Ntede=
0,e >故对任意给定的 只要取
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53
故有界。依此可证明所有列，从而Φ(t,t0)有界。证完。
0000
22 tt,C:x)t,t()t,t(
j ≥=<Φ=Φ edd
显然，‖ x0‖≤δ/2< d，且 Φ(t,t0)的第j 列是
000
2 x)t,t()t,t(
j Φ=Φ d
必要性。因为零解x=0稳定，故对任意给定的e >0，
存在d(t0,e)>0，只要‖ x(t0)‖< d，就有
‖ Φ(t,t0)x0‖< e t≥t0
今取 ( ) n,,,j,x T
j
== 21002000 d
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54
2)dx/dt=A(t)x(t)（8-5）一致稳定? 1)中的N(t0)与t0
无关：
‖ Φ(t,t0) ‖≤N （8-6）
证明：与1)类似。--(留给同学课后自己证明)
充分性。因
‖Φ(t,t0)‖→0 (t →∞)
故存在常数N(t0)，使得
‖ Φ(t,t0) ‖≤N(t0),t≥t0
3) （8-5)渐近稳定 00 =Φ?
∞→
)t,t(lim
t
(8-7)
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55
必要性。因零解x=0吸引，则存在d (t0)，使得只要‖ x(t0)‖< d (t0)，就有
x(t)=Φ(t,t0)x0→0 (t →∞)
由本定理命题1）知零解x=0稳定。又
x(t)= Φ(t,t0)x0
由Φ(t,t0) →0 (t →∞) 知
x(t )=x(t,t0,x0) =Φ(t,t0)x0→0 (t →∞)
即零解是吸引的。
今取 ( ) n,,,j,x T
j
== 21002000 d
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56
注：该命题表明，对于线性系统，零解的吸引性蕴涵稳定性。
02000→?Φ=Φ= ∞→tj )t,t(x)t,t()t(x d
00→?Φ ∞→tj )t,t(即
x(t)与x0的线性关系表明 和x0无关，
即线性系统是全局渐进稳定的。
00→?Φ ∞→tj )t,t(
jn取 1,2,,=L
00→?Φ ∞→tj )t,t(
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0()0 000(,,)(,)()()≤Φ≤CttxttxttxtNext
充分性,若下列条件成立：
()
00(,),
Φ≤?≥oCttt Nett
（4） 一致渐近稳定?存在N、C >0，使得对于任意的t0和t≥t0有
()=&xtxA
0()
0(,)
Φ≤Cttt Ne
使得只要
0
0ed>任意给定的因此，任给,对 >0，都存在一与无关t,
NlnCT 0
1
d
e?=
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58
,TttTtt
)t(x
+≥?≥?
<
00
00 d
就有
edde
d
e
=<
=≤?
0
0
00
0
NN
)t(xNe)t(xNe)t(x N
lnCT
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必要性：设系统一致渐近稳定，要证明
0()
00(,),
≤?≥Cttt NettF
由于系统一致稳定，故对t0一致地有(本定理之2)
00(,),1Φt ktts≤?≥ （-）
又根据一致渐近稳定的定义，
0 00(,,)(,)0xttxttx=Φ→
对t0、x0一致，故
0(,)0ttΦ→
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60
也对t0一致。这样，存在T (e)>0,使得
00 0
1(,)(*)
2?Φ+≤t ttT
对一切t0成立。于是
00001(,)(,)()Φ=Φ+Φ+），t ttTtTt
000
1
0
2
0[,(,2])(),2
≤ ≤
∈+≤ +Φ+Φ+≤142431442443，
k
kttTt tTtT tTt
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2) 进而，注意到对任意的正整数n，根据(s-1)式，有
00 0(,),([,2()] )1ttttnTMksnTtnTΦ?∈++++≤≤?
则更一般地，可以得到
(1):?前者用到了s
(*):后者用到了
000
1(,)
2Φ+≤?tTtt
000(,),[,2]Φ+≤?∈++ttTkttTtT
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00
0(1)0(1) 001
0000
:
0 00
(,)(,(1))
1((1),(2) (,)
2
(3)
+
+ =
Φ+≤Φ++?×
×Φ+?+?××Φ+≤
678647448
64474486474864748
L
nn
nn
tTt
tTt tt
n
tnTttnTtnT
tnTtnTtTt
s
0000
000
(,)(,)()
(,)()2n
t ttnTtnTt
kttnTtnTt
Φ=Φ+Φ+
≤Φ+Φ+≤
，
，
于是对,有00[,(1)]?∈+++ttnTtnT
这里，前者用到了(s-2)，后者用到了(s-3)。
这里，累次用到了(*)。
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0
0
0
()
()
()
2
12,2
Ctt
Ctt
CT
Ctt
Ne
ke
kee
=
==
构造包络线
0
00
3)(,) 2
[,(1)],0,1,
n
ktt
ttnTtnTn
Φ≤
∈+++=L
根据
0,)ttΦ以指数衰减函数为界的 (
2k
0t 0tT+
k
/2k
0 2tT+ 0 3tT+
2/2k
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通过引入正数N 及C:
2,2CTNke==
则由上图易见：
0()0 000(,,)(,) CttxttxttxNex≤Φ≤
这就证明了系统按指数渐近稳定。 证完。
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65
例：讨论下列系统是否一致稳定、是否渐近稳定、
是否一致渐近稳定：
1=? +
dxx
dtt解：解出：
0
000
1(,,)
1
txttxx
t
+=
+
根据定理8-2，只要直接对其状态转移矩阵进行讨论就可以了：
0
00
1(,)
1
ttx
t
+Φ=
+
一致稳定、渐近稳定、不是一致渐进稳定。
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