第三章系统的数学描述主要内容
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统
3.5 输入输出描述和状态空间描述的关系
u
y
1,输入 —输出描述仅揭示在初始松弛的假定下输入与输出之间的关系。这种描述方法不能表示在非松弛情况下系统的输入输出关系,更重要的一点是它也不能揭示系统内部的行为。
一、两种描述方法的比较例,考虑系统：
12 0
(),0+ += ≥= yyyutttαα
2
12
1
() ()=
++
ys us
ssαα
若 y(0)=y’(0)=0，可直接用传递函数描述系统的输入输出关系：
内部状态 y’ 是不能观测到的。若控制对 y’ 亦有要求，则采用经典控制论的设计方法有时难以奏效。
采用状态空间描述：
0
()
(),
()
==+≥
yt
tut
yt
xAxb
系统的内部和外部状态均能得到揭示。
1Ω
1
y
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
2
y
1Ω
1Ω
1Ω
+
u
+
RL
C
y
2,对于比较复杂的线性系统，求其动态方程是一件困难的工作。在这种情况下，借助于直接量测来得到输入 —输出描述有时更为有效。
通常 可以对每一输入端施以脉冲，则输出端的响应就立刻为我们提供了系统的脉冲响应矩阵。实际实验过程中，很难产生脉冲函数，因此常采用 单位阶跃函数 进行实验。在求得单位阶跃响应后，获得脉冲响应矩阵。
0
0
10
0
10
010
0
1
()
0
(,) (,)
(,) (,)
≥
=
<
=
=?
∫
t
t
tt
tt
tt
gtt gt d
gtt g tt
t
δ
ττ
3、在经典控制理论中，分析和综合都是在传递函数基础上实现的，例如容易 用根轨迹方法或Bode图完成反馈系统的设计，这种设计由于解的不唯一性，在 设计法上含有较多的试凑的成份,故设计者的经验起着很重要的作用。 对于多变量情形时，上述方法很难实现 。
4、现代控制理论能处理那些经典理论所不能处理的问题，如最优控制问题、极点配置问题等。
在现代控制理论中，系统设计是用动态方程完成的，可以推广到时变情形，而传递函数向时变情形的推广是不成功的。虽然动态方程的解析解可能直接得到，但其 数值计算通常要用计算机来完成。
5、本书中所研究的动态方程仅限于有限维的情况，
故它们仅适用于集中参数系统（用微分方程描述的系统，其运动状态只是时间 t 的函数）。
输入 —输出描述既适用于集中参数系统也适用于分布参数系统（用偏微分方程描述的系统，其运动状态不仅是时间 t的函数，而且还是空间变量的函数。如横向振动的弦，它的横向位移 u(t,x)既是时间 t，又是弦上不同点位置 x 的函数）。
由上述讨论可见，输入 —输出描述和动态方程描述各有长处。因此，为了有效地进行设计，一个设计者应该掌握这两种描述。
1、单输入单输出系统二、由系统输入输出描述导出状态空间描述
( ( 1) (1) ( ) ( 1 (1)
10 1 10
......,.....
++ += + ++ +
））
n-1
＋a
nn m m
mm
yy ayaybubu bub
11
0
10
......()
()
()
......
+ +++
==
+++
n-1
＋a
mm
mm
nn
bs b s ba bys
gs
us
ss asas
当m<n时有：
当m=n时
当m＝0时
当m≠0时
01 1
0
01 0
0
1
[(,,,0,,0]
=+
=
# % #
" "
n
m
xxu
aaa
yb b x
2、多输入多输出系统
步骤：
1、化给定方框图为规范化方框图（称一个方框图为规范化方框图，当且仅当其各组成环节的传递函数只为一阶惯性环节（k/(s+si))和比例放大环节ki）
2、对规范化方框图指定状态变量组
3、列写变量间关系方程
4、导出变换域状态变量方程和输出变量方程
5、导出状态空间变量。
三、由方框图描述导出状态空间描述四、由状态空间描述导出传递函数矩阵
1
() ( )
=?+ss EGCIAB
1
() [ ( ) () () ()
=? + =ss EsssyCIAB]uGu
若系统在t
0
松弛，亦即x
0
=0，则时不变系统经拉普拉斯变换得：
也可以改写为：
1
() ( )
det( )
=?+
ssE
sI A
G C[Adj I A ]B
3.6 组合系统的数学描述并联连接,u=u1=u2
y=y1+y2
串联连接,u=u1
y1=u2
y2=y
反馈连接,u1=u-y2,
y=y1=u2
一、时变情形
1、组合系统的输入输出描述设两个多变量系统 Si由下式描述：
则有：
() (,) ( ) 1,2
∞
==
∫
t
iii
yt Gt u d iτττ
12
(,) (,) (,)= +Gt G t G tτττ
21
(,) (,) (,)=
∫
t
Gt G t G d
τ
τνντν
112
(,) (,) (,) (,) (,)=?
∫∫
t
Gt Gt Gt G sGs dsd
ν
ττ
ττ τντν
并联系统串联系统反馈系统
2、组合系统的状态变量描述设两个多变量系统 Si由下式描述：
() ()
() () 1,2
=+
=+ =
iiiii
iiiii
xAtxBtu
yCtxEtu i
[][]
11 11
2222
1
12 12
2
() 0 ()
0() ()
() () () ()
=+
=+
xAt xBt
u
t
x
yCtCt EtEtu
x
并联系统串联系统
[]
11 1 1
2212221
1
21 2 21
2
() 0 ()
() () () () ()
() () () () ()
=+
xAt x Bt
u
xBtCtAtxBtEt
x
yEtCtCt EtEtu
x
反馈系统
[]
11221 122 1
2211 221122
12
211
1
11 112 11
2
() () () () () () ()
() () () () () () () ()
() ()
() () ()
() () () () () () ()
=
+
=+
x A t Y tE tC t B tY tC t x
x B tY tC t A t B tY tE tC t x
BtYt
u
BtYtEt
x
y Y tC t Y tE tC t Y tE tu
x
()()
11
1122 21
() () () () () ()
=+ =+和Yt I EtEt Yt I EtEt
其中：
因此为使上式成立,的逆阵是存在的。
特别注意：反馈系统的状态变量描述条件：
的逆矩阵是存在的。
( ) ( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
( ) ( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
二、时不变情形
1、组合系统的传递函数
12
(,) (,) (,)= +Gt G t G tτττ
21
(,) (,) (,)=
∫
t
Gt G t G d
τ
τνντν
并联系统串联系统
12
() () ()= +GS G S G S
时变系统时不变系统
21
() () ()=GS G SG S
时变系统时不变系统显然，若 G
i
(S)正则,G
1
(S)＋G
2
(S)及G
1
(S) G
2
(S)亦必正则。
正则与严格正则定义：
若 g(∞ )是有限常量 (零或非零 )，则称有理函数 g(s)
是正则的。若 g(∞ )＝ 0，则称 g(s)是严格正则的。若
G(∞ )是有限 (零或非零 )常量矩阵，则称有理函数 G(s)
是正则的。若 G(∞ )＝ 0，则称 G(s)是严格正则的。
若传递函数非正则，高频噪声将会大幅度被放大以致淹没载息信号。因此，非正则有理函数难于得到实际应用，通常研究的是正则有理函数和正则有理矩阵。
112
(,) (,) (,) (,) (,)=?
∫∫
t
Gt Gt Gt G sGs dsd
ν
ττ
ττ τντν
反馈系统
（ 时变系统）
定理3－2,设G
1
(S)和G
2
(S)分别是qXp和pXq的有理函数矩阵（未必正则），则有：
21 12
det( () ()) det( () ()+=+
pq
IGSGS IGSGS
定理3－3,若det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S)）≠0，则：
11
121 121
()( () ()) ( () () ()
+=+
pq
GSI GSGS I GSGS GS
定理3－3推理 ***,若det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S)）≠0，
则反馈系统的传递函数矩阵可给出如下式子：
11
121 121
() ()( () ()) ( () ()) ()
=+ =+
pq
Gs GsI GsGs I GsGs Gs
定理3－3推理 ***,证明
12
12 1
()(() ()()) ()
( () ())() ()()
=
+=
q
G s us G sys ys
IGsGsysGsus
注意,对于一个确定的反馈系统而言，
的条件是至为重要的。 那么，这与前面讲的系统状态变量描述存在的条件有什么关系呢？
()( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
()()
12 p21
det () () det () ()+≠+≠0 或 0
q
IGsGs IGsGs
注：
1、反馈系统输入 —输出描述存在的条件是：
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0
2、反馈系统动态方程描述存在的条件是：
det(I＋E
1
E
2
)≠0
3、对于反馈系统，若det(I＋E
1
E
2
)≠0，则
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0。
4、对于反馈系统，若
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0。并不隐含有
det(I＋E
1
E
2
)≠0
例1（P87）：
2
11
1(1)
12
() (1)(1)
11
0
12
+
++
= ++
+ +?
ss
ss
ys ss
ss
12
1
10
12
() ()
101
12
++
==
+ +?
s
ss
Gs Gs
ss
ss
det(Iq+G
1
(S)G
2
(S))＝0
()
2
1
2
()
1
1
+
=
+
s
us
s
例2（P88）：
21
1
0
() ()
11
11
+=
++?
s
IGSGS
ss
12
1
1
() () 1
2
11
= =
+ +?
s
Gs Gs
ss
ss
1
()
2
0
=
+
us
s
1
11
10
11
()
1211 1
1111
+
==
+ ++ +?
ss
ss
GS
ssss
1
s
1
1+s
2
1
+
s
s
1?
在反馈系统设计中，不仅要求所有元件具有正则传递函数，而且要求整个合成系统具有正则有理矩阵。
定理3－4,设M(s)是有理方阵且可唯一地分解为：
其中M
p
(s)是多项式矩阵，M
ps
(s)是严格正则有理矩阵。这样，当且仅当M
－1
p
(s)存在且为正则时，M
－1
(s)
才是正则的。
() () ()= +
psp
Ms M s M s
定理3－4推理,设M(s)是正则有理方阵，则当且仅当
M(∞)是非奇异时，M
－1
(s)才是 正则的 。
2、适定性问题
1
121
() ()( () ())
=+
p
Gs G s I G sG s
定理3－5 ***,设反馈系统中的qXp矩阵G
1
(S)和pXq
矩阵G
2
(S)分别是S
1
和S
2
的正则有理传递函数矩阵。当且仅当[I
q
+G
1
(∞)G
2
(∞)]是非奇异时，整个系统的传递函数矩阵才是 正则的 。
注,定理3－5条件 [I
q
+G
1
(∞)G
2
(∞)]或
[I
p
+G
1
(∞)G
2
(∞)] 是非奇异的条件与状态变量描述时的条件 (I+E
1
E
2
)是非奇异的 是相同的。
这样就解决了两种描述之间的差异。
31 421
1
31 421
1
21 31 421
() () () ()() () () ()()
() [ () () () () ] ()
() () ()[ () () () () ()]
=
=+ +
+
f
es us G sG ses G sG sG ses
es I G sG s G sG sG us
G s G sG s I G sG s G sG sG s
2143
00
1
0
() () () ()
1
0
1
1
0
() ( ) 0 ()
1
0
1
= == =?
+?
=∞==
+?
f
s
Gs Gs Gs I Gs I
s
s
Gs G Gs I
s
定义3－9,设组合系统的每一个子系统均可由有理传递函数描述。若每一个子系统的传递函数是正则的，
且从任意作为输入端的点至沿着有向路径的每一个其它的闭环传递函数存在且正则，则称该组合系统是 适定的（well posed)。
1
31 421
1
31 31 421
1
21 31 421
() [ () () () () ] ()
() () [ () () () () ] ()
() () [ () () () () ] ()
=? + +
=? + +
=? + +
es I G sG s G sG sG rs
ws GsGIGsGs GsGsG rs
ys GsGIGsGs GsGsG rs
11
031421
()( ()() ()()()
++ G s I G sG s G sG sG s
定理3－6,图3－26中的系统G
i
(s)是适当阶数的有理传递函数矩阵。当且仅当G
i
(s)(i=1,2,3,4)正则以及有理矩阵存在且正则或常数矩阵是非奇异时，图3－26所示的系统是适定的。
031421
()( ()() ()()()∞ =+∞∞+∞∞∞G IGG GGG
detG
0
(∞)=0，含有回路增益等1的回路回路中有无穷增益或非正则传函
detG
0
(∞)=2。虽然回路中含有增益等1的回路，但是组合系统中存在s＝∞的非零回路增益的另一回路。
小结：
1、若系统具有在s＝∞时其纯回路增益为
1的组合回路，则该组合回路等价于无穷大增益或非正则传递函数。
2、当且仅当系统不具有在s＝∞时其纯回路增益为1的组合回路，系统才是适定的。
3.7 离散时间系统在前面的研究中，时变系统的输入和输出均定义在时域(-∞,∞)的所有t上，
时不 变系统则定义在[0,∞)的所有t上。
离散时间系统的输入和输出仅定义在一些离散瞬间上。
在时间研究中，为了方便，假设输入和输出的离散瞬时是等间隔的。
作业：
3-13,3-21,3-22,3-25
3－33,3－35,3－37,3－41
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统
3.5 输入输出描述和状态空间描述的关系
u
y
1,输入 —输出描述仅揭示在初始松弛的假定下输入与输出之间的关系。这种描述方法不能表示在非松弛情况下系统的输入输出关系,更重要的一点是它也不能揭示系统内部的行为。
一、两种描述方法的比较例,考虑系统：
12 0
(),0+ += ≥= yyyutttαα
2
12
1
() ()=
++
ys us
ssαα
若 y(0)=y’(0)=0，可直接用传递函数描述系统的输入输出关系：
内部状态 y’ 是不能观测到的。若控制对 y’ 亦有要求，则采用经典控制论的设计方法有时难以奏效。
采用状态空间描述：
0
()
(),
()
==+≥
yt
tut
yt
xAxb
系统的内部和外部状态均能得到揭示。
1Ω
1
y
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
2
y
1Ω
1Ω
1Ω
+
u
+
RL
C
y
2,对于比较复杂的线性系统，求其动态方程是一件困难的工作。在这种情况下，借助于直接量测来得到输入 —输出描述有时更为有效。
通常 可以对每一输入端施以脉冲，则输出端的响应就立刻为我们提供了系统的脉冲响应矩阵。实际实验过程中，很难产生脉冲函数，因此常采用 单位阶跃函数 进行实验。在求得单位阶跃响应后，获得脉冲响应矩阵。
0
0
10
0
10
010
0
1
()
0
(,) (,)
(,) (,)
≥
=
<
=
=?
∫
t
t
tt
tt
tt
gtt gt d
gtt g tt
t
δ
ττ
3、在经典控制理论中，分析和综合都是在传递函数基础上实现的，例如容易 用根轨迹方法或Bode图完成反馈系统的设计，这种设计由于解的不唯一性，在 设计法上含有较多的试凑的成份,故设计者的经验起着很重要的作用。 对于多变量情形时，上述方法很难实现 。
4、现代控制理论能处理那些经典理论所不能处理的问题，如最优控制问题、极点配置问题等。
在现代控制理论中，系统设计是用动态方程完成的，可以推广到时变情形，而传递函数向时变情形的推广是不成功的。虽然动态方程的解析解可能直接得到，但其 数值计算通常要用计算机来完成。
5、本书中所研究的动态方程仅限于有限维的情况，
故它们仅适用于集中参数系统（用微分方程描述的系统，其运动状态只是时间 t 的函数）。
输入 —输出描述既适用于集中参数系统也适用于分布参数系统（用偏微分方程描述的系统，其运动状态不仅是时间 t的函数，而且还是空间变量的函数。如横向振动的弦，它的横向位移 u(t,x)既是时间 t，又是弦上不同点位置 x 的函数）。
由上述讨论可见，输入 —输出描述和动态方程描述各有长处。因此，为了有效地进行设计，一个设计者应该掌握这两种描述。
1、单输入单输出系统二、由系统输入输出描述导出状态空间描述
( ( 1) (1) ( ) ( 1 (1)
10 1 10
......,.....
++ += + ++ +
））
n-1
＋a
nn m m
mm
yy ayaybubu bub
11
0
10
......()
()
()
......
+ +++
==
+++
n-1
＋a
mm
mm
nn
bs b s ba bys
gs
us
ss asas
当m<n时有：
当m=n时
当m＝0时
当m≠0时
01 1
0
01 0
0
1
[(,,,0,,0]
=+
=
# % #
" "
n
m
xxu
aaa
yb b x
2、多输入多输出系统
步骤：
1、化给定方框图为规范化方框图（称一个方框图为规范化方框图，当且仅当其各组成环节的传递函数只为一阶惯性环节（k/(s+si))和比例放大环节ki）
2、对规范化方框图指定状态变量组
3、列写变量间关系方程
4、导出变换域状态变量方程和输出变量方程
5、导出状态空间变量。
三、由方框图描述导出状态空间描述四、由状态空间描述导出传递函数矩阵
1
() ( )
=?+ss EGCIAB
1
() [ ( ) () () ()
=? + =ss EsssyCIAB]uGu
若系统在t
0
松弛，亦即x
0
=0，则时不变系统经拉普拉斯变换得：
也可以改写为：
1
() ( )
det( )
=?+
ssE
sI A
G C[Adj I A ]B
3.6 组合系统的数学描述并联连接,u=u1=u2
y=y1+y2
串联连接,u=u1
y1=u2
y2=y
反馈连接,u1=u-y2,
y=y1=u2
一、时变情形
1、组合系统的输入输出描述设两个多变量系统 Si由下式描述：
则有：
() (,) ( ) 1,2
∞
==
∫
t
iii
yt Gt u d iτττ
12
(,) (,) (,)= +Gt G t G tτττ
21
(,) (,) (,)=
∫
t
Gt G t G d
τ
τνντν
112
(,) (,) (,) (,) (,)=?
∫∫
t
Gt Gt Gt G sGs dsd
ν
ττ
ττ τντν
并联系统串联系统反馈系统
2、组合系统的状态变量描述设两个多变量系统 Si由下式描述：
() ()
() () 1,2
=+
=+ =
iiiii
iiiii
xAtxBtu
yCtxEtu i
[][]
11 11
2222
1
12 12
2
() 0 ()
0() ()
() () () ()
=+
=+
xAt xBt
u
t
x
yCtCt EtEtu
x
并联系统串联系统
[]
11 1 1
2212221
1
21 2 21
2
() 0 ()
() () () () ()
() () () () ()
=+
xAt x Bt
u
xBtCtAtxBtEt
x
yEtCtCt EtEtu
x
反馈系统
[]
11221 122 1
2211 221122
12
211
1
11 112 11
2
() () () () () () ()
() () () () () () () ()
() ()
() () ()
() () () () () () ()
=
+
=+
x A t Y tE tC t B tY tC t x
x B tY tC t A t B tY tE tC t x
BtYt
u
BtYtEt
x
y Y tC t Y tE tC t Y tE tu
x
()()
11
1122 21
() () () () () ()
=+ =+和Yt I EtEt Yt I EtEt
其中：
因此为使上式成立,的逆阵是存在的。
特别注意：反馈系统的状态变量描述条件：
的逆矩阵是存在的。
( ) ( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
( ) ( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
二、时不变情形
1、组合系统的传递函数
12
(,) (,) (,)= +Gt G t G tτττ
21
(,) (,) (,)=
∫
t
Gt G t G d
τ
τνντν
并联系统串联系统
12
() () ()= +GS G S G S
时变系统时不变系统
21
() () ()=GS G SG S
时变系统时不变系统显然，若 G
i
(S)正则,G
1
(S)＋G
2
(S)及G
1
(S) G
2
(S)亦必正则。
正则与严格正则定义：
若 g(∞ )是有限常量 (零或非零 )，则称有理函数 g(s)
是正则的。若 g(∞ )＝ 0，则称 g(s)是严格正则的。若
G(∞ )是有限 (零或非零 )常量矩阵，则称有理函数 G(s)
是正则的。若 G(∞ )＝ 0，则称 G(s)是严格正则的。
若传递函数非正则，高频噪声将会大幅度被放大以致淹没载息信号。因此，非正则有理函数难于得到实际应用，通常研究的是正则有理函数和正则有理矩阵。
112
(,) (,) (,) (,) (,)=?
∫∫
t
Gt Gt Gt G sGs dsd
ν
ττ
ττ τντν
反馈系统
（ 时变系统）
定理3－2,设G
1
(S)和G
2
(S)分别是qXp和pXq的有理函数矩阵（未必正则），则有：
21 12
det( () ()) det( () ()+=+
pq
IGSGS IGSGS
定理3－3,若det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S)）≠0，则：
11
121 121
()( () ()) ( () () ()
+=+
pq
GSI GSGS I GSGS GS
定理3－3推理 ***,若det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S)）≠0，
则反馈系统的传递函数矩阵可给出如下式子：
11
121 121
() ()( () ()) ( () ()) ()
=+ =+
pq
Gs GsI GsGs I GsGs Gs
定理3－3推理 ***,证明
12
12 1
()(() ()()) ()
( () ())() ()()
=
+=
q
G s us G sys ys
IGsGsysGsus
注意,对于一个确定的反馈系统而言，
的条件是至为重要的。 那么，这与前面讲的系统状态变量描述存在的条件有什么关系呢？
()( )
12 21
() () () ()++和IEtEt IEtEt
()()
12 p21
det () () det () ()+≠+≠0 或 0
q
IGsGs IGsGs
注：
1、反馈系统输入 —输出描述存在的条件是：
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0
2、反馈系统动态方程描述存在的条件是：
det(I＋E
1
E
2
)≠0
3、对于反馈系统，若det(I＋E
1
E
2
)≠0，则
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0。
4、对于反馈系统，若
det(Iq+(G
1
(S)G
2
(S))≠0。并不隐含有
det(I＋E
1
E
2
)≠0
例1（P87）：
2
11
1(1)
12
() (1)(1)
11
0
12
+
++
= ++
+ +?
ss
ss
ys ss
ss
12
1
10
12
() ()
101
12
++
==
+ +?
s
ss
Gs Gs
ss
ss
det(Iq+G
1
(S)G
2
(S))＝0
()
2
1
2
()
1
1
+
=
+
s
us
s
例2（P88）：
21
1
0
() ()
11
11
+=
++?
s
IGSGS
ss
12
1
1
() () 1
2
11
= =
+ +?
s
Gs Gs
ss
ss
1
()
2
0
=
+
us
s
1
11
10
11
()
1211 1
1111
+
==
+ ++ +?
ss
ss
GS
ssss
1
s
1
1+s
2
1
+
s
s
1?
在反馈系统设计中，不仅要求所有元件具有正则传递函数，而且要求整个合成系统具有正则有理矩阵。
定理3－4,设M(s)是有理方阵且可唯一地分解为：
其中M
p
(s)是多项式矩阵，M
ps
(s)是严格正则有理矩阵。这样，当且仅当M
－1
p
(s)存在且为正则时，M
－1
(s)
才是正则的。
() () ()= +
psp
Ms M s M s
定理3－4推理,设M(s)是正则有理方阵，则当且仅当
M(∞)是非奇异时，M
－1
(s)才是 正则的 。
2、适定性问题
1
121
() ()( () ())
=+
p
Gs G s I G sG s
定理3－5 ***,设反馈系统中的qXp矩阵G
1
(S)和pXq
矩阵G
2
(S)分别是S
1
和S
2
的正则有理传递函数矩阵。当且仅当[I
q
+G
1
(∞)G
2
(∞)]是非奇异时，整个系统的传递函数矩阵才是 正则的 。
注,定理3－5条件 [I
q
+G
1
(∞)G
2
(∞)]或
[I
p
+G
1
(∞)G
2
(∞)] 是非奇异的条件与状态变量描述时的条件 (I+E
1
E
2
)是非奇异的 是相同的。
这样就解决了两种描述之间的差异。
31 421
1
31 421
1
21 31 421
() () () ()() () () ()()
() [ () () () () ] ()
() () ()[ () () () () ()]
=
=+ +
+
f
es us G sG ses G sG sG ses
es I G sG s G sG sG us
G s G sG s I G sG s G sG sG s
2143
00
1
0
() () () ()
1
0
1
1
0
() ( ) 0 ()
1
0
1
= == =?
+?
=∞==
+?
f
s
Gs Gs Gs I Gs I
s
s
Gs G Gs I
s
定义3－9,设组合系统的每一个子系统均可由有理传递函数描述。若每一个子系统的传递函数是正则的，
且从任意作为输入端的点至沿着有向路径的每一个其它的闭环传递函数存在且正则，则称该组合系统是 适定的（well posed)。
1
31 421
1
31 31 421
1
21 31 421
() [ () () () () ] ()
() () [ () () () () ] ()
() () [ () () () () ] ()
=? + +
=? + +
=? + +
es I G sG s G sG sG rs
ws GsGIGsGs GsGsG rs
ys GsGIGsGs GsGsG rs
11
031421
()( ()() ()()()
++ G s I G sG s G sG sG s
定理3－6,图3－26中的系统G
i
(s)是适当阶数的有理传递函数矩阵。当且仅当G
i
(s)(i=1,2,3,4)正则以及有理矩阵存在且正则或常数矩阵是非奇异时，图3－26所示的系统是适定的。
031421
()( ()() ()()()∞ =+∞∞+∞∞∞G IGG GGG
detG
0
(∞)=0，含有回路增益等1的回路回路中有无穷增益或非正则传函
detG
0
(∞)=2。虽然回路中含有增益等1的回路，但是组合系统中存在s＝∞的非零回路增益的另一回路。
小结：
1、若系统具有在s＝∞时其纯回路增益为
1的组合回路，则该组合回路等价于无穷大增益或非正则传递函数。
2、当且仅当系统不具有在s＝∞时其纯回路增益为1的组合回路，系统才是适定的。
3.7 离散时间系统在前面的研究中，时变系统的输入和输出均定义在时域(-∞,∞)的所有t上，
时不 变系统则定义在[0,∞)的所有t上。
离散时间系统的输入和输出仅定义在一些离散瞬间上。
在时间研究中，为了方便，假设输入和输出的离散瞬时是等间隔的。
作业：
3-13,3-21,3-22,3-25
3－33,3－35,3－37,3－41
