§8-3 李雅普诺夫第二方法为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
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例:考虑如下系统关于零解的稳定性：
5xx=?&
首先构造一个正定函数：
2()=vxx
()00,()00>?≠=?=显然,且 。vxxvxx
现在，我们考虑沿上述微分方程的解对时间的导数，有
vt
221000==?<?≠& &vx xx
由于v(x)正定，负定，意味着v(x)收敛，从而x
必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论，却并未求解微分方程。
v&
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例：考虑小阻尼线性振动系统：
12
212
0.5xxxxx V==?=
&
& 阻尼比
120,0xx==试研究其平衡状态 的稳定性。
类似于前例，取一个函数，通常称为函数：v
22
121122(,)322=++vxxxxxx
易于验证，这是一个正定函数。而方程
22
1122322,0xx xCC++=<<∞当 时表示一个椭圆族。
1x
2x
一般说来，微分方程的解不能求得，故v 的显式不能得到。但却可求出v 沿微分方程解的导数：
22
12122121212
12
(62)(24)()2()=+=+++=?+&&&vvvxxxxxxxxxxxxx
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1x
2x当x
1和x2不同时为零时，即在相平面上，除原点x1=x2=0外，总有dv/dt<0，这说明v总是沿着微分方程的运动而减小的，也就是说，运动轨线从v=C的椭圆的外面穿过椭圆走向其内部。因此，
系统关于零解必是渐近稳定的。
以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数，
不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求解微分方程是做不到的。
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因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：
1) 构造一个函数v(x1,…,xn),它具有一定的符号特性，
例如证明渐近稳定时要求v(x1,…,xn)=C(C>0),且当C
趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；
2)v(x1,…,xn)沿着解x1=x1(t),…,xn=xn(t)的时间导数
dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。
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正定函数v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。 1234567＜＜＜＜＜＜CCCCCCC
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
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一、符号函数的定义
0,
(,) 0(,)
(0,)0
u
<?≥
>
=
我们首先考察定义在上的时变量实值函数 这里，，并假定为单值连续的，
且当 =0时，。例如
xtt
xtvxt
xvt
1)0(0),
)0()(
vtxxvx
vxxvx
<?≥≤
=≠
（）若不显含,只是的函数，当 时有（
且（有非零解 0,则称为常正常负）函数。
定 7-12义
22
1202
1(,)(),0
1=+≥>+vxtxxttt
就是这样的函数。
22
1212()2vxxxxx=+? 是一个常正函数。例：
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)0(0))0
)
xvxvx
xvx
<?><=若当0< 时有（，且（仅有零解=0,则称（为正定（负定）函数。
22
12()vxxx=+是一个正定函数。例：
02(,)(,)0(0),vxtttxvxt≥<?≥≤（）若在,上恒有
22
1202
1(,)(),0vxtxxtt
t=+≥>+ 就是一个常正函数。例：
lim(,)0→∞ =注意到在这个例子中 。tvxt
常正（负）函数又称为半正（负）定函负 数统数号 数
。
称常正、
常函常函。
(,)(vxt则称为常正常负）函数。
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0()
(,)()(,)
xwxtt
vxtwxvxt
<?≥
≥
若当 存在正定函数，使得对于成立,则称为正定函数；
22
1202
22
12
1(,)(1)(),0,
1
()
vxtxxttt
wxxx
=++≥>+
=+
正定，只要取就可看出。
例：
负 数统称 号 数正定、定函定函。
号号数数统称变号 数（3）不是常和定函的函函。
12()vxxx= 是变,号函数。例
0 (,)()(,)ttvxtwxvxt≤?若对于,成立,则称为负定函数。
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ε
例：变号v(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
22
120(,)()()0)0
tvxtaexxatt?=++>≥>（是 上的
。
,正定函数例
22
120(,)()0
tvxtexxtt?=+≥>,是 上的常正（半正定）
函数。
例正定和常正函数的例子：
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22
12 2
1(,)vxtxtxt
x=+=不具无限小上界，只要取 ；例：
0
4(,)
()(,)()lim(,)0→≤=
（）称是具无限小上界的，若存在正定函数
，使得,即 对一致。
x
vxt
wxvxtwxvxt
t
22
12(,)sin=+?而具无限小上界，只要取vxtxtx
22
12() +=wxxx
即可。
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本节讨论方程关于平衡状态x = 0的稳定性。
(,)(0,)0;R nxfxtft=∈=&,
二、几个主要定理
1212[,,,],(,)[,,,]
TT
nnxxxxfxtfff==LL
或
0== )(f),x(fx& (8-39)
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11
()()() ()nni
i
iiii
dxdvxvxvx fx
dtxdtx==
∑∑
1
2
12
()
()()()()() ()
()
T
n
n
fx
fxvxvxvxvx fx
x xx
fx
==
L M
首先，对函数v(x) 沿方程(8-39)解对时间t 求导数：
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v(x,t)正定（负定），且沿方程（8-39）
则（8-39）的零解i.s.L稳定。
定理8-20*（Lyapunov,1892)：
的始于x、t 的运动的导数
00 == )(f),x(fx& (8-39)
∑
=
≥≤+=+=
n
i
i
i
T
)()t,x(fxvtv)t,x(fxvtv)t,x(v
1
00& (8-40)
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注：
1) 这是一个充分条件；
2) 若f不显含t,从而v 不显含t，则结论为
1
()()()()0(0)
=
= ≤≥∑& nT
i
i
vvvxfxfx
xx
(),(0)0xfxf==&这里，
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几何解释（仅讨论v(x)的情形）：
1x
2x
1x
2x
由于v(x)正定，v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知v(x)
的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，
这表明系统关于原点（零解）是稳定的。
&v0C →
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例：考虑系统,12
21
=
=?
&
&
xx
xx
事实上，我们有：
2222
1 1020()()()()xtxtxtxt+=+。
22
12112 1221()(),2220,
720 0,
=+=+=?+=
=
&&
&
取 则（）
根据定理 系统关于零解李氏稳定。因 可知相轨迹必在等值线上。
vxxxvxxx x xx
v8
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则（8-39）的零解渐近稳定。
几何解释：
由于v(x)正定，v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越
v(x)=C 走向内部。这表明，limt→0x(t)=0，即原点
（零解）是渐近稳定的。
定理8-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程
（8-39）dx/dt=f(x),f(0)=0 解的导数
)()x(fxv)x(fxvdt )x(dv
n
i
i
i
T
00
1
><== ∑
=
(8-40)
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1x
2x
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例：考虑小阻尼线性振动系统：
12
212
=?
=
&
&
xx
xxx
120,0xx==研究其平衡状态 的稳定性。
22
12(),=+若取 则有vxxx
2
12122122
12
22()20=+=+=?≤&&&vvvxxx xxxxxx
此时只能用定理8-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。
思考：若取 会是怎样的？212221 223)( xxxxxV ++=
这说明：
正定半负定
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a) 能构造出v(x)，满足定理8-21*，从而判定系统渐近稳定；
b) 能构造出v(x)，仅满足定理8-20*，只能得出稳定的结论；
c) 甚至连满足定理8-20*的v(x)也构造不出来，这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。
1) 对一个系统，构造一个合适的v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：
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定理8-21** 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（8-39）
的导数且沿方程（8-39）的非零解，dv/dt 不恒为零，则
（8-39）的零解渐近稳定。
v &
2）定理8-21*对dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：
00 == )(f),x(fx& (8-39)
)()x(fxv)x(f)xv()x(v i
n
i i
T 00
1
≥≤== ∑
=
& (8-40)
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定理8-22* 若有一个v(x),满足
(1)在原点的某个邻域‖x‖< e内，存在v>0的区域，
这种区域可能包含若干个子区域uj,而uj的边界是由
v=0和‖x ‖= e所组成。
0,v >&(2) 在某个子区域，v沿（8-39）解的导数则（8-39）的零解是不稳定的。
v(x)>0
0v <&
0v ≤&
0v ≤&
定理8-20*
定理8-21*
定理8-21**
v(x)>0
v(x)>0 渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定
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ε
定理8-22*的几何意义：
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v >&
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定理8-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵N，
都存在唯一的正定对称阵M，使得
Axx=&
T +=?AMMAN（8—44）
三、线性系统二次型v 函数构造为什么要研究这个问题？
在控制律的设计中，通常由于A阵的参数并不确切知道，
则定理8-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个v
函数，其沿方程的导数是负定的，则系统一定渐近稳定。因此，定理8-25以及其构造Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十分重要的意义。
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证明：充分性：若对任给正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵M，使(8-44)成立，要证明系统渐近稳定。
为此，构造Lyapunov函数：
()= MTvxxx
对其沿方程的解微分，有由定理8-21*知零解渐近稳定。
()0=+=?<AMMAN&TTTvxxxx
必要性：要证明若dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵N，有唯一的正定对称阵M存在，使得
(8-44)成立。为此，考虑矩阵微分方程
(0)0T=>XAX+XA,X=N& 且令
+=?AMMANT
（8—44）
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不难验证其解为
T tee= AAtXN
对
00
00
()(0)()()
(Re()0,()0)
()()
T
T
dtdt
dtdt
l
∞∞
∞∞
∞?=+
<∞=
+
∫∫
∫∫
XXAXXA
AX
N=AXXA
Q
(0)0=>XAX+XA,X=N& T
积分并注意到系统渐近稳定的假设，有
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=MM；T
00
()()TTTttTxxxeedtxexexdt
∞∞
==∫∫AA AAtMNN
00
,
∞∞
==∫∫AAtMXNTtdteedt
则易于验证它是正定对称阵。首先，
其次，注意到令
()()00>?≠AAtNA
M
且。又由于 阵均具负实部，故积分有界,必正定。因此方程
(7-44)成立。
tTexexx
8
对称正定
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M阵的唯一性：为此将方程（8-44）写成
11
22
+=?
+=?
AMMAN
AMMAN
T
T
两式相减得
1212()()0?+?=AMMMMA
T
1212)(0?+?=
AA[A(MMMM)A]TtTtee
因此，
12[)]0=
AA(MMTttdee
dt
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12)=?
AA(MMCTtteet
0
12
=→?=MMCt
12lim)0→∞?=
AA(MMTtt
tee
12
0?=
=
C
MM。 证完。
又
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定理8-25* 设A、F和G/C分别是 矩阵，则方程
,,nnrrrn×××
有 阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。
×rn
M阵唯一性的简单证明方法：考虑定理8-25*:
对(8-33)进行转置并令r=n,FT= - A,CTGT=- N,
P=M（注意M已是对称的）,有
)W(:CGPFAP nqqrrrnr ==? ×××× （8-33）
NMAMA
NFPPAGCFPPA
T
TTTTTTTT
=+?
==?
(8-44)
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这里，用到了M为对称正定阵的假设。于是，M唯一存在的充要条件是－A与AT无相同的特征值。由于A
渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，
即：
()(),,()()0,,AAAATTijijijij≠+≠?llll
证完。
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几点说明：
2,在求解（8—44）时比较简单的是取N为单位阵;
3,当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，
而后解（8—44）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用Sylvester 定理写出M阵正定的条件，
这样就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的条件是和N阵的选择无关的。
1,矩阵方程（8—44）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（8-44）
所定义的 个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在;
2
)1( +nn
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4,需要引起注意的是，定理8-25并不意味着以下命题成立，即例8— 10 1 12
,1325==
AM
显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（8—44）
计算出的
22
226
=
N
却不是正定的。
“A渐近稳定，M正定，由（8—44）式所得的N一定正定。”
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例8-9 考虑二维系统
11 121
221222
=
&
& 14243
xaax
xaax
A
求系统渐近稳定时参数应满足的条件。
令N=I，由（8-44）式可得
1
1 2111
121 2 2112
122 22
2 01
0
0221
aam
aaaam
aam
+=
A
14444244443
上述方程组的系数矩阵A1的行列式为
=
2212
1211
mm
mmM
+=?AMMANT
（8—44）
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11 2 112 1221
1 22
det()4()()
4 )det()
A
A
aaaaaa
aa
=+?
=+
若detA1≠0，方程组就有唯一解，其解为
22
212 122 2111
221
122 211 1 22
det(()2
det() )det(
aaaaaa
aaa aa
++?+?=
++
A)M
A A)
由M正定的Sylvester 判据可得
2 22
212 2122
11
1 22
2[det()]det() 01
det()2()det()
a aam
aa
+ ++==>
+1
AA（）
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2由（）：必须
(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。
13由（），并考虑到（），应有
112 1221det03A aaaa=?>（）
22
1 2 1221
2
1 22
()()det()02
4()det()
aaaa
aa
++?=>M
A及 （）
1 22()04aa+< （）
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有正定对称解的充分必要条件为xx= A& 渐近稳定。
定理8-26 若定理8-25（8-44）中的N取为半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零，
则矩阵方程
&x
ATX+XA=?N （8-46）
注：关于定理8-26
“xTNx沿方程的非零解不恒为零”的条件不能少。
例1,A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定
1
21010 0,
1100 00
===
ANM
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1,这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，
容易算出但此时
2,若将N分解为N=[1 0]T[1 0]:=CTC，则易于验证
(A，C)不可观测。
100≡?≡N 。
Txxx
若
2201(0)
txexx?=≡因为
Txx这说明沿方程的非零解恒为零，不满足定理条件。N
20200xxx≠?≠?是非零解。
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1
2 10100,
000100
===
ANM
例2,N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。
分析：1,xTNx沿方程的非零解
0.5
110101,00;
txxexx?==?≡
2,令C=[1 0],N=CTC,可知(A,C)不可观测。
但xTNx=x12,故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。
22020,0,xxx=≠
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xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A,C)可观测,
定理满足。
11
24
11
44
1110,
0100
===
ANM
例3：
()(0)(0)
0
A
tt
t
t
etextexx
e
==
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结论：“xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用(A,C)
可观测代替，这里N= CTC。进而，我们有：
定理8-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程
= A&xx
+=?AMMANT （8—44）
在给定（A,N)为可观测的半正定阵N下，方程(8-44)
的解M为正定。
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关于定理的证明：
1) 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为
N=CTC
的形式。易于证明（例如用反证法），(A,N)可观测可推得(A,C)可观测。
2) 必要性证明：类似于定理8-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，N)可观测的半正定阵N，由积分
00
AAAAM=NCCTTtttTteedteedt
∞∞
=∫∫
确定的矩阵M必满足(8-44)且为正定（可观测性
Gram矩阵）。
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3) 充分性证明：若在给定（A,N)为可观测的半正定阵N下，方程(8-44)的解M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑
0000(*)
TTTtxxxxxex==?=?=ANC CC
000|0
ACCt
texx===
微分（*）式，有
0000|0
AACACACAtt
texexx==?==
MM
1
0 0CA
n x? =
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这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒为零。由定理8-21**，系统必渐近稳定。 证完。
0Txx≡N
00
1
00
=?≡
C
CA
CA
M
n
xx
例题8-11：考虑如下三阶多项式：
32
1230sasasa+++=
注,以上证明可以去掉，根据“(A,C) 可观测当且仅当h ={0}”这一命题就立即可以看出x0≡0。
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0 1
3232
123213
() ()
()
Ds Ds
Dssasasasasasa=+++=+++123 14243
令定义系统如下：
11
0101
()() 1()
()()()1()/()
DsDsgs
DsDsDsDsDs===++
假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开：
试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。
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01231
2
1113
()()/1
()
Dssaaaas
Dsaasa
=+
+
则 s
s
s
3
2
1 1
1
aa
a
+
+=
saaaa
saaa
sa
aaas
asasa
31
321321
2
11
1321
3
2
11 1
)(
11
/)(
11
+?
+=
++=
ss
s)s(D)s(D)s(D
)s(D)s(g
3
2
1
1
0
1
1
11
1
1
1
aa
a
+
++
=
+
==
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3
2
2
13
1 123
1
0
3
1sa
saa
aaas
a
sa
劳斯表：
不难验证，g(s)可由下列系统实现：
1
1
sa
3x 2
1
sa
2x
3
1
sa
1x
u
y
( )( )
=?=
=?=
==
3
2
31
321
3
2
1
321
1
12
11
1
11
b
b:
aa
aaa
b
b:
aaa
aa
b:a
a
a
a
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这是一个最小实现，系统可控可观测。现用
Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。
为此定义N为 0000
0000002
002 2
==
N
[ ]xy
uxx
100
1
0
0
110
101
010
11
22
3
=
+
=
aa
aa
a
&
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0000
0000002
002 2
==
N
显然，(A,N)可观测。解方程
+=?AMMANT
得到欲使M正定，只要 a1>0,
a2 >0,a3 >0。
一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见Chi-Tsong
Chen,“Linear System Theory and Design”p.417.
=
1
2
3
00
00
00
a
a
a
M
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四、关于Lyapunov函数
3,应当特别注意定理8-20*-8-21**均为充分条件。
这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的v
函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找出满足不稳定定理的v函数（参见高为炳《运动稳定性基础》）；
1,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；
2,如何构造v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造v 函数的方法。
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4,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理8-25、定理8-26及定理8-26*，是基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程(8-44)：
ATM+MA=?N，
这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的v 函数;
v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合;
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有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果；
5,对时变的函数v(x,t)，除了前述符号的要求之外(定号函数的定义也异于v(x))，定理也和定常情况不同，
应用有关稳定性定理时要特别注意“具无穷小上界”(1)或“K类函数界”(2)的要求。引用教科书时要多查证。
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本章总结在本章中，主要介绍了线性系统的平衡状态的李亚普诺夫稳定性和渐近稳定性，时不变系统的BIBS和BIBO稳定性。在时变情形下，非一致稳定的系统可以是李氏稳定的。而对时不变情形，一致稳定和李氏稳定没有区别。且时不变系统的渐近稳定、
一致渐近稳定、按指数率渐近稳定也是等同的。
尽管证明了时变情形时稳定性的充要条件（定理8-2），但因一般情况下很难得到状态转移矩阵，所以难以使用这些条件。
对时不变系统，可由传递函数极点或矩阵A的特征值来检验其稳定性。可以对A的特征多项式应用劳斯-霍尔维茨或者李亚普诺夫定理来检验A的所有特征值是否都具有负实部。
在计算量上，劳斯-霍尔维茨方法比在检验A的稳定性中的李亚普诺夫方法要简单。
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本章主要知识点：
稳定是一切控制系统能够正常运行的前提。系统运动的稳定性是除能控性、能观性之外的另一个要研究的基本课题。本章研究对象将扩展到涉及线性、非线性，
时变、时不变，连续、离散系统。主要知识点有：
1、两类稳定性内部稳定性-渐近稳定，对连续时不变情形充要条件为A特征值均具负实部；
外部稳定性-有界输入-有界输出稳定（BIBO稳定），对连续时不变情形充要条件为传函矩阵G(s)的所有极点均具负实部；
两类稳定性的等价条件，对连续时不变情形系统渐近稳定则必为BIBO稳定，
系统BIBO稳定不保证必为渐近稳定。当系统为完全能控和完全能观时，则系统
BIBO稳定当且仅当系统渐近稳定。定理8-8~-13。
2、李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定，一致稳定，渐近稳定，不稳定，各种稳定性之间的蕴涵关系
3、连续时间系统稳定性判据小范围渐近稳定判据，大范围渐近稳定判据，不稳定判据，定理8-2。
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4、连续时间线性时不变系统的稳定性判据特征值判据（定理8-4），李亚普诺夫判据本章习题：
1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为
[ ]xy,uxx 0525
10
0
0
50250
100
010
=
+
=&
试判断：1）系统是否为渐进稳定；2）是否为BIBO稳定；并解释。
2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定：
=
=
2
2
112
21
xxxx
xx
&
&
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第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
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例:考虑如下系统关于零解的稳定性：
5xx=?&
首先构造一个正定函数：
2()=vxx
()00,()00>?≠=?=显然,且 。vxxvxx
现在，我们考虑沿上述微分方程的解对时间的导数，有
vt
221000==?<?≠& &vx xx
由于v(x)正定，负定，意味着v(x)收敛，从而x
必将渐进收敛到0。我们得出了这个结论，却并未求解微分方程。
v&
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例：考虑小阻尼线性振动系统：
12
212
0.5xxxxx V==?=
&
& 阻尼比
120,0xx==试研究其平衡状态 的稳定性。
类似于前例，取一个函数，通常称为函数：v
22
121122(,)322=++vxxxxxx
易于验证，这是一个正定函数。而方程
22
1122322,0xx xCC++=<<∞当 时表示一个椭圆族。
1x
2x
一般说来，微分方程的解不能求得，故v 的显式不能得到。但却可求出v 沿微分方程解的导数：
22
12122121212
12
(62)(24)()2()=+=+++=?+&&&vvvxxxxxxxxxxxxx
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1x
2x当x
1和x2不同时为零时，即在相平面上，除原点x1=x2=0外，总有dv/dt<0，这说明v总是沿着微分方程的运动而减小的，也就是说，运动轨线从v=C的椭圆的外面穿过椭圆走向其内部。因此，
系统关于零解必是渐近稳定的。
以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数，
不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求解微分方程是做不到的。
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因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：
1) 构造一个函数v(x1,…,xn),它具有一定的符号特性，
例如证明渐近稳定时要求v(x1,…,xn)=C(C>0),且当C
趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；
2)v(x1,…,xn)沿着解x1=x1(t),…,xn=xn(t)的时间导数
dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。
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正定函数v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。 1234567＜＜＜＜＜＜CCCCCCC
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
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一、符号函数的定义
0,
(,) 0(,)
(0,)0
u
<?≥
>
=
我们首先考察定义在上的时变量实值函数 这里，，并假定为单值连续的，
且当 =0时，。例如
xtt
xtvxt
xvt
1)0(0),
)0()(
vtxxvx
vxxvx
<?≥≤
=≠
（）若不显含,只是的函数，当 时有（
且（有非零解 0,则称为常正常负）函数。
定 7-12义
22
1202
1(,)(),0
1=+≥>+vxtxxttt
就是这样的函数。
22
1212()2vxxxxx=+? 是一个常正函数。例：
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)0(0))0
)
xvxvx
xvx
<?><=若当0< 时有（，且（仅有零解=0,则称（为正定（负定）函数。
22
12()vxxx=+是一个正定函数。例：
02(,)(,)0(0),vxtttxvxt≥<?≥≤（）若在,上恒有
22
1202
1(,)(),0vxtxxtt
t=+≥>+ 就是一个常正函数。例：
lim(,)0→∞ =注意到在这个例子中 。tvxt
常正（负）函数又称为半正（负）定函负 数统数号 数
。
称常正、
常函常函。
(,)(vxt则称为常正常负）函数。
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0()
(,)()(,)
xwxtt
vxtwxvxt
<?≥
≥
若当 存在正定函数，使得对于成立,则称为正定函数；
22
1202
22
12
1(,)(1)(),0,
1
()
vxtxxttt
wxxx
=++≥>+
=+
正定，只要取就可看出。
例：
负 数统称 号 数正定、定函定函。
号号数数统称变号 数（3）不是常和定函的函函。
12()vxxx= 是变,号函数。例
0 (,)()(,)ttvxtwxvxt≤?若对于,成立,则称为负定函数。
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ε
例：变号v(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
22
120(,)()()0)0
tvxtaexxatt?=++>≥>（是 上的
。
,正定函数例
22
120(,)()0
tvxtexxtt?=+≥>,是 上的常正（半正定）
函数。
例正定和常正函数的例子：
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22
12 2
1(,)vxtxtxt
x=+=不具无限小上界，只要取 ；例：
0
4(,)
()(,)()lim(,)0→≤=
（）称是具无限小上界的，若存在正定函数
，使得,即 对一致。
x
vxt
wxvxtwxvxt
t
22
12(,)sin=+?而具无限小上界，只要取vxtxtx
22
12() +=wxxx
即可。
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本节讨论方程关于平衡状态x = 0的稳定性。
(,)(0,)0;R nxfxtft=∈=&,
二、几个主要定理
1212[,,,],(,)[,,,]
TT
nnxxxxfxtfff==LL
或
0== )(f),x(fx& (8-39)
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11
()()() ()nni
i
iiii
dxdvxvxvx fx
dtxdtx==
∑∑
1
2
12
()
()()()()() ()
()
T
n
n
fx
fxvxvxvxvx fx
x xx
fx
==
L M
首先，对函数v(x) 沿方程(8-39)解对时间t 求导数：
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v(x,t)正定（负定），且沿方程（8-39）
则（8-39）的零解i.s.L稳定。
定理8-20*（Lyapunov,1892)：
的始于x、t 的运动的导数
00 == )(f),x(fx& (8-39)
∑
=
≥≤+=+=
n
i
i
i
T
)()t,x(fxvtv)t,x(fxvtv)t,x(v
1
00& (8-40)
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注：
1) 这是一个充分条件；
2) 若f不显含t,从而v 不显含t，则结论为
1
()()()()0(0)
=
= ≤≥∑& nT
i
i
vvvxfxfx
xx
(),(0)0xfxf==&这里，
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几何解释（仅讨论v(x)的情形）：
1x
2x
1x
2x
由于v(x)正定，v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知v(x)
的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，
这表明系统关于原点（零解）是稳定的。
&v0C →
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例：考虑系统,12
21
=
=?
&
&
xx
xx
事实上，我们有：
2222
1 1020()()()()xtxtxtxt+=+。
22
12112 1221()(),2220,
720 0,
=+=+=?+=
=
&&
&
取 则（）
根据定理 系统关于零解李氏稳定。因 可知相轨迹必在等值线上。
vxxxvxxx x xx
v8
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则（8-39）的零解渐近稳定。
几何解释：
由于v(x)正定，v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越
v(x)=C 走向内部。这表明，limt→0x(t)=0，即原点
（零解）是渐近稳定的。
定理8-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程
（8-39）dx/dt=f(x),f(0)=0 解的导数
)()x(fxv)x(fxvdt )x(dv
n
i
i
i
T
00
1
><== ∑
=
(8-40)
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1x
2x
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例：考虑小阻尼线性振动系统：
12
212
=?
=
&
&
xx
xxx
120,0xx==研究其平衡状态 的稳定性。
22
12(),=+若取 则有vxxx
2
12122122
12
22()20=+=+=?≤&&&vvvxxx xxxxxx
此时只能用定理8-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。
思考：若取 会是怎样的？212221 223)( xxxxxV ++=
这说明：
正定半负定
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a) 能构造出v(x)，满足定理8-21*，从而判定系统渐近稳定；
b) 能构造出v(x)，仅满足定理8-20*，只能得出稳定的结论；
c) 甚至连满足定理8-20*的v(x)也构造不出来，这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。
1) 对一个系统，构造一个合适的v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：
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定理8-21** 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（8-39）
的导数且沿方程（8-39）的非零解，dv/dt 不恒为零，则
（8-39）的零解渐近稳定。
v &
2）定理8-21*对dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：
00 == )(f),x(fx& (8-39)
)()x(fxv)x(f)xv()x(v i
n
i i
T 00
1
≥≤== ∑
=
& (8-40)
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定理8-22* 若有一个v(x),满足
(1)在原点的某个邻域‖x‖< e内，存在v>0的区域，
这种区域可能包含若干个子区域uj,而uj的边界是由
v=0和‖x ‖= e所组成。
0,v >&(2) 在某个子区域，v沿（8-39）解的导数则（8-39）的零解是不稳定的。
v(x)>0
0v <&
0v ≤&
0v ≤&
定理8-20*
定理8-21*
定理8-21**
v(x)>0
v(x)>0 渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定
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ε
定理8-22*的几何意义：
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v >&
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定理8-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵N，
都存在唯一的正定对称阵M，使得
Axx=&
T +=?AMMAN（8—44）
三、线性系统二次型v 函数构造为什么要研究这个问题？
在控制律的设计中，通常由于A阵的参数并不确切知道，
则定理8-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个v
函数，其沿方程的导数是负定的，则系统一定渐近稳定。因此，定理8-25以及其构造Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十分重要的意义。
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证明：充分性：若对任给正定对称阵N，都存在唯一的正定对称阵M，使(8-44)成立，要证明系统渐近稳定。
为此，构造Lyapunov函数：
()= MTvxxx
对其沿方程的解微分，有由定理8-21*知零解渐近稳定。
()0=+=?<AMMAN&TTTvxxxx
必要性：要证明若dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵N，有唯一的正定对称阵M存在，使得
(8-44)成立。为此，考虑矩阵微分方程
(0)0T=>XAX+XA,X=N& 且令
+=?AMMANT
（8—44）
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不难验证其解为
T tee= AAtXN
对
00
00
()(0)()()
(Re()0,()0)
()()
T
T
dtdt
dtdt
l
∞∞
∞∞
∞?=+
<∞=
+
∫∫
∫∫
XXAXXA
AX
N=AXXA
Q
(0)0=>XAX+XA,X=N& T
积分并注意到系统渐近稳定的假设，有
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=MM；T
00
()()TTTttTxxxeedtxexexdt
∞∞
==∫∫AA AAtMNN
00
,
∞∞
==∫∫AAtMXNTtdteedt
则易于验证它是正定对称阵。首先，
其次，注意到令
()()00>?≠AAtNA
M
且。又由于 阵均具负实部，故积分有界,必正定。因此方程
(7-44)成立。
tTexexx
8
对称正定
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M阵的唯一性：为此将方程（8-44）写成
11
22
+=?
+=?
AMMAN
AMMAN
T
T
两式相减得
1212()()0?+?=AMMMMA
T
1212)(0?+?=
AA[A(MMMM)A]TtTtee
因此，
12[)]0=
AA(MMTttdee
dt
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12)=?
AA(MMCTtteet
0
12
=→?=MMCt
12lim)0→∞?=
AA(MMTtt
tee
12
0?=
=
C
MM。 证完。
又
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定理8-25* 设A、F和G/C分别是 矩阵，则方程
,,nnrrrn×××
有 阵P唯一存在的充要条件为F与A无相同的特征值。
×rn
M阵唯一性的简单证明方法：考虑定理8-25*:
对(8-33)进行转置并令r=n,FT= - A,CTGT=- N,
P=M（注意M已是对称的）,有
)W(:CGPFAP nqqrrrnr ==? ×××× （8-33）
NMAMA
NFPPAGCFPPA
T
TTTTTTTT
=+?
==?
(8-44)
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这里，用到了M为对称正定阵的假设。于是，M唯一存在的充要条件是－A与AT无相同的特征值。由于A
渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，
即：
()(),,()()0,,AAAATTijijijij≠+≠?llll
证完。
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几点说明：
2,在求解（8—44）时比较简单的是取N为单位阵;
3,当A中含有未确定参数时，可以先指定一个N阵，
而后解（8—44）所确定的代数方程组，从而得到M阵，用Sylvester 定理写出M阵正定的条件，
这样就可得到系统稳定时，A中的待定参数应满足的条件。应当指出，这些待定参数应满足的条件是和N阵的选择无关的。
1,矩阵方程（8—44）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的N阵后可求解（8-44）
所定义的 个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在;
2
)1( +nn
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4,需要引起注意的是，定理8-25并不意味着以下命题成立，即例8— 10 1 12
,1325==
AM
显然A的特征值均有负实部，M正定，但按（8—44）
计算出的
22
226
=
N
却不是正定的。
“A渐近稳定，M正定，由（8—44）式所得的N一定正定。”
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例8-9 考虑二维系统
11 121
221222
=
&
& 14243
xaax
xaax
A
求系统渐近稳定时参数应满足的条件。
令N=I，由（8-44）式可得
1
1 2111
121 2 2112
122 22
2 01
0
0221
aam
aaaam
aam
+=
A
14444244443
上述方程组的系数矩阵A1的行列式为
=
2212
1211
mm
mmM
+=?AMMANT
（8—44）
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11 2 112 1221
1 22
det()4()()
4 )det()
A
A
aaaaaa
aa
=+?
=+
若detA1≠0，方程组就有唯一解，其解为
22
212 122 2111
221
122 211 1 22
det(()2
det() )det(
aaaaaa
aaa aa
++?+?=
++
A)M
A A)
由M正定的Sylvester 判据可得
2 22
212 2122
11
1 22
2[det()]det() 01
det()2()det()
a aam
aa
+ ++==>
+1
AA（）
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2由（）：必须
(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。
13由（），并考虑到（），应有
112 1221det03A aaaa=?>（）
22
1 2 1221
2
1 22
()()det()02
4()det()
aaaa
aa
++?=>M
A及 （）
1 22()04aa+< （）
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有正定对称解的充分必要条件为xx= A& 渐近稳定。
定理8-26 若定理8-25（8-44）中的N取为半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零，
则矩阵方程
&x
ATX+XA=?N （8-46）
注：关于定理8-26
“xTNx沿方程的非零解不恒为零”的条件不能少。
例1,A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定
1
21010 0,
1100 00
===
ANM
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1,这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，
容易算出但此时
2,若将N分解为N=[1 0]T[1 0]:=CTC，则易于验证
(A，C)不可观测。
100≡?≡N 。
Txxx
若
2201(0)
txexx?=≡因为
Txx这说明沿方程的非零解恒为零，不满足定理条件。N
20200xxx≠?≠?是非零解。
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1
2 10100,
000100
===
ANM
例2,N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。
分析：1,xTNx沿方程的非零解
0.5
110101,00;
txxexx?==?≡
2,令C=[1 0],N=CTC,可知(A,C)不可观测。
但xTNx=x12,故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。
22020,0,xxx=≠
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xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A,C)可观测,
定理满足。
11
24
11
44
1110,
0100
===
ANM
例3：
()(0)(0)
0
A
tt
t
t
etextexx
e
==
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结论：“xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用(A,C)
可观测代替，这里N= CTC。进而，我们有：
定理8-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程
= A&xx
+=?AMMANT （8—44）
在给定（A,N)为可观测的半正定阵N下，方程(8-44)
的解M为正定。
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关于定理的证明：
1) 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为
N=CTC
的形式。易于证明（例如用反证法），(A,N)可观测可推得(A,C)可观测。
2) 必要性证明：类似于定理8-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，N)可观测的半正定阵N，由积分
00
AAAAM=NCCTTtttTteedteedt
∞∞
=∫∫
确定的矩阵M必满足(8-44)且为正定（可观测性
Gram矩阵）。
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3) 充分性证明：若在给定（A,N)为可观测的半正定阵N下，方程(8-44)的解M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑
0000(*)
TTTtxxxxxex==?=?=ANC CC
000|0
ACCt
texx===
微分（*）式，有
0000|0
AACACACAtt
texexx==?==
MM
1
0 0CA
n x? =
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这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒为零。由定理8-21**，系统必渐近稳定。 证完。
0Txx≡N
00
1
00
=?≡
C
CA
CA
M
n
xx
例题8-11：考虑如下三阶多项式：
32
1230sasasa+++=
注,以上证明可以去掉，根据“(A,C) 可观测当且仅当h ={0}”这一命题就立即可以看出x0≡0。
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0 1
3232
123213
() ()
()
Ds Ds
Dssasasasasasa=+++=+++123 14243
令定义系统如下：
11
0101
()() 1()
()()()1()/()
DsDsgs
DsDsDsDsDs===++
假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开：
试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。
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01231
2
1113
()()/1
()
Dssaaaas
Dsaasa
=+
+
则 s
s
s
3
2
1 1
1
aa
a
+
+=
saaaa
saaa
sa
aaas
asasa
31
321321
2
11
1321
3
2
11 1
)(
11
/)(
11
+?
+=
++=
ss
s)s(D)s(D)s(D
)s(D)s(g
3
2
1
1
0
1
1
11
1
1
1
aa
a
+
++
=
+
==
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3
2
2
13
1 123
1
0
3
1sa
saa
aaas
a
sa
劳斯表：
不难验证，g(s)可由下列系统实现：
1
1
sa
3x 2
1
sa
2x
3
1
sa
1x
u
y
( )( )
=?=
=?=
==
3
2
31
321
3
2
1
321
1
12
11
1
11
b
b:
aa
aaa
b
b:
aaa
aa
b:a
a
a
a
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这是一个最小实现，系统可控可观测。现用
Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。
为此定义N为 0000
0000002
002 2
==
N
[ ]xy
uxx
100
1
0
0
110
101
010
11
22
3
=
+
=
aa
aa
a
&
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0000
0000002
002 2
==
N
显然，(A,N)可观测。解方程
+=?AMMANT
得到欲使M正定，只要 a1>0,
a2 >0,a3 >0。
一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见Chi-Tsong
Chen,“Linear System Theory and Design”p.417.
=
1
2
3
00
00
00
a
a
a
M
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四、关于Lyapunov函数
3,应当特别注意定理8-20*-8-21**均为充分条件。
这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的v
函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找出满足不稳定定理的v函数（参见高为炳《运动稳定性基础》）；
1,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；
2,如何构造v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造v 函数的方法。
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4,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理8-25、定理8-26及定理8-26*，是基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程(8-44)：
ATM+MA=?N，
这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的v 函数;
v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合;
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有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果；
5,对时变的函数v(x,t)，除了前述符号的要求之外(定号函数的定义也异于v(x))，定理也和定常情况不同，
应用有关稳定性定理时要特别注意“具无穷小上界”(1)或“K类函数界”(2)的要求。引用教科书时要多查证。
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本章总结在本章中，主要介绍了线性系统的平衡状态的李亚普诺夫稳定性和渐近稳定性，时不变系统的BIBS和BIBO稳定性。在时变情形下，非一致稳定的系统可以是李氏稳定的。而对时不变情形，一致稳定和李氏稳定没有区别。且时不变系统的渐近稳定、
一致渐近稳定、按指数率渐近稳定也是等同的。
尽管证明了时变情形时稳定性的充要条件（定理8-2），但因一般情况下很难得到状态转移矩阵，所以难以使用这些条件。
对时不变系统，可由传递函数极点或矩阵A的特征值来检验其稳定性。可以对A的特征多项式应用劳斯-霍尔维茨或者李亚普诺夫定理来检验A的所有特征值是否都具有负实部。
在计算量上，劳斯-霍尔维茨方法比在检验A的稳定性中的李亚普诺夫方法要简单。
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本章主要知识点：
稳定是一切控制系统能够正常运行的前提。系统运动的稳定性是除能控性、能观性之外的另一个要研究的基本课题。本章研究对象将扩展到涉及线性、非线性，
时变、时不变，连续、离散系统。主要知识点有：
1、两类稳定性内部稳定性-渐近稳定，对连续时不变情形充要条件为A特征值均具负实部；
外部稳定性-有界输入-有界输出稳定（BIBO稳定），对连续时不变情形充要条件为传函矩阵G(s)的所有极点均具负实部；
两类稳定性的等价条件，对连续时不变情形系统渐近稳定则必为BIBO稳定，
系统BIBO稳定不保证必为渐近稳定。当系统为完全能控和完全能观时，则系统
BIBO稳定当且仅当系统渐近稳定。定理8-8~-13。
2、李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定，一致稳定，渐近稳定，不稳定，各种稳定性之间的蕴涵关系
3、连续时间系统稳定性判据小范围渐近稳定判据，大范围渐近稳定判据，不稳定判据，定理8-2。
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4、连续时间线性时不变系统的稳定性判据特征值判据（定理8-4），李亚普诺夫判据本章习题：
1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为
[ ]xy,uxx 0525
10
0
0
50250
100
010
=
+
=&
试判断：1）系统是否为渐进稳定；2）是否为BIBO稳定；并解释。
2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定：
=
=
2
2
112
21
xxxx
xx
&
&
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