第三章系统的数学描述主要内容
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统
3.3 状态空间描述一、状态变量的定义容易得到其解显然，若其初始条件y
c
(0)不能确定，则不能唯一地确定其输出。
系统的输入 —输出描述仅在松弛的条件下才能采用。若系统在 t
0
时刻是非松弛的，输出y
[t0,∞]
并不能单单由u
[t0,∞]
所决定，即关系式y
[t0,∞]
=H
[t0,∞]
u
[t0,∞]
不成立。考察简单的一阶系统：
0
[,)t + ∞
u
cc
yyutt
0
1
0
τ
=? + ≥ =
11
()
0
() (0) ( )
t
tt
cc
yt e y e u d
τ
ττ
ττ
=+
∫
例,考虑一个 n 阶系统：
() ( 1) ( 2)
12 0
,
++++=≥ "
nn n
n
yay ay ayutt
由微分方程的知识，其定解条件可取
(1) (2)
000
(),(),,()
nn
ytyt yt
"
已知。
u
y
定义,系统在 t
0
时刻的状态 是系统在 t
0
时的信息量，它与 一起，唯一地确定系统在所有
t≥ t
0
时的行为。
0
[,)t +∞
u
1,t
0
时刻状态是系统以往活动情况的最 简洁和全面 的表示，使得其足以和u
[t0,+∞)
一起确定输出和 信息量本身的更新 。 如上例中的 y (t
0
),y’(t
0
),……,y
(n-1)
(t
0
)就是这样的信息量；
2,随时间 t≥ t
0
不断更新的信息量称为 状态变量或状态向量 (例如上面例子中的 y (t),
y’(t),…,y
(n-1)
(t),t≥ t
0
），记为：
[]
10
() () () (),
T
n
in
txt xt xt tt=∈≥ " "X R
例,考虑 t
0
时刻非松弛系统：
12 0
(),+ += ≥ yyyutttαα
若信息量只取 显然是不全面的；同样若取,,也是不必要的，因为它们并不相互独立。因此，可以取 t
0
时刻的状态为：
0
()
yt
0
()
yt
u
y
0
2
0
0
()
()
()
=∈
yt
t
yt
Rx
相应的状态变量就是
2
0
()
(),
()
= ∈≥
yt
ttt
yt
Rx
可见，尽管这是一个单输入单输出系统，要获得系统的全面的信息，仅仅知道 y(t)是不够的。
0
()yt
0
()yt
例,(状态变量的不唯一性 ）考虑二阶系统：
+
u
+
RL
C
y
其中，R=3?，L=1H，C=0.5F。由复数阻抗的方法容易求出该网络的传递函数：
2
() 1 2 2 2
() 1 ( 1)( 2) 1 2
===?
+ +++++
ys
us LCs RCs s s s s
相应的脉冲响应函数为：
2
g( ) 2 2,0
=?≥
tt
te et
在 非松弛的情况下，输入 —输出的关系式为
0
t
0
0
() ( )() ( )()
tt
t
yt gt u d gt u d
∞
=? +?
∫∫
τττ τττ
I
II
I,对 时输出产生的影响：
0
(,)?∞ t
u
0
>tt
000
10 20
22
() ()
2
10 20
()() 2 () 2 ()
2()2 ()
∞?∞?∞
=?
=?
∫∫∫
ttt
tt
ct ct
tt
gt ud e eud e eud
ect e ct
ττ
τττ ττ ττ
0
2
10 20
() 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
=? +?
∫
+
t
tt
t
yt e c t e c t gt u dτττ
II:I
在时刻 t
0
补充的信息量完全可以取 c
1
(t
0
)和 c
2
(t
0
)，即定义状态变量 x
1
(t
0
)= c
1
(t
0
),x
2
(t
0
) =c
2
(t
0
)。
事实上，若流经电感的初始电流 y’(t
0
)以及电容两端的初始电压 y(t
0
)为已知，则在任何驱动电压下，网络的动态行为就完全可以确定。
另一方面，由上式，对 y(t)求导数后有
00
2
010 0
() 2 () 2 ()
tt
yt e c t e c t
=?
00
2
010 0
() 2 () 4 ()
tt
yt e c t e c t
=? +
注意到
00
00
2
2
020
() ()
22
() ()
24
=
即：
tt
tt
yt c t
ee
yt c t
ee
故我们也可以取 和 为 t
0
时刻的状态。
0
()yt
0
() yt
例,单位时间延迟系统，是对所有 t其输出 y(t)等于
u(t-1)的装置。对于这一系统，为了唯一地由
0
[,)+∞t
u
0
[,)+∞t
y
确定
01 0
[,)
tt
u
需要知道的信息 。
01 0
[,)tt
u
因此这一信息 就可以作为系统在 t
0
时刻的状态。这个例子和前面的例子不同，这里 t
0
时的状态由无限个数所组成 。
t
0
t
0
-1
u
y
由以上定义和例子归纳出下列几点：
第一、状态变量的选择不是唯一的；
第二，状态变量可以选为具有明显物理意义的量；也可选没有实际意义的中间变量；
第三、如果用能量的概念，可以把系统的运动过程看作是能量的变换过程，因此状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目；
第四、状态变量的数目可以是有限个，也可以是无限个。本课程仅研究有限个数的情况。状态向量取值的线性空间通常是熟知的有限维实向量空间，
称为状态空间。
二、动态方程
1,系统动态方程 对于一个在 t
0
时刻非松弛的系统,不仅需要知道输入信号u，还需要知道在 t
0
时刻的状态
x(t
0
)才能唯一地确定 t>t
0
的输出以及状态变量
x(t)。因此，与输入输出描述相比，我们引入了状态变量x(t)。
引入系统的状态变量之后，可以得到描述系统输入、输出和状态之间关系的方程组，这个方程组称为 系统的动态方程( Dynamical Equations)。
(,,)t=xfxu
(3－ 28a)
(,,)= xuy tg
(3－ 28b )
状态方程输出方程
2、线性性质,用符合表示状态x(t
0
)和输入u
[t0,∞ ]
激励出输出 y(t)和状态
x(t)(t>=0)，并称其为输入－状态－输出对。若某个输入－状态－输出对能为某系统所产生，则称该对是容许的 （相对该系统而言的）。
定义 3-7,一个系统，当且仅当对于任何两个容许对和任何实数α 1和α 2所构成的输入－状态－输出对也是容许的，则称该 系统是线性的,否则，称该系统是非线性的。
{ } { }
[,] 0 [0,] [0,]
u,(),
∞∞∞
→
to t t
xt x y
{}{ }
11 11
[,] 0 [0,] [0,]
22 22
[,] 0 [0,] [0,]
u,(),
u,(),
∞∞∞
→
→
to t t
to t t
xt x y
xt x y
1212
1 [,] 2 [,] 1 0 2 0
1 [ 0,] 2 [ 0,] 1 [ 0,] 2 [ 0,]
uu,()()
,
αααα
αααα
∞∞
∞∞
++
→+ +
to to
tttt
xt xt
xxyy
若系统为线性的，则系统的状态方程f和输出方程g
就变成了状态x和输入u的线性函数，通常用下式所示：
其中A(t) n×n系统矩阵； B (t) n×p 控制分布矩阵； C(t) q×n量测矩阵； E(t) q×p前馈矩阵，表示输入和输出的直接耦合关系。
上述方程有唯一解的充分条件是A( ·)的每一元素均为定义在（-∞,∞)上的连续函数。
() () () () ()
() () () () ()
= +
=+
xt Atxt Btut
yt Ctxt Etut
y
x
u
E(t)
∫
C(t)
B(t)
A(t)
动态方程的结构框图表示如下：
() () () () ()
() () () () ()
= +
=+
xt Atxt Btut
yt Ctxt Etut
3、时不变线性动态方程,若系统的特性不随时间而变化，则称其为时不变的。
对于时不变系统，只要其具有相同的初态和相同的激励波形，则不管激励于何时施入，所得响应之波形总是相同的。因此线性时不变系统动态方程中的A( ·),B(·),C(·),E(·)均与时间无关，
方程可简化为：
() () ()
() () ()
= +
=+
xt Axt But
yt Cxt Eut
式中A、B、C和D分别为n×n、n×p、q×n和q×p的实常量矩阵。
y
x
u
E
∫
C
B
A
在时不变的情况下，方程的特性不 随时间而变，因此不失一般性可选初始时间为 零，从而时间区间可选为 。
[ )
0,+∞
4、因果率,虽然从数学的角度讲，动态方程可同时在正时间方向和负时间方向上求解，但是，我们关心的是正时间方向。在正时间方向上，输入u仅影响未来响应，但不影响过去的响应，因此 动态方程都是符合因果率的。
例,考虑系统：
(3)
123
'' 'ααα+ ++=yyyyu
u
y
123
,,===
令 xyxyxy则显然
1223
3312213
,,
ααα
==
= +
xxxx
x xxxu
写成一阶微分方程组的形式：
[]
11
22
33213
010 0
001 0
1
100
=+?=+
=?=
xx
uu
yy
ααα
xAxB
xcx
系统的动态方程是由状态方程和输出方程组成的。
由上式可得：
5、时不变系统的传递矩阵,对时不变动态方程进行 Laplace 变换可得
0
() () ()? =+xxAxBuss s s
() () ()= +ssEsyCx u
(3-34a)
(3-34b)
11
()() ()()
() ( ) [ ( ) ()
=? +?
=? +? +
ss s s
ss s Es
0
0
xIAxIABu
y CIA x CIA B ]u
称为动态方程的 传递函数阵,也可以改写为：
其中：
1
() ( )
=?+ss EGCIAB
若系统在t
0
松弛，亦即x
0
=0，可得：
1
() [ ( ) () () ()
=? + =ss EsssyCIAB]uGu
1
() ( )
det( )
=?+
ssE
sI A
G C[Adj I A ]B
由于伴随矩阵中的每一元素均为多项式且其次数低于（ sI-A)
－ 1
的行列式，因此,C(sI-A)
－ 1
B是严格正则有理矩阵。若 E为非零矩阵，则 C(sI-A)
－ 1
B＋ E是正则有理矩阵，并且
()∞ =EG
三、举例若组成系统的任一部分为非线性或时变的，则整个系统就是非线性或时变的。因此，欲得到系统的线性时不变模型，就必须对系统中的每一部分按线性时不变元件来模拟。
严格地说，没有一个物理系统是线性时不变的。
但在有限地时间间隔内，大多数物理系统的模型均是时不变的。
例1（P73例1） 给出图中所示机械系统的输入 —输出描述及动态方程。
例2（P79例5） 给出图中所示电路系统的动态方程。
例 1
2
12
2
=
dy dy
mukky
dt
dt
输入 —输出描述,当初始条件为零，取拉普拉斯变换得：
2
12
() ( )()=++us ms ks k ys
2
12
1
() ()
()
=
++
ys us
ms k s k
若设 k
1
=3,k
2
=2,m=1,则系统的脉冲响应为：
11 2
2
12
111
() [ ] [ ]
12
()
==?=
++
++
tt
gt L L e e
ss
ms k s k
动态方程描述,设质量块 m的位移及其速度为状态变量，即 x
1
=y,x
2
=y’，则有：
12 21221
==++ xx umxkxkx
[]
11
21
22
1
2
01 0
1
10
=+
=
xx
u
kk
mmm
x
y
x
例 2（ P80例 5）
2
x
1Ω
1Ω
1
x
1
x
2
x
3
x
3
x
y
11 123
23
3312
() 0
0
+?=
=
+?+=
ux xux
xx
xxxx
1
1
2
2
3
101 11
001 00
111 00
=+
x
u
xx
u
x
3.1 引言
3.2 输入输出描述
3.3 状态空间描述
3.4 输入输出描述和状态空间描述的关系
3.5 组合系统的数学描述
3.6 离散时间系统
3.3 状态空间描述一、状态变量的定义容易得到其解显然，若其初始条件y
c
(0)不能确定，则不能唯一地确定其输出。
系统的输入 —输出描述仅在松弛的条件下才能采用。若系统在 t
0
时刻是非松弛的，输出y
[t0,∞]
并不能单单由u
[t0,∞]
所决定，即关系式y
[t0,∞]
=H
[t0,∞]
u
[t0,∞]
不成立。考察简单的一阶系统：
0
[,)t + ∞
u
cc
yyutt
0
1
0
τ
=? + ≥ =
11
()
0
() (0) ( )
t
tt
cc
yt e y e u d
τ
ττ
ττ
=+
∫
例,考虑一个 n 阶系统：
() ( 1) ( 2)
12 0
,
++++=≥ "
nn n
n
yay ay ayutt
由微分方程的知识，其定解条件可取
(1) (2)
000
(),(),,()
nn
ytyt yt
"
已知。
u
y
定义,系统在 t
0
时刻的状态 是系统在 t
0
时的信息量，它与 一起，唯一地确定系统在所有
t≥ t
0
时的行为。
0
[,)t +∞
u
1,t
0
时刻状态是系统以往活动情况的最 简洁和全面 的表示，使得其足以和u
[t0,+∞)
一起确定输出和 信息量本身的更新 。 如上例中的 y (t
0
),y’(t
0
),……,y
(n-1)
(t
0
)就是这样的信息量；
2,随时间 t≥ t
0
不断更新的信息量称为 状态变量或状态向量 (例如上面例子中的 y (t),
y’(t),…,y
(n-1)
(t),t≥ t
0
），记为：
[]
10
() () () (),
T
n
in
txt xt xt tt=∈≥ " "X R
例,考虑 t
0
时刻非松弛系统：
12 0
(),+ += ≥ yyyutttαα
若信息量只取 显然是不全面的；同样若取,,也是不必要的，因为它们并不相互独立。因此，可以取 t
0
时刻的状态为：
0
()
yt
0
()
yt
u
y
0
2
0
0
()
()
()
=∈
yt
t
yt
Rx
相应的状态变量就是
2
0
()
(),
()
= ∈≥
yt
ttt
yt
Rx
可见，尽管这是一个单输入单输出系统，要获得系统的全面的信息，仅仅知道 y(t)是不够的。
0
()yt
0
()yt
例,(状态变量的不唯一性 ）考虑二阶系统：
+
u
+
RL
C
y
其中，R=3?，L=1H，C=0.5F。由复数阻抗的方法容易求出该网络的传递函数：
2
() 1 2 2 2
() 1 ( 1)( 2) 1 2
===?
+ +++++
ys
us LCs RCs s s s s
相应的脉冲响应函数为：
2
g( ) 2 2,0
=?≥
tt
te et
在 非松弛的情况下，输入 —输出的关系式为
0
t
0
0
() ( )() ( )()
tt
t
yt gt u d gt u d
∞
=? +?
∫∫
τττ τττ
I
II
I,对 时输出产生的影响：
0
(,)?∞ t
u
0
>tt
000
10 20
22
() ()
2
10 20
()() 2 () 2 ()
2()2 ()
∞?∞?∞
=?
=?
∫∫∫
ttt
tt
ct ct
tt
gt ud e eud e eud
ect e ct
ττ
τττ ττ ττ
0
2
10 20
() 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
=? +?
∫
+
t
tt
t
yt e c t e c t gt u dτττ
II:I
在时刻 t
0
补充的信息量完全可以取 c
1
(t
0
)和 c
2
(t
0
)，即定义状态变量 x
1
(t
0
)= c
1
(t
0
),x
2
(t
0
) =c
2
(t
0
)。
事实上，若流经电感的初始电流 y’(t
0
)以及电容两端的初始电压 y(t
0
)为已知，则在任何驱动电压下，网络的动态行为就完全可以确定。
另一方面，由上式，对 y(t)求导数后有
00
2
010 0
() 2 () 2 ()
tt
yt e c t e c t
=?
00
2
010 0
() 2 () 4 ()
tt
yt e c t e c t
=? +
注意到
00
00
2
2
020
() ()
22
() ()
24
=
即：
tt
tt
yt c t
ee
yt c t
ee
故我们也可以取 和 为 t
0
时刻的状态。
0
()yt
0
() yt
例,单位时间延迟系统，是对所有 t其输出 y(t)等于
u(t-1)的装置。对于这一系统，为了唯一地由
0
[,)+∞t
u
0
[,)+∞t
y
确定
01 0
[,)
tt
u
需要知道的信息 。
01 0
[,)tt
u
因此这一信息 就可以作为系统在 t
0
时刻的状态。这个例子和前面的例子不同，这里 t
0
时的状态由无限个数所组成 。
t
0
t
0
-1
u
y
由以上定义和例子归纳出下列几点：
第一、状态变量的选择不是唯一的；
第二，状态变量可以选为具有明显物理意义的量；也可选没有实际意义的中间变量；
第三、如果用能量的概念，可以把系统的运动过程看作是能量的变换过程，因此状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目；
第四、状态变量的数目可以是有限个，也可以是无限个。本课程仅研究有限个数的情况。状态向量取值的线性空间通常是熟知的有限维实向量空间，
称为状态空间。
二、动态方程
1,系统动态方程 对于一个在 t
0
时刻非松弛的系统,不仅需要知道输入信号u，还需要知道在 t
0
时刻的状态
x(t
0
)才能唯一地确定 t>t
0
的输出以及状态变量
x(t)。因此，与输入输出描述相比，我们引入了状态变量x(t)。
引入系统的状态变量之后，可以得到描述系统输入、输出和状态之间关系的方程组，这个方程组称为 系统的动态方程( Dynamical Equations)。
(,,)t=xfxu
(3－ 28a)
(,,)= xuy tg
(3－ 28b )
状态方程输出方程
2、线性性质,用符合表示状态x(t
0
)和输入u
[t0,∞ ]
激励出输出 y(t)和状态
x(t)(t>=0)，并称其为输入－状态－输出对。若某个输入－状态－输出对能为某系统所产生，则称该对是容许的 （相对该系统而言的）。
定义 3-7,一个系统，当且仅当对于任何两个容许对和任何实数α 1和α 2所构成的输入－状态－输出对也是容许的，则称该 系统是线性的,否则，称该系统是非线性的。
{ } { }
[,] 0 [0,] [0,]
u,(),
∞∞∞
→
to t t
xt x y
{}{ }
11 11
[,] 0 [0,] [0,]
22 22
[,] 0 [0,] [0,]
u,(),
u,(),
∞∞∞
→
→
to t t
to t t
xt x y
xt x y
1212
1 [,] 2 [,] 1 0 2 0
1 [ 0,] 2 [ 0,] 1 [ 0,] 2 [ 0,]
uu,()()
,
αααα
αααα
∞∞
∞∞
++
→+ +
to to
tttt
xt xt
xxyy
若系统为线性的，则系统的状态方程f和输出方程g
就变成了状态x和输入u的线性函数，通常用下式所示：
其中A(t) n×n系统矩阵； B (t) n×p 控制分布矩阵； C(t) q×n量测矩阵； E(t) q×p前馈矩阵，表示输入和输出的直接耦合关系。
上述方程有唯一解的充分条件是A( ·)的每一元素均为定义在（-∞,∞)上的连续函数。
() () () () ()
() () () () ()
= +
=+
xt Atxt Btut
yt Ctxt Etut
y
x
u
E(t)
∫
C(t)
B(t)
A(t)
动态方程的结构框图表示如下：
() () () () ()
() () () () ()
= +
=+
xt Atxt Btut
yt Ctxt Etut
3、时不变线性动态方程,若系统的特性不随时间而变化，则称其为时不变的。
对于时不变系统，只要其具有相同的初态和相同的激励波形，则不管激励于何时施入，所得响应之波形总是相同的。因此线性时不变系统动态方程中的A( ·),B(·),C(·),E(·)均与时间无关，
方程可简化为：
() () ()
() () ()
= +
=+
xt Axt But
yt Cxt Eut
式中A、B、C和D分别为n×n、n×p、q×n和q×p的实常量矩阵。
y
x
u
E
∫
C
B
A
在时不变的情况下，方程的特性不 随时间而变，因此不失一般性可选初始时间为 零，从而时间区间可选为 。
[ )
0,+∞
4、因果率,虽然从数学的角度讲，动态方程可同时在正时间方向和负时间方向上求解，但是，我们关心的是正时间方向。在正时间方向上，输入u仅影响未来响应，但不影响过去的响应，因此 动态方程都是符合因果率的。
例,考虑系统：
(3)
123
'' 'ααα+ ++=yyyyu
u
y
123
,,===
令 xyxyxy则显然
1223
3312213
,,
ααα
==
= +
xxxx
x xxxu
写成一阶微分方程组的形式：
[]
11
22
33213
010 0
001 0
1
100
=+?=+
=?=
xx
uu
yy
ααα
xAxB
xcx
系统的动态方程是由状态方程和输出方程组成的。
由上式可得：
5、时不变系统的传递矩阵,对时不变动态方程进行 Laplace 变换可得
0
() () ()? =+xxAxBuss s s
() () ()= +ssEsyCx u
(3-34a)
(3-34b)
11
()() ()()
() ( ) [ ( ) ()
=? +?
=? +? +
ss s s
ss s Es
0
0
xIAxIABu
y CIA x CIA B ]u
称为动态方程的 传递函数阵,也可以改写为：
其中：
1
() ( )
=?+ss EGCIAB
若系统在t
0
松弛，亦即x
0
=0，可得：
1
() [ ( ) () () ()
=? + =ss EsssyCIAB]uGu
1
() ( )
det( )
=?+
ssE
sI A
G C[Adj I A ]B
由于伴随矩阵中的每一元素均为多项式且其次数低于（ sI-A)
－ 1
的行列式，因此,C(sI-A)
－ 1
B是严格正则有理矩阵。若 E为非零矩阵，则 C(sI-A)
－ 1
B＋ E是正则有理矩阵，并且
()∞ =EG
三、举例若组成系统的任一部分为非线性或时变的，则整个系统就是非线性或时变的。因此，欲得到系统的线性时不变模型，就必须对系统中的每一部分按线性时不变元件来模拟。
严格地说，没有一个物理系统是线性时不变的。
但在有限地时间间隔内，大多数物理系统的模型均是时不变的。
例1（P73例1） 给出图中所示机械系统的输入 —输出描述及动态方程。
例2（P79例5） 给出图中所示电路系统的动态方程。
例 1
2
12
2
=
dy dy
mukky
dt
dt
输入 —输出描述,当初始条件为零，取拉普拉斯变换得：
2
12
() ( )()=++us ms ks k ys
2
12
1
() ()
()
=
++
ys us
ms k s k
若设 k
1
=3,k
2
=2,m=1,则系统的脉冲响应为：
11 2
2
12
111
() [ ] [ ]
12
()
==?=
++
++
tt
gt L L e e
ss
ms k s k
动态方程描述,设质量块 m的位移及其速度为状态变量，即 x
1
=y,x
2
=y’，则有：
12 21221
==++ xx umxkxkx
[]
11
21
22
1
2
01 0
1
10
=+
=
xx
u
kk
mmm
x
y
x
例 2（ P80例 5）
2
x
1Ω
1Ω
1
x
1
x
2
x
3
x
3
x
y
11 123
23
3312
() 0
0
+?=
=
+?+=
ux xux
xx
xxxx
1
1
2
2
3
101 11
001 00
111 00
=+
x
u
xx
u
x
