第七章状态反馈和状态估计器第七章状态反馈和状态估计器
7－ 1 引言
7－ 2 规范形动态方程（第六章已讲）
7－ 3 状态反馈
7－ 4 状态估计器
7－ 5 状态反馈和状态估计器的连接
7-1 引言对一个系统（称其为对象）和一个期望的信号或参考信号，其控制问题就是求出控制信号或驱动信号，使得对象的输出尽可能地接近参考信号。
若控制信号是事先给定的，并不依赖于对象的实际响应，则这种控制称为 开环控制 。当系统中存在扰动或变化时，这种类型的控制是不能令人满意的。
若控制信号依赖于系统的实际响应，则这种控制称为 反馈控制或闭环控制 。
7-1 引言多数控制系统都采用基于反馈构成的闭环结构。
反馈系统的 特点 是对内部参数变动和外部环境影响具有良好的抑制作用、可以调节系统的瞬态响应，还可以使系统的灵敏度以及干扰造成的影响明显减少等。
反馈的基本类型包括,状态反馈,和,输出反馈,。
系统的状态含有系统的全部基本信息，因此，若将控制信号设计成为状态与参考信号的函数，便可得到相当好的控制效果。引入 状态反馈 后，可以大大提高控制效果。
输出反馈 是以系统输出作为反馈变量的一类反馈形式。我们主要介绍状态反馈。
7-3 状态反馈问题的提出：
对于给定的开环系统如何提高其性能指标,如渐近稳定性、系统响应、解偶、跟踪等。
系统的特征值与系统的性能指标密切相关。
状态反馈或极点配置问题是研究对给定的开环系统，如何构造状态反馈，使得经过反馈后的闭环系统有上述希望的性能指标。
系统的动态方程如下
,x xuy x= +=AB C
引入线性状态反馈控制律为
ur x= + K
式中的 r 是参考输入,K 称为状态反馈增益矩阵，它是 p× n 的矩阵。图 7－ 1为状态反馈系统框图，它是一个闭环系统。
一、状态反馈对系统可控性、可观测性的影响
1.状态反馈不改变系统的可控性图 7-1所示，引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为：
()
ur x
xxu xr
yx
= +
=+=+ +
=
K
AB ABK B
C
(将 代入状态方程后得到）
式中 A+BK为闭环系统的系统矩阵。
图7-1：状态反馈系统结构图
x
y
B
C
A
K
r
∫
x
u
即状态反馈不影响可控性,但可以用来控制动态方程的特征值,证完。
状态反馈不能改变不可控的模态，即开环的不可控模态在闭环中得到保持。
,xxuy x= +=AB C
原开环系统：
(),ry x= ++ =ABK B C
状态反馈系统：
对于任何K，状态反馈不改变原系统的可控性。 定理：
[ ][ ]
0
()
I
IABKB IAB
KI
n
p
λλ
+ =?
因此
[ ] [ ]
()rank rankλ λ? +=?IABKB IAB
证明,
2,状态反馈 可能 改变系统的可观测性。 状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析 。
例题 系统的动态方程如下
[]
12
11 0
,
01 1
=+ =
xxuyccx
[]
12
(),=+ + =Abk b 闭,xxrycx
可观任意 可观
01
可观
[1 1] 可观11
不可观[1 2] 可观
11
不可观[0 1] 不可观10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统
k 原系统c
2
c
1
可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。
系统的动态方程如下
,x xuy x= +=AB C
引入输出反馈控制 F到控制系统的输入端,v为系统参考输入，此时系统的控制率为：
u ν= + F y
这类形式的输出反馈为静态输出反馈。若系统反馈回路中用补偿器取代矩阵 F，则相应的反馈称为动态输出反馈。下图为输出反馈系统框图，它是一个闭环系统。
二、输出反馈、状态反馈与输出反馈的比较
1.输出反馈引入输出反馈后的闭环系统状态空间表达式为：
()
uvF
xxu xv
yx
=+
=+=+ +
=
y
AB ABFC B
C
(将 代入状态方程整理后得到）
式中 A+BFC为闭环系统的系统矩阵。
输出反馈系统结构图
x
y
B
C
A
F
v
∫
x
u
,xxuy x= +=AB C
原开环系统：
(),vy x= ++=ABFC B C
输出反馈系统：
证明,（略）
定理,对连续线性时不变系统，输出反馈可保持原系统的可控性和可观测性。即线性时不变系统输出反馈系统为可控性(可观测性)，当且仅当线性时不变系统为可控（可观测）。
2.状态反馈和输出反馈的比较
1）反馈属性：状态x可完全地表征系统结构信息，因此状态反馈为系统结构信息的完全反馈。输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。
2）反馈功能：对各类性能指标时间域系统综合问题上，几乎都要求采用状态反馈，表明状态反馈在功能上要远优于输出反馈。
3）改善输出反馈功能的途径：使输出反馈达到状态反馈功能的一个途径是使用串、并联补偿器输出反馈方案。
4）反馈实现：由系统输出的可量测属性决定，就反馈的物理实现而言，输出反馈要优于状态反馈。
5）解决状态反馈物理实现的途径：附加状态观测器。
xxu= +Ab
开环,
定理 7-4,闭环系统的系统矩阵 A+bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置（复数共轭成对），其 充分必要条件 是开环动态系统可控。
11
,,AR bR kR
nn n n× ××
∈∈∈
三、单输入系统的极点配置
= +k引入状态反馈律,ur x
()x xr= ++Abk b
闭环,
证明 充分性,充分性的证明是构造性的。分以下几步证明:
Px x=
1) 因为开环动态系统可控,则存在可逆矩阵 P，将系统通过 的变换化为可控标准形：
[]
11
11
01 0
0
1 0
1
Ab c
c
= +=
==
=
# % #
"
"
式中，
nn
nn
xxu yx
aa a
ββ β
1
det( )IA
=+ ++ + "这里，
nn
nn
ssas asa
这时状态反馈律可写为
2）设期望的多项式为故 的特征式即是 的特征式，所以和 有相同的特征值。
Abk+
Abk+
Abk+
Abk+
1
12 1 1
()()( )
=++++ " "
nn
n
ss s sas asaλλ λ
12 n
"其中,,,为期望的极点。λλ λ
1
1
ur xr xr x
=+ =+ =+
==
kkP k
kkP kkP或由于
11
1
det[ ( )] det[ ( )]
det{[( )]}det[( )]
IAbk IPAP PbkP
PI A bkP I A bk
+ =? +
=?+=?+
ss
[ ]
11 2211
k
= "
nnn n
aaa a aaaa若取上式的特征式为：
1
11
+ ++ + "
nn
nn
sas asa
故知状态反馈方程具有期望的特征值。前面已证明,有相同的特征值这说明任意给定闭环系统的 n个极点，均可通过状态反馈设计，
使 A+bk具有给定的 n个特征值。
121
01
1
1
Abk
+=
%
"
nn
aa aa
++AbkAbk与必要性,若动态系统经状态反馈可任意配置闭环特征值，要证明系统是可控。用反证法，若系统(A,b)
不可控，对其进行可控分解后有：
12 1
12
4
111 212
4
0 0
0
AA b
Abk k k
A
AbkA bk
A
+= +
++
=
由上式可见,A
4
的特征值不受 的影响，即 A+bk
中的一部分特征值不受 k 的影响，这与可任意配置
A+bk的特征值相矛盾。 证完。
k
?由充分性证明得到求 k 阵的算法：
1)计算 A的特征式
1
11
det( )IA
=+ ++ + "
nn
nn
ssas asa
2) 由所给的 n 个期望特征值,计算期望的多项式
12
,,,
n
"λλ λ
1
12 1 1
()()( )
=++++ " "
nn
n
ss s sas asaλλ λ
3) 求
k
[ ]
11 2211
k
= "
nnn n
aaa a aaaa
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵 P;
kkP=5) 求出反馈增益阵 。
2
1
h
hA
P hA
hA
n?
=
#
? 直接求 k算法,上述步骤中有化可控标准形这一步。 如果不经过这步，也可直接求k:
1) 将 k用 [k
1
,k
2
,….,k
n
] 表示 ;
2) 计算 det(sI?A?bk)。这个 s的多项式的系数包含了待定的 n个参数,
12
12
det( ) ( ) ( ) ( )IAbk k k k
nn n
n
ssss
=+ + ++ "ββ β
3) 将这个特征式与期望特征式比较，令 s 的同次幂的系数相等,
1
12 1 1
12
12
()()( )
det( ) ( ) ( ) ( )IAbk k k k
=+ +++
==+ + ++
" "
"
nn
n
nn n
n
ss s sas asa
s
λλ λ
ββ β
有：
得到包含 n个未知量的 n个线性方程，在系统可控的条件下，由这个方程可唯一地确定出 k。有时用这种直接方法比较方便。
例：书上 p265例 2,系统可控 ;期望的特征值为 -1,-2,-1± j
1112 1
2212 2
12
() ( )
() ( )
() ( )
k
k
k
= =
= =
= =
"
"
#
"
n
n
nn nn
kk k a
kk k a
kk k a
ββ
ββ
ββ
[]
01 0 0 0
00 10 1
1000
00 0 1 0
00 5 0 2
=+=
xxuyx
有：
43 2
()(1)(2)(1)(1)
510104
Δ=+ + ++ +?
=+ + + +
ss s s js j
ss s s
[]
123 4
1234
12 34
43 2
43 31 2 1
12 3 4
01 0 0
1
00 0 1
225 2
det( ) (2 ) (2 5) 3 3
4106325
33 8 6
+==
=+? + + +
其中k=
比较两式得：
＝＝ ＝ ＝
kkk k
Abk k k k k
kk kk
sI A bk s k k s k k s k s k
kk k k
2) 可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于 某一组指定的特征值进行配置 时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。即对某一组特征值能进行配置，并不要求系统可控。
推论,给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组包含系统的不可控模态。
1) 当 (A,b)可控时,n个方程是未知量 ki 的线性方程；上述方程有解，且解 唯一 。对,任意配置,来说，有解的充要条件就是系统可控。
单输入系统
11 12 1
22
0 0
AA b
A
x xu
=+
ur= +kx
[]
11 12 11 1211
12
22 22
11 1 1 12 2
22
0000
0
AA AAbb
kkk
AbkA k
A
+= +
++
=
1
b
由 b的形式容易看出，引入任何形如 的状态反馈，都不会影响矩阵 A
22
。即状态反馈不会改变系统的不可控模态，故仅当欲配置的极点包含 A
22
的全部特征值时才是可行的。
urkx= +
假设系统是不可控的且已具有可控性分解：
引入状态反馈 有例题,系统动态方程为
00 1 1
10 2 1
01 2 0
xxu
=?+
[ ]
01 2yx=?
给定两组极点，分别为,{?2,?3,?4} 和 {?1,?2,
3},问哪组极点可用状态反馈进行配置。
解,计算出 A阵的特征值，分别为 –1,–0.5±j 0.5√3。
可验证 –1 是不可控的，其它两个特征值是可控的。极点组 {–1,–2,–3}包含了不可控模态 –1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {–2,–3,–4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究。令 k=[k
1
k
2
k
3
],
32
12 1 23 1 23
(2)(232)(1 )=++ ++ +skks kkks kkk
(s+1) (s+2)(s+3)=s
3
+6s
2
+11s+6
12 3
12 3
1
()1 2
012
+=
+
IAbk
sk k k
sks
s
期望多项式比较两式的系数有：
上述方程，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩
（等于 2），有解。
12 1
123 2
123 3
() 2
26 1 10 4
23 21 231 9()
12 6 121 5
=
+=
+= =?
=
"
rank
kk k
kkk k
kkk k
方程组 的相容条件就是 所给极点组应包含不可控模态。
()?
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较，可得同样结果。上式也表明不可控模态是用状态反馈改变不了的。
k
1
+ k
2
=4,k
3
+ k
2
=1
()?由 可解出 k
1
,k
2
,k
3
(*)式又可表成 (s+1)[s
2
+ (－ k
1
－ k
2
+1)s－ k
1
－ k
3
－ 2k
2
+1]
由此可见,“任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件是系统可控。
32
12 1 23 1 23
(2)(232)(1 )*+ + + + +skks kkks kkk
四、状态反馈对传递函数零点的影响
1
11
11
1
()() ()cI A b cI A b
++ +
=? =? =
+ ++ +
"
"
反馈前的系统
n
nn
nn
nn
ss
gs s s
sas asa
βββ
[]
21
11
,,)
1
[1 ],
det( )
nT
nn
sss
s
ββ β
=
=
1
Abc
IA)b
IA
c
"
"
这里，我们假定已经将（ 化成了可控标准形。
此时 （
。
[]
11
1
1
1
det( )IAbk
nn
n
s
s
s
=
"
#
ββ β
结论,引入状态反馈可移动极点的位置，一般说来不影响零点。但却存在这样的情形：经状态反馈后的极点恰与零点有对消，此时状态反馈不仅影响了零点，还造成被消掉的极点为不可观测模态（但仍可控）。这从另一个角度解释了为什么状态反馈有时会使系统失去可观测性。
1
()cIAbk bs
=
仍为伴随矩阵的形式
1
11
det( )IAbk
n
n
ss
s
+ ++
=
"βββ
11
()()()
= =IA IA
用同样的变换，经反馈后的系统
f
gs s sc bkbc bkb
五、多变量系统状态反馈方法一,将多变量问题变换为单变量问题处理基本思路,若多变量系统 (A,B)可控，其极点配置的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问题，进行处理。先介绍两个准备条件：
定理 7－ 5,若多变量系统 (A,B)可控，且 A为循环的，则几乎对任意的 px1实向量 v，单输入对 (A,Bv)
都是可控。
注,A为循环的充分条件是 A的所有特征值均不相同。
证明说明,由于在任意等价变换下可控性是不改变的，因此可以设 A为约当标准形，用如下例子说明：
1
2
21000 01
02100 00
00200 12
00011 49
00001 10
X
X
v
ABB
v
X
α
β
===
若多变量系统 (A,B)可控，则只要α,β不为零,(A,Bv)
即可控。
定理 7－ 6,若多变量系统 (A,B)可控，则几乎对于任意的 P x n 实常量矩阵 K,A+BK的全部特征值均不相同，因而（ A+BK）是循环的。
证明,（略）
定理 7－ 7,若多变量系统动态方程 (A,B)可控,K
为 p x n 实常量矩阵，则通过线性状态反馈 u＝ r＋
Kx，在复共轭特征值成对出现的条件下，可以对
A+BK的特征值任意配置。
证明,可应用定理 7－ 6,7－ 5,7－ 4完成定理的证明，证明过程如下：
1.若 A为非循环的，引入 u＝ w＋ K
1
x使得
7－ 43
中的 是循环的。其中 K
1
是 p x n 实向量矩阵。因 (A,B)可控，因此 也是可控的。
2,根据定理 7－ 5，方程 7－ 43存在一个 p x 1的实向量 v，使方程 单输入可控。引入另一个状态反馈 w＝ r＋ K
2
x，取 K
2
为 K
2
=vk，则
1
()x ABKxBwAxBw=+ + +
＝
1
AABK+
(,)AB
2
()()x Ax Bw A BK x Br A Bvk x Br+=+ +=+ +
＝
3,根据定理 7－ 4可知，适定选取上式中的 k,可以任意的配置 的特征值，即 A+BK的特征值。其中 K=K
1
+K
2
。
(,)ABv
(,)ABvk
1
()= += + +KKvk经状态反馈 后的多变量系统uxr xr
B
∫
x
C
y
A
1
K
2
K
r
x
uw
2
Kvk=
注：
1、对于多变量系统,K的选择不是唯一的，即对于多变量系统，达到同样极点配置的 K值有许多。 K
的这种非唯一性是多输 入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一 。 如何充分利用 K的自由参数,
以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个研究领域。
12
12 1
det[ ( )]
() () () ()
IABK
KK KK
nn n
nn
s
sf s f s f sf
+
=+ + ++ + "
式中 f
i
(K)表示某一个以 K的元素 k
ij
为变量的 非线性函数 。如果将期望多项式表成
12
12 1
++ +++ "
nn n
nn
ss s sαα αα
2,多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是
“非线性方程,。 如将 K阵的元素用待定系数 k
ij
表示，闭环的多项式可以写为比较两式的系数，可知应有
() ( 1,2,,)K
ii
finα== "
例,对多变量系统，
11 12 13
21 22 23
010 10
001 01
123 00
ABK=
++
kkk
kkk
11 12 13
21 22 23
1
1
12 3
+
= +
kk k
kkk
显然,det(sI?A?BK)的系数是非线性的。
det(sI?A?BK)在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般是非线性方程。对于多输入系统 当系统可控时，可以通过牺牲 K的自由参数，使
det(sI?A?BK)简化为一组能解出的线性方程组。
解,根据方程的形式，设
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+=
+
+
kk k k
kk k k
则
1234
5678
K
=
kkkk
kkkk
例题,系统方程为
0100 00
0010 00
0010 10
0001 01
x xu
=+
欲使闭环系统 (A+BK)具有特征值?2,?2,? 1±j,试确定状态反馈增益阵 K。
方案１,取
k
4
=k
5
=k
6
=k
7
=0,1+k
8
=?2,由
232
(2)[(1)1] 4 64ss sss+ ++=+++
易得
12 3
4,6 1 4=?=?+=?kk k
即有
4650
000 3
K
=
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+ =?
+
+
kk k k
kk k k
12 3
01 0 0
00 1 0
10
00 0 2
+=
+
ABK
kk k
方案 2,取
k
1
=k
2
= 0,k
3
=?1,k
4
=1
可得
k
5
=?8,k
6
=?16,k
7
=?14,k
8
=?7,即有
00 11
816147
K
=
56 7 8
01 0 0
00 1 0
001(1) 1
1
ABK
+=
+?
+
kk k k
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+=
+
+
kk k k
kk k k
22 432
(2)[(1)1] 6 14 168ss ssss+ ++=++ ++
由极点配置中反馈增益阵选取的不唯一，表明由此生成的闭环传递函数阵一般是不同的，从而也将具有不同的响应特性。显然，在极点配置问题中应选择响应速度较快的反馈增益阵。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的全部不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
方法二：将原多变量系统变换为可控标准形后处理
01 00 00 0
0
1
0 0010000
0
1000
000000010
0 000 0 1
×××××××××
×××××××××
=
×××××××××
A
"
%
"
%
"
# # # # # #
" "
%
" "
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
为避免复杂的符号，假设原系统n=9,p=3，可控性指数分别为3,2,4。引入,得,= +urKx
()=+ +
xABKxBr
于是 具有如下形式：
+ABK
123
12
1234
010
001
01
0100
0010
0001
A+BK
aaa
bb
cccc
=
或为下列形式：
123456789
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001
A+BK
ddddddddd
=
当然也可以得到一些其它的形式。
上面两式的特征多项式为：
32 2 432
321 21 1
987
98 21
()()( )
)
"
或
（
由于,,和 能够任意指定，于是可以实现任意配置极点的目的。
iii i
s as as a s bs b cs cs cs c
sdsds dsd
abcd
方法三：通过解一个李亚普诺夫方程实现，不必将 A变换为可控标准形。
1）选择一个任意的n×n矩阵F，F与A没有公共的特征值。
2）选择一个任意的p×n矩阵,使得{F,}是可以观测的。
3）解方程AT-TF=-B,求出其唯一解T。
4）若T为非奇异阵，则取K= T
-1
，于是A+BK具有与F
相同的特征值，若T为奇异阵，则选择一个不同的
F或不同的 并且重复以上过程。
K
对可控矩阵（A，B），求一个K使得A+BK具有一组所要求的特征值。其步骤为：
K
K
K
K
六、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响
ss
s
GCIAB
G
-1
对一个多变量系统的传递矩阵,( )= ( - ),
利 一般用频率域方法可以证明，状态反馈 也不影响
( )的零点。
七、镇定问题
1,状态反馈的镇定问题,对于定常系统
AB= +
xxu
若能够找到状态反馈使得经反馈后的闭环系统
()=+=+ +AB ABK B xxu xr
的所有特征值均具有负实部（渐近稳定），就称系统是可反馈镇定的 。
= +Kur x
(,)AB系统 可用状态反馈镇定的充分必要条件是其所有的不可控模态均具有负实部。
定理,
事实上，因为状态反馈不改变不可控的模态：
4
Re ( ) 0Aλ? <则系统可镇定 。
[]
12 1
12
4
111212
4
0 0
0
AA B
ABK K K
A
ABKA BK
A
+= +
++
=
对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配置于任意指定期望位置，而只是要求配置于复平面的左半开平面上，因此可以由极点配置结果直接导出镇定问题结论。
状态反馈镇定算法：
一、若（A，B）可控，任意指定n个实部为负期望闭环特征值，按着多输入情形极点配置算法，计算镇定状态反馈矩阵K。
二、若（A，B）不可控，按着可控性分解定理，构造
P阵，并求出A的可控 与不可控部分 。
1）对（,）,任意指定n
1
个实部为负期望闭环特征值，按着多输入情形极点配置算法，计算极点配置状态反馈矩阵 。
2）计算镇定状态反馈矩阵K=[,0]P,并完成计算。
c
A
c
A
c
A
c
B
1
K
1
K
可将系统分类成：
可控系统 可任意配置极点 可镇定可镇定:若其不可控模态均系统具负实部不可控系统不可镇定：至少有一个不可控的模态不具有负实部
2,系统按镇定分类
? 能够使用极点配置的条件：状态可以测量。
? 如果系统的状态不能完全测量 ——这是大多数 控制系统的共同特点 ——则不能直接采取状态反馈配置极点的方法。但即便如此，极点配置的结果仍然具有重要的理论和广泛的工程意义，是线性系统理论最经典的成果之一。
? 还需要特别指出的是，由于任何真实的工业系统都不是真正意义上的线性系统，即使全部的状态都能得到也不可能任意地改善系统的品质。
? 此外,能够进行上述,精确,极点配置的前提是对象的参数完全已知，这在现实中很难做到。
状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。
但一般说来人们不可能直接获得（测量）全部的状态变量，这就使状态反馈的物理实现成为问题。
状态反馈在性能上的不可替代性和物理上的不可实现性间的矛盾推动人们提出了 状态重构 的概念。
一、状态估计的方案及 Kx 观测器的定义
7-4状态估计器（观测器）
所谓状态重构，就是要构造一个 状态观测器或称 状态渐近估计器,使之用于状态反馈。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型
(或系统、或软件 )来对状态变量进行估计。
是否有可能构造出状态观测器？事实上，如果系统可观测，从输入 u和输出 y间接地把状态变量 x重构出来就是可能的。这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点。
B
C
A
∫
u
原系统
y
x
x
B
A
x
∫
模型
1,状态观测器最早的观测器构造方案是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见下图。
= +
xxuAB
这种方案存在的缺点是：
1) 模型系统的 A,B 难与真实系统一致；
2) 两系统的初始值难以设置得相同。
00
lim( ) 0,,
→∞
=?
t
xx xxu
的要求。由于图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以是一个 开环估值 。这种方案的抗干扰能力、稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的。
因此，很难满足误差
,= +AB
xxu
((),=Δ+Δ
AB
A+ ) B+
xxu
可见，即使观测器参数微小的摄动都可能导致误差不为零；进而，即使摄动为零，若初始条件不同也可能发散。
)
AB
A(? =Δ?Δ
xx xx x u
事实上，原系统动态方程为：
状态估计器动态方程为：
观测器误差为：
Cy x=
x
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用
y=Cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了下面的闭环估计方案。
闭环方案
()( ),
nq
xxu yx xuy
×
=++? =? ++ ∈ABL C ALC BL LR
(x xu xu x= +=? ++AB ALC)BLC
() ()x x xuuyx x=? + +=?ALC LC B B L ALC
:x xx=?
C
L
估计器
B
C
A
B
A
∫
∫
ux
y
x
x
闭环方案
C
L
估计器
B
C
A
B
A
∫
∫
ux
y
x
x
B
C
A
B
A-LC
∫
∫
u
x
y
x?
x
L
图中虚线框出的部分称为 状态观测器或状态估计器,它是一个动态系统,以原系统的输入量 u和输出量 y作为它的输入量,而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值,应当满足
x
00
lim lim( ) 0,(0),(0)
→∞ →∞
=?=?= =
tt
xxx uxxxx
根据图中所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
()( ) (756)=++? =? ++?ABL C ALC BL
xxuyx xuy
111 1
1
()[]
,:,[],:
=? +
= + =? = =
=
ALC BL
AB AALC,BBL
I
u
xx
y
u
xxu u
y
yx
2,Kx观测器在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的是用以直接构成反馈控制规律 K，在这种情况下，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合 Kx 的估计值，而没有必要去产生状态的估计值。而直接构造
Kx 观测器有可能使观测器的维数降低，简化控制器的设计。
定义,设线性时不变系统
∑,(A,B,C） (x,y,u)
的状态是不能直接量测的，而另一状态变量为 z 的动态系统 ∑
0
称为是系统 ∑的 Kx 观测器，如果 ∑
0
以 ∑
的输入 u 和输出 y 为其输入，且对给定的常数矩阵
K,∑
0
的输出 w满足
00
lim( ) 0,KKR
×
→∞
= ∈?，,,
ln
t
xw xzu
若在上述定义中,K=I，则 ∑
0
称为状态观测器或状态估计器。
:( )A,B,CΣ
u
y
0
:,KxzwΣ 观测器,状态,输出：
00
lim( ) 0K
→∞
=?满足,,
t
xw xzu
图,Kx 观测器 ∑
0
,K=I时退化为状态观测器
(,) (,(,))
(,,)
= =
=
zfzu fzuy
wgzuy
定理,对线性时不变系统（ A,B,C），其状态观测器存在的充分必要条件是系统可检测（ 若系统中不可观测的模态是稳定模态，则称系统是可检测的。 可检测是可镇定的对偶提法）。
证明 充分性 。 因为（ A,B,C）不是可观测时，
可按可观测性进行结构分解，故这里不妨假定
（ A,B,C）已具有如下形式：
11 1
1
21 22 2
0
[0]
AB
C
AA B
===
二、状态观测器的存在性,n 维状态观测器其中 (A
11
,C
1
)可观测,A
22
的特征值具负实部。现构造如下的动态系统
()=++?ABL C
xxuyx
()=?ALC
xx
根据前面的分析：
11 1 1
21 2 1 22
0?
=
ALC
ALCA
xx有
11 1
1
21 22 2
0
[0]
===
ALC
AA L
因为
TT
11 1
()AC,
TTT
11 1 1
ACL
11 1 1
ALC
00
lim 0,,,
→∞
=?
t
xxxu
于是定理的充分性得证。定理的 必要性证明 将在以后补充说明。 证完。
1
T
L
可控，适当选择,可使的特征值，亦即的特征值均具负实部；而 A
22
是系统的不可观测部分，由可检测的假定,A
22
的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即定理说明如果系统可检测,状态观测器总是存在的,并且观测器可取成前面讨论的形式，即
（ 7-56）和（ 7-56a）的观测器分别称为 n维基本状态观测器 和 n维基本 K x 观测器 。
()
=? ++
=
ALC B L
K
xxuy
wx
(7－ 56a)
() (756)
=? ++?
=
ALC B L
I
xxuy
wx
同样,K x 观测器也是存在的,可以取为定理,线性时不变系统（ A,B,C）的状态观测器
（ 7-56）可任意配置特征值的充分必要条件是
（ A,C）可观测。
证明 令前面定理的证明中 A
22
的维数为零，即可证明本定理。这个定理相当于（ A,B,C）的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式。
证完。
对单输入、单输出系统，若 (A,b,c) 可观测,
状态观测器的极点配置问题可按以下步骤来解决：
1
11
1,det( IA
=+ ++ + "记） 。
nn
nn
ssas asa
因原系统（ A,c)可观测，对其作等价变换后有三、单输入单输出系统的状态观测器
[]
11
11
0
1
1
1
00 01
A
=+
=
#
% #
"
nn
nn
a
a
xxu
a
yx
β
β
β
b
c
2,(,,)
()=?
++
A
A
xx
uy
对构造状态观测器：
，
得到
bc
c
b
l
l
N
[]
11 11
11 11
()
11
001
()
+
=?=
+
A
" # #
% # % #
nn nn
nn nn
al al
al al
al al
c
l
l
N
[]
11 11
11 11
00()
11
001
()
+
=?=
A
" # #
% # % #
nn nn
nn nn
c
al al
al al
al al
l
l
12
1
11
11
11
,,,,
()
=+ ++ +
=
"
"
#
#
n
nn
nn
nn
nn
nsss
fs s as a s a
aa
aa
aa
若给定了 个希望的极点 则有可取 l
1
3.,
(,,)
()
=
=?
++
P
A
A
l
xlx
uly
取就得到的观测器方程
bc
c
b
l
1
1
(),
,
=
==
PA P A-
PP
lc c
lcc
l
l
注意到经变换后的系统是可控标准形的对偶形式，
于是不难得到变换阵 P为
12 1
2
1
1
1
1
10
1
c
cA
P
cA
nn
n
n
aa a
a
a
=
"
#
# $
Abc给定系统(,,)如下：例：
2
5840;A sss? +?=
3
1,阵的特征多项式为
2.
851110 421 111
510121 4 31,1 10
100144 110 124
1
PP
=? = =
根据以上介绍的变换阵，有
2
12 47 60;+++fs s s s
3
3.期望的多项式为 ( )=
{3,4,5}
容易验证这个系统是可观测的。现在构造极点在的状态观测器：
[]
100 1
021,0,110
002 1
Abc
===
解：
4,计算 l
5.(,,)
()
119 120 0 1 120
103 105 1 0 103
210 210 2 1 210
=? ++
=++?
A
A
xlcxuly
xu y
的状态观测器方程为：bc
b
11
1
11
60 ( 4) 64 120
47 8 39,103
12 ( 5) 17 210
==?=∴==?
P #
#
nn
nn
aa
aa
l
aa
ll
Ax xbu
ycx
= +
=
y
[120 103 210]
T
∫
[1 0 1]
T
u
119 120 0
103 105 1
210 210 2
x
b
l
x
()lc?A
1
5',Pxxx
若在得到 的估计之后，通过 = 得到 也可以，
如下图所示：
Axxbu
ycx
= +
=
y
u
x
()xAcxbuy=? ++
ll
-1
P
x
1
PPxx x x
==
0
,(7 59)
×××
××
=+ +
Σ?
=+
FH G
EM
nn np nq
ln lq
zz uy
wzy
问题,上述系统中的矩阵满足什么条件时,系统
∑
0
才可以构成（ A,B,C）的一个状态观测器？
线性时不变系统（ A,B,C）的观测器也是一个线性时不变系统，其一般形式如下：
四、观测器的结构条件
∫
z
z
H
G
y
u
F
E
w
M
首先研究系统状态变量 x 和观测器的状态变量
z 之间的关系。
1,n维状态观测器
0
,(7 59)
×××
××
=+ +
Σ?
=+
FH G
EM
nn np nq
ln lq
zz uy
wzy
问题,在状态变量 z和 x之间是否也存在类似的线性渐近关系，即是否存在 T，使
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
zx xzu
成立? 我们有定理 7-9,若使 7-59式中的 z(t)为 Tx(t)的估计,即对任意的 x(0),z(0)和 u(t)，当 t趋向于无穷时，有 z(t)-Tx(t)
趋向于零,T为某个 n x n实向量矩阵，其充分必要条件为：
(1)
(2)
(3) ( ) 0 ( 1,2,,)
=
=
<=
TA FT GC
HTB;
RF " "
i
ein；
。λ
证明 充分性 （即定理的后半部分）。 要证明若 (3)
成立,T满足 (1),(2)，则有
()( )=?= +? + +TTABFHG exz xu zuy
令
=?Texz：
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
xz xzu。
(1)
(2)
(3) ( ) 0
i
e λ
=
=
<
TA FT GC
H TB;
RF；
z zuy= ++FHG
() F
=
+?
GGC
TA GC TB H
Z Z Z Z Z Z X
Y Z Z Z Z Z Z
yx
xuuz（）-
()==?=
FT
TA GC F FT F F
xz xze
F?= ee
对 e求导数，有则显然对任意的
00
,,x zu
,有
lim ( ) lim ( ) 0
tt
et x z
→∞ →∞
=?=T
所以有
00
() (0) ( )==?
FF
T
tt
et e e e x z
必要性,设对任意的
lim( ) 0
→∞
=T
t
xz
00
,,xzu
要证 (1)～(3)成立。取 u=0,x
0
=0，则由都有可知 x=0,从而,y=0。此时，由 (7-59)：
,AB C= +=
xxuyx
F=
zz
可得
0
,(7 59)
=+ +
Σ?
=+
FHG
EM
zzuy
wz y
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
xz xzu
故有：
而由
lim( () ()) lim () 0
→∞ →∞
=? =T
tt
xt zt zt
0
lim ( ) 0,
→∞
=?
t
zt z
3这就是（）。
() 0 ( 1,2,,)RFλ?<= " "
i
eir
下面证 (1)和 (2)。因为
()( )
()( )( )
()
=?= +? + +
=?++?
=+ +?
TTABFHG
F T TA FT GC TB H
FTAFTGC TBH
exz xu zuy
xz x u
WQ
如果 W,Q为零，即 (1),(2)成立。对微分方程取拉氏变换，并解出 e(s)：
() (0) () () ()FWQ?= + +se s e e s x s u s
11
() ( ) (0) ( ) [ () ()]IF IF W Q
=? +? +es s e s xs us
由条件 lim ( ) 0
→∞
=
t
et
0
lim ( ) 0
→
=
s
se s
可知
11
00
lim ( ) lim( ) [ ( ) ] ( ) 0Ι FWΙ ABQ
→→
=+ =
ss
se s s s su s
取 x
0
=0，有
1
() ( ) ()Ι AB
=?xs s us
e(0 )=Tx(0)?z(0)=0
所以由于 u(s)的任意性，又因为 F非奇异，故必须有又取 z
0
=0，这时否则，可以找到 u，使得 limse(s) 不为零。
在复数域上 (sI?A)
-1
B 不全为零，立即推得
W=0。而
W=TA?FT?GC,Q =TB?H，
则 W=0,Q=0 意味定理中的结论 (2),(3)，从而，
定理的全部结论得证。 证毕。
（书上用的是反正法）
1
1
() 0
()0 0
W Ι ABQ
W Ι AB Q
+≡
≡ =
s
s,
推论 7-9：在式 7-59中，取 E=1,M＝ 0，则（ 7-59）变为：
(1) Re ( ) 0 ( 1,2,,)
(2) (7 60)
(3)
< =
=
=
F
FT TA GC
HB
" "
i
in；；
。
λ
证明：（略）
上式成为系统 n 维基本状态观测器的充要条件为
0
:(759)
×××
=+ +
Σ?
=
FH G
nn np nq
zz uy
A
wz
问题,如何确定 T？满足什么条件 T为非奇异？
定理 7-10,若 A和 F不具有公共的特征值，方程 TA-
FT=GC存在一个非奇异解 T的必要条件是 {A,C}为可观测及 {F,G}为可控。对于单输出情况 (q＝ 1)，这一条件同样也是充分条件。
证明,（自学）
(1) R e ( ) 0 ( 1,2,,)
(2)
(3)
i
irAλ <=
=
=
F
TA FT GC
HTB
"，切与的特征值不同定理 7-9和定理 7-10给出了判断方程 7-59是否为动态方程 {A B C}状态观测器的条件。即,
(4) {A,C}可观测 {F,G}可控。
2,求状态观测器的一般步骤,根据前面介绍的定理，
可以定出求 n维状态观测器的算法：
1) 确定一个 F阵，它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同；
2) 选取 G阵，使 {F,G}是可控的；
3) 由 TA－ FT=GC解出 T ；
4) 由 TB=H定出 H；
在以上步骤中，随着 F,G的不同选取，会得到不同的 T，因而对一个系统可构造出不止一个 n维状态观测器。
若系统
11 1
11
(1)
= ++
=+
FH G
EM
zz u y
wz y B
是（ A,B,C）的一个 Kx观测器。作变换,有 z z= P
222
22
(2)
=+ +
=+
FH G
EM
zz u y
wz y B
1
21
21
21
21
21
=
=
=
=
=
-1
FPFP
HPN
GPG
EEP
MM
3,Kx观测器的代数等价性问题其中，
定理,若（ A,B,C）可控，（ B1）式是它的一个
Kx 观测器，则其代数等价系统（ B2）也是它的一个 Kx 观测器。
证明,（ 略）
注,若在 (B1)式中 E1=1,M1=0，则 n维状态观测器同样满足代数等价定理。
11 1
11
=+ +
=?
FH G zz u y
wz B
222
(2 1)
=+ +FH G
zz u y
wz B
1.状态观测器的维数现在提出的问题是：状态观测器的维数 n是否可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低，意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工程实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最小维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重要课题之一。
考虑 n 维线性时不变动态方程
AB
C
xxu
yx
= +
=
六、最小维状态观测器上一节研究了 n维状态观测器（即全维状态观测器）
的一般形式，下面讨论降维状态观测器。
若假定 rankC=q，那么输出 y实际上已经给出了部分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态，只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可比 n低。
引理,若系统（ A,B,C）可控可观测，且
rankC=q
则系统的 状态观测器 的最小维数是
n?q
2,降维状态观测器的构造 (构造方法 I）
考虑 n维动力学方程 A,B,C分别为 nxn,nxp,qxn实常量矩阵。假定 C为行满秩，即 rankC=q，定义其中 R是一个 (n-q)xn实常量矩阵，并且只要 P是非奇异的,R是完全任意的。定义：
其中 Q1,Q2为 nxq和 nx(n-q)的矩阵。则：
C
P
R
[ ]
1
12
QP Q Q
[]
12
12
12
q
n
nq
I
CQ CQC
IPQ Q Q
RQ RQ IR
== = =
1） 取等价变换,动态方程变为,= Pxx
将上式分开写为：
1 111 12
1
2 221 22
2
1
(7 67)
0
=+?
==
BAA
BAA
q
x
x
u
x
x
yI xx
[0]
=+
===
-1
-1
PAP PB
CP CQ I
q
xxu
yxx x
由上式可以看出,所以只有 的后 (n-q)个分量需要进行估计。因此我们仅需要一个 (n-q)维的状态估计器。
1
=yx
x
11 12 2 1
222221 2
(7 68 )=+ +?
=++
AA B
AAB
yyxu a
xxyu
2） 导出关于 的状态方程和输出方程，为进一步构造状态观测器作准备。为此，改变 (7-67)式：
2
x
定义 则上式变为：
21 2 11 1
=+ =AB AB
uyuwyyu：和上式中的 和 是已知量 u和 y的函数，若上式可观测，
就能构成一个 的估计器。
2222
12 2
(7 68 )=+?
=
A
A
xxu b
wx
u w
2
x
定理 7-11,动态方程 {A,C}，或等价的说方程为可观测的充分必要条件是 (7-68)中的 为可观测的。
证明：（略）
22 12
{}AA,
{}AC,
那么 是否是可观测的？
22 12
(,)AA
动态方程 {A,C} 为可观测，则 可观测。进而可以构造一个 (n-q)维的 状态观测器。
22 12
{}AA,
2
x
222 122
222 122 1 1 212
()
()( )
=? ++
=? ++
ALA L
ALA LA B A B
xxwu
yyuyu即：
3） 建立 n?q 维闭环状态观测器
2222
12 2
(7 68 )=+?
=
A
A
xxu b
wx
n?q 维闭环状态观测器为：
2
=?zx Ly
得到
22 12 22 12 21 11 2 1
()[()()]()
772
=? + +?
A LA A LA L+ A LA B LB
zz yu
（）
为消去 y的导数项，定义：
这是 以 u和 y作为输入的 (n-q)维动态方程 。 选择适当的 L，可以对方程中的特征值进行配置现将 与 两式结合起来构成下式：
11
==xyx
2
=+xzLy
1
2
==
+
y
x
x
Ly z
x
由于,则 或
=xPx
1?
==xPxQx
[] []
1
12 12
2
0
(7 74)
== = =
+
q
nq
I
yy
x
xQxQ QQ QQ
LI
Ly z z
x
(7-72)和 (7-74)式所表示的 (n-q)维状态估计器的方框图如下。
22
BLB
21 11
ALA
22 12
ALA
∫
L
1
Q
2
Q
y
u
x
z z
2
+ =zLyx
(n-q)维和n维状态估计器的比较如下,
1,降维情况所需要的计算量明显少于全维情况，所需要的积分器也较少。
2,降维情况，若y中掺杂有噪音，噪音将直接在估计器中输出；在全维情况下，y信息经过积分或滤波，因此 y中的高频噪音将受到抑制
3,降维状态观测器的构造（构造方法 II）
考虑 n 维线性时不变动态方程
AB
C
xxu
yx
= +
=
假定动态方程为不可简约的，并且 rankC=q。令
z Fz Gy Hu=++
是一个 (n-q)维动力学方程,F,G和 H分别为所要设计的 (n-q)x(n-q),(n-q)xq和 (n-q)xp实常量阵。若 z是 Tx
的估计器，则原系统的状态 x能借助于下式估计：
1
Cy
x
Tz
=
定理 7-12,若 A和 F不具有公共的特征值，则在 TA-
FT=GC存在一个满秩的 T从而使得为非奇异的必要条件是 {A,C}可观测和 {F,G}可控。
对于单输出情况 (q＝ 1)，这一条件同样也是充分条件。
证明,（自学）
(1) R e ( ) 0 ( 1,2,,)
(2)
(3)
i
irAλ <=
=
=
F
TA FT GC
HTB
"，切与的特征值不同
(4) {A,C}可观测 {F,G}可控。
C
P
T
=
构造方法 II求状态观测器的一般步骤：
1) 确定一个 F阵，它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同；
2) 选取 G阵，使 {F,G}是可控的；
3) 由 TA－ FT=GC解出 T,T是一个 (n-q)xn矩阵 ；
4) 若 n阶方阵为奇异，返回第一步重新计算，若 P为非奇异，计算
TB=H定出 H。
Z是 Tx的一个估计，进而求出 x的估计：
C
P
T
=
[]
1
12
C yy
xQQ
Tz z
==
4,降维状态估计器总结定理 7-13,若 n维动力学方程 FE可观测，则由 (7-72)和
(7-74)式或 (7-76)和 (7-78)式能构成 (n-q)维的状态估计器，并能使该估计器具有任意预期的特征值（其共轭特征值成对出现），其中 q为方程 FE中矩阵 C的秩。
7-5 状态反馈与状态估计器的连接若原系统 (对象 )方程为
,xxuy x=+ =AB C
且 (A,B,C)可控、可观 。若状态 x不可测量，很自然想到：是否可用 来代替 x 形成状态反馈，即
x
= + Kur x
n 维状态估计器的方程为：
()x xuy=? +ALC B+L
一、包括估计器的状态反馈系统的构成由 对象、观测器和状态反馈 组合而成的闭环系统的方块图,如下图所示。
观测器
K
x
ur
y
Cxy
BuAxx
=
+=
+Kuxr此时,=,闭环系统为组合系统：
() ( )
=+=+ +
=? ++=?+ ++
=
ABABKB
A LC L B A LC BK L B
C
xxux xr
yu xyr
yx
组合系统：
,
()
=+ + =
=? + ++
ABKB C
ALCBK L B
xx xryx
r
(S-1)
(S-2)
根据 (S-1)式和 (S-2)式可得到闭环的动态方程式为
[]
0
x
x
r
x
x
x
y
x
=+
+
=
ABK B
LC A LC BK B
C
二、包括观测器的状态反馈系统的特性
1.组合系统的维数闭环系统是一个 2n 维的系统 。
将上面的动态方程进行如下的坐标变换
0
x x
x x
=
I
II
1
00
==
II
PP
II II
变换后，所得到的动态方程为
[]
00
0
xx
r
x
y
x
+?
=+
=
ABK BK B
ALC
C
可控性分解
2,组合系统的可控性
x xx=?
其中,。
注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分
A?LC （ 这说明估计器的所有模态均是不可控的模态 ） 在传递函数的计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得
1
() [ ( )]
f
ss
=?+GCIABKB
这说明用 代替 x 作反馈未影响系统的输入输出关系，也即：
***估计器的引入不改变原系统的转递函数阵。
x
2
det
0
det[ ( ) det[ ( )] ]
n n
n
ss
s
+?
=
+?IABK
ABK -BK
A
IA
L
LC
I
C
上式表明,状态反馈系统的动态特性和估计器的动态特性是相互独立的 。这一特性的意义在于：
闭环系统 矩阵的特征式可计算如下
3.分离性原理估计器的引入不影响由状态反馈阵 K所配置的极点
{( ),1,2,,}+=ABK "
i
inλ
也不影响设计好的估计器的特征值
{( ),1,2,,}?=ALC "
i
inλ
分离性原理,若系统 (A,B,C)可控、可观，对于包含估计器的状态反馈系统，状态反馈律的设计和估计器的设计可独立地分开进行 ——分离性原理 。
因此，若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 K，然后按估计器的动态要求选择 L,L的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。
同样，可以证明,用降维估计器来实现状态反馈时分离特性仍成立 。
通常把反馈增益阵和估计器一起称为 控制器,这一控制器的输入是对象 (A,B,C )的输入信号和输出信号，控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。
x
估计器
K
x
uvy
Cxy
BuAxx
=
+=
控制器这种结构称为 输入、输出反馈结构,是 动态补偿器 的一种形式。
由对象的输入经过估计器形成一个反馈信号，
另一反馈信号由对象的输出经过估计器所形成,
4,含估计器的状态反馈系统的缺点一般说来，包含估计器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统来得差（可参见 J.C,
Doyle and G,Stein,Robustness with observers,
IEEE AC,1979,No.4)。 通常，应使估计器的特征值的负实部是 A+BK的 2到 3倍,即
Re ( ) (2 3)Re ( )?=～ +ALC ABK
ii
λλ
事实上，若估计器的极点的实部与系统所要配置的实部相差不大，则估计器状态 接近于对象状态 x
的速度就慢，用 代替 x的效果自然就不好。
x
x
5.设计举例
（根据书上 P256例 2）若引入状态反馈：
则所得到的动态方程具有特征值为 -1,-2,和 -1± j。
若状态 x不可反馈，因此必须设计状态观测器，采用降维方式。选观测器特征值为,-3,-3± 2j。
[]
01 0 0 0
00 10 1
00 0 1 0
0050 2
1000
x xu
yx
=+
=
例 1,(P288)系统动力学方程为：
4106325
)()
33 8 6
ut rt x
=+
（
则：
比较上面两式得：
[]
1
22 12 2
3
010
001 100
050
l
A AL
l
===
解,定义,及 为：
1
22 12 2
3
32
1231
10
01
50
det( ) (5 ) ( 5 )
l
AA LA l
l
sI A s l s l s l l
=?
=+?+?+
希望特征方程为：
32
( 3)( 3 2 )( 3 2 ) 9 31 39ss js jss s+++ +?=+++
12 3
93684ll l==?=?
22
A
12
A
L
由 构成的状态反馈为：
[]
22 12 22 12 12 11 2 1
1
2
3
12
( ) [( ) ( )] ( )
910 45 1
36 0 1 240 0
84 5 0 570 2
0
q
nq
z ALAzALALALAy BLBu
z
zyu
z
I
y
xQQ
LI z
=? +? +? +?
=++
=
由公式 (7-72)和 (7-74)构成一个三维状态估计器为：
4106325
33 8 6
ur x
=+
1
2
3
1 000
9100
36 0 1 0
84 0 0 1
y
z
x
z
z
=
x
例：2
要用状态反馈将系统的特征值配置到 {?1,?2,
3}，并且用降维观测器来实现所需要的反馈。
根据分离性原理，设计可分两部分进行。
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
1).设计状态反馈阵 K，使极点配置在 {?1,?2,?3}
显然,A是循环阵，因此根据定理 7-7不需要配置 K
1
。取
1
1
1,
1
1
== =
bBvv
由定理 7-5可验证 (A,b)可控。考虑单输入系统：
,= +=Ab C
xxuyx
利用状态变换,将上述方程化为可控标准形：
xx= P
010 0 12 3
1
001 0,12 1
4
111 1 1 2 1
=+=?
P
xxu
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
由 {?1,?2,?3}可得期望的闭环极点多项式为
32
6116ss s+++
[5 12 7] [0 12 5]kk k= =?P=解得
0125
0125
kk k
=?==
2
bBv Kv因此，
)=+ +=+ +
2
ABK B ABv B xxrkxr（)（
即若状态可测量（但实际上不可测量），经状态反馈后的系统为：
010 0
001 0
111 1
=+
xxv
2),根据分离性原理，再 单独设计 降维观测器 。
注,以上设计步骤事实上是按照前面讲的输出反馈中所介绍的算法进行的。但由于 A阵已是循环阵，
故设计中的第一步被省略了 (K=K
1
+K
2
,K
1
=0)。
1
100 10 0
011,01 1
001 00 1
= =?
PP
100 10
100
011,02,
010
001 01
===
ABC
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
[]
[]
11 12 21 22
12 12
10 0
00 1
01 1
10 10 0
01
02 01 0
====
== ==
AAAA
BB CC
12 12 12
[],:[ ],[ ]== =
TT
Lll y yy uuu
22 12 2
2
21
1
122112
21 11 22 1
1
2
22
()()
[( ) ( )
(1 ) (1 2 ) (
]
2)= +
=? +?
+? +
+
AA BB
AAAA
lzlu lu l lly
zLzL
LL
l
u
L
y
y
可得一阶状态观测器为：
令
2
11
1
0
==
+
Iyy
xP P
LILy z z
12
0,5==ll取，有
22
49 25= zzu y
010
105
105
=? +?
xz y
2
211 221121 2
(1 ) (1 2 ) (2 )= +? +
zlzlu lullyly
3).包含状态反馈和降维观测器的闭环系统方程为,
100 10
100
011 01,
011
001 01
=+=
xxuyx
[ ] [ ]
22
49 25 4901 2501= =
zzu y z u y
010 010
105 105
105 105
=? +? =
z
xz y
y
0125
0125
=+= +
K
uxr xr
K
10
01
01
∫
100
011
001
100
011
x
x
yu
∫
[ ]
25 0 1?
[ ]
90 1?
4?
z
z
0
1
1
10
05
05
0125
0125
=x w
v
K
C
小结一、状态反馈二、状态估计器全维状态估计器
单变量在动态系统可控的情况下，可以对反馈闭环系统的A+BK
多变量特征值进行任意的配置(复共轭特征值成对出现)。
1) ( ) (,)
2),)
=? ++
=++
xALCxLyBu AC
zFzGyHu AC
可观测。
（ 可观测，(F,G)可控。
可以任意的配置观测器的特征值。(定理7-8,7-9,7-10）
降维状态估计器三、状态反馈和状态估计器的连接状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
[]
22 12 22 12 21 11 2 1
212
1
( ) [( ) ( )] ( )
1)
2)
=? + +?
=? =
+
=++
=
A LA A LA L+ A LA B LB
L
zz yu
y
zx yx QQ
Ly z
zFzGyHu
Cy
x
Tz
可以任意的配置降维观测器的特征值。(定理7-1 1,7-12,7-13)
作业
7-9
7-15
7-16
7－ 1 引言
7－ 2 规范形动态方程（第六章已讲）
7－ 3 状态反馈
7－ 4 状态估计器
7－ 5 状态反馈和状态估计器的连接
7-1 引言对一个系统（称其为对象）和一个期望的信号或参考信号，其控制问题就是求出控制信号或驱动信号，使得对象的输出尽可能地接近参考信号。
若控制信号是事先给定的，并不依赖于对象的实际响应，则这种控制称为 开环控制 。当系统中存在扰动或变化时，这种类型的控制是不能令人满意的。
若控制信号依赖于系统的实际响应，则这种控制称为 反馈控制或闭环控制 。
7-1 引言多数控制系统都采用基于反馈构成的闭环结构。
反馈系统的 特点 是对内部参数变动和外部环境影响具有良好的抑制作用、可以调节系统的瞬态响应，还可以使系统的灵敏度以及干扰造成的影响明显减少等。
反馈的基本类型包括,状态反馈,和,输出反馈,。
系统的状态含有系统的全部基本信息，因此，若将控制信号设计成为状态与参考信号的函数，便可得到相当好的控制效果。引入 状态反馈 后，可以大大提高控制效果。
输出反馈 是以系统输出作为反馈变量的一类反馈形式。我们主要介绍状态反馈。
7-3 状态反馈问题的提出：
对于给定的开环系统如何提高其性能指标,如渐近稳定性、系统响应、解偶、跟踪等。
系统的特征值与系统的性能指标密切相关。
状态反馈或极点配置问题是研究对给定的开环系统，如何构造状态反馈，使得经过反馈后的闭环系统有上述希望的性能指标。
系统的动态方程如下
,x xuy x= +=AB C
引入线性状态反馈控制律为
ur x= + K
式中的 r 是参考输入,K 称为状态反馈增益矩阵，它是 p× n 的矩阵。图 7－ 1为状态反馈系统框图，它是一个闭环系统。
一、状态反馈对系统可控性、可观测性的影响
1.状态反馈不改变系统的可控性图 7-1所示，引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表达式为：
()
ur x
xxu xr
yx
= +
=+=+ +
=
K
AB ABK B
C
(将 代入状态方程后得到）
式中 A+BK为闭环系统的系统矩阵。
图7-1：状态反馈系统结构图
x
y
B
C
A
K
r
∫
x
u
即状态反馈不影响可控性,但可以用来控制动态方程的特征值,证完。
状态反馈不能改变不可控的模态，即开环的不可控模态在闭环中得到保持。
,xxuy x= +=AB C
原开环系统：
(),ry x= ++ =ABK B C
状态反馈系统：
对于任何K，状态反馈不改变原系统的可控性。 定理：
[ ][ ]
0
()
I
IABKB IAB
KI
n
p
λλ
+ =?
因此
[ ] [ ]
()rank rankλ λ? +=?IABKB IAB
证明,
2,状态反馈 可能 改变系统的可观测性。 状态反馈是否改变系统的可观测性，要进行具体分析 。
例题 系统的动态方程如下
[]
12
11 0
,
01 1
=+ =
xxuyccx
[]
12
(),=+ + =Abk b 闭,xxrycx
可观任意 可观
01
可观
[1 1] 可观11
不可观[1 2] 可观
11
不可观[0 1] 不可观10
可观[1 1] 不可观10
闭环系统
k 原系统c
2
c
1
可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、是否发生零极点对消来说明。
系统的动态方程如下
,x xuy x= +=AB C
引入输出反馈控制 F到控制系统的输入端,v为系统参考输入，此时系统的控制率为：
u ν= + F y
这类形式的输出反馈为静态输出反馈。若系统反馈回路中用补偿器取代矩阵 F，则相应的反馈称为动态输出反馈。下图为输出反馈系统框图，它是一个闭环系统。
二、输出反馈、状态反馈与输出反馈的比较
1.输出反馈引入输出反馈后的闭环系统状态空间表达式为：
()
uvF
xxu xv
yx
=+
=+=+ +
=
y
AB ABFC B
C
(将 代入状态方程整理后得到）
式中 A+BFC为闭环系统的系统矩阵。
输出反馈系统结构图
x
y
B
C
A
F
v
∫
x
u
,xxuy x= +=AB C
原开环系统：
(),vy x= ++=ABFC B C
输出反馈系统：
证明,（略）
定理,对连续线性时不变系统，输出反馈可保持原系统的可控性和可观测性。即线性时不变系统输出反馈系统为可控性(可观测性)，当且仅当线性时不变系统为可控（可观测）。
2.状态反馈和输出反馈的比较
1）反馈属性：状态x可完全地表征系统结构信息，因此状态反馈为系统结构信息的完全反馈。输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈。
2）反馈功能：对各类性能指标时间域系统综合问题上，几乎都要求采用状态反馈，表明状态反馈在功能上要远优于输出反馈。
3）改善输出反馈功能的途径：使输出反馈达到状态反馈功能的一个途径是使用串、并联补偿器输出反馈方案。
4）反馈实现：由系统输出的可量测属性决定，就反馈的物理实现而言，输出反馈要优于状态反馈。
5）解决状态反馈物理实现的途径：附加状态观测器。
xxu= +Ab
开环,
定理 7-4,闭环系统的系统矩阵 A+bk 的特征值可以由状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置（复数共轭成对），其 充分必要条件 是开环动态系统可控。
11
,,AR bR kR
nn n n× ××
∈∈∈
三、单输入系统的极点配置
= +k引入状态反馈律,ur x
()x xr= ++Abk b
闭环,
证明 充分性,充分性的证明是构造性的。分以下几步证明:
Px x=
1) 因为开环动态系统可控,则存在可逆矩阵 P，将系统通过 的变换化为可控标准形：
[]
11
11
01 0
0
1 0
1
Ab c
c
= +=
==
=
# % #
"
"
式中，
nn
nn
xxu yx
aa a
ββ β
1
det( )IA
=+ ++ + "这里，
nn
nn
ssas asa
这时状态反馈律可写为
2）设期望的多项式为故 的特征式即是 的特征式，所以和 有相同的特征值。
Abk+
Abk+
Abk+
Abk+
1
12 1 1
()()( )
=++++ " "
nn
n
ss s sas asaλλ λ
12 n
"其中,,,为期望的极点。λλ λ
1
1
ur xr xr x
=+ =+ =+
==
kkP k
kkP kkP或由于
11
1
det[ ( )] det[ ( )]
det{[( )]}det[( )]
IAbk IPAP PbkP
PI A bkP I A bk
+ =? +
=?+=?+
ss
[ ]
11 2211
k
= "
nnn n
aaa a aaaa若取上式的特征式为：
1
11
+ ++ + "
nn
nn
sas asa
故知状态反馈方程具有期望的特征值。前面已证明,有相同的特征值这说明任意给定闭环系统的 n个极点，均可通过状态反馈设计，
使 A+bk具有给定的 n个特征值。
121
01
1
1
Abk
+=
%
"
nn
aa aa
++AbkAbk与必要性,若动态系统经状态反馈可任意配置闭环特征值，要证明系统是可控。用反证法，若系统(A,b)
不可控，对其进行可控分解后有：
12 1
12
4
111 212
4
0 0
0
AA b
Abk k k
A
AbkA bk
A
+= +
++
=
由上式可见,A
4
的特征值不受 的影响，即 A+bk
中的一部分特征值不受 k 的影响，这与可任意配置
A+bk的特征值相矛盾。 证完。
k
?由充分性证明得到求 k 阵的算法：
1)计算 A的特征式
1
11
det( )IA
=+ ++ + "
nn
nn
ssas asa
2) 由所给的 n 个期望特征值,计算期望的多项式
12
,,,
n
"λλ λ
1
12 1 1
()()( )
=++++ " "
nn
n
ss s sas asaλλ λ
3) 求
k
[ ]
11 2211
k
= "
nnn n
aaa a aaaa
4) 计算化可控标准形的坐标变换阵 P;
kkP=5) 求出反馈增益阵 。
2
1
h
hA
P hA
hA
n?
=
#
? 直接求 k算法,上述步骤中有化可控标准形这一步。 如果不经过这步，也可直接求k:
1) 将 k用 [k
1
,k
2
,….,k
n
] 表示 ;
2) 计算 det(sI?A?bk)。这个 s的多项式的系数包含了待定的 n个参数,
12
12
det( ) ( ) ( ) ( )IAbk k k k
nn n
n
ssss
=+ + ++ "ββ β
3) 将这个特征式与期望特征式比较，令 s 的同次幂的系数相等,
1
12 1 1
12
12
()()( )
det( ) ( ) ( ) ( )IAbk k k k
=+ +++
==+ + ++
" "
"
nn
n
nn n
n
ss s sas asa
s
λλ λ
ββ β
有：
得到包含 n个未知量的 n个线性方程，在系统可控的条件下，由这个方程可唯一地确定出 k。有时用这种直接方法比较方便。
例：书上 p265例 2,系统可控 ;期望的特征值为 -1,-2,-1± j
1112 1
2212 2
12
() ( )
() ( )
() ( )
k
k
k
= =
= =
= =
"
"
#
"
n
n
nn nn
kk k a
kk k a
kk k a
ββ
ββ
ββ
[]
01 0 0 0
00 10 1
1000
00 0 1 0
00 5 0 2
=+=
xxuyx
有：
43 2
()(1)(2)(1)(1)
510104
Δ=+ + ++ +?
=+ + + +
ss s s js j
ss s s
[]
123 4
1234
12 34
43 2
43 31 2 1
12 3 4
01 0 0
1
00 0 1
225 2
det( ) (2 ) (2 5) 3 3
4106325
33 8 6
+==
=+? + + +
其中k=
比较两式得：
＝＝ ＝ ＝
kkk k
Abk k k k k
kk kk
sI A bk s k k s k k s k s k
kk k k
2) 可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于 某一组指定的特征值进行配置 时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。即对某一组特征值能进行配置，并不要求系统可控。
推论,给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组包含系统的不可控模态。
1) 当 (A,b)可控时,n个方程是未知量 ki 的线性方程；上述方程有解，且解 唯一 。对,任意配置,来说，有解的充要条件就是系统可控。
单输入系统
11 12 1
22
0 0
AA b
A
x xu
=+
ur= +kx
[]
11 12 11 1211
12
22 22
11 1 1 12 2
22
0000
0
AA AAbb
kkk
AbkA k
A
+= +
++
=
1
b
由 b的形式容易看出，引入任何形如 的状态反馈，都不会影响矩阵 A
22
。即状态反馈不会改变系统的不可控模态，故仅当欲配置的极点包含 A
22
的全部特征值时才是可行的。
urkx= +
假设系统是不可控的且已具有可控性分解：
引入状态反馈 有例题,系统动态方程为
00 1 1
10 2 1
01 2 0
xxu
=?+
[ ]
01 2yx=?
给定两组极点，分别为,{?2,?3,?4} 和 {?1,?2,
3},问哪组极点可用状态反馈进行配置。
解,计算出 A阵的特征值，分别为 –1,–0.5±j 0.5√3。
可验证 –1 是不可控的，其它两个特征值是可控的。极点组 {–1,–2,–3}包含了不可控模态 –1，所以可用状态反馈进行配置；极点组 {–2,–3,–4}则不能达到配置。
现用直接求解方法研究。令 k=[k
1
k
2
k
3
],
32
12 1 23 1 23
(2)(232)(1 )=++ ++ +skks kkks kkk
(s+1) (s+2)(s+3)=s
3
+6s
2
+11s+6
12 3
12 3
1
()1 2
012
+=
+
IAbk
sk k k
sks
s
期望多项式比较两式的系数有：
上述方程，增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩
（等于 2），有解。
12 1
123 2
123 3
() 2
26 1 10 4
23 21 231 9()
12 6 121 5
=
+=
+= =?
=
"
rank
kk k
kkk k
kkk k
方程组 的相容条件就是 所给极点组应包含不可控模态。
()?
将二阶因式与 (s+2)(s+3)相比较，可得同样结果。上式也表明不可控模态是用状态反馈改变不了的。
k
1
+ k
2
=4,k
3
+ k
2
=1
()?由 可解出 k
1
,k
2
,k
3
(*)式又可表成 (s+1)[s
2
+ (－ k
1
－ k
2
+1)s－ k
1
－ k
3
－ 2k
2
+1]
由此可见,“任意配置,要求系数矩阵满秩,系数矩阵满秩的条件是系统可控。
32
12 1 23 1 23
(2)(232)(1 )*+ + + + +skks kkks kkk
四、状态反馈对传递函数零点的影响
1
11
11
1
()() ()cI A b cI A b
++ +
=? =? =
+ ++ +
"
"
反馈前的系统
n
nn
nn
nn
ss
gs s s
sas asa
βββ
[]
21
11
,,)
1
[1 ],
det( )
nT
nn
sss
s
ββ β
=
=
1
Abc
IA)b
IA
c
"
"
这里，我们假定已经将（ 化成了可控标准形。
此时 （
。
[]
11
1
1
1
det( )IAbk
nn
n
s
s
s
=
"
#
ββ β
结论,引入状态反馈可移动极点的位置，一般说来不影响零点。但却存在这样的情形：经状态反馈后的极点恰与零点有对消，此时状态反馈不仅影响了零点，还造成被消掉的极点为不可观测模态（但仍可控）。这从另一个角度解释了为什么状态反馈有时会使系统失去可观测性。
1
()cIAbk bs
=
仍为伴随矩阵的形式
1
11
det( )IAbk
n
n
ss
s
+ ++
=
"βββ
11
()()()
= =IA IA
用同样的变换，经反馈后的系统
f
gs s sc bkbc bkb
五、多变量系统状态反馈方法一,将多变量问题变换为单变量问题处理基本思路,若多变量系统 (A,B)可控，其极点配置的主要思路是要将其化为单变量系统的极点配置问题，进行处理。先介绍两个准备条件：
定理 7－ 5,若多变量系统 (A,B)可控，且 A为循环的，则几乎对任意的 px1实向量 v，单输入对 (A,Bv)
都是可控。
注,A为循环的充分条件是 A的所有特征值均不相同。
证明说明,由于在任意等价变换下可控性是不改变的，因此可以设 A为约当标准形，用如下例子说明：
1
2
21000 01
02100 00
00200 12
00011 49
00001 10
X
X
v
ABB
v
X
α
β
===
若多变量系统 (A,B)可控，则只要α,β不为零,(A,Bv)
即可控。
定理 7－ 6,若多变量系统 (A,B)可控，则几乎对于任意的 P x n 实常量矩阵 K,A+BK的全部特征值均不相同，因而（ A+BK）是循环的。
证明,（略）
定理 7－ 7,若多变量系统动态方程 (A,B)可控,K
为 p x n 实常量矩阵，则通过线性状态反馈 u＝ r＋
Kx，在复共轭特征值成对出现的条件下，可以对
A+BK的特征值任意配置。
证明,可应用定理 7－ 6,7－ 5,7－ 4完成定理的证明，证明过程如下：
1.若 A为非循环的，引入 u＝ w＋ K
1
x使得
7－ 43
中的 是循环的。其中 K
1
是 p x n 实向量矩阵。因 (A,B)可控，因此 也是可控的。
2,根据定理 7－ 5，方程 7－ 43存在一个 p x 1的实向量 v，使方程 单输入可控。引入另一个状态反馈 w＝ r＋ K
2
x，取 K
2
为 K
2
=vk，则
1
()x ABKxBwAxBw=+ + +
＝
1
AABK+
(,)AB
2
()()x Ax Bw A BK x Br A Bvk x Br+=+ +=+ +
＝
3,根据定理 7－ 4可知，适定选取上式中的 k,可以任意的配置 的特征值，即 A+BK的特征值。其中 K=K
1
+K
2
。
(,)ABv
(,)ABvk
1
()= += + +KKvk经状态反馈 后的多变量系统uxr xr
B
∫
x
C
y
A
1
K
2
K
r
x
uw
2
Kvk=
注：
1、对于多变量系统,K的选择不是唯一的，即对于多变量系统，达到同样极点配置的 K值有许多。 K
的这种非唯一性是多输 入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一 。 如何充分利用 K的自由参数,
以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个研究领域。
12
12 1
det[ ( )]
() () () ()
IABK
KK KK
nn n
nn
s
sf s f s f sf
+
=+ + ++ + "
式中 f
i
(K)表示某一个以 K的元素 k
ij
为变量的 非线性函数 。如果将期望多项式表成
12
12 1
++ +++ "
nn n
nn
ss s sαα αα
2,多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是
“非线性方程,。 如将 K阵的元素用待定系数 k
ij
表示，闭环的多项式可以写为比较两式的系数，可知应有
() ( 1,2,,)K
ii
finα== "
例,对多变量系统，
11 12 13
21 22 23
010 10
001 01
123 00
ABK=
++
kkk
kkk
11 12 13
21 22 23
1
1
12 3
+
= +
kk k
kkk
显然,det(sI?A?BK)的系数是非线性的。
det(sI?A?BK)在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般是非线性方程。对于多输入系统 当系统可控时，可以通过牺牲 K的自由参数，使
det(sI?A?BK)简化为一组能解出的线性方程组。
解,根据方程的形式，设
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+=
+
+
kk k k
kk k k
则
1234
5678
K
=
kkkk
kkkk
例题,系统方程为
0100 00
0010 00
0010 10
0001 01
x xu
=+
欲使闭环系统 (A+BK)具有特征值?2,?2,? 1±j,试确定状态反馈增益阵 K。
方案１,取
k
4
=k
5
=k
6
=k
7
=0,1+k
8
=?2,由
232
(2)[(1)1] 4 64ss sss+ ++=+++
易得
12 3
4,6 1 4=?=?+=?kk k
即有
4650
000 3
K
=
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+ =?
+
+
kk k k
kk k k
12 3
01 0 0
00 1 0
10
00 0 2
+=
+
ABK
kk k
方案 2,取
k
1
=k
2
= 0,k
3
=?1,k
4
=1
可得
k
5
=?8,k
6
=?16,k
7
=?14,k
8
=?7,即有
00 11
816147
K
=
56 7 8
01 0 0
00 1 0
001(1) 1
1
ABK
+=
+?
+
kk k k
12 3 4
56 7 8
01 0 0
00 1 0
1
1
ABK
+=
+
+
kk k k
kk k k
22 432
(2)[(1)1] 6 14 168ss ssss+ ++=++ ++
由极点配置中反馈增益阵选取的不唯一，表明由此生成的闭环传递函数阵一般是不同的，从而也将具有不同的响应特性。显然，在极点配置问题中应选择响应速度较快的反馈增益阵。
给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的全部不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。
方法二：将原多变量系统变换为可控标准形后处理
01 00 00 0
0
1
0 0010000
0
1000
000000010
0 000 0 1
×××××××××
×××××××××
=
×××××××××
A
"
%
"
%
"
# # # # # #
" "
%
" "
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
为避免复杂的符号，假设原系统n=9,p=3，可控性指数分别为3,2,4。引入,得,= +urKx
()=+ +
xABKxBr
于是 具有如下形式：
+ABK
123
12
1234
010
001
01
0100
0010
0001
A+BK
aaa
bb
cccc
=
或为下列形式：
123456789
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001
A+BK
ddddddddd
=
当然也可以得到一些其它的形式。
上面两式的特征多项式为：
32 2 432
321 21 1
987
98 21
()()( )
)
"
或
（
由于,,和 能够任意指定，于是可以实现任意配置极点的目的。
iii i
s as as a s bs b cs cs cs c
sdsds dsd
abcd
方法三：通过解一个李亚普诺夫方程实现，不必将 A变换为可控标准形。
1）选择一个任意的n×n矩阵F，F与A没有公共的特征值。
2）选择一个任意的p×n矩阵,使得{F,}是可以观测的。
3）解方程AT-TF=-B,求出其唯一解T。
4）若T为非奇异阵，则取K= T
-1
，于是A+BK具有与F
相同的特征值，若T为奇异阵，则选择一个不同的
F或不同的 并且重复以上过程。
K
对可控矩阵（A，B），求一个K使得A+BK具有一组所要求的特征值。其步骤为：
K
K
K
K
六、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响
ss
s
GCIAB
G
-1
对一个多变量系统的传递矩阵,( )= ( - ),
利 一般用频率域方法可以证明，状态反馈 也不影响
( )的零点。
七、镇定问题
1,状态反馈的镇定问题,对于定常系统
AB= +
xxu
若能够找到状态反馈使得经反馈后的闭环系统
()=+=+ +AB ABK B xxu xr
的所有特征值均具有负实部（渐近稳定），就称系统是可反馈镇定的 。
= +Kur x
(,)AB系统 可用状态反馈镇定的充分必要条件是其所有的不可控模态均具有负实部。
定理,
事实上，因为状态反馈不改变不可控的模态：
4
Re ( ) 0Aλ? <则系统可镇定 。
[]
12 1
12
4
111212
4
0 0
0
AA B
ABK K K
A
ABKA BK
A
+= +
++
=
对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配置于任意指定期望位置，而只是要求配置于复平面的左半开平面上，因此可以由极点配置结果直接导出镇定问题结论。
状态反馈镇定算法：
一、若（A，B）可控，任意指定n个实部为负期望闭环特征值，按着多输入情形极点配置算法，计算镇定状态反馈矩阵K。
二、若（A，B）不可控，按着可控性分解定理，构造
P阵，并求出A的可控 与不可控部分 。
1）对（,）,任意指定n
1
个实部为负期望闭环特征值，按着多输入情形极点配置算法，计算极点配置状态反馈矩阵 。
2）计算镇定状态反馈矩阵K=[,0]P,并完成计算。
c
A
c
A
c
A
c
B
1
K
1
K
可将系统分类成：
可控系统 可任意配置极点 可镇定可镇定:若其不可控模态均系统具负实部不可控系统不可镇定：至少有一个不可控的模态不具有负实部
2,系统按镇定分类
? 能够使用极点配置的条件：状态可以测量。
? 如果系统的状态不能完全测量 ——这是大多数 控制系统的共同特点 ——则不能直接采取状态反馈配置极点的方法。但即便如此，极点配置的结果仍然具有重要的理论和广泛的工程意义，是线性系统理论最经典的成果之一。
? 还需要特别指出的是，由于任何真实的工业系统都不是真正意义上的线性系统，即使全部的状态都能得到也不可能任意地改善系统的品质。
? 此外,能够进行上述,精确,极点配置的前提是对象的参数完全已知，这在现实中很难做到。
状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。
但一般说来人们不可能直接获得（测量）全部的状态变量，这就使状态反馈的物理实现成为问题。
状态反馈在性能上的不可替代性和物理上的不可实现性间的矛盾推动人们提出了 状态重构 的概念。
一、状态估计的方案及 Kx 观测器的定义
7-4状态估计器（观测器）
所谓状态重构，就是要构造一个 状态观测器或称 状态渐近估计器,使之用于状态反馈。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型
(或系统、或软件 )来对状态变量进行估计。
是否有可能构造出状态观测器？事实上，如果系统可观测，从输入 u和输出 y间接地把状态变量 x重构出来就是可能的。这种必要性与可能性正是观测器理论的出发点。
B
C
A
∫
u
原系统
y
x
x
B
A
x
∫
模型
1,状态观测器最早的观测器构造方案是利用计算机构成一个与实际系统具有同样动态方程的模型系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值，见下图。
= +
xxuAB
这种方案存在的缺点是：
1) 模型系统的 A,B 难与真实系统一致；
2) 两系统的初始值难以设置得相同。
00
lim( ) 0,,
→∞
=?
t
xx xxu
的要求。由于图中未能利用系统的输出信息对误差进行校正，所以是一个 开环估值 。这种方案的抗干扰能力、稳定性和鲁棒性都是不能满足要求的。
因此，很难满足误差
,= +AB
xxu
((),=Δ+Δ
AB
A+ ) B+
xxu
可见，即使观测器参数微小的摄动都可能导致误差不为零；进而，即使摄动为零，若初始条件不同也可能发散。
)
AB
A(? =Δ?Δ
xx xx x u
事实上，原系统动态方程为：
状态估计器动态方程为：
观测器误差为：
Cy x=
x
一般系统的输入量 u和输出量 y均为已知，因此希望利用
y=Cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就形成了下面的闭环估计方案。
闭环方案
()( ),
nq
xxu yx xuy
×
=++? =? ++ ∈ABL C ALC BL LR
(x xu xu x= +=? ++AB ALC)BLC
() ()x x xuuyx x=? + +=?ALC LC B B L ALC
:x xx=?
C
L
估计器
B
C
A
B
A
∫
∫
ux
y
x
x
闭环方案
C
L
估计器
B
C
A
B
A
∫
∫
ux
y
x
x
B
C
A
B
A-LC
∫
∫
u
x
y
x?
x
L
图中虚线框出的部分称为 状态观测器或状态估计器,它是一个动态系统,以原系统的输入量 u和输出量 y作为它的输入量,而估计器的输出量是原系统的状态变量的估计值,应当满足
x
00
lim lim( ) 0,(0),(0)
→∞ →∞
=?=?= =
tt
xxx uxxxx
根据图中所表示的关系可写出观测器部分的状态方程
()( ) (756)=++? =? ++?ABL C ALC BL
xxuyx xuy
111 1
1
()[]
,:,[],:
=? +
= + =? = =
=
ALC BL
AB AALC,BBL
I
u
xx
y
u
xxu u
y
yx
2,Kx观测器在一类工程实际问题中，产生状态估计值的目的是用以直接构成反馈控制规律 K，在这种情况下，完全可以直接讨论如何产生状态的线性组合 Kx 的估计值，而没有必要去产生状态的估计值。而直接构造
Kx 观测器有可能使观测器的维数降低，简化控制器的设计。
定义,设线性时不变系统
∑,(A,B,C） (x,y,u)
的状态是不能直接量测的，而另一状态变量为 z 的动态系统 ∑
0
称为是系统 ∑的 Kx 观测器，如果 ∑
0
以 ∑
的输入 u 和输出 y 为其输入，且对给定的常数矩阵
K,∑
0
的输出 w满足
00
lim( ) 0,KKR
×
→∞
= ∈?，,,
ln
t
xw xzu
若在上述定义中,K=I，则 ∑
0
称为状态观测器或状态估计器。
:( )A,B,CΣ
u
y
0
:,KxzwΣ 观测器,状态,输出：
00
lim( ) 0K
→∞
=?满足,,
t
xw xzu
图,Kx 观测器 ∑
0
,K=I时退化为状态观测器
(,) (,(,))
(,,)
= =
=
zfzu fzuy
wgzuy
定理,对线性时不变系统（ A,B,C），其状态观测器存在的充分必要条件是系统可检测（ 若系统中不可观测的模态是稳定模态，则称系统是可检测的。 可检测是可镇定的对偶提法）。
证明 充分性 。 因为（ A,B,C）不是可观测时，
可按可观测性进行结构分解，故这里不妨假定
（ A,B,C）已具有如下形式：
11 1
1
21 22 2
0
[0]
AB
C
AA B
===
二、状态观测器的存在性,n 维状态观测器其中 (A
11
,C
1
)可观测,A
22
的特征值具负实部。现构造如下的动态系统
()=++?ABL C
xxuyx
()=?ALC
xx
根据前面的分析：
11 1 1
21 2 1 22
0?
=
ALC
ALCA
xx有
11 1
1
21 22 2
0
[0]
===
ALC
AA L
因为
TT
11 1
()AC,
TTT
11 1 1
ACL
11 1 1
ALC
00
lim 0,,,
→∞
=?
t
xxxu
于是定理的充分性得证。定理的 必要性证明 将在以后补充说明。 证完。
1
T
L
可控，适当选择,可使的特征值，亦即的特征值均具负实部；而 A
22
是系统的不可观测部分，由可检测的假定,A
22
的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即定理说明如果系统可检测,状态观测器总是存在的,并且观测器可取成前面讨论的形式，即
（ 7-56）和（ 7-56a）的观测器分别称为 n维基本状态观测器 和 n维基本 K x 观测器 。
()
=? ++
=
ALC B L
K
xxuy
wx
(7－ 56a)
() (756)
=? ++?
=
ALC B L
I
xxuy
wx
同样,K x 观测器也是存在的,可以取为定理,线性时不变系统（ A,B,C）的状态观测器
（ 7-56）可任意配置特征值的充分必要条件是
（ A,C）可观测。
证明 令前面定理的证明中 A
22
的维数为零，即可证明本定理。这个定理相当于（ A,B,C）的极点用状态反馈可任意配置的对偶形式。
证完。
对单输入、单输出系统，若 (A,b,c) 可观测,
状态观测器的极点配置问题可按以下步骤来解决：
1
11
1,det( IA
=+ ++ + "记） 。
nn
nn
ssas asa
因原系统（ A,c)可观测，对其作等价变换后有三、单输入单输出系统的状态观测器
[]
11
11
0
1
1
1
00 01
A
=+
=
#
% #
"
nn
nn
a
a
xxu
a
yx
β
β
β
b
c
2,(,,)
()=?
++
A
A
xx
uy
对构造状态观测器：
，
得到
bc
c
b
l
l
N
[]
11 11
11 11
()
11
001
()
+
=?=
+
A
" # #
% # % #
nn nn
nn nn
al al
al al
al al
c
l
l
N
[]
11 11
11 11
00()
11
001
()
+
=?=
A
" # #
% # % #
nn nn
nn nn
c
al al
al al
al al
l
l
12
1
11
11
11
,,,,
()
=+ ++ +
=
"
"
#
#
n
nn
nn
nn
nn
nsss
fs s as a s a
aa
aa
aa
若给定了 个希望的极点 则有可取 l
1
3.,
(,,)
()
=
=?
++
P
A
A
l
xlx
uly
取就得到的观测器方程
bc
c
b
l
1
1
(),
,
=
==
PA P A-
PP
lc c
lcc
l
l
注意到经变换后的系统是可控标准形的对偶形式，
于是不难得到变换阵 P为
12 1
2
1
1
1
1
10
1
c
cA
P
cA
nn
n
n
aa a
a
a
=
"
#
# $
Abc给定系统(,,)如下：例：
2
5840;A sss? +?=
3
1,阵的特征多项式为
2.
851110 421 111
510121 4 31,1 10
100144 110 124
1
PP
=? = =
根据以上介绍的变换阵，有
2
12 47 60;+++fs s s s
3
3.期望的多项式为 ( )=
{3,4,5}
容易验证这个系统是可观测的。现在构造极点在的状态观测器：
[]
100 1
021,0,110
002 1
Abc
===
解：
4,计算 l
5.(,,)
()
119 120 0 1 120
103 105 1 0 103
210 210 2 1 210
=? ++
=++?
A
A
xlcxuly
xu y
的状态观测器方程为：bc
b
11
1
11
60 ( 4) 64 120
47 8 39,103
12 ( 5) 17 210
==?=∴==?
P #
#
nn
nn
aa
aa
l
aa
ll
Ax xbu
ycx
= +
=
y
[120 103 210]
T
∫
[1 0 1]
T
u
119 120 0
103 105 1
210 210 2
x
b
l
x
()lc?A
1
5',Pxxx
若在得到 的估计之后，通过 = 得到 也可以，
如下图所示：
Axxbu
ycx
= +
=
y
u
x
()xAcxbuy=? ++
ll
-1
P
x
1
PPxx x x
==
0
,(7 59)
×××
××
=+ +
Σ?
=+
FH G
EM
nn np nq
ln lq
zz uy
wzy
问题,上述系统中的矩阵满足什么条件时,系统
∑
0
才可以构成（ A,B,C）的一个状态观测器？
线性时不变系统（ A,B,C）的观测器也是一个线性时不变系统，其一般形式如下：
四、观测器的结构条件
∫
z
z
H
G
y
u
F
E
w
M
首先研究系统状态变量 x 和观测器的状态变量
z 之间的关系。
1,n维状态观测器
0
,(7 59)
×××
××
=+ +
Σ?
=+
FH G
EM
nn np nq
ln lq
zz uy
wzy
问题,在状态变量 z和 x之间是否也存在类似的线性渐近关系，即是否存在 T，使
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
zx xzu
成立? 我们有定理 7-9,若使 7-59式中的 z(t)为 Tx(t)的估计,即对任意的 x(0),z(0)和 u(t)，当 t趋向于无穷时，有 z(t)-Tx(t)
趋向于零,T为某个 n x n实向量矩阵，其充分必要条件为：
(1)
(2)
(3) ( ) 0 ( 1,2,,)
=
=
<=
TA FT GC
HTB;
RF " "
i
ein；
。λ
证明 充分性 （即定理的后半部分）。 要证明若 (3)
成立,T满足 (1),(2)，则有
()( )=?= +? + +TTABFHG exz xu zuy
令
=?Texz：
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
xz xzu。
(1)
(2)
(3) ( ) 0
i
e λ
=
=
<
TA FT GC
H TB;
RF；
z zuy= ++FHG
() F
=
+?
GGC
TA GC TB H
Z Z Z Z Z Z X
Y Z Z Z Z Z Z
yx
xuuz（）-
()==?=
FT
TA GC F FT F F
xz xze
F?= ee
对 e求导数，有则显然对任意的
00
,,x zu
,有
lim ( ) lim ( ) 0
tt
et x z
→∞ →∞
=?=T
所以有
00
() (0) ( )==?
FF
T
tt
et e e e x z
必要性,设对任意的
lim( ) 0
→∞
=T
t
xz
00
,,xzu
要证 (1)～(3)成立。取 u=0,x
0
=0，则由都有可知 x=0,从而,y=0。此时，由 (7-59)：
,AB C= +=
xxuyx
F=
zz
可得
0
,(7 59)
=+ +
Σ?
=+
FHG
EM
zzuy
wz y
00
lim ( ) 0,,,
→∞
=?T
t
xz xzu
故有：
而由
lim( () ()) lim () 0
→∞ →∞
=? =T
tt
xt zt zt
0
lim ( ) 0,
→∞
=?
t
zt z
3这就是（）。
() 0 ( 1,2,,)RFλ?<= " "
i
eir
下面证 (1)和 (2)。因为
()( )
()( )( )
()
=?= +? + +
=?++?
=+ +?
TTABFHG
F T TA FT GC TB H
FTAFTGC TBH
exz xu zuy
xz x u
WQ
如果 W,Q为零，即 (1),(2)成立。对微分方程取拉氏变换，并解出 e(s)：
() (0) () () ()FWQ?= + +se s e e s x s u s
11
() ( ) (0) ( ) [ () ()]IF IF W Q
=? +? +es s e s xs us
由条件 lim ( ) 0
→∞
=
t
et
0
lim ( ) 0
→
=
s
se s
可知
11
00
lim ( ) lim( ) [ ( ) ] ( ) 0Ι FWΙ ABQ
→→
=+ =
ss
se s s s su s
取 x
0
=0，有
1
() ( ) ()Ι AB
=?xs s us
e(0 )=Tx(0)?z(0)=0
所以由于 u(s)的任意性，又因为 F非奇异，故必须有又取 z
0
=0，这时否则，可以找到 u，使得 limse(s) 不为零。
在复数域上 (sI?A)
-1
B 不全为零，立即推得
W=0。而
W=TA?FT?GC,Q =TB?H，
则 W=0,Q=0 意味定理中的结论 (2),(3)，从而，
定理的全部结论得证。 证毕。
（书上用的是反正法）
1
1
() 0
()0 0
W Ι ABQ
W Ι AB Q
+≡
≡ =
s
s,
推论 7-9：在式 7-59中，取 E=1,M＝ 0，则（ 7-59）变为：
(1) Re ( ) 0 ( 1,2,,)
(2) (7 60)
(3)
< =
=
=
F
FT TA GC
HB
" "
i
in；；
。
λ
证明：（略）
上式成为系统 n 维基本状态观测器的充要条件为
0
:(759)
×××
=+ +
Σ?
=
FH G
nn np nq
zz uy
A
wz
问题,如何确定 T？满足什么条件 T为非奇异？
定理 7-10,若 A和 F不具有公共的特征值，方程 TA-
FT=GC存在一个非奇异解 T的必要条件是 {A,C}为可观测及 {F,G}为可控。对于单输出情况 (q＝ 1)，这一条件同样也是充分条件。
证明,（自学）
(1) R e ( ) 0 ( 1,2,,)
(2)
(3)
i
irAλ <=
=
=
F
TA FT GC
HTB
"，切与的特征值不同定理 7-9和定理 7-10给出了判断方程 7-59是否为动态方程 {A B C}状态观测器的条件。即,
(4) {A,C}可观测 {F,G}可控。
2,求状态观测器的一般步骤,根据前面介绍的定理，
可以定出求 n维状态观测器的算法：
1) 确定一个 F阵，它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同；
2) 选取 G阵，使 {F,G}是可控的；
3) 由 TA－ FT=GC解出 T ；
4) 由 TB=H定出 H；
在以上步骤中，随着 F,G的不同选取，会得到不同的 T，因而对一个系统可构造出不止一个 n维状态观测器。
若系统
11 1
11
(1)
= ++
=+
FH G
EM
zz u y
wz y B
是（ A,B,C）的一个 Kx观测器。作变换,有 z z= P
222
22
(2)
=+ +
=+
FH G
EM
zz u y
wz y B
1
21
21
21
21
21
=
=
=
=
=
-1
FPFP
HPN
GPG
EEP
MM
3,Kx观测器的代数等价性问题其中，
定理,若（ A,B,C）可控，（ B1）式是它的一个
Kx 观测器，则其代数等价系统（ B2）也是它的一个 Kx 观测器。
证明,（ 略）
注,若在 (B1)式中 E1=1,M1=0，则 n维状态观测器同样满足代数等价定理。
11 1
11
=+ +
=?
FH G zz u y
wz B
222
(2 1)
=+ +FH G
zz u y
wz B
1.状态观测器的维数现在提出的问题是：状态观测器的维数 n是否可以降低？可能的最小值是多少？因为维数的降低，意味着观测器可具有较为简单的形式，从而使工程实现更加方便。因此研究降维状态观测器以及最小维状态观测器的设计问题就成为观测器理论的重要课题之一。
考虑 n 维线性时不变动态方程
AB
C
xxu
yx
= +
=
六、最小维状态观测器上一节研究了 n维状态观测器（即全维状态观测器）
的一般形式，下面讨论降维状态观测器。
若假定 rankC=q，那么输出 y实际上已经给出了部分状态变量的估计。显然，为了估计全部状态，只须用一个低阶的观测器估计出其余的状态变量就可以了，也就是说，状态观测器的维数显然可比 n低。
引理,若系统（ A,B,C）可控可观测，且
rankC=q
则系统的 状态观测器 的最小维数是
n?q
2,降维状态观测器的构造 (构造方法 I）
考虑 n维动力学方程 A,B,C分别为 nxn,nxp,qxn实常量矩阵。假定 C为行满秩，即 rankC=q，定义其中 R是一个 (n-q)xn实常量矩阵，并且只要 P是非奇异的,R是完全任意的。定义：
其中 Q1,Q2为 nxq和 nx(n-q)的矩阵。则：
C
P
R
[ ]
1
12
QP Q Q
[]
12
12
12
q
n
nq
I
CQ CQC
IPQ Q Q
RQ RQ IR
== = =
1） 取等价变换,动态方程变为,= Pxx
将上式分开写为：
1 111 12
1
2 221 22
2
1
(7 67)
0
=+?
==
BAA
BAA
q
x
x
u
x
x
yI xx
[0]
=+
===
-1
-1
PAP PB
CP CQ I
q
xxu
yxx x
由上式可以看出,所以只有 的后 (n-q)个分量需要进行估计。因此我们仅需要一个 (n-q)维的状态估计器。
1
=yx
x
11 12 2 1
222221 2
(7 68 )=+ +?
=++
AA B
AAB
yyxu a
xxyu
2） 导出关于 的状态方程和输出方程，为进一步构造状态观测器作准备。为此，改变 (7-67)式：
2
x
定义 则上式变为：
21 2 11 1
=+ =AB AB
uyuwyyu：和上式中的 和 是已知量 u和 y的函数，若上式可观测，
就能构成一个 的估计器。
2222
12 2
(7 68 )=+?
=
A
A
xxu b
wx
u w
2
x
定理 7-11,动态方程 {A,C}，或等价的说方程为可观测的充分必要条件是 (7-68)中的 为可观测的。
证明：（略）
22 12
{}AA,
{}AC,
那么 是否是可观测的？
22 12
(,)AA
动态方程 {A,C} 为可观测，则 可观测。进而可以构造一个 (n-q)维的 状态观测器。
22 12
{}AA,
2
x
222 122
222 122 1 1 212
()
()( )
=? ++
=? ++
ALA L
ALA LA B A B
xxwu
yyuyu即：
3） 建立 n?q 维闭环状态观测器
2222
12 2
(7 68 )=+?
=
A
A
xxu b
wx
n?q 维闭环状态观测器为：
2
=?zx Ly
得到
22 12 22 12 21 11 2 1
()[()()]()
772
=? + +?
A LA A LA L+ A LA B LB
zz yu
（）
为消去 y的导数项，定义：
这是 以 u和 y作为输入的 (n-q)维动态方程 。 选择适当的 L，可以对方程中的特征值进行配置现将 与 两式结合起来构成下式：
11
==xyx
2
=+xzLy
1
2
==
+
y
x
x
Ly z
x
由于,则 或
=xPx
1?
==xPxQx
[] []
1
12 12
2
0
(7 74)
== = =
+
q
nq
I
yy
x
xQxQ QQ QQ
LI
Ly z z
x
(7-72)和 (7-74)式所表示的 (n-q)维状态估计器的方框图如下。
22
BLB
21 11
ALA
22 12
ALA
∫
L
1
Q
2
Q
y
u
x
z z
2
+ =zLyx
(n-q)维和n维状态估计器的比较如下,
1,降维情况所需要的计算量明显少于全维情况，所需要的积分器也较少。
2,降维情况，若y中掺杂有噪音，噪音将直接在估计器中输出；在全维情况下，y信息经过积分或滤波，因此 y中的高频噪音将受到抑制
3,降维状态观测器的构造（构造方法 II）
考虑 n 维线性时不变动态方程
AB
C
xxu
yx
= +
=
假定动态方程为不可简约的，并且 rankC=q。令
z Fz Gy Hu=++
是一个 (n-q)维动力学方程,F,G和 H分别为所要设计的 (n-q)x(n-q),(n-q)xq和 (n-q)xp实常量阵。若 z是 Tx
的估计器，则原系统的状态 x能借助于下式估计：
1
Cy
x
Tz
=
定理 7-12,若 A和 F不具有公共的特征值，则在 TA-
FT=GC存在一个满秩的 T从而使得为非奇异的必要条件是 {A,C}可观测和 {F,G}可控。
对于单输出情况 (q＝ 1)，这一条件同样也是充分条件。
证明,（自学）
(1) R e ( ) 0 ( 1,2,,)
(2)
(3)
i
irAλ <=
=
=
F
TA FT GC
HTB
"，切与的特征值不同
(4) {A,C}可观测 {F,G}可控。
C
P
T
=
构造方法 II求状态观测器的一般步骤：
1) 确定一个 F阵，它的特征值在复平面左半部且与 A的特征值不同；
2) 选取 G阵，使 {F,G}是可控的；
3) 由 TA－ FT=GC解出 T,T是一个 (n-q)xn矩阵 ；
4) 若 n阶方阵为奇异，返回第一步重新计算，若 P为非奇异，计算
TB=H定出 H。
Z是 Tx的一个估计，进而求出 x的估计：
C
P
T
=
[]
1
12
C yy
xQQ
Tz z
==
4,降维状态估计器总结定理 7-13,若 n维动力学方程 FE可观测，则由 (7-72)和
(7-74)式或 (7-76)和 (7-78)式能构成 (n-q)维的状态估计器，并能使该估计器具有任意预期的特征值（其共轭特征值成对出现），其中 q为方程 FE中矩阵 C的秩。
7-5 状态反馈与状态估计器的连接若原系统 (对象 )方程为
,xxuy x=+ =AB C
且 (A,B,C)可控、可观 。若状态 x不可测量，很自然想到：是否可用 来代替 x 形成状态反馈，即
x
= + Kur x
n 维状态估计器的方程为：
()x xuy=? +ALC B+L
一、包括估计器的状态反馈系统的构成由 对象、观测器和状态反馈 组合而成的闭环系统的方块图,如下图所示。
观测器
K
x
ur
y
Cxy
BuAxx
=
+=
+Kuxr此时,=,闭环系统为组合系统：
() ( )
=+=+ +
=? ++=?+ ++
=
ABABKB
A LC L B A LC BK L B
C
xxux xr
yu xyr
yx
组合系统：
,
()
=+ + =
=? + ++
ABKB C
ALCBK L B
xx xryx
r
(S-1)
(S-2)
根据 (S-1)式和 (S-2)式可得到闭环的动态方程式为
[]
0
x
x
r
x
x
x
y
x
=+
+
=
ABK B
LC A LC BK B
C
二、包括观测器的状态反馈系统的特性
1.组合系统的维数闭环系统是一个 2n 维的系统 。
将上面的动态方程进行如下的坐标变换
0
x x
x x
=
I
II
1
00
==
II
PP
II II
变换后，所得到的动态方程为
[]
00
0
xx
r
x
y
x
+?
=+
=
ABK BK B
ALC
C
可控性分解
2,组合系统的可控性
x xx=?
其中,。
注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分
A?LC （ 这说明估计器的所有模态均是不可控的模态 ） 在传递函数的计算过程中将被消去，闭环系统的传递函数由可控部分决定，所以可得
1
() [ ( )]
f
ss
=?+GCIABKB
这说明用 代替 x 作反馈未影响系统的输入输出关系，也即：
***估计器的引入不改变原系统的转递函数阵。
x
2
det
0
det[ ( ) det[ ( )] ]
n n
n
ss
s
+?
=
+?IABK
ABK -BK
A
IA
L
LC
I
C
上式表明,状态反馈系统的动态特性和估计器的动态特性是相互独立的 。这一特性的意义在于：
闭环系统 矩阵的特征式可计算如下
3.分离性原理估计器的引入不影响由状态反馈阵 K所配置的极点
{( ),1,2,,}+=ABK "
i
inλ
也不影响设计好的估计器的特征值
{( ),1,2,,}?=ALC "
i
inλ
分离性原理,若系统 (A,B,C)可控、可观，对于包含估计器的状态反馈系统，状态反馈律的设计和估计器的设计可独立地分开进行 ——分离性原理 。
因此，若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵 K，然后按估计器的动态要求选择 L,L的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。
同样，可以证明,用降维估计器来实现状态反馈时分离特性仍成立 。
通常把反馈增益阵和估计器一起称为 控制器,这一控制器的输入是对象 (A,B,C )的输入信号和输出信号，控制器的输出是状态估计值的线性函数，它作为反馈信号构成闭环控制，如图所示。
x
估计器
K
x
uvy
Cxy
BuAxx
=
+=
控制器这种结构称为 输入、输出反馈结构,是 动态补偿器 的一种形式。
由对象的输入经过估计器形成一个反馈信号，
另一反馈信号由对象的输出经过估计器所形成,
4,含估计器的状态反馈系统的缺点一般说来，包含估计器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统来得差（可参见 J.C,
Doyle and G,Stein,Robustness with observers,
IEEE AC,1979,No.4)。 通常，应使估计器的特征值的负实部是 A+BK的 2到 3倍,即
Re ( ) (2 3)Re ( )?=～ +ALC ABK
ii
λλ
事实上，若估计器的极点的实部与系统所要配置的实部相差不大，则估计器状态 接近于对象状态 x
的速度就慢，用 代替 x的效果自然就不好。
x
x
5.设计举例
（根据书上 P256例 2）若引入状态反馈：
则所得到的动态方程具有特征值为 -1,-2,和 -1± j。
若状态 x不可反馈，因此必须设计状态观测器，采用降维方式。选观测器特征值为,-3,-3± 2j。
[]
01 0 0 0
00 10 1
00 0 1 0
0050 2
1000
x xu
yx
=+
=
例 1,(P288)系统动力学方程为：
4106325
)()
33 8 6
ut rt x
=+
（
则：
比较上面两式得：
[]
1
22 12 2
3
010
001 100
050
l
A AL
l
===
解,定义,及 为：
1
22 12 2
3
32
1231
10
01
50
det( ) (5 ) ( 5 )
l
AA LA l
l
sI A s l s l s l l
=?
=+?+?+
希望特征方程为：
32
( 3)( 3 2 )( 3 2 ) 9 31 39ss js jss s+++ +?=+++
12 3
93684ll l==?=?
22
A
12
A
L
由 构成的状态反馈为：
[]
22 12 22 12 12 11 2 1
1
2
3
12
( ) [( ) ( )] ( )
910 45 1
36 0 1 240 0
84 5 0 570 2
0
q
nq
z ALAzALALALAy BLBu
z
zyu
z
I
y
xQQ
LI z
=? +? +? +?
=++
=
由公式 (7-72)和 (7-74)构成一个三维状态估计器为：
4106325
33 8 6
ur x
=+
1
2
3
1 000
9100
36 0 1 0
84 0 0 1
y
z
x
z
z
=
x
例：2
要用状态反馈将系统的特征值配置到 {?1,?2,
3}，并且用降维观测器来实现所需要的反馈。
根据分离性原理，设计可分两部分进行。
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
1).设计状态反馈阵 K，使极点配置在 {?1,?2,?3}
显然,A是循环阵，因此根据定理 7-7不需要配置 K
1
。取
1
1
1,
1
1
== =
bBvv
由定理 7-5可验证 (A,b)可控。考虑单输入系统：
,= +=Ab C
xxuyx
利用状态变换,将上述方程化为可控标准形：
xx= P
010 0 12 3
1
001 0,12 1
4
111 1 1 2 1
=+=?
P
xxu
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
由 {?1,?2,?3}可得期望的闭环极点多项式为
32
6116ss s+++
[5 12 7] [0 12 5]kk k= =?P=解得
0125
0125
kk k
=?==
2
bBv Kv因此，
)=+ +=+ +
2
ABK B ABv B xxrkxr（)（
即若状态可测量（但实际上不可测量），经状态反馈后的系统为：
010 0
001 0
111 1
=+
xxv
2),根据分离性原理，再 单独设计 降维观测器 。
注,以上设计步骤事实上是按照前面讲的输出反馈中所介绍的算法进行的。但由于 A阵已是循环阵，
故设计中的第一步被省略了 (K=K
1
+K
2
,K
1
=0)。
1
100 10 0
011,01 1
001 00 1
= =?
PP
100 10
100
011,02,
010
001 01
===
ABC
100 10
100
011,01,
011
001 01
===
ABC
[]
[]
11 12 21 22
12 12
10 0
00 1
01 1
10 10 0
01
02 01 0
====
== ==
AAAA
BB CC
12 12 12
[],:[ ],[ ]== =
TT
Lll y yy uuu
22 12 2
2
21
1
122112
21 11 22 1
1
2
22
()()
[( ) ( )
(1 ) (1 2 ) (
]
2)= +
=? +?
+? +
+
AA BB
AAAA
lzlu lu l lly
zLzL
LL
l
u
L
y
y
可得一阶状态观测器为：
令
2
11
1
0
==
+
Iyy
xP P
LILy z z
12
0,5==ll取，有
22
49 25= zzu y
010
105
105
=? +?
xz y
2
211 221121 2
(1 ) (1 2 ) (2 )= +? +
zlzlu lullyly
3).包含状态反馈和降维观测器的闭环系统方程为,
100 10
100
011 01,
011
001 01
=+=
xxuyx
[ ] [ ]
22
49 25 4901 2501= =
zzu y z u y
010 010
105 105
105 105
=? +? =
z
xz y
y
0125
0125
=+= +
K
uxr xr
K
10
01
01
∫
100
011
001
100
011
x
x
yu
∫
[ ]
25 0 1?
[ ]
90 1?
4?
z
z
0
1
1
10
05
05
0125
0125
=x w
v
K
C
小结一、状态反馈二、状态估计器全维状态估计器
单变量在动态系统可控的情况下，可以对反馈闭环系统的A+BK
多变量特征值进行任意的配置(复共轭特征值成对出现)。
1) ( ) (,)
2),)
=? ++
=++
xALCxLyBu AC
zFzGyHu AC
可观测。
（ 可观测，(F,G)可控。
可以任意的配置观测器的特征值。(定理7-8,7-9,7-10）
降维状态估计器三、状态反馈和状态估计器的连接状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。
[]
22 12 22 12 21 11 2 1
212
1
( ) [( ) ( )] ( )
1)
2)
=? + +?
=? =
+
=++
=
A LA A LA L+ A LA B LB
L
zz yu
y
zx yx QQ
Ly z
zFzGyHu
Cy
x
Tz
可以任意的配置降维观测器的特征值。(定理7-1 1,7-12,7-13)
作业
7-9
7-15
7-16
