第五章 线性动态方程的可控性和可观测性
5.1 引言
5.2 时间函数的线性无关性
5.3 线性动态方程的可控性
5.4 线性动态方程的可观测性
5.5 线性动态方程的规范分解
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性一、等价变换的性质
= +
=+
AB
CE
xxu
yxu
令,,则经等价变换后有Px x=
det( ) 0P ≠
= +
=+
AB
CE
xxu
yxu
其中：
11
,,,
====A PAP B PB C CP E E
5.5 线性时不变系统的规范分解定理5－15,在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。
注,定理 5－ 15可以推广到线性时变系统。
证明：等价系统
xx
yx
= +
=+
ABu
CEu
(1) (1)
]][B AB A B P[B AB A B
nn
=
(1)
][B AB A B
=
n
rank n
而证完。
可控，则有：
=+
=+
ABu
CE
xx
yxu
(5-53)
其可控性矩阵的秩为 n
1
<n (n为 x的维数 )，系统不可控，但可分解出 n
1
维的可控子系统，有以下定理设系统动态方程为二、动态方程按可控性分解
∫
1
x
1
x
1?
u
∫
2
x
2
x
其中 n
1
维子方程 FE
c
如下：
12
0 0
[]
=+
=
AA B
A
CC
c c
c
cc
xxu
yx
cc c
ccc
xxu
yxu
= +
=+
c
AB
CE
是可控的，且与原动态方程 有相同的传递函数矩阵,
定理5-16,n维线性时不变动态方程 FE，若动态方程的可控性矩阵有 n
1
秩，则存在一个非奇异的常值矩阵
P及等价变换,将系统化为下列形式
Px x=
=
c
c
x
x
x
1
1
2
=
#
c
c
c
cn
x
x
x
x
定理的证明说明,(同时说明了变换矩阵的构造方法 )
11
1
11
[]
+
=P " "
nn n
qqq q
1) 列写出动态方程的可控性矩阵 U，其秩为 n
1；
2) 从 U中选取 n
1
个线性无关的列向量
1
1+
"
nn
qq
1
12
,,, "
n
qq q
作为变换阵的逆矩阵的前 n
1
列，再补充 n?n
1
个 n
维的列向量得到：
1
[]
# # " #
n
BAB A B
111
=?=PAP A AP P A3),由,有
11
11
1
11
[]AP A
+
+
=
=×
" " "
" " "
nn n
nn n
qqq q
qqq q
A
*
*
*
0
0
0
#
#
1
n
1
qA
*
*
*
0
0
0
#
#
2
qA
*
*
*
0
0
0
#
#
1
n
qA
*
*
*
*
*
*
*
#
1
1n
q
+
A
*
*
*
*
*
*
*
#
n
qA
c
A
12
A
c
A
0
1?
=?=PB B B P B同理，由,有
11
11
[]B
nn n+
= × " " "qqq q
B
*
*
*
0
0
0
#
#
*
*
*
0
0
0
#
#
*
*
*
0
0
0
#
#
c
B
0
4),可控矩阵：
1
11
00
000
0
nnn
ccc ccc
cccc
B BU BAB
AAAB
U
==
" "
而
1
RankU RankU n= =
因而动态方程 FE
c
是可控的。
5),传递矩阵：
1
12
1
[]
0 0
c c
cc
c
ccc
s
s
s
=+
=? +
IA A B
CC E
IA
CIABE（）
11
()() ()ss s
=? =?G C I A B+E C I A B+E
证完。
讨论：
1,不可控状态不出现在系统的传递函数阵中，这进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息,它只能反映方程的可控的部分;
12
0 0
c c
c
xx
=+
AA B
u
A
该系统的零状态响应为：
2,经等价变换后系统的动态方程为：
0
0
()
1
()
()
1
() ( )
0
0
()
0
=
=
∫
∫
A
A
A
B
u
B
u
c
c
c
t
t
t
t
t
t
t
e
xt d
e
e
d
τ
τ
τ
ττ
ττ
这说明，不可控制振型所对应的全部模式与控制作用无耦合关系，这是为什么称不可控振型为系统的 输入解耦零点 的原因。
()?A
c
t
e
τ
例题,设系统方程为
[]
00 1 1
10 3 1
01 3 0
01 2
xxu
yx
=?+
=?
试进行可控性分解。
10 1
11 3 2
01 2
=
rank
解 1） 计算可控性矩阵
2） 现取其中的第 1,2列，再补充一个与它们线性无关的列向量,显然它和选自可控阵的那二列形成一个线性无关组。因此，
[ ]
201
T
1
102 1 2 2
1
110 1 1 2
3
011 1 1 1
PP
==?
再利用变换,可将原系统的动态方程变换为
Px x=
[]
011 1
122 0 112
00 1 0
x xuy x
=+ =
其中二维子方程为：
是可控的。
[]
01 1
11
12 0
=+=?
cc c
xxuyx
由这个例子也可以看出，由于基底的选择有多种可能，故在基底下的矩阵表示也是不同的。
若改变基底的顺序，可以得到能控性分解的另一形式。令注：
11
1
[]Pq qq q
nn n
+
= " " " "
21
0
0
[]
c
c
c
cc
x xu
yx
=+
=
A
B
AA
CC
1
1 n
qq U "其中,,仍为 的一组基底。则利用与上面定理相同的证明方法，有
2
2
cc c
cc
xxu
yx
= +
=
AB
C
其中，
是可控的，且与原系统有相同的传递函数矩阵。
∫
∫
u
c
B
12
A
c
A
E
c
A
c
C
c
C
y
2
x
1
x
由图中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变,
故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。 而可控性分解将可控和不可控部分以明显的形式表示出来了。
2
x
1
x
2
x
2
x
按可控性分解，经等价变换后的动态方程框图如下：
三、动态方程按可观测性分解定理 2-17,n维线性时不变动态方程，若方程的可观测性矩阵的秩为 n
2
< n,则存在等价变换,
将系统化为下列形式：
xx= P
21
0
0
0]
oo
oo
xxu
yxu
=+
=+
BA
BAA
[C E
其中 n
2
维子方程
oooo
ooo
xxu
y xu
=+
=+
AB
CE
是可观测的，且与原系统有相同的传递函数矩阵,
11
()() ()Gs s s
=? =?C I A B+E C I A B+E
1
21
1
0
0
oo
o
oo
ooo
s
s
s
=+
=? +
BIA
CE
BAIA
CIA BE
讨论：
1,不可观测状态不出现在系统的传递函数阵中，这也进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息，它至多可反映可观的部分。
2,由系统的零输入响应：
0
0
0
()
0
()
()
0
0
[0][0] ()
[0]()
o
o
o
tt
oo
tt
tt
o
e
yx xt
e
ext
==
=
A
A
A
CC
C
可知，输出中只反映了系统中可观测的模态所对应的运动模式定理5-17的结论可以用以下方法证明：
1,用对偶定理 5－ 10和定理 5－ 16;
2,直接证明。这可以分成两种方法：
a) 直接构造基底矩阵 P
1
的方法；
b) 直接取坐标变换阵P的方法。
a)直接构造基底矩阵P
1
的方法：
1) 因为可观测性矩阵的秩为 n
2
,所以不可观测子空间 η 是 (n?n
2
)维的子空间。 基底选择可在 η 中取 n?n
2
个线性无关向量
22
12
,,,qq q
nn n++
"
22 2
12 1 2
,,,,,,,qq q q q q
nn n n++
" "
采取和定理 5－ 16的证明完全类似的方法便可证得定理 5－ 17。
线性无关，由这 n个向量构成状态空间的基底。令
22 2
1
12 1 2
[,,,,,,,]Pqqqqq q
nn n n
++
= " "
2) 再取另外 n
2
个线性无关向量，使得向量组
b) 直接取坐标变换阵P的方法：
1) 因为可观测性矩阵的秩为 n
2
，故可在可观性矩阵中取出 n
2
个线性无关的行向量,构成 P的一部分，再补充 n?n
2
线性无关的行向量，共同构成 P阵。
2
2
1
1
p
p
P
p
p
n
n
n
+
=
#
#
2) 构造：
2
1
,,pp
n
"注意到 是由
1
C
CA
CA
n?
#
的线性无关行构成的.
22
11
11
nn
nn
+ +
=
A
A
# #
# #
pp
pp
11
A
21
A
22
A
0
3) 此时考虑,有
PA AP=
可观性分解式如下图所示：
4) 考虑,有
CCP=
2
2
1
1
**0
**0
**0
C
C
n
n
n
+
=
#
" "
" "
# # # "
" "
#
p
p
p
p
1
C
y
o
x
o
x
o
B
o
A
o
C
∫
o
A
21
A
∫
u
o
B
由图中可见，输出 y不能直接反映 也不能通过间接反映,故 这一部分状态分量是输出不能反映的，它是系统中的不可观部分。
o
x
o
x
o
x
o
x
E
结论综合动态方程按可控性分解和按可观测性分解的结果，可知传递函数不能反映系统中不可控的部分，也不能反映系统中不可观测的部分，而 只能反映系统中即可控又可观测的部分 。因此，动态方程不是既可控又可观测时，传递函数的描述方式就不如动态方程的描述更加符合系统的实际情况。
定理 5－ 18,考虑线性时不变动态方程能用等价变换将方程变换为以下规范形式：
为了同时体现出系统的可控性和可观测性的结构性质，有如下的标准分解定理。
四、规范分解定理（标准分解定理）
12 13
23
B
0B
00 0
0CCxEu
co co co co
co co co co
ccc
co c
y
=+
=+
xAAAx
xu
xA
其中向量 是可控的但是是不可观测的，
是可控又可观测的，而 是不可控的，方程的传递函数为：
co
x
co
x
1
()BE
co co co
CsI
+A
c
x
定理 5－ 18细化,设线性时不变动态方程其可控性矩阵的秩为 n
1
(n
1
<n)，可观测性矩阵的秩 n
2
(n
2
<n)，
则存在一个等价变换,可将方程变换为：
x=Px
1
1 11 13 1
2
2 21 22 23 24 2
3
3 33
4
4 43 44
00
00 0 0
00 0
x
x AA B
x
x AAAA B
u
x
x A
x
x AA
=+
1
2
13
3
4
[0 0] E
=+
x
x
yC C u
x
x
而且子动态方程
11111
11
E
=+
=+
xAxBu
yCx u
是即可控又可观测的。 与原系统有相同的传递函数矩阵，即
11
1111
() ( )ss
=?+CI A B+E C I A B E
经过等价变换后得到的动态方程可用下图表示。
∫
∫
3
C
2
B
44
A
43
A
33
A
24
A
∫
23
A
22
A
21
A13
A
y
u
∫
1
C
11
A
1
B
1
x
2
x
4
x
3
x
E
不能控、不能观不能控、能观能控不能观图中虚线上部表示的子方程是系统中即可控又可观测的部分。在虚线以下的其它 部分或者是可观测、不可控的 (只有信号输出，没有信号输入），或者是可控、不可观测的 (只有信号输入，没有信号输出）,或者是不可控、不可观测 (既无信号输出，又无信号输入）的部分。
定理 5－ 18说明，若一个线性时不变系统不可控、不可观测时，必存在一个等价 变换，将系统分成上页图中的四个部分。这就是 所谓线性时不变系统的 标准结构分解 。
定理 5－ 18表明，动态方程的传递函数矩阵仅仅取决于方程的即可控又可观测的部分。
换句话说，传递函数矩阵（输入－输出描述）仅能描述系统的可控、可观测部分的特性。这是输入－
输出描述和状态变量描述之间最重要的关系。输入－
输出描述（传递函数的描述）在某些时候之所以不能够完全描述系统，其原因就在于系统中的不可控或不可观测部分不出现在传递函数中。
这些不出现在传递函数矩阵中的部分其状态行为不可避免地要影响系统的稳定性和品质，这是我们在系统设计中要特别注意的。
由定理 5－ 16和定理 5－ 17可以看出，若线性时不变动态方程不可控或不可观测，则存在与原方程有相同传递函数矩阵而维数较低的方程。换言之，若线性时不变动态方程不可控或不可观测，则其维数可以降低，而且降低了维数的方程仍具有与原方程相同的传递函数矩阵。
定义5－9,线性时不变动态方程，当且仅当存在一个维数较低的，且具有与原方程相同的传递函数矩阵
（或零输入等价于方程）的线性时不变动态方程时，
称为 可简约的 。否则，该方程称为 不可简约的 。
不可简约的动态方程又称为 最小阶动态方程 。
五、不可简约的动态方程定义 （ 零状态等价 ）（复习）,两个时不变动态系统称为是零状态等价的，当且仅当它们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数阵。
1,不可简约动态方程的充分必要条件定理5－19,线性时不变动态方程是不可简约的充分必要条件是该动方程是可控且可观测的。
反证法,设 n维动态方程可控且可观测，但存在一个维数为 n
1
<n的线性时不变动态方程证明：充分性,设动态方程可控且可观，证明其为不可简约：
E
x=Ax+Bu
y =Cx+ u
与 (A,B,C,E)零状态等价。于是，由零状态等价的定义，对于 [0,+∞)中所有的 t，（定理 4－ 6）
0,1,2,CA B CA B
kk
k== "
即有
AA
() ()
tt
eEteEtδ δ+=+CB CB
1
2
1
U
1
12(1)
V
[]
C
CB CAB CA B
CA
CAB CA B CA B
VU B AB A B
CA
CA B CA B CA B
n
n
n
n-
nn n
==
"
"
"
#
# # #
"
11
VU V U
nn
=
用 代替上式中的,得
CA B
k
CA B
k
11 1
VU
= >
nn
rank n n
11
,VU
nn
这和 的秩最多是 n
1
矛盾。矛盾表明，若 (A,
B,C,E)是可控可观测的，则 (A,B,C,E)必是不可简约的。
因为 (A,B,C,E)可控可观测，有 rank VU=n。于是必要性,反证法。设（ A,B,C)是不可简约的，但
（ A,B,C)是不可控或不可观测的。则根据定理 5-
17，或 5-18，存在一个与之零状态等价而维数较低的系统，这说明系统是可简约的，矛盾。
证完。
2,同一 G(s)不可简约动态方程实现之间的关系定理5-20,设动态方程 是 q× p正则有理矩阵 的不可简约实现，则 也是的不可简约实现之充分必要条件是和 等价。也即存在一个非奇异常量矩阵
P，使得
(,,,)EABC
()G s
(,,,)EABC
()G s
(,,,)EABC
(,,,)EABC
1
A=PAP
B=PB
1
C=CP
E E=
证明,充分性,若 (A,B,C,E)为 G之不可简约实现且两个系统等价，则
15
19 (,,,)
xx=
→
P
ABCE
定理5
定理5 可控可观
(,,,) (,,,) →ABCE ABCE
定理5-19
可控可观 不可简约必要性：（略）
当系统矩阵有重特征值时，常常可以化为若当形，这时 A,B,C的形式如下：
11
22
12
]
AB
A= B
AB
C[C C C
mm
m
=
=
% #
"
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性
A
AA
i
iiji
m
rj
有 个相异的特征根，与每一特征根 相应的若当块共有 个。这里,是属于 的第 个若当块。
λ
12
],1,2,,C[C C C== " "
i
iii r
im
11
22
AB
AB
==
% #
ii
ii
ir ir
1
2
1
1
1
L
AB
×
==
#
%
#
%
jj
ij
i
ij
i
ij iji
ij
i
ll
λ
λ
λ
λ
b
b
b
12
],1,2,,; 1,2,,C[c c c=== " " "
ij ij ij Lij i
imjr
1,A 有 m个相异的特征值 λ
1
,λ
2
….,λ
m；
2,A
i
：所有与 λ
i
对应的若当块构成的矩阵，共有
r
i
块；
B
i
,B中与 A
i
对应的的子块；
C
i
,C中与 A
i
对应的的子块；
A
ij
：表示 A
i
的第 j 个若当块；
B
ij
,B
i
中与 A
ij
对应的的子块；
C
ij
,C
i
中与 A
ij
对应的的子块；
3,b
Lij
,B
ij
的最后一行；
4,c
1ij
,C
ij
的第一列。
定 理5-21 (可控、可观性判据)
? n维线性时不变约当形动态系统可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关
1
2
1,2,,
=
"
#
i
Li
Li
Lir
im
b
b
b
? n维线性时不变约当形动态系统可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关,
1
11 12 1
[],1,2== " "
i
iii r
imCcc c
例题
1120020
1012011
1023022
C
=
考察系统的可控性和可观测性。
77
11 000
1 100
101
21 112
2031
0
AB
×
==
按照定理 5-21，可知 A有二个不同的特征值
{1,2}，特征值 1对应有三个若当块，特征值 2对应有两个若当块，判别可控性的行向量为
11
21
12
22
13
100
031
010,
002
001
L
L
L
L
L
==
b
b
b
b
b
每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。
同理可知，判别可观测性向量为：
[ ] []
120 00
112 01
123 02
==
111 112 113 121 122
CCC CC
推论5-21：
（ 1） 若当型动态方程 (A,b) 可控的充分必要条件是 每一个特征值只有一个若当块与之相对应,且向量 b 中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零；
（ 2） 若当型动态方程 (A,c) 可观测的充分必要条件是 每一个特征值只有一个若当块与之相对应,且向量 c 中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。
2100 0
200 1
,
31 0
31
Ab
==
立即可知这个系统是可控的。
考虑单输入系统：例：
讨论如下系统的可控性和可观测性：例：
21 12
0
21 23
201
31 45
310
11 0 7 30
04 13 31
A B
C
==
=
11
b
L
12
b
L
21
b
L
111
c
112
c
121
c
例,设有两个若当型状态方程
10 1
02 1
xxu
=+
2
10
02
xxu
t
t
e
e
=+
由推论 5－ 21可知，状态方程 (5-76)是可控。
方程（ 5-77）是时变的，但 A阵是若当型且对所有的 t,b(t)的各分量非零，但并不能应用推论 5
－ 21来判断其是可控的。
（ 5－ 76 ）
（ 5－ 77 ）
事实上，由定理 5－ 4知，对任一固定的 t
0
有
00
00
()
0
2( ) 22
0
()()
0
B
tt tt
tt tt
eee
tt t
eee
Φ? = =
显然对所有 t>t
0
，矩阵 的各行线性相关，故方程（ 5－ 77）在任何 t
0
均不可控。
0
()()Btt tΦ?
定义 5－ 10,若具有连续脉冲响应矩阵 G(t,τ )的系统，在时刻 t
0
，对任意 y
1
存在有限的 t
1
>t
0
，且存在能将输出 y(t
0
)=0转移到 y(t
1
)=y
1
的输入 u[t
0
,t
1
]，则称系统在时刻 t
0
是输出可控的。
系统输出可控与动态方程的状态可控从概念上讲是不同的，分别对状态和输出实现控制；状态可控性是动态方程的一个性质，输出可控性是系统脉冲响应矩阵的一个性质。
5.7 输出可控性
1?
# # " #
n
CB CAB CA B
为简化，假定G(t,τ)不含脉冲函数并是t和
τ(t>τ)的连续函数定理5-22,具有连续脉冲响应矩阵G(t,τ)的系统，
在t
0
是输出可控的充分必要条件是，存在一个有限的
t
1
>t
0
，使得对属于[t
0
,t
1
]之τ，G(t,τ)的所有行是在复数域上线性无关的。
5-22推理,线性时不变、传递函数为严格正则有理函数矩阵的系统是输出可控的充分必要条件是G(s)的所有行在复数域上线性无关，或下面的qxnp矩阵具有q
秩。
输出可控性定理系统输出可控性与动态方程状态可控性之间不一定有关系。
y
_
+
+
_+
_
x
u
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
例 2,系统是可控和可观测的，但是输出不可控的。
y
1u
y
2
1
S+1
例 1,如下图中的网络，它既不是状态可控的也不是可观测的，但它是输出可控的。
线性时不变连续时间系统的可控性判别定理大部分可以不加修正地用于离散时间情况。
线性时不变离散系统可控性第五章小结
可控性和可观测性的概念；
判断动态方程可控与可观测性的定理，包括：
– 可控性定理：
– 可观测性定理：
建立了传递函数矩阵与线性时不变动态方程之间的关系。传递函数仅取决于动态方程的可控且可观测部分。可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不可观。
规范分解与不可简约方程 (定理 18,19,20)
约当形动态方程的可控性和可观测性
输出可控性
54 55 57516
510 515
59511513517
7 7 7 7－－
－－ －－
作业
5－ 11
5－ 16
5－ 21
5－ 22
5－ 25
5.1 引言
5.2 时间函数的线性无关性
5.3 线性动态方程的可控性
5.4 线性动态方程的可观测性
5.5 线性动态方程的规范分解
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性一、等价变换的性质
= +
=+
AB
CE
xxu
yxu
令,,则经等价变换后有Px x=
det( ) 0P ≠
= +
=+
AB
CE
xxu
yxu
其中：
11
,,,
====A PAP B PB C CP E E
5.5 线性时不变系统的规范分解定理5－15,在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。
注,定理 5－ 15可以推广到线性时变系统。
证明：等价系统
xx
yx
= +
=+
ABu
CEu
(1) (1)
]][B AB A B P[B AB A B
nn
=
(1)
][B AB A B
=
n
rank n
而证完。
可控，则有：
=+
=+
ABu
CE
xx
yxu
(5-53)
其可控性矩阵的秩为 n
1
<n (n为 x的维数 )，系统不可控，但可分解出 n
1
维的可控子系统，有以下定理设系统动态方程为二、动态方程按可控性分解
∫
1
x
1
x
1?
u
∫
2
x
2
x
其中 n
1
维子方程 FE
c
如下：
12
0 0
[]
=+
=
AA B
A
CC
c c
c
cc
xxu
yx
cc c
ccc
xxu
yxu
= +
=+
c
AB
CE
是可控的，且与原动态方程 有相同的传递函数矩阵,
定理5-16,n维线性时不变动态方程 FE，若动态方程的可控性矩阵有 n
1
秩，则存在一个非奇异的常值矩阵
P及等价变换,将系统化为下列形式
Px x=
=
c
c
x
x
x
1
1
2
=
#
c
c
c
cn
x
x
x
x
定理的证明说明,(同时说明了变换矩阵的构造方法 )
11
1
11
[]
+
=P " "
nn n
qqq q
1) 列写出动态方程的可控性矩阵 U，其秩为 n
1；
2) 从 U中选取 n
1
个线性无关的列向量
1
1+
"
nn
1
12
,,, "
n
qq q
作为变换阵的逆矩阵的前 n
1
列，再补充 n?n
1
个 n
维的列向量得到：
1
[]
# # " #
n
BAB A B
111
=?=PAP A AP P A3),由,有
11
11
1
11
[]AP A
+
+
=
=×
" " "
" " "
nn n
nn n
qqq q
qqq q
A
*
*
*
0
0
0
#
#
1
n
1
qA
*
*
*
0
0
0
#
#
2
qA
*
*
*
0
0
0
#
#
1
n
qA
*
*
*
*
*
*
*
#
1
1n
q
+
A
*
*
*
*
*
*
*
#
n
qA
c
A
12
A
c
A
0
1?
=?=PB B B P B同理，由,有
11
11
[]B
nn n+
= × " " "qqq q
B
*
*
*
0
0
0
#
#
*
*
*
0
0
0
#
#
*
*
*
0
0
0
#
#
c
B
0
4),可控矩阵：
1
11
00
000
0
nnn
ccc ccc
cccc
B BU BAB
AAAB
U
==
" "
而
1
RankU RankU n= =
因而动态方程 FE
c
是可控的。
5),传递矩阵：
1
12
1
[]
0 0
c c
cc
c
ccc
s
s
s
=+
=? +
IA A B
CC E
IA
CIABE（）
11
()() ()ss s
=? =?G C I A B+E C I A B+E
证完。
讨论：
1,不可控状态不出现在系统的传递函数阵中，这进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息,它只能反映方程的可控的部分;
12
0 0
c c
c
xx
=+
AA B
u
A
该系统的零状态响应为：
2,经等价变换后系统的动态方程为：
0
0
()
1
()
()
1
() ( )
0
0
()
0
=
=
∫
∫
A
A
A
B
u
B
u
c
c
c
t
t
t
t
t
t
t
e
xt d
e
e
d
τ
τ
τ
ττ
ττ
这说明，不可控制振型所对应的全部模式与控制作用无耦合关系，这是为什么称不可控振型为系统的 输入解耦零点 的原因。
()?A
c
t
e
τ
例题,设系统方程为
[]
00 1 1
10 3 1
01 3 0
01 2
xxu
yx
=?+
=?
试进行可控性分解。
10 1
11 3 2
01 2
=
rank
解 1） 计算可控性矩阵
2） 现取其中的第 1,2列，再补充一个与它们线性无关的列向量,显然它和选自可控阵的那二列形成一个线性无关组。因此，
[ ]
201
T
1
102 1 2 2
1
110 1 1 2
3
011 1 1 1
PP
==?
再利用变换,可将原系统的动态方程变换为
Px x=
[]
011 1
122 0 112
00 1 0
x xuy x
=+ =
其中二维子方程为：
是可控的。
[]
01 1
11
12 0
=+=?
cc c
xxuyx
由这个例子也可以看出，由于基底的选择有多种可能，故在基底下的矩阵表示也是不同的。
若改变基底的顺序，可以得到能控性分解的另一形式。令注：
11
1
[]Pq qq q
nn n
+
= " " " "
21
0
0
[]
c
c
c
cc
x xu
yx
=+
=
A
B
AA
CC
1
1 n
qq U "其中,,仍为 的一组基底。则利用与上面定理相同的证明方法，有
2
2
cc c
cc
xxu
yx
= +
=
AB
C
其中，
是可控的，且与原系统有相同的传递函数矩阵。
∫
∫
u
c
B
12
A
c
A
E
c
A
c
C
c
C
y
2
x
1
x
由图中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变,
故 这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。 而可控性分解将可控和不可控部分以明显的形式表示出来了。
2
x
1
x
2
x
2
x
按可控性分解，经等价变换后的动态方程框图如下：
三、动态方程按可观测性分解定理 2-17,n维线性时不变动态方程，若方程的可观测性矩阵的秩为 n
2
< n,则存在等价变换,
将系统化为下列形式：
xx= P
21
0
0
0]
oo
oo
xxu
yxu
=+
=+
BA
BAA
[C E
其中 n
2
维子方程
oooo
ooo
xxu
y xu
=+
=+
AB
CE
是可观测的，且与原系统有相同的传递函数矩阵,
11
()() ()Gs s s
=? =?C I A B+E C I A B+E
1
21
1
0
0
oo
o
oo
ooo
s
s
s
=+
=? +
BIA
CE
BAIA
CIA BE
讨论：
1,不可观测状态不出现在系统的传递函数阵中，这也进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息，它至多可反映可观的部分。
2,由系统的零输入响应：
0
0
0
()
0
()
()
0
0
[0][0] ()
[0]()
o
o
o
tt
oo
tt
tt
o
e
yx xt
e
ext
==
=
A
A
A
CC
C
可知，输出中只反映了系统中可观测的模态所对应的运动模式定理5-17的结论可以用以下方法证明：
1,用对偶定理 5－ 10和定理 5－ 16;
2,直接证明。这可以分成两种方法：
a) 直接构造基底矩阵 P
1
的方法；
b) 直接取坐标变换阵P的方法。
a)直接构造基底矩阵P
1
的方法：
1) 因为可观测性矩阵的秩为 n
2
,所以不可观测子空间 η 是 (n?n
2
)维的子空间。 基底选择可在 η 中取 n?n
2
个线性无关向量
22
12
,,,qq q
nn n++
"
22 2
12 1 2
,,,,,,,qq q q q q
nn n n++
" "
采取和定理 5－ 16的证明完全类似的方法便可证得定理 5－ 17。
线性无关，由这 n个向量构成状态空间的基底。令
22 2
1
12 1 2
[,,,,,,,]Pqqqqq q
nn n n
++
= " "
2) 再取另外 n
2
个线性无关向量，使得向量组
b) 直接取坐标变换阵P的方法：
1) 因为可观测性矩阵的秩为 n
2
，故可在可观性矩阵中取出 n
2
个线性无关的行向量,构成 P的一部分，再补充 n?n
2
线性无关的行向量，共同构成 P阵。
2
2
1
1
p
p
P
p
p
n
n
n
+
=
#
#
2) 构造：
2
1
,,pp
n
"注意到 是由
1
C
CA
CA
n?
#
的线性无关行构成的.
22
11
11
nn
nn
+ +
=
A
A
# #
# #
pp
pp
11
A
21
A
22
A
0
3) 此时考虑,有
PA AP=
可观性分解式如下图所示：
4) 考虑,有
CCP=
2
2
1
1
**0
**0
**0
C
C
n
n
n
+
=
#
" "
" "
# # # "
" "
#
p
p
p
p
1
C
y
o
x
o
x
o
B
o
A
o
C
∫
o
A
21
A
∫
u
o
B
由图中可见，输出 y不能直接反映 也不能通过间接反映,故 这一部分状态分量是输出不能反映的，它是系统中的不可观部分。
o
x
o
x
o
x
o
x
E
结论综合动态方程按可控性分解和按可观测性分解的结果，可知传递函数不能反映系统中不可控的部分，也不能反映系统中不可观测的部分，而 只能反映系统中即可控又可观测的部分 。因此，动态方程不是既可控又可观测时，传递函数的描述方式就不如动态方程的描述更加符合系统的实际情况。
定理 5－ 18,考虑线性时不变动态方程能用等价变换将方程变换为以下规范形式：
为了同时体现出系统的可控性和可观测性的结构性质，有如下的标准分解定理。
四、规范分解定理（标准分解定理）
12 13
23
B
0B
00 0
0CCxEu
co co co co
co co co co
ccc
co c
y
=+
=+
xAAAx
xu
xA
其中向量 是可控的但是是不可观测的，
是可控又可观测的，而 是不可控的，方程的传递函数为：
co
x
co
x
1
()BE
co co co
CsI
+A
c
x
定理 5－ 18细化,设线性时不变动态方程其可控性矩阵的秩为 n
1
(n
1
<n)，可观测性矩阵的秩 n
2
(n
2
<n)，
则存在一个等价变换,可将方程变换为：
x=Px
1
1 11 13 1
2
2 21 22 23 24 2
3
3 33
4
4 43 44
00
00 0 0
00 0
x
x AA B
x
x AAAA B
u
x
x A
x
x AA
=+
1
2
13
3
4
[0 0] E
=+
x
x
yC C u
x
x
而且子动态方程
11111
11
E
=+
=+
xAxBu
yCx u
是即可控又可观测的。 与原系统有相同的传递函数矩阵，即
11
1111
() ( )ss
=?+CI A B+E C I A B E
经过等价变换后得到的动态方程可用下图表示。
∫
∫
3
C
2
B
44
A
43
A
33
A
24
A
∫
23
A
22
A
21
A13
A
y
u
∫
1
C
11
A
1
B
1
x
2
x
4
x
3
x
E
不能控、不能观不能控、能观能控不能观图中虚线上部表示的子方程是系统中即可控又可观测的部分。在虚线以下的其它 部分或者是可观测、不可控的 (只有信号输出，没有信号输入），或者是可控、不可观测的 (只有信号输入，没有信号输出）,或者是不可控、不可观测 (既无信号输出，又无信号输入）的部分。
定理 5－ 18说明，若一个线性时不变系统不可控、不可观测时，必存在一个等价 变换，将系统分成上页图中的四个部分。这就是 所谓线性时不变系统的 标准结构分解 。
定理 5－ 18表明，动态方程的传递函数矩阵仅仅取决于方程的即可控又可观测的部分。
换句话说，传递函数矩阵（输入－输出描述）仅能描述系统的可控、可观测部分的特性。这是输入－
输出描述和状态变量描述之间最重要的关系。输入－
输出描述（传递函数的描述）在某些时候之所以不能够完全描述系统，其原因就在于系统中的不可控或不可观测部分不出现在传递函数中。
这些不出现在传递函数矩阵中的部分其状态行为不可避免地要影响系统的稳定性和品质，这是我们在系统设计中要特别注意的。
由定理 5－ 16和定理 5－ 17可以看出，若线性时不变动态方程不可控或不可观测，则存在与原方程有相同传递函数矩阵而维数较低的方程。换言之，若线性时不变动态方程不可控或不可观测，则其维数可以降低，而且降低了维数的方程仍具有与原方程相同的传递函数矩阵。
定义5－9,线性时不变动态方程，当且仅当存在一个维数较低的，且具有与原方程相同的传递函数矩阵
（或零输入等价于方程）的线性时不变动态方程时，
称为 可简约的 。否则，该方程称为 不可简约的 。
不可简约的动态方程又称为 最小阶动态方程 。
五、不可简约的动态方程定义 （ 零状态等价 ）（复习）,两个时不变动态系统称为是零状态等价的，当且仅当它们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数阵。
1,不可简约动态方程的充分必要条件定理5－19,线性时不变动态方程是不可简约的充分必要条件是该动方程是可控且可观测的。
反证法,设 n维动态方程可控且可观测，但存在一个维数为 n
1
<n的线性时不变动态方程证明：充分性,设动态方程可控且可观，证明其为不可简约：
E
x=Ax+Bu
y =Cx+ u
与 (A,B,C,E)零状态等价。于是，由零状态等价的定义，对于 [0,+∞)中所有的 t，（定理 4－ 6）
0,1,2,CA B CA B
kk
k== "
即有
AA
() ()
tt
eEteEtδ δ+=+CB CB
1
2
1
U
1
12(1)
V
[]
C
CB CAB CA B
CA
CAB CA B CA B
VU B AB A B
CA
CA B CA B CA B
n
n
n
n-
nn n
==
"
"
"
#
# # #
"
11
VU V U
nn
=
用 代替上式中的,得
CA B
k
CA B
k
11 1
VU
= >
nn
rank n n
11
,VU
nn
这和 的秩最多是 n
1
矛盾。矛盾表明，若 (A,
B,C,E)是可控可观测的，则 (A,B,C,E)必是不可简约的。
因为 (A,B,C,E)可控可观测，有 rank VU=n。于是必要性,反证法。设（ A,B,C)是不可简约的，但
（ A,B,C)是不可控或不可观测的。则根据定理 5-
17，或 5-18，存在一个与之零状态等价而维数较低的系统，这说明系统是可简约的，矛盾。
证完。
2,同一 G(s)不可简约动态方程实现之间的关系定理5-20,设动态方程 是 q× p正则有理矩阵 的不可简约实现，则 也是的不可简约实现之充分必要条件是和 等价。也即存在一个非奇异常量矩阵
P，使得
(,,,)EABC
()G s
(,,,)EABC
()G s
(,,,)EABC
(,,,)EABC
1
A=PAP
B=PB
1
C=CP
E E=
证明,充分性,若 (A,B,C,E)为 G之不可简约实现且两个系统等价，则
15
19 (,,,)
xx=
→
P
ABCE
定理5
定理5 可控可观
(,,,) (,,,) →ABCE ABCE
定理5-19
可控可观 不可简约必要性：（略）
当系统矩阵有重特征值时，常常可以化为若当形，这时 A,B,C的形式如下：
11
22
12
]
AB
A= B
AB
C[C C C
mm
m
=
=
% #
"
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性
A
AA
i
iiji
m
rj
有 个相异的特征根，与每一特征根 相应的若当块共有 个。这里,是属于 的第 个若当块。
λ
12
],1,2,,C[C C C== " "
i
iii r
im
11
22
AB
AB
==
% #
ii
ii
ir ir
1
2
1
1
1
L
AB
×
==
#
%
#
%
jj
ij
i
ij
i
ij iji
ij
i
ll
λ
λ
λ
λ
b
b
b
12
],1,2,,; 1,2,,C[c c c=== " " "
ij ij ij Lij i
imjr
1,A 有 m个相异的特征值 λ
1
,λ
2
….,λ
m；
2,A
i
：所有与 λ
i
对应的若当块构成的矩阵，共有
r
i
块；
B
i
,B中与 A
i
对应的的子块；
C
i
,C中与 A
i
对应的的子块；
A
ij
：表示 A
i
的第 j 个若当块；
B
ij
,B
i
中与 A
ij
对应的的子块；
C
ij
,C
i
中与 A
ij
对应的的子块；
3,b
Lij
,B
ij
的最后一行；
4,c
1ij
,C
ij
的第一列。
定 理5-21 (可控、可观性判据)
? n维线性时不变约当形动态系统可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关
1
2
1,2,,
=
"
#
i
Li
Li
Lir
im
b
b
b
? n维线性时不变约当形动态系统可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关,
1
11 12 1
[],1,2== " "
i
iii r
imCcc c
例题
1120020
1012011
1023022
C
=
考察系统的可控性和可观测性。
77
11 000
1 100
101
21 112
2031
0
AB
×
==
按照定理 5-21，可知 A有二个不同的特征值
{1,2}，特征值 1对应有三个若当块，特征值 2对应有两个若当块，判别可控性的行向量为
11
21
12
22
13
100
031
010,
002
001
L
L
L
L
L
==
b
b
b
b
b
每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。
同理可知，判别可观测性向量为：
[ ] []
120 00
112 01
123 02
==
111 112 113 121 122
CCC CC
推论5-21：
（ 1） 若当型动态方程 (A,b) 可控的充分必要条件是 每一个特征值只有一个若当块与之相对应,且向量 b 中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零；
（ 2） 若当型动态方程 (A,c) 可观测的充分必要条件是 每一个特征值只有一个若当块与之相对应,且向量 c 中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。
2100 0
200 1
,
31 0
31
Ab
==
立即可知这个系统是可控的。
考虑单输入系统：例：
讨论如下系统的可控性和可观测性：例：
21 12
0
21 23
201
31 45
310
11 0 7 30
04 13 31
A B
C
==
=
11
b
L
12
b
L
21
b
L
111
c
112
c
121
c
例,设有两个若当型状态方程
10 1
02 1
xxu
=+
2
10
02
xxu
t
t
e
e
=+
由推论 5－ 21可知，状态方程 (5-76)是可控。
方程（ 5-77）是时变的，但 A阵是若当型且对所有的 t,b(t)的各分量非零，但并不能应用推论 5
－ 21来判断其是可控的。
（ 5－ 76 ）
（ 5－ 77 ）
事实上，由定理 5－ 4知，对任一固定的 t
0
有
00
00
()
0
2( ) 22
0
()()
0
B
tt tt
tt tt
eee
tt t
eee
Φ? = =
显然对所有 t>t
0
，矩阵 的各行线性相关，故方程（ 5－ 77）在任何 t
0
均不可控。
0
()()Btt tΦ?
定义 5－ 10,若具有连续脉冲响应矩阵 G(t,τ )的系统，在时刻 t
0
，对任意 y
1
存在有限的 t
1
>t
0
，且存在能将输出 y(t
0
)=0转移到 y(t
1
)=y
1
的输入 u[t
0
,t
1
]，则称系统在时刻 t
0
是输出可控的。
系统输出可控与动态方程的状态可控从概念上讲是不同的，分别对状态和输出实现控制；状态可控性是动态方程的一个性质，输出可控性是系统脉冲响应矩阵的一个性质。
5.7 输出可控性
1?
# # " #
n
CB CAB CA B
为简化，假定G(t,τ)不含脉冲函数并是t和
τ(t>τ)的连续函数定理5-22,具有连续脉冲响应矩阵G(t,τ)的系统，
在t
0
是输出可控的充分必要条件是，存在一个有限的
t
1
>t
0
，使得对属于[t
0
,t
1
]之τ，G(t,τ)的所有行是在复数域上线性无关的。
5-22推理,线性时不变、传递函数为严格正则有理函数矩阵的系统是输出可控的充分必要条件是G(s)的所有行在复数域上线性无关，或下面的qxnp矩阵具有q
秩。
输出可控性定理系统输出可控性与动态方程状态可控性之间不一定有关系。
y
_
+
+
_+
_
x
u
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
例 2,系统是可控和可观测的，但是输出不可控的。
y
1u
y
2
1
S+1
例 1,如下图中的网络，它既不是状态可控的也不是可观测的，但它是输出可控的。
线性时不变连续时间系统的可控性判别定理大部分可以不加修正地用于离散时间情况。
线性时不变离散系统可控性第五章小结
可控性和可观测性的概念；
判断动态方程可控与可观测性的定理，包括：
– 可控性定理：
– 可观测性定理：
建立了传递函数矩阵与线性时不变动态方程之间的关系。传递函数仅取决于动态方程的可控且可观测部分。可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不可观。
规范分解与不可简约方程 (定理 18,19,20)
约当形动态方程的可控性和可观测性
输出可控性
54 55 57516
510 515
59511513517
7 7 7 7－－
－－ －－
作业
5－ 11
5－ 16
5－ 21
5－ 22
5－ 25
