第四章 线性动态方程和脉冲响应矩阵
4.1 引言
4.2 动态方程的解
4.3 等价动态方程
4.4 脉冲响应矩阵和动态方程
4.1 引言本章主要研究 动态方程的解,并以状态转移矩阵来表示动态方程的解。
然后提出 等价动态方程 的概念并证明一个时不变动态方程均具有矩阵为常值的等价动态方程,最后给出 动态方程和脉冲响应矩阵之间的关系 。
一、齐次方程的解
4.2 线性动态方程的解首先考虑一般的线性微分方程：
的解的性质。
0
0
() (),( )
,,()(()
×
=∈
∈=
n
n
ij n n
ttt
tat
Rx=A x+f x x
xf R A
定理,（解的存在和唯一性）设A及f的每个元素 a
ij
(t),f
i
均在 上连续，则对于任何 及任何常向量x
0
，方程恒有定义在整个 上的解x=x( t)，满足初值条件：
(,)?∞ +∞
0
(,)∈?∞ +∞t
(,)?∞+∞
0
0
()=xxt
并且方程也 只能有一个解满足 。
N N
11112 1 1
22
1
()
() () ()
() ()
=
"
%
# % # #
" "
n
nn n n
t
xatat atx
xx
xat atx
A
说明,=A( t)x 打开后的形式是：
x
因此，其解向量x( t) 必然属于 。称 是微分方程的一个解，系指：
\
n
()tΨ
() () ()=
AtttΨΨ
定理4－1,方程 dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，形成在实数域上的 n 维向量空间。
定理4－1包含以下两层意义,
a)解的集合组成线性空间；
b)解空间的维数是 n 。分成两部分证明：
1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解；
2）其任一解均可表成它们的线性组合。
证明：
a) 方程所有解构成线性空间：
任取 dx/dt=A(t)x的两个解 Ψ
1
,Ψ
2
，则对任意的实数 α
1
和 α
2
，有
11 2 2 11 2 2 1 1 2 2
11 2 2
( ) () ()
()( )
+=+= +
=+
AA
A
d
tt
dt
t
αα αα α α
αα
ΨΨ ΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ
0
() e
ii
t =Ψ (i=1，2,…,n)
()xAx=
t
时方程 的解。要证明，
是线性无关的 n个解。
12
,,,
n
"ΨΨ Ψ
()
i
tΨ
始条件是 n个线性无关的向量,是在初
12
,,,ee e
n
"
1)设
b)证明解空间的维数是 n：
12
[]0=? "
n
tΨΨ Ψα
反证法,若线性相关，必存在一个 n× 1非零实向量 α 使得
12
,,,
n
"ΨΨ Ψ
特别，当 t=t
0
时就有
12
00 0
12
[() () ()]
[]ee e
n
n
tt t
==
"
"
ΨΨ Ψα
α
12
,,,ee e
n
"
上式意味着向量组 线性相关，这与初始假设矛盾。矛盾表明
(,)?∞+∞
在 上线性无关。
12
(),(),() "
n
tt tΨΨ Ψ
的任一解。 e 显然可唯一地被 线性表出：
12
,,,ee e
n
"
2) 证明 dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性组合,即解的集合组成了 n维线性空间。
12
1
ee e e e
=
=+++ =
∑
"
n
ni
i
aa a a
0
() et =Ψ
Ψ
令是方程 dx/dt=A(t)x满足初条件
1
()
=
∑
n
i
i
i
atΨ容易验证,是方程 dx/dt=A(t)x满足初值条件
0
11
()
==
= =
∑∑
nn
ii
ii
at aΨ ee
的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一个。故必有
1
() ()
=
=
∑
n
i
i
i
tatΨΨ证完。
12
() () ()] (),(,)= ∈?∞ +∞ "
n
tt ttt[ΨΨ Ψ Ψ
定义4 —1,以方程 的 n 个线性无关解所构成的矩阵
() tx=A x
二、基本矩阵与状态转移矩阵
1、基本矩阵称为方程 的基本矩阵或基本解矩阵。
基本矩阵是不唯一的。
() tx=A x
0
()
()=
t
tH
=AΨΨ
Ψ
其中,H为某个非奇异常量矩阵。
根据定义，基本矩阵具有如下性质,
() 0≡tΨ
证明,显然，是方程的一个解；又已知
() 0,≡tx
0
() 0=tΨ
由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有
() () 0≡ =ttxΨ
证完。
命题：
若 是微分方程 的一个解，且对某个
t
0
，有,则
()tΨ () tx=A x
0
() 0=tΨ
证明,反证法。设对某一个 t
0
，使得基本矩阵为奇异阵。于是，存在非零实向量 α,使得
0
()tΨ
12
00 0 0
1
() () ()] () 0
=
==
∑
"
n
ni
i
i
tt t at[ΨΨ ΨαΨ
由于 是微分方程的一个解，故由以上命题知
0
1
() 0
=
=
∑
n
i
i
i
atΨ
1
() 0,
=
≡?
∑
n
i
i
i
at tΨ
这与基本矩阵的定义相矛盾。 证完。
定理4－2,方程 的基本矩阵对于中的所有 t 均为非奇异矩阵。
()
tx=A x
(,)?∞+∞
推理,若均为dx/dt=A(t)x的基本矩阵，则存在 n× n非奇异实常量矩阵 C，使得
12
、ΨΨ
12
() ()ΨΨCtt=?
证明,根据基本矩阵的性质即可证明。
()tΨ定义4 —2,令 是 的任一基本矩阵，对所有 (-∞，∞ )中的 t,t0，称
( )
1
00
,()()
=tt t tΦΨΨ
是 的状态转移矩阵。
状态转移矩阵具有下列重要性质：
( )
() ()
()()()
11
00 0
20 21 10
1.,
2.,( ) (),
3.,,,
=
==
=
Φ I
ΦΨΨΦ
ΦΦΦ
（）
（）
（）
tt
tt t t t t
tt tt tt
2、状态转移矩阵
()
tx=A x
()
tx=A x
1
0
0
1
00
00
(,)
(() ()
() () ( ) () (,)
(,)
ψψ
ψψ
=
==
=
Φ
AAΦ
Φ I
dtt d
tt
dt dt
tt t ttt
tt
证明 是矩阵微分方程的唯一解：
( )
0
,Φ tt
(4),由基本矩阵的性质
0
0
00
(,)
() (,)
(,)
=
=
Φ
A Φ
Φ I
dtt
ttt
dt
tt
(5),齐次方程 dx/dt=A(t)x在初始条件 下的解为：
0
0
()=xxt
( )
0
0
(),ttt=x Φ x
证明,x(t)总可以表示为,
() () 0x Ψα,αtt= ≠
特别，
00 00
() () ()()
-1
x ΨααΨ xtt tt=?=
将其代入上式，就是所要证明的。
(6),由 A(t)唯一确定，且与具体所选择的无关。
证明,设、是 dx/dt=A(t)x的两个不同的基本矩阵。 P为非奇异实常值矩阵，使得：
由此可以看出 与所选择的基本矩阵无关，只与系统本身特性有关，是唯一的。
( )
0
,Φ tt
()
0
,Φ tt ()tΨ
()t
2
Ψ()t
1
Ψ
() ()ttP=
21
ΨΨ
()
111
00 0
1
0
,()( ()) () ( ())
()( ( ))
tt t t tPP t
tt
=
=
22 1 1
11
Φ =ΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ
( ) ( )
00 0 0
() ;,,0,ttt tx Φ x=Φ x
根据上面的讨论可直接得出 的解。
为更明确起见，用Φ(t;t
0
,x
0
,0)表示由初始条件x(t
0
)=x
0
引起的 在时刻t的解。Φ的第四个自变量表示了u≡ 0这一事实。 及
x(t
0
)=x
0
之解为：
()
tx=A x
()
tx=A x
()
tx=A x
故 可看作一个线性变换，它将 t
0
时的状态x
0
映射到时刻 t 的状态x( t)。 事实上，状态转移矩阵是唯一的，即状态转移矩阵与基本矩阵的选取无关。
()
0
,Φ tt
三、非齐次方程的解用 Φ(t;t
0
,x
0
,u)表示在时刻t由初始状态x(t
0
)=x
0
及施加输入u共同导致的状态。
1,时变线性系统的解定理4 —3,状态方程
00
() ()
()
tt
t
= +
=
xAxBu
xx
的解由下式给出：
()
0
00
(),(,) ()() 4 10
t
t
ttt t dττττ=Φ + Φ
∫
xxBu－
()
00
,ttΦ x
是初值x
0
的线性函数，称为 零输入响应
0
(,)()()Φ Bu
t
t
td
∫
ττττ
是外作用u的线性函数，
称为 零状态响应其中,
定理4 —3,证明
()
0
00
(),(,) ()() 4 10
t
t
ttt t dττττ=Φ + Φ
∫
xxBu－
()
()
[ () ]
0
0
0
00
00
00
(),(,) ()()
(),(,) ()()| (,) ()()
(),(,) () () () ()
() () () ()
t
dd d
dt dt dt
t
t
d
t dt
t
t
t
ttt t d
A ttt t t d
At tt t d t t
At t t t
τ
ττττ
τ ττ ττττ
ττττ
=
=Φ + Φ
=Φ +Φ +Φ
=Φ +Φ +
=+
∫
∫
∫
xxBu
xBu Bu
xBuBu
xBu
()
0
0
0000 0 00
( ),(,) ()() 0
t
t
ttt t dIττττ=Φ+Φ =+=
∫
xxBuxx
考虑4－10式，若u≡ 0，则 4－ 10式可以简化为：
( )()
00 0 0
() ;,,0,xt tt tt=Φ =Φxx
若x
0
≡ 0，则 4－ 10式可以简化为：
()
0
0
() ;,0,(,) ( ) ( )
t
t
x tttu t dτ τττ=Φ = Φ
∫
Bu
4－ 10式可以简化为：
( ) ( ) ( )
00 00 0
() ;,,;,,0 ;,0,x tttut tu=Φ =Φ +Φxx
上式表明,线性状态方程的响应总能分解成零状态响应和零输入响应。
推论4 —3 动态方程的输出为：
()
0
0
0
() (),() (,) ( ) ( ) () ()
(1 16)
t
t
ttt tt dEtt=Φ + Φ +
∫
yC x C Bu uττττ
:(,)()(,)()()()
:(,)0
≥=Φ+?
<=
GC B
G
ttttEtt
tt
ττ ττδτ
ττ
2,输入输出关系特别，若 x(t
0
)=0，可得到脉冲响应矩阵：
这里利用了脉冲函数的采样特性。
其中A、B、C和D分别为 n× n,n× p,q× n和 q× p
的实常量矩阵。由对应的齐次方程可得：
E
= +xAxBu
y=Cx+ u
3,线性时不变动态方程的解线性时不变系统动态方程：
基本矩阵为:
t
e
A
状态转移矩阵,
( ) ( )
00
()1
00
,()
AAA
ΦΦ
===?
tttt
tt e e e t t
tt
d
eAe
dt
=
AA
0
0
() ()
0
() ( ) ()
t
tt t
t
te e dEt
=+ +
∫
A A
yC x C Bu u
τ
ττ
通常假定 t
0
=0，这时则有
()
0
() (0) ( ) 4 21
t
tt
te e d
=+?
∫
AA
xx Bu
τ
ττ
()
0
( ) (0) ( ) ( ) (4 22)
t
tt
te e dEt
=+ +?
∫
AA
yCx C Bu u
τ
ττ
0
0
() ()
0
() ( )
t
tt t
t
te e d
=+
∫
A A
xx u
τ
ττ
定理4－4,线性时不变动态方程的解为：
()
() ()
t
tteEt
≥?= +?
A
GCB
τ
ττ δτ
(,) 0Gtt< =ττ
对应的脉冲响应矩阵或更通常地写为对应的传递函数阵
1
() ( ) (4 26)ss E
=? +?GCIAB
() (),0 (4 23)
t
te Ettδ=+ ≥?
A
GCB
这是一个有理函数矩阵。
4,矩阵指数函数的性质
1）在t=0的值：
t
e
A
t
e
A
0
lim
t
t
eI
→
=
A
2） 相对时间变量分解的表达式：
)tt t
eeeee
τττ+
==
A( A A A A
t
e
A
3） 的逆：
1
()
t
ee
τ?
=
A-A
t
e
A
4）对t的导数：
ttt
d
eAeeA
dt
==
AA
t
e
A
5）逆对 t的导数,积的关系等略
t
e
A t
e
A
5,矩阵指数函数的算法
t
e
A
1）利用定义（书上定义 2－ 16,P40）
2）利用 A的约当标准形计算
[]
1
12
1
t
t
t
n
e
eP P
e
P
PAP
λ
λ
ν νν
λ
λ
=
=
=
1
n
A
1
n
%
"
%
P由A的各个特征值的右特征向量组成
22 33
11
23
t
eIAt At At=+ + + +
!!
A
"
3) 利用无穷级数计算：
1
11
()( )
()
t
t
L esIA
eLsIA
=?
=?
A
A
4）利用 sI-A计算
(sI-A)
－ 1
的计算：
例：解状态方程（P111例3)
11
22
01 0
12 1
xx
u
=+
1
1
2
1
1
)
12 121
ss
IA
ss
s
s
+
= =
+ ++
+?
++
=
++
22
22
-
(s
21
(s 1) (s 1)
1
(s 1) (s 1)
解：
1
()
()
tt
t
tt
s
ee
eL
s
ee
+?
+?
++
==
++
22
A
22
21
1t t(s 1) (s 1)
1
t1t
(s 1) (s 1)
()
0
() ()
() ()
() (0) ()
()
(0)
()
(() ( 0
()
1
()
t
tt
tt
tt
tt
te e d
ee
ee
ee
d
τ
ττ
ττ
ττ
τ τ
=+
+?
=
+?
+
∫
∫
AA
t
0
xx Bu
1t t
x
t1t
1t- t-
u
(t- ) 1 t- )
）
（
4.3 等价动态方程例：（P113例1) 网络的动态方程描述
[]
11 1
22 2
01 1
01
11 0
x xx
uy
x
=+=
[]
11 1
22
2
11 1
11
10 1
x
uy
x x
x
=+=?
(4 32)E
+
=+?
x=Ax Bu
yCx u
定义4-3 线性时不变方程称为原系统(A,B,C,E) 的 等价动态方程,当且仅当存在 非奇异矩阵P,使得
4.3 等价动态方程
=xPx
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
（ 4-33）
一,时不变系统的等价动态方程称P为 等价变换 。
动态方程是等价动态方程的必要条件是它们的 维数相同和传递函数阵相同 。但反之未必成立。
定义4－4,两个线性动态方程，当且仅当他们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数矩阵时，称为是 零状态等价 的。两个线性动态方程，
当且仅当相应于一个方程中的任一初始状态，在另一方程中存在一个初始状态与之对应，并使得二个方程有相同的零输入响应，且反之亦然时，
该两个方程被称为是 零输入等价 的。
定理4－5,两个等价的线性时不变动态方程是零状态等价和零输入等价。
证,设两个方程的脉冲响应矩阵是：
() ()
t
te Etδ=+
A
GCB
() ()
t
te Etδ=+
A
GCB
因两方程是等价的，则必有：
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
11
() () ()
ttt
Ce B E t CP Pe P PB E t Ce B E tδ δδ
+= +=+
AAA
0
)
() (0)
tt
te
=
A(
yC x
00
))1
() (0) (0)
tt tt
te eP
==
A( A(
yC x C x
若,则方程是零输入等价的。
1
(0) (0)P
=xx
因此是零状态等价的。
注：
虽然等价性包含零状态等价性和零输入等价性，但反之则不然。
两个线性动态方程可以是零状态等价和零输入等价，但二者不一定等价。
此外，两个线性方程也可以是零状态等价，
但不是零输入等价。
两个动态方程等价的必要条件是二者有相同的维数。
例：
零状态等价零输入等价但动态方程不等价零状态等价不是零输入等价但动态方程不等价若动态方程中的矩阵A为约当形，则称该方程为约当形动态方程。每个将 映射至其本身的算子都具有约当形矩阵表示。因此，每个线性时不变动态方程都具有等价的约当形动态方程。
例,给出下面方程的约当形动态方程。
(,)
n
11
22
33
1
1
112 10
100
013 32
122
002 12
105 10 5
013 01 3
001 001
xx
uy
xx
PQ
=+=
== =?
1
1
1
22
2
3
3
1
1
1
2
2
3
110 610
010 68
002 12
105
0313
x
x
u
xx
u
x
x
x
y
x
y
x
=+
=
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
将上式代入上面的方程得定理4－6,两个维数不一定相同的线性时不变动态方程,为零状态等价，或者说具有相同的传递函数之充分必要条件是：
ii
CA B CA B i "＝ ＝0，1，2
{}
{ }
,,,,,,A BCE ABCE和
EE=
() ()
() () (4 38)
=+
=+?
xA xBu
yCx u
tt
tEt
设线性时变系统的动态方程为二,时变系统的等价动态方程
() () ()xPx=ttt
其中P(t)是定义在(-∞,∞)上的n x n矩阵，并假设P(t)和P
－1
(t)对所有t都是非奇异和连续的。则下面的动态方程等价于4－38式。
() ()
( ) ( ) (4 39)
tt
tEt
=+
=+?
xAxBu
yCx u
() () () () ()
-1
APAPPttttt
=+
() () ()BPBttt=
1
() () ()CCPttt
=
() ()Et Et=
（ 4－ 40）
定义4 —5,动态方程称为 (A(t),B(t),C(t),E(t)) 的代数等价动态方程，
当且仅当存在 P(t)，使得
() () ()=xPxttt
三.经等价变换后系统的基本矩阵和状态转移矩阵
? 若 Ψ(t) 是 (A(t),B(t),C(t),E(t))的一个基本矩阵，则
P(t)Ψ(t)
( ( ),( ),( ),( ))ttttABCE
是 的一个基本矩阵；
? 若 Φ(t,t
0
)是 (A(t),B(t),C(t),E(t))的状态转移矩阵，则
P(t)Φ(t,t
0
)P
-1
(t
0
)
是 的转移矩阵。
( ( ),( ),( ),( ))ttttABCE
以上结论同样适应于时不变情形假定：
对所有t和某个正的常数T成立，这意味着A( ·)的每一个元均是具有相同周期T的周期函数。设 是的基本矩阵，则有：
四,具有周期A( ·)的线性时变动态方程
()()()()()ψ ψψ+= + += +
tT AtT tT At tT
因此,也是 的基本矩阵。矩阵函数 对所有t均为非奇异，因此 也是如此。
因此必然存在一个非奇异的常值矩阵Q，使得对于非奇异矩阵Q存在一个常值矩阵,使得 。
()()+ =AAtT t
()ψ t ()= xAtx
()ψ +tT
()ψ +tT
()ψ t
()=
xAtx
()()ψ ψ+ =tT tQ
A
=
AT
eQ
定理4-8,假定时变动态方程的A是周期的，且周期为T。按着下式定义P
则动态方程等价变换为：
1
() () () () ()
() () () () () ()
=+
xt xt PtBtut
yt CtP txt Etut
A
其中 是常值矩阵。称P(t)为李亚普诺夫变换。
1
() ()ψ
=
At
Pt e t
A
根据定义，离散系统方程的解为：
因此，状态转移矩阵为：
五,离散时间系统动态方程
(,) ( 1) ( 2).....,( )φ =km Ak Ak Am
在时不变情况下，离散时间系统采用传递函数矩阵
G(z)具有状态方程形式实现的充分必要条件是：G(z)
为z的正则有理矩阵。
( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1),.....+ ===xk Akxk AkAk xk
4.4 脉冲响应矩阵与动态方程
() ()
() ()
= +
=+
xAxBu
yCx u
tt
tEt
在 x(t
0
)=0时，动态方程的解为
0
() () (,)()() ()()
t
t
ttt dEtt=Φ +
∫
y CBu uττττ
[]
0
() (,) ( ) ()( ) ( )
t
t
tt Ett d=Φ +?
∫
CB uττ δτττ
() (,) ( ) ()( )
(,) (4 50)
0
Φ+?≥
=?
<
CB
G令
tt Ett t
t
t
ττ δτ τ
τ
τ
一,由动态方程到输入/输出描述因此有：
0
() (,) ( )yGu=
∫
t
t
ttdτττ
若一个系统可以用状态变量描述，容易得到其输入 —输出描述。相反的问题，即从系统的输入 —
输出描述求取状态变量描述则要复杂得多。
二,由输入/输出描述到动态方程（时变系统）
这里实际上包含有两个问题：
1).（存在问题） 是否可能从系统的脉冲响应阵获得状态变量描述？
2).（实现问题） 如果可能，怎样由脉冲响应阵求出状态变量描述？
:( (),(),(),())EA B CtttEt
定义,一个具有脉冲响应矩阵 的系统，若存在一个线性有限维的动态方程，
(,)t τG
(,)G t τ
(,)G t τ( ( ),( ),( ),( ))tttEtABC
与它具有相同的脉冲响应阵，则称 是可实现的，并称 是 的一个动态方程实现。
注：
1,系统的脉冲响应矩阵之动态方程实现中的状 态纯系一辅助变量,可能不具备任何物理意义。
2、动态方程实现只给出与该系统相同 的零状态响应。
若该动态方程并不处于零状态，则其响应可能与该系统毫无关系。
3、并非每一个 G(t,τ )都是可以实现动态方程描述。
定理4 —9,当且仅当 可分解为：
时，q × p脉冲响应矩阵 是能用(A( t),
B(t),C(t),E(t))形式有限维动态方程实现的。
(,)G t τ
(,)G t τ
(,) ()( ) () ( )=?+?≥GMNtEtt t tτδτ τ τ
其中E( t)是 q× p矩阵，M( t)和N( t)分别是 t
的 q× n和 n× p连续矩阵。
证明,必要性,设动态方程
:( (),(),(),())EA B CtttEt
(,)G t τ是 的一个实现，则有
1
(,) ()( ) () (,) ( )
()( ) () () ( ) ( )
=?+Φ
=?+ΨΨ
GCB
CB
tEtt tt
Et t t t
τδτ ττ
δτ ττ
其中 是 的基本矩阵。只要令
()tΨ
()xAxt=
-1
() () (),( ) ( ) ( )MCΨ N Ψ Bttt==τττ
就可以了。
充分性,若 G(t,τ)有的形式，构造下列 n维动态方程
(,) () ( ) () ( )tEtt t t=?+?≥GMNτδτ τ τ
容易验证上式是 G(t,τ)的一个实现。事实上，
() () ()
() () () () ()
=
=+
xNu
yMx u
ttt
tttEtt
0
() ()()xNu=
∫
t
t
tdτττ
0 (,)
() () () () ()
() { () ( ) ()( )} ( )
=+
=+?
∫
yMx u
yMN u
代入,有
t
t
t
t ttEtt
ttEt d
τ
τδτττ
G
证完。
可用下图模拟没有反馈的结构框图：
y
x
u
E(t)
M(t)N(t)
x
∫
()
(,) ( ) ( )
=?=?设
t
gt gt t e
λτ
τττ例：
易于得到
()
()
()
()() [ ]
=? =
ttt
t
e
gt t e e te
e
λτ
λτ λ λ
λτ
τ
τ
ττ
M
N
是 g(t,τ)的一个实现。当然，可能的实现不止一个。
一个脉冲响应矩阵可以有 维数相等或不等 的 多个动态方程实现。
三、由输入/输出描述到动态方程（时不变系统）
0
() ( )()
() () ()
yGu
yGu
=?
→=
∫
t
tt d
sss
L
τττ
E
= +
=+
xAxBu
yCx u
现假定已找到G( s) 的动态方程描述为则：
时不变系统的输入/输出描述为：
1
()
() ( )
det( )
=? += +
CIAB
GCIAB
IA
adj s
ss E E
s
定理4－10,G(s)可由有限维线性动态方程(A,B,C,D)
实现的充分必要条件是，传递函数矩阵G( s)是正则有理函数矩阵。
证明,必要性：
因为( sI?A) 的行列式是 s的 n次多项式,adj(sI?A)的每一个元是矩阵( sI?A)的 n?1阶子式，而这些子式都是次数至多为 n?1次的多项式。
充分性：1）正则有理函数都是可以实现的
2）正则有理矩阵都是可以实现的
1
()
() ( )
det( )
=? += +
CIAB
GCIAB
IA
adj s
ss E E
s
1） 正则有理函数都是可以实现的正则有理函数最一般形式为：
12 1
12
11
1
......()
()
()
......
++++
==+
++ +
1
＋
nn
nn
nn
nn
ss sys
gs e
us
ss s
ββ ββ
ααα
11
22
11
11
01 0
1 0
1
[(,,]
=+
=+
# %
#
# # #
" "
nnn n
nn
xx
u
xx
yxeu
αα α
ββ β
梅逊 (Mason)公式
2） 正则有理矩阵都是可以实现的假定G(s)是2x2矩阵：
11 12
21 22
() ()
()
() ()
=
gs gs
Gs
gs gs
并令下式是 g
ij
的一个实现，
=+
=+
ij ij ij ij j
ij ij ij j
xAxbu
yi e x e u
1
()
=?+
ij
g
ij ij ij ij
csIA b e
则下面的组合动态方程即为 G(s)的一个实现。
11 11 11 11
12 12 12 12 1
21 21 21 21 2
22 22 22 22
11
11112 121121
22122
22
=+
=+
xA xb
bu
xAx
x
ycc x eeu
c
x
4－10推理,脉冲响应矩阵G( t)可由有限维线性时不变动态方程(A,B,C,E)实现的充分必要条件是，G(t)的每一个元，都是形如的项（k＝0,1,2,…及i＝1,2,…）之线性组合，并可能包含在t=0时的δ -函数。
证明说明：
i
tk
te
λ
12
()
()
()()
=+
"
ij
kk
Ns
gs e
ssλλ
11 1 2 2 22
(),,,,
i
tttk ttkt
te te te e te te
λλλ λλ λ
δ " " "
取拉普拉斯逆变换,g
ij
(t)是下列各项的线性组合定理4－11,具有正则有理传递函数矩阵描述的系统，在时刻t
0
是松弛的，其充分必要条件是：对某个正实数ε而言，
意味着
00
00
[,]
[,]
0
y 0
+
+
=
=
tt
tt
u
ε
ε
作业：
4-3,4-4,4-9
4-19,4-25,4－ 29
4.1 引言
4.2 动态方程的解
4.3 等价动态方程
4.4 脉冲响应矩阵和动态方程
4.1 引言本章主要研究 动态方程的解,并以状态转移矩阵来表示动态方程的解。
然后提出 等价动态方程 的概念并证明一个时不变动态方程均具有矩阵为常值的等价动态方程,最后给出 动态方程和脉冲响应矩阵之间的关系 。
一、齐次方程的解
4.2 线性动态方程的解首先考虑一般的线性微分方程：
的解的性质。
0
0
() (),( )
,,()(()
×
=∈
∈=
n
n
ij n n
ttt
tat
Rx=A x+f x x
xf R A
定理,（解的存在和唯一性）设A及f的每个元素 a
ij
(t),f
i
均在 上连续，则对于任何 及任何常向量x
0
，方程恒有定义在整个 上的解x=x( t)，满足初值条件：
(,)?∞ +∞
0
(,)∈?∞ +∞t
(,)?∞+∞
0
0
()=xxt
并且方程也 只能有一个解满足 。
N N
11112 1 1
22
1
()
() () ()
() ()
=
"
%
# % # #
" "
n
nn n n
t
xatat atx
xx
xat atx
A
说明,=A( t)x 打开后的形式是：
x
因此，其解向量x( t) 必然属于 。称 是微分方程的一个解，系指：
\
n
()tΨ
() () ()=
AtttΨΨ
定理4－1,方程 dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，形成在实数域上的 n 维向量空间。
定理4－1包含以下两层意义,
a)解的集合组成线性空间；
b)解空间的维数是 n 。分成两部分证明：
1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解；
2）其任一解均可表成它们的线性组合。
证明：
a) 方程所有解构成线性空间：
任取 dx/dt=A(t)x的两个解 Ψ
1
,Ψ
2
，则对任意的实数 α
1
和 α
2
，有
11 2 2 11 2 2 1 1 2 2
11 2 2
( ) () ()
()( )
+=+= +
=+
AA
A
d
tt
dt
t
αα αα α α
αα
ΨΨ ΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ
0
() e
ii
t =Ψ (i=1，2,…,n)
()xAx=
t
时方程 的解。要证明，
是线性无关的 n个解。
12
,,,
n
"ΨΨ Ψ
()
i
tΨ
始条件是 n个线性无关的向量,是在初
12
,,,ee e
n
"
1)设
b)证明解空间的维数是 n：
12
[]0=? "
n
tΨΨ Ψα
反证法,若线性相关，必存在一个 n× 1非零实向量 α 使得
12
,,,
n
"ΨΨ Ψ
特别，当 t=t
0
时就有
12
00 0
12
[() () ()]
[]ee e
n
n
tt t
==
"
"
ΨΨ Ψα
α
12
,,,ee e
n
"
上式意味着向量组 线性相关，这与初始假设矛盾。矛盾表明
(,)?∞+∞
在 上线性无关。
12
(),(),() "
n
tt tΨΨ Ψ
的任一解。 e 显然可唯一地被 线性表出：
12
,,,ee e
n
"
2) 证明 dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性组合,即解的集合组成了 n维线性空间。
12
1
ee e e e
=
=+++ =
∑
"
n
ni
i
aa a a
0
() et =Ψ
Ψ
令是方程 dx/dt=A(t)x满足初条件
1
()
=
∑
n
i
i
i
atΨ容易验证,是方程 dx/dt=A(t)x满足初值条件
0
11
()
==
= =
∑∑
nn
ii
ii
at aΨ ee
的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一个。故必有
1
() ()
=
=
∑
n
i
i
i
tatΨΨ证完。
12
() () ()] (),(,)= ∈?∞ +∞ "
n
tt ttt[ΨΨ Ψ Ψ
定义4 —1,以方程 的 n 个线性无关解所构成的矩阵
() tx=A x
二、基本矩阵与状态转移矩阵
1、基本矩阵称为方程 的基本矩阵或基本解矩阵。
基本矩阵是不唯一的。
() tx=A x
0
()
()=
t
tH
=AΨΨ
Ψ
其中,H为某个非奇异常量矩阵。
根据定义，基本矩阵具有如下性质,
() 0≡tΨ
证明,显然，是方程的一个解；又已知
() 0,≡tx
0
() 0=tΨ
由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有
() () 0≡ =ttxΨ
证完。
命题：
若 是微分方程 的一个解，且对某个
t
0
，有,则
()tΨ () tx=A x
0
() 0=tΨ
证明,反证法。设对某一个 t
0
，使得基本矩阵为奇异阵。于是，存在非零实向量 α,使得
0
()tΨ
12
00 0 0
1
() () ()] () 0
=
==
∑
"
n
ni
i
i
tt t at[ΨΨ ΨαΨ
由于 是微分方程的一个解，故由以上命题知
0
1
() 0
=
=
∑
n
i
i
i
atΨ
1
() 0,
=
≡?
∑
n
i
i
i
at tΨ
这与基本矩阵的定义相矛盾。 证完。
定理4－2,方程 的基本矩阵对于中的所有 t 均为非奇异矩阵。
()
tx=A x
(,)?∞+∞
推理,若均为dx/dt=A(t)x的基本矩阵，则存在 n× n非奇异实常量矩阵 C，使得
12
、ΨΨ
12
() ()ΨΨCtt=?
证明,根据基本矩阵的性质即可证明。
()tΨ定义4 —2,令 是 的任一基本矩阵，对所有 (-∞，∞ )中的 t,t0，称
( )
1
00
,()()
=tt t tΦΨΨ
是 的状态转移矩阵。
状态转移矩阵具有下列重要性质：
( )
() ()
()()()
11
00 0
20 21 10
1.,
2.,( ) (),
3.,,,
=
==
=
Φ I
ΦΨΨΦ
ΦΦΦ
（）
（）
（）
tt
tt t t t t
tt tt tt
2、状态转移矩阵
()
tx=A x
()
tx=A x
1
0
0
1
00
00
(,)
(() ()
() () ( ) () (,)
(,)
ψψ
ψψ
=
==
=
Φ
AAΦ
Φ I
dtt d
tt
dt dt
tt t ttt
tt
证明 是矩阵微分方程的唯一解：
( )
0
,Φ tt
(4),由基本矩阵的性质
0
0
00
(,)
() (,)
(,)
=
=
Φ
A Φ
Φ I
dtt
ttt
dt
tt
(5),齐次方程 dx/dt=A(t)x在初始条件 下的解为：
0
0
()=xxt
( )
0
0
(),ttt=x Φ x
证明,x(t)总可以表示为,
() () 0x Ψα,αtt= ≠
特别，
00 00
() () ()()
-1
x ΨααΨ xtt tt=?=
将其代入上式，就是所要证明的。
(6),由 A(t)唯一确定，且与具体所选择的无关。
证明,设、是 dx/dt=A(t)x的两个不同的基本矩阵。 P为非奇异实常值矩阵，使得：
由此可以看出 与所选择的基本矩阵无关，只与系统本身特性有关，是唯一的。
( )
0
,Φ tt
()
0
,Φ tt ()tΨ
()t
2
Ψ()t
1
Ψ
() ()ttP=
21
ΨΨ
()
111
00 0
1
0
,()( ()) () ( ())
()( ( ))
tt t t tPP t
tt
=
=
22 1 1
11
Φ =ΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ
( ) ( )
00 0 0
() ;,,0,ttt tx Φ x=Φ x
根据上面的讨论可直接得出 的解。
为更明确起见，用Φ(t;t
0
,x
0
,0)表示由初始条件x(t
0
)=x
0
引起的 在时刻t的解。Φ的第四个自变量表示了u≡ 0这一事实。 及
x(t
0
)=x
0
之解为：
()
tx=A x
()
tx=A x
()
tx=A x
故 可看作一个线性变换，它将 t
0
时的状态x
0
映射到时刻 t 的状态x( t)。 事实上，状态转移矩阵是唯一的，即状态转移矩阵与基本矩阵的选取无关。
()
0
,Φ tt
三、非齐次方程的解用 Φ(t;t
0
,x
0
,u)表示在时刻t由初始状态x(t
0
)=x
0
及施加输入u共同导致的状态。
1,时变线性系统的解定理4 —3,状态方程
00
() ()
()
tt
t
= +
=
xAxBu
xx
的解由下式给出：
()
0
00
(),(,) ()() 4 10
t
t
ttt t dττττ=Φ + Φ
∫
xxBu－
()
00
,ttΦ x
是初值x
0
的线性函数，称为 零输入响应
0
(,)()()Φ Bu
t
t
td
∫
ττττ
是外作用u的线性函数，
称为 零状态响应其中,
定理4 —3,证明
()
0
00
(),(,) ()() 4 10
t
t
ttt t dττττ=Φ + Φ
∫
xxBu－
()
()
[ () ]
0
0
0
00
00
00
(),(,) ()()
(),(,) ()()| (,) ()()
(),(,) () () () ()
() () () ()
t
dd d
dt dt dt
t
t
d
t dt
t
t
t
ttt t d
A ttt t t d
At tt t d t t
At t t t
τ
ττττ
τ ττ ττττ
ττττ
=
=Φ + Φ
=Φ +Φ +Φ
=Φ +Φ +
=+
∫
∫
∫
xxBu
xBu Bu
xBuBu
xBu
()
0
0
0000 0 00
( ),(,) ()() 0
t
t
ttt t dIττττ=Φ+Φ =+=
∫
xxBuxx
考虑4－10式，若u≡ 0，则 4－ 10式可以简化为：
( )()
00 0 0
() ;,,0,xt tt tt=Φ =Φxx
若x
0
≡ 0，则 4－ 10式可以简化为：
()
0
0
() ;,0,(,) ( ) ( )
t
t
x tttu t dτ τττ=Φ = Φ
∫
Bu
4－ 10式可以简化为：
( ) ( ) ( )
00 00 0
() ;,,;,,0 ;,0,x tttut tu=Φ =Φ +Φxx
上式表明,线性状态方程的响应总能分解成零状态响应和零输入响应。
推论4 —3 动态方程的输出为：
()
0
0
0
() (),() (,) ( ) ( ) () ()
(1 16)
t
t
ttt tt dEtt=Φ + Φ +
∫
yC x C Bu uττττ
:(,)()(,)()()()
:(,)0
≥=Φ+?
<=
GC B
G
ttttEtt
tt
ττ ττδτ
ττ
2,输入输出关系特别，若 x(t
0
)=0，可得到脉冲响应矩阵：
这里利用了脉冲函数的采样特性。
其中A、B、C和D分别为 n× n,n× p,q× n和 q× p
的实常量矩阵。由对应的齐次方程可得：
E
= +xAxBu
y=Cx+ u
3,线性时不变动态方程的解线性时不变系统动态方程：
基本矩阵为:
t
e
A
状态转移矩阵,
( ) ( )
00
()1
00
,()
AAA
ΦΦ
===?
tttt
tt e e e t t
tt
d
eAe
dt
=
AA
0
0
() ()
0
() ( ) ()
t
tt t
t
te e dEt
=+ +
∫
A A
yC x C Bu u
τ
ττ
通常假定 t
0
=0，这时则有
()
0
() (0) ( ) 4 21
t
tt
te e d
=+?
∫
AA
xx Bu
τ
ττ
()
0
( ) (0) ( ) ( ) (4 22)
t
tt
te e dEt
=+ +?
∫
AA
yCx C Bu u
τ
ττ
0
0
() ()
0
() ( )
t
tt t
t
te e d
=+
∫
A A
xx u
τ
ττ
定理4－4,线性时不变动态方程的解为：
()
() ()
t
tteEt
≥?= +?
A
GCB
τ
ττ δτ
(,) 0Gtt< =ττ
对应的脉冲响应矩阵或更通常地写为对应的传递函数阵
1
() ( ) (4 26)ss E
=? +?GCIAB
() (),0 (4 23)
t
te Ettδ=+ ≥?
A
GCB
这是一个有理函数矩阵。
4,矩阵指数函数的性质
1）在t=0的值：
t
e
A
t
e
A
0
lim
t
t
eI
→
=
A
2） 相对时间变量分解的表达式：
)tt t
eeeee
τττ+
==
A( A A A A
t
e
A
3） 的逆：
1
()
t
ee
τ?
=
A-A
t
e
A
4）对t的导数：
ttt
d
eAeeA
dt
==
AA
t
e
A
5）逆对 t的导数,积的关系等略
t
e
A t
e
A
5,矩阵指数函数的算法
t
e
A
1）利用定义（书上定义 2－ 16,P40）
2）利用 A的约当标准形计算
[]
1
12
1
t
t
t
n
e
eP P
e
P
PAP
λ
λ
ν νν
λ
λ
=
=
=
1
n
A
1
n
%
"
%
P由A的各个特征值的右特征向量组成
22 33
11
23
t
eIAt At At=+ + + +
!!
A
"
3) 利用无穷级数计算：
1
11
()( )
()
t
t
L esIA
eLsIA
=?
=?
A
A
4）利用 sI-A计算
(sI-A)
－ 1
的计算：
例：解状态方程（P111例3)
11
22
01 0
12 1
xx
u
=+
1
1
2
1
1
)
12 121
ss
IA
ss
s
s
+
= =
+ ++
+?
++
=
++
22
22
-
(s
21
(s 1) (s 1)
1
(s 1) (s 1)
解：
1
()
()
tt
t
tt
s
ee
eL
s
ee
+?
+?
++
==
++
22
A
22
21
1t t(s 1) (s 1)
1
t1t
(s 1) (s 1)
()
0
() ()
() ()
() (0) ()
()
(0)
()
(() ( 0
()
1
()
t
tt
tt
tt
tt
te e d
ee
ee
ee
d
τ
ττ
ττ
ττ
τ τ
=+
+?
=
+?
+
∫
∫
AA
t
0
xx Bu
1t t
x
t1t
1t- t-
u
(t- ) 1 t- )
）
（
4.3 等价动态方程例：（P113例1) 网络的动态方程描述
[]
11 1
22 2
01 1
01
11 0
x xx
uy
x
=+=
[]
11 1
22
2
11 1
11
10 1
x
uy
x x
x
=+=?
(4 32)E
+
=+?
x=Ax Bu
yCx u
定义4-3 线性时不变方程称为原系统(A,B,C,E) 的 等价动态方程,当且仅当存在 非奇异矩阵P,使得
4.3 等价动态方程
=xPx
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
（ 4-33）
一,时不变系统的等价动态方程称P为 等价变换 。
动态方程是等价动态方程的必要条件是它们的 维数相同和传递函数阵相同 。但反之未必成立。
定义4－4,两个线性动态方程，当且仅当他们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数矩阵时，称为是 零状态等价 的。两个线性动态方程，
当且仅当相应于一个方程中的任一初始状态，在另一方程中存在一个初始状态与之对应，并使得二个方程有相同的零输入响应，且反之亦然时，
该两个方程被称为是 零输入等价 的。
定理4－5,两个等价的线性时不变动态方程是零状态等价和零输入等价。
证,设两个方程的脉冲响应矩阵是：
() ()
t
te Etδ=+
A
GCB
() ()
t
te Etδ=+
A
GCB
因两方程是等价的，则必有：
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
11
() () ()
ttt
Ce B E t CP Pe P PB E t Ce B E tδ δδ
+= +=+
AAA
0
)
() (0)
tt
te
=
A(
yC x
00
))1
() (0) (0)
tt tt
te eP
==
A( A(
yC x C x
若,则方程是零输入等价的。
1
(0) (0)P
=xx
因此是零状态等价的。
注：
虽然等价性包含零状态等价性和零输入等价性，但反之则不然。
两个线性动态方程可以是零状态等价和零输入等价，但二者不一定等价。
此外，两个线性方程也可以是零状态等价，
但不是零输入等价。
两个动态方程等价的必要条件是二者有相同的维数。
例：
零状态等价零输入等价但动态方程不等价零状态等价不是零输入等价但动态方程不等价若动态方程中的矩阵A为约当形，则称该方程为约当形动态方程。每个将 映射至其本身的算子都具有约当形矩阵表示。因此，每个线性时不变动态方程都具有等价的约当形动态方程。
例,给出下面方程的约当形动态方程。
(,)
n
11
22
33
1
1
112 10
100
013 32
122
002 12
105 10 5
013 01 3
001 001
xx
uy
xx
PQ
=+=
== =?
1
1
1
22
2
3
3
1
1
1
2
2
3
110 610
010 68
002 12
105
0313
x
x
u
xx
u
x
x
x
y
x
y
x
=+
=
-1
A=PAP
B=PB
-1
C=CP
E E=
将上式代入上面的方程得定理4－6,两个维数不一定相同的线性时不变动态方程,为零状态等价，或者说具有相同的传递函数之充分必要条件是：
ii
CA B CA B i "＝ ＝0，1，2
{}
{ }
,,,,,,A BCE ABCE和
EE=
() ()
() () (4 38)
=+
=+?
xA xBu
yCx u
tt
tEt
设线性时变系统的动态方程为二,时变系统的等价动态方程
() () ()xPx=ttt
其中P(t)是定义在(-∞,∞)上的n x n矩阵，并假设P(t)和P
－1
(t)对所有t都是非奇异和连续的。则下面的动态方程等价于4－38式。
() ()
( ) ( ) (4 39)
tt
tEt
=+
=+?
xAxBu
yCx u
() () () () ()
-1
APAPPttttt
=+
() () ()BPBttt=
1
() () ()CCPttt
=
() ()Et Et=
（ 4－ 40）
定义4 —5,动态方程称为 (A(t),B(t),C(t),E(t)) 的代数等价动态方程，
当且仅当存在 P(t)，使得
() () ()=xPxttt
三.经等价变换后系统的基本矩阵和状态转移矩阵
? 若 Ψ(t) 是 (A(t),B(t),C(t),E(t))的一个基本矩阵，则
P(t)Ψ(t)
( ( ),( ),( ),( ))ttttABCE
是 的一个基本矩阵；
? 若 Φ(t,t
0
)是 (A(t),B(t),C(t),E(t))的状态转移矩阵，则
P(t)Φ(t,t
0
)P
-1
(t
0
)
是 的转移矩阵。
( ( ),( ),( ),( ))ttttABCE
以上结论同样适应于时不变情形假定：
对所有t和某个正的常数T成立，这意味着A( ·)的每一个元均是具有相同周期T的周期函数。设 是的基本矩阵，则有：
四,具有周期A( ·)的线性时变动态方程
()()()()()ψ ψψ+= + += +
tT AtT tT At tT
因此,也是 的基本矩阵。矩阵函数 对所有t均为非奇异，因此 也是如此。
因此必然存在一个非奇异的常值矩阵Q，使得对于非奇异矩阵Q存在一个常值矩阵,使得 。
()()+ =AAtT t
()ψ t ()= xAtx
()ψ +tT
()ψ +tT
()ψ t
()=
xAtx
()()ψ ψ+ =tT tQ
A
=
AT
eQ
定理4-8,假定时变动态方程的A是周期的，且周期为T。按着下式定义P
则动态方程等价变换为：
1
() () () () ()
() () () () () ()
=+
xt xt PtBtut
yt CtP txt Etut
A
其中 是常值矩阵。称P(t)为李亚普诺夫变换。
1
() ()ψ
=
At
Pt e t
A
根据定义，离散系统方程的解为：
因此，状态转移矩阵为：
五,离散时间系统动态方程
(,) ( 1) ( 2).....,( )φ =km Ak Ak Am
在时不变情况下，离散时间系统采用传递函数矩阵
G(z)具有状态方程形式实现的充分必要条件是：G(z)
为z的正则有理矩阵。
( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1),.....+ ===xk Akxk AkAk xk
4.4 脉冲响应矩阵与动态方程
() ()
() ()
= +
=+
xAxBu
yCx u
tt
tEt
在 x(t
0
)=0时，动态方程的解为
0
() () (,)()() ()()
t
t
ttt dEtt=Φ +
∫
y CBu uττττ
[]
0
() (,) ( ) ()( ) ( )
t
t
tt Ett d=Φ +?
∫
CB uττ δτττ
() (,) ( ) ()( )
(,) (4 50)
0
Φ+?≥
=?
<
CB
G令
tt Ett t
t
t
ττ δτ τ
τ
τ
一,由动态方程到输入/输出描述因此有：
0
() (,) ( )yGu=
∫
t
t
ttdτττ
若一个系统可以用状态变量描述，容易得到其输入 —输出描述。相反的问题，即从系统的输入 —
输出描述求取状态变量描述则要复杂得多。
二,由输入/输出描述到动态方程（时变系统）
这里实际上包含有两个问题：
1).（存在问题） 是否可能从系统的脉冲响应阵获得状态变量描述？
2).（实现问题） 如果可能，怎样由脉冲响应阵求出状态变量描述？
:( (),(),(),())EA B CtttEt
定义,一个具有脉冲响应矩阵 的系统，若存在一个线性有限维的动态方程，
(,)t τG
(,)G t τ
(,)G t τ( ( ),( ),( ),( ))tttEtABC
与它具有相同的脉冲响应阵，则称 是可实现的，并称 是 的一个动态方程实现。
注：
1,系统的脉冲响应矩阵之动态方程实现中的状 态纯系一辅助变量,可能不具备任何物理意义。
2、动态方程实现只给出与该系统相同 的零状态响应。
若该动态方程并不处于零状态，则其响应可能与该系统毫无关系。
3、并非每一个 G(t,τ )都是可以实现动态方程描述。
定理4 —9,当且仅当 可分解为：
时，q × p脉冲响应矩阵 是能用(A( t),
B(t),C(t),E(t))形式有限维动态方程实现的。
(,)G t τ
(,)G t τ
(,) ()( ) () ( )=?+?≥GMNtEtt t tτδτ τ τ
其中E( t)是 q× p矩阵，M( t)和N( t)分别是 t
的 q× n和 n× p连续矩阵。
证明,必要性,设动态方程
:( (),(),(),())EA B CtttEt
(,)G t τ是 的一个实现，则有
1
(,) ()( ) () (,) ( )
()( ) () () ( ) ( )
=?+Φ
=?+ΨΨ
GCB
CB
tEtt tt
Et t t t
τδτ ττ
δτ ττ
其中 是 的基本矩阵。只要令
()tΨ
()xAxt=
-1
() () (),( ) ( ) ( )MCΨ N Ψ Bttt==τττ
就可以了。
充分性,若 G(t,τ)有的形式，构造下列 n维动态方程
(,) () ( ) () ( )tEtt t t=?+?≥GMNτδτ τ τ
容易验证上式是 G(t,τ)的一个实现。事实上，
() () ()
() () () () ()
=
=+
xNu
yMx u
ttt
tttEtt
0
() ()()xNu=
∫
t
t
tdτττ
0 (,)
() () () () ()
() { () ( ) ()( )} ( )
=+
=+?
∫
yMx u
yMN u
代入,有
t
t
t
t ttEtt
ttEt d
τ
τδτττ
G
证完。
可用下图模拟没有反馈的结构框图：
y
x
u
E(t)
M(t)N(t)
x
∫
()
(,) ( ) ( )
=?=?设
t
gt gt t e
λτ
τττ例：
易于得到
()
()
()
()() [ ]
=? =
ttt
t
e
gt t e e te
e
λτ
λτ λ λ
λτ
τ
τ
ττ
M
N
是 g(t,τ)的一个实现。当然，可能的实现不止一个。
一个脉冲响应矩阵可以有 维数相等或不等 的 多个动态方程实现。
三、由输入/输出描述到动态方程（时不变系统）
0
() ( )()
() () ()
yGu
yGu
=?
→=
∫
t
tt d
sss
L
τττ
E
= +
=+
xAxBu
yCx u
现假定已找到G( s) 的动态方程描述为则：
时不变系统的输入/输出描述为：
1
()
() ( )
det( )
=? += +
CIAB
GCIAB
IA
adj s
ss E E
s
定理4－10,G(s)可由有限维线性动态方程(A,B,C,D)
实现的充分必要条件是，传递函数矩阵G( s)是正则有理函数矩阵。
证明,必要性：
因为( sI?A) 的行列式是 s的 n次多项式,adj(sI?A)的每一个元是矩阵( sI?A)的 n?1阶子式，而这些子式都是次数至多为 n?1次的多项式。
充分性：1）正则有理函数都是可以实现的
2）正则有理矩阵都是可以实现的
1
()
() ( )
det( )
=? += +
CIAB
GCIAB
IA
adj s
ss E E
s
1） 正则有理函数都是可以实现的正则有理函数最一般形式为：
12 1
12
11
1
......()
()
()
......
++++
==+
++ +
1
＋
nn
nn
nn
nn
ss sys
gs e
us
ss s
ββ ββ
ααα
11
22
11
11
01 0
1 0
1
[(,,]
=+
=+
# %
#
# # #
" "
nnn n
nn
xx
u
xx
yxeu
αα α
ββ β
梅逊 (Mason)公式
2） 正则有理矩阵都是可以实现的假定G(s)是2x2矩阵：
11 12
21 22
() ()
()
() ()
=
gs gs
Gs
gs gs
并令下式是 g
ij
的一个实现，
=+
=+
ij ij ij ij j
ij ij ij j
xAxbu
yi e x e u
1
()
=?+
ij
g
ij ij ij ij
csIA b e
则下面的组合动态方程即为 G(s)的一个实现。
11 11 11 11
12 12 12 12 1
21 21 21 21 2
22 22 22 22
11
11112 121121
22122
22
=+
=+
xA xb
bu
xAx
x
ycc x eeu
c
x
4－10推理,脉冲响应矩阵G( t)可由有限维线性时不变动态方程(A,B,C,E)实现的充分必要条件是，G(t)的每一个元，都是形如的项（k＝0,1,2,…及i＝1,2,…）之线性组合，并可能包含在t=0时的δ -函数。
证明说明：
i
tk
te
λ
12
()
()
()()
=+
"
ij
kk
Ns
gs e
ssλλ
11 1 2 2 22
(),,,,
i
tttk ttkt
te te te e te te
λλλ λλ λ
δ " " "
取拉普拉斯逆变换,g
ij
(t)是下列各项的线性组合定理4－11,具有正则有理传递函数矩阵描述的系统，在时刻t
0
是松弛的，其充分必要条件是：对某个正实数ε而言，
意味着
00
00
[,]
[,]
0
y 0
+
+
=
=
tt
tt
u
ε
ε
作业：
4-3,4-4,4-9
4-19,4-25,4－ 29
