第六章 不可简约实现,严格系统等价和辨识
6.1 引言
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
6.3 正则有理函数的不可简约实现
6.4 多变量系统的实现
s
∧
∧
∧
具有指定有理矩阵G(s)的线性时不变动态方程称为G( )的实现。
每个可实现的传递函数矩阵G(s)有无限多个线性时不变动态方程实现。
具有最小可能维数的实现是既可控又可观测的动态方程，即不可简约动态方程实现称为不可简约实一、什么是 统现或最小维 。
实现？
数实现系
6.1 引言
1,标准形可以显然、简洁的方式反映系统的可控性、可观测性或其它性质；
二、为什么要研究标准形和最小实现？
2,利用标准形有时会极大简化控制律的设计。例如在动态输出反馈控制律设计、一些自适应控制系统的控制律设计中，由于仅输出状态可测量，往往采用一些标准形作为控制律设计的基础，从而使控制律的设计尽可能简化；
3,最小实现可以避免对系统可控性和可观测性的讨论，简化分析和控制器设计。当然，在系统分析时，有时也需要用到非最小实现。
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
1
1
,,
det( ) ( ( ) )
dim( ) deg ( )
nn n
n
xxu
yu
sI A k g s
Ags
××
×
=+ ∈ ∈
=+ ∈ ∈
=
=
Ab AR bR
cx e c R e R
设单变量时不变线性动态方程是正则有理函数g(s)的一个实现。则当且仅当的分母或时，方程才是不可简约的（可控且可观测的）。
定理6-1,
证明：（略）
Det,deg和dim分别代表行列式、次数和维数
61:
δ
∧
∧∧
正 理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母定义为G(s)的特征多项式,G(s)的特征多项式的次数定义为G(s)的次数，并记为 G
定则有义
(s)。
222
11
1( 1)( 2) 3
11 1
1( 1)( 2)
111
(1)( 2)(1)( 2)(1)( 2)(1)( 2)
14
(1) (1)(3)(1)(3)
1
(
s
sss s
G
sss s
G
ss
ssss ss ss
sss s s s
ss
∧
∧
×
++++
=
+++
+
+==
+ +++ ++ ++
+
+=
+++
+
23例2 设有 有理函数矩阵如下，求其次数。
(s)
(s)的一阶子式是它的各个元素项，其二阶子式有三个，
分别为：
13
1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
( ) ( 1)( 2)( 3).
() 4
s sss s ss
Gs ss s s
Gsδ
∧
∧
=
++++ +++
+++
=
因此,的特征多项式是
det det
de
6
t
1
∧
∧
∧
∧
-1 -1
rr l l
rr ll
rl
rl
正则有理矩阵
G(s)=N (s)D (s)=D (s)N (s)
并假设N (s)和D (s)右互质，而D(s)和N (s)左互质。
于是G(s)的特征多项式定义为
D (s)或 D(s)
且G(s)的次数定义为
degG(s)=degdetD (s)=deg D(s)
其中degdet表示行列式定义 ’：
的次数。
.
det( ) ( )
dim deg
XAxBu
yCxEu
sI A k
A
∧
∧
∧
=+
=+
=
=
设线性多变量时不变动态方程是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当
G(s)的特征多项式或G(s)
时，方程FE才是不可简约的（可控且可观测的）,
其中k为非零常数。
定理6-2：
证明,（略）
6.3 正则有理函数的不可简约实现
1
1
,,Ab AR bR
cx e c R R
nn n
n
xxu
yu e
××
×
=+ ∈ ∈
=+ ∈ ∈
A的特征多项式为:
系统的可控和可观测矩阵为：
一、单变量系统的标准形
12
12
() det( )
Δ=?=+ + ++IA "
nn n
n
ss sasas a
1
1
[],
nnn n
n
××
=∈=∈
c
cA
UbAbAbR V R
cA
"
#
12 1
121
01 000 0
0
00 001 0
1
[]
=+
=+
# # # % # #
"
"
nn n
nn
xxu
aa a a
yxeuββ ββ
定理,设线性时不变单变量系统可控，则可通过等价变换将其变成如下所示的可控标准形：
1,可控标准形实现方程的传递函数为：
12
12
1
11
()
nn
n
nn
nn
ss
gs
s as a s a
β ββ
+++
=
+ ++ +
"
"
?求可控标准形的方法一：先求变换阵 P
1
1) [
n?
U= b Ab A b]; "计算可控性矩阵
1
2) ;
Uh计算,并记其最后一行为
2
1
3)
h
hA
P hA
hA
n
nn
×
=
#
给出变换阵：
11
4),,
===APAPbPbccP由 即可求出变换后的系统状态方程。
22
11
12 1
01
10
1
0
1
A
P
hh
hA hA
A=hA hA
hA hA
nn
nn n
aa a a
%
# #
"
其中，
21
12 1
(
nn n
aa a a
=
hA h hA hA hA "
凯莱 哈密尔顿定理）
1?
=UU I另一方面，注意到因此有
2
1
0
0
0
1
n?
∴
P
h
hA
b=Pb= b=hA
hA
# #
1
100
[]0
01
n?
×
=
bAb A b I=
h
# " #
"
21
0,0,0,1
nn
== = =hb hAb hA b hA b ",
P为证明 为可逆阵，只要证明对任意给定的
2
1
0
n
α α
= =
h
hA
P hA
hA
#
P这样构造的 是否可逆？：问题
1
12
0
n
n
αα α
+ ++ =hhA hA "
12
[]
n
= "αααα
即可。
为此，假设
b用 右乘上式，并考虑到
0
n
α =Ab用 右乘（*）式，并考虑到,有
1
12
0(*)
n
n
α αα
+++ =hhA hA "
21
0,0,0,1
nn
== = =hb hAb hA b hA b,
有
0;
n
=α
1
0
=
#
n
α
依次类推，有
0
i
=?≡0αα
12 1
23
1
1
1
10
[] 00
10
10 0
=
PbAbAb
"
"
" #
-1
nn
nn
n
aa a
aa
a
12
12
det( )
nn n
n
s sas as a
=+ + ++IA "注意到
?求可控标准形的方法二：先求变换阵 P
1
1),令基底为：
12
[]qq q
n
= "
2
1
11 2
2
12 12
()
=+ ++
=+ ++ =+
q
qbAbAb
qA b Ab qAq
"
"
n
nn
n
nn n nn
aa
aa a
而
n
=qb
依次，我们有最后，由
考虑到凯莱 哈密尔顿定理，我们有
3
2
22 3
3
23 23
()
n
nn
n
nn n nn
aa
aa a
=+ ++
=+ ++=+
q
qbAbAb
qA b Ab qAq
"
"
32 2nn
a
=?Aq q q
-1
,1,2,,1,
+
=?q= q +Aq "
inin i
ain
1
11 2
=+ ++qbAbAb "
n
nn
aa
1+?
=?Aq q q
iinin
a
21
11 2 1
=+ +++=?Aq Ab A b A b A b q "
nn
nn n
aa a a
1
12 1 2
[][ ]
nn
==AP A q q q Aq Aq Aq " "
因此，
其中，用到了关系：
12
12 1
01 000
[]
00 001
=
A
qq q " # # # % #
"
n
nn n
aa a a
111
=APAP AP=PA
1
1
,1,2,,1;
iinin
nn
ai n
a
+?
=?=?
=?
Aq q q
Aq q
"
2）因
1
121
3 []) ccP
nn
== "ββ ββ
1?
=?=bPb bPb
N
12 1
23
1
1
10
100
[] 000
10
10 01
=
b
bAb A b
"
"
" # $ $
#
nn
nn
n
aa a
aa
a
：讨论
1
1
12 1
23
12
1
1
1
10
[] 00
10
10 0
==
P
h
hA
PbAbAbhA
hA
"
$
" # $ $
#
nn
nn
n
n
aa a
aa
a
P由变换阵的唯一性可给1,出) 为：
变换阵的唯一性：2).
则必有证 事实上，明：
2
,Ab P P
1
设(,)可控，若有满秩线性变换阵 和使得命：题
1
11 1
1
22 2
,;
,
==
==
APAPbPb
APAPbPb
2
PP
1
=
(1) (1)
1
[][]
nn
=bAb A b P bAb A b " "
1
12
()0
=IPP
证完。
1(1)
12
[]
n
= PP bAb A b "
2
PP
1
=。
22 1 0
020 1
140 1
x xu
=? +
解,先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。
例题,设系统状态方程为试将系统状态方程化为可控标准形。
2
03 14
124
141
det 0,
==
≠
UbAbAb
U 故系统可控。
此时标准形中的系统矩阵的最后一行的系数其实就是 A阵特征式的系数，但符号相反。
现根据前述方法构造变换矩阵 P
[]
1
210
522 211
211
=? =?
Uh
1
211 210
32 2 121
423 201
= =
PP
则变换矩阵为
2
=
h
PhA
hA
即
1
211221210
32 20 20 121
423140201
010
001
254
==
=
APAP
32
det( 4 5 2s sss? =+ ++IA)
2110 0
32 21 0
4231 1
== =
bPb
定理,设线性时不变单变量系统可观测，则可通过等价变换将其变成如下所示的可观测标准形：
11
21
11
00 0
10 0
01 0
00 1
[0 0 0 1]
=+?
=+
"
"
"
# # # # #
"
nn
nn
nn
a
a
xua
a
yxeu
β
β
β
β
一个单输出系统如果其 A,c 阵有如上的标准形式，它一定是可观测的，可以通过 PBH检验立即看出。
2,可观测标准形实现现在通过对偶原理来找出将系统化为可观测标准形的变换矩阵。
,()xxuyx=+ =Ab c I
,xxuy x=+ =Ab c
式中 具有可观标准形的形式。构造步骤如下,
,cA
给定系统方程如下目的是要将其化为可观测标准形
2,写出原系统
1,计算可观测性矩阵，若系统可观测，可以化为可观测标准形。
用对偶原理求可观标准形步骤：
,()=+ =Ab c I
xxuyx
的对偶系统：
,()=+ =Ac b I
TT T
zzuwz
3,对系统 (II)，求将其化为 可控标准形 的变换阵
P：
11
111
TTT
===APAP bPc cbP，，
转置处理后有：
N
1
1
()
TT T?
=
A
APAP
令
MP
T
=进而，令 ；4.
,,Abc)则( 就是可观测标准形。
N
1
1
()
TT?
=
b
cPb
N
1
TT
=
c
bcP
1
1
,()AA b P b,ccP
TT T?
== =
从以上各个步骤可以看出，求等价变换阵的核心实际上是求对偶系统的 可控标准形 的 P阵。 P阵一旦求出，则根据以上步骤 4,5立即可得到原系统的可观标准形。
11
===AMAM bMb ccM5,根据则可求出可观标准形。
1,Luenberger 可控标准形定理,设上述系统可控，则存在等价变换将其化为下式所示的可控标准形。
二、多变量系统的标准形
x xu
yxu
= +
=+
AB
CE
其中
xxu
yxu
= +
=+
AB
CE
考虑多变量系统
11 12 1 1
21 22 2
1
p
p pp p
==
AA A B
AA B
AB
AAB
" "
" "
# % #
#
这里 分别是 的矩阵。
,,
ii ij i
AAB
,,iii jipμ μμ μμ× ××
01 0 0 0 0 0
01 00 0 0 0
01000
1
0
0
ii ij i
===
×× ×× × ××× ××
A AB
" "
# % # " # # #
" "
" " "
0 0
01 00 00 0
0
1
0 0010000
0
1000
00 000 0 01 0
0 000 0 1
×××××××××
×××××××××
=
×××××××××
A
"
%
"
%
"
# # # # # #
" "
%
" "
1
μ
2
μ
p
μ
1
=
∑
p
i
nμ
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
1?
C=CP
没有任何特点
1
μ
2
μ
p
μ
下面介绍变换的具体做法。
2）,列出可控性矩阵：
按上面的排列顺序，自左向右挑选出 n个线性无关向量，再重新排列如下：
12
11 1
11 12 2 2
bAb A bbAb A b b Ab A b " " " "
P
pp p
μμ μ
显然有
1）,不失一般性，假设 B=[b
1
b
2
,……b
p
]列满秩；
1
11 1
12 1 2 1 2
[]
n
nn n
pp p
=
BAB
AB
U b b b Ab Ab Ab A b A b A b " " " "
12
+ ++= "
p
nμμ μ
注意：
12
1
1
11 1
11 12 2 2
[]
P
p
pp p
=P
bAb A bbAb A b b Ab A b " " " "
令
μμ μ
μ
3).
12 11+
=++++
22
A b Ab Ab Ab A b "
#
212 ppp
αα α α
Ab
2
这说明 一定可以由它前面的向量线性表出。
k
Ab b b b Ab "
212p1
若某一向量，例如 可由,,,,线性表出，即
12 11pp+
=+++ +Ab b b b Ab "
212 p
αα α α
1,≥Ab
2
则所有,均不会被选到。这是由于
k
k
4）,求出 P
1
，以 h
i
表示 P
1
阵的 112
1
+
∑
"、、及行，
p
i
μμμ μ
1
1
p
×
×
×
=
×
×
h
P
h
#
#
#
1
μ
p
μ
#
1
μ 行
1
p
i
nμ
∑
=第 行
11
22 2 2
,,
===A P AP B P B C CP
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
P
p
p
h
h
h
h
h
h
h
μ
μ
μ
=
A
A
P
A
A
#
#
#
#
1
μ
p
μ
#
然后构造变换阵：
5）,取非奇异变换,就可得到
1
22
,( )xxx x
==PP
2
00=?≡P只要证明：若有列向量,满足 即可。 ααα
讨论,1） P
2
的可逆性证明：
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
0
P
p
p
h
h
h
h
h
h
h
μ
μ
μ
αα
= =
A
A
P
A
A
#
#
#
#
a） 由
0,1,2,,; 0,1,,1 (1)αμ?== =hA " "
i
j
iii
aipj
特别，有
1
1
[]
i
TTT
p i
μ?
hh P Ab "
-1
1
易见，,,的零空间恰恰是由 中除去后的向量
b)
12
11 12 2 2
22 2
()
P
pp p
nnp
×?
bAb A bb Ab A b b Ab A b " " " "
μμ μ
α所张成的，因而 必可表示为这些向量的线性组合。
1
2
p
p n×
h
h
h
#
0α =
2=这是由于(以 为例说明） p
N
12
1
1
1
1 11
11 12 2 2
2
[]
×
×
=
×
×
p
P
h
bAb A bbAb A b I
h
#
" "
#
μμ
2
11 1 2 1 1
1
12 1 2 1 2
1
11
0,0,,0,
0,0,,;
1
0
μ
μ
μ
== =
==
=
=
1
2
1
hb hAb hA b
hb h b hA
hA
b
b
A
"
"
1
010
0001
=
%
" "
%
"
1
21 2 1 2 1
2
22 2 2 2 222
1
0,0,,0;
0,0,,0,1
μ
μ
μ?
== =
== ==
1
22
hb hA
hA
bhAb
hb hA hA b bb
"
"
1
[]
TTT
p
hh "这说明,,的零空间确实是由这些向量所张成的。
c)将 表示为这些向量的线性组合,α
1
(-1) (-2)hA现用 左乘上式两边，并注意到 式,式 aa
12
2
22
11 2 2
=+ ++
∑∑ ∑
Ab Ab Ab "
p
ii i
p
aa a
μ
μμ
α
有一般地，我们有
1
1,1,2,,
μ?
==hA b "
i
ii
ip
及
(2
0,
,1.)μ
=
≠=<
hAb
若或者但
j
ik
i
ki k aij
12
1
2
22
11 1 21 2 1
00 0
0
=
=+ +
∑∑ ∑
hA
hAb hAb hAb "
p
ii i
p
aa a
μ
μμ
α
1
11
1
121 1 12
1
00
=
=?=hA b
；aa
μ
μμ
2
hA再左乘,有
0α ≡依次类推，我们可以证明 。 证完。
2
22
1
222 2 22
00aa
μ
μμ
=? =hA b "，，
2
:B=P B) 的特点2
[ ]
001?× " "
为什么具有形式：问题,
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
N
1
1
2
1
1
1 11
11 12 2 2
2
[]
μμ
×
×
=
×
×
p
P
h
bAb A bbAb A b I
h
#
" "
#
11
21
1
0,,0 [1 ];
μμ
= ×==hA B h BB Ah "
#
由此推得：
2=以为例：p
1
010
0001
=
%
" "
%
"
1
0h =B
1
0h =AB
1
1
1
[1 ]
12
A[bb]h
= ×
μ
2
2
22
0,,0;
μ?
= =h ABB h "
2
11
2212
μ μ
=
2
hA B hA [bb]？
211
22 222
0,,0;
μ μμ
===
22
hB hA B hA B hA [bb] "为讨论？
注意到基底的选取法则：
1 2
2212
=
2
hA B hA[b b]=[01]
μ
2
1
1
2
μ?
Ab）若 不出现在上述各列中，则必可表示为
11
12
0
μ μ
=1Ab hAb）若 出现在上述各列中，必有 ；
22
11
12 1 2 1 2p
μ μ
b b Ab Ab Ab A b A b " "
1 2
2212
=
2
hA B hA[b b]=[01]
μ
22
12 1 2 1 2p
μ μ
b b Ab Ab Ab A b A b " "
的线性组合，故仍有
2
1
21
0
μ?
=hA b
一般地，若基底矩阵 (P
1
)
1
是按照如下方法得到：
则必有
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
22 2
11 1
12 1 2 1 2pp p
μ μμ
bb b AbAb Ab A bA b A b " " " " "
例题3-2 设系统动态方程 (A,B,C)为
0001 00
1 0 0 2 00 0001
22 11 4 0 0 1 0 0 1 0
23 6 0 6 1 3
===
ABC
试求其可控标准形。
解 计算可控性矩阵
23
00 1 3 6
00 2 6 13
]
01 0 4 6
13 6 1825
=
[B AB A B A B
# #
# #
2
Ab
1
2
Ab
12
3,1= =μμ
1
Ab
2
b
1
b
可知其前四个线性无关列为 1,2,3,5列，故 μ
1
=3,
μ
2
=1,
21
11 12
28 11 3 1
13 6 0 0
[]
2100
0010
=
bAbAbb
可求出 h
1
=[2 1 0 0 ],h
2
=[0 0 1 0 ]，从而可得由
11
22,,
===APAPBPBCCP
1
1
2
2
1
2
2100
1000
0001
0010
==
h
hA
P
hA
h
经计算，可得可控标准形：
2,多输出系统的可观测标准形类似地可建立多输出系统的可观标准形，这里省略。
0100 00
0 0 1 0 00 0010
61160 13 0001
11 0 0 4 0 1
===
ABC
式中的 β 就是下列动态方程中的直接传递部分
,Ab cx xuyx uβ=+ =+
所以只需讨论上式中的严格正则有理分式部分。
1
110
0
1
()
ββ ββ
++++
=
++++
"
"
nn
n
nn
nn
ss s
gs
sas asa
设给定有理函数三、正则有理传递函数的最小实现要求寻找（ A,b,c），使得
1
() ()
=cI A bsgs
并且在所有满足上式的（ A,b,c）中，要求 A 的维数尽可能的小。 下面的讨论中总假定 g(s)的分子和分母无非常数公因式。
可构造出如下的实现 (A,b,c)
1
11
1
()
++ +
=
++++
"
"
n
nn
nn
nn
ss
gs
sas asa
βββ
问题的提法是,给定严格正则有理函数
[]
12 1
11
01 000 0
0
00 001 0
1
c
nn n
nn
cnn
aa a a
c
×
==
=
c
Ab # # # % # #
"
"ββ β
1,可控标准形的最小阶实现,
具体构造如下：
1
()Ds
u
v
()Ns
y
(3 - 34)记 所对应的系统为
1
11
11
[] []
()
==
++++ "
nn
nn
vu u
Ds
sas asa
1
21
(2)
32
(1)
1
=
==
==
==
#
令
n
nn
xv
xxv
xxv
xx v
2)
12
x x=
23
x x=
#
1nn
x x
=
()
112 1?
= = + "
n
nnn n
xv axax axu
() ( 1) (1)
11
+ ++ += "
nn
nn
vav avavu
()
()[] [] ()[]
()
== =
Ns
y gsu u Nsv
Ds
1)
写成矩阵形式：
1
11
1
11
()[] ( )[]
[]
==+++
=
"
" #
n
nn
nn
c
n
yNsv s s v
x
x
βββ
ββ β
12 1
01 000 0
0
(***)
00 001 0
1
xx
nn n
u
aa a a
=+
# # # % # #
"
3)
(***)式给出的 (A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是开始的传递函数 。 由于已经假设 g(s)无零、极点对消，故可知( ***)式对应的动态方程也一定是可观测的。 这时 A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是 n 次多项式的结果。所以 (***)式给出的就是 的 最小阶动态方程实现 。
()gs
()gs
2,可观测标准形的最小阶实现
[]
1
1
2
1
1
00 0
10
(6 18)01 0
00 1
00 01
= =
=
oo
o
Ab
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
n
n
n
n
n
a
a
a
a
β
β
β
1
11
1
()
()
()
++ +
==
+ ++ +
"
"
n
nn
nn
nn
Ns s s
gs
Ds
sas asa
βββ
可以有如下可观标准形实现：
()
[],
()
=对 考虑所对应的微分方程：
Ns
yu
Ds
() ( 1) (1)
11
(1) (1)
1
++++
=+++
"
" （）
nn
nn
n
nn
yay ayay
uuuβββ
根据拉氏变换的微分定理：
() 1 ( 1)
() () (0) (0)
= "L
ii i i
usussu u
(1)将它们代入 并经整理后有
() 1 ( 1)
() () (0) (0);
= "L
ii i i
ysyssy y
1
( ( ) / ( ))[ ]
()
= +×yNsDsu
Ds
12 0
,,,,
"显然，若 的系数已知，则对任何 就可唯一地确定 。
nn
ss s u
y
1
(
1
)
1
0
2
1
[(0) (0) (0)]
++?
（）
n
n
x
yayusβ
N
(0
1
)
{(0)
×
n
x
n
ys
2
2( (1) 3
1
(0)
122
[ (0) (0) (0) (0) (0)]
++? +?
（）
n
n
x
yay uayusββ
1
1(2)(2)
11
(0
1
)
1
[ (0) (0) (0) (0) (0)]}
+?+?
#
"
（）
+
x
nn n
nn
yay u ayuββ
N
1(2)(2)
11 11
=+? +?
#
"
2
（）
１
（２）
n
x
x
nn n
nn
xy ay u ay uββ
=
n
xy
N N
1
111 11 1
=+=?+
（）
nn
nn n
xx
n
xxyu ax xay uβ β
N
1
2(1)(1)
21 22
=+? +?
（）
n
n
x
n
x
xyay uayuββ
122 2
=?+
nn n
xxax uβ
2
3(2)(2)(1)(1)
3112233
=+?+?+?
（）
n
n
x
xyay uay uayuββ
233 3
=?+
nn n
xxaxuβ
11 1
=? +
２ nn n
xxax uβ
1
最后求 的表达式。事实上，由(2)，有 x
() () (1) (1)
11
() (1) () (1)
1
11
()
=+ ++? ++
=+? +?
" "
"
（） １ １
（） １ １
１
＋
nn n
nn
nn n
nn
xy ay u
ya
a
ay
u
yu
y
uβ
β
β
β
(1),前面提到的 为比较式(1)，我们有：
=
１
－＋＝－ ＋
nn nnn
xayuaxuββ
() ( 1) (1)
11
(1) (1)
1
+++
+
+
=
++
"
" （）
nn
n
n
n
n
n
ayyay ay
uuuβ ββ
1
11
2
221
1
2
1
000
100
010
001
01
=+
" "
" "
" "
" " #
# # #
#
# %
" "
-
-
-
综上,＝
n
n
n
n
n
nn
a
a
xx
a
xu
xx
a
a
β
β
β
[ ]
00 01= "yx
=
１
－＋＝－ ＋
nn nnn
xayuaxuββ
11 1
=?+
２ nn n
xxax uβ
11 1+?+
=?+
ii ninni
xx a x uβ
=
n
yx
可控和可观标准型实现小结
1) 在 传递函数为不可简约（无常数公因子）的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现；
2) G(s)实现为可控标准型 (A
c
,b
c
,c
c
)时,
12 1
01 000
00 001
nnn
aa aa
=
c
A # # # % #
"
0
0
0
1
c
=
b #
11
[]
= "
cnn
β ββc
其中,a
n
和 β
n
分别是分母和分子多项式的常数项。
3) 根据对耦原理，由 G(s)的可控标准型可得到其可观测标准型 (A
o
,c
o
,b
o
)：
[]
1
1
2
1
1
00 0
10
01 0
00 1
00 01
==?
=
o0
o
Ab
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
n
n
n
n
n
a
a
a
a
β
β
β
其中,a
n
和 β
n
分别是分母和分子多项式的常数项。
3,由汉克尔矩阵求实现
12
() (0) (1) (2)
=+ + + "gs h h s h s
1
01 1
1
11
()
ββ ββ
++++
=
++++
"
"
nn
nn
nn
nn
ss s
gs
sas asa
设有正则有理函数将其展开为s的降幂无限级数系数h(i)称为马尔可夫（Markov）参数。这些参数可以根据α
i
和β
i
求得。
0
11
12 2
12
(0)
(1) (0)
(2) (1) (0)
() ( 1) ( 2) (0)
β
αβ
αα β
α ααβ
=
=? +
= +
= +
#
"
nn
h
hh
h
hn hn hn h
汉克尔矩阵定义
(1) ( 2 ) (3) ( )
(2) (3) (4) ( 1)
(,) (3) (4) (5) ( 2)
() ( 1) ( 2) ( 1)
β
β
αβ β
αα α αβ
+
= +
+ ++?
"
"
"
# # # #
"
hh h h
hh h h
H hh h h
hh h h
它是由马尔可夫参数所组成的 。 h(0)并没有包含在H(α,β)中。
定理,正则有理传递函数g(s)，当且仅当对每一个
k，l=1,2,3,…有
(,) (,)= ++=rankH n n rankH n k n l n
时，其次数才是n。
由汉克尔矩阵求实现
(1) ( 2 ) (3) ( )
(2) (3) (4) ( 1)
(1,)
() ( 1) ( 2) (2 1)
(1)( 2) (3) (2)
+
+=
+ +?
+++
"
"
# # # " #
"
hh h hn
Hn n
hn hn hn h n
hn hn hn h n
1）由马尔可夫参数组成汉克尔矩阵H(n+1,n)
1
01 1
1
11
()
()
()
ββ ββ
++++
==
++++
"
"
nn
nn
nn
nn
ss sNs
gs
Ds sas asa
设有正则有理函数g(s)，其中degD(s)=n。 (D(s)和N(s)不一定互质)
该矩阵的行比列多1，且在组成H(n+1,n)时，用到了从h(1)到
h(2n)的马尔可夫参数。
设H的前σ行是线性无关的，且第σ＋1行与其前诸行线性相关。则σ＋1行后面的所有行均线性相关于前诸行。故H(n+1,n)的秩为σ，
称H(n+1,n) 的第σ＋1行为 初始线性相关行,
其后面的各行为非初始线性相关行。
当D(s)和N(s)互质时,σ=n,否则σ<n。
[]
123 1
010 0 0 (1)
001 0 0 (2)
000 0 1 (1)
()
100 00 (0)
σσ
ααα σαα
σ
==
=
=
"
"
# # # # # #
"
"
"
h
h
Ab
h
h
ceh
2）构造 g(s)的 σ维 可控且可观测实现 动态方程
Ab
c
x xu
y xeu
= +
=+
其中：
3）确定矩阵A中的系数α(α
1
,α
2
,α
3
…)
利用行搜寻算法（见附录A）
[ ]
12
(1) 0 0 ( 1,) 0Hn n
σ
α αα + = " "
其中(1)与初始线性相关行相对应。若σ=n,
则α
i
=α
n-i
,若σ<n，则就没有α
i
＝α
n-i
的关系。
注,若汉克尔矩阵的秩小于g(s)分母的次数，
则g(s)不是不可简约的。
例
131
0
242
131
1
242
31 1
(5,4) 1
42 8
115
1
284
153
1
848
=
H
组成汉克尔矩阵：
43
432
12345678
1
()
22231
11 153
0
2242 848
+
=
++++
=+ + + + "
sss
gs
ssss
ssssssss
用汉克尔矩阵求g(s)的不可简约实现容易证明H(5,4)
的秩为3，因而
g(s)的不可简约实现是3维的，
方程为：
[]
123
0
010
1
001
2
3
4
100 0.5
ααα
=+?
=+
xx
yxu
利用αH(5,4)=0,确定系数α。计算得：
[ ] [ ]
123
0.5 1 0α αα=
010
001
0.5 1 0
=
A
()若 的因子已分解成一次因式的乘积，则通过部分分式分解，可得若当标准形的最小阶实现。
gs
32
3
() 3 12 18 10
()
()
(1)(2)
+?
==
ys s s s
gs
us
ss
4,若当标准形实现例：
32
1212
()
(1) (2)
(1) (1)
= + + +
ys u u u u
ss
ss
令
1
3
1
(1)
=
xu
s
2
2
1
(1)
=
xu
s
3
1
(1)
=
xu
s
4
1
(2)
=
xu
s
但
233
2
11 1
(1) (1)
(1)
==?=
进而,xuxxu
ss
s
12
3
11
(1)
(1)
==
；xux
s
s
则
[ ]
1212=?yx
32
1212
()
(1) (2)
(1) (1)
=+++
ys u u u u
ss
ss
因
444
1
2
(2)
=?=+
最后，由 。注意到xuxxu
s
12112
21223
333
1
(1)
1
(1)
1
(1)
=?=+
=?=+
=?=+
，
，
，我们有
xxxxx
s
xxxxx
s
xuxxu
s
11
22
33
44
11 0
11 0
,[1212]
10 1
21
xx
uy x
xx
=+=?
有理传递函数g(s)实现小结
1、可控规范形和可观测规范形实现最容易获得。但是可控不一定可观测；可观测不一定可控。
2、对于可控和可观测标准形实现，只有当所给g(s)=N(s)/D(s)是不可简约(即N(s)和
D(s)互质)的，所得实现才是不可简约的。
3、由马尔可夫参数得到的汉克尔实现及约当形实现总是可控且可观测的。但约当形实现需要计算极点，有时计算过于复杂。
6.4 多变量系统的实现设多变量系统动态方程为一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系
xxu
yx
= +
=
AB
C
其中 A,B,C 分别是 n× n,n× p,q× n 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为
()
()
det( )
adj s
s
s
=
CIAB
G
IA
式中 det(sI?A) 称为系统的特征多项式。传递函数矩阵 G(s)是一个严格正则有理函数阵，即它的每一元素都是 s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。
证明,反证法。
() ( )
(,,)
s adj sΔ?CIAB
ABC
若 与 无非常数的公因式，
则系统 是可控和可观测的。
定理：
(,,)
(,,)<
ABC
ABC
1
若 不可控可观测，则由定理(5-16)或
(5-17)知，存在一个维数为 的系统,有 nn
1
det(,( )?ΔIA)但 的维数是 上式成立意味 与sn s
() ()
()
det( ) det( )
adj s adj s
s
ss
==
CIABCIAB
G
IA IA
()adj s?CIAB
必发生公因式相消，矛盾。
证完。
10 10 10
01 01 01
=+ =
xxuyu
显然系统可控且可观。但传递函数阵为例,设系统方程为与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的 充分条件，而不是必要条件,可用以下例题来说明。
2
1
0
10
1
1
()
01 1
(1)
0
1
s
s
s
s
s
s
==
G
在 A的特征式与 之间存在公因式 (s?1)。故定理中的条件不是必要的。
()adj s?CIAB
定理,系统可控可观测的 充分必要条件 是 G(s)的极点多项式等于 A 的特征多项式，即证明,略 (见定理 6－ 2)。
() det( )s s=?IAφ
() det( )IA A
A
s s=?φ 表示 的所有特征值均是传递函数的极点。由于传递函数只反映系统的可控、可观部分，这说明 的所有特征值既不是输入解藕零点，也不是输出解直观说明藕零点。
：
在以下的讨论中，我们假定 G (s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。
例
00 1 0
00 0 1
00 1 0
00 0 1
=
A
01
11
10
02
=
B
1000
0100
C
=
相应的传递矩阵为
11
(1)
()
11
(1)
ss s
s
s
sss
+
=
+
G
A的特征多项式为
()sG 的极点多项式为故系统是可控可观的。
22
() ( 1)sssφ = +
22
() ( 1)sssΔ =+
二、向量传递函数的实现
32 32
2
22
253 464
61
ssssss
×
++ +++
一个元素为多项式的矩阵，总可以写成矩阵为系数的多项式，例如：
32
21 54 36 04
00 10 01 61
sss
=+++
例：
[]
N
[]
N
10
1
{ 10 21}
(1)( 2)
NN
s
ss
=+
++
02 21
13 10
==
o
AB
[ ]
01=
o
c
0
N
1
N
2
11
()
1
32
s
s
ss
=
+
+ +
G
1,行分母展开时,得可观测标准形最小实现将两个元素的首一最小公分母提出，有分析：
求下列传递矩阵的最小实现：例：
2
11
()
1
32
s
s
ss
=
+
+ +
G
[]
1
2
()
1
(2)1
(1)(2)
=+
++
=Gysu
u
s
uss
2
1
2
2y
×
×cB这里,是标量。因此,阵肯定是 的,阵肯定是 的。
2
12
1
12
()
() ()
()
() () ()
1
() () ()
()
×
=
1
G "
"
=
p
p
p
p
ns
ns ns
s
ds ds ds
ns ns n s
ds
12
12
()
= ++++ "
nn n
n
ds s as as a
这是一个 多入单出 系统,其中各元均互质。 令为 G(s)各元分母多项式的首一最小公分母 (极点多项式 ）,则上式可写成：
考虑严格正则传递矩阵：一般情形：
1×N (类比于单变其中 均 常 量时的向量 ） 。常数
i
p
[] [] []
12 0
12
{}
()
+?++?
NN N
" " " "
1
nn
nn
ss
ds
但与单变量系统相比,N
i
的顺序是反的！但只要注意到 B阵的第一行是 N
0
就可以了。
于是有实现：
[]
0
1
1
2
1
1
1
00 0
10
01 0
00 1
00 01
)
n
n
n
n
np
a
a
a a
a
×
==?
=
oo
o
N
N
AB
N
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
（
问题,
1)这是原传递矩阵的实现吗？
2)试将上式与单输入、单输出系统的可观测标准形实现相比较,有哪些相同和不同之处？
3）这是最小实现吗？
2
23
23 22
()
(1)( 2) (1)
sss
s
ss s
+ ++
=
++ +
G
例：
[]
0000 0 04
1000 2 36
000010100 7 54
0010 9 21
0001 5 00
===?
ABC
[]
P
[][][]
021
3
32
35432
21 54 36 0 4
(1)( 2) 5 9 7 2
sss
s ss sssss
+++
=
+ +=+ + + +
NNN
N
4
0N =
2,列分母展开时,得可控标准形最小实现考虑如下单入多出系统：例：
43 2
5432
028 00
1 7 18 22 12
( ) 10 35 50 24
ss s s
ds s s s s s
++ ++
=
=+ + + +
1
N
2
N
0
N
3
N
4
N
d(s)为 G(s)各元分母多项式的首一最小公分母 (极点多项式 ）
2
2
(1)(2)(3)
22
(1)(4)
s
ss s
ss
ss s
+++
++
++
01000 0
00 1 0 0 0
00 0 1 0 0
00 0 0 1 0
024503510 1
00820
12 22 18 7 1
==
=
cc
c
Ab
C
注意,因为 G(s)的诸元素已是既约形式，故行分母
（列分母）所构造的实现一定是最小实现。这 点和标量传函一样。
N N N N
12 10
1
2
12 1
2
1
()
()
()
1
()
()
()
()
()
×
=+++
1
NN NN
G
# # # #
"
# # # #
#
=
nn
nn
q
q
q
ns
ds
ns
ds
ssss
ds
ns
ds
1
i
q×N （类比于单变量时的均列向量 常数）。
这是一个单入多出系统，可实现为可控标准形：
虑传递 阵一般地，考 矩,
注意顺序！
12 1
01 000 0
0
00 001 0
1
nn n
B
aa a a
==
A # # # % # #
"
[ ]
01 1n
qn
×
=CNN N "
问题,
1)这是原传递矩阵的实现吗？
2)试将上式与单输入、单输出系统的可控标准形实现相比较.
3)这是最小实现吗？
传递矩阵为列和行向量时的最小实现小结
1,在 各元素即约的条件下，它们的首一最小公分母就是 G(s)特征多项式；
2,G(s)为列向量 (输入为标量 ） 则可实现为可控标准型 (A
c
,b
c
,C
c
);
3,G(s)为行向量 （ 输出为标量 ） 则可实现为可观标准型 (A
o
,c
o
,B
o
);
4,上述实现均是最小实现。
三、传递函数矩阵 G(s)的实现
1,按列展开：
可以将矩阵 G(s)分成列 (行 )，按列 (行 ) 展开。以 2
列为例说明列展开时的做法。设第 i列展开所得的可控形实现为 A
i
,b
i
,C
i
，可按以下方式形成 A,
B,C:
12
12
2
11
() () ()
() ()
×
=
GNN
q
sss
ds ds
12
12 0
()
ii i
ii
nn n i
inn
ds s a s a s a
=+ + ++ "其中：
N N N N
10
12
12 1
()
=++++
NN NN
# # # #
"
# # # #
ii
ii ii
nn
nn
i
Ns s s s
1q×
向量
！
[]
11
12
22
00
,,
00
===
Ab
ABCC
Ab
则有
11 22
Ab Ab其中 （，)、(,),均可控标准形，
N N N
01
1
ii i
n
i
i
=
NN N
C
# # #
"
# # #
012
1
0100 0
0
010
0
,
0000 1
0
1
==
Ab
# # # % #
#
"
i
ii
iii
n
u
aaa a
12
CC,均具有形式：
[ ]
1
12
1
11
1
2
2
()
() 0 0
0
0( )
s
s
s
= ×
×
CI A B C C
IA b
b
IA
这一实现是可控的（ PBH检验），并可计算出上述实现的传函阵为
1
11
112 2
2
11
1112 22
0
()()
0
() ()
ss
sbs
=
=
b
CIA CIA
b
CIA CIA b
?传递矩阵按列展开的步骤：
1） 将传递矩阵写成：
1
1
111
() () () ()
() () ()
ip
ip
s sss
ds ds d s
=
GN NN " "
1
() (,,)
)
,
2,
(
(
iii
i
ii
s
ds
NAbC
Ab
把 实现为 其中，
）为可控
）
标准形；
3) 构造系统的 (A,B,C)（由 PBH检验可知系统可控制）,
11
12
,,[]
p
pp
===
Ab
ABCC
Ab
% % "
2,按行展开同理，可以将 G(s)分成行，每行按行分母展开。
以 2行为例说明行展开时的做法,设第 i行展开所得的可观形实现为 A
i
,B
i
,c
i
，可按以下方式形成 A,B,C,
11
22
1
2
A0
,,
0
0
0
==
=
B
AB
AB
c
C
c
这一实现是可观的（由 PBH检验可知），并可计算出上述实现的传函阵为 G(s)
1
1
2
1
11
1
2
2
11 1111
11
2
22 222
0
()
0
() 0
0( )
() 0 ()
0() ()
s
s
s
ss
ss
= ×
==
c
CI A B
c
IA B
B
IA
cIA B cIA B
B
cIA cIA B
?传递矩阵按行展开的步骤：
1） 将传递矩阵写成：
1
1
1
()
()
()
1
()
()
i
i
s
ds
s
s
ds
=
N
G
N
#
#
1
() (,,),
()
(,
iii
i
ii
Ns
ds
ABc
Ac
把 实现为 其中，
）为可观标准形；
2）
3） 构造系统的 (A,B,C):
111
,,
qq q
==
ABc
=C
AB c
% %
例题,给定有理函数阵为
11
13
()
11
12
ss
Gs
ss
+ +
=
+ +
解,采用行展开方法，将 G(s)写成
[ ][]
[][]
11 31
(1)(3)
()
11 21
(1)( 2)
s
ss
s
s
ss
+
++
=
+
++
G
试用行展开和列展开构造 G(s)实现。
第一个子系统第二个子系统
[] []
[] []
22
12
11
01
22
() 4 3,() 3 2,
31,11
21,11
=++ =++
==
= =
NN
ds s s d s s s
[ ][]
[][]
11 31
(1)(3)
()
11 2 1
(1)( 2)
s
ss
s
s
ss
+
++
=
+
++
G
按 (3-38)式,可得可观性实现如下
03 31
14 11 0100
,,
02 21 0001
13 11
===
ABC
容易验证这一实现是可观测的但不是可控的。直接计算可知 δ G(s)=3，而 A阵的维数是 4，
由定理可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以用定理对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。
但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将 G(s)写成
112
()
31(2)(3)
ss
sss
=+
+++
G
2
12
() 1 () 5 6ds s ds s s= +=++
122
001
121
,,
13
===
NNN
因此可构成如下的实现
110
01,00
65 01
121
131
==
=
AB
C
这是可控性实现，它也是可观的，因而是 G(s)的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择 列展开方法。这是因为各列分母次数之和为 3，小于各行分母次数之和 4。
如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，可以利用可控性分解或可观性分解进一步 降低系统的阶次。
例题,给定有理函数矩阵如下
2
32
2
12 1
()
1
0
ss
ss
s
s
s
+ +
=
G
求出 G(s)的最小阶动态方程实现。
解,各一阶子式的公分母显然是 s
3
，而其一个二阶子式的分母为 s
4
，因而其极点多项式为 s
4
,
(1) 计算 δ G(s) = 4
(2) 行展开
[ ] [ ] [ ]
[][ ]
2
3
2
12 01 10
()
10 10
ss
s
s
s
s
++
=
+?
G
构成可观性实现,(一定不可控 )
55
00000 1 0
10000 0 1
00100
01000 1 2
00001
00000 10
00010 1 0
×
===
ABC
(3) 进行可控分解,
234
10000
01100
12011
10 0 00
10 100
=
BABABABAB # #
可控性阵秩为 4，可取前四列,且作列变换，这样将使计算简便 {4列乘?1,?2加到 1,2列； 2列乘?1加到 3
列 ),3列加到 1列,3列乘?1},
1 00000
0 10000
000110
100000
0 01000
# #
# #
# #
# #
# #
再补充一列 (后一列是补充的 )，使下列矩阵为非奇异阵，记为
1
10001
01000
00010
10000
00100
=
P
000 10
010 0 0
000 0 1
001 0 0
100 1 0
=
P
(4) 可得最小实现为
0000
1000
1000
0100
10
01
10
12
0001
0010
(5) 验算,可验证可控，可观且传递函数矩阵为
1
0 0000
1 0001
10000
0 1000
0 0000
=
PAP
10
01
10
12
00
=
PB
1
00010
00100
=
CP
1
2
1
2
32
1
11
1
()
11
1
1
11 1
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
= =
IA
32 3 2
1
22
10
11 1 1112
0
01
()
11 1011
00 0
12
ss
ss s s s
s
s
ss s
++
= =
+
CI A B
2
32
2
12 1
1
0
ss
s
s
+ +
=
1
()
()
=
=
∑
GR
1
r
i
i i
s
s λ
qp×若 矩阵可以写成下列形式：定理：
=RR令 。将 进行秩分解 即证,
ii i
rank n明：
(),=× = =RCB C B、
iii ii ii
rank n rank n
i i
qpλ ×R其中,为 常数矩阵。互不相同,则我们有
1
()
=
=
∑
GR
r
i
i
srankδ
× ×CB其中,和 分别为,阵。
ii ii
qn n p
3,按约当形展开
() ()
=
RCB
11
注意到 恰可构成一最小实现：
iii
ssλλ
1
() )
()
GCBCIAB
==?
1
（
iiiii
i
ss
s λ
这里，
利用 PBH检验，其最小实现的结论为显然。
1
)
()
×
=?=
AIAI
%
1
（
i
ii
i
iin
i
i
nn
s
s
λ
λ
λ
再用直和方式构成：
1
(PBH) (,,)
=
∑
ABC
R
根据若当形判据 容易证明此时 是最小实现，其维数为 。显然，
r
i
i
rank
[]
11
22
12
,
i
rr
r
λ
==
=
AB
AB
CCC C
% #
"
互不相同
1
()
=
∑
GR=
r
i
i
srankδ
证完。
[] [] []
[] []
123
12 3
45
45
11 1
100 110 001
00
010 001
11
34
ss s
=+?+
++
++
BBB
CC C
例题：
111
11 1 1
(1) 1 2
112
()
111
111
34
34
ss s s
ssss
s
sss
ss s
+++
+ ++
==
+ +
++
G
100 110 001
11 1
100 0 00 00012
000 000
11
010 00134
ss s
ss
=+ +
++
++
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
G(s) 的一个最小实现为
010
111
200
301
4001
11100
10011
==?
=
AB
C
12345
CC C C C
1
2
3
4
5
B
B
B
B
B
小结
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
6.3 正则有理函数的不可简约实现
一单变量系统的标准形(7-2规范形动态方程)
1,可控标准形实现
2,可观测标准形实现
二多变量系统的标准形(7-2规范形动态方程)
1,多输入系统的可控标准形
2,多输出系统的可观测标准形
三、正则有理传递函数的最小实现
1,可控标准形的最小阶实现
2,可观测标准形的最小阶实现
3,汉克尔矩阵实现
4,若当标准形实现
6.4 多变量系统的实现
一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系
二、向量传递函数的实现
1,行分母展开时,得可观测标准形最小实现
2,列分母展开时,得可控标准形最小实现
三、传递函数矩阵G(s)的实现
按列展开、按行展开、约当形展开作业
6－ 10
6－ 11
6.1 引言
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
6.3 正则有理函数的不可简约实现
6.4 多变量系统的实现
s
∧
∧
∧
具有指定有理矩阵G(s)的线性时不变动态方程称为G( )的实现。
每个可实现的传递函数矩阵G(s)有无限多个线性时不变动态方程实现。
具有最小可能维数的实现是既可控又可观测的动态方程，即不可简约动态方程实现称为不可简约实一、什么是 统现或最小维 。
实现？
数实现系
6.1 引言
1,标准形可以显然、简洁的方式反映系统的可控性、可观测性或其它性质；
二、为什么要研究标准形和最小实现？
2,利用标准形有时会极大简化控制律的设计。例如在动态输出反馈控制律设计、一些自适应控制系统的控制律设计中，由于仅输出状态可测量，往往采用一些标准形作为控制律设计的基础，从而使控制律的设计尽可能简化；
3,最小实现可以避免对系统可控性和可观测性的讨论，简化分析和控制器设计。当然，在系统分析时，有时也需要用到非最小实现。
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
1
1
,,
det( ) ( ( ) )
dim( ) deg ( )
nn n
n
xxu
yu
sI A k g s
Ags
××
×
=+ ∈ ∈
=+ ∈ ∈
=
=
Ab AR bR
cx e c R e R
设单变量时不变线性动态方程是正则有理函数g(s)的一个实现。则当且仅当的分母或时，方程才是不可简约的（可控且可观测的）。
定理6-1,
证明：（略）
Det,deg和dim分别代表行列式、次数和维数
61:
δ
∧
∧∧
正 理矩阵G(s)的所有子式的最小公分母定义为G(s)的特征多项式,G(s)的特征多项式的次数定义为G(s)的次数，并记为 G
定则有义
(s)。
222
11
1( 1)( 2) 3
11 1
1( 1)( 2)
111
(1)( 2)(1)( 2)(1)( 2)(1)( 2)
14
(1) (1)(3)(1)(3)
1
(
s
sss s
G
sss s
G
ss
ssss ss ss
sss s s s
ss
∧
∧
×
++++
=
+++
+
+==
+ +++ ++ ++
+
+=
+++
+
23例2 设有 有理函数矩阵如下，求其次数。
(s)
(s)的一阶子式是它的各个元素项，其二阶子式有三个，
分别为：
13
1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)
( ) ( 1)( 2)( 3).
() 4
s sss s ss
Gs ss s s
Gsδ
∧
∧
=
++++ +++
+++
=
因此,的特征多项式是
det det
de
6
t
1
∧
∧
∧
∧
-1 -1
rr l l
rr ll
rl
rl
正则有理矩阵
G(s)=N (s)D (s)=D (s)N (s)
并假设N (s)和D (s)右互质，而D(s)和N (s)左互质。
于是G(s)的特征多项式定义为
D (s)或 D(s)
且G(s)的次数定义为
degG(s)=degdetD (s)=deg D(s)
其中degdet表示行列式定义 ’：
的次数。
.
det( ) ( )
dim deg
XAxBu
yCxEu
sI A k
A
∧
∧
∧
=+
=+
=
=
设线性多变量时不变动态方程是正则有理函数G(s)的一个实现。则当且仅当
G(s)的特征多项式或G(s)
时，方程FE才是不可简约的（可控且可观测的）,
其中k为非零常数。
定理6-2：
证明,（略）
6.3 正则有理函数的不可简约实现
1
1
,,Ab AR bR
cx e c R R
nn n
n
xxu
yu e
××
×
=+ ∈ ∈
=+ ∈ ∈
A的特征多项式为:
系统的可控和可观测矩阵为：
一、单变量系统的标准形
12
12
() det( )
Δ=?=+ + ++IA "
nn n
n
ss sasas a
1
1
[],
nnn n
n
××
=∈=∈
c
cA
UbAbAbR V R
cA
"
#
12 1
121
01 000 0
0
00 001 0
1
[]
=+
=+
# # # % # #
"
"
nn n
nn
xxu
aa a a
yxeuββ ββ
定理,设线性时不变单变量系统可控，则可通过等价变换将其变成如下所示的可控标准形：
1,可控标准形实现方程的传递函数为：
12
12
1
11
()
nn
n
nn
nn
ss
gs
s as a s a
β ββ
+++
=
+ ++ +
"
"
?求可控标准形的方法一：先求变换阵 P
1
1) [
n?
U= b Ab A b]; "计算可控性矩阵
1
2) ;
Uh计算,并记其最后一行为
2
1
3)
h
hA
P hA
hA
n
nn
×
=
#
给出变换阵：
11
4),,
===APAPbPbccP由 即可求出变换后的系统状态方程。
22
11
12 1
01
10
1
0
1
A
P
hh
hA hA
A=hA hA
hA hA
nn
nn n
aa a a
%
# #
"
其中，
21
12 1
(
nn n
aa a a
=
hA h hA hA hA "
凯莱 哈密尔顿定理）
1?
=UU I另一方面，注意到因此有
2
1
0
0
0
1
n?
∴
P
h
hA
b=Pb= b=hA
hA
# #
1
100
[]0
01
n?
×
=
bAb A b I=
h
# " #
"
21
0,0,0,1
nn
== = =hb hAb hA b hA b ",
P为证明 为可逆阵，只要证明对任意给定的
2
1
0
n
α α
= =
h
hA
P hA
hA
#
P这样构造的 是否可逆？：问题
1
12
0
n
n
αα α
+ ++ =hhA hA "
12
[]
n
= "αααα
即可。
为此，假设
b用 右乘上式，并考虑到
0
n
α =Ab用 右乘（*）式，并考虑到,有
1
12
0(*)
n
n
α αα
+++ =hhA hA "
21
0,0,0,1
nn
== = =hb hAb hA b hA b,
有
0;
n
=α
1
0
=
#
n
α
依次类推，有
0
i
=?≡0αα
12 1
23
1
1
1
10
[] 00
10
10 0
=
PbAbAb
"
"
" #
-1
nn
nn
n
aa a
aa
a
12
12
det( )
nn n
n
s sas as a
=+ + ++IA "注意到
?求可控标准形的方法二：先求变换阵 P
1
1),令基底为：
12
[]qq q
n
= "
2
1
11 2
2
12 12
()
=+ ++
=+ ++ =+
q
qbAbAb
qA b Ab qAq
"
"
n
nn
n
nn n nn
aa
aa a
而
n
=qb
依次，我们有最后，由
考虑到凯莱 哈密尔顿定理，我们有
3
2
22 3
3
23 23
()
n
nn
n
nn n nn
aa
aa a
=+ ++
=+ ++=+
q
qbAbAb
qA b Ab qAq
"
"
32 2nn
a
=?Aq q q
-1
,1,2,,1,
+
=?q= q +Aq "
inin i
ain
1
11 2
=+ ++qbAbAb "
n
nn
aa
1+?
=?Aq q q
iinin
a
21
11 2 1
=+ +++=?Aq Ab A b A b A b q "
nn
nn n
aa a a
1
12 1 2
[][ ]
nn
==AP A q q q Aq Aq Aq " "
因此，
其中，用到了关系：
12
12 1
01 000
[]
00 001
=
A
qq q " # # # % #
"
n
nn n
aa a a
111
=APAP AP=PA
1
1
,1,2,,1;
iinin
nn
ai n
a
+?
=?=?
=?
Aq q q
Aq q
"
2）因
1
121
3 []) ccP
nn
== "ββ ββ
1?
=?=bPb bPb
N
12 1
23
1
1
10
100
[] 000
10
10 01
=
b
bAb A b
"
"
" # $ $
#
nn
nn
n
aa a
aa
a
：讨论
1
1
12 1
23
12
1
1
1
10
[] 00
10
10 0
==
P
h
hA
PbAbAbhA
hA
"
$
" # $ $
#
nn
nn
n
n
aa a
aa
a
P由变换阵的唯一性可给1,出) 为：
变换阵的唯一性：2).
则必有证 事实上，明：
2
,Ab P P
1
设(,)可控，若有满秩线性变换阵 和使得命：题
1
11 1
1
22 2
,;
,
==
==
APAPbPb
APAPbPb
2
PP
1
=
(1) (1)
1
[][]
nn
=bAb A b P bAb A b " "
1
12
()0
=IPP
证完。
1(1)
12
[]
n
= PP bAb A b "
2
PP
1
=。
22 1 0
020 1
140 1
x xu
=? +
解,先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。
例题,设系统状态方程为试将系统状态方程化为可控标准形。
2
03 14
124
141
det 0,
==
≠
UbAbAb
U 故系统可控。
此时标准形中的系统矩阵的最后一行的系数其实就是 A阵特征式的系数，但符号相反。
现根据前述方法构造变换矩阵 P
[]
1
210
522 211
211
=? =?
Uh
1
211 210
32 2 121
423 201
= =
PP
则变换矩阵为
2
=
h
PhA
hA
即
1
211221210
32 20 20 121
423140201
010
001
254
==
=
APAP
32
det( 4 5 2s sss? =+ ++IA)
2110 0
32 21 0
4231 1
== =
bPb
定理,设线性时不变单变量系统可观测，则可通过等价变换将其变成如下所示的可观测标准形：
11
21
11
00 0
10 0
01 0
00 1
[0 0 0 1]
=+?
=+
"
"
"
# # # # #
"
nn
nn
nn
a
a
xua
a
yxeu
β
β
β
β
一个单输出系统如果其 A,c 阵有如上的标准形式，它一定是可观测的，可以通过 PBH检验立即看出。
2,可观测标准形实现现在通过对偶原理来找出将系统化为可观测标准形的变换矩阵。
,()xxuyx=+ =Ab c I
,xxuy x=+ =Ab c
式中 具有可观标准形的形式。构造步骤如下,
,cA
给定系统方程如下目的是要将其化为可观测标准形
2,写出原系统
1,计算可观测性矩阵，若系统可观测，可以化为可观测标准形。
用对偶原理求可观标准形步骤：
,()=+ =Ab c I
xxuyx
的对偶系统：
,()=+ =Ac b I
TT T
zzuwz
3,对系统 (II)，求将其化为 可控标准形 的变换阵
P：
11
111
TTT
===APAP bPc cbP，，
转置处理后有：
N
1
1
()
TT T?
=
A
APAP
令
MP
T
=进而，令 ；4.
,,Abc)则( 就是可观测标准形。
N
1
1
()
TT?
=
b
cPb
N
1
TT
=
c
bcP
1
1
,()AA b P b,ccP
TT T?
== =
从以上各个步骤可以看出，求等价变换阵的核心实际上是求对偶系统的 可控标准形 的 P阵。 P阵一旦求出，则根据以上步骤 4,5立即可得到原系统的可观标准形。
11
===AMAM bMb ccM5,根据则可求出可观标准形。
1,Luenberger 可控标准形定理,设上述系统可控，则存在等价变换将其化为下式所示的可控标准形。
二、多变量系统的标准形
x xu
yxu
= +
=+
AB
CE
其中
xxu
yxu
= +
=+
AB
CE
考虑多变量系统
11 12 1 1
21 22 2
1
p
p pp p
==
AA A B
AA B
AB
AAB
" "
" "
# % #
#
这里 分别是 的矩阵。
,,
ii ij i
AAB
,,iii jipμ μμ μμ× ××
01 0 0 0 0 0
01 00 0 0 0
01000
1
0
0
ii ij i
===
×× ×× × ××× ××
A AB
" "
# % # " # # #
" "
" " "
0 0
01 00 00 0
0
1
0 0010000
0
1000
00 000 0 01 0
0 000 0 1
×××××××××
×××××××××
=
×××××××××
A
"
%
"
%
"
# # # # # #
" "
%
" "
1
μ
2
μ
p
μ
1
=
∑
p
i
nμ
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
1?
C=CP
没有任何特点
1
μ
2
μ
p
μ
下面介绍变换的具体做法。
2）,列出可控性矩阵：
按上面的排列顺序，自左向右挑选出 n个线性无关向量，再重新排列如下：
12
11 1
11 12 2 2
bAb A bbAb A b b Ab A b " " " "
P
pp p
μμ μ
显然有
1）,不失一般性，假设 B=[b
1
b
2
,……b
p
]列满秩；
1
11 1
12 1 2 1 2
[]
n
nn n
pp p
=
BAB
AB
U b b b Ab Ab Ab A b A b A b " " " "
12
+ ++= "
p
nμμ μ
注意：
12
1
1
11 1
11 12 2 2
[]
P
p
pp p
=P
bAb A bbAb A b b Ab A b " " " "
令
μμ μ
μ
3).
12 11+
=++++
22
A b Ab Ab Ab A b "
#
212 ppp
αα α α
Ab
2
这说明 一定可以由它前面的向量线性表出。
k
Ab b b b Ab "
212p1
若某一向量，例如 可由,,,,线性表出，即
12 11pp+
=+++ +Ab b b b Ab "
212 p
αα α α
1,≥Ab
2
则所有,均不会被选到。这是由于
k
k
4）,求出 P
1
，以 h
i
表示 P
1
阵的 112
1
+
∑
"、、及行，
p
i
μμμ μ
1
1
p
×
×
×
=
×
×
h
P
h
#
#
#
1
μ
p
μ
#
1
μ 行
1
p
i
nμ
∑
=第 行
11
22 2 2
,,
===A P AP B P B C CP
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
P
p
p
h
h
h
h
h
h
h
μ
μ
μ
=
A
A
P
A
A
#
#
#
#
1
μ
p
μ
#
然后构造变换阵：
5）,取非奇异变换,就可得到
1
22
,( )xxx x
==PP
2
00=?≡P只要证明：若有列向量,满足 即可。 ααα
讨论,1） P
2
的可逆性证明：
1
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
0
P
p
p
h
h
h
h
h
h
h
μ
μ
μ
αα
= =
A
A
P
A
A
#
#
#
#
a） 由
0,1,2,,; 0,1,,1 (1)αμ?== =hA " "
i
j
iii
aipj
特别，有
1
1
[]
i
TTT
p i
μ?
hh P Ab "
-1
1
易见，,,的零空间恰恰是由 中除去后的向量
b)
12
11 12 2 2
22 2
()
P
pp p
nnp
×?
bAb A bb Ab A b b Ab A b " " " "
μμ μ
α所张成的，因而 必可表示为这些向量的线性组合。
1
2
p
p n×
h
h
h
#
0α =
2=这是由于(以 为例说明） p
N
12
1
1
1
1 11
11 12 2 2
2
[]
×
×
=
×
×
p
P
h
bAb A bbAb A b I
h
#
" "
#
μμ
2
11 1 2 1 1
1
12 1 2 1 2
1
11
0,0,,0,
0,0,,;
1
0
μ
μ
μ
== =
==
=
=
1
2
1
hb hAb hA b
hb h b hA
hA
b
b
A
"
"
1
010
0001
=
%
" "
%
"
1
21 2 1 2 1
2
22 2 2 2 222
1
0,0,,0;
0,0,,0,1
μ
μ
μ?
== =
== ==
1
22
hb hA
hA
bhAb
hb hA hA b bb
"
"
1
[]
TTT
p
hh "这说明,,的零空间确实是由这些向量所张成的。
c)将 表示为这些向量的线性组合,α
1
(-1) (-2)hA现用 左乘上式两边，并注意到 式,式 aa
12
2
22
11 2 2
=+ ++
∑∑ ∑
Ab Ab Ab "
p
ii i
p
aa a
μ
μμ
α
有一般地，我们有
1
1,1,2,,
μ?
==hA b "
i
ii
ip
及
(2
0,
,1.)μ
=
≠=<
hAb
若或者但
j
ik
i
ki k aij
12
1
2
22
11 1 21 2 1
00 0
0
=
=+ +
∑∑ ∑
hA
hAb hAb hAb "
p
ii i
p
aa a
μ
μμ
α
1
11
1
121 1 12
1
00
=
=?=hA b
；aa
μ
μμ
2
hA再左乘,有
0α ≡依次类推，我们可以证明 。 证完。
2
22
1
222 2 22
00aa
μ
μμ
=? =hA b "，，
2
:B=P B) 的特点2
[ ]
001?× " "
为什么具有形式：问题,
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
N
1
1
2
1
1
1 11
11 12 2 2
2
[]
μμ
×
×
=
×
×
p
P
h
bAb A bbAb A b I
h
#
" "
#
11
21
1
0,,0 [1 ];
μμ
= ×==hA B h BB Ah "
#
由此推得：
2=以为例：p
1
010
0001
=
%
" "
%
"
1
0h =B
1
0h =AB
1
1
1
[1 ]
12
A[bb]h
= ×
μ
2
2
22
0,,0;
μ?
= =h ABB h "
2
11
2212
μ μ
=
2
hA B hA [bb]？
211
22 222
0,,0;
μ μμ
===
22
hB hA B hA B hA [bb] "为讨论？
注意到基底的选取法则：
1 2
2212
=
2
hA B hA[b b]=[01]
μ
2
1
1
2
μ?
Ab）若 不出现在上述各列中，则必可表示为
11
12
0
μ μ
=1Ab hAb）若 出现在上述各列中，必有 ；
22
11
12 1 2 1 2p
μ μ
b b Ab Ab Ab A b A b " "
1 2
2212
=
2
hA B hA[b b]=[01]
μ
22
12 1 2 1 2p
μ μ
b b Ab Ab Ab A b A b " "
的线性组合，故仍有
2
1
21
0
μ?
=hA b
一般地，若基底矩阵 (P
1
)
1
是按照如下方法得到：
则必有
00 0
00 0
1
00 0
00 0
01
00 0
00 0
00 1
× ×
×
B=
"
"
"
"
"
"
"
"
# #
"
"
"
"
22 2
11 1
12 1 2 1 2pp p
μ μμ
bb b AbAb Ab A bA b A b " " " " "
例题3-2 设系统动态方程 (A,B,C)为
0001 00
1 0 0 2 00 0001
22 11 4 0 0 1 0 0 1 0
23 6 0 6 1 3
===
ABC
试求其可控标准形。
解 计算可控性矩阵
23
00 1 3 6
00 2 6 13
]
01 0 4 6
13 6 1825
=
[B AB A B A B
# #
# #
2
Ab
1
2
Ab
12
3,1= =μμ
1
Ab
2
b
1
b
可知其前四个线性无关列为 1,2,3,5列，故 μ
1
=3,
μ
2
=1,
21
11 12
28 11 3 1
13 6 0 0
[]
2100
0010
=
bAbAbb
可求出 h
1
=[2 1 0 0 ],h
2
=[0 0 1 0 ]，从而可得由
11
22,,
===APAPBPBCCP
1
1
2
2
1
2
2100
1000
0001
0010
==
h
hA
P
hA
h
经计算，可得可控标准形：
2,多输出系统的可观测标准形类似地可建立多输出系统的可观标准形，这里省略。
0100 00
0 0 1 0 00 0010
61160 13 0001
11 0 0 4 0 1
===
ABC
式中的 β 就是下列动态方程中的直接传递部分
,Ab cx xuyx uβ=+ =+
所以只需讨论上式中的严格正则有理分式部分。
1
110
0
1
()
ββ ββ
++++
=
++++
"
"
nn
n
nn
nn
ss s
gs
sas asa
设给定有理函数三、正则有理传递函数的最小实现要求寻找（ A,b,c），使得
1
() ()
=cI A bsgs
并且在所有满足上式的（ A,b,c）中，要求 A 的维数尽可能的小。 下面的讨论中总假定 g(s)的分子和分母无非常数公因式。
可构造出如下的实现 (A,b,c)
1
11
1
()
++ +
=
++++
"
"
n
nn
nn
nn
ss
gs
sas asa
βββ
问题的提法是,给定严格正则有理函数
[]
12 1
11
01 000 0
0
00 001 0
1
c
nn n
nn
cnn
aa a a
c
×
==
=
c
Ab # # # % # #
"
"ββ β
1,可控标准形的最小阶实现,
具体构造如下：
1
()Ds
u
v
()Ns
y
(3 - 34)记 所对应的系统为
1
11
11
[] []
()
==
++++ "
nn
nn
vu u
Ds
sas asa
1
21
(2)
32
(1)
1
=
==
==
==
#
令
n
nn
xv
xxv
xxv
xx v
2)
12
x x=
23
x x=
#
1nn
x x
=
()
112 1?
= = + "
n
nnn n
xv axax axu
() ( 1) (1)
11
+ ++ += "
nn
nn
vav avavu
()
()[] [] ()[]
()
== =
Ns
y gsu u Nsv
Ds
1)
写成矩阵形式：
1
11
1
11
()[] ( )[]
[]
==+++
=
"
" #
n
nn
nn
c
n
yNsv s s v
x
x
βββ
ββ β
12 1
01 000 0
0
(***)
00 001 0
1
xx
nn n
u
aa a a
=+
# # # % # #
"
3)
(***)式给出的 (A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是开始的传递函数 。 由于已经假设 g(s)无零、极点对消，故可知( ***)式对应的动态方程也一定是可观测的。 这时 A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是 n 次多项式的结果。所以 (***)式给出的就是 的 最小阶动态方程实现 。
()gs
()gs
2,可观测标准形的最小阶实现
[]
1
1
2
1
1
00 0
10
(6 18)01 0
00 1
00 01
= =
=
oo
o
Ab
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
n
n
n
n
n
a
a
a
a
β
β
β
1
11
1
()
()
()
++ +
==
+ ++ +
"
"
n
nn
nn
nn
Ns s s
gs
Ds
sas asa
βββ
可以有如下可观标准形实现：
()
[],
()
=对 考虑所对应的微分方程：
Ns
yu
Ds
() ( 1) (1)
11
(1) (1)
1
++++
=+++
"
" （）
nn
nn
n
nn
yay ayay
uuuβββ
根据拉氏变换的微分定理：
() 1 ( 1)
() () (0) (0)
= "L
ii i i
usussu u
(1)将它们代入 并经整理后有
() 1 ( 1)
() () (0) (0);
= "L
ii i i
ysyssy y
1
( ( ) / ( ))[ ]
()
= +×yNsDsu
Ds
12 0
,,,,
"显然，若 的系数已知，则对任何 就可唯一地确定 。
nn
ss s u
y
1
(
1
)
1
0
2
1
[(0) (0) (0)]
++?
（）
n
n
x
yayusβ
N
(0
1
)
{(0)
×
n
x
n
ys
2
2( (1) 3
1
(0)
122
[ (0) (0) (0) (0) (0)]
++? +?
（）
n
n
x
yay uayusββ
1
1(2)(2)
11
(0
1
)
1
[ (0) (0) (0) (0) (0)]}
+?+?
#
"
（）
+
x
nn n
nn
yay u ayuββ
N
1(2)(2)
11 11
=+? +?
#
"
2
（）
１
（２）
n
x
x
nn n
nn
xy ay u ay uββ
=
n
xy
N N
1
111 11 1
=+=?+
（）
nn
nn n
xx
n
xxyu ax xay uβ β
N
1
2(1)(1)
21 22
=+? +?
（）
n
n
x
n
x
xyay uayuββ
122 2
=?+
nn n
xxax uβ
2
3(2)(2)(1)(1)
3112233
=+?+?+?
（）
n
n
x
xyay uay uayuββ
233 3
=?+
nn n
xxaxuβ
11 1
=? +
２ nn n
xxax uβ
1
最后求 的表达式。事实上，由(2)，有 x
() () (1) (1)
11
() (1) () (1)
1
11
()
=+ ++? ++
=+? +?
" "
"
（） １ １
（） １ １
１
＋
nn n
nn
nn n
nn
xy ay u
ya
a
ay
u
yu
y
uβ
β
β
β
(1),前面提到的 为比较式(1)，我们有：
=
１
－＋＝－ ＋
nn nnn
xayuaxuββ
() ( 1) (1)
11
(1) (1)
1
+++
+
+
=
++
"
" （）
nn
n
n
n
n
n
ayyay ay
uuuβ ββ
1
11
2
221
1
2
1
000
100
010
001
01
=+
" "
" "
" "
" " #
# # #
#
# %
" "
-
-
-
综上,＝
n
n
n
n
n
nn
a
a
xx
a
xu
xx
a
a
β
β
β
[ ]
00 01= "yx
=
１
－＋＝－ ＋
nn nnn
xayuaxuββ
11 1
=?+
２ nn n
xxax uβ
11 1+?+
=?+
ii ninni
xx a x uβ
=
n
yx
可控和可观标准型实现小结
1) 在 传递函数为不可简约（无常数公因子）的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现；
2) G(s)实现为可控标准型 (A
c
,b
c
,c
c
)时,
12 1
01 000
00 001
nnn
aa aa
=
c
A # # # % #
"
0
0
0
1
c
=
b #
11
[]
= "
cnn
β ββc
其中,a
n
和 β
n
分别是分母和分子多项式的常数项。
3) 根据对耦原理，由 G(s)的可控标准型可得到其可观测标准型 (A
o
,c
o
,b
o
)：
[]
1
1
2
1
1
00 0
10
01 0
00 1
00 01
==?
=
o0
o
Ab
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
n
n
n
n
n
a
a
a
a
β
β
β
其中,a
n
和 β
n
分别是分母和分子多项式的常数项。
3,由汉克尔矩阵求实现
12
() (0) (1) (2)
=+ + + "gs h h s h s
1
01 1
1
11
()
ββ ββ
++++
=
++++
"
"
nn
nn
nn
nn
ss s
gs
sas asa
设有正则有理函数将其展开为s的降幂无限级数系数h(i)称为马尔可夫（Markov）参数。这些参数可以根据α
i
和β
i
求得。
0
11
12 2
12
(0)
(1) (0)
(2) (1) (0)
() ( 1) ( 2) (0)
β
αβ
αα β
α ααβ
=
=? +
= +
= +
#
"
nn
h
hh
h
hn hn hn h
汉克尔矩阵定义
(1) ( 2 ) (3) ( )
(2) (3) (4) ( 1)
(,) (3) (4) (5) ( 2)
() ( 1) ( 2) ( 1)
β
β
αβ β
αα α αβ
+
= +
+ ++?
"
"
"
# # # #
"
hh h h
hh h h
H hh h h
hh h h
它是由马尔可夫参数所组成的 。 h(0)并没有包含在H(α,β)中。
定理,正则有理传递函数g(s)，当且仅当对每一个
k，l=1,2,3,…有
(,) (,)= ++=rankH n n rankH n k n l n
时，其次数才是n。
由汉克尔矩阵求实现
(1) ( 2 ) (3) ( )
(2) (3) (4) ( 1)
(1,)
() ( 1) ( 2) (2 1)
(1)( 2) (3) (2)
+
+=
+ +?
+++
"
"
# # # " #
"
hh h hn
Hn n
hn hn hn h n
hn hn hn h n
1）由马尔可夫参数组成汉克尔矩阵H(n+1,n)
1
01 1
1
11
()
()
()
ββ ββ
++++
==
++++
"
"
nn
nn
nn
nn
ss sNs
gs
Ds sas asa
设有正则有理函数g(s)，其中degD(s)=n。 (D(s)和N(s)不一定互质)
该矩阵的行比列多1，且在组成H(n+1,n)时，用到了从h(1)到
h(2n)的马尔可夫参数。
设H的前σ行是线性无关的，且第σ＋1行与其前诸行线性相关。则σ＋1行后面的所有行均线性相关于前诸行。故H(n+1,n)的秩为σ，
称H(n+1,n) 的第σ＋1行为 初始线性相关行,
其后面的各行为非初始线性相关行。
当D(s)和N(s)互质时,σ=n,否则σ<n。
[]
123 1
010 0 0 (1)
001 0 0 (2)
000 0 1 (1)
()
100 00 (0)
σσ
ααα σαα
σ
==
=
=
"
"
# # # # # #
"
"
"
h
h
Ab
h
h
ceh
2）构造 g(s)的 σ维 可控且可观测实现 动态方程
Ab
c
x xu
y xeu
= +
=+
其中：
3）确定矩阵A中的系数α(α
1
,α
2
,α
3
…)
利用行搜寻算法（见附录A）
[ ]
12
(1) 0 0 ( 1,) 0Hn n
σ
α αα + = " "
其中(1)与初始线性相关行相对应。若σ=n,
则α
i
=α
n-i
,若σ<n，则就没有α
i
＝α
n-i
的关系。
注,若汉克尔矩阵的秩小于g(s)分母的次数，
则g(s)不是不可简约的。
例
131
0
242
131
1
242
31 1
(5,4) 1
42 8
115
1
284
153
1
848
=
H
组成汉克尔矩阵：
43
432
12345678
1
()
22231
11 153
0
2242 848
+
=
++++
=+ + + + "
sss
gs
ssss
ssssssss
用汉克尔矩阵求g(s)的不可简约实现容易证明H(5,4)
的秩为3，因而
g(s)的不可简约实现是3维的，
方程为：
[]
123
0
010
1
001
2
3
4
100 0.5
ααα
=+?
=+
xx
yxu
利用αH(5,4)=0,确定系数α。计算得：
[ ] [ ]
123
0.5 1 0α αα=
010
001
0.5 1 0
=
A
()若 的因子已分解成一次因式的乘积，则通过部分分式分解，可得若当标准形的最小阶实现。
gs
32
3
() 3 12 18 10
()
()
(1)(2)
+?
==
ys s s s
gs
us
ss
4,若当标准形实现例：
32
1212
()
(1) (2)
(1) (1)
= + + +
ys u u u u
ss
ss
令
1
3
1
(1)
=
xu
s
2
2
1
(1)
=
xu
s
3
1
(1)
=
xu
s
4
1
(2)
=
xu
s
但
233
2
11 1
(1) (1)
(1)
==?=
进而,xuxxu
ss
s
12
3
11
(1)
(1)
==
；xux
s
s
则
[ ]
1212=?yx
32
1212
()
(1) (2)
(1) (1)
=+++
ys u u u u
ss
ss
因
444
1
2
(2)
=?=+
最后，由 。注意到xuxxu
s
12112
21223
333
1
(1)
1
(1)
1
(1)
=?=+
=?=+
=?=+
，
，
，我们有
xxxxx
s
xxxxx
s
xuxxu
s
11
22
33
44
11 0
11 0
,[1212]
10 1
21
xx
uy x
xx
=+=?
有理传递函数g(s)实现小结
1、可控规范形和可观测规范形实现最容易获得。但是可控不一定可观测；可观测不一定可控。
2、对于可控和可观测标准形实现，只有当所给g(s)=N(s)/D(s)是不可简约(即N(s)和
D(s)互质)的，所得实现才是不可简约的。
3、由马尔可夫参数得到的汉克尔实现及约当形实现总是可控且可观测的。但约当形实现需要计算极点，有时计算过于复杂。
6.4 多变量系统的实现设多变量系统动态方程为一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系
xxu
yx
= +
=
AB
C
其中 A,B,C 分别是 n× n,n× p,q× n 的实常量矩阵，其传递函数矩阵为
()
()
det( )
adj s
s
s
=
CIAB
G
IA
式中 det(sI?A) 称为系统的特征多项式。传递函数矩阵 G(s)是一个严格正则有理函数阵，即它的每一元素都是 s的有理函数，且分母的阶次严格高于分子的阶次。
证明,反证法。
() ( )
(,,)
s adj sΔ?CIAB
ABC
若 与 无非常数的公因式，
则系统 是可控和可观测的。
定理：
(,,)
(,,)<
ABC
ABC
1
若 不可控可观测，则由定理(5-16)或
(5-17)知，存在一个维数为 的系统,有 nn
1
det(,( )?ΔIA)但 的维数是 上式成立意味 与sn s
() ()
()
det( ) det( )
adj s adj s
s
ss
==
CIABCIAB
G
IA IA
()adj s?CIAB
必发生公因式相消，矛盾。
证完。
10 10 10
01 01 01
=+ =
xxuyu
显然系统可控且可观。但传递函数阵为例,设系统方程为与单变量系统不同,本定理中的条件是系统可控可观测的 充分条件，而不是必要条件,可用以下例题来说明。
2
1
0
10
1
1
()
01 1
(1)
0
1
s
s
s
s
s
s
==
G
在 A的特征式与 之间存在公因式 (s?1)。故定理中的条件不是必要的。
()adj s?CIAB
定理,系统可控可观测的 充分必要条件 是 G(s)的极点多项式等于 A 的特征多项式，即证明,略 (见定理 6－ 2)。
() det( )s s=?IAφ
() det( )IA A
A
s s=?φ 表示 的所有特征值均是传递函数的极点。由于传递函数只反映系统的可控、可观部分，这说明 的所有特征值既不是输入解藕零点，也不是输出解直观说明藕零点。
：
在以下的讨论中，我们假定 G (s) 的每一个元都已经是既约形式，即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。
例
00 1 0
00 0 1
00 1 0
00 0 1
=
A
01
11
10
02
=
B
1000
0100
C
=
相应的传递矩阵为
11
(1)
()
11
(1)
ss s
s
s
sss
+
=
+
G
A的特征多项式为
()sG 的极点多项式为故系统是可控可观的。
22
() ( 1)sssφ = +
22
() ( 1)sssΔ =+
二、向量传递函数的实现
32 32
2
22
253 464
61
ssssss
×
++ +++
一个元素为多项式的矩阵，总可以写成矩阵为系数的多项式，例如：
32
21 54 36 04
00 10 01 61
sss
=+++
例：
[]
N
[]
N
10
1
{ 10 21}
(1)( 2)
NN
s
ss
=+
++
02 21
13 10
==
o
AB
[ ]
01=
o
c
0
N
1
N
2
11
()
1
32
s
s
ss
=
+
+ +
G
1,行分母展开时,得可观测标准形最小实现将两个元素的首一最小公分母提出，有分析：
求下列传递矩阵的最小实现：例：
2
11
()
1
32
s
s
ss
=
+
+ +
G
[]
1
2
()
1
(2)1
(1)(2)
=+
++
=Gysu
u
s
uss
2
1
2
2y
×
×cB这里,是标量。因此,阵肯定是 的,阵肯定是 的。
2
12
1
12
()
() ()
()
() () ()
1
() () ()
()
×
=
1
G "
"
=
p
p
p
p
ns
ns ns
s
ds ds ds
ns ns n s
ds
12
12
()
= ++++ "
nn n
n
ds s as as a
这是一个 多入单出 系统,其中各元均互质。 令为 G(s)各元分母多项式的首一最小公分母 (极点多项式 ）,则上式可写成：
考虑严格正则传递矩阵：一般情形：
1×N (类比于单变其中 均 常 量时的向量 ） 。常数
i
p
[] [] []
12 0
12
{}
()
+?++?
NN N
" " " "
1
nn
nn
ss
ds
但与单变量系统相比,N
i
的顺序是反的！但只要注意到 B阵的第一行是 N
0
就可以了。
于是有实现：
[]
0
1
1
2
1
1
1
00 0
10
01 0
00 1
00 01
)
n
n
n
n
np
a
a
a a
a
×
==?
=
oo
o
N
N
AB
N
c
"
"
"
#
# # % # #
"
"
（
问题,
1)这是原传递矩阵的实现吗？
2)试将上式与单输入、单输出系统的可观测标准形实现相比较,有哪些相同和不同之处？
3）这是最小实现吗？
2
23
23 22
()
(1)( 2) (1)
sss
s
ss s
+ ++
=
++ +
G
例：
[]
0000 0 04
1000 2 36
000010100 7 54
0010 9 21
0001 5 00
===?
ABC
[]
P
[][][]
021
3
32
35432
21 54 36 0 4
(1)( 2) 5 9 7 2
sss
s ss sssss
+++
=
+ +=+ + + +
NNN
N
4
0N =
2,列分母展开时,得可控标准形最小实现考虑如下单入多出系统：例：
43 2
5432
028 00
1 7 18 22 12
( ) 10 35 50 24
ss s s
ds s s s s s
++ ++
=
=+ + + +
1
N
2
N
0
N
3
N
4
N
d(s)为 G(s)各元分母多项式的首一最小公分母 (极点多项式 ）
2
2
(1)(2)(3)
22
(1)(4)
s
ss s
ss
ss s
+++
++
++
01000 0
00 1 0 0 0
00 0 1 0 0
00 0 0 1 0
024503510 1
00820
12 22 18 7 1
==
=
cc
c
Ab
C
注意,因为 G(s)的诸元素已是既约形式，故行分母
（列分母）所构造的实现一定是最小实现。这 点和标量传函一样。
N N N N
12 10
1
2
12 1
2
1
()
()
()
1
()
()
()
()
()
×
=+++
1
NN NN
G
# # # #
"
# # # #
#
=
nn
nn
q
q
q
ns
ds
ns
ds
ssss
ds
ns
ds
1
i
q×N （类比于单变量时的均列向量 常数）。
这是一个单入多出系统，可实现为可控标准形：
虑传递 阵一般地，考 矩,
注意顺序！
12 1
01 000 0
0
00 001 0
1
nn n
B
aa a a
==
A # # # % # #
"
[ ]
01 1n
qn
×
=CNN N "
问题,
1)这是原传递矩阵的实现吗？
2)试将上式与单输入、单输出系统的可控标准形实现相比较.
3)这是最小实现吗？
传递矩阵为列和行向量时的最小实现小结
1,在 各元素即约的条件下，它们的首一最小公分母就是 G(s)特征多项式；
2,G(s)为列向量 (输入为标量 ） 则可实现为可控标准型 (A
c
,b
c
,C
c
);
3,G(s)为行向量 （ 输出为标量 ） 则可实现为可观标准型 (A
o
,c
o
,B
o
);
4,上述实现均是最小实现。
三、传递函数矩阵 G(s)的实现
1,按列展开：
可以将矩阵 G(s)分成列 (行 )，按列 (行 ) 展开。以 2
列为例说明列展开时的做法。设第 i列展开所得的可控形实现为 A
i
,b
i
,C
i
，可按以下方式形成 A,
B,C:
12
12
2
11
() () ()
() ()
×
=
GNN
q
sss
ds ds
12
12 0
()
ii i
ii
nn n i
inn
ds s a s a s a
=+ + ++ "其中：
N N N N
10
12
12 1
()
=++++
NN NN
# # # #
"
# # # #
ii
ii ii
nn
nn
i
Ns s s s
1q×
向量
！
[]
11
12
22
00
,,
00
===
Ab
ABCC
Ab
则有
11 22
Ab Ab其中 （，)、(,),均可控标准形，
N N N
01
1
ii i
n
i
i
=
NN N
C
# # #
"
# # #
012
1
0100 0
0
010
0
,
0000 1
0
1
==
Ab
# # # % #
#
"
i
ii
iii
n
u
aaa a
12
CC,均具有形式：
[ ]
1
12
1
11
1
2
2
()
() 0 0
0
0( )
s
s
s
= ×
×
CI A B C C
IA b
b
IA
这一实现是可控的（ PBH检验），并可计算出上述实现的传函阵为
1
11
112 2
2
11
1112 22
0
()()
0
() ()
ss
sbs
=
=
b
CIA CIA
b
CIA CIA b
?传递矩阵按列展开的步骤：
1） 将传递矩阵写成：
1
1
111
() () () ()
() () ()
ip
ip
s sss
ds ds d s
=
GN NN " "
1
() (,,)
)
,
2,
(
(
iii
i
ii
s
ds
NAbC
Ab
把 实现为 其中，
）为可控
）
标准形；
3) 构造系统的 (A,B,C)（由 PBH检验可知系统可控制）,
11
12
,,[]
p
pp
===
Ab
ABCC
Ab
% % "
2,按行展开同理，可以将 G(s)分成行，每行按行分母展开。
以 2行为例说明行展开时的做法,设第 i行展开所得的可观形实现为 A
i
,B
i
,c
i
，可按以下方式形成 A,B,C,
11
22
1
2
A0
,,
0
0
0
==
=
B
AB
AB
c
C
c
这一实现是可观的（由 PBH检验可知），并可计算出上述实现的传函阵为 G(s)
1
1
2
1
11
1
2
2
11 1111
11
2
22 222
0
()
0
() 0
0( )
() 0 ()
0() ()
s
s
s
ss
ss
= ×
==
c
CI A B
c
IA B
B
IA
cIA B cIA B
B
cIA cIA B
?传递矩阵按行展开的步骤：
1） 将传递矩阵写成：
1
1
1
()
()
()
1
()
()
i
i
s
ds
s
s
ds
=
N
G
N
#
#
1
() (,,),
()
(,
iii
i
ii
Ns
ds
ABc
Ac
把 实现为 其中，
）为可观标准形；
2）
3） 构造系统的 (A,B,C):
111
,,
qq q
==
ABc
=C
AB c
% %
例题,给定有理函数阵为
11
13
()
11
12
ss
Gs
ss
+ +
=
+ +
解,采用行展开方法，将 G(s)写成
[ ][]
[][]
11 31
(1)(3)
()
11 21
(1)( 2)
s
ss
s
s
ss
+
++
=
+
++
G
试用行展开和列展开构造 G(s)实现。
第一个子系统第二个子系统
[] []
[] []
22
12
11
01
22
() 4 3,() 3 2,
31,11
21,11
=++ =++
==
= =
NN
ds s s d s s s
[ ][]
[][]
11 31
(1)(3)
()
11 2 1
(1)( 2)
s
ss
s
s
ss
+
++
=
+
++
G
按 (3-38)式,可得可观性实现如下
03 31
14 11 0100
,,
02 21 0001
13 11
===
ABC
容易验证这一实现是可观测的但不是可控的。直接计算可知 δ G(s)=3，而 A阵的维数是 4，
由定理可知，该实现一定不可控。要得到可控可观的实现，可以用定理对此四阶实现进行可控性分解，进而得到一个三阶的实现。
但如果用列展开方法，就可以得到可控可观的实现，做法如下：将 G(s)写成
112
()
31(2)(3)
ss
sss
=+
+++
G
2
12
() 1 () 5 6ds s ds s s= +=++
122
001
121
,,
13
===
NNN
因此可构成如下的实现
110
01,00
65 01
121
131
==
=
AB
C
这是可控性实现，它也是可观的，因而是 G(s)的最小阶实现。显然，在本例中一开始就应选择 列展开方法。这是因为各列分母次数之和为 3，小于各行分母次数之和 4。
如果不论行展开或列展开都不能得到最小阶实现，可以利用可控性分解或可观性分解进一步 降低系统的阶次。
例题,给定有理函数矩阵如下
2
32
2
12 1
()
1
0
ss
ss
s
s
s
+ +
=
G
求出 G(s)的最小阶动态方程实现。
解,各一阶子式的公分母显然是 s
3
，而其一个二阶子式的分母为 s
4
，因而其极点多项式为 s
4
,
(1) 计算 δ G(s) = 4
(2) 行展开
[ ] [ ] [ ]
[][ ]
2
3
2
12 01 10
()
10 10
ss
s
s
s
s
++
=
+?
G
构成可观性实现,(一定不可控 )
55
00000 1 0
10000 0 1
00100
01000 1 2
00001
00000 10
00010 1 0
×
===
ABC
(3) 进行可控分解,
234
10000
01100
12011
10 0 00
10 100
=
BABABABAB # #
可控性阵秩为 4，可取前四列,且作列变换，这样将使计算简便 {4列乘?1,?2加到 1,2列； 2列乘?1加到 3
列 ),3列加到 1列,3列乘?1},
1 00000
0 10000
000110
100000
0 01000
# #
# #
# #
# #
# #
再补充一列 (后一列是补充的 )，使下列矩阵为非奇异阵，记为
1
10001
01000
00010
10000
00100
=
P
000 10
010 0 0
000 0 1
001 0 0
100 1 0
=
P
(4) 可得最小实现为
0000
1000
1000
0100
10
01
10
12
0001
0010
(5) 验算,可验证可控，可观且传递函数矩阵为
1
0 0000
1 0001
10000
0 1000
0 0000
=
PAP
10
01
10
12
00
=
PB
1
00010
00100
=
CP
1
2
1
2
32
1
11
1
()
11
1
1
11 1
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
= =
IA
32 3 2
1
22
10
11 1 1112
0
01
()
11 1011
00 0
12
ss
ss s s s
s
s
ss s
++
= =
+
CI A B
2
32
2
12 1
1
0
ss
s
s
+ +
=
1
()
()
=
=
∑
GR
1
r
i
i i
s
s λ
qp×若 矩阵可以写成下列形式：定理：
=RR令 。将 进行秩分解 即证,
ii i
rank n明：
(),=× = =RCB C B、
iii ii ii
rank n rank n
i i
qpλ ×R其中,为 常数矩阵。互不相同,则我们有
1
()
=
=
∑
GR
r
i
i
srankδ
× ×CB其中,和 分别为,阵。
ii ii
qn n p
3,按约当形展开
() ()
=
RCB
11
注意到 恰可构成一最小实现：
iii
ssλλ
1
() )
()
GCBCIAB
==?
1
（
iiiii
i
ss
s λ
这里，
利用 PBH检验，其最小实现的结论为显然。
1
)
()
×
=?=
AIAI
%
1
（
i
ii
i
iin
i
i
nn
s
s
λ
λ
λ
再用直和方式构成：
1
(PBH) (,,)
=
∑
ABC
R
根据若当形判据 容易证明此时 是最小实现，其维数为 。显然，
r
i
i
rank
[]
11
22
12
,
i
rr
r
λ
==
=
AB
AB
CCC C
% #
"
互不相同
1
()
=
∑
GR=
r
i
i
srankδ
证完。
[] [] []
[] []
123
12 3
45
45
11 1
100 110 001
00
010 001
11
34
ss s
=+?+
++
++
BBB
CC C
例题：
111
11 1 1
(1) 1 2
112
()
111
111
34
34
ss s s
ssss
s
sss
ss s
+++
+ ++
==
+ +
++
G
100 110 001
11 1
100 0 00 00012
000 000
11
010 00134
ss s
ss
=+ +
++
++
1
R
2
R
3
R
4
R
5
R
G(s) 的一个最小实现为
010
111
200
301
4001
11100
10011
==?
=
AB
C
12345
CC C C C
1
2
3
4
5
B
B
B
B
B
小结
6.2 正则有理矩阵的特征多项式和次数
6.3 正则有理函数的不可简约实现
一单变量系统的标准形(7-2规范形动态方程)
1,可控标准形实现
2,可观测标准形实现
二多变量系统的标准形(7-2规范形动态方程)
1,多输入系统的可控标准形
2,多输出系统的可观测标准形
三、正则有理传递函数的最小实现
1,可控标准形的最小阶实现
2,可观测标准形的最小阶实现
3,汉克尔矩阵实现
4,若当标准形实现
6.4 多变量系统的实现
一、动态方程的可控性、可观测性与传递矩阵之间的关系
二、向量传递函数的实现
1,行分母展开时,得可观测标准形最小实现
2,列分母展开时,得可控标准形最小实现
三、传递函数矩阵G(s)的实现
按列展开、按行展开、约当形展开作业
6－ 10
6－ 11
