第五章 线性动态方程的可控性和可观测性
5.1 引言
5.2 时间函数的线性无关性
5.3 线性动态方程的可控性
5.4 线性动态方程的可观测性
5.5 线性动态方程的规范分解
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性给定线性系统：
在本课程以下的讨论中，始终 假设：
(),(),(),()××××ABCE为为为为阵。tnntnptqntqp
2),u(t) 是定义在 上连续或分段连续函数组成的控制向量。这样的控制称为 容许控制 。
0
[,)t +∞
1),A(t),B(t),C(t),E(t) 各个分量在上连续；
0
[,)t +∞
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
=+
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
一,基本假设和容许控制
5.1 引言注1,一个函数 f 称为在 上分段连续，系指对任意给定的闭区间,
其不连续点的个数有限。
0
[,)t +∞
12 0
[,] [,)tt t?+∞
注2,也存在其它类型的控制信号，但容许控制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广泛的一类控制信号。
注3,A(t),B(t),C(t),E(t) 各个分量连续的假设可以放宽到分段连续,但会在理论分析上带来一些困难。
5.1 引言二,可控性和可观测性的概念提出在系统分析和设计中两个关键问题是,
例,考虑如下二阶系统：
11 11
2222
10 1
01 0
xxu xx
u
xx
=? +?
= +
=
1),系统的状态能否由 u 来控制？
状态 x
2
显然不能通过输入 u来改变其运动轨迹。事实上，若 x
2
(t
0
)非零,x
2
将发散到无穷。
5.1 引言
5.1 引言
∫
1
x
1
x
1?
u
∫
2
x
2
x
对许多反馈系统来说，仅有输入和输出信号是可以测量的。但为了进行控制律的设计，必须了解系统的内部状态。因此，系统的状态能否通过输出来反映的问题就变得十分重要。
2).系统的状态能否由输出来反映？
5.1 引言例,考虑如下二阶系统，其中仅输入和输出可测量：
显然，在这个例子中，系统的状态不能被完全观测到。事实上,x
1
和输出 y没有直接和间接的联系。
11
22
2
4
52
6
x xu
x xu
yx
=+
=? +
=?
G(s)
u
y
∫
1
x
1
x
4
u
∫
2
x
2
x
5?
2
6?
y
观过输来
1
直 地看，x不能通 出反映出 。
5.1 引言
5.1 引言
1),系统的状态能否由 u 来控制？ ——导致可控性概念的提出；
2).系统的的状态能否由输出来反映？ ——导致可观测性概念的提出。
由动态方程：
() ()
() ()
x tx tu
ytxtu
= +
=+
AB
CE
可知，可控性要研究的是矩阵对 (A(t),B(t))
的关系；由于系统是否可观测不取决于输入信号的具体形式，反映的是系统自身结构的性质，因此，可令 u=0，则显然，可观测性要研究的是矩阵对 (A(t),C(t)) 之间的关系。
5.1 引言可控性和可观测性问题是控制系统分析和设计中必须回答的问题。
若不能回答对象可控性和可观测性的问题，系统控制器 C 有可能无法设计。
典型的输入/输出反馈控制系统,
仅输入 u 和输出 y 可测量
5.1 引言
y
G
p
C
u
11 2 2 1 2
() () () 0 [,]α αα+++=?∈ "
nn
ft ft ft t tt
若存在一组不全为零的复数
12
,,,,
n
α αα "
使得成立，则称在复数域上，实变量复值函数
12
,,f f
,
n
f "
在区间
12
[,]tt
上线性相关。否则，称其为
12
[,]tt
上线性无关。在定义：考虑一组定义在区间
12
[,]tt
上的复值 连续函数
12
,,,,
n
f ff "
有：
5.2 时间函数的线性无关性一、一组给定函数在某个区间上的线性相关性
1.标量情形：
2) 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性不同，当讨论一组变量的线性相关性或无关性时，给出 变量所定义的区间 至为重要。
3）
12
,,,
n
α αα "
为复常数。
4) 不失一般性，可假设 t
2
>t
1
。 f
i
(t) 在区间上的连续性假设将贯穿于整个讲义。
注意：
1) 实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函数。
5.2 时间函数的线性无关性例,令 f
1
(t)=t,f
2
(t)=t
2
，讨论它们在 [0,1]上的线性相关性。
根据定义，考虑方程 。这样的常数
α不存在，因此，它们在 [0,1]上线性无关。
2
,[0,1]α=?∈ttt
5.2 时间函数的线性无关性
1
(),f tt= [1,1]t∈?
2
,[0,1]
()
,[1,0]
tt
ft
tt
∈
=
∈?
例,讨论定义在
[1,1]? 上的两个连续函数
1
f
和
2
f
分别在
[ 1,0],[0,1],[ 1,1]
上的线性相关性和线性无关性：
5.2 时间函数的线性无关性从上例可见，虽然一个函数组在某个时间区间
[t
1
,t
2
]上是线性无关的，但在 [t
1
,t
2
] 中的某个子区间上却可以是线性相关的。然而在 [t
1
,t
2
]上一定存在这样的子区间，函数组在这个子区间上是线性无关的，而且在包含这个子区间的任何区间上都是线性无关的。在上述例子中,[?ε,ε ] 就是这样的子区间，这里 ε 是小于 1的任何正数。
5.2 时间函数的线性无关性将以上概念推广到向量函数组的情形。令 f
1
,
f
2
,…,f
n
为 1× p 维复值向量函数，若存在不全为零的复数
12
,,,
n
α αα "
，使得
11 2 2 1 2
() () () 0 [,]ff f
nn
tt tttα +++=?∈ "
则称 1× p维复值向量函数 f
1
,f
2
,…,f
n
在 [t
1
,t
2
]
上线性相关。否则，称为线性无关。
线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时更为有用：
2.向量情形：
5.2 时间函数的线性无关性
1× p维复值向量函数组 f
1
,f
2
,…,f
n
在 [t
1
,
t
2
]上线性无关，当且仅当
1
2
12
[]()00
= =?=
f
f
αF
f
"
#
n
n
tαα α α
12
[],
n
= "ααα α
1
2
()
=
f
f
F
f
#
n
t
5.2 时间函数的线性无关性二,Gram 矩阵定义,设 f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [t
1
,t
2
]上的 1× p
维复值向量函数,F是由 f
i
构成的 n× p矩阵。则称 2
1
12
(,) () *()WFF
×
=
∫
t
nn
t
tt t tdt
为 f
i
(i=1,2,…,n) 在 [t
1
,t
2
]上的 Gram矩阵。其中，
F*表示 F的复共轭转置。
5.2 时间函数的线性无关性注意,当给定 t
1
和 t
2
后，上式右端的积分是常数阵。
下面的定理将表明,Gram矩阵的引入给向量组无关性判别带来了很大的方便。
定理5-1,令f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [ t
1
,t
2
]上的1Xp
复值连续函数，令F是以f
i
为其第i行的nXp矩阵，则f
1
,f
2
,…,f
n
在[t
1
，t
2
]上线性无关的充分必要条件是nXn常值矩阵W( t
1
,t
2
)非奇异。
5.2 时间函数的线性无关性证明：充分性,反证法。
事实上，若 f
i
线性相关，则存在非零 1× n行向量 α，使得
12
() 0 [,]α F ttt? =?∈
2
1
12
(,) () *() 0WFF?=? =
∫
t
t
tt t tdtαα
因此有即 W(t
1
,t
2
) 行线性相关,矛盾。
12
det (,) 0W tt?=
5.2 时间函数的线性无关性必要性,反证法,设f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关，但
W(t
1
,t
2
) 奇异。故必存在一个 1× n 行向量 α，使得
12
(,) 0W? =ttα
或者
2
1
**
12
(,) [F()][F()] 0W?= =
∫
t
t
tt t t dtαααα
因为对于[ t
1
,t
2
]中所有 t，被积函数是非负的连续函数，故前式意味着：
12
() 0 [,]F =?∈tttα
矛盾。
5.2 时间函数的线性无关性例,令 f
1
(t)=t,f
2
(t)=t
2
。讨论它们在 [0,1]上的线性相关性。令
1
2
2
()
()
()
==
t
ft
t
ft
t
F
考虑 Gram矩阵：
11
2
01
2
0
(,) (0,1) () () [ ]
11
34
11
45
== =
=
∫∫
t
tt t t ttdt
t
0
WWFF*
这个例子表明了 Gram矩阵的一些特有性质。
5.2 时间函数的线性无关性定理5-2：设 f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [t
1
,t
2
]上的 1× p
的复值函数，且在 [t
1
,t
2
] 上有一直到 (n?1)阶的连续导数。令 F表示这些向量构成的 n× p矩阵,F
(k)
表示
F 的第 k 阶导数。若在 [t
1
,t
2
] 上 存在 某个数 t
0
,使得如下 n× np 矩阵三、一些有用的判别准则
(1) ( 1)
00 0
[() () ()] (5 6)
n
rank t t t n
=?FF F "
则在 [t
1
,t
2
]上,f
1
,f
2
,…,f
n
在复数域上线性无关。
5.2 时间函数的线性无关性证明：（略）
需要注意的是，定理5-2仅是充分条件。可以举出反例。
1
22
2
1
()
() [0,1] [ () ()]
()
2
==?∈? =
tt
ft
ttt
ft
t
例,FFF'
5.2 时间函数的线性无关性
3
1
3
2
32
32
32
32
()
() [ 1,1]
()
3
(0,1] [ () ()]
3
3
[ 1,0] [ () ()]
3
00
t0 [() ()]
00
==?∈?
=
=
=
及＝时，
t
ft
t
ft
t
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
例,F
FF'
FF'
FF'
定理5-3,假设对每个 i,f
i
在[ t
1
,t
2
]上解析。令 t
0
是[ t
1
,t
2
]中的 任一 固定点，则向量函数组f
i
在[ t
1
,t
2
]上线性无关的 充分必要条件 是
(1) ( 1)
00 0
[() () () ],(5 7)
=?FF F " "
n
rank t t t n
5.2 时间函数的线性无关性证明,充分性的证明与定理 5-2相同，即用反证法可证明。 必要性,反证法。
若不然,f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关，但却有
(1) ( 1)
00 0
[() () () ],FF F
< " "
n
rank t t t n
0, ≠ 使得α
(1) ( 1)
00 0
[() () () ] 0FF F
n
tt t
= " "α
()
0
() 0,0,1,F
j
tj?== "α
5.2 时间函数的线性无关性因为 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析,
00
0,[,],tt tε εε >?∈? +使得
()
0
000
0
()
() ( ) 0,[,],
!
FF
∞
=
= ≡?∈?+
∑
n
n
n
tt
tttt
n
αα ε
12
() 0,[,],F?=?∈tttα （解析开拓）
与 f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关的假设相矛盾。
()
0
0
0
()
() ( )
!
FF
∞
=
=
∑
n
n
n
tt
n
5.2 时间函数的线性无关性对于定理 5-3，有：
5.2 时间函数的线性无关性
(1) ( 1)
[() () () ]FF F
= " "
n
rank t t t n
注2,若向量组 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析且线性无关，则 f
i
在 [t
1
,t
2
]的每一个 子区间 上也线性无关。
注意,注 1是无穷矩阵。如不注意到这一点容易出错 ;
注 2中 t是 [t
1
,t
2
] 中的任一固定点（ 包括端点 ）！
注1,若 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析且线性无关，则对所有,有
(1,,)in= "
12
[,]ttt∈
例,令
sin1000
()
sin 2000
F
=
t
t
t
5.2 时间函数的线性无关性
3
(1)
3
sin1000 10 cos1000
() ()
sin 2000 2 10 cos2000
FF
tt
tt
=
×
容易看出，当 时,rank[F(t) F
(1)
(t)]
<2。
0,,
1000
t
π
=± "
推理5－3,设f
i
(i=1,2,… n)在[ t
1
,t
2
]上解析，则f
i
在[ t
1
,t
2
]上线性无关的充分必要条件是在[ t
1
,t
2
]上几乎处处有
(1) ( 1)
[() () ()]FF F
= "
n
rank t t t n
证明：（ 略）
5.2 时间函数的线性无关性例,给定函数
12 3
() sin,() cos,() sin2= ==ft t ft t ft t
讨论它们是否在 上线性无关。 (,)?∞+∞
解,由于这三个函数都是 上的解析函数，
考虑利用以上定理。定义向量：
(,)?∞+∞
1
2
3
sin
() cos
sin 2
==
ft
tf t
ft
F
5.2 时间函数的线性无关性
sin cos sin
() () ()] cos sin cos
sin 2 2cos 2 4sin 2
=?
tt t
tt t t t t
tt t
考虑下列矩阵：
[F F' F''
5.2 时间函数的线性无关性
4
=t
π
取,代入上式，有
0
2
∞∞
=
故这三个函数在(-,+ )上线性无关。但若取或,所得到的矩阵都是降秩的。t
π
5.2 时间函数的线性无关性
4
11 1
22 2
sin cos sin
111
cos sin cos
222
sin2 2cos2 4sin2
10 4
=
=
t
tt t
tt t
tt π
5.3 线性动态方程的可控性
1.可控性的定义一、可控性的定义及判别定理若对状态空间中的 任一非零状态 x(t
0
)，都存在一个有限时刻 t
1
>t
0
和一个容许控制 u
[t0,t1]
，
能在 t
1
时刻使状态 x(t
0
) 转移到零，则称状态方程在 t
0
时刻是可控的。反之称为在 t
0
时刻不可控。
（此定义与书上定义不同，是两种定义方式）
() ()xAxButt= +
定义5-1:
令初始时刻电容两端的电压 x(t
0
)为零，因网络的对称性使得无论施加何种控制，都不能在有限时刻 t
1
使
x(t
1
)发生变换。根据以上定义，系统在 t
0
不可控。
y
_
+
+
_+
_
x
u
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
例5-4,考虑由如下网络组成的系统：
说明如下,
1,定义仅要求输入u能在有限时间内将状态空间中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加限制的控制称为 无约束容许控制 。
2,t
1
时刻是依赖于初始状态的，但是由于状态空间是有限维的，因此对可控系统来说，必对所有的
（任一）初始状态都存在一个共同的有限时刻 t
1
，也就是说,t
1
可以取得与初始状态大小无关。
3,与可控概念相反,只要存在一个非零初态 x(t
0
)，
无论 t
1
取多大，都不能找到一个容许控制将这个状态 x( t
0
)控制到 x( t
1
)=0，这时称系统在 t
0
是不可控的。
4,这里所定义的可控性有时称为 到达原点的可控性 。 定义5-1所阐述的到达原点的可控性与状态空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的
。
2,可控性的一般判别准则定理5-4,状态方程
() ()AB= +
xtxtu
在 t
0
可控之充分必要条件是存在一个有限时间
t
1
>t
0
，使得nXp矩阵 的n个行在[t
0
,t
1
]
上线性无关。
0
,)()Φ(Bt τ τ
证明,充分性,证明是构造性的，思路如下：
1,注意到 的 n行在 [t
0
,t
1
]上线性无关，定义
1
0
01 0 0
(,) (,)()*() *(,)W Φ BB Φ=
∫
t
t
tt t t dττ τ ττ
为非奇异。
0
(,)()t τ τΦ B
2,对于任给的 x(t
0
),构造如下控制输入
1
001001
() *() *(,) (,)[ (,) ]
=B Φ W Φut t t t t t x t t x
01
[,]∈ttt
将上式定义的 u代入状态方程的解中，求出 x
1
时刻的状态即为 x(t
1
)。
{}
1
0
1100 1
1
001001
1
10 0 01 01 0 01 1
10 01 1 1
() (,)() (,)()
*( ) *(,) (,)[ (,) ]
(,) () (,) (,)[ (,)]
(,) (,)
=?
=
==
∫
ΦΦB
B Φ W Φ
Φ WW Φ
ΦΦ
t
t
xt tt xt t
tttxtxd
tt xt tt tt x ttx
tt ttx x
ττ
ττ τ
本证明同时给出了 x(t
0
)转移到 x(t
1
)的输入u(t),
必要性,反证法设在 t
0
时刻方程可控，但对任何 t
1
>t
0
,
0
(,)()t τ τΦ B
在 [t
0
,t
1
]上都是线性相关的，则可以选定一向量使下式成立：
001
0(,)()0 [,]≠=∈Φ B,tt t t ttαα
又由于方程在 t
0
时刻可控，当取 x(t
0
)= 时，存在有限时刻 t
1
>t
0
和 u
[to
,
t1]
,使 x(t
1
)=0，即
*α
1
0
110 0
() (,)[ * (,) ()() ] 0ΦΦB=+ =
∫
t
t
xt t t t u dατττ
1
0
0
(,)()()
=?
∫
Φ B
t
t
tudατττ
00
= =αα α
矛盾。 证完。
例,讨论如下系统在任意时刻 t
0
的可控性,
2
1
00
()
01
=+
t
xxu
e
，I
1
00
()
01
=+
t
xxu
e
II
0
1
1
0
()
10
0
(,)
01
0
Φ =
+
tt
s
tt
s
e
由 L
00
1
01
() 2
2
10 11
(,) ()
0
Φ= ==
tt
f
tB
f
eeee
τ τ τ
ττ
00
1
02
()
2
10 11
(,) ()
0
Φ= ==
tt
f
tB
f
eee
τ τ
ττ
可采用前一节介绍的方法来判断 f
1
和 f
2
的线性相关性。
故推论5-4,状态方程在 t
0
可控的充分必要条件是存在有限时刻 t
1
>t
0
使得 W(t
0
,t
1
) 为非奇异。
通常将 Gram矩阵 W(t
0
,t
1
) 称为可控性 Gram
矩阵，或简称为可控性矩阵。
证明,直接利用定理 5-4。
3,可控性的一个实用判据为了应用定理5 —4，必须计算 的状态转移矩阵,这是一件困难的工作。
t()=xAx
ttφ
0
(,)
假定 A(t),B(t)是 (n?1)次连续可微的，定义矩阵序列 M
0
,M
1
,…,M
n?1
如下：
k
kk
dt
ttt k n
dt
1
1
()
() () () 1,2,,1
=? +=?
M
MAM "
tt
0
() ()=MB
易于验证，以上矩阵序列满足：
Φ
Φ
k
k
k
tt t
tt t
t
0
0
(,)()
(,) ()
=
B
M
定理5 —5,设状态方程 dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵
A(t),B(t)是 (n?1)次连续可微的。若存在有限时间
t
1
>t
0
,使得
n
rank t t t n
01 11 11
[() () ()]
=MM M "
则状态方程在 t
0
时刻可控。
证明：
只要证明存在一个 t
1
>t
0
，使得行线性无关就可以了。而根据定理 2-2，若能找到一个 t
1
>t
0
，使得
001
(,)() [,]Φ B? ∈tt t t tt
n
n
tt
tt
n
tt t tt t
tt t
t
t
tt t t t
1
1
1
00
01 1
1
01 01 11 11
(,)() (,)()
[(,)() ]
(,)[ () () ()]
=
=
=
BB
B
MM M
"
"
ΦΦ
Φ
Φ
n
rank t t t n
01 11 11
[() () ()]
=MM M "
的秩是 n 就可以了。由有 Φ(t
0
,τ)B(τ)在 [t
0
,t
1
]上行线性无关。 证完。
例,讨论如下系统的可控性：
x t
x
xt u
x
x
t
1
1
22
2
3
3
010
00 1
1
00
=+
0
100
2
0
() 1
1
1
() () () ()
t
d
ttt tt
dt
t
=
=? +=?
M
MAM M
直接计算得到：
22
211
44
0
() () () () 1 1
2
2
tt
d
ttt tt t
dt
t
ttt
=? +=+? =?
MAM M
t
tt
tt t
MMM
2
012
24
01 2
[]11
12
=
易于验证，上述矩阵的秩对任意 t
1
>t
0
都为 3，故系统对任意 t
0
都是可控的。
注意：
? 该定理无需计算状态转移矩阵。但需要特别注意的是，仅是一个充分条件；
? 该定理在时变线性系统的可控性分析中是很重要的。
定理5 —6
*
,设状态方程 dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵
A(t),B(t)在（ -∞,∞）上解析，则对（ -∞,∞）上的 任一固定的 t
0，
式
n
rank t t t n
00 10 10
[() () ()]
=MM M " "
成立，是n维状态方程在（ -∞,∞）对每一个 t均 微分可控 的充分必要条件。
微分可控性,对于状态空间中的任一状态x(t
0
)和任一其他状态x
1
，存在一个输入u，它能在一个任意小的时间区间内，将状态x(t
0
)转移到x
1
，则称状态方程E是在t
0
微分（完全）可控的。
微分可控性包含了可控性。
定义,若对 t
0
时刻状态空间中的 任一 非零状态 x(t
0
)，
存在着一个有限时刻 t
1
<t
0
和一个容许控制，能在 [t
1
,t
0
]内使状态 x(t
1
)=0转移到 x(t
0
)，则称状态方程在 t
0
时刻是可达的。
二、可达性的概念
t
0
t
1
可控
t
0
t
1
可达
() ()AB= +
x tx tu
定理,状态方程在 t
0
时刻可达的充分必要条件是存在有限的 t
1
<t
0
，
使得 在 [t
1
,t
0
]上行线性无关，或等价地，下列可达性矩阵非奇异 (t
1
<t
0
)：
0
(,)()Φ Bt ττ
0
1
10 0 0
(,) (,)() *() *(,)Y Φ BB Φ=
∫
t
t
tt t t dττ τ ττ
三、时不变系统的可控性判据若线性时不变状态方程是可控的，则必在每一个t
0
≧0可控，并能在任意非零的时间区间内，完成从任一状态至任一其他状态之转移。因此，在线性时不变状态方程可控性的研究中，经常略去参考点t
0
和t
1
。
定理5-7：对于 n 维线性时不变状态方程当且仅当下列条件之一满足时，动态方程就是可控的。
(2) e
At
B（也即 e
At
B）的行在 [0,+∞ )上是复数域行线性无关的；
+∞
(1) 在 [0,)中的每一个 t
0
,动态方程可控；
(3)对于任何 t > t
0
，矩阵
00
0
() *()
0
(,) *
AA
WBB
=
∫
t
tt
t
tt e e d
ττ
τ
非奇异；
(4) rank[B AB … A
n?1
B]= n ；
(5) 在复数域上，矩阵 (sI?A)
1
B的行是线性无关的；
(6) 对于 A 的任一特征值,都有
i
λ []? =IAB #
i
rank nλ
(7) 约当规范形 （后面单独介绍）
注一：上述条件 (3)
1,也称为 Gram矩阵判据，该判据的意义不在于具体判别中的应用，而在于理论分析和推导中的应用。由于判别过程包括矩阵指数函数计算和积分计算，对高维系统较困难。
2,基于 Gram矩阵可给出使任意非零初态在有限时间内转移到原点的控制输入的构造关系式。
1
10
() () (0,) ( )
=?
T
BW
T
At
ut te t xt
1
[0,]∈tt
注二：上述条件(4)
也称为秩判据。该判据直接基于系统矩阵 A和
B，且只涉及矩阵的相乘和求秩运算，因而在具体判别中得到广泛应用。
注三：PBH判据包括上述条件(5) (6) （ (5)是条件(2)在复域中的应用 ）
PBH是三个人名字的首字母。 PBH判据包括
PBH秩判据和 PBH特征向量判据。 PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频率域分析中。 对状态方程做线性非奇异变换不改变系统的能控性 。
注四：上述条件(7)
也称为约当规范形判据。其特点是判别的直观性，只需直接观测输入矩阵或通过简便计算就可给出判别结果。
例：利用秩判据判断系统的可控性 （书上P141例7）
设平台质量为零，外力由两个弹簧系统相等的承担。假定弹簧常数都是1，摩擦系数分别为2和1。
11
22
0.5 0 0.5
01 1
=+
xx
u
[]
0.5 0.25
2
01
= =
#rank B A B rank
(1)、如设x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在 2秒 内静止？
[]
0.5
2
0
0.5
00.5
(0,2)
1
0
01.66.3
0.5 1
6.33 27
0
=
=
∫
e
W
e
e
d
e
τ
τ
τ
τ
τ
[]
0.5
1
0.5
010
() 0.5 1 (0,2)
1
0
44.1 20.7
=?
=? +
tt
e
ut W
e
ee
τ
τ
(2)、如设x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在 4秒 内静止？ (计算过程略)
下图实线给出了x
1
、x
2
、u（2秒使系统静止）的变化过程。 虚线为4秒使系统静止的情况。
(3)、如设两个弹簧系统的粘性摩擦系统和弹簧常数均等于1，x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在2秒内静止？
11
22
10 1
01 1
=+
xx
u
[]
11
12
11
= =<
#rank B AB rank
此时系统不可控，当然无法实施一个控制信号u，
使得系统在2秒内静止。
当x
1
(0)=x
2
(0)时，则可以找到一个输入，在有限时间内转移状态为零。
例：利用PBH判据判断系统的可控性(P140例6，图3-15)
01 0 0 0 1
00 10 1 0
00 0 1 0 1
00 5 0 20
=+
xxu
[ ]
10 0 0 1
01010
,
00 101
005 20
=
IAB
λ
λ
λ
λ
λ
矩阵A的特征值为λ
1
= λ
2
=0,λ
3
=,λ
4
=5
5?
经计算可知，对应于每一个特征值的判据秩都为
4，因此系统是可控的。
i
tk
te
λ
（ k =0,1,2,…,n
i
,i=1,2,…,m）
称为方程
xAxBu= +
通常我们把 A的特征值 λ
i
称为系统的 振型 或 模态,把 e
At
中的与 λ
i
相对应的 模式 。
四、时不变系统的振型（模态）、模式
1.振型（模态）与模式的定义定义,凡使矩阵 [A?λ
i
I B] 满秩的 λ
i
称为 可控振型 ；
使矩阵 [A?λ
i
I B]降秩的 λ
i
称为 不可控振型 。
? 不可控振型所对应的模式与控制作用无耦合关系，因此不可控振型又称为系统的 输入解耦零点 。
? 一个线性时不变系统可控的充分必要条件是没有输入解耦零点。
考虑系统例：
有重根2。利用PBH 检 验法：[A-2IB],有
11
22
1
0
=+
21
02
xx
u
011
[2]
000
=
AIB
系统不可控。
由结
，
构图可知：
∫
1
x
1
x
2
u
∫
2
x
2
x
2
2
22
() (0)=
t
xt ex
与该不可控的模态2相对应的模式是 e
2t
，它与控制无耦合关系。
可见，在这两个重根中，有一个模态是不可控的，另一个模态是可控的。实时上
2,特征根(模态） 的重数与可控性
?当 λ
0
为简单特征值时：
[ ]
0
AIBrank nλ?<,不可控模态；
,可控模态。
0
λ
0
λ
[ ]
0
AIBrank nλ?=
?当 λ
0
为重特征值时：
当 λ
0
是 A的 重特征值 时，若 rank[A?λ
0
I B]<n,
只能断言至少有一个 λ
0
不可控，并不能说所有的 λ
0
都不可控，究竟有几个 λ
0
是可控的，几个 λ
0
是不可控的，需要用其它方法补充研究，主要是
a) 计算可控性矩阵的秩
b) 进行 可控性分解 (将在后面介绍 ) 。
例题,
123
1001
10
110
000
Abbb
λ
λ
λ
λ
====
[ ]
3,1,2,3AI? == 。
i
rank iλ b
计算矩阵 [A?λ
0
I b] 的秩区别不出这三种不同情况。 而可控性矩阵的秩却显示出这种差别,
对此例也可以直接用可控性分解来判断。
23
22 2 2
2AA A
=
rank bb b b
23
33 3 3
1AA A
=
rank bb b b
23
11 1 1
3AA A
=
rank bb b b
,一个模态不可控；
,二个模态不可控；
,三个模态不可控；
3,可控性与模式若线性时不变动态方程可控即没有输入解耦零点时，则输入能激励方程的所有模式。另一方面，输入也能抑制任何所不希望的模式。
例,考虑方程
[]
01 1
21 0
12
x xu
yx
=+
=
容易验证系统是可控的。 A 有两个特征值?1和 2。
因此方程有两个模式 e
t
,e
2t
。希望找到一种控制 u
来抑制模式 e
2t
。
计算 e
At
：
22
22
1211
33 33
2221
3333
A
tttt
t
tttt
eeee
e
eeee
+?
=
+
令,则当 时，
0
0,utt=?≥
0
tt≥
10
20
2
10 20 10 20
()
[1 2]
()
51
[() ()] [()2()]
33
A
=
=+ +?
t
tt
xt
ye
xt
xt xt e xt xt e
取,则当 后，输出将不再包含 。由于系统可控，完全可以找到这样的容许控制,使得 满足上述条件。
10 20
() ()x txt=?
0
tt>
2t
e
0
[0,]t
u
10 20
(),()x txt
五、简化的可控性条件在许多情况下，利用可控性矩阵来判断可控性时，无须计算出矩阵 [B AB,…,A
n?1
B]，而只须计算一个列数较小的矩阵。记
U
k?1
=[ B AB … A
k?1
B]
定理,若 j 是使 rank U
j
= rank U
j+1
成立的最小整数，则对于所有 k >j，有
rank U
k
=rank U
j
并且 j≤ min{n?r,?1}
其中 r 是矩阵 B的秩,是矩阵 A的最小多项式的次数。
n
n
F ×
i
pp其中 为 的子阵。
1
[][ ]BAB AB BAB AB A B
+
= " "
jjj
rank rank
1
[]AB BABAB
jj+
"的每一列可由矩阵 的各列线性表出,即
0
1
1
[]
F
F
AB=BABAB
F
+
"
#
jj
j
1
UU
+
=
jj
rank rank1）
证明
21
AB=A(AB)
+ +jj
现在考虑 。显然，
0
1
21 1
[]
2
F
F
AB=AAB=ABABAB
F
++ +
"
#
jj j
j
00
11
0
0
[]
G
FF
IFF
BAB AB
IFF
p
j
p jj
=
"
# # #
2
[]AB BABAB
+
"
jj
这说明 的各列也可由 的个列线性表出。依次类推，就是所要证明的。
min{,1} A
B
≤j nrn n
r
证明,这里 是 的最小多项式的次数,是 的秩。
2）
[]BBAB= >rank r rank r事实上，若 且
[]1BAB?≥+rank r ;
[][]
2
BABA B BAB>rank rank进而，若
[]2
2
BABA B?≥+rank r
,,U?rank n j n r由于 最多是 故 最多取到 即;≤?j nr
[]()BAB A B
≥+? =
#
"
nr
rank r n r n
() A另一方面，令 为 的最小多项式,ψλ
1
1
()
=+ + "
nn
n
ψλ λ αλ α
12
AB,AB,
+ +
"与前面的分析类似,均可表示为
nn
证完。
1
[]BAB A B
"
n
1≤?j n各列的线性组合。因此，必有 。综上，
min{,1}≤j nrn
根据最小多项式的性质，有
1
1
() 0AA A I
= +++= "
nn
n
ψαα
1
[]AB BAB A B
"
nn
的各列可表示为 中各列的线性组合。
,(,)=BAB若则论 可控的充分必要条5 件是
rank r-7：推事实上，根据上面的分析可知，若
[]UBABAB
= = "
nr
nr
rank rank n
[]BAB A B
< "
nr
rank n
则系统肯定不可控了。
定义,设系统可控。令使得 rank U
j
=rankU
j+1
=n成立的最小整数 j 为 (ν?1)，则称 ν 为方程
ABux x= +
的 可控性指数 。对可控系统，由
nj= ν? 1≤ min{n?r,?1}
ν ≤ min{n? r,? 1} +1
n
系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。
例5-11,考虑如下二阶系统：
[]
11
22
01 0
00 1
10
xx
u
ycx x
=+
==
5.4 线性动态方程的可观测性其状态转移阵为
0
0
1
()
01
=
tt
ttΦ
一、可观测性的定义
0
0
101 0
202
()()
1( )
01
()
=+
∫
∫
t
t
t
t
tud
xx tt
xx
ud
方程的解为：
τττ
ττ
0
100
20
1( )
[1 0] ( ) ( )
01
=+?
∫
=
t
t
xtt
ycx t u d
x
τττ
0
(,)cttΦ
10 20
10 20
[]
[]
T
T
yxx
xx y
由于 是一维的，而 却有两个未知数，故为了得到 还要对 进行加权处理。为此，考虑分析：
0
0
*(,) *
101
()10
tt c
tt
Φ
用 乘上式的两边，得
000
0
0
100
20
(,)*(,) * *(,) *
0
*(,) *
10 10111()
[1 0]
()1 ()1
101
()()
()10
ΦΦΦ
Φ
+?
∫
=
ctttt c tt c
t
t
tt c
xtt
y
tt tt x
tud
tt
τττ
tt
01
对上式从 到 积分，即：
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
(,,) (,,)
11
()()
23
=+
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
经整理后得
11
00
1
00
10
000
20
0
*(,)*() *(,)* *(,)
{*(,)*( )() }
Φ=ΦΦ
+Φ?
∫∫
∫∫
tt
t
t
tt
x
ttcytdt ttcc ttdt
x
tt c t u d dtτττ
已知已知
10
,tt>不难验证，对任意的
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
(,,) (,,)
11
()()
23
=?
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
由此可得：
已知
2
10 10
4
10
23
10 10
1
()()
1
2
det ( ) 0
11 12
()()
23
tt tt
tt
tt tt
=?≠
1
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
[(,,) (,,)]
11
()()
23
=?
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
故：
这个例子说明，通过对系统输入和输出信息的测量，经过 一段时间的积累和加权处理 之后，我们可以唯一地确定出系统的初始状态，也就是说，输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定，则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。
定义5－5,若对状态空间中 任一非零初态 x(t
0
)，存在一个有限时刻 t
1
>t
0
，使得由输入 u
[t0,t1]
和输出 y
[t0,t1]
能够唯一确定初始状态 x(t
0
)，则称动态方程在 t
0
时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。
01 01
01
[,] [,] 0 0
()
()
若存在一个,使得无论 取多么大，都不能够由 及 将 唯一地确定出来，就说系统在 时刻是不可观测的。
tt tt
xt t
uyxt t
注：
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
= +
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
可观测问题不同于实现和辨识问题。
定理5-9,动态方程
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
=+
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
在 t
0
时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻 t
1
>t
0
，使得矩阵的 n 个列在 [t
0
,t
1
]上线性无关。
0
() (,)C Φttt
二、可观测性的一般判别准则
1）研究分析 (＊ ) 式,q 个方程,n 个未知数，因此只利用 t
0
时刻的输出值无法唯一确定 x(t
0
) 。
0
00
() () (,)( ) () (,)()()C Φ C Φ B=+
∫
t
t
yt t tt xt t t u dττττ
(＊ )
证明：充分性：
2）利用 y 在［ t
0
,t
1
］的值，通过加权处理,即在
(＊ ) 式两边左乘：
00
[()(,)] (,) ()C ΦΦC
=ttt tt t
经过整理后有：
00001
(,) () () (,) ( ) (,) () ()Φ CCΦΦC
=tt t t tt xt tt ty t
0
1
() () (,)()()=?
∫
C Φ B
t
t
yyt t t udττττ
3),对上式两边由 t
0
到 t
1
积分，有
1
0
01 0 0 1
(,)( ) (,) () ()V Φ C
=
∫
t
t
ttxt t y dττττ
1
0
01 0 0
(,) (,) () () (,)
=
∫
V Φ CCΦ
t
t
tt t tdτττττ
对照定理 5-1，可知 V(t
0
,t
1
) 非奇异的充分必要条件是 C(t) Φ(t,t
0
) 在 [t
0
,t
1
]上 列线性无关 。
010
,>反证法。设系统在 可观测，但对任意 ttt必要性：
0,?≠使得α
0
(),=xt只要取 则 α
00
() () (,) 0,C Φ= =?>yt t tt t tα
0
()xt y这说明 不能由 确定出来。
证完。
001
() (,) 0 [,].C Φ =?∈ttt ttt，α
注,在讨论上述方程的可解性时，不妨令 u=0,即只讨论从零输入响应中求初态 。
0
t动态方程推论 在时59 测－ 刻可观：
1
0
01 0 0
(,) (,) () () (,)V Φ CCΦ
=
∫
t
t
tt t tdτττττ
10 01
,(,)Vtt tt? >存在有限时刻 使矩阵 非奇异，
这里，
类似于定理5-4。
动态方程的可控性决定于 的诸行之线性无关性，即A和B之间的关系；而可观测性决定于 的诸列之线性无关性，即A和C之间的关系。
0
() (,)C Φttt
0
(,)()Φ Btt t
定理5-11,设状态方程( A(t),B(t),C(t))中的矩阵
A(t),C(t)是 (n?1)次连续可微的。若 存在有限 时间
t
1
>t
0
,使得
01
11
-1 1
()
()
()
N
N
N
=
#
n
t
t
rank n
t
tt=
0
() ()NC
k
kk
dt
ttt kn
dt
=+ =?
1
1
()
() () () 1,2,,1
N
NNA "
则系统在 t
0
时刻可观测。
这里，
三、可重构性与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。
10 10
0
11 0 [,] [,]
00
()
,,
(),
tt tt
xt
tt t u y
xt t
<
若对状态空间任一状态,存在某个有限时刻 使得由输入 和输出 的值可唯一地确定 则称系统在 时刻是可
。
义重构的定：
本定义与定义 5-5在因果性上有区别：可重构是用过去的信息来判断现在的状态；而可观测性则是用未来的信息来判断现在的状态。
t
0
t
1
可观测
t
0
t
1
可重构定理,系统
() ()
() ()
x tx tu
ytxtu
= +
=+
AB
CE
10
010
() (,) [,]C
tt
tttττ
<
Φ
可重构的充分必要条件是存在有限的,使得矩阵 在 上列线性无关，或等价地，
0
1
00
(,) () () (,)Φ CCΦ
∫
t
t
d非奇异。τττττ
四、线性系统的对偶性
:对动态方程
:定义其对偶系统为对偶定理）（定理5-10
() ()
()
() ()
xtxtv
ytxtv
=? +
=+
A* C*
II
B* E*
() ()
()
() ()
xtxt
ytxt
= +
=+
ABu
I
CEu
0
I t1)系统( )在 时刻可控（可达）
0
II t?系统( )在 时刻可观测（可重构）；
0
I t2)系统( )在 时刻可观测（可重构）
0
II t?系统( )在 时刻可控（可达）。
0
(,) ()Φ I1)令 为 的状态转移矩阵，则证明,可验证，t τ
同理可证 2)。
()II为 的状态转移阵。故
0
(,)Φ
*－1
tτ
10 0 01
,(,)()[,] > ΦIB( )能控 在 行线性无关tt t ttττ
1
000
( (,)())* () *(,) () * (,)
Φ Φ = ΦBB* B*＝
列线性无关
tττ τ τ τ τ
0
() (,)()II II?Φ
*－1
可观测（已知 为 的转移矩阵）。 tτ
(1) 在 [0,)中的每一个 t
0
,上式可观测；
+∞
(2) Ce
At
各列在 [0,)上是复数域上列线性无关。
+∞
(3) 对于任何 t
0
≥ 0 及任何 t > t
0
，矩阵
00
0
() ()
0
(,)
A* A
VC*C
t
tt
t
tt e e d
ττ
τ
=
∫
非奇异；
满足下列等价条件之一，动态方程是可观测的定理5-13,对于 n 维线性时不变动态方程五、线性时不变系统的可观测性判据
x xu
yxu
= +
= +
AB
CE
(5) 在复数域上，矩阵 C(sI?A)
1
的列是线性无关的；
(6) 对于 A 的任一特征值,都有
i
λ
AI
C
i
rank n
λ?
=
(4)
1
C
CA
CA
n
rank n
=
#
证明,利用对偶原理即可证明。
若系统为时不变系统，则不难验证，注：
:均为动态方程
**
()
**
xxv
yxv
=? +
=+
AC
II
BE
**
()'
**
xxv
yxv
=+
=+
AC
II
BE
及
()
xxu
yxu
= +
=+
AB
I
CE
的对偶系统。
六、不可观测的振型及相应的模式若定理 5-13,6的条件不满足，即存在
0
0
(),,
AI
A
C
∈ <
rank n
λ
λσ
0
0
AI
C
=
λ
α
这说明 α 是 A的属于特征值 λ
0
的特征向量,它对应的特征向量落在 C 的核中，输出 y 不反映 λ
0
对应的运动模式 。
0 ≠,使得α
0
0AC?= =及αλα α
例题
[]
N
10
10
12
==
c
xxyx
A
1
1
1
12
1
AI
=?
=? = =
rank
c
λ
λ
λα
2
2
0
21
1
AI
=?
=? = =
rank
c
λ
λ
2λ =?因此 是一个不可观测的模态。为了说明与其对应的模式不会出现在输出中，考虑其解：
[]
1
22
2
(0)0
() 1 0
(0)
=
t
ttt
xe
yt
x
ee e
所以
1
(0),0
= ≥
t
yex t
5.1 引言
5.2 时间函数的线性无关性
5.3 线性动态方程的可控性
5.4 线性动态方程的可观测性
5.5 线性动态方程的规范分解
5.6 约当形(若当型)动态方程的可控性和可观测性给定线性系统：
在本课程以下的讨论中，始终 假设：
(),(),(),()××××ABCE为为为为阵。tnntnptqntqp
2),u(t) 是定义在 上连续或分段连续函数组成的控制向量。这样的控制称为 容许控制 。
0
[,)t +∞
1),A(t),B(t),C(t),E(t) 各个分量在上连续；
0
[,)t +∞
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
=+
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
一,基本假设和容许控制
5.1 引言注1,一个函数 f 称为在 上分段连续，系指对任意给定的闭区间,
其不连续点的个数有限。
0
[,)t +∞
12 0
[,] [,)tt t?+∞
注2,也存在其它类型的控制信号，但容许控制是工程中最容易实现，因而也是应用最为广泛的一类控制信号。
注3,A(t),B(t),C(t),E(t) 各个分量连续的假设可以放宽到分段连续,但会在理论分析上带来一些困难。
5.1 引言二,可控性和可观测性的概念提出在系统分析和设计中两个关键问题是,
例,考虑如下二阶系统：
11 11
2222
10 1
01 0
xxu xx
u
xx
=? +?
= +
=
1),系统的状态能否由 u 来控制？
状态 x
2
显然不能通过输入 u来改变其运动轨迹。事实上，若 x
2
(t
0
)非零,x
2
将发散到无穷。
5.1 引言
5.1 引言
∫
1
x
1
x
1?
u
∫
2
x
2
x
对许多反馈系统来说，仅有输入和输出信号是可以测量的。但为了进行控制律的设计，必须了解系统的内部状态。因此，系统的状态能否通过输出来反映的问题就变得十分重要。
2).系统的状态能否由输出来反映？
5.1 引言例,考虑如下二阶系统，其中仅输入和输出可测量：
显然，在这个例子中，系统的状态不能被完全观测到。事实上,x
1
和输出 y没有直接和间接的联系。
11
22
2
4
52
6
x xu
x xu
yx
=+
=? +
=?
G(s)
u
y
∫
1
x
1
x
4
u
∫
2
x
2
x
5?
2
6?
y
观过输来
1
直 地看，x不能通 出反映出 。
5.1 引言
5.1 引言
1),系统的状态能否由 u 来控制？ ——导致可控性概念的提出；
2).系统的的状态能否由输出来反映？ ——导致可观测性概念的提出。
由动态方程：
() ()
() ()
x tx tu
ytxtu
= +
=+
AB
CE
可知，可控性要研究的是矩阵对 (A(t),B(t))
的关系；由于系统是否可观测不取决于输入信号的具体形式，反映的是系统自身结构的性质，因此，可令 u=0，则显然，可观测性要研究的是矩阵对 (A(t),C(t)) 之间的关系。
5.1 引言可控性和可观测性问题是控制系统分析和设计中必须回答的问题。
若不能回答对象可控性和可观测性的问题，系统控制器 C 有可能无法设计。
典型的输入/输出反馈控制系统,
仅输入 u 和输出 y 可测量
5.1 引言
y
G
p
C
u
11 2 2 1 2
() () () 0 [,]α αα+++=?∈ "
nn
ft ft ft t tt
若存在一组不全为零的复数
12
,,,,
n
α αα "
使得成立，则称在复数域上，实变量复值函数
12
,,f f
,
n
f "
在区间
12
[,]tt
上线性相关。否则，称其为
12
[,]tt
上线性无关。在定义：考虑一组定义在区间
12
[,]tt
上的复值 连续函数
12
,,,,
n
f ff "
有：
5.2 时间函数的线性无关性一、一组给定函数在某个区间上的线性相关性
1.标量情形：
2) 与线性代数中常值向量的线性相关性或无关性不同，当讨论一组变量的线性相关性或无关性时，给出 变量所定义的区间 至为重要。
3）
12
,,,
n
α αα "
为复常数。
4) 不失一般性，可假设 t
2
>t
1
。 f
i
(t) 在区间上的连续性假设将贯穿于整个讲义。
注意：
1) 实变量复值函数系指定义在实数域上的复值函数。
5.2 时间函数的线性无关性例,令 f
1
(t)=t,f
2
(t)=t
2
，讨论它们在 [0,1]上的线性相关性。
根据定义，考虑方程 。这样的常数
α不存在，因此，它们在 [0,1]上线性无关。
2
,[0,1]α=?∈ttt
5.2 时间函数的线性无关性
1
(),f tt= [1,1]t∈?
2
,[0,1]
()
,[1,0]
tt
ft
tt
∈
=
∈?
例,讨论定义在
[1,1]? 上的两个连续函数
1
f
和
2
f
分别在
[ 1,0],[0,1],[ 1,1]
上的线性相关性和线性无关性：
5.2 时间函数的线性无关性从上例可见，虽然一个函数组在某个时间区间
[t
1
,t
2
]上是线性无关的，但在 [t
1
,t
2
] 中的某个子区间上却可以是线性相关的。然而在 [t
1
,t
2
]上一定存在这样的子区间，函数组在这个子区间上是线性无关的，而且在包含这个子区间的任何区间上都是线性无关的。在上述例子中,[?ε,ε ] 就是这样的子区间，这里 ε 是小于 1的任何正数。
5.2 时间函数的线性无关性将以上概念推广到向量函数组的情形。令 f
1
,
f
2
,…,f
n
为 1× p 维复值向量函数，若存在不全为零的复数
12
,,,
n
α αα "
，使得
11 2 2 1 2
() () () 0 [,]ff f
nn
tt tttα +++=?∈ "
则称 1× p维复值向量函数 f
1
,f
2
,…,f
n
在 [t
1
,t
2
]
上线性相关。否则，称为线性无关。
线性无关的如下矩阵描述在线性系统中有时更为有用：
2.向量情形：
5.2 时间函数的线性无关性
1× p维复值向量函数组 f
1
,f
2
,…,f
n
在 [t
1
,
t
2
]上线性无关，当且仅当
1
2
12
[]()00
= =?=
f
f
αF
f
"
#
n
n
tαα α α
12
[],
n
= "ααα α
1
2
()
=
f
f
F
f
#
n
t
5.2 时间函数的线性无关性二,Gram 矩阵定义,设 f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [t
1
,t
2
]上的 1× p
维复值向量函数,F是由 f
i
构成的 n× p矩阵。则称 2
1
12
(,) () *()WFF
×
=
∫
t
nn
t
tt t tdt
为 f
i
(i=1,2,…,n) 在 [t
1
,t
2
]上的 Gram矩阵。其中，
F*表示 F的复共轭转置。
5.2 时间函数的线性无关性注意,当给定 t
1
和 t
2
后，上式右端的积分是常数阵。
下面的定理将表明,Gram矩阵的引入给向量组无关性判别带来了很大的方便。
定理5-1,令f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [ t
1
,t
2
]上的1Xp
复值连续函数，令F是以f
i
为其第i行的nXp矩阵，则f
1
,f
2
,…,f
n
在[t
1
，t
2
]上线性无关的充分必要条件是nXn常值矩阵W( t
1
,t
2
)非奇异。
5.2 时间函数的线性无关性证明：充分性,反证法。
事实上，若 f
i
线性相关，则存在非零 1× n行向量 α，使得
12
() 0 [,]α F ttt? =?∈
2
1
12
(,) () *() 0WFF?=? =
∫
t
t
tt t tdtαα
因此有即 W(t
1
,t
2
) 行线性相关,矛盾。
12
det (,) 0W tt?=
5.2 时间函数的线性无关性必要性,反证法,设f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关，但
W(t
1
,t
2
) 奇异。故必存在一个 1× n 行向量 α，使得
12
(,) 0W? =ttα
或者
2
1
**
12
(,) [F()][F()] 0W?= =
∫
t
t
tt t t dtαααα
因为对于[ t
1
,t
2
]中所有 t，被积函数是非负的连续函数，故前式意味着：
12
() 0 [,]F =?∈tttα
矛盾。
5.2 时间函数的线性无关性例,令 f
1
(t)=t,f
2
(t)=t
2
。讨论它们在 [0,1]上的线性相关性。令
1
2
2
()
()
()
==
t
ft
t
ft
t
F
考虑 Gram矩阵：
11
2
01
2
0
(,) (0,1) () () [ ]
11
34
11
45
== =
=
∫∫
t
tt t t ttdt
t
0
WWFF*
这个例子表明了 Gram矩阵的一些特有性质。
5.2 时间函数的线性无关性定理5-2：设 f
1
,f
2
,…,f
n
是定义在 [t
1
,t
2
]上的 1× p
的复值函数，且在 [t
1
,t
2
] 上有一直到 (n?1)阶的连续导数。令 F表示这些向量构成的 n× p矩阵,F
(k)
表示
F 的第 k 阶导数。若在 [t
1
,t
2
] 上 存在 某个数 t
0
,使得如下 n× np 矩阵三、一些有用的判别准则
(1) ( 1)
00 0
[() () ()] (5 6)
n
rank t t t n
=?FF F "
则在 [t
1
,t
2
]上,f
1
,f
2
,…,f
n
在复数域上线性无关。
5.2 时间函数的线性无关性证明：（略）
需要注意的是，定理5-2仅是充分条件。可以举出反例。
1
22
2
1
()
() [0,1] [ () ()]
()
2
==?∈? =
tt
ft
ttt
ft
t
例,FFF'
5.2 时间函数的线性无关性
3
1
3
2
32
32
32
32
()
() [ 1,1]
()
3
(0,1] [ () ()]
3
3
[ 1,0] [ () ()]
3
00
t0 [() ()]
00
==?∈?
=
=
=
及＝时，
t
ft
t
ft
t
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt
例,F
FF'
FF'
FF'
定理5-3,假设对每个 i,f
i
在[ t
1
,t
2
]上解析。令 t
0
是[ t
1
,t
2
]中的 任一 固定点，则向量函数组f
i
在[ t
1
,t
2
]上线性无关的 充分必要条件 是
(1) ( 1)
00 0
[() () () ],(5 7)
=?FF F " "
n
rank t t t n
5.2 时间函数的线性无关性证明,充分性的证明与定理 5-2相同，即用反证法可证明。 必要性,反证法。
若不然,f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关，但却有
(1) ( 1)
00 0
[() () () ],FF F
< " "
n
rank t t t n
0, ≠ 使得α
(1) ( 1)
00 0
[() () () ] 0FF F
n
tt t
= " "α
()
0
() 0,0,1,F
j
tj?== "α
5.2 时间函数的线性无关性因为 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析,
00
0,[,],tt tε εε >?∈? +使得
()
0
000
0
()
() ( ) 0,[,],
!
FF
∞
=
= ≡?∈?+
∑
n
n
n
tt
tttt
n
αα ε
12
() 0,[,],F?=?∈tttα （解析开拓）
与 f
i
在 [t
1
,t
2
]上线性无关的假设相矛盾。
()
0
0
0
()
() ( )
!
FF
∞
=
=
∑
n
n
n
tt
n
5.2 时间函数的线性无关性对于定理 5-3，有：
5.2 时间函数的线性无关性
(1) ( 1)
[() () () ]FF F
= " "
n
rank t t t n
注2,若向量组 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析且线性无关，则 f
i
在 [t
1
,t
2
]的每一个 子区间 上也线性无关。
注意,注 1是无穷矩阵。如不注意到这一点容易出错 ;
注 2中 t是 [t
1
,t
2
] 中的任一固定点（ 包括端点 ）！
注1,若 f
i
在 [t
1
,t
2
]上解析且线性无关，则对所有,有
(1,,)in= "
12
[,]ttt∈
例,令
sin1000
()
sin 2000
F
=
t
t
t
5.2 时间函数的线性无关性
3
(1)
3
sin1000 10 cos1000
() ()
sin 2000 2 10 cos2000
FF
tt
tt
=
×
容易看出，当 时,rank[F(t) F
(1)
(t)]
<2。
0,,
1000
t
π
=± "
推理5－3,设f
i
(i=1,2,… n)在[ t
1
,t
2
]上解析，则f
i
在[ t
1
,t
2
]上线性无关的充分必要条件是在[ t
1
,t
2
]上几乎处处有
(1) ( 1)
[() () ()]FF F
= "
n
rank t t t n
证明：（ 略）
5.2 时间函数的线性无关性例,给定函数
12 3
() sin,() cos,() sin2= ==ft t ft t ft t
讨论它们是否在 上线性无关。 (,)?∞+∞
解,由于这三个函数都是 上的解析函数，
考虑利用以上定理。定义向量：
(,)?∞+∞
1
2
3
sin
() cos
sin 2
==
ft
tf t
ft
F
5.2 时间函数的线性无关性
sin cos sin
() () ()] cos sin cos
sin 2 2cos 2 4sin 2
=?
tt t
tt t t t t
tt t
考虑下列矩阵：
[F F' F''
5.2 时间函数的线性无关性
4
=t
π
取,代入上式，有
0
2
∞∞
=
故这三个函数在(-,+ )上线性无关。但若取或,所得到的矩阵都是降秩的。t
π
5.2 时间函数的线性无关性
4
11 1
22 2
sin cos sin
111
cos sin cos
222
sin2 2cos2 4sin2
10 4
=
=
t
tt t
tt t
tt π
5.3 线性动态方程的可控性
1.可控性的定义一、可控性的定义及判别定理若对状态空间中的 任一非零状态 x(t
0
)，都存在一个有限时刻 t
1
>t
0
和一个容许控制 u
[t0,t1]
，
能在 t
1
时刻使状态 x(t
0
) 转移到零，则称状态方程在 t
0
时刻是可控的。反之称为在 t
0
时刻不可控。
（此定义与书上定义不同，是两种定义方式）
() ()xAxButt= +
定义5-1:
令初始时刻电容两端的电压 x(t
0
)为零，因网络的对称性使得无论施加何种控制，都不能在有限时刻 t
1
使
x(t
1
)发生变换。根据以上定义，系统在 t
0
不可控。
y
_
+
+
_+
_
x
u
1Ω
1Ω
1Ω
1Ω
例5-4,考虑由如下网络组成的系统：
说明如下,
1,定义仅要求输入u能在有限时间内将状态空间中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加限制的控制称为 无约束容许控制 。
2,t
1
时刻是依赖于初始状态的，但是由于状态空间是有限维的，因此对可控系统来说，必对所有的
（任一）初始状态都存在一个共同的有限时刻 t
1
，也就是说,t
1
可以取得与初始状态大小无关。
3,与可控概念相反,只要存在一个非零初态 x(t
0
)，
无论 t
1
取多大，都不能找到一个容许控制将这个状态 x( t
0
)控制到 x( t
1
)=0，这时称系统在 t
0
是不可控的。
4,这里所定义的可控性有时称为 到达原点的可控性 。 定义5-1所阐述的到达原点的可控性与状态空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的
。
2,可控性的一般判别准则定理5-4,状态方程
() ()AB= +
xtxtu
在 t
0
可控之充分必要条件是存在一个有限时间
t
1
>t
0
，使得nXp矩阵 的n个行在[t
0
,t
1
]
上线性无关。
0
,)()Φ(Bt τ τ
证明,充分性,证明是构造性的，思路如下：
1,注意到 的 n行在 [t
0
,t
1
]上线性无关，定义
1
0
01 0 0
(,) (,)()*() *(,)W Φ BB Φ=
∫
t
t
tt t t dττ τ ττ
为非奇异。
0
(,)()t τ τΦ B
2,对于任给的 x(t
0
),构造如下控制输入
1
001001
() *() *(,) (,)[ (,) ]
=B Φ W Φut t t t t t x t t x
01
[,]∈ttt
将上式定义的 u代入状态方程的解中，求出 x
1
时刻的状态即为 x(t
1
)。
{}
1
0
1100 1
1
001001
1
10 0 01 01 0 01 1
10 01 1 1
() (,)() (,)()
*( ) *(,) (,)[ (,) ]
(,) () (,) (,)[ (,)]
(,) (,)
=?
=
==
∫
ΦΦB
B Φ W Φ
Φ WW Φ
ΦΦ
t
t
xt tt xt t
tttxtxd
tt xt tt tt x ttx
tt ttx x
ττ
ττ τ
本证明同时给出了 x(t
0
)转移到 x(t
1
)的输入u(t),
必要性,反证法设在 t
0
时刻方程可控，但对任何 t
1
>t
0
,
0
(,)()t τ τΦ B
在 [t
0
,t
1
]上都是线性相关的，则可以选定一向量使下式成立：
001
0(,)()0 [,]≠=∈Φ B,tt t t ttαα
又由于方程在 t
0
时刻可控，当取 x(t
0
)= 时，存在有限时刻 t
1
>t
0
和 u
[to
,
t1]
,使 x(t
1
)=0，即
*α
1
0
110 0
() (,)[ * (,) ()() ] 0ΦΦB=+ =
∫
t
t
xt t t t u dατττ
1
0
0
(,)()()
=?
∫
Φ B
t
t
tudατττ
00
= =αα α
矛盾。 证完。
例,讨论如下系统在任意时刻 t
0
的可控性,
2
1
00
()
01
=+
t
xxu
e
，I
1
00
()
01
=+
t
xxu
e
II
0
1
1
0
()
10
0
(,)
01
0
Φ =
+
tt
s
tt
s
e
由 L
00
1
01
() 2
2
10 11
(,) ()
0
Φ= ==
tt
f
tB
f
eeee
τ τ τ
ττ
00
1
02
()
2
10 11
(,) ()
0
Φ= ==
tt
f
tB
f
eee
τ τ
ττ
可采用前一节介绍的方法来判断 f
1
和 f
2
的线性相关性。
故推论5-4,状态方程在 t
0
可控的充分必要条件是存在有限时刻 t
1
>t
0
使得 W(t
0
,t
1
) 为非奇异。
通常将 Gram矩阵 W(t
0
,t
1
) 称为可控性 Gram
矩阵，或简称为可控性矩阵。
证明,直接利用定理 5-4。
3,可控性的一个实用判据为了应用定理5 —4，必须计算 的状态转移矩阵,这是一件困难的工作。
t()=xAx
ttφ
0
(,)
假定 A(t),B(t)是 (n?1)次连续可微的，定义矩阵序列 M
0
,M
1
,…,M
n?1
如下：
k
kk
dt
ttt k n
dt
1
1
()
() () () 1,2,,1
=? +=?
M
MAM "
tt
0
() ()=MB
易于验证，以上矩阵序列满足：
Φ
Φ
k
k
k
tt t
tt t
t
0
0
(,)()
(,) ()
=
B
M
定理5 —5,设状态方程 dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵
A(t),B(t)是 (n?1)次连续可微的。若存在有限时间
t
1
>t
0
,使得
n
rank t t t n
01 11 11
[() () ()]
=MM M "
则状态方程在 t
0
时刻可控。
证明：
只要证明存在一个 t
1
>t
0
，使得行线性无关就可以了。而根据定理 2-2，若能找到一个 t
1
>t
0
，使得
001
(,)() [,]Φ B? ∈tt t t tt
n
n
tt
tt
n
tt t tt t
tt t
t
t
tt t t t
1
1
1
00
01 1
1
01 01 11 11
(,)() (,)()
[(,)() ]
(,)[ () () ()]
=
=
=
BB
B
MM M
"
"
ΦΦ
Φ
Φ
n
rank t t t n
01 11 11
[() () ()]
=MM M "
的秩是 n 就可以了。由有 Φ(t
0
,τ)B(τ)在 [t
0
,t
1
]上行线性无关。 证完。
例,讨论如下系统的可控性：
x t
x
xt u
x
x
t
1
1
22
2
3
3
010
00 1
1
00
=+
0
100
2
0
() 1
1
1
() () () ()
t
d
ttt tt
dt
t
=
=? +=?
M
MAM M
直接计算得到：
22
211
44
0
() () () () 1 1
2
2
tt
d
ttt tt t
dt
t
ttt
=? +=+? =?
MAM M
t
tt
tt t
MMM
2
012
24
01 2
[]11
12
=
易于验证，上述矩阵的秩对任意 t
1
>t
0
都为 3，故系统对任意 t
0
都是可控的。
注意：
? 该定理无需计算状态转移矩阵。但需要特别注意的是，仅是一个充分条件；
? 该定理在时变线性系统的可控性分析中是很重要的。
定理5 —6
*
,设状态方程 dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵
A(t),B(t)在（ -∞,∞）上解析，则对（ -∞,∞）上的 任一固定的 t
0，
式
n
rank t t t n
00 10 10
[() () ()]
=MM M " "
成立，是n维状态方程在（ -∞,∞）对每一个 t均 微分可控 的充分必要条件。
微分可控性,对于状态空间中的任一状态x(t
0
)和任一其他状态x
1
，存在一个输入u，它能在一个任意小的时间区间内，将状态x(t
0
)转移到x
1
，则称状态方程E是在t
0
微分（完全）可控的。
微分可控性包含了可控性。
定义,若对 t
0
时刻状态空间中的 任一 非零状态 x(t
0
)，
存在着一个有限时刻 t
1
<t
0
和一个容许控制，能在 [t
1
,t
0
]内使状态 x(t
1
)=0转移到 x(t
0
)，则称状态方程在 t
0
时刻是可达的。
二、可达性的概念
t
0
t
1
可控
t
0
t
1
可达
() ()AB= +
x tx tu
定理,状态方程在 t
0
时刻可达的充分必要条件是存在有限的 t
1
<t
0
，
使得 在 [t
1
,t
0
]上行线性无关，或等价地，下列可达性矩阵非奇异 (t
1
<t
0
)：
0
(,)()Φ Bt ττ
0
1
10 0 0
(,) (,)() *() *(,)Y Φ BB Φ=
∫
t
t
tt t t dττ τ ττ
三、时不变系统的可控性判据若线性时不变状态方程是可控的，则必在每一个t
0
≧0可控，并能在任意非零的时间区间内，完成从任一状态至任一其他状态之转移。因此，在线性时不变状态方程可控性的研究中，经常略去参考点t
0
和t
1
。
定理5-7：对于 n 维线性时不变状态方程当且仅当下列条件之一满足时，动态方程就是可控的。
(2) e
At
B（也即 e
At
B）的行在 [0,+∞ )上是复数域行线性无关的；
+∞
(1) 在 [0,)中的每一个 t
0
,动态方程可控；
(3)对于任何 t > t
0
，矩阵
00
0
() *()
0
(,) *
AA
WBB
=
∫
t
tt
t
tt e e d
ττ
τ
非奇异；
(4) rank[B AB … A
n?1
B]= n ；
(5) 在复数域上，矩阵 (sI?A)
1
B的行是线性无关的；
(6) 对于 A 的任一特征值,都有
i
λ []? =IAB #
i
rank nλ
(7) 约当规范形 （后面单独介绍）
注一：上述条件 (3)
1,也称为 Gram矩阵判据，该判据的意义不在于具体判别中的应用，而在于理论分析和推导中的应用。由于判别过程包括矩阵指数函数计算和积分计算，对高维系统较困难。
2,基于 Gram矩阵可给出使任意非零初态在有限时间内转移到原点的控制输入的构造关系式。
1
10
() () (0,) ( )
=?
T
BW
T
At
ut te t xt
1
[0,]∈tt
注二：上述条件(4)
也称为秩判据。该判据直接基于系统矩阵 A和
B，且只涉及矩阵的相乘和求秩运算，因而在具体判别中得到广泛应用。
注三：PBH判据包括上述条件(5) (6) （ (5)是条件(2)在复域中的应用 ）
PBH是三个人名字的首字母。 PBH判据包括
PBH秩判据和 PBH特征向量判据。 PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频率域分析中。 对状态方程做线性非奇异变换不改变系统的能控性 。
注四：上述条件(7)
也称为约当规范形判据。其特点是判别的直观性，只需直接观测输入矩阵或通过简便计算就可给出判别结果。
例：利用秩判据判断系统的可控性 （书上P141例7）
设平台质量为零，外力由两个弹簧系统相等的承担。假定弹簧常数都是1，摩擦系数分别为2和1。
11
22
0.5 0 0.5
01 1
=+
xx
u
[]
0.5 0.25
2
01
= =
#rank B A B rank
(1)、如设x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在 2秒 内静止？
[]
0.5
2
0
0.5
00.5
(0,2)
1
0
01.66.3
0.5 1
6.33 27
0
=
=
∫
e
W
e
e
d
e
τ
τ
τ
τ
τ
[]
0.5
1
0.5
010
() 0.5 1 (0,2)
1
0
44.1 20.7
=?
=? +
tt
e
ut W
e
ee
τ
τ
(2)、如设x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在 4秒 内静止？ (计算过程略)
下图实线给出了x
1
、x
2
、u（2秒使系统静止）的变化过程。 虚线为4秒使系统静止的情况。
(3)、如设两个弹簧系统的粘性摩擦系统和弹簧常数均等于1，x
1
(0)=10,x
2
(0)=-1,需要施加什么样的力使平台在2秒内静止？
11
22
10 1
01 1
=+
xx
u
[]
11
12
11
= =<
#rank B AB rank
此时系统不可控，当然无法实施一个控制信号u，
使得系统在2秒内静止。
当x
1
(0)=x
2
(0)时，则可以找到一个输入，在有限时间内转移状态为零。
例：利用PBH判据判断系统的可控性(P140例6，图3-15)
01 0 0 0 1
00 10 1 0
00 0 1 0 1
00 5 0 20
=+
xxu
[ ]
10 0 0 1
01010
,
00 101
005 20
=
IAB
λ
λ
λ
λ
λ
矩阵A的特征值为λ
1
= λ
2
=0,λ
3
=,λ
4
=5
5?
经计算可知，对应于每一个特征值的判据秩都为
4，因此系统是可控的。
i
tk
te
λ
（ k =0,1,2,…,n
i
,i=1,2,…,m）
称为方程
xAxBu= +
通常我们把 A的特征值 λ
i
称为系统的 振型 或 模态,把 e
At
中的与 λ
i
相对应的 模式 。
四、时不变系统的振型（模态）、模式
1.振型（模态）与模式的定义定义,凡使矩阵 [A?λ
i
I B] 满秩的 λ
i
称为 可控振型 ；
使矩阵 [A?λ
i
I B]降秩的 λ
i
称为 不可控振型 。
? 不可控振型所对应的模式与控制作用无耦合关系，因此不可控振型又称为系统的 输入解耦零点 。
? 一个线性时不变系统可控的充分必要条件是没有输入解耦零点。
考虑系统例：
有重根2。利用PBH 检 验法：[A-2IB],有
11
22
1
0
=+
21
02
xx
u
011
[2]
000
=
AIB
系统不可控。
由结
，
构图可知：
∫
1
x
1
x
2
u
∫
2
x
2
x
2
2
22
() (0)=
t
xt ex
与该不可控的模态2相对应的模式是 e
2t
，它与控制无耦合关系。
可见，在这两个重根中，有一个模态是不可控的，另一个模态是可控的。实时上
2,特征根(模态） 的重数与可控性
?当 λ
0
为简单特征值时：
[ ]
0
AIBrank nλ?<,不可控模态；
,可控模态。
0
λ
0
λ
[ ]
0
AIBrank nλ?=
?当 λ
0
为重特征值时：
当 λ
0
是 A的 重特征值 时，若 rank[A?λ
0
I B]<n,
只能断言至少有一个 λ
0
不可控，并不能说所有的 λ
0
都不可控，究竟有几个 λ
0
是可控的，几个 λ
0
是不可控的，需要用其它方法补充研究，主要是
a) 计算可控性矩阵的秩
b) 进行 可控性分解 (将在后面介绍 ) 。
例题,
123
1001
10
110
000
Abbb
λ
λ
λ
λ
====
[ ]
3,1,2,3AI? == 。
i
rank iλ b
计算矩阵 [A?λ
0
I b] 的秩区别不出这三种不同情况。 而可控性矩阵的秩却显示出这种差别,
对此例也可以直接用可控性分解来判断。
23
22 2 2
2AA A
=
rank bb b b
23
33 3 3
1AA A
=
rank bb b b
23
11 1 1
3AA A
=
rank bb b b
,一个模态不可控；
,二个模态不可控；
,三个模态不可控；
3,可控性与模式若线性时不变动态方程可控即没有输入解耦零点时，则输入能激励方程的所有模式。另一方面，输入也能抑制任何所不希望的模式。
例,考虑方程
[]
01 1
21 0
12
x xu
yx
=+
=
容易验证系统是可控的。 A 有两个特征值?1和 2。
因此方程有两个模式 e
t
,e
2t
。希望找到一种控制 u
来抑制模式 e
2t
。
计算 e
At
：
22
22
1211
33 33
2221
3333
A
tttt
t
tttt
eeee
e
eeee
+?
=
+
令,则当 时，
0
0,utt=?≥
0
tt≥
10
20
2
10 20 10 20
()
[1 2]
()
51
[() ()] [()2()]
33
A
=
=+ +?
t
tt
xt
ye
xt
xt xt e xt xt e
取,则当 后，输出将不再包含 。由于系统可控，完全可以找到这样的容许控制,使得 满足上述条件。
10 20
() ()x txt=?
0
tt>
2t
e
0
[0,]t
u
10 20
(),()x txt
五、简化的可控性条件在许多情况下，利用可控性矩阵来判断可控性时，无须计算出矩阵 [B AB,…,A
n?1
B]，而只须计算一个列数较小的矩阵。记
U
k?1
=[ B AB … A
k?1
B]
定理,若 j 是使 rank U
j
= rank U
j+1
成立的最小整数，则对于所有 k >j，有
rank U
k
=rank U
j
并且 j≤ min{n?r,?1}
其中 r 是矩阵 B的秩,是矩阵 A的最小多项式的次数。
n
n
F ×
i
pp其中 为 的子阵。
1
[][ ]BAB AB BAB AB A B
+
= " "
jjj
rank rank
1
[]AB BABAB
jj+
"的每一列可由矩阵 的各列线性表出,即
0
1
1
[]
F
F
AB=BABAB
F
+
"
#
jj
j
1
UU
+
=
jj
rank rank1）
证明
21
AB=A(AB)
+ +jj
现在考虑 。显然，
0
1
21 1
[]
2
F
F
AB=AAB=ABABAB
F
++ +
"
#
jj j
j
00
11
0
0
[]
G
FF
IFF
BAB AB
IFF
p
j
p jj
=
"
# # #
2
[]AB BABAB
+
"
jj
这说明 的各列也可由 的个列线性表出。依次类推，就是所要证明的。
min{,1} A
B
≤j nrn n
r
证明,这里 是 的最小多项式的次数,是 的秩。
2）
[]BBAB= >rank r rank r事实上，若 且
[]1BAB?≥+rank r ;
[][]
2
BABA B BAB>rank rank进而，若
[]2
2
BABA B?≥+rank r
,,U?rank n j n r由于 最多是 故 最多取到 即;≤?j nr
[]()BAB A B
≥+? =
#
"
nr
rank r n r n
() A另一方面，令 为 的最小多项式,ψλ
1
1
()
=+ + "
nn
n
ψλ λ αλ α
12
AB,AB,
+ +
"与前面的分析类似,均可表示为
nn
证完。
1
[]BAB A B
"
n
1≤?j n各列的线性组合。因此，必有 。综上，
min{,1}≤j nrn
根据最小多项式的性质，有
1
1
() 0AA A I
= +++= "
nn
n
ψαα
1
[]AB BAB A B
"
nn
的各列可表示为 中各列的线性组合。
,(,)=BAB若则论 可控的充分必要条5 件是
rank r-7：推事实上，根据上面的分析可知，若
[]UBABAB
= = "
nr
nr
rank rank n
[]BAB A B
< "
nr
rank n
则系统肯定不可控了。
定义,设系统可控。令使得 rank U
j
=rankU
j+1
=n成立的最小整数 j 为 (ν?1)，则称 ν 为方程
ABux x= +
的 可控性指数 。对可控系统，由
nj= ν? 1≤ min{n?r,?1}
ν ≤ min{n? r,? 1} +1
n
系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。
例5-11,考虑如下二阶系统：
[]
11
22
01 0
00 1
10
xx
u
ycx x
=+
==
5.4 线性动态方程的可观测性其状态转移阵为
0
0
1
()
01
=
tt
ttΦ
一、可观测性的定义
0
0
101 0
202
()()
1( )
01
()
=+
∫
∫
t
t
t
t
tud
xx tt
xx
ud
方程的解为：
τττ
ττ
0
100
20
1( )
[1 0] ( ) ( )
01
=+?
∫
=
t
t
xtt
ycx t u d
x
τττ
0
(,)cttΦ
10 20
10 20
[]
[]
T
T
yxx
xx y
由于 是一维的，而 却有两个未知数，故为了得到 还要对 进行加权处理。为此，考虑分析：
0
0
*(,) *
101
()10
tt c
tt
Φ
用 乘上式的两边，得
000
0
0
100
20
(,)*(,) * *(,) *
0
*(,) *
10 10111()
[1 0]
()1 ()1
101
()()
()10
ΦΦΦ
Φ
+?
∫
=
ctttt c tt c
t
t
tt c
xtt
y
tt tt x
tud
tt
τττ
tt
01
对上式从 到 积分，即：
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
(,,) (,,)
11
()()
23
=+
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
经整理后得
11
00
1
00
10
000
20
0
*(,)*() *(,)* *(,)
{*(,)*( )() }
Φ=ΦΦ
+Φ?
∫∫
∫∫
tt
t
t
tt
x
ttcytdt ttcc ttdt
x
tt c t u d dtτττ
已知已知
10
,tt>不难验证，对任意的
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
(,,) (,,)
11
()()
23
=?
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
由此可得：
已知
2
10 10
4
10
23
10 10
1
()()
1
2
det ( ) 0
11 12
()()
23
tt tt
tt
tt tt
=?≠
1
2
10 10
10
01 01
23
20
10 10
1
()()
2
[(,,) (,,)]
11
()()
23
=?
tt tt
x
htty gttu
x
tt tt
故：
这个例子说明，通过对系统输入和输出信息的测量，经过 一段时间的积累和加权处理 之后，我们可以唯一地确定出系统的初始状态，也就是说，输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定，则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。
定义5－5,若对状态空间中 任一非零初态 x(t
0
)，存在一个有限时刻 t
1
>t
0
，使得由输入 u
[t0,t1]
和输出 y
[t0,t1]
能够唯一确定初始状态 x(t
0
)，则称动态方程在 t
0
时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。
01 01
01
[,] [,] 0 0
()
()
若存在一个,使得无论 取多么大，都不能够由 及 将 唯一地确定出来，就说系统在 时刻是不可观测的。
tt tt
xt t
uyxt t
注：
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
= +
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
可观测问题不同于实现和辨识问题。
定理5-9,动态方程
0
() ()
() (),[,)
tt
tttt
=+
=+ ∈+∞
xAxBu
yCxEu
在 t
0
时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻 t
1
>t
0
，使得矩阵的 n 个列在 [t
0
,t
1
]上线性无关。
0
() (,)C Φttt
二、可观测性的一般判别准则
1）研究分析 (＊ ) 式,q 个方程,n 个未知数，因此只利用 t
0
时刻的输出值无法唯一确定 x(t
0
) 。
0
00
() () (,)( ) () (,)()()C Φ C Φ B=+
∫
t
t
yt t tt xt t t u dττττ
(＊ )
证明：充分性：
2）利用 y 在［ t
0
,t
1
］的值，通过加权处理,即在
(＊ ) 式两边左乘：
00
[()(,)] (,) ()C ΦΦC
=ttt tt t
经过整理后有：
00001
(,) () () (,) ( ) (,) () ()Φ CCΦΦC
=tt t t tt xt tt ty t
0
1
() () (,)()()=?
∫
C Φ B
t
t
yyt t t udττττ
3),对上式两边由 t
0
到 t
1
积分，有
1
0
01 0 0 1
(,)( ) (,) () ()V Φ C
=
∫
t
t
ttxt t y dττττ
1
0
01 0 0
(,) (,) () () (,)
=
∫
V Φ CCΦ
t
t
tt t tdτττττ
对照定理 5-1，可知 V(t
0
,t
1
) 非奇异的充分必要条件是 C(t) Φ(t,t
0
) 在 [t
0
,t
1
]上 列线性无关 。
010
,>反证法。设系统在 可观测，但对任意 ttt必要性：
0,?≠使得α
0
(),=xt只要取 则 α
00
() () (,) 0,C Φ= =?>yt t tt t tα
0
()xt y这说明 不能由 确定出来。
证完。
001
() (,) 0 [,].C Φ =?∈ttt ttt，α
注,在讨论上述方程的可解性时，不妨令 u=0,即只讨论从零输入响应中求初态 。
0
t动态方程推论 在时59 测－ 刻可观：
1
0
01 0 0
(,) (,) () () (,)V Φ CCΦ
=
∫
t
t
tt t tdτττττ
10 01
,(,)Vtt tt? >存在有限时刻 使矩阵 非奇异，
这里，
类似于定理5-4。
动态方程的可控性决定于 的诸行之线性无关性，即A和B之间的关系；而可观测性决定于 的诸列之线性无关性，即A和C之间的关系。
0
() (,)C Φttt
0
(,)()Φ Btt t
定理5-11,设状态方程( A(t),B(t),C(t))中的矩阵
A(t),C(t)是 (n?1)次连续可微的。若 存在有限 时间
t
1
>t
0
,使得
01
11
-1 1
()
()
()
N
N
N
=
#
n
t
t
rank n
t
tt=
0
() ()NC
k
kk
dt
ttt kn
dt
=+ =?
1
1
()
() () () 1,2,,1
N
NNA "
则系统在 t
0
时刻可观测。
这里，
三、可重构性与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。
10 10
0
11 0 [,] [,]
00
()
,,
(),
tt tt
xt
tt t u y
xt t
<
若对状态空间任一状态,存在某个有限时刻 使得由输入 和输出 的值可唯一地确定 则称系统在 时刻是可
。
义重构的定：
本定义与定义 5-5在因果性上有区别：可重构是用过去的信息来判断现在的状态；而可观测性则是用未来的信息来判断现在的状态。
t
0
t
1
可观测
t
0
t
1
可重构定理,系统
() ()
() ()
x tx tu
ytxtu
= +
=+
AB
CE
10
010
() (,) [,]C
tt
tttττ
<
Φ
可重构的充分必要条件是存在有限的,使得矩阵 在 上列线性无关，或等价地，
0
1
00
(,) () () (,)Φ CCΦ
∫
t
t
d非奇异。τττττ
四、线性系统的对偶性
:对动态方程
:定义其对偶系统为对偶定理）（定理5-10
() ()
()
() ()
xtxtv
ytxtv
=? +
=+
A* C*
II
B* E*
() ()
()
() ()
xtxt
ytxt
= +
=+
ABu
I
CEu
0
I t1)系统( )在 时刻可控（可达）
0
II t?系统( )在 时刻可观测（可重构）；
0
I t2)系统( )在 时刻可观测（可重构）
0
II t?系统( )在 时刻可控（可达）。
0
(,) ()Φ I1)令 为 的状态转移矩阵，则证明,可验证，t τ
同理可证 2)。
()II为 的状态转移阵。故
0
(,)Φ
*－1
tτ
10 0 01
,(,)()[,] > ΦIB( )能控 在 行线性无关tt t ttττ
1
000
( (,)())* () *(,) () * (,)
Φ Φ = ΦBB* B*＝
列线性无关
tττ τ τ τ τ
0
() (,)()II II?Φ
*－1
可观测（已知 为 的转移矩阵）。 tτ
(1) 在 [0,)中的每一个 t
0
,上式可观测；
+∞
(2) Ce
At
各列在 [0,)上是复数域上列线性无关。
+∞
(3) 对于任何 t
0
≥ 0 及任何 t > t
0
，矩阵
00
0
() ()
0
(,)
A* A
VC*C
t
tt
t
tt e e d
ττ
τ
=
∫
非奇异；
满足下列等价条件之一，动态方程是可观测的定理5-13,对于 n 维线性时不变动态方程五、线性时不变系统的可观测性判据
x xu
yxu
= +
= +
AB
CE
(5) 在复数域上，矩阵 C(sI?A)
1
的列是线性无关的；
(6) 对于 A 的任一特征值,都有
i
λ
AI
C
i
rank n
λ?
=
(4)
1
C
CA
CA
n
rank n
=
#
证明,利用对偶原理即可证明。
若系统为时不变系统，则不难验证，注：
:均为动态方程
**
()
**
xxv
yxv
=? +
=+
AC
II
BE
**
()'
**
xxv
yxv
=+
=+
AC
II
BE
及
()
xxu
yxu
= +
=+
AB
I
CE
的对偶系统。
六、不可观测的振型及相应的模式若定理 5-13,6的条件不满足，即存在
0
0
(),,
AI
A
C
∈ <
rank n
λ
λσ
0
0
AI
C
=
λ
α
这说明 α 是 A的属于特征值 λ
0
的特征向量,它对应的特征向量落在 C 的核中，输出 y 不反映 λ
0
对应的运动模式 。
0 ≠,使得α
0
0AC?= =及αλα α
例题
[]
N
10
10
12
==
c
xxyx
A
1
1
1
12
1
AI
=?
=? = =
rank
c
λ
λ
λα
2
2
0
21
1
AI
=?
=? = =
rank
c
λ
λ
2λ =?因此 是一个不可观测的模态。为了说明与其对应的模式不会出现在输出中，考虑其解：
[]
1
22
2
(0)0
() 1 0
(0)
=
t
ttt
xe
yt
x
ee e
所以
1
(0),0
= ≥
t
yex t
