系统(8-10)的稳定性完全可由特征方程式(8-11)的根及其相应的模式来决定。
n 维时不变系统的方程为
Axx=& (8-10)
0()000,():A ttxexxtx?==
0t =0因是定常系统，不失一般性，可令,
()(0)Atxtex=
五、时不变线性系统 的稳定性判据Axx=&
特征方程为 0=? )AsIdet( (8-11)
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1,运动模式及其收敛、发散、有界的条件
11 AA
=?=
l
l
l
l
l
l
t
t t
t
e
ee
e
例题A-1
(8-10) 式中A阵的特征值称为模态，ni 重特征值
l对应的运动形式可能有elt,telt,…,,均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于l 的几何结构。例如下面不同的约当形结构对应有不同的运动模式：
tn et i l1?
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22
1
AA
tt
t t
t
ete
ee
e
=?=
ll
l
l
l
l
l
3
2
3
1
1 2
1 AA
ttt
t tt
t
etete
eete
e
=?=
lll
ll
l
l
l
l
尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。
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注：
1)代数重数ni：特征式中仅有的因子 ()inisl?
例：若li为6阶系统的三重根，且由计算得到
6()633IAiinrankl==?=
则表明li有三个线性无关的特征向量。
2) 几何重数,l i对应的线性无关的特征向量的个数，即属于li 的约当块的块数。几何重数可以如下求出：
in
in
()iinnrank=IAl
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5
以下几种提法是等价的（参看矩阵分析）：对特征值li
(a) li 是最小多项式的单根;
(b) li 的初等因子都是一次的；
(c) 对应的Ji是对角形；
(d) 对应的约当块的个数等于代数重数；
(e) 几何重数等于代数重数.
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由以上讨论可以得出的结论是：
1)Re l < 0，l对应的所有运动模式收敛，即随着时间趋于无穷而趋于零。
2)Re l >0,l对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散.。
3)Re l =0,分两种情况：
q若 l 对应的约当块全是一阶子块，这时l 的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；
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q当l的几何重数小于代数重数，l对应的约当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，
但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时,一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。
只要将例题A-1中的特征值l换为零，就可证实以上结论：
1A
1
000100
A00 010
000001
te
=→=
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8
3
2
A
3
11
010 2
A00101
00 001
=→=
t
tt
et
2A
2
01010
A00 010
00 001
=→=
t
t
e
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定理8-4：系统dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件
1)(李氏)稳定：det(sI?A)实部为零的根对应的初等因子是一次(或对应的约当块为一阶子块，或是最小多项式的单根；几何重数等于代数重数。),且其余根均具负实部。
2) 渐近稳定：det(sI?A)的所有根均具负实部。
3) 不稳定：det(sI?A)有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
证明：根据定理8-2，我们只要讨论其状态转移矩阵的性质就可以了。
2,稳定性判据
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2 ;mlll? A L1设 的互异特征值分别是，，，
将eAt 写成PeJt P?1，这里
()
1
1
2
1
1
1
(1)!
i
i
ij
iii
i
ij
i
i
i
i i
i i
i ij
ir i
m
n
ttt
ij
t
t
t
t
t
tetee
tee
e
te
e
l
lll
l
l
l
l
=?=?=
=
J
JJ
JJJJ
J
O O
O
144424443
LL
O
O
O
显然，只要讨论eJt的有界性和收敛性即可，
而这等价于讨论eJt的每个元素的有界性和收敛性。
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1) （李氏）稳定当且仅当特征多项式实部为零的根对应的初等因子是一次，且其余根均具负实部。
1
(1)!
LL
O
O
O
ij
iii
i
i
n
ttt
ij
t
t
t
t
tetee
te
e
te
e
lll
l
l
2) 渐近稳定当且仅当特征多项式的所有根均具负实部。
3) 不稳定当且仅当特征多项式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。证完。
J iitjttkecte +注意到 的每个元素可以写成 的形式,则sw
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渐近稳定?一致渐近稳定?指数渐近稳定讨论：根据定理8-2，
（1）对于时不变系统稳定?一致稳定这是因为若
0()00(,),,0AAΦttt eNtteN?=≤?≥?≤?≥tt
则N必与t0无关(参见定理8-2）。
因此，时不变系统按指数渐近稳定、渐近稳定、一致渐近稳定显然也是等价的，即
（2）总可以将 写成teA
,0,0ee?≤?≥>tltatl
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指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定定常定常定常这就是为什么对于时不变系统，通常只说“系统渐近稳定”的原因。
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 fìf?ìf www.fineprint.com.cn
例题 系统方程如下
74
001
100
a
xx
=
&
式中a为非负实常数，写出x=0李氏稳定时a的取值条件。
解 系统的特征方程式为
32
74
0147
10
sa
ssass
s
+
=+++
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所以 李氏稳定。74a ≥
7
4a > 三根在左半平面；
7
4a = 有一根为?7/4,另两根为?2j,+2j
3
2
0
14
7
47
7
s
sa
as
a
s
劳斯表：
有正根；470 << a
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16
a=0时，劳斯表为：
3
2
14
07
∞
s
s
s
此时可用(s+3)乘特征方程，得到
3432(47)(3)341921+++=++++sssssss
然后再用劳斯判据，对右半平面的根的个数进行判别。注：（课后自己演算）
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§8-2线性时不变系统的稳定性分析或用复数域表示
11()(I)(0)(I)()
()(I)(0)(I)()(3)
xssxsus
yssxsus
=?+?
=?+
AAB
CACAB A
系统方程为
(1)xxuyx=+=?ABC& A
(A-2)
∫
∫
+=
+=
t
)t(AAt
t
)t(AAt
dt)t(BuCe)(xCe)t(y
dt)t(Bue)(xe)t(x
0
0
0
0
t
t
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18
可见x (t),y (t)由四部分组成。稳定性问题是A的特征值问题，但以四项形式出现，与B、C阵密切相关，这说明对系统采用状态空间描述时,带来了新的稳定性概念，这些稳定性概念又和系统可控性、
可观测性密切相关。
(A-2)
∫
∫
+=
+=
t
)t(A
III
t
)t(A
I
At
dt)t(BuCeAt)t(y
dt)t(Bue)(xe)t(x
)(xCe
0
0
0
0
t
t
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等价变换对稳定性的影响：如果对动态方程(A-1)
一、有界输入、有界状态（BIBS）稳定
(1)xxuyx=+=?ABC&
进行等价变换,不会改变运动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有界性，即等价变换不改变稳定性。
本节研究：
dt)t(Bue)(xe)t(x
t
)t(AAt ∫?+=
0
0 t
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定义1
1) 若x(0)=0,及在任意有界输入 u(t) 作用下，均有x(t)
有界,则称系统(A-1) BIBS稳定。
2) 若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有x(t)有界,则称系统(A-1) BIBS全稳定。
定理8-6
1) 系统(A-1)BIBS 稳定?系统(A-1)全体可控模态具负实部（相应的模式收敛）；
（BIBS 稳定与不可控模式无关！）
2) 系统(A-1)BIBS 全稳定?系统(A-1)全体可控模式收敛、全体不可控模式不发散。 20
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21
定理8-6 可以用可控性分解来说明。不妨假定(A-1)式中的矩阵A、B已有可控性分解形式。这时有当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而
+?
×= ∫?
00
0
0 0
1
2
1 1
4
1
t
)t(A
tA
tA dt)t(uBe
)(x
)(x
e
e)t(x t
dtBeKdt)t(uBedt)t(uBe
dt)t(uBedt)t(uBe
t
tA
t
tA
t
tA
t
tA
t
)t(A
∫∫∫
∫∫
≤?≤?≤
=?
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
111
11
tt
tt
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这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值均具负实部（因可控，输入可激励所有模式)。当考虑全稳定时,A 的所有模式均要计及，故需加上有界的条件，而这个条件就是A4李氏稳定的条件。
4A te
从复数域上的判别：从表达式(A-3)可知，BIBS稳定的条件就是,(sI?A)?1B 的极点均具负实部。这是因为不可控模态均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。
李氏稳定条件加上了BIBS稳定条件就是BIBS全稳定的条件。
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二、有界输入、有界输出（BIBO）稳定本节研究(A-2)式中的第三、四项：
定义 2
1) 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)
有界,则称系统(A-1) BIBO稳定(第4项）。
2) 若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有y(t)有界,则称系统(A-1)BIBO全稳定(第3、4
项）。
∫?+=
t
)t(A
III
dt)t(BuCeAt)t(y )(xCe
0
0 t
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定理8-7:
1) 系统(A-1)BIBO 稳定?系统(A-1)全体可控可观模式收敛;
2) 系统(A-1) BIBO全稳定?系统(A-1)全体可控可观模式收敛、全体可观不可控模式不发散。
证明：1）从y(s)=C(sI?A)?1Bu(s)即可看出。因为此时不可控、不可观的模态均被消去，故必须全体可控、可观模态具负实部。
这也可以从标准分解看出。事实上，若假定系统已有标准分解形式，则易于验证：
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25
11()()
00
()()()tttt==∫∫AACBCB
tt
yteueu
于是系统BIBO 稳定就等价于A11的所有特征值均具负实部（相应的模式收敛）。
注：从复数域上判别：
BIBO稳定研究的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别G(s)的极点是否全在左半平面，可用劳斯或霍尔维兹判据。
1()()CIABG=ss
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2) 只要证明全体可观不可控模式必须不发散就可以了，而这对应于零输入响应（第3项）。
考虑可观测性分解。不妨假定(A-1)式中的矩阵A、C已具有可观性分解形式。这时有
1
4
1
2
(0)0(),
(0)
t
t
xext
xe
=?
×
A
A%
[][]1 1
4
1
1 11
2
(0)00 (0)
(0)
t
t
t
xeyxex
xe
===
×
A
A
ACCC%%
1A中的模态有且只有两部分：
U{可观+可控}{可观+不可控}
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定理8-6、8-7表明BIBS 稳定、BIBO 稳定与系统可控性、可观性密切相关。
如前所述，可控可观的模式必须收敛，显然，要使
BIBO 全稳定，全体可观不可控模式必须不发散。
证完。
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28
[ ]
100
111
11
xxu
yx
=+
=
&例：考虑系统讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。
解：系统是不可控但可观测的，可控模态是?1。
根据定理8-6（全体可控模态收敛），系统BIBS稳定，但非全稳定（须全体不可控模态不发散）。
又系统可控、可观的模态是?1（收敛），故系统BIBO稳定。但不可控、可观的模态是1（发散），故系统也非BIBO全稳定。
[ ]?
=
=
== 12
11
11
00
cA
c)c,A(;Ab,b)b,A(
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定义 若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下,
均有x(t),y(t)有界,则称系统(A-1)总体稳定。
总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而
BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。
三、总体稳定( T 稳定)
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(定理8-8）若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 稳定? BIBS 稳定
(定理8-9）若（Ａ，B）可控，则有
BIBS 稳定? Reli(A)<0,i=1,2,…,n
（定理8-10）若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，则
BIBO 稳定? Re li(A)<0,i=1,2,…,n
容易验证以下定理成立：
四、稳定性之间的关系
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31
（定理8-11）
BIBS 全稳定? BIBS 稳定,且A李氏稳定
（定理8-12）若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 全稳定? BIBO 稳定,且A李氏稳定定理(8-8)-(8-12)分别证明如下：
定理8-8,若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 稳定? BIBS 稳定
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证明：,?,显然。下面证“?”：
事实上，假定系统已具可控性分解：
[ ]
12 1
1
4 111
()12
,0 0 ()[]
s
ysu?
==
=
=? G
AA BAB
A CIAB
CCC
1442443
则( A,C )可观意味子系统(A1,B1,C1)是可控可观测的,
即A1的模态既是可控的、又是可观的。此时，BIBO
稳定等价于A1的所有模态(可控模态!)均具负实部，
这恰恰是BIBS 稳定的充要条件（定理8-6）。
证完。
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定理8-9,若（Ａ,B）可控，则有
BIBS 稳定? Reli(A)<0,?li
证明：只需要证BIBS 稳定? Re l i(A)<0即可。
事实上，根据定理A-2，系统BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。因为（Ａ,B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可控模态，此时系统BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部，从而，所有的模式均收敛。
证完。
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定理8-10,若（Ａ,B,Ｃ）可观、可控，则有
BIBO 稳定? Reli(A)<0
证明：
定理8-11,
BIBS 全稳定? BIBS 稳定,A李氏稳定证明：这就是定理8-6之(2)。因A的模态及对应的模式只有可控和不可控两种，均包含在(2)中了。
0
98定理可观
88
<
)A(ReBIBSBIBO i
)B,A()C,A(
l
可控定理稳定稳定
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定理8-12,若（Ａ,Ｃ）可观，则有
BIBO 全稳定? BIBO 稳定、A李氏稳定证明：充分性显然。必要性：因(A,C)可观测，则所有的模式均可出现在
(0)AC tex
中。由于x0的任意性，这要求A李氏稳定。
证完。
推论：若（A,C）可观，则BIBO 全稳定与BIBS
全稳定等价。
证明：由定理8-12，此时BIBO全稳定等价于BIBO
稳定、A李氏稳定；而定理8-8表明系统还是BIBS稳定的。故由定理8-11知结论真。 证完。
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BIBS全稳定
BIBO全稳定可观 (8-8)
BIBO稳定
+ A 稳定BIBO全稳定可观
(8-12)
BIBS稳定
+ A 稳定BIBS全稳定
(8-11)
可观(8-8,12，
推论)
(8-8) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定
(8-12) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBO稳定,A李氏稳定若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBS全稳定
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定理8-13 若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价
1,BIBO稳定;
2,BIBS稳定;
3.A 渐近稳定;
4.A 的所有特征值具负实部;
5.传递函阵极点具负实部;
6.总体稳定注：定理中的5 用到了前面章中的定理：(A,B,C)可控、可观测的充分必要条件是G(s)的极点多项式与A
的特征多项式相等。
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若系统的动态方程描述可控且可观测，则称系统可由传递函数阵完全表征。因此，定理8-13说明，
此时，系统的总体稳定性仅由传递函数就可以确定而不需考虑系统的动态方程描述。
从工程应用的角度，由于系统参数的不确定性，
总要求系统矩阵A是渐近稳定的。一般将李氏稳定称为临界稳定。
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定理8-13
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观
8-8
可控
8-9
定理8-10若（Ａ、B、Ｃ）可观、可控，则有
BIBO稳定 Reli(A)<0
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建? f www.fineprint.com.cn
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
A 稳定
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时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性进行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、
可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，
直接计算：
BIBS稳定,(sI?A)?1B (所有极点在左半面）
BIBS全稳定：(sI?A)?1 (不发散) + BIBS稳定
BIBO稳定,C(sI?A)?1B (所有极点在左半面）
BIBO全稳定：C(sI?A)?1 (不发散) + BIBO稳定由计算的结果判别。 41
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42
[ ]
100
111
11
xxu
yx
=+
=
&
例：考虑系统讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。
解：可以从复数域（传递函数）的角度来讨论：
BIBS稳定,是
1
1
0100
() 1111
1
==
+
+
ssb
s sIA
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43
[ ]
11001
()11 111 1sgs s s
==+ +
BIBO稳定:是
BIBS全稳定：否
[ ]
1
1 10 21()11
11 (1)(1)1
s scs
s sss
+?==
+ +?+IA
1
1
1 0
10 1()(0 (0)(0)
1111
(1)(1)1
s ssxxx
s
sss
==+
+?+
IA
BIBO全稳定：否
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例题 多变量系统结构图如下图所示，其中K1和K2都是非零常数,v1，v2 是输入量，y1，y2 是输出量。试给出系统总体稳定时参数K1，K2 应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。
2
1s
+
3
2s +
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
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解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下
11112222222(),23+=+=&&xxKuKuxxKu
1112212,()=?=?+uvyuvux
11212,==+yxyux
2
1s
+
3
2s+
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
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消去中间变量u1、u2，经整理后不难得到下列系统的状态方程与输出方程：
112211221
2 22222
111
222
122 222
32333
1000
1 10
++=+
=+
&
&
xKKKxKKKv
K KKv
yxv
因K1,K2非0，则B、C矩阵的秩均为2，系统可控可观，
故根据定理8-13，总体稳定等价于A渐近稳定。于是
122
2
121212
12
323
(325)(2476)
+?+?
++
=+?++?+?
sKKK
KsK
sKKsKKKK
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122
2
121212
12
323
(325)(2476)
sKKK
KsK
sKKsKKKK
+?+?
++
=+?++?+?
上面的多项式的根均在左半面的充要条件为:
12
1212
3250
24760
+>
+?>
KK
KKKK
（解毕）
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例题 系统状态方程和输出方程如下
12
000
0010
01
=+
&
b
xxu
aa
[ ]10ybx=?
其中a1、a2和b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时，a1、a2和b的取值范围
1.李亚普诺夫意义下稳定；
2.有界输入、有界输出(BIBO)稳定。
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1 李氏稳定：
1)
特征值一个为0，两个有负实部；稳定
1 0a > 2 0a >
2),
特征值两个为0，一个有负实部。经验算，零特征值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次；稳定
1 0a = 2 0a >
3)
一个零特征值，一对共轭零实部特征值。稳定
1 0a > 2 0=a
解：特征多项式为 2 21()0ssasa++=
4) a1=0,a2=0，特征值3个为0，系统不稳定。
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2 BIBO稳定：
21
22
2121
()() +=?=
++++
basabbsGs
s sasassasa
12
1.0()0,BIBO
2.000()0,BIBO
bGs
baaGs
==
≠===
此外，在a1、a2的任何其它取值的情形下都存在极点s=0,不满足极点需都具有负实部条件，因此都不会BIBO 稳定。
注：G(s) =C(sI?A)?1B
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例：考虑动态方程：
[ ]
001
55155,00
0001
a
xxuyb
=+=
&
讨论当常数a、b为何值时有
1.关于零解李氏稳定；
2.系统BIBS稳定；
3.系统BIBO稳定。
解 系统可控性矩阵是：
2
2
1
55255
100
aa
bbba
=
AA
使系统不可控的a=0,5/2。
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00
5515(5)()
00
+
=?+=++IA由
sa
sss sa
s
易见：
§ a>0，三根为0，?5，?a 李氏稳定;
§ a<0，有正根，不稳定；
§ a=0，二根为零，一根为?5，且
0()1=?=IAsranks
有两个线性无关的特征向量，零根对应的约当块为两个一阶子块，故李氏稳定。
1.考察零解的李氏稳定性：
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2 系统BIBS稳定：只要考察（sI?A)?1B 即可：
1
1 001
15115
()5()(5)5(5)
111
00
+
+
==
++++
IAB
sa sa
s sassss
ss
这说明不论a取何值，均有一个s=0是可控的，故
BIBS不稳定(a=0，因为可控性矩阵的秩为2，s=0
两根中有一个不可控，而另一个s=0 可控)。
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54
1()0,0,bsba
sa
=≠>
+3BIBO cIABBIBO稳,；定
b=0、a 任意，BIBO稳定。
(5)()ss sa?=++IA
结合可控性矩阵，可看出，无论a 取何值，总有一个s=0 是可控的。故系统必不是BIBS稳定的。
或者，由
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例题8—10系统动态方程为试分别给出系统满足各种稳定性时，参数a、b、σ、
l(均为实数）应满足的充分必要条件。
解
1,x =0李雅普诺夫意义下稳定,00sl≤<
2,x =0渐近稳定,00sl<<
[ ]xby,uaxx 010
1
0
0
000
100
001
001
=
+
=
l
l
s
s
&
可知：由 j)AsIdet( ±=? s1
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3 BIBS稳定：根据定理8-6,BIBS稳定等价于所有可控的模式收敛。将(A,b,c)分块，考虑PBH检验：
的可控性即可。显然，(A2,b2)总可控、a≠0 时(A1,b1)
可控，从而整个系统可控（PBH检验）；a=0 时
rank[b1,A1b1]=0，A1的模态全都不可控。故
1
2
0
0
sb
sb
1
2
IA
IA
由于,只需分别判断ls ≠± j
[ ] [ ] )(bAb)a(aa abAb 可控，时可控?
=≠
=
ls 1
1000
222111
( )
为任意实数；
即可，决定的，只需时其可控部分是由
s
l 00 22 <= b,Aa
00可知，必须时，由0 1 <<±=?≠ lss,j)AsIdet(a
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4 BIBS全稳定：根据定理8-6,BIBS全稳定等价于所有可控的模式收敛、所有不可控的模式不发散。故根据BIBS稳定性的分析：
5BIBO稳定：根据定理8-7,BIBO稳定等价于所有可控可观的模式收敛。与可控性的讨论类似，系统的可观测性等价于下列子系统是否可观测：
00必须可知，时，系统可控，由0 1
<<
±=?≠
ls
s
,
j)AsIdet(a
就可以了。0需要单根：其不可控部分的根均为
0决定的，需要时，其可控部分是由0 22
≤±
<=
ss
l
,j
,)b,A(a
，可观001 10
22
2
11
1 )b(
bb
b
Ac
c)(
Ac
c 时，可观 ≠
=
=
ls
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显然，
0,0
0 0
ab
a
sl
sl
=?=?
≠ <?
，为任意实数第一种情形：
，，为任意实数
222
11
0(,,)
0(,);
bbc
ab
l
s
=?
=?
A
A
其中，不可观，可为任意实数不可控，可为任意实数
1110(,,)0abc ss≠?<A 可控可观，应考虑,。
0 00
0 00
ab
a
ls
sl
=<?≠
≠ <<?
，，为任意实数第二种情形：
，,
222
11
0(,,)0;
0(,);
bbc
ab
l
s
≠?<
=?
A
A
其中，可控可观故不可控，可为任意实数
1110(,,)0abc ss≠ A 可控可观，应考虑,。
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0000
000
ab
a
sl
sl
=≤<?≠
≠<<?第二种情形：
6 BIBO全稳定：根据定理8-7,BIBO全稳定等价于所有可控可观的模式收敛、所有可观不可控模式不发散,00,
0 00,ab as ls l=≤?=?≠<
可为任意实数第一种情形：
可为任意实数
222
111
0(,,)
0(,,)0;
bbc
abc
l
ss
=?
=?≤
A其中，不可观，可为任意实数可观不可控,必须
1110(,,)0bc ss≠?<A 可控可观，应考虑,。
222
111
0(,,)0;
0(,,0;
bbc
abc
l
ss
≠?<
=?≤
A
A
其中，可控可观，故可观不可控,必须
1110(,,)0bc ss≠ A 可控可观，应考虑,。
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n 维时不变系统的方程为
Axx=& (8-10)
0()000,():A ttxexxtx?==
0t =0因是定常系统，不失一般性，可令,
()(0)Atxtex=
五、时不变线性系统 的稳定性判据Axx=&
特征方程为 0=? )AsIdet( (8-11)
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1,运动模式及其收敛、发散、有界的条件
11 AA
=?=
l
l
l
l
l
l
t
t t
t
e
ee
e
例题A-1
(8-10) 式中A阵的特征值称为模态，ni 重特征值
l对应的运动形式可能有elt,telt,…,,均称为系统的运动模式。但这些模式并非全部都出现，究竟出现多少项取决于l 的几何结构。例如下面不同的约当形结构对应有不同的运动模式：
tn et i l1?
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22
1
AA
tt
t t
t
ete
ee
e
=?=
ll
l
l
l
l
l
3
2
3
1
1 2
1 AA
ttt
t tt
t
etete
eete
e
=?=
lll
ll
l
l
l
l
尽管三者均具有相同的特征值且代数重数相等，但却有不同的几何重数：他们分别为3、2、1。
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注：
1)代数重数ni：特征式中仅有的因子 ()inisl?
例：若li为6阶系统的三重根，且由计算得到
6()633IAiinrankl==?=
则表明li有三个线性无关的特征向量。
2) 几何重数,l i对应的线性无关的特征向量的个数，即属于li 的约当块的块数。几何重数可以如下求出：
in
in
()iinnrank=IAl
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5
以下几种提法是等价的（参看矩阵分析）：对特征值li
(a) li 是最小多项式的单根;
(b) li 的初等因子都是一次的；
(c) 对应的Ji是对角形；
(d) 对应的约当块的个数等于代数重数；
(e) 几何重数等于代数重数.
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由以上讨论可以得出的结论是：
1)Re l < 0，l对应的所有运动模式收敛，即随着时间趋于无穷而趋于零。
2)Re l >0,l对应的所有运动模式发散，即随着时间趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散.。
3)Re l =0,分两种情况：
q若 l 对应的约当块全是一阶子块，这时l 的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；
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q当l的几何重数小于代数重数，l对应的约当块一定有二阶或二阶以上的出现，这时运动模式发散，
但发散是按时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时,一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的形态作出结论。
只要将例题A-1中的特征值l换为零，就可证实以上结论：
1A
1
000100
A00 010
000001
te
=→=
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8
3
2
A
3
11
010 2
A00101
00 001
=→=
t
tt
et
2A
2
01010
A00 010
00 001
=→=
t
t
e
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定理8-4：系统dx/dt=Ax的稳定性有以下充分必要条件
1)(李氏)稳定：det(sI?A)实部为零的根对应的初等因子是一次(或对应的约当块为一阶子块，或是最小多项式的单根；几何重数等于代数重数。),且其余根均具负实部。
2) 渐近稳定：det(sI?A)的所有根均具负实部。
3) 不稳定：det(sI?A)有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。
证明：根据定理8-2，我们只要讨论其状态转移矩阵的性质就可以了。
2,稳定性判据
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2 ;mlll? A L1设 的互异特征值分别是，，，
将eAt 写成PeJt P?1，这里
()
1
1
2
1
1
1
(1)!
i
i
ij
iii
i
ij
i
i
i
i i
i i
i ij
ir i
m
n
ttt
ij
t
t
t
t
t
tetee
tee
e
te
e
l
lll
l
l
l
l
=?=?=
=
J
JJ
JJJJ
J
O O
O
144424443
LL
O
O
O
显然，只要讨论eJt的有界性和收敛性即可，
而这等价于讨论eJt的每个元素的有界性和收敛性。
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1) （李氏）稳定当且仅当特征多项式实部为零的根对应的初等因子是一次，且其余根均具负实部。
1
(1)!
LL
O
O
O
ij
iii
i
i
n
ttt
ij
t
t
t
t
tetee
te
e
te
e
lll
l
l
2) 渐近稳定当且仅当特征多项式的所有根均具负实部。
3) 不稳定当且仅当特征多项式有正实部的根或实部为零的根对应的初等因子不是一次。证完。
J iitjttkecte +注意到 的每个元素可以写成 的形式,则sw
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渐近稳定?一致渐近稳定?指数渐近稳定讨论：根据定理8-2，
（1）对于时不变系统稳定?一致稳定这是因为若
0()00(,),,0AAΦttt eNtteN?=≤?≥?≤?≥tt
则N必与t0无关(参见定理8-2）。
因此，时不变系统按指数渐近稳定、渐近稳定、一致渐近稳定显然也是等价的，即
（2）总可以将 写成teA
,0,0ee?≤?≥>tltatl
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指数渐近稳定 稳定渐近稳定一致渐近稳定一致稳定定常定常定常这就是为什么对于时不变系统，通常只说“系统渐近稳定”的原因。
PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建 fìf?ìf www.fineprint.com.cn
例题 系统方程如下
74
001
100
a
xx
=
&
式中a为非负实常数，写出x=0李氏稳定时a的取值条件。
解 系统的特征方程式为
32
74
0147
10
sa
ssass
s
+
=+++
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所以 李氏稳定。74a ≥
7
4a > 三根在左半平面；
7
4a = 有一根为?7/4,另两根为?2j,+2j
3
2
0
14
7
47
7
s
sa
as
a
s
劳斯表：
有正根；470 << a
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16
a=0时，劳斯表为：
3
2
14
07
∞
s
s
s
此时可用(s+3)乘特征方程，得到
3432(47)(3)341921+++=++++sssssss
然后再用劳斯判据，对右半平面的根的个数进行判别。注：（课后自己演算）
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§8-2线性时不变系统的稳定性分析或用复数域表示
11()(I)(0)(I)()
()(I)(0)(I)()(3)
xssxsus
yssxsus
=?+?
=?+
AAB
CACAB A
系统方程为
(1)xxuyx=+=?ABC& A
(A-2)
∫
∫
+=
+=
t
)t(AAt
t
)t(AAt
dt)t(BuCe)(xCe)t(y
dt)t(Bue)(xe)t(x
0
0
0
0
t
t
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18
可见x (t),y (t)由四部分组成。稳定性问题是A的特征值问题，但以四项形式出现，与B、C阵密切相关，这说明对系统采用状态空间描述时,带来了新的稳定性概念，这些稳定性概念又和系统可控性、
可观测性密切相关。
(A-2)
∫
∫
+=
+=
t
)t(A
III
t
)t(A
I
At
dt)t(BuCeAt)t(y
dt)t(Bue)(xe)t(x
)(xCe
0
0
0
0
t
t
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等价变换对稳定性的影响：如果对动态方程(A-1)
一、有界输入、有界状态（BIBS）稳定
(1)xxuyx=+=?ABC&
进行等价变换,不会改变运动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有界性，即等价变换不改变稳定性。
本节研究：
dt)t(Bue)(xe)t(x
t
)t(AAt ∫?+=
0
0 t
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定义1
1) 若x(0)=0,及在任意有界输入 u(t) 作用下，均有x(t)
有界,则称系统(A-1) BIBS稳定。
2) 若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有x(t)有界,则称系统(A-1) BIBS全稳定。
定理8-6
1) 系统(A-1)BIBS 稳定?系统(A-1)全体可控模态具负实部（相应的模式收敛）；
（BIBS 稳定与不可控模式无关！）
2) 系统(A-1)BIBS 全稳定?系统(A-1)全体可控模式收敛、全体不可控模式不发散。 20
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21
定理8-6 可以用可控性分解来说明。不妨假定(A-1)式中的矩阵A、B已有可控性分解形式。这时有当x(0)=0时，x(t)的表达式中只有第二项，这项与不可控模式无关，而
+?
×= ∫?
00
0
0 0
1
2
1 1
4
1
t
)t(A
tA
tA dt)t(uBe
)(x
)(x
e
e)t(x t
dtBeKdt)t(uBedt)t(uBe
dt)t(uBedt)t(uBe
t
tA
t
tA
t
tA
t
tA
t
)t(A
∫∫∫
∫∫
≤?≤?≤
=?
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
111
11
tt
tt
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这里K是u(t)的界，上式若有界当且仅当A1的特征值均具负实部（因可控，输入可激励所有模式)。当考虑全稳定时,A 的所有模式均要计及，故需加上有界的条件，而这个条件就是A4李氏稳定的条件。
4A te
从复数域上的判别：从表达式(A-3)可知，BIBS稳定的条件就是,(sI?A)?1B 的极点均具负实部。这是因为不可控模态均已消去，故只要对可控模态提出要求即可。
李氏稳定条件加上了BIBS稳定条件就是BIBS全稳定的条件。
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二、有界输入、有界输出（BIBO）稳定本节研究(A-2)式中的第三、四项：
定义 2
1) 若x (0)=0,及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)
有界,则称系统(A-1) BIBO稳定(第4项）。
2) 若对任意的x(0),及在任意有界输入u(t)作用下,均有y(t)有界,则称系统(A-1)BIBO全稳定(第3、4
项）。
∫?+=
t
)t(A
III
dt)t(BuCeAt)t(y )(xCe
0
0 t
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定理8-7:
1) 系统(A-1)BIBO 稳定?系统(A-1)全体可控可观模式收敛;
2) 系统(A-1) BIBO全稳定?系统(A-1)全体可控可观模式收敛、全体可观不可控模式不发散。
证明：1）从y(s)=C(sI?A)?1Bu(s)即可看出。因为此时不可控、不可观的模态均被消去，故必须全体可控、可观模态具负实部。
这也可以从标准分解看出。事实上，若假定系统已有标准分解形式，则易于验证：
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25
11()()
00
()()()tttt==∫∫AACBCB
tt
yteueu
于是系统BIBO 稳定就等价于A11的所有特征值均具负实部（相应的模式收敛）。
注：从复数域上判别：
BIBO稳定研究的极点是否具有负实部，这正是经典控制理论中研究的稳定性。判别G(s)的极点是否全在左半平面，可用劳斯或霍尔维兹判据。
1()()CIABG=ss
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2) 只要证明全体可观不可控模式必须不发散就可以了，而这对应于零输入响应（第3项）。
考虑可观测性分解。不妨假定(A-1)式中的矩阵A、C已具有可观性分解形式。这时有
1
4
1
2
(0)0(),
(0)
t
t
xext
xe
=?
×
A
A%
[][]1 1
4
1
1 11
2
(0)00 (0)
(0)
t
t
t
xeyxex
xe
===
×
A
A
ACCC%%
1A中的模态有且只有两部分：
U{可观+可控}{可观+不可控}
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定理8-6、8-7表明BIBS 稳定、BIBO 稳定与系统可控性、可观性密切相关。
如前所述，可控可观的模式必须收敛，显然，要使
BIBO 全稳定，全体可观不可控模式必须不发散。
证完。
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28
[ ]
100
111
11
xxu
yx
=+
=
&例：考虑系统讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。
解：系统是不可控但可观测的，可控模态是?1。
根据定理8-6（全体可控模态收敛），系统BIBS稳定，但非全稳定（须全体不可控模态不发散）。
又系统可控、可观的模态是?1（收敛），故系统BIBO稳定。但不可控、可观的模态是1（发散），故系统也非BIBO全稳定。
[ ]?
=
=
== 12
11
11
00
cA
c)c,A(;Ab,b)b,A(
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定义 若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用下,
均有x(t),y(t)有界,则称系统(A-1)总体稳定。
总体稳定包含了BIBO全稳定和BIBS全稳定；而
BIBS全稳定蕴涵BIBO全稳定，于是我们有总体稳定的充分必要条件是BIBS全稳定。
三、总体稳定( T 稳定)
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(定理8-8）若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 稳定? BIBS 稳定
(定理8-9）若（Ａ，B）可控，则有
BIBS 稳定? Reli(A)<0,i=1,2,…,n
（定理8-10）若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，则
BIBO 稳定? Re li(A)<0,i=1,2,…,n
容易验证以下定理成立：
四、稳定性之间的关系
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31
（定理8-11）
BIBS 全稳定? BIBS 稳定,且A李氏稳定
（定理8-12）若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 全稳定? BIBO 稳定,且A李氏稳定定理(8-8)-(8-12)分别证明如下：
定理8-8,若（Ａ，Ｃ）可观，则有
BIBO 稳定? BIBS 稳定
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证明：,?,显然。下面证“?”：
事实上，假定系统已具可控性分解：
[ ]
12 1
1
4 111
()12
,0 0 ()[]
s
ysu?
==
=
=? G
AA BAB
A CIAB
CCC
1442443
则( A,C )可观意味子系统(A1,B1,C1)是可控可观测的,
即A1的模态既是可控的、又是可观的。此时，BIBO
稳定等价于A1的所有模态(可控模态!)均具负实部，
这恰恰是BIBS 稳定的充要条件（定理8-6）。
证完。
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定理8-9,若（Ａ,B）可控，则有
BIBS 稳定? Reli(A)<0,?li
证明：只需要证BIBS 稳定? Re l i(A)<0即可。
事实上，根据定理A-2，系统BIBS 稳定等价于所有可控模态所对应的模式收敛，即可控模态（特征值）具负实部。因为（Ａ,B）可控，故A阵的所有模态（特征值）均为可控模态，此时系统BIBS 稳定必等价于其所有特征值均具负实部，从而，所有的模式均收敛。
证完。
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定理8-10,若（Ａ,B,Ｃ）可观、可控，则有
BIBO 稳定? Reli(A)<0
证明：
定理8-11,
BIBS 全稳定? BIBS 稳定,A李氏稳定证明：这就是定理8-6之(2)。因A的模态及对应的模式只有可控和不可控两种，均包含在(2)中了。
0
98定理可观
88
<
)A(ReBIBSBIBO i
)B,A()C,A(
l
可控定理稳定稳定
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定理8-12,若（Ａ,Ｃ）可观，则有
BIBO 全稳定? BIBO 稳定、A李氏稳定证明：充分性显然。必要性：因(A,C)可观测，则所有的模式均可出现在
(0)AC tex
中。由于x0的任意性，这要求A李氏稳定。
证完。
推论：若（A,C）可观，则BIBO 全稳定与BIBS
全稳定等价。
证明：由定理8-12，此时BIBO全稳定等价于BIBO
稳定、A李氏稳定；而定理8-8表明系统还是BIBS稳定的。故由定理8-11知结论真。 证完。
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BIBS全稳定
BIBO全稳定可观 (8-8)
BIBO稳定
+ A 稳定BIBO全稳定可观
(8-12)
BIBS稳定
+ A 稳定BIBS全稳定
(8-11)
可观(8-8,12，
推论)
(8-8) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO稳定 BIBS稳定
(8-12) 若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBO稳定,A李氏稳定若（Ａ、Ｃ）可观，则有
BIBO全稳定 BIBS全稳定
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定理8-13 若（Ａ，B，Ｃ）可观、可控，以下事实等价
1,BIBO稳定;
2,BIBS稳定;
3.A 渐近稳定;
4.A 的所有特征值具负实部;
5.传递函阵极点具负实部;
6.总体稳定注：定理中的5 用到了前面章中的定理：(A,B,C)可控、可观测的充分必要条件是G(s)的极点多项式与A
的特征多项式相等。
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若系统的动态方程描述可控且可观测，则称系统可由传递函数阵完全表征。因此，定理8-13说明，
此时，系统的总体稳定性仅由传递函数就可以确定而不需考虑系统的动态方程描述。
从工程应用的角度，由于系统参数的不确定性，
总要求系统矩阵A是渐近稳定的。一般将李氏稳定称为临界稳定。
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定理8-13
总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观
8-8
可控
8-9
定理8-10若（Ａ、B、Ｃ）可观、可控，则有
BIBO稳定 Reli(A)<0
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总体稳定传函阵极点负实部
A特征值负实部
A渐近稳定 BIBS稳定 BIBO稳定可观可控可观可控
A 稳定
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时不变系统判断各种意义下的稳定性，一般要求出A的特征值，再对这些特征值的可控、可观性进行研究，再根据定理作判断。因为系统的可控性、
可观性与传函阵零、极点对消（或约去模态）有联系，因此可以不去判别各特征值的可控、可观性，
直接计算：
BIBS稳定,(sI?A)?1B (所有极点在左半面）
BIBS全稳定：(sI?A)?1 (不发散) + BIBS稳定
BIBO稳定,C(sI?A)?1B (所有极点在左半面）
BIBO全稳定：C(sI?A)?1 (不发散) + BIBO稳定由计算的结果判别。 41
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42
[ ]
100
111
11
xxu
yx
=+
=
&
例：考虑系统讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。
解：可以从复数域（传递函数）的角度来讨论：
BIBS稳定,是
1
1
0100
() 1111
1
==
+
+
ssb
s sIA
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43
[ ]
11001
()11 111 1sgs s s
==+ +
BIBO稳定:是
BIBS全稳定：否
[ ]
1
1 10 21()11
11 (1)(1)1
s scs
s sss
+?==
+ +?+IA
1
1
1 0
10 1()(0 (0)(0)
1111
(1)(1)1
s ssxxx
s
sss
==+
+?+
IA
BIBO全稳定：否
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例题 多变量系统结构图如下图所示，其中K1和K2都是非零常数,v1，v2 是输入量，y1，y2 是输出量。试给出系统总体稳定时参数K1，K2 应满足的条件（只要给出不等式，不要求解出不等式）。
2
1s
+
3
2s +
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
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解 根据图中所给出的关系，列出方程组如下
11112222222(),23+=+=&&xxKuKuxxKu
1112212,()=?=?+uvyuvux
11212,==+yxyux
2
1s
+
3
2s+
v1 x1 y1
v2 u2 x2
K2
_
y2
u1
_
_
K1
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消去中间变量u1、u2，经整理后不难得到下列系统的状态方程与输出方程：
112211221
2 22222
111
222
122 222
32333
1000
1 10
++=+
=+
&
&
xKKKxKKKv
K KKv
yxv
因K1,K2非0，则B、C矩阵的秩均为2，系统可控可观，
故根据定理8-13，总体稳定等价于A渐近稳定。于是
122
2
121212
12
323
(325)(2476)
+?+?
++
=+?++?+?
sKKK
KsK
sKKsKKKK
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122
2
121212
12
323
(325)(2476)
sKKK
KsK
sKKsKKKK
+?+?
++
=+?++?+?
上面的多项式的根均在左半面的充要条件为:
12
1212
3250
24760
+>
+?>
KK
KKKK
（解毕）
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例题 系统状态方程和输出方程如下
12
000
0010
01
=+
&
b
xxu
aa
[ ]10ybx=?
其中a1、a2和b 均为实常数，试分别给出满足下列条件时，a1、a2和b的取值范围
1.李亚普诺夫意义下稳定；
2.有界输入、有界输出(BIBO)稳定。
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1 李氏稳定：
1)
特征值一个为0，两个有负实部；稳定
1 0a > 2 0a >
2),
特征值两个为0，一个有负实部。经验算，零特征值几何重数与代数重数相同，初等因子为一次；稳定
1 0a = 2 0a >
3)
一个零特征值，一对共轭零实部特征值。稳定
1 0a > 2 0=a
解：特征多项式为 2 21()0ssasa++=
4) a1=0,a2=0，特征值3个为0，系统不稳定。
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2 BIBO稳定：
21
22
2121
()() +=?=
++++
basabbsGs
s sasassasa
12
1.0()0,BIBO
2.000()0,BIBO
bGs
baaGs
==
≠===
此外，在a1、a2的任何其它取值的情形下都存在极点s=0,不满足极点需都具有负实部条件，因此都不会BIBO 稳定。
注：G(s) =C(sI?A)?1B
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例：考虑动态方程：
[ ]
001
55155,00
0001
a
xxuyb
=+=
&
讨论当常数a、b为何值时有
1.关于零解李氏稳定；
2.系统BIBS稳定；
3.系统BIBO稳定。
解 系统可控性矩阵是：
2
2
1
55255
100
aa
bbba
=
AA
使系统不可控的a=0,5/2。
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00
5515(5)()
00
+
=?+=++IA由
sa
sss sa
s
易见：
§ a>0，三根为0，?5，?a 李氏稳定;
§ a<0，有正根，不稳定；
§ a=0，二根为零，一根为?5，且
0()1=?=IAsranks
有两个线性无关的特征向量，零根对应的约当块为两个一阶子块，故李氏稳定。
1.考察零解的李氏稳定性：
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2 系统BIBS稳定：只要考察（sI?A)?1B 即可：
1
1 001
15115
()5()(5)5(5)
111
00
+
+
==
++++
IAB
sa sa
s sassss
ss
这说明不论a取何值，均有一个s=0是可控的，故
BIBS不稳定(a=0，因为可控性矩阵的秩为2，s=0
两根中有一个不可控，而另一个s=0 可控)。
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54
1()0,0,bsba
sa
=≠>
+3BIBO cIABBIBO稳,；定
b=0、a 任意，BIBO稳定。
(5)()ss sa?=++IA
结合可控性矩阵，可看出，无论a 取何值，总有一个s=0 是可控的。故系统必不是BIBS稳定的。
或者，由
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例题8—10系统动态方程为试分别给出系统满足各种稳定性时，参数a、b、σ、
l(均为实数）应满足的充分必要条件。
解
1,x =0李雅普诺夫意义下稳定,00sl≤<
2,x =0渐近稳定,00sl<<
[ ]xby,uaxx 010
1
0
0
000
100
001
001
=
+
=
l
l
s
s
&
可知：由 j)AsIdet( ±=? s1
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3 BIBS稳定：根据定理8-6,BIBS稳定等价于所有可控的模式收敛。将(A,b,c)分块，考虑PBH检验：
的可控性即可。显然，(A2,b2)总可控、a≠0 时(A1,b1)
可控，从而整个系统可控（PBH检验）；a=0 时
rank[b1,A1b1]=0，A1的模态全都不可控。故
1
2
0
0
sb
sb
1
2
IA
IA
由于,只需分别判断ls ≠± j
[ ] [ ] )(bAb)a(aa abAb 可控，时可控?
=≠
=
ls 1
1000
222111
( )
为任意实数；
即可，决定的，只需时其可控部分是由
s
l 00 22 <= b,Aa
00可知，必须时，由0 1 <<±=?≠ lss,j)AsIdet(a
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4 BIBS全稳定：根据定理8-6,BIBS全稳定等价于所有可控的模式收敛、所有不可控的模式不发散。故根据BIBS稳定性的分析：
5BIBO稳定：根据定理8-7,BIBO稳定等价于所有可控可观的模式收敛。与可控性的讨论类似，系统的可观测性等价于下列子系统是否可观测：
00必须可知，时，系统可控，由0 1
<<
±=?≠
ls
s
,
j)AsIdet(a
就可以了。0需要单根：其不可控部分的根均为
0决定的，需要时，其可控部分是由0 22
≤±
<=
ss
l
,j
,)b,A(a
，可观001 10
22
2
11
1 )b(
bb
b
Ac
c)(
Ac
c 时，可观 ≠
=
=
ls
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显然，
0,0
0 0
ab
a
sl
sl
=?=?
≠ <?
，为任意实数第一种情形：
，，为任意实数
222
11
0(,,)
0(,);
bbc
ab
l
s
=?
=?
A
A
其中，不可观，可为任意实数不可控，可为任意实数
1110(,,)0abc ss≠?<A 可控可观，应考虑,。
0 00
0 00
ab
a
ls
sl
=<?≠
≠ <<?
，，为任意实数第二种情形：
，,
222
11
0(,,)0;
0(,);
bbc
ab
l
s
≠?<
=?
A
A
其中，可控可观故不可控，可为任意实数
1110(,,)0abc ss≠ A 可控可观，应考虑,。
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0000
000
ab
a
sl
sl
=≤<?≠
≠<<?第二种情形：
6 BIBO全稳定：根据定理8-7,BIBO全稳定等价于所有可控可观的模式收敛、所有可观不可控模式不发散,00,
0 00,ab as ls l=≤?=?≠<
可为任意实数第一种情形：
可为任意实数
222
111
0(,,)
0(,,)0;
bbc
abc
l
ss
=?
=?≤
A其中，不可观，可为任意实数可观不可控,必须
1110(,,)0bc ss≠?<A 可控可观，应考虑,。
222
111
0(,,)0;
0(,,0;
bbc
abc
l
ss
≠?<
=?≤
A
A
其中，可控可观，故可观不可控,必须
1110(,,)0bc ss≠ A 可控可观，应考虑,。
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