§ 8-3 李雅普诺夫第二方法为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法,
第一方法 包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法 不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来 直接判断运动的稳定性，因此又称为 直接法 。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
例,考虑如下系统关于零解的稳定性：
5xx
首先构造一个正定函数：
2()?v x x
( ) 0 0,( ) 0 0显 然,且 。v x x v x x
现 在,我 们 考 虑 沿 上 述 微 分 方 程 的 解 对 时 间 的导 数,有
vt
22 1 0 0 0v x x x x
由于 v(x)正定,负定，意味着 v(x)收敛，从而 x
必将渐进收敛到 0。我们得出了这个结论，却并未求解微分方程。
v?
例,考虑小阻尼线性振动系统：
12
2 1 2
0.5xxx x x
阻 尼 比
12 0,0xx试 研 究 其 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。
类 似 于 前 例,取 一 个 函 数,通 常 称 为 函 数,v
221 2 1 1 2 2(,) 3 2 2v x x x x x x
易于验证，这是一个正定函数。而方程
221 1 2 23 2 2,0x x x x C C当 时 表 示 一 个 椭 圆 族 。
1x
2x
一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：
22
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
12
(6 2 ) ( 2 4 ) ( ) 2 ( )vvv x x x x x x x x x x xxx
1x
2x当 x
1和 x2不同时为零时，即在相平面上，除原点 x1=x2=0外，总有 dv/dt<0,这说明 v总是沿着微分方程的运动而减小的，也就是说，运动轨线从 v=C的椭圆的外面穿过椭圆走向其内部。因此，
系统关于零解必是渐近稳定的。
以上例子说明，我们借助于一个特殊的 v函数，
不求解微分方程，就可以按 v及 dv/dt的符号性质来判断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求解微分方程是做不到的。
因此，利用 Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：
1) 构造一个函数 v(x1,…,xn),它具有一定的符号特性，
例如证明渐近稳定时要求 v(x1,…,xn)=C(C>0),且当 C
趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；
2) v(x1,…,xn)沿着解 x1=x1(t),…,xn=xn(t)的时间导数
dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。
正定函数 v(x) = Ci > 0 的等值线示意图,这是一族闭的、层层相套的、当 C趋向于零时向原点退缩的曲线。
1 2 3 4 5 6 7＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜C C C C C C C
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
一、符号函数的定义
0
,
(,),0 (,)
( 0,) 0
我 们 首 先 考 察 定 义 在 上 的 时 变 量 实 值函 数 这 里,,并 假 定 为 单 值 连 续 的,
且 当 =0 时,。 例 如
x t t
x t v x t
x v t
1 ) 0( 0),
) 0 ( ) (
v t x x v x
v x x v x
（ ） 若 不 显 含,只 是 的 函 数,当 时 有 （
且 （ 有 非 零 解 0,则 称 为 常 正 常 负 ） 函 数 。
定 7 - 1 2义
22
1 2 02
1(,) ( ),0
1v x t x x t tt
就是这样的函数。
221 2 1 2( ) 2v x x x x x 是 一 个 常 正 函 数 。例,
) 0( 0) ) 0
)
x v x v x
x v x
若 当 0< 时 有 （,且 （ 仅 有 零解 =0,则 称 （ 为 正 定 （ 负 定 ） 函 数 。
2212()v x x x 是 一 个 正 定 函 数 。例,
02 (,) (,) 0 ( 0 ),v x t t t x v x t（ ） 若 在,上 恒 有
22
1 2 02
1(,) ( ),0
1v x t x x t tt 就 是 一 个 常 正 函 数 。例,
l i m (,) 0注 意 到 在 这 个 例 子 中 。t v x t
常 正 （ 负 ） 函 数 又 称 为 半 正 （ 负 ） 定 函负 数 统数号 数
。
称常 正,
常 函 常 函 。
(,) (v x t则 称 为 常 正 常 负 ） 函 数 。
0()
(,) ( ) (,)
x w x t t
v x t w x v x t
若 当 存 在 正 定 函 数,使 得 对 于成 立,则 称 为 正 定 函 数 ；
22
1 2 02
22
12
1
(,) ( 1 ) ( ),0,
1
()
v x t x x t t
t
w x x x
正 定,只 要取 就 可 看 出 。
例,
负 数 统 称 号 数正 定,定 函 定 函 。
号 号 数 数 统 称 变 号 数（ 3 ） 不 是 常 和 定 函 的 函 函 。
12()v x x x? 是 变,号 函 数 。例
0 (,) ( ) (,)t t v x t w x v x t若 对 于,成 立,则 称为 负 定 函 数 。
ε
例,变号 v(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
22
1 2 0(,) ( ) ( ) 0) 0
tv x t a e x x a t t（ 是 上 的
。
,正 定函 数例
22
1 2 0(,) ( ) 0
tv x t e x x t t,是 上 的 常 正 （ 半 正 定 ）
函 数 。
例正 定 和 常 正 函 数 的 例 子,
22
12 2
2
1(,)v x t x t x t
x
不 具 无 限 小 上 界,只 要 取 ；例,
0
4 (,)
( ) (,) ( ) l i m (,) 0
（ ） 称 是 具 无 限 小 上 界 的,若 存 在 正 定 函 数
,使 得,即 对一 致 。
x
v x t
w x v x t w x v x t
t
2212(,) s in而 具 无 限 小 上 界,只 要 取v x t x t x
2212()?=w x x x
即 可 。
本节讨论方程关于平衡状态 x = 0 的稳定性。
(,) ( 0,) 0 ;R nx f x t f t，
二、几个主要定理
1 2 1 2[,,,],(,) [,,,]TTnnx x x x f x t f f f
或
00 )(f),x(fx? (8-39)
11
( ) ( ) ( ) ()nn i
i
ii ii
dxd v x v x v x fx
d t x d t x
1
2
12
()
()( ) ( ) ( ) ( )
()
()
T
n
n
fx
fxv x v x v x v x
fx
x x x x
fx
首先，对函数 v(x) 沿方程 (8-39)解对时间 t 求导数：
v(x,t)正定 （ 负定 ）,且沿方程 （ 8-39）
则（ 8-39）的零解 i.s.L稳定 。
定理 8-20*（ Lyapunov,1892)：
的始于 x,t 的运动的导数
00 )(f),x(fx? (8-39)
n
i
i
i
T
)()t,x(fxvtv)t,x(fxvtv)t,x(v
1
00? (8-40)
注：
1) 这是一个 充分条件 ；
2) 若 f不显含 t,从而 v 不显含 t,则结论为
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 )
nT
i
ii
vvv x f x f x
xx
( ),( 0 ) 0x f x f这 里,
几何解释 （仅讨论 v(x)的情形）：
1x
2x
1x
2x
由于 v(x)正定,v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知 v(x)
的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，
这表明系统关于原点（零解）是稳定的。
v0C?
例,考虑系统：
12
21
xx
xx
事 实 上,我 们 有,
2 2 2 21 2 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t 。
22
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ),2 2 2 0,
7 20,0,
取 则 （ ）
根 据 定 理 系 统 关 于 零 解 李 氏 稳 定 。 因 可 知相 轨 迹 必 在 等 值 线 上 。
v x x x v x x x x x x x x
v
8
则 （ 8-39） 的零解 渐近稳定 。
几何解释：
由于 v(x)正定,v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 C 趋向于零而向原点退缩。而 dv/dt 负定则说明：在任一点 x处,v(x) 的值都是减小的，从而在任一点 x 处，运动的轨线都从 v(x)=C的外部穿越
v(x)=C 走向内部。这表明,limt?0x(t)=0,即原点
（零解）是渐近稳定的。
定理 8-21* 若 v(x)正定 （ 负定 ）,且 v(x)沿方程
（ 8-39） dx/dt=f(x),f(0)=0 解的导数
)()x(fxv)x(fxvdt )x(dv
n
i
i
i
T
00
1
(8-40)
1x
2x
例,考虑小阻尼线性振动系统：
12
2 1 2
xx
x x x
12 0,0xx研 究 其 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。
2212( ),若 取 则 有v x x x
2
1 2 1 2 2 1 2 2
12
2 2 ( ) 2 0vvv x x x x x x x xxx
此时只能用定理 8-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。
思考：若取 会是 怎样 的？
这说明：
正定半负定
a) 能构造出 v(x),满足定理 8-21*，从而判定系统渐近稳定；
b) 能构造出 v(x),仅满足定理 8-20*，只能得出稳定的结论；
c) 甚至连满足定理 8-20*的 v(x)也构造不出来，这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。
1) 对一个系统，构造一个合适的 v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：
定理 8-21** 若 v(x)正定 （ 负定 ）,v(x)沿方程 （ 8-39）
的 导 数且沿方程（ 8-39）的非零解,dv/dt 不恒为零,则
（ 8-39）的零解 渐近稳定 。
v?
2）定理 8-21*对 dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：
00 )(f),x(fx? (8-39)
)()x(fxv)x(f)xv()x(v i
n
i i
T 00
1
(8-40)
定理 8-22* 若有 一个 v(x),满足
(1)在原点的某个邻域 ‖ x ‖ <? 内,存在 v>0的区域,
这种区域可能包含若干个子区域 uj,而 uj的边界是由
v=0和 ‖ x ‖ =? 所组成。
0,v?(2) 在某个子区域,v 沿（ 8-39）解的导数则（ 8-39）的零解是 不稳定 的。
v(x)>0
0v?
0v?
0v?
定理 8-20*
定理 8-21*
定理 8-21**
v(x)>0
v(x)>0 渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定
ε
定理 8-22*的几何意义：
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v?
定理 8-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的 任一个正定对称阵 N，
都存在 唯一的正定对称阵 M,使得
Axx?
TA M M A N （ 8—44）
三、线性系统二次型 v 函数构造为什么要研究这个问题？
在控制律的设计中，通常由于 A阵的参数并不确切知道，
则定理 8-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个 v
函数，其沿方程的导数是负定的,则系统一定渐近稳定。因此，定理 8-25以及其构造 Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十分重要的意义。
证明,充分性,若对任给正定对称阵 N,都存在唯一的正定对称阵 M,使 (8-44)成立，要证明系统渐近稳定。
为此，构造 Lyapunov 函数：
()? MTv x x x
对其沿方程的解微分，有由定理 8-21*知零解渐近稳定。
( ) 0A M MA NT T Tv x x x x
必要性,要证明若 dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵 N,有唯一的正定对称阵 M存在，使得
(8-44)成立。为此,考虑矩阵微分方程
( 0 ) 0TX A X + X A,X = N且 令
A M M A NT
（ 8—44）
不难验证其解为
T tee? A A tXN
对
00
00
( ) ( 0) ( ) ( )
( Re ( ) 0,( ) 0)
( ) ( )
T
T
d t d t
d t d t
l
X X A X X A
AX
N = A X X A
( 0 ) 0X A X + X A,X = NT
积分并注意到系统渐近稳定的假设,有
MM ；T
00
( ) ( )
TT T t t T
x x x e e d t x e x e x d t
A A t A A tM N N
00
,
A A tM X N
T t
d t e e d t
则 易 于 验 证 它 是 正 定 对 称 阵 。 首 先,
其 次,注 意 到令
( ) ( ) 0 0A A tNA
M
且 。 又 由 于 阵 均 具 负实 部,故 积 分 有 界,必 正 定 。 因 此 方 程
(7-44) 成 立 。
tTe x e x x
8
对称正定
M阵的唯一性,为此将方程（ 8-44）写成
11
22
A M M A N
A M M A N
T
T
两式相减得
1 2 1 2( ) ( ) 0A M M M M AT
1 2 1 2) ( 0AA[ A ( M M M M ) A ]
T t T tee
因此，
12[ ) ] 0
AA( M MT ttd ee
dt
12 )AA( M M C
T tte e t
0 12M M Ct
12l im ) 0AA( M M
T tt
t ee
12
0
C
MM 。 证 完 。
又定理 8-25* 设 A,F和 G/C分别是 矩阵,则方程
,,n n r r r n
有 阵 P唯一存在的充要条件为 F与 A无相同的特征值。
rn
M阵唯一性的简单证明方法,考虑定理 8-25*:
对 (8-33)进行转置并令 r=n,FT=? A,CTGT=? N,
P=M（ 注意 M已是对称的）,有
)W(:CGPFAP nqqrrrnr （ 8-33）
NMAMA
NFPPAGCFPPA
T
TTTTTTTT
(8-44)
这里，用到了 M为对称正定阵的假设。于是,M唯一存在的充要条件是 － A与 AT无相同的特征值。由于 A
渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，
即：
( ) ( ),,( ) ( ) 0,,A A A ATTi j i ji j i jl l l l
证完。
几点说明：
2,在求解（ 8—44）时比较简单的是取 N为单位阵 ;
3,当 A中含有未确定参数时,可以先指定一个 N阵,
而后解 （ 8—44） 所确定的代数方程组,从而得到 M阵,用 Sylvester 定理写出 M阵正定的条件,
这样就可得到系统稳定时,A中的待定参数应满足的条件 。 应当指出,这些待定参数应满足的条件是和 N阵的选择无关的 。
1,矩阵方程 （ 8—44） 给出了构造这个二次型 v函数的具体途径,在指定正定对称的 N阵后可求解 （ 8-44）
所定义的 个 未知量的代数方程组 。 定理的结论表明 A若是渐近稳定时,这个代数方程组有唯一解存在 ;
2 )1(?nn
4,需要引起注意的是，定理 8-25并不意味着以下命题成立，即例 8— 10
1 1 1 2,
1 3 2 5
AM
显然 A的特征值均有负实部,M正定,但按 （ 8—44）
计算出的
22
2 2 6
N
却不是正定的。
,A渐近稳定,M正定，由（ 8— 44）式所得的 N一定正定。”
例 8-9 考虑二维系统
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
x a a x
x a a x
A
求系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
令 N=I,由（ 8-44）式可得
1
11 21 11
12 11 22 21 12
12 22 22
2 2 0 1
0
0 2 2 1
a a m
a a a a m
a a m
A
上述方程组的系数矩阵 A1的行列式为
2212
1211
mm
mmM
A M M A NT
（ 8—44）
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 2
d e t ( ) 4 ( ) ( )
4 ( ) d e t ( )
A
A
a a a a a a
aa
若 detA1?0,方程组就有唯一解，其解为
22
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1
22
1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2
d e t ( ( )2
d e t ( ) ( ) d e t (
a a a a a a
a a a a a a
A)
M
A A)
由 M正定的 Sylvester 判据可得
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
11
1 1 2 2
2 [ d e t( ) ] d e t( ) 01
d e t( ) 2 ( ) d e t( )
a a a am
aa
1
AA
AA （ ）
2由 （ ）,必 须
(3),(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
13由 （ ）,并 考 虑 到 （ ）,应 有
1 1 2 2 1 2 2 1d e t 0 3A a a a a （ ）
22
1 1 2 2 1 2 2 1
2
1 1 2 2
( ) ( )d e t( ) 0 2
4 ( ) d e t( )
a a a a
aa
M
A
及 （ ）
1 1 2 2( ) 0 4aa （ ）
有正定对称解的充分必要条件为 xx? A 渐近稳定。
定理 8-26 若定理 8-25（ 8-44） 中的 N取为 半正定对称阵,且有 xTNx沿 =Ax的任意非零解 不恒为零,
则矩阵方程
x
ATX+XA=?N （ 8-46）
注,关于定理 8-26
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,的条件不能少 。
例 1,A渐近稳定,N半正定,不能保证 M正定
1
21 0 1 0 0,
1 1 0 0 00
A N M
1,这是因为 xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，
容易算出但 此 时
2,若将 N分解为 N=[1 0]T[1 0]:=CTC,则易于验证
(A,C)不可观测。
100N 。Tx x x
若
2 2 0 1( 0 )tx e x x因 为
Txx这 说 明 沿 方 程 的 非 零 解 恒 为 零,不 满 足 定 理 条 件 。N
2 0 200x x x 是 非 零 解 。
1
2 1 0 1 00,
0 0 0 100
A N M
例 2,N半正定,M正定，不能保证 A渐近稳定。
分析,1,xTNx沿方程的非零解
0,51 1 0 1 0 1,0 0 ;tx x e x x
2,令 C=[1 0],N=CTC,可知 (A,C)不可观测。
但 xTNx=x12,故 xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零 。
2 2 0 2 0,0,x x x
xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时 (A,C)可观测,
定理满足。
11
24
11
44
1 1 1 0
,
0 1 0 0
A N M
例 3：
( ) ( 0) ( 0)
0
A
tt
t
t
e t e
x t e x x
e
结论：,xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用 (A,
C)可观测代替，这里 N= CTC。 进而，我们有：
定理 8-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的 Lyapunov方程
Axx
A M M A NT （ 8—44）
在给定（ A,N)为 可观测 的半正定阵 N下，方程 (8-44)
的解 M为正定。
关于定理的证明,
1) 因为 N为半正定矩阵，总可以将其分解为
N=CTC
的形式。易于证明（例如用反证法）,(A,N)可观测可推得 (A,C)可观测。
2) 必要性证明,类似于定理 8-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使 (A,N)可观测的半正定阵 N,由积分
00
A A A AM = N C CTTt t t T te e d t e e d t
确定的矩阵 M必满足 (8-44)且为正定（可观测性
Gram矩阵）。
3) 充分性证明,若在给定（ A,N)为可观测的半正定阵 N下，方程 (8-44)的解 M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑
00 0 0 ( * )T T T tx x x x x e xAN C C C C
0 0 0|0ACCt te x x
微 分 （ * ） 式,有
0 0 0 00 | 0AAC A C A C Att te x e x x
1 0 0CA n x
这说明使 的 x是零解，即沿方程的非零解 dv/dt不恒为零。由定理 8-21**，系统必渐近稳定。 证完。
0Txx?N
00
1
00
C
CA
CA
n
xx
例题 8-11,考虑如下三阶多项式：
32 1 2 3 0s a s a s a
注,以上证明可以去掉，根据,(A,C) 可观测当且仅当? ={0}”这一命题就立即可以看出 x0?0。
0 1
3 2 3 2
1 2 3 2 1 3
() ()
()
Ds Ds
D s s a s a s a s a s a s a
令定义系统如下：
11
0 1 0 1
( ) ( ) 1()
( ) ( ) ( ) 1 ( ) / ( )
D s D sgs
D s D s D s D s D s
假定 D0(s)和 D1(s)无公因子。则 D(s) 为 Hurwitz 多项式当且仅当系统 g(s)稳定。将 D0(s)/D1(s)展开：
试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。
0 1 2 3 1
2
1 1 1 3
( ) ( ) /1
()
D s s a a a as
D s a a s a
则 s
s
s
3
2
1 1
1
s
aa
aaa
s
aaa
a
s
a
aaaas
asa
s
a
31
321321
2
11
1321
3
2
11 1
)(
11
/)(
11
s
s
s
)s(D
)s(D)s(D
)s(D
)s(g
3
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
13
1 1 2 3
1
0
3
1sa
s a a
a a a
s
a
sa
劳 斯 表,
不难验证,g(s)可由下列系统实现：
1
1
sa
3x 2
1
sa
2x
3
1
sa
1x
u
y
3
2
31
321
3
2
1
321
1
12
11
1
11
b
b
:
aa
aaa
b
b
:
aaa
a
a
b
:
a
这是一个最小实现，系统可控可观测。现用
Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。
为此定义 N为
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2
0 0 2 2
N
xy
uxx
100
1
0
0
11
0
1
0
1
0
1
0
11
22
3
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2
0 0 2 2
N
显然,(A,N)可观测。解方程
A M M A NT
得到欲使 M正定，只要1>0,
2 >0,?3 >0。
一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见 Chi-Tsong
Chen,“Linear System Theory and Design,p.417.
1
2
3
00
00
00
M
四、关于 Lyapunov 函数
3,应当特别注意定理 8-20*-8-21**均为充分条件。
这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的 v
函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找出满足不稳定定理的 v函数（参见高为炳《运动稳定性基础》）；
1,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；
2,如何构造 v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的 v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造 v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造 v 函数的方法。
4,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理 8-25、定理 8-26及定理 8-26*，是基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程 (8-44)：
ATM+MA=?N，
这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的 v 函数 ;
v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合 ;
有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果；
5,对时变的函数 v(x,t),除了前述符号的要求之外 (定号函数的定义也异于 v(x)),定理也和定常情况不同，
应用有关稳定性定理时要特别注意,具无穷小上界” (1)或,K类函数界,(2)的要求。引用教科书时要多查证。
本章总结在本章中，主要介绍了线性系统的平衡状态的李亚普诺夫稳定性和渐近稳定性，时不变系统的 BIBS和 BIBO稳定性。在时变情形下，非一致稳定的系统可以是李氏稳定的。而对时不变情形，一致稳定和李氏稳定没有区别。且时不变系统的渐近稳定、
一致渐近稳定、按指数率渐近稳定也是等同的。
尽管证明了时变情形时稳定性的充要条件（定理 8-2），但因一般情况下很难得到状态转移矩阵，所以难以使用这些条件。
对时不变系统，可由传递函数极点或矩阵 A的特征值来检验其稳定性。可以对 A的特征多项式应用劳斯 -霍尔维茨或者李亚普诺夫定理来检验 A的所有特征值是否都具有负实部。
在计算量上，劳斯 -霍尔维茨方法比在检验 A的稳定性中的李亚普诺夫方法要简单。
本章主要知识点：
稳定是一切控制系统能够正常运行的前提。系统运动的稳定性是除能控性、能观性之外的另一个要研究的基本课题。本章研究对象将扩展到涉及线性、非线性，
时变、时不变，连续、离散系统。主要知识点有：
1、两类稳定性内部稳定性 -渐近稳定，对连续时不变情形充要条件为 A特征值均具负实部；
外部稳定性 -有界输入 -有界输出稳定（ BIBO稳定），对连续时不变情形充要条件为传函矩阵 G(s)的所有极点均具负实部；
两类稳定性的等价条件，对连续时不变情形系统渐近稳定则必为 BIBO稳定，
系统 BIBO稳定不保证必为渐近稳定。当系统为完全能控和完全能观时，则系统
BIBO稳定当且仅当系统渐近稳定。定理 8-8~-13。
2、李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定，一致稳定，渐近稳定，不稳定，各种稳定性之间的蕴涵关系
3、连续时间系统稳定性判据小范围渐近稳定判据，大范围渐近稳定判据，不稳定判据，定理 8-2。
4、连续时间线性时不变系统的稳定性判据特征值判据（定理 8-4），李亚普诺夫判据（ 定理 8-25 ）
本章习题：
1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为
xy,uxx 0525
10
0
0
50250
100
010
试判断,1）系统是否为渐进稳定； 2）是否为 BIBO稳定；并解释。
2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定：
2
2
112
21
xxxx
xx
第一方法 包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法 不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来 直接判断运动的稳定性，因此又称为 直接法 。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
例,考虑如下系统关于零解的稳定性：
5xx
首先构造一个正定函数：
2()?v x x
( ) 0 0,( ) 0 0显 然,且 。v x x v x x
现 在,我 们 考 虑 沿 上 述 微 分 方 程 的 解 对 时 间 的导 数,有
vt
22 1 0 0 0v x x x x
由于 v(x)正定,负定，意味着 v(x)收敛，从而 x
必将渐进收敛到 0。我们得出了这个结论，却并未求解微分方程。
v?
例,考虑小阻尼线性振动系统：
12
2 1 2
0.5xxx x x
阻 尼 比
12 0,0xx试 研 究 其 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。
类 似 于 前 例,取 一 个 函 数,通 常 称 为 函 数,v
221 2 1 1 2 2(,) 3 2 2v x x x x x x
易于验证，这是一个正定函数。而方程
221 1 2 23 2 2,0x x x x C C当 时 表 示 一 个 椭 圆 族 。
1x
2x
一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：
22
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
12
(6 2 ) ( 2 4 ) ( ) 2 ( )vvv x x x x x x x x x x xxx
1x
2x当 x
1和 x2不同时为零时，即在相平面上，除原点 x1=x2=0外，总有 dv/dt<0,这说明 v总是沿着微分方程的运动而减小的，也就是说，运动轨线从 v=C的椭圆的外面穿过椭圆走向其内部。因此，
系统关于零解必是渐近稳定的。
以上例子说明，我们借助于一个特殊的 v函数，
不求解微分方程，就可以按 v及 dv/dt的符号性质来判断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求解微分方程是做不到的。
因此，利用 Lyapunov 函数判断零解的稳定性包含如下要点：
1) 构造一个函数 v(x1,…,xn),它具有一定的符号特性，
例如证明渐近稳定时要求 v(x1,…,xn)=C(C>0),且当 C
趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩的超曲面族；
2) v(x1,…,xn)沿着解 x1=x1(t),…,xn=xn(t)的时间导数
dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符号性质，例如负定或半负定。
正定函数 v(x) = Ci > 0 的等值线示意图,这是一族闭的、层层相套的、当 C趋向于零时向原点退缩的曲线。
1 2 3 4 5 6 7＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜C C C C C C C
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
一、符号函数的定义
0
,
(,),0 (,)
( 0,) 0
我 们 首 先 考 察 定 义 在 上 的 时 变 量 实 值函 数 这 里,,并 假 定 为 单 值 连 续 的,
且 当 =0 时,。 例 如
x t t
x t v x t
x v t
1 ) 0( 0),
) 0 ( ) (
v t x x v x
v x x v x
（ ） 若 不 显 含,只 是 的 函 数,当 时 有 （
且 （ 有 非 零 解 0,则 称 为 常 正 常 负 ） 函 数 。
定 7 - 1 2义
22
1 2 02
1(,) ( ),0
1v x t x x t tt
就是这样的函数。
221 2 1 2( ) 2v x x x x x 是 一 个 常 正 函 数 。例,
) 0( 0) ) 0
)
x v x v x
x v x
若 当 0< 时 有 （,且 （ 仅 有 零解 =0,则 称 （ 为 正 定 （ 负 定 ） 函 数 。
2212()v x x x 是 一 个 正 定 函 数 。例,
02 (,) (,) 0 ( 0 ),v x t t t x v x t（ ） 若 在,上 恒 有
22
1 2 02
1(,) ( ),0
1v x t x x t tt 就 是 一 个 常 正 函 数 。例,
l i m (,) 0注 意 到 在 这 个 例 子 中 。t v x t
常 正 （ 负 ） 函 数 又 称 为 半 正 （ 负 ） 定 函负 数 统数号 数
。
称常 正,
常 函 常 函 。
(,) (v x t则 称 为 常 正 常 负 ） 函 数 。
0()
(,) ( ) (,)
x w x t t
v x t w x v x t
若 当 存 在 正 定 函 数,使 得 对 于成 立,则 称 为 正 定 函 数 ；
22
1 2 02
22
12
1
(,) ( 1 ) ( ),0,
1
()
v x t x x t t
t
w x x x
正 定,只 要取 就 可 看 出 。
例,
负 数 统 称 号 数正 定,定 函 定 函 。
号 号 数 数 统 称 变 号 数（ 3 ） 不 是 常 和 定 函 的 函 函 。
12()v x x x? 是 变,号 函 数 。例
0 (,) ( ) (,)t t v x t w x v x t若 对 于,成 立,则 称为 负 定 函 数 。
ε
例,变号 v(x1,x2) = x1x2
x1
x2
+
+ －
－
22
1 2 0(,) ( ) ( ) 0) 0
tv x t a e x x a t t（ 是 上 的
。
,正 定函 数例
22
1 2 0(,) ( ) 0
tv x t e x x t t,是 上 的 常 正 （ 半 正 定 ）
函 数 。
例正 定 和 常 正 函 数 的 例 子,
22
12 2
2
1(,)v x t x t x t
x
不 具 无 限 小 上 界,只 要 取 ；例,
0
4 (,)
( ) (,) ( ) l i m (,) 0
（ ） 称 是 具 无 限 小 上 界 的,若 存 在 正 定 函 数
,使 得,即 对一 致 。
x
v x t
w x v x t w x v x t
t
2212(,) s in而 具 无 限 小 上 界,只 要 取v x t x t x
2212()?=w x x x
即 可 。
本节讨论方程关于平衡状态 x = 0 的稳定性。
(,) ( 0,) 0 ;R nx f x t f t，
二、几个主要定理
1 2 1 2[,,,],(,) [,,,]TTnnx x x x f x t f f f
或
00 )(f),x(fx? (8-39)
11
( ) ( ) ( ) ()nn i
i
ii ii
dxd v x v x v x fx
d t x d t x
1
2
12
()
()( ) ( ) ( ) ( )
()
()
T
n
n
fx
fxv x v x v x v x
fx
x x x x
fx
首先，对函数 v(x) 沿方程 (8-39)解对时间 t 求导数：
v(x,t)正定 （ 负定 ）,且沿方程 （ 8-39）
则（ 8-39）的零解 i.s.L稳定 。
定理 8-20*（ Lyapunov,1892)：
的始于 x,t 的运动的导数
00 )(f),x(fx? (8-39)
n
i
i
i
T
)()t,x(fxvtv)t,x(fxvtv)t,x(v
1
00? (8-40)
注：
1) 这是一个 充分条件 ；
2) 若 f不显含 t,从而 v 不显含 t,则结论为
1
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 )
nT
i
ii
vvv x f x f x
xx
( ),( 0 ) 0x f x f这 里,
几何解释 （仅讨论 v(x)的情形）：
1x
2x
1x
2x
由于 v(x)正定,v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原点退缩。又由 半负定知 v(x)
的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，
这表明系统关于原点（零解）是稳定的。
v0C?
例,考虑系统：
12
21
xx
xx
事 实 上,我 们 有,
2 2 2 21 2 1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x t 。
22
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ),2 2 2 0,
7 20,0,
取 则 （ ）
根 据 定 理 系 统 关 于 零 解 李 氏 稳 定 。 因 可 知相 轨 迹 必 在 等 值 线 上 。
v x x x v x x x x x x x x
v
8
则 （ 8-39） 的零解 渐近稳定 。
几何解释：
由于 v(x)正定,v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 C 趋向于零而向原点退缩。而 dv/dt 负定则说明：在任一点 x处,v(x) 的值都是减小的，从而在任一点 x 处，运动的轨线都从 v(x)=C的外部穿越
v(x)=C 走向内部。这表明,limt?0x(t)=0,即原点
（零解）是渐近稳定的。
定理 8-21* 若 v(x)正定 （ 负定 ）,且 v(x)沿方程
（ 8-39） dx/dt=f(x),f(0)=0 解的导数
)()x(fxv)x(fxvdt )x(dv
n
i
i
i
T
00
1
(8-40)
1x
2x
例,考虑小阻尼线性振动系统：
12
2 1 2
xx
x x x
12 0,0xx研 究 其 平 衡 状 态 的 稳 定 性 。
2212( ),若 取 则 有v x x x
2
1 2 1 2 2 1 2 2
12
2 2 ( ) 2 0vvv x x x x x x x xxx
此时只能用定理 8-20判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。
思考：若取 会是 怎样 的？
这说明：
正定半负定
a) 能构造出 v(x),满足定理 8-21*，从而判定系统渐近稳定；
b) 能构造出 v(x),仅满足定理 8-20*，只能得出稳定的结论；
c) 甚至连满足定理 8-20*的 v(x)也构造不出来，这时我们对系统稳定与否无法作出任何结论。
1) 对一个系统，构造一个合适的 v 函数是十分重要的。若原点是渐近稳定的，但并不预先知道这一点，则可能出现如下三种情况：
定理 8-21** 若 v(x)正定 （ 负定 ）,v(x)沿方程 （ 8-39）
的 导 数且沿方程（ 8-39）的非零解,dv/dt 不恒为零,则
（ 8-39）的零解 渐近稳定 。
v?
2）定理 8-21*对 dv/dt负定的要求可以削弱。我们有：
00 )(f),x(fx? (8-39)
)()x(fxv)x(f)xv()x(v i
n
i i
T 00
1
(8-40)
定理 8-22* 若有 一个 v(x),满足
(1)在原点的某个邻域 ‖ x ‖ <? 内,存在 v>0的区域,
这种区域可能包含若干个子区域 uj,而 uj的边界是由
v=0和 ‖ x ‖ =? 所组成。
0,v?(2) 在某个子区域,v 沿（ 8-39）解的导数则（ 8-39）的零解是 不稳定 的。
v(x)>0
0v?
0v?
0v?
定理 8-20*
定理 8-21*
定理 8-21**
v(x)>0
v(x)>0 渐近稳定不恒为零 渐近稳定稳定
ε
定理 8-22*的几何意义：
x1
x2
v>0,uj (j=1,2,3)
u2
u1
u3
0v?
定理 8-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的 任一个正定对称阵 N，
都存在 唯一的正定对称阵 M,使得
Axx?
TA M M A N （ 8—44）
三、线性系统二次型 v 函数构造为什么要研究这个问题？
在控制律的设计中，通常由于 A阵的参数并不确切知道，
则定理 8-25的充分性条件告诉我们，只要构造一个 v
函数，其沿方程的导数是负定的,则系统一定渐近稳定。因此，定理 8-25以及其构造 Lyapunov函数的思想在控制系统控制律设计中具有十分重要的意义。
证明,充分性,若对任给正定对称阵 N,都存在唯一的正定对称阵 M,使 (8-44)成立，要证明系统渐近稳定。
为此，构造 Lyapunov 函数：
()? MTv x x x
对其沿方程的解微分，有由定理 8-21*知零解渐近稳定。
( ) 0A M MA NT T Tv x x x x
必要性,要证明若 dv/dt=Ax渐近稳定，则对任意给定的对称正定阵 N,有唯一的正定对称阵 M存在，使得
(8-44)成立。为此,考虑矩阵微分方程
( 0 ) 0TX A X + X A,X = N且 令
A M M A NT
（ 8—44）
不难验证其解为
T tee? A A tXN
对
00
00
( ) ( 0) ( ) ( )
( Re ( ) 0,( ) 0)
( ) ( )
T
T
d t d t
d t d t
l
X X A X X A
AX
N = A X X A
( 0 ) 0X A X + X A,X = NT
积分并注意到系统渐近稳定的假设,有
MM ；T
00
( ) ( )
TT T t t T
x x x e e d t x e x e x d t
A A t A A tM N N
00
,
A A tM X N
T t
d t e e d t
则 易 于 验 证 它 是 正 定 对 称 阵 。 首 先,
其 次,注 意 到令
( ) ( ) 0 0A A tNA
M
且 。 又 由 于 阵 均 具 负实 部,故 积 分 有 界,必 正 定 。 因 此 方 程
(7-44) 成 立 。
tTe x e x x
8
对称正定
M阵的唯一性,为此将方程（ 8-44）写成
11
22
A M M A N
A M M A N
T
T
两式相减得
1 2 1 2( ) ( ) 0A M M M M AT
1 2 1 2) ( 0AA[ A ( M M M M ) A ]
T t T tee
因此，
12[ ) ] 0
AA( M MT ttd ee
dt
12 )AA( M M C
T tte e t
0 12M M Ct
12l im ) 0AA( M M
T tt
t ee
12
0
C
MM 。 证 完 。
又定理 8-25* 设 A,F和 G/C分别是 矩阵,则方程
,,n n r r r n
有 阵 P唯一存在的充要条件为 F与 A无相同的特征值。
rn
M阵唯一性的简单证明方法,考虑定理 8-25*:
对 (8-33)进行转置并令 r=n,FT=? A,CTGT=? N,
P=M（ 注意 M已是对称的）,有
)W(:CGPFAP nqqrrrnr （ 8-33）
NMAMA
NFPPAGCFPPA
T
TTTTTTTT
(8-44)
这里，用到了 M为对称正定阵的假设。于是,M唯一存在的充要条件是 － A与 AT无相同的特征值。由于 A
渐近稳定，所有的根均具负实部，上述条件显然成立，
即：
( ) ( ),,( ) ( ) 0,,A A A ATTi j i ji j i jl l l l
证完。
几点说明：
2,在求解（ 8—44）时比较简单的是取 N为单位阵 ;
3,当 A中含有未确定参数时,可以先指定一个 N阵,
而后解 （ 8—44） 所确定的代数方程组,从而得到 M阵,用 Sylvester 定理写出 M阵正定的条件,
这样就可得到系统稳定时,A中的待定参数应满足的条件 。 应当指出,这些待定参数应满足的条件是和 N阵的选择无关的 。
1,矩阵方程 （ 8—44） 给出了构造这个二次型 v函数的具体途径,在指定正定对称的 N阵后可求解 （ 8-44）
所定义的 个 未知量的代数方程组 。 定理的结论表明 A若是渐近稳定时,这个代数方程组有唯一解存在 ;
2 )1(?nn
4,需要引起注意的是，定理 8-25并不意味着以下命题成立，即例 8— 10
1 1 1 2,
1 3 2 5
AM
显然 A的特征值均有负实部,M正定,但按 （ 8—44）
计算出的
22
2 2 6
N
却不是正定的。
,A渐近稳定,M正定，由（ 8— 44）式所得的 N一定正定。”
例 8-9 考虑二维系统
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
x a a x
x a a x
A
求系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
令 N=I,由（ 8-44）式可得
1
11 21 11
12 11 22 21 12
12 22 22
2 2 0 1
0
0 2 2 1
a a m
a a a a m
a a m
A
上述方程组的系数矩阵 A1的行列式为
2212
1211
mm
mmM
A M M A NT
（ 8—44）
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 2
d e t ( ) 4 ( ) ( )
4 ( ) d e t ( )
A
A
a a a a a a
aa
若 detA1?0,方程组就有唯一解，其解为
22
2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1
22
1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2
d e t ( ( )2
d e t ( ) ( ) d e t (
a a a a a a
a a a a a a
A)
M
A A)
由 M正定的 Sylvester 判据可得
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
11
1 1 2 2
2 [ d e t( ) ] d e t( ) 01
d e t( ) 2 ( ) d e t( )
a a a am
aa
1
AA
AA （ ）
2由 （ ）,必 须
(3),(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件 。
13由 （ ）,并 考 虑 到 （ ）,应 有
1 1 2 2 1 2 2 1d e t 0 3A a a a a （ ）
22
1 1 2 2 1 2 2 1
2
1 1 2 2
( ) ( )d e t( ) 0 2
4 ( ) d e t( )
a a a a
aa
M
A
及 （ ）
1 1 2 2( ) 0 4aa （ ）
有正定对称解的充分必要条件为 xx? A 渐近稳定。
定理 8-26 若定理 8-25（ 8-44） 中的 N取为 半正定对称阵,且有 xTNx沿 =Ax的任意非零解 不恒为零,
则矩阵方程
x
ATX+XA=?N （ 8-46）
注,关于定理 8-26
,xTNx沿方程的非零解不恒为零,的条件不能少 。
例 1,A渐近稳定,N半正定,不能保证 M正定
1
21 0 1 0 0,
1 1 0 0 00
A N M
1,这是因为 xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，
容易算出但 此 时
2,若将 N分解为 N=[1 0]T[1 0]:=CTC,则易于验证
(A,C)不可观测。
100N 。Tx x x
若
2 2 0 1( 0 )tx e x x因 为
Txx这 说 明 沿 方 程 的 非 零 解 恒 为 零,不 满 足 定 理 条 件 。N
2 0 200x x x 是 非 零 解 。
1
2 1 0 1 00,
0 0 0 100
A N M
例 2,N半正定,M正定，不能保证 A渐近稳定。
分析,1,xTNx沿方程的非零解
0,51 1 0 1 0 1,0 0 ;tx x e x x
2,令 C=[1 0],N=CTC,可知 (A,C)不可观测。
但 xTNx=x12,故 xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零 。
2 2 0 2 0,0,x x x
xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时 (A,C)可观测,
定理满足。
11
24
11
44
1 1 1 0
,
0 1 0 0
A N M
例 3：
( ) ( 0) ( 0)
0
A
tt
t
t
e t e
x t e x x
e
结论：,xTNx沿方程的非零解不恒为零,”可用 (A,
C)可观测代替，这里 N= CTC。 进而，我们有：
定理 8-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的 Lyapunov方程
Axx
A M M A NT （ 8—44）
在给定（ A,N)为 可观测 的半正定阵 N下，方程 (8-44)
的解 M为正定。
关于定理的证明,
1) 因为 N为半正定矩阵，总可以将其分解为
N=CTC
的形式。易于证明（例如用反证法）,(A,N)可观测可推得 (A,C)可观测。
2) 必要性证明,类似于定理 8-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使 (A,N)可观测的半正定阵 N,由积分
00
A A A AM = N C CTTt t t T te e d t e e d t
确定的矩阵 M必满足 (8-44)且为正定（可观测性
Gram矩阵）。
3) 充分性证明,若在给定（ A,N)为可观测的半正定阵 N下，方程 (8-44)的解 M为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑
00 0 0 ( * )T T T tx x x x x e xAN C C C C
0 0 0|0ACCt te x x
微 分 （ * ） 式,有
0 0 0 00 | 0AAC A C A C Att te x e x x
1 0 0CA n x
这说明使 的 x是零解，即沿方程的非零解 dv/dt不恒为零。由定理 8-21**，系统必渐近稳定。 证完。
0Txx?N
00
1
00
C
CA
CA
n
xx
例题 8-11,考虑如下三阶多项式：
32 1 2 3 0s a s a s a
注,以上证明可以去掉，根据,(A,C) 可观测当且仅当? ={0}”这一命题就立即可以看出 x0?0。
0 1
3 2 3 2
1 2 3 2 1 3
() ()
()
Ds Ds
D s s a s a s a s a s a s a
令定义系统如下：
11
0 1 0 1
( ) ( ) 1()
( ) ( ) ( ) 1 ( ) / ( )
D s D sgs
D s D s D s D s D s
假定 D0(s)和 D1(s)无公因子。则 D(s) 为 Hurwitz 多项式当且仅当系统 g(s)稳定。将 D0(s)/D1(s)展开：
试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。
0 1 2 3 1
2
1 1 1 3
( ) ( ) /1
()
D s s a a a as
D s a a s a
则 s
s
s
3
2
1 1
1
s
aa
aaa
s
aaa
a
s
a
aaaas
asa
s
a
31
321321
2
11
1321
3
2
11 1
)(
11
/)(
11
s
s
s
)s(D
)s(D)s(D
)s(D
)s(g
3
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
13
1 1 2 3
1
0
3
1sa
s a a
a a a
s
a
sa
劳 斯 表,
不难验证,g(s)可由下列系统实现：
1
1
sa
3x 2
1
sa
2x
3
1
sa
1x
u
y
3
2
31
321
3
2
1
321
1
12
11
1
11
b
b
:
aa
aaa
b
b
:
aaa
a
a
b
:
a
这是一个最小实现，系统可控可观测。现用
Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。
为此定义 N为
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2
0 0 2 2
N
xy
uxx
100
1
0
0
11
0
1
0
1
0
1
0
11
22
3
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2
0 0 2 2
N
显然,(A,N)可观测。解方程
A M M A NT
得到欲使 M正定，只要1>0,
2 >0,?3 >0。
一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见 Chi-Tsong
Chen,“Linear System Theory and Design,p.417.
1
2
3
00
00
00
M
四、关于 Lyapunov 函数
3,应当特别注意定理 8-20*-8-21**均为充分条件。
这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的 v
函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找出满足不稳定定理的 v函数（参见高为炳《运动稳定性基础》）；
1,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；
2,如何构造 v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的 v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造 v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造 v 函数的方法。
4,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理 8-25、定理 8-26及定理 8-26*，是基于以下考虑：
介绍李雅普诺夫方程 (8-44)：
ATM+MA=?N，
这是系统理论中很多问题要涉及的方程；
线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的 v 函数 ;
v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合 ;
有时我们会说找到了一个更好的李氏函数，是指它在用于评价系统时有较少的保守性，或用于系统设计时可以得到更好的结果；
5,对时变的函数 v(x,t),除了前述符号的要求之外 (定号函数的定义也异于 v(x)),定理也和定常情况不同，
应用有关稳定性定理时要特别注意,具无穷小上界” (1)或,K类函数界,(2)的要求。引用教科书时要多查证。
本章总结在本章中，主要介绍了线性系统的平衡状态的李亚普诺夫稳定性和渐近稳定性，时不变系统的 BIBS和 BIBO稳定性。在时变情形下，非一致稳定的系统可以是李氏稳定的。而对时不变情形，一致稳定和李氏稳定没有区别。且时不变系统的渐近稳定、
一致渐近稳定、按指数率渐近稳定也是等同的。
尽管证明了时变情形时稳定性的充要条件（定理 8-2），但因一般情况下很难得到状态转移矩阵，所以难以使用这些条件。
对时不变系统，可由传递函数极点或矩阵 A的特征值来检验其稳定性。可以对 A的特征多项式应用劳斯 -霍尔维茨或者李亚普诺夫定理来检验 A的所有特征值是否都具有负实部。
在计算量上，劳斯 -霍尔维茨方法比在检验 A的稳定性中的李亚普诺夫方法要简单。
本章主要知识点：
稳定是一切控制系统能够正常运行的前提。系统运动的稳定性是除能控性、能观性之外的另一个要研究的基本课题。本章研究对象将扩展到涉及线性、非线性，
时变、时不变，连续、离散系统。主要知识点有：
1、两类稳定性内部稳定性 -渐近稳定，对连续时不变情形充要条件为 A特征值均具负实部；
外部稳定性 -有界输入 -有界输出稳定（ BIBO稳定），对连续时不变情形充要条件为传函矩阵 G(s)的所有极点均具负实部；
两类稳定性的等价条件，对连续时不变情形系统渐近稳定则必为 BIBO稳定，
系统 BIBO稳定不保证必为渐近稳定。当系统为完全能控和完全能观时，则系统
BIBO稳定当且仅当系统渐近稳定。定理 8-8~-13。
2、李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定，一致稳定，渐近稳定，不稳定，各种稳定性之间的蕴涵关系
3、连续时间系统稳定性判据小范围渐近稳定判据，大范围渐近稳定判据，不稳定判据，定理 8-2。
4、连续时间线性时不变系统的稳定性判据特征值判据（定理 8-4），李亚普诺夫判据（ 定理 8-25 ）
本章习题：
1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为
xy,uxx 0525
10
0
0
50250
100
010
试判断,1）系统是否为渐进稳定； 2）是否为 BIBO稳定；并解释。
2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定：
2
2
112
21
xxxx
xx
