第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-3 在一半径为 R1=6.0cm的金属球 A外面套有一个同心的金属球壳 B，已知球壳 B的内、外半径分别为
R2=8.0cm,R3=10.0cm.设球 A带有总电荷 QA=3.0? 10-8 C.
球壳 B带有总电荷 QB=2.0? 10-8 C,（ 1）求球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势；（ 2）将球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地，求金属球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解,（ 1）由于静电平衡时电荷只分布于导体的表面上，
故：球 A在外表面带电 QA=3.0? 10-8 C，球壳 B内表面带电 -QA= -3.0? 10-8 C，球壳 B外表面带电 QA + QB =
5.0? 10-8 C。
由电势的叠加，知球 A和球壳 B的电势分别为：
VRQQRQRQV BAAAA 3
302010
106.5444
VRQQV BAB 3
30
105.44
（ 2） 将球壳 B接地后断开，再把球 A接地，设球 A带电
qA,球 A和球壳 B的电势为：
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
0444
302010
R qQRqRqV AAAAA
304 R
qQV AA
B
CRRRRRR QRRq AA 8
313221
21 1012.2
解得：
VR qQV AAB 2
30
1092.74得：
即，球 A的外表面、球壳 B的内、外表面所带的电荷分别为,2.12?10-8 C,-2.12?10-8 C,-0.9?10-8 C.
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-4 三个平行板 A,B和 C的面积均为 S，其中 A板带电 Q,B,C板不带电,A,B间相距为 d1,A,C间相距为 d2。求,（ 1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（ 2）将 B,C两导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解,（ 1）设电荷分布如上图所示，据静电平衡时导体板上电荷分布的规律，有由高斯定理知,qBL = qCR
qBR =- qAL
qAR =- qCL
又对导体板 B,qBL + qBR =0
对导体板 C,qCL + qCR =0
对导体板 A,qAL + qAR =Q
联立以上各式，得 qBL = qAL= qAR = qCR =Q/2
qBR = qCL=-Q/2
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
1
02
d
S
Q
V BA
故有：
2
02
d
S
Q
V AC
（ 2） B,C两导体接地,UBC=0,则有
qBL = qCR=0
qAR+ qAL =Q
qBR =- qAL
qCL =- qAR
02
0
1
0
d
S
q
d
S
q CLBR
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答联立以上各式，得
Q
dd
dqq
ALBR
21
2
Q
dd
dqq
ARCL
21
1
21
21
0 dd
dd
S
Q
U BA
21
21
0 dd
dd
S
QU
AC
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-6 在真空中，将半径为 R的金属球接地，与球心
O相距为 r(r>R)处放置一点电荷 q，不计接地导线上电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。
q
q’
RO
r
解：金属球为等势体，金属球上任一点的电势 V等于点电荷 q和金属球表面感应电荷 q’
在球心处激发的电势之和。
而金属球接地，总电势为零。
所以球心处的电势为
SS qdRrqRqdrqV 04 1444
0000
感应电荷总量为：
qrRqdq
S?
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-8 两根输电线，其导线半径为 3.26mm，两线中心相距 0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地的影响可以忽略。求输电线单位长度的电容。
解：由课本第九章 9-2节例 3可知两输电线的电势差
R
RdU ln
0
因此，输电线单位长度的电容为
Rd
R
RdU
C
/lnln
00
代入数据，得
FC?121086.4
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-13 如图所示，半径 R=0.10m的导体球带有电荷 Q
=1.0?10-8 C,导体外有两层均匀介质，一层介质的 εr=
5.0，厚度 d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间。求,(1)离球心为 r=5cm,15cm,25cm处的 D和 E；
(2)离球心为 r=5cm,15cm,25cm处的 V;(3)极化电荷面电荷密度 ζ’。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解：由于带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，
电介质的极化电荷也均匀分布在介质球形界面上，因而介质中的电场是球形对称分布的。由高斯定理有：;0 qSdD；另,ED r 0? ；
r
rdEV?；故有匀介质表面，由于极化电荷分布在均
nP
(1)取半径为 r的同心球面为高斯面，由高斯定理得第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
.0;004 1121 EDrDRr?
.4;44 2
0
222
2
2 r
QE
r
QDQrDdRrR
r
.4;44 2
0
323
2
3 r
QE
r
QDQrDdRr
将不同的 r值代入上述两式，可得 r=5cm,15cm和 25cm
时的电位移和电场强度的大小，其方向沿径向朝外。
r1=5cm，该点在导体球内，则 Dr1=0;Er1=0.
r2=15cm，该点在介质层内,εr=5.0,则
.100.84;105.3
4
12
2
0
28
2
2
22
mV
r
QEmC
r
QD
r
rr
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
r3=25cm，该点在空气内，空气中 εr≈1,ε≈ε0则
.104.14;103.1
4
13
2
0
3
28
2
3
3
mV
r
QEmC
r
QD
rr
(2)取无限远处电势为零，由电势与电场强度的关系得：；?
1
3 6 0
4
,25
0
333 r Vr
Q
rdEVcmr
；V
dR
Q
dR
Q
r
Q
rdErdEVcmr
rr
dR
dR
r
480
)(4)(44
,15
0020
3222
2
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答；V
dR
Q
dR
Q
R
Q
rdErdEVcmr
rr
dR
dR
R
540
)(4)(44
,5
000
3211
(3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率 ε= ε0，极化电荷可忽略，故在介质外表面；有；20
)(4
)1(
)1(
dR
Q
EP
r
r
nrn?
；282 106.1
)(4
)1(
mC
dR
Q
P
r
r
n
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答在介质内表面：；20
4
)1(
)1(
R
Q
EP
r
r
nrn
；282 104.6
4
)1(
mC
R
Q
P
r
r
n
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，
但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。
9-15 在一半经为 R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为 R2，相对电容率为 εr。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为 λ。试求介质层内的 D,E和 P.
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解：由介质的高斯定理，有;2 LrLDSdD;
2 r
e
r
D?
得：
在均匀各向同性介质中
r
rr
e
r
D
E
00 2
r
r
e
r
EDP?
2
)11(0
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-16 设有两个薄导体同心球壳 A与 B，它们的半径分别为 R1=10cm与 R3=20cm，并分别带有电荷 -4.0?
10-8 C与 1.0? 10-7 C。球壳间有两层介质，内层介质的 εr1=4.0，外层介质的 εr2=2.0，其分界面的半径为 R2
=15cm。球壳 B外为空气。求,(1)两球间的电势差 UAB;
(2)离球心 30cm处的电场强度； (3)球 A的电势,
解,(1)由介质中的高斯定理，有;4 12 QrDSdD
212
10
1
10
1
1
2
1
21
.
4;
4
RrRe
r
QD
E
e
r
Q
DD
r
rr
r
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
322
20
1
20
2
2,4 RrRer
QDE
r
rr
两球壳间的电势差
3
2
2
1
3
1
21
R
R
R
R
R
RAB
ldEldEldEU
；V
RR
Q
RR
Q
rr
600)11(
4
)11(
4 320
1
210
1
21
（ 2）同理由高斯定理可得
13
2
0
21
3 100.64
mVee
r
QQE
rr
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(3)取无穷远处电势为零，则
V
R
QQUldEUU
B ABABA
3
30
21
3 101.24
9-18 有一空气平板电容器，极板面积为 S，间距为 d。
现将该电容器接在端电压为 U的电源上充电，当 (1)充足电后； (2)然后平行插入一块面积相同、厚度为 δ（ δ
<d）、相对电容率为 εr的电介质板； (3)将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C，极板上的电荷 Q和极板间的电场强度 E.
解,(1)空气平板电容器的电容,C0= ε0S/d
充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为：
Q0= ε0SU/d; E0 =U/d
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(2)插入电介质后，电容器的电容 C1为
)()(
0
00
1
d
S
S
Q
d
S
Q
Q
C
r
r
r
)(
0
11
d
SUUCQ
r
r
介质内电场强度
)(0
1
1 d
U
S
QE
rr
空气中电场强度
)(0
1
1
d
U
S
QE
r
r
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分布为
d
SC 0
2 Ud
SQ
0
2
导体中电场强度：
空气中电场强度：
02E
d
UE
2
9-3 在一半径为 R1=6.0cm的金属球 A外面套有一个同心的金属球壳 B，已知球壳 B的内、外半径分别为
R2=8.0cm,R3=10.0cm.设球 A带有总电荷 QA=3.0? 10-8 C.
球壳 B带有总电荷 QB=2.0? 10-8 C,（ 1）求球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势；（ 2）将球壳 B接地然后断开，再把金属球 A接地，求金属球 A和球壳 B内、外表面上所带的电荷以及球 A和球壳 B的电势。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解,（ 1）由于静电平衡时电荷只分布于导体的表面上，
故：球 A在外表面带电 QA=3.0? 10-8 C，球壳 B内表面带电 -QA= -3.0? 10-8 C，球壳 B外表面带电 QA + QB =
5.0? 10-8 C。
由电势的叠加，知球 A和球壳 B的电势分别为：
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302010
106.5444
VRQQV BAB 3
30
105.44
（ 2） 将球壳 B接地后断开，再把球 A接地，设球 A带电
qA,球 A和球壳 B的电势为：
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
0444
302010
R qQRqRqV AAAAA
304 R
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B
CRRRRRR QRRq AA 8
313221
21 1012.2
解得：
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30
1092.74得：
即，球 A的外表面、球壳 B的内、外表面所带的电荷分别为,2.12?10-8 C,-2.12?10-8 C,-0.9?10-8 C.
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-4 三个平行板 A,B和 C的面积均为 S，其中 A板带电 Q,B,C板不带电,A,B间相距为 d1,A,C间相距为 d2。求,（ 1）各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；（ 2）将 B,C两导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解,（ 1）设电荷分布如上图所示，据静电平衡时导体板上电荷分布的规律，有由高斯定理知,qBL = qCR
qBR =- qAL
qAR =- qCL
又对导体板 B,qBL + qBR =0
对导体板 C,qCL + qCR =0
对导体板 A,qAL + qAR =Q
联立以上各式，得 qBL = qAL= qAR = qCR =Q/2
qBR = qCL=-Q/2
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
1
02
d
S
Q
V BA
故有：
2
02
d
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（ 2） B,C两导体接地,UBC=0,则有
qBL = qCR=0
qAR+ qAL =Q
qBR =- qAL
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0
1
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S
q
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答联立以上各式，得
Q
dd
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1
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-6 在真空中，将半径为 R的金属球接地，与球心
O相距为 r(r>R)处放置一点电荷 q，不计接地导线上电荷的影响。求金属球表面上的感应电荷总量。
q
q’
RO
r
解：金属球为等势体，金属球上任一点的电势 V等于点电荷 q和金属球表面感应电荷 q’
在球心处激发的电势之和。
而金属球接地，总电势为零。
所以球心处的电势为
SS qdRrqRqdrqV 04 1444
0000
感应电荷总量为：
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S?
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-8 两根输电线，其导线半径为 3.26mm，两线中心相距 0.50m，线位于地面上空很高处，因而大地的影响可以忽略。求输电线单位长度的电容。
解：由课本第九章 9-2节例 3可知两输电线的电势差
R
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0
因此，输电线单位长度的电容为
Rd
R
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00
代入数据，得
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-13 如图所示，半径 R=0.10m的导体球带有电荷 Q
=1.0?10-8 C,导体外有两层均匀介质，一层介质的 εr=
5.0，厚度 d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间。求,(1)离球心为 r=5cm,15cm,25cm处的 D和 E；
(2)离球心为 r=5cm,15cm,25cm处的 V;(3)极化电荷面电荷密度 ζ’。
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解：由于带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，
电介质的极化电荷也均匀分布在介质球形界面上，因而介质中的电场是球形对称分布的。由高斯定理有：;0 qSdD；另,ED r 0? ；
r
rdEV?；故有匀介质表面，由于极化电荷分布在均
nP
(1)取半径为 r的同心球面为高斯面，由高斯定理得第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
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0
222
2
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将不同的 r值代入上述两式，可得 r=5cm,15cm和 25cm
时的电位移和电场强度的大小，其方向沿径向朝外。
r1=5cm，该点在导体球内，则 Dr1=0;Er1=0.
r2=15cm，该点在介质层内,εr=5.0,则
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mV
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
r3=25cm，该点在空气内，空气中 εr≈1,ε≈ε0则
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(2)取无限远处电势为零，由电势与电场强度的关系得：；?
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0
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答；V
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(3)均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率 ε= ε0，极化电荷可忽略，故在介质外表面；有；20
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答在介质内表面：；20
4
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介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，
但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。
9-15 在一半经为 R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为 R2，相对电容率为 εr。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为 λ。试求介质层内的 D,E和 P.
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答解：由介质的高斯定理，有;2 LrLDSdD;
2 r
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得：
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2
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
9-16 设有两个薄导体同心球壳 A与 B，它们的半径分别为 R1=10cm与 R3=20cm，并分别带有电荷 -4.0?
10-8 C与 1.0? 10-7 C。球壳间有两层介质，内层介质的 εr1=4.0，外层介质的 εr2=2.0，其分界面的半径为 R2
=15cm。球壳 B外为空气。求,(1)两球间的电势差 UAB;
(2)离球心 30cm处的电场强度； (3)球 A的电势,
解,(1)由介质中的高斯定理，有;4 12 QrDSdD
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
322
20
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两球壳间的电势差
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（ 2）同理由高斯定理可得
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(3)取无穷远处电势为零，则
V
R
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3
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21
3 101.24
9-18 有一空气平板电容器，极板面积为 S，间距为 d。
现将该电容器接在端电压为 U的电源上充电，当 (1)充足电后； (2)然后平行插入一块面积相同、厚度为 δ（ δ
<d）、相对电容率为 εr的电介质板； (3)将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容 C，极板上的电荷 Q和极板间的电场强度 E.
解,(1)空气平板电容器的电容,C0= ε0S/d
充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为：
Q0= ε0SU/d; E0 =U/d
第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(2)插入电介质后，电容器的电容 C1为
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0
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1
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第九章 静电场中的导体和介质 部分习题分析与解答
(3)插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分布为
d
SC 0
2 Ud
SQ
0
2
导体中电场强度：
空气中电场强度：
02E
d
UE
2
