第十五章 机械波 部分习题分析与解答第十五章 机械波 部分习题分析与解答
（ 1）将已知波动方程表示为：
15-2 一横波在沿绳子传播时的波动方程为
y=(0.20m)cos[2.5πs-1)t-(πm-1)x].(1)求波的振幅、波速、
频率及波长；（ 2）求绳上质点振动时的最大速度；
（ 3）分别画出 t=1s和 t=2s时的波形，并指出波峰和波谷,画出 x=1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。
)]5.2/)(5.2c o s [ ()20.0( 11 smxtsmy?
与一般表达式
])/(co s [ 0 uxtAy 比较,可得
mvuHzv
smumA
0.2/,25.12/
0,5.2,20.0 01
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
(2)绳上质点的振动速度为
11
m a x
111
57.15.0
)]5.2)(5.2s i n [ ()5.0(
/
smsmV
smtssm
dtdyV
(3)t=1s和 t=2s时的波形方程分别为
)])(5c os [)20.0(
)])(5.2c os [)20.0(
1
2
1
1
xmmy
xmmy
波形图如下图所示,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
X=1.0m处质点的运动方程为,
tsmy )5.2c o s ()20.0( 11
振动图线如下图所示,
o
m/y
m/x2.0
0.2
-0.2
1.0
t=1s t=2s
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
o
m/y
0.6
0.2
-0.2
0.2 t/s
波形图与振动图虽然在图形上相似,但却有着本质的区别,前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,而后者则表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的情况,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
15-3 波源作简谐运动,其运动方程为,
y=(4.0× 10-3m)cos(240πs-1)t,它所形成的波形以 30m·s -1
的速度沿一直线传播。 (1)求波的周期及波长；（ 2）
求写出波动方程。
0?
已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式进行比较，求出振幅 A、角频率 ω及初相,而这三个物理量与波动方程的一般形式：
中相应的三个物理量是相同的，再利用题中已知的波速 u及公式和 即可求解。
])/(co s [ 0 uxtAy
)c o s ( 0 tAy
Tv /22 uT
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
(1)质点的振动角频率为 ω=240πs-1,根据分析中所述,波的周期就是振动的周期,故有,
sT 31033.8/2
波长为,muT 25.0
(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得,
故以波源为原点,沿 x轴正向传播的波的波动方程为,
0,240,100.4 013 smA
])8()2 40c os [ ()100.4(
])/(c os [
113
0
xmtsm
uxtAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
（ 1）由题给条件得：
15-6 波源作简谐运动,周期为 1.0× 10-2s,以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点,若此振动以 u=400m·s-1
速度 沿直线传播,求,(1)距波源为 8.0m处的质点 p的运动方程和初相 ;(2)距波源为 9.0m和 10.0m处两点的相位差,
)2/(2/3
4 0 0
2 0 0/2
0
1
1
或初相波速角频率
smu
sT
故得波动方程为,
]2/3)4 0 0/)(2 0 0c o s [ ( 11 smxtsAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答位于 xp=8.0m处,质点 P的运动方程为
2//)(2/)(2 1212 uTxxxx
]2/5)2 0 0c o s [ ( 1 tsAy p
该质点振动的初相为,
2/50p
(2)距波源 9.0m和 10.0m两点的相位差为,
]2/9)2 0 0c o s [ ( 1 tsAy p
如果波源初相取,振动方程为,2/
0
质点 P振动的初相也变为,但波线上任两点间的相位差并不改变,2/90p
第十五章 机械波 部分习题分析与解答从波形图获取波的特征量,从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径,
15-8 图 15-8为平面简谐波在 t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中质点 P的运动方向向上,
求,(1)该波的波动方程 ;(2)在距原点 O为 7.5m处质点的运动方程与 t=0时该点的振动速度,
13100.5 smvu?
10.0mo
m/y
m/x
0.10
0.05 p
(1)从图中可得知,波的振幅 A=0.10m,波长
λ=20.0m,则波速为,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答根据 t=0时点 p向上运动,可知波沿 ox轴负向传播,并判定此时位于原点处的质点将沿 oy轴负方向运动,利用旋转矢量法可得其初相为,,故波动方程为,
3/0
]3/)500 0/)(500c os [ ()10.0(
])/(c os [
11
0
smxtsm
uxtAy
(2)距原点 o为 x=7.5m处质点的运动方程为,
t=0时该点的振动速度为,
11 6.4012/13s i n)50()(
smsmdt
dyV
ot
]12/13)5 0 0c o s [ ()10.0( 1 tsmy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答从 t=0时的波形曲线可知波的振幅 A、波长 λ，利用旋转矢量法可确定原点处质点的初相。因此，
确定波的周期就成为了解题的关键。
15-11 图 15-11中 (Ⅰ ) 是 t=0时的波形图,(Ⅱ ) 是 t=0.1s时的波形图,已知 T>0.1s,写出波动方程的表达式,
o
m/y
m/x2.0
0.10
-0.10
1.0
Ⅰ
Ⅱ
u
由曲线 (Ⅰ )可知，在 t=0时，原点处的质点处在平衡位置且向 oy轴负向运动，而曲线 (Ⅱ )表明，经过 0.1s
后，该质点已运动到 oy轴的 -A处，因此可列方程
kT+T/4=0.1s,k=0,1,2,… 即质点在 0.1s内，可以经历 k
个周期振动后再回到 -A处，故有 T=(0.1s)/(k+0.25)
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
2,1,0),25.0/()1.0( kksT
从图中可知波长 λ=2.0m,振幅 A=0.10m。由波形曲线 (Ⅰ )得知在 t=0时，原点处质点位于平衡位置且向 oy轴负向运动，利用旋转矢量法可得初相
2/0
由题意知 T>0.1s，故上式成立的条件为 k=0,可得 T=0.4s。
根据上面的分析，周期为：
波动方程为：
]2/)0.2/4.0/(2c os [)10.0(
])//(2c os [ 0
mxstm
xTtAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
（ 1）由能流密度 I的表达式得：
15-14 有一波在介质中传播，其波速 u=1.0 × 103m·s -1,
振幅 A= 1.0× 10-4m,频率 ν= 1.0 × 103Hz 。若介质的密度为 ρ= 8.0 × 102 kg·m -3,，求,（ 1）该波的能流密度；（ 2） 1min内垂直通过 4.0 × 10-4m2的总能量。
2522222 1058.12
2
1 mwvuAuAI
JtIStPW 31079.3
（ 2）在时间间隔 Δt=60s内垂直通过面积 s的能量为：
第十五章 机械波 部分习题分析与解答两列相干波相相遇时的相位差为：
15-17 两相干波波源位于同一介质中的 A,B两点，
如图 15-17（ a）所示，其振幅相等、频率皆为
100Hz,B比 A的相位超前 π,若 A,B相距 30.0m，波速为 u=400m·s -1,试求 AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
/212 r
因此，两列振幅相同的相干波因干涉而静止的点的位置，可根据相消条件 来获得, )12( k
x
A B
30m
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
x
A B
x
o p以 A,B两点的中心 o为原点，取坐标如图所示。
两波的波长均为 λ=u/ν=4.0m.在 A,B连线上可分为三个部分进行讨论。
1.位于点 A左侧部分
14/)(2 ABAB rr
因该范围内两列波相位差恒为 2π的整数倍，故干涉后质点振动处处加强，没有静止的点
2.位于点 B右侧部分
16/)(2 ABAB rr
显然该范围内质点振动也都是加强的，无干涉静止的点第十五章 机械波 部分习题分析与解答
3.在 A,B两点的连线之间设任意一点 p距原点为 x，
因 rB=15m-x,rA=15m+x,
则两列波在点 p的相位差为：
x
A B
x
o p
)1/(/)(2 mxrr ABAB
根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程：
)12()1/( kmx
kmx 2?得,?,2,1,0k
因,故,即在 A,B之间的连线上共有 15个静止点。mx 15? 7?k
第十五章 机械波 部分习题分析与解答只需证明这两列合成后具有驻波方程
y=2Acos(2πx/λ)cos(2πνt)的形式即可,由驻波方程可确定波腹、波节的位置和任意位置处的振幅。
15-19 两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为
y1=(0.06m)cos[(πm-1)x-(4πs-1)t]和 y1=(0.06m)cos[(πm-
1)x+(4πs-1)t],（ 1）证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位置；（ 2）波腹处的振幅多大？在
x=1.2m处，振幅多大？
（ 1）将已知两波动方程分别改写为：
)2/5.0/(2c os)06.0(
)2/5.0/(2c os)06.0(
2
1
mxstmy
mxstmy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答可见它们的振幅 A=0.06m,周期 T=0.5s，波长 λ=2,
在波线上任取一点 P，它距原点为 xp，则该点的合运动方程为：
ts
x
m
tssmyyy
p
ppp
)4c o s ()2c o s ()12.0(
)4c o s ()c o s ()12.0(
1
1
21
上式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻波的运动方程。
由,得波节位置的坐标为
0)/2c o s (2 pxA
mkkx p )5.0(4/)12(,2,1,0k
第十五章 机械波 部分习题分析与解答由,得波腹位置的坐标为
mAxA p 12.02)/2c o s (2
kmkx p 2/,2,1,0k
mAA 12.02
(2)驻波振幅,在波腹处
)/2c o s (2 pxAA
在 x=0.12m处，振幅为：
mmxAA p 0 9 7.012.0c o s)12.0()/2c o s (2
（ 1）将已知波动方程表示为：
15-2 一横波在沿绳子传播时的波动方程为
y=(0.20m)cos[2.5πs-1)t-(πm-1)x].(1)求波的振幅、波速、
频率及波长；（ 2）求绳上质点振动时的最大速度；
（ 3）分别画出 t=1s和 t=2s时的波形，并指出波峰和波谷,画出 x=1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。
)]5.2/)(5.2c o s [ ()20.0( 11 smxtsmy?
与一般表达式
])/(co s [ 0 uxtAy 比较,可得
mvuHzv
smumA
0.2/,25.12/
0,5.2,20.0 01
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
(2)绳上质点的振动速度为
11
m a x
111
57.15.0
)]5.2)(5.2s i n [ ()5.0(
/
smsmV
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(3)t=1s和 t=2s时的波形方程分别为
)])(5c os [)20.0(
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1
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1
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波形图如下图所示,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
X=1.0m处质点的运动方程为,
tsmy )5.2c o s ()20.0( 11
振动图线如下图所示,
o
m/y
m/x2.0
0.2
-0.2
1.0
t=1s t=2s
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
o
m/y
0.6
0.2
-0.2
0.2 t/s
波形图与振动图虽然在图形上相似,但却有着本质的区别,前者表示某确定时刻波线上所有质点的位移情况,而后者则表示某确定位置的一个质点,其位移随时间变化的情况,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
15-3 波源作简谐运动,其运动方程为,
y=(4.0× 10-3m)cos(240πs-1)t,它所形成的波形以 30m·s -1
的速度沿一直线传播。 (1)求波的周期及波长；（ 2）
求写出波动方程。
0?
已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可先将运动方程与其一般形式进行比较，求出振幅 A、角频率 ω及初相,而这三个物理量与波动方程的一般形式：
中相应的三个物理量是相同的，再利用题中已知的波速 u及公式和 即可求解。
])/(co s [ 0 uxtAy
)c o s ( 0 tAy
Tv /22 uT
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
(1)质点的振动角频率为 ω=240πs-1,根据分析中所述,波的周期就是振动的周期,故有,
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波长为,muT 25.0
(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得,
故以波源为原点,沿 x轴正向传播的波的波动方程为,
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0
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uxtAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
（ 1）由题给条件得：
15-6 波源作简谐运动,周期为 1.0× 10-2s,以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点,若此振动以 u=400m·s-1
速度 沿直线传播,求,(1)距波源为 8.0m处的质点 p的运动方程和初相 ;(2)距波源为 9.0m和 10.0m处两点的相位差,
)2/(2/3
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0
1
1
或初相波速角频率
smu
sT
故得波动方程为,
]2/3)4 0 0/)(2 0 0c o s [ ( 11 smxtsAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答位于 xp=8.0m处,质点 P的运动方程为
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]2/5)2 0 0c o s [ ( 1 tsAy p
该质点振动的初相为,
2/50p
(2)距波源 9.0m和 10.0m两点的相位差为,
]2/9)2 0 0c o s [ ( 1 tsAy p
如果波源初相取,振动方程为,2/
0
质点 P振动的初相也变为,但波线上任两点间的相位差并不改变,2/90p
第十五章 机械波 部分习题分析与解答从波形图获取波的特征量,从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径,
15-8 图 15-8为平面简谐波在 t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中质点 P的运动方向向上,
求,(1)该波的波动方程 ;(2)在距原点 O为 7.5m处质点的运动方程与 t=0时该点的振动速度,
13100.5 smvu?
10.0mo
m/y
m/x
0.10
0.05 p
(1)从图中可得知,波的振幅 A=0.10m,波长
λ=20.0m,则波速为,
第十五章 机械波 部分习题分析与解答根据 t=0时点 p向上运动,可知波沿 ox轴负向传播,并判定此时位于原点处的质点将沿 oy轴负方向运动,利用旋转矢量法可得其初相为,,故波动方程为,
3/0
]3/)500 0/)(500c os [ ()10.0(
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11
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smxtsm
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(2)距原点 o为 x=7.5m处质点的运动方程为,
t=0时该点的振动速度为,
11 6.4012/13s i n)50()(
smsmdt
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]12/13)5 0 0c o s [ ()10.0( 1 tsmy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答从 t=0时的波形曲线可知波的振幅 A、波长 λ，利用旋转矢量法可确定原点处质点的初相。因此，
确定波的周期就成为了解题的关键。
15-11 图 15-11中 (Ⅰ ) 是 t=0时的波形图,(Ⅱ ) 是 t=0.1s时的波形图,已知 T>0.1s,写出波动方程的表达式,
o
m/y
m/x2.0
0.10
-0.10
1.0
Ⅰ
Ⅱ
u
由曲线 (Ⅰ )可知，在 t=0时，原点处的质点处在平衡位置且向 oy轴负向运动，而曲线 (Ⅱ )表明，经过 0.1s
后，该质点已运动到 oy轴的 -A处，因此可列方程
kT+T/4=0.1s,k=0,1,2,… 即质点在 0.1s内，可以经历 k
个周期振动后再回到 -A处，故有 T=(0.1s)/(k+0.25)
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
2,1,0),25.0/()1.0( kksT
从图中可知波长 λ=2.0m,振幅 A=0.10m。由波形曲线 (Ⅰ )得知在 t=0时，原点处质点位于平衡位置且向 oy轴负向运动，利用旋转矢量法可得初相
2/0
由题意知 T>0.1s，故上式成立的条件为 k=0,可得 T=0.4s。
根据上面的分析，周期为：
波动方程为：
]2/)0.2/4.0/(2c os [)10.0(
])//(2c os [ 0
mxstm
xTtAy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
（ 1）由能流密度 I的表达式得：
15-14 有一波在介质中传播，其波速 u=1.0 × 103m·s -1,
振幅 A= 1.0× 10-4m,频率 ν= 1.0 × 103Hz 。若介质的密度为 ρ= 8.0 × 102 kg·m -3,，求,（ 1）该波的能流密度；（ 2） 1min内垂直通过 4.0 × 10-4m2的总能量。
2522222 1058.12
2
1 mwvuAuAI
JtIStPW 31079.3
（ 2）在时间间隔 Δt=60s内垂直通过面积 s的能量为：
第十五章 机械波 部分习题分析与解答两列相干波相相遇时的相位差为：
15-17 两相干波波源位于同一介质中的 A,B两点，
如图 15-17（ a）所示，其振幅相等、频率皆为
100Hz,B比 A的相位超前 π,若 A,B相距 30.0m，波速为 u=400m·s -1,试求 AB连线上因干涉而静止的各点的位置。
/212 r
因此，两列振幅相同的相干波因干涉而静止的点的位置，可根据相消条件 来获得, )12( k
x
A B
30m
第十五章 机械波 部分习题分析与解答
x
A B
x
o p以 A,B两点的中心 o为原点，取坐标如图所示。
两波的波长均为 λ=u/ν=4.0m.在 A,B连线上可分为三个部分进行讨论。
1.位于点 A左侧部分
14/)(2 ABAB rr
因该范围内两列波相位差恒为 2π的整数倍，故干涉后质点振动处处加强，没有静止的点
2.位于点 B右侧部分
16/)(2 ABAB rr
显然该范围内质点振动也都是加强的，无干涉静止的点第十五章 机械波 部分习题分析与解答
3.在 A,B两点的连线之间设任意一点 p距原点为 x，
因 rB=15m-x,rA=15m+x,
则两列波在点 p的相位差为：
x
A B
x
o p
)1/(/)(2 mxrr ABAB
根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程：
)12()1/( kmx
kmx 2?得,?,2,1,0k
因,故,即在 A,B之间的连线上共有 15个静止点。mx 15? 7?k
第十五章 机械波 部分习题分析与解答只需证明这两列合成后具有驻波方程
y=2Acos(2πx/λ)cos(2πνt)的形式即可,由驻波方程可确定波腹、波节的位置和任意位置处的振幅。
15-19 两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为
y1=(0.06m)cos[(πm-1)x-(4πs-1)t]和 y1=(0.06m)cos[(πm-
1)x+(4πs-1)t],（ 1）证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位置；（ 2）波腹处的振幅多大？在
x=1.2m处，振幅多大？
（ 1）将已知两波动方程分别改写为：
)2/5.0/(2c os)06.0(
)2/5.0/(2c os)06.0(
2
1
mxstmy
mxstmy
第十五章 机械波 部分习题分析与解答可见它们的振幅 A=0.06m,周期 T=0.5s，波长 λ=2,
在波线上任取一点 P，它距原点为 xp，则该点的合运动方程为：
ts
x
m
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p
ppp
)4c o s ()2c o s ()12.0(
)4c o s ()c o s ()12.0(
1
1
21
上式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻波的运动方程。
由,得波节位置的坐标为
0)/2c o s (2 pxA
mkkx p )5.0(4/)12(,2,1,0k
第十五章 机械波 部分习题分析与解答由,得波腹位置的坐标为
mAxA p 12.02)/2c o s (2
kmkx p 2/,2,1,0k
mAA 12.02
(2)驻波振幅,在波腹处
)/2c o s (2 pxAA
在 x=0.12m处，振幅为：
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