13.3 如图所示,用一根硬导线弯成半径为 r的一个半圆,使这根半圆形导线在磁感应强度为 B的匀强磁场中以频率 f
旋转,整个电路的电阻为 R,求感应电流的表达式和最大值,
r
B?
G
电路中的半圆在做切割磁感线的运动,穿过回路的磁通量在发生变化,半圆中产生感应电动势,
连接半圆的两端,构成闭合回路 ABCA.
A B
C
设某时刻 t,半圆 ABCA平面的法向与磁场的夹角为
θ,则穿过 ABCA的磁通量为
c o sc o s)( 221 BrBSSBt
据电磁感应定律有 s i ns i n 221221 BrdtdBrdtdE
若设初始时刻,半圆 ABCA平面的法向与磁场的夹角为 0,
即回路的环绕方向为顺时针 (A→ B → C → A).则
ftt 2
而对闭合回路 ABCA来说,辅助线 AB不产生电动势,于是得到半圆中产生的电动势即为
)2s in (22 ftBfrE
易知电路中的感应电流为 R ftBfrREI )2s in (22
可见电路的电流随时间做正弦变化,在图中位置时,电流沿顺时针,感应电流的最大值为
RBfrI m 22
13.4 有两根相距为 d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以 dI/dt的变化率增长,
若有一边长为 d的正方形线圈与两导线处于同一平面内,
如图所示,求线圈中的感应电动势,
O X
I I
x＋ dxx
长直导线中的电流发生变化,其周围的磁场也发生改变,那么穿过矩形线圈的磁通量就随时间改变,线圈中就会产生感应电动势,
建立如图坐标系,并在 x处取宽为 dx的矩形面元,
矩形面元处的磁感应强度为
x
I
dx
IB
2)(2
00?
向里为正向若取矩形面元的法向也向里,则穿过面元的磁通量为
dxdxIdx IdsBd
2)(2
00?
穿过整个矩形回路的磁通量为
4
3ln
22)(2
02 00
Iddxd
x
I
dx
Id d
d
根据电磁感应定律得到
dt
dId
dt
dE
3
4ln
2
0
电动势为正,说明与矩形平面法向成右手螺旋关系,即沿顺时针,当然也可根据楞次定律来判断,
13.7 如图所示,把一半径为 R的半圆形导线 OP置于磁感强度为 B的均匀磁场中,当导线以速率 v水平向右平动时,
求导线中感应电动势的大小,哪一端电势高?
R
O
O? X
Y
v?
dθ
P
Bv
ld?
建立如图坐标系,并在导线上取线元,其产生的电动势为ld?
ldBvd
由于线元运动方向与磁场垂直,而二者叉乘方向沿 Y轴,所以得到
RdvBv Bd ld c o sc o s
整个半圆导体中产生的电动势为
2 2 2c os R v BRdvBdPOOP
EOP为正,说明电动势方向从 O指向 P,即 P端电势较高,
此题也可用电磁感应定律来解决,使用电磁感应定律的前提是,要求得穿过一个 面 的磁通量,这就必然要求导体为 闭合回路,但本题中运动的半圆形导体并不是闭合的,这时可以做 辅助线,构成闭合回路,
v?
O
P连接 OP,构成闭合回路 OAPO
A由于整个回路在磁场中一起运动,
显然穿过回路所在平面的磁通量保持不变,根据电磁感应定律有
0 dtdO A P O?
即整个回路中产生的总电动势为 0.所以半圆导体产生的电动势应与直径 OP中的相等,即有
R B vOP 2 容易判断方向从 O指向 P
13.9 如图所示,长为 L的导体棒 OP,处于均匀磁场中,并绕
OO′轴以角速度 ω 旋转,棒与转轴间夹角恒为 θ,磁感强度 B与转轴平行,求 OP棒在图示位置处的电动势,
B?
O
PQ
Bv
在导体棒 OP上取线元其中产生的电动势为 ldBvd
而由图示可知,线元运动方向与磁场垂直,
二者叉乘方向与转轴垂直,所以
l d lBv B d ld 2s inc o s
导体棒 OP上产生的电动势为
20 2 s i n21s i n LBl d lBd LPOOP
EOP为正值,说明电动势方向由 O指向 P,即 P端电势较高,
l
sinl
ld?
B?
O
PQ
此问题也可用电磁感应定律来解决,做辅助线构成 OPQO闭合回路,
由于闭合回路 OPQO所在平面始终与磁场平行 (平面法向与磁场垂直 ),所以
0
由电磁感应定律知,闭合回路 OPQO中的感应电动势为 0.即
0 dtdO P Q O?
0 QOPQOP EEE即有
221 )s in( LBEE PQOP所以
O
PQ
13.10 如图所示,金属杆 AB以匀速 v=2.0m/s平行于一长直导线移动,此导线通有电流 I=40A.问,此杆中的感应电动势为多大?哪一端的电势高?
I v?
A B
dx
Bv
O
X
建立如图坐标系,并在导体棒
AB上取线元
idxld
其中所产生的电动势为
ldBvd根据图示,
可以得到 v B d xv B d xd c o s
又因为
x
IB
2
0?
所以
VIvdxxIvv B d xE BAAB 501.1 1.0 0 1084.311ln22
EAB为负值,说明电动势方向由 B指向 A,即 A端电势较高,
CD
I v?
A B
dxO X
Y
y
做一 U字形辅助线,与 AB棒构成闭合回路 ABCDA.
建立如图坐标系,并设在某时刻 AB棒的位置为 y.
在闭合回路 ABCDA所在平面,取面元
ds,则穿过其中的磁通量为
y d xxIsdBd 2 0
穿过闭合回路 ABCDA总的磁通量为
yIy d xxId B
A
x
xS 11ln22
00
由电磁感应定律得到闭合回路 ABCDA中的感应电动势为
VIvdtdyIdtdA B C D A 500 1084.311ln211ln2
由于 BC,CD,DA都静止,故有
VA B C D AAB 51084.3
13.11 如图所示,在无限长直载流导线的近旁,放置一矩形导体线框,该线框在垂直于导线方向上以匀速率 v向右运动,求在图示位置处,线框中感应电动势的大小和方向,
v?
2l
1ld
I f
e
g
h
由于矩形框 efgh所在平面与磁场
(长直载流直线产生的 )垂直,ef与直导线平行,且做 平动,故知 ef边各处的磁场都 相等,所以
fefeef ldIvdldIvldBv 200 22
同理可得 2
1
0
)(2 lld
Iv
gh
线框 efghe中总电动势为
21
1
0
2
1
0
2
1
0
)(2
)(22
ll
ldd
Iv
l
ld
Iv
l
l
Iv
EEE ghef
方向为顺时针
E=BLv垂直,
平动,均匀
gh?ef?
e
f g
h
利用 13.10,知穿过线框 efghe的磁通量为
e
e
e
hx
xS x
lxlI
x
xlIdxl
x
Id h
e
1
2
0
2
0
2
0 ln
2ln22
线框中的电动势为
)(2)(2 1
210
1
210
lxx
vlIl
dt
dx
lxx
lIl
dt
dE
ee
e
ee?
电动势 E为正,说明与回路环绕方向一致,即顺时针方向,
线框在图中位置时,有 dx
e?
所以
)(2 1
210
ldd
vlIlE
v?
I f
e
g
hO Xdx
13.16 如图所示,在半径为 R的圆柱形空间中存在着均匀磁场,B的方向与柱的轴线平行,有一长为 l的金属棒放在磁场中,设 B随时间的变化率 dB/dt为常量,试证棒上的感应电动势的大小为
2
2
22
lRl
dt
dB
O
R
P Q
连接 OP,OQ,构成闭合回路
PQOP.易求得其面积为
2
2
22
1?
lRlS
穿过其中的磁通量为
2
2
22
1c o s?
lRBlBSSB
根据电磁感应定律得到闭合回路 PQOP中的电动势为
O
R
P Q
dt
dBlRl
dt
d
P Q O P
22
22
由于磁场具有轴对称性,变化时产生的感生电场也具有相应的轴对称性,感生电场线是以磁场中心轴为圆心的一系列同心圆,
kE?
这样,在半径 QO和 OP上,线元与感生电场处处垂直,即
0c o s 2 dlEldEd kk
所以 0
OPQO
于是可知
dt
dBlRl
P Q O PPQ
22
22
EPQ为正值,说明电动势方向由 P指向 Q,即 Q端电势较高,
O
R
P Q
r
O? ld?
kE?
在导体棒 OP上任取一线元 ld?
由于磁场分布具有轴对称性,产生的感生电场也具有相应的轴对称性,于是过线元,以 O为圆心作一个圆,并设环绕方向沿逆时针,根据感生电场的环路定理
sddtBdldE SL k?
即有
Sk dtdBrdsdtdBrE 2c o s2
于是得到
dt
dBrE
k 2?
方向与回路环绕方向一致,即沿逆时针,
根据电动势的定义,可得
2
2/2/
2c os
2222 lRl
dt
dBdl
r
lR
dt
dBrdlEldE Q
P
Q
P k
Q
P kPQ
