第八章 静电场 部分习题分析与解答第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-5 若电荷均匀地分布在长为 L的细棒上,求证,
(1)在棒的延长线,且离棒中心为 r处的电场强度为
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为 r的电场强度为
22
0 4
1
Lr
QE
220 42
1
Lr
Q
rE
(1)在带电棒上取一线元 dx,其电荷为 dq=Qdx/L,它在 P点的电场强度大小为,
2
0 )(4
1
xr
dqdE
方向沿 X轴正方向
L
O
xdx
x
P
r
dE
第八章 静电场 部分习题分析与解答因带电棒上各电荷元在点 P的电场强度方向相同,则,
]
2/
1
2/
1[
4)(4
1
0
2/
2/ 2
0 LrLrL
Q
xrL
Q d xE L
L?
22
0 4
1
Lr
Q
电场强度的方向沿 x轴正方向
(2) 电荷元 dq=Qdx/L在 P点的电场强度大小为,
L
O x
dx
x
P
r r?
dE
y
2
04
1
r
dqdE
E沿 x轴方向的分量因对称性叠加为零第八章 静电场 部分习题分析与解答故,点 P的电场强度大小为,
LLL yy rdqdEdEEE 2
04
s i ns i n
因为 统一积分变量,则 22,/s in xrrrr
方向沿 y轴的正方向E?
22
2/
2/
0
2/322
0 42
1
)(4 rL
Q
rrx
r Q d xE L
L?
当棒长 时,P点的电场强度为L
rLr
LQ
r
E
L
0
22
0 2/41
/
2
1lim
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-7 一半径为 R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为 σ,求球心处电场强度的大小,
将半球壳分割为一组平行的细圆环,从教材第 8-3节的例 1可以看出,所有细圆环在轴线上 O处的电场强度方向都相同,将所有的带电圆环的电场强度积分,即可求得球心 O处的电场强度,
R
o
d
x
dRdsdq s in2 2
所带电荷元为,
将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环在点 O激发的电场强度为,
第八章 静电场 部分习题分析与解答
i
rx
xd qEd
2/322
0 )(4
1
由于平行细圆环在点 O激发的电场强度方向相同,利用几何关系 统一积分变量,有 s in,c o s RrRx
ddR
R
R
rx
x d q
dE
c o ss i n
2
s i n2
c o s
4
1
)(4
1
0
2
3
0
2/322
0
积分得,
0
2/
0
0 4
co ss i n
2?
dE
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-8用电场强度叠加原理求证,无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为 (提示,把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然后进行积分叠加 )
02/E
求点 P的电场强度可采用两种方法处理,将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成,它们的电荷分别为,
dydr drdq 或2
求出它们在轴线上一点 P的电场强度 dE后,再叠加积分,即可求得点 P的电场强度了,
第八章 静电场 部分习题分析与解答如图所示,在带电板上取同心细圆环为微元,由于带电平面上同心圆环在点
P激发的电场强度 dE的方向均相同,因而 P处的电场强度为
r
dr
o
z
y
xP
dE
i
xr
xd qEdE
2/322
0 )(4
1
ii
xr
xr d r
0
0 2/322
0 2)(4
2
电场强度 E的方向为带电平板外法线方向,
第八章 静电场 部分习题分析与解答如图所示,取无限长带电细线为微元,各微元在点 P激发的电场强度 dE在 oxy平面内且对 x轴对称,因此,电场在 y轴和 z轴方向上的分量之和,即 Ey,Ex均为零，
则点 P的电场强度应为：
i
yx
x d yidEiEE
x
22
02
c o s
积分得
iE
02?
电场强度 E的方向为带电平板外法线方向,
o
z
y
x
P
dE
y
dy
xdE
ydE
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-11如图 8-11所示,电荷 分别均匀分布在两个半径为 R的半细圆环上，求：（ 1）带电圆环偶极矩的大小和方向；（ 2）等效正、负电荷中心的位置。
Q?
（ 1）将圆环沿 y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电
dQdsRQdq
R
o x
y
L?
ds
jdRQjdqRPd
c o s2c o s2
则带电圆环的电偶极矩为：
jRQPdP?
42/
2/
第八章 静电场 部分习题分析与解答
（ 2）等效正负电荷中心间距为
R
Q
Pl 4
根据对称性正、负电荷中心在 y轴上，所以其坐标分别为（ 0,2R/π）和（ 0,-2R/ π）。
也可借助几何中心的定义，得
2/ 2/ 0s in1 RdRRx
2/ 2/ 2c o s1 RRdRRy
即正、负电荷中心分别在 y轴上距中心 O为 处。
R2?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-13边长为 a 的立方体如图所示,其表面分别平等于 xy、
yz和 zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
jEikxEE 21 )(
x
y
z
A B
C
GF
O
E D
由题意知 E与 oxy面平行，所以对任何与 oxy面平行的立方体表面，电场强度通量为零，
即,而 0
D E F GO A B C
2
221 )(])[( aEjdsjEikxESdEA B GF
第八章 静电场 部分习题分析与解答
x
y
z
A B
C
GF
O
E D
考虑到面 CDEO与面 ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有：
22 aEA B G FC D E O
同理有：
2
21 )(][ EaidsjEiESdEA OE F
2
1
21
)(
)(])[(
akaE
idsjEikaESdEB C D G
整个立方体表面的电场强度通量为,3ka
第八章 静电场 部分习题分析与解答
Rrkr 0?
8-15设在半径为 R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为：
Rr 0?
K为一常量，试高斯定理求电场强度 E与 r的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）
R
r
r
o
取与带电球体同心的球面为高斯面，因电荷分布和电场分布为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量，且方向垂直于球面。
由高斯定理：
第八章 静电场 部分习题分析与解答
R
r
r
o
dVSdE
0
1
当 时：Rr0
4
0
0
2
0
2 414 rkdrrkrrE r
re
krE
0
2
4?
Rr?当 时：
4
0
0
2
0
2 414 RkdrrkrrE R
rer
kRE
2
0
4
4?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为 σ，在平板中部有一半径为 r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为 x的一点 P的电场强度。
用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，
挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。
第八章 静电场 部分习题分析与解答由教材中第 8-4节例 4可知，在带电平面附近
neE
0
1 2?
x
x
r为沿平面外法线的单位矢量 ;
圆盘激发的电场为,n
e?
ne
rx
xE )1(
2 2202?
它们的合电场强度为,
ne
rx
xEEE
22
0
21 2
在圆孔中心处 x=0,则,
0?E?
距离圆孔较远处 x>>r则,
nn eexrE
0
22
0 2/1
1
2?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-17如图所示，在电荷体密度为 ρ的均匀带电球体中，
存在一个球形空腔，若将带电体球心 O指向空腔球心
Oˊ 的矢量用 表示，试证明球形空腔中任一点的电场强度为：
a?
aE?
03?
用补偿法求解挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为 ρ的均匀带电球状和一个电荷体密度为 - ρ、球心在 Oˊ 的带小球体（半径等于空腔球体的半径）。大小球体在空腔内 P点产生的电场强度分别为,则 P点的电场强度
21 E、E
21 EEE
o o?
a?
第八章 静电场 部分习题分析与解答均匀带电球体内部一点的电场强度，由高斯定理可得：
r
o
oo
drr
q
sdE 241
rErrE
o
0
3
2
3
,
3
414
所以：
2
0
21
0
1 3;3 rErE
)(
3 21021
rrEEE
利用几何关系,上式可改写为
arr 21 aE
03?
o o?
a?
1r? 2r?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-19一无限长、半径为 R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为 λ，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为 r处的电场强度。 R
r
L
因电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理得：
0
2
q
rLEsdE?
因为 所以
2/ R
2
2
2
R
LrLrq
2
02 R
rE
解得第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-20一个内外半径分别为 R1和 R2的均匀带电球壳，总电荷为 Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为 Q2，求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离 r的连续函数？试分析。
1R
2R
3R
因电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，取半径为 r的同心球面为高斯面，由高斯定理得：
0
2 /4 qrEsdE
当 r<R1时，该高斯面内无电荷,故 0q
01?E
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 R1<r<R2 时，高斯面内电荷 故?
3
1
3
2
3
1
3
1 )(
RR
RrQq
23
1
3
20
3
1
3
1
2 )(4
)(
rRR
RrQE
当 R2<r<R3 时，高斯面内电荷为 Q1,故
2
0
1
3 4 r
QE
当 r>R3 时，高斯面内电荷为 Q1 + Q2,故
2
0
1
3 4 r
QE
电场强度方向均沿径矢方向第八章 静电场 部分习题分析与解答各区域的电场强度分布曲线如图所示
O
E
2R1R 3R
r
在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴 r=R3带电球面，电场强度的跃变量
0
2
30
2
34 4?
R
QEEE
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，
且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，
壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小,E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变。
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-22如图所示，有三个点电荷 Q1,Q2,Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 Q1=Q3=Q，求在固定 Q1,Q3的情况下，将 Q2
从点 O移到无穷远处外力所作的功。
.,,1Q 2Q 3Qo
x
y
d d
由题意 Q1所受合力为零
0
)2(44 20
3
12
0
2
1 d
QQ
d
QQ
故得
QQ
4
1
2
因 Q1=Q3=Q
第八章 静电场 部分习题分析与解答外力作的功 Wˊ 应等于电场力作功的负值即 Wˊ =-W
.,,1Q 2Q 3Qo
x
y
d d
根据电场力作功与电势差的关系有
0202 )( VQVVQW
V0为 Q1Q2在点 O产生的电势（取无穷远处的电势为零）
d
Q
d
Q
d
QV
00
3
0
1
0 244
将 Q2从点 O推到无穷远处的过程中，外力作的功为
d
QVQWW
0
2
02 8
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-24水分子的电偶极矩 P的大小为 6.20× 10-30C·m,求在下述情况下,距离分子为 r= 5.00× 10-9m处的电势,
(1)θ=0o;(2) θ=45o ;(3) θ=90o,θ为 r与 p之间的夹角,
由点电荷电势的叠加
2
000 4
co s
44 r
p
r
q
r
qVVV
p
(1)若 θ=0o
V
r
pV
p
3
2
0
1023.2
4
(2)若 θ=45o
V
r
pV o
p
3
2
0
1058.1
4
45c os
(3)若 θ=90o
0
4
90c os
2
0
r
pV o
p
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-25如图所示,有一薄金属环,其内外半径分别为 R1和
R2,圆环均匀带电,电荷面密度为,(1)计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势 ;(2)若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环,要使质子能穿过圆环,它的初速度至少应为多少?
1R
2R
r
o
x
xv? p
(1)在环上割取半径为 r、
宽度为 dr的带电细圆环，
其所带电荷为
r drdsdq 2它在轴线上产生的电势为
2/122
0
2/122
0 )(2)(4 rx
r d r
rx
dqdV
第八章 静电场 部分习题分析与解答薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加
][
2)(2
22
1
22
2
0
2/122
0
2
1
xRxR
rx
r d qV R
R
（ 2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能,开始时质子的初速度应满足0?
kE
0)(21 02VVemv o
即
)( 12
0
RR
m
ev
o
上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于
)( 12
0
RRme
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-26两个同心球面的半径分别为 R1和 R2，各自带有电荷 Q1和 Q2。求各区域电势分布，并画出分布曲线；
（ 2）两球面间的电势差为多少？
1R
2R(1)由高斯定理可求得电场分布用场强积分法求电势
01?E? 1Rr?
rer
QE
2
0
1
2 4
21 RrR
rer
QQE
2
0
21
3 4
2Rr?
由电势 可求得各区域的电势分布
ldEV r
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 r≤R1时,有
2211 3211 RRRRr ldEldEldEV
20
2
10
1
20
21
210
1
444
)11(
4
0
R
Q
R
Q
R
QQ
RR
Q
当 R1≤r≤R2时,有
22 322 RRr ldEldEV
20
2
0
1
20
21
20
1
444
)11(
4 R
Q
r
Q
R
QQ
Rr
Q
第八章 静电场 部分习题分析与解答
V
o
1R 2R
r
当 r≥R2时,有
r ldEV 33
r
QQ
0
21
4
(2)两个球面间的电势差为
)11(
4 210
1
212
2
1 RR
QldEU R
R
用电势叠加法求电势
(1)由各球面电势的叠加计算电势分布,若该点位于两个球面内,即 r≤R1,则
20
2
10
1
1 44 R
Q
R
QV
第八章 静电场 部分习题分析与解答若该点位于两个球面之间,即 R1≤r≤R2,则
20
2
0
1
2 44 R
Q
r
QV
若该点位于两个球面之外,即 r≥R2,则
r
QQ
V
0
21
3 4
(2)两个球面间的电势差为
20
1
10
1
2112 44
2 R
Q
R
Q
VVU
Rr
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-27半径为 R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷的体密度为 ρ现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布曲线。
R
r
l
无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称,取高度为,半径为 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理
l
r
V dVsdE
0
1
当 时Rr?
0
2 /2 lrrlE
得
02?
rE?
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 时，Rr?
0
2 /2 lRrlE
得：
r
RE
0
2
2?
取棒表面为零电势，空间电势的分布有当 时，Rr?
)(
42
22
00
rRdr
r
V
R
r
当 时，Rr?
r
RR
dr
r
R
V
R
r
ln
22 0
2
0
2
电势 V随空间位置 r的分布曲线为
o
V
R r
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-28一圆盘半径 R=3.00 × 10-2m,圆盘均匀带电,电荷面密度 σ=2.00× 10-5C ·m-2.(1)求轴线上的电势分布 ;(2)根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布 ;(3)计算离盘心 30.0cm处的电势和电场强度。
R
r
o
x
xp
利用与题 8-25类似的方法，将积分限改为 0到 R，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布第八章 静电场 部分习题分析与解答
（ 1）轴线上任一点 P的电势为
)1()(
22
22
0
0 22
0
xxR
xr
r d rV R
（ 2）轴线上任一点电场强度为
)2()1(
2 220
i
xR
xi
dx
dVE
电场强度方向沿 x轴方向
（ 3）将场点至盘心的距离 x=30.0cm分别代入 (1)和 (2)式得,
VmV 16911048.7
0
4
1
0
3 56071048.2 mVE
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 x≥R时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有
CRq 82 1065.5
V
x
qV 1695
4 0
1
2
0
5 6 4 9
4
mV
x
qE
由此可见，当 x≥R时，可以忽略圆盘的几何形状，
而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样的近似处理,E和 V的误差分别不超过 0.3%和 0.8%，
这已足以满足一般的测量精度第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-32在 oxy面上倒扣着半径为 R的半球面,半球面上电荷均匀分布,电荷面密度为 σ,A点坐标为 (0,R/2),B点的坐标为 (3R/2,0)求电势差 UAB
)(2121 BRABAB VVUU
其中 是带电球表面的电势,是带电球面在 B点的电势 AB
U? ABU
电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在 oxy平面上各点产生的电势显然就是带电球面在该点的电势的一半，据此，可先求出一个完整球面在 A,B间的电势差,再求出半球面时的电势差,由于带电球面内等电势，球面内 A点电势等于球表面的电势，故：
ABU
ABU?
x
yB
o A
R?
第八章 静电场 部分习题分析与解答假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度 σ的一个完整球面，此时在 A,B两点的电势分别为
RA V
R
R
QV
004?
00
2
0 3
2
4?
R
r
R
r
Q
V B
则半球面在 A,B两点的电势差为
06
)(
2
1
RVVU
BRAB
8-5 若电荷均匀地分布在长为 L的细棒上,求证,
(1)在棒的延长线,且离棒中心为 r处的电场强度为
(2)在棒的垂直平分线上,离棒为 r的电场强度为
22
0 4
1
Lr
QE
220 42
1
Lr
Q
rE
(1)在带电棒上取一线元 dx,其电荷为 dq=Qdx/L,它在 P点的电场强度大小为,
2
0 )(4
1
xr
dqdE
方向沿 X轴正方向
L
O
xdx
x
P
r
dE
第八章 静电场 部分习题分析与解答因带电棒上各电荷元在点 P的电场强度方向相同,则,
]
2/
1
2/
1[
4)(4
1
0
2/
2/ 2
0 LrLrL
Q
xrL
Q d xE L
L?
22
0 4
1
Lr
Q
电场强度的方向沿 x轴正方向
(2) 电荷元 dq=Qdx/L在 P点的电场强度大小为,
L
O x
dx
x
P
r r?
dE
y
2
04
1
r
dqdE
E沿 x轴方向的分量因对称性叠加为零第八章 静电场 部分习题分析与解答故,点 P的电场强度大小为,
LLL yy rdqdEdEEE 2
04
s i ns i n
因为 统一积分变量,则 22,/s in xrrrr
方向沿 y轴的正方向E?
22
2/
2/
0
2/322
0 42
1
)(4 rL
Q
rrx
r Q d xE L
L?
当棒长 时,P点的电场强度为L
rLr
LQ
r
E
L
0
22
0 2/41
/
2
1lim
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-7 一半径为 R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为 σ,求球心处电场强度的大小,
将半球壳分割为一组平行的细圆环,从教材第 8-3节的例 1可以看出,所有细圆环在轴线上 O处的电场强度方向都相同,将所有的带电圆环的电场强度积分,即可求得球心 O处的电场强度,
R
o
d
x
dRdsdq s in2 2
所带电荷元为,
将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环在点 O激发的电场强度为,
第八章 静电场 部分习题分析与解答
i
rx
xd qEd
2/322
0 )(4
1
由于平行细圆环在点 O激发的电场强度方向相同,利用几何关系 统一积分变量,有 s in,c o s RrRx
ddR
R
R
rx
x d q
dE
c o ss i n
2
s i n2
c o s
4
1
)(4
1
0
2
3
0
2/322
0
积分得,
0
2/
0
0 4
co ss i n
2?
dE
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-8用电场强度叠加原理求证,无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为 (提示,把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然后进行积分叠加 )
02/E
求点 P的电场强度可采用两种方法处理,将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成,它们的电荷分别为,
dydr drdq 或2
求出它们在轴线上一点 P的电场强度 dE后,再叠加积分,即可求得点 P的电场强度了,
第八章 静电场 部分习题分析与解答如图所示,在带电板上取同心细圆环为微元,由于带电平面上同心圆环在点
P激发的电场强度 dE的方向均相同,因而 P处的电场强度为
r
dr
o
z
y
xP
dE
i
xr
xd qEdE
2/322
0 )(4
1
ii
xr
xr d r
0
0 2/322
0 2)(4
2
电场强度 E的方向为带电平板外法线方向,
第八章 静电场 部分习题分析与解答如图所示,取无限长带电细线为微元,各微元在点 P激发的电场强度 dE在 oxy平面内且对 x轴对称,因此,电场在 y轴和 z轴方向上的分量之和,即 Ey,Ex均为零，
则点 P的电场强度应为：
i
yx
x d yidEiEE
x
22
02
c o s
积分得
iE
02?
电场强度 E的方向为带电平板外法线方向,
o
z
y
x
P
dE
y
dy
xdE
ydE
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-11如图 8-11所示,电荷 分别均匀分布在两个半径为 R的半细圆环上，求：（ 1）带电圆环偶极矩的大小和方向；（ 2）等效正、负电荷中心的位置。
Q?
（ 1）将圆环沿 y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电
dQdsRQdq
R
o x
y
L?
ds
jdRQjdqRPd
c o s2c o s2
则带电圆环的电偶极矩为：
jRQPdP?
42/
2/
第八章 静电场 部分习题分析与解答
（ 2）等效正负电荷中心间距为
R
Q
Pl 4
根据对称性正、负电荷中心在 y轴上，所以其坐标分别为（ 0,2R/π）和（ 0,-2R/ π）。
也可借助几何中心的定义，得
2/ 2/ 0s in1 RdRRx
2/ 2/ 2c o s1 RRdRRy
即正、负电荷中心分别在 y轴上距中心 O为 处。
R2?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-13边长为 a 的立方体如图所示,其表面分别平等于 xy、
yz和 zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
jEikxEE 21 )(
x
y
z
A B
C
GF
O
E D
由题意知 E与 oxy面平行，所以对任何与 oxy面平行的立方体表面，电场强度通量为零，
即,而 0
D E F GO A B C
2
221 )(])[( aEjdsjEikxESdEA B GF
第八章 静电场 部分习题分析与解答
x
y
z
A B
C
GF
O
E D
考虑到面 CDEO与面 ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有：
22 aEA B G FC D E O
同理有：
2
21 )(][ EaidsjEiESdEA OE F
2
1
21
)(
)(])[(
akaE
idsjEikaESdEB C D G
整个立方体表面的电场强度通量为,3ka
第八章 静电场 部分习题分析与解答
Rrkr 0?
8-15设在半径为 R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为：
Rr 0?
K为一常量，试高斯定理求电场强度 E与 r的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）
R
r
r
o
取与带电球体同心的球面为高斯面，因电荷分布和电场分布为球对称,球面上各点电场强度的大小为常量，且方向垂直于球面。
由高斯定理：
第八章 静电场 部分习题分析与解答
R
r
r
o
dVSdE
0
1
当 时：Rr0
4
0
0
2
0
2 414 rkdrrkrrE r
re
krE
0
2
4?
Rr?当 时：
4
0
0
2
0
2 414 RkdrrkrrE R
rer
kRE
2
0
4
4?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为 σ，在平板中部有一半径为 r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为 x的一点 P的电场强度。
用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，
挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。
第八章 静电场 部分习题分析与解答由教材中第 8-4节例 4可知，在带电平面附近
neE
0
1 2?
x
x
r为沿平面外法线的单位矢量 ;
圆盘激发的电场为,n
e?
ne
rx
xE )1(
2 2202?
它们的合电场强度为,
ne
rx
xEEE
22
0
21 2
在圆孔中心处 x=0,则,
0?E?
距离圆孔较远处 x>>r则,
nn eexrE
0
22
0 2/1
1
2?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-17如图所示，在电荷体密度为 ρ的均匀带电球体中，
存在一个球形空腔，若将带电体球心 O指向空腔球心
Oˊ 的矢量用 表示，试证明球形空腔中任一点的电场强度为：
a?
aE?
03?
用补偿法求解挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为 ρ的均匀带电球状和一个电荷体密度为 - ρ、球心在 Oˊ 的带小球体（半径等于空腔球体的半径）。大小球体在空腔内 P点产生的电场强度分别为,则 P点的电场强度
21 E、E
21 EEE
o o?
a?
第八章 静电场 部分习题分析与解答均匀带电球体内部一点的电场强度，由高斯定理可得：
r
o
oo
drr
q
sdE 241
rErrE
o
0
3
2
3
,
3
414
所以：
2
0
21
0
1 3;3 rErE
)(
3 21021
rrEEE
利用几何关系,上式可改写为
arr 21 aE
03?
o o?
a?
1r? 2r?
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-19一无限长、半径为 R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为 λ，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为 r处的电场强度。 R
r
L
因电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理得：
0
2
q
rLEsdE?
因为 所以
2/ R
2
2
2
R
LrLrq
2
02 R
rE
解得第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-20一个内外半径分别为 R1和 R2的均匀带电球壳，总电荷为 Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为 Q2，求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离 r的连续函数？试分析。
1R
2R
3R
因电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，取半径为 r的同心球面为高斯面，由高斯定理得：
0
2 /4 qrEsdE
当 r<R1时，该高斯面内无电荷,故 0q
01?E
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 R1<r<R2 时，高斯面内电荷 故?
3
1
3
2
3
1
3
1 )(
RR
RrQq
23
1
3
20
3
1
3
1
2 )(4
)(
rRR
RrQE
当 R2<r<R3 时，高斯面内电荷为 Q1,故
2
0
1
3 4 r
QE
当 r>R3 时，高斯面内电荷为 Q1 + Q2,故
2
0
1
3 4 r
QE
电场强度方向均沿径矢方向第八章 静电场 部分习题分析与解答各区域的电场强度分布曲线如图所示
O
E
2R1R 3R
r
在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴 r=R3带电球面，电场强度的跃变量
0
2
30
2
34 4?
R
QEEE
这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，
且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，
壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小,E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时,E的变化成为一跃变。
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-22如图所示，有三个点电荷 Q1,Q2,Q3沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 Q1=Q3=Q，求在固定 Q1,Q3的情况下，将 Q2
从点 O移到无穷远处外力所作的功。
.,,1Q 2Q 3Qo
x
y
d d
由题意 Q1所受合力为零
0
)2(44 20
3
12
0
2
1 d
d
故得
4
1
2
因 Q1=Q3=Q
第八章 静电场 部分习题分析与解答外力作的功 Wˊ 应等于电场力作功的负值即 Wˊ =-W
.,,1Q 2Q 3Qo
x
y
d d
根据电场力作功与电势差的关系有
0202 )( VQVVQW
V0为 Q1Q2在点 O产生的电势（取无穷远处的电势为零）
d
Q
d
Q
d
QV
00
3
0
1
0 244
将 Q2从点 O推到无穷远处的过程中，外力作的功为
d
QVQWW
0
2
02 8
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-24水分子的电偶极矩 P的大小为 6.20× 10-30C·m,求在下述情况下,距离分子为 r= 5.00× 10-9m处的电势,
(1)θ=0o;(2) θ=45o ;(3) θ=90o,θ为 r与 p之间的夹角,
由点电荷电势的叠加
2
000 4
co s
44 r
p
r
q
r
qVVV
p
(1)若 θ=0o
V
r
pV
p
3
2
0
1023.2
4
(2)若 θ=45o
V
r
pV o
p
3
2
0
1058.1
4
45c os
(3)若 θ=90o
0
4
90c os
2
0
r
pV o
p
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-25如图所示,有一薄金属环,其内外半径分别为 R1和
R2,圆环均匀带电,电荷面密度为,(1)计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势 ;(2)若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环,要使质子能穿过圆环,它的初速度至少应为多少?
1R
2R
r
o
x
xv? p
(1)在环上割取半径为 r、
宽度为 dr的带电细圆环，
其所带电荷为
r drdsdq 2它在轴线上产生的电势为
2/122
0
2/122
0 )(2)(4 rx
r d r
rx
dqdV
第八章 静电场 部分习题分析与解答薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加
][
2)(2
22
1
22
2
0
2/122
0
2
1
xRxR
rx
r d qV R
R
（ 2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能,开始时质子的初速度应满足0?
kE
0)(21 02VVemv o
即
)( 12
0
RR
m
ev
o
上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于
)( 12
0
RRme
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-26两个同心球面的半径分别为 R1和 R2，各自带有电荷 Q1和 Q2。求各区域电势分布，并画出分布曲线；
（ 2）两球面间的电势差为多少？
1R
2R(1)由高斯定理可求得电场分布用场强积分法求电势
01?E? 1Rr?
rer
QE
2
0
1
2 4
21 RrR
rer
QQE
2
0
21
3 4
2Rr?
由电势 可求得各区域的电势分布
ldEV r
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 r≤R1时,有
2211 3211 RRRRr ldEldEldEV
20
2
10
1
20
21
210
1
444
)11(
4
0
R
Q
R
Q
R
RR
Q
当 R1≤r≤R2时,有
22 322 RRr ldEldEV
20
2
0
1
20
21
20
1
444
)11(
4 R
Q
r
Q
R
Rr
Q
第八章 静电场 部分习题分析与解答
V
o
1R 2R
r
当 r≥R2时,有
r ldEV 33
r
0
21
4
(2)两个球面间的电势差为
)11(
4 210
1
212
2
1 RR
QldEU R
R
用电势叠加法求电势
(1)由各球面电势的叠加计算电势分布,若该点位于两个球面内,即 r≤R1,则
20
2
10
1
1 44 R
Q
R
QV
第八章 静电场 部分习题分析与解答若该点位于两个球面之间,即 R1≤r≤R2,则
20
2
0
1
2 44 R
Q
r
QV
若该点位于两个球面之外,即 r≥R2,则
r
V
0
21
3 4
(2)两个球面间的电势差为
20
1
10
1
2112 44
2 R
Q
R
Q
VVU
Rr
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-27半径为 R的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布,电荷的体密度为 ρ现取棒表面为零电势,求空间电势分布并画出分布曲线。
R
r
l
无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称,取高度为,半径为 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理
l
r
V dVsdE
0
1
当 时Rr?
0
2 /2 lrrlE
得
02?
rE?
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 时，Rr?
0
2 /2 lRrlE
得：
r
RE
0
2
2?
取棒表面为零电势，空间电势的分布有当 时，Rr?
)(
42
22
00
rRdr
r
V
R
r
当 时，Rr?
r
RR
dr
r
R
V
R
r
ln
22 0
2
0
2
电势 V随空间位置 r的分布曲线为
o
V
R r
第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-28一圆盘半径 R=3.00 × 10-2m,圆盘均匀带电,电荷面密度 σ=2.00× 10-5C ·m-2.(1)求轴线上的电势分布 ;(2)根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布 ;(3)计算离盘心 30.0cm处的电势和电场强度。
R
r
o
x
xp
利用与题 8-25类似的方法，将积分限改为 0到 R，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布第八章 静电场 部分习题分析与解答
（ 1）轴线上任一点 P的电势为
)1()(
22
22
0
0 22
0
xxR
xr
r d rV R
（ 2）轴线上任一点电场强度为
)2()1(
2 220
i
xR
xi
dx
dVE
电场强度方向沿 x轴方向
（ 3）将场点至盘心的距离 x=30.0cm分别代入 (1)和 (2)式得,
VmV 16911048.7
0
4
1
0
3 56071048.2 mVE
第八章 静电场 部分习题分析与解答当 x≥R时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有
CRq 82 1065.5
V
x
qV 1695
4 0
1
2
0
5 6 4 9
4
mV
x
qE
由此可见，当 x≥R时，可以忽略圆盘的几何形状，
而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样的近似处理,E和 V的误差分别不超过 0.3%和 0.8%，
这已足以满足一般的测量精度第八章 静电场 部分习题分析与解答
8-32在 oxy面上倒扣着半径为 R的半球面,半球面上电荷均匀分布,电荷面密度为 σ,A点坐标为 (0,R/2),B点的坐标为 (3R/2,0)求电势差 UAB
)(2121 BRABAB VVUU
其中 是带电球表面的电势,是带电球面在 B点的电势 AB
U? ABU
电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在 oxy平面上各点产生的电势显然就是带电球面在该点的电势的一半，据此，可先求出一个完整球面在 A,B间的电势差,再求出半球面时的电势差,由于带电球面内等电势，球面内 A点电势等于球表面的电势，故：
ABU
ABU?
x
yB
o A
R?
第八章 静电场 部分习题分析与解答假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度 σ的一个完整球面，此时在 A,B两点的电势分别为
RA V
R
R
QV
004?
00
2
0 3
2
4?
R
r
R
r
Q
V B
则半球面在 A,B两点的电势差为
06
)(
2
1
RVVU
BRAB
