第十四章 机械振动部分习题分析与解答第十四章 机械振动部分习题分析与解答证 货轮处于平衡状态，如图
（ a)，浮力大小为 F=mg，当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x轴正向，
如图（ b)所示，则当货轮向下偏移 x位移时，受合外力为
FPF
14-3一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ρ,且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期。
F
P
C
(a)
P
C
F’
x
o
x
(b)
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
gS xmgF
其中 F’为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为则货轮所受合外力
kxg S xFPF
式中 k=ρgS为常数，货轮作简谐运动
02
2
x
m
gS
dt
xd?
由 可得货轮运动的微分方程为
22 / dtxmdF
令,可得其振动周期为
mgS /2
gSmT /2/2
F
P
C
(a)
P
C
F’
x
o
x
(b)
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
)2()(s i n
)(s i n
111
222
xxkmg
xxkmgF
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 x1、
x2，则物体受力平衡，有
)1(s i n 2211 xkxkmg
按图（ b）所取坐标，物体沿 x轴移动位移 x时，两弹簧又分别被拉伸 x’1 和
x’2，即 x= x’1 +x’2,则物体受力为
14-5如图 (a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1和
k2，物体在光滑斜面上振动。（ 1）证明其运动仍是简谐运动；（ 2）求系统的振动频率。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
kxx
kk
kkF
21
21
将式（ 1）代入式（ 2）得
)3(2211 xkxkF
由式（ 3）得而 x= x’1 +x’2,，则得到
)/,/ 2211 kFxkFx
式中 为常数，则物体作简谐运动，振动频率为
)/( 2121 kkkkk
mkkkk
m
k )/(
2
1
2
1
2 2121
讨论,斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅
A=2.0× 10-2m，周期 T=0.50s。当 t=0时，（ 1）物体在正方向端点；（ 2）物体在平衡位置，向负方向运动；（ 3）物体在 x=1.0× 10-2m处，向负方向运动；
（ 4）物体在 x=-1.0× 10-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。
分析 在振幅 A和周期 T已知的条件下，确定初相 φ是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。
（ 1） 解析法,由振动方程出发，根据初始条件，即 t=0时,x=x0和 v=v0来确定 φ值。
xo
N
p
x0
φ0
M
ω
（ 2） 旋转矢量法,如右图所示，将质点
P在 ox轴上振动的初始位置 x0和速度 v0的方向与旋转矢量图相对应来确定 φ0。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14/2 sT解 由题给条件知 A=2.0× 10
-2m，
而初相 φ可采用分析中的两种不同方法来求。
解析法,根据简谐运动方程 ),c os ( tAx
当 t=0时有当.s i n,c o s 0 AvAx;0,1c o s,)1( 110 则时Ax;2,0,2,0c o s,0)2( 20220 取因时 vx;3,0,3,5.0c o s,100.1)3( 303320 取因时 vmx
.34,0,3,5.0c o s,100.1)4( 404420 取因时 vmx
第十四章 机械振动部分习题分析与解答旋转矢量法,分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图所示，它们所对应的初相分别为
])4c o s [ ()100.2()1( 12 tsmx
xo A/2
ω
-A/2
1
2 3
4
.34;3;2;0 4321
振幅 A、角频率 ω,初相 φ均确定后，
则各相应状态下的运动方程为
]2)4c o s [ ()100.2()2( 12 tsmx
]3)4c o s [ ()100.2()3( 12 tsmx
]34)4c o s [ ()100.2()4( 12 tsmx
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-13 一物体沿 x轴简谐运动，振幅为 0.06m，周期为 2.0s，当 t=0时位移为 0.03m，且向 x 轴正向运动。
求（ 1） t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（ 2）物体从 x=-0.03m处向 x轴负方向运动，到达平衡位置，至少需要多少时间？
当 t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为
]3/)c o s [ ()06.0( 1 tsmx
解 （ 1） 由题意知 A=0.06m,ω=2π/T=
πs-1由旋转矢量图 14-13（ a）可确定初相 φ0=- π/3则运动方程为
x
o
φ0
ω
A/2
图 14-13（ a）
第十四章 机械振动部分习题分析与解答当 t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为
mmx 0 5 2.0)3/2/c o s ()06.0(
11 094.0)3/2/s i n ()06.0( smsm
dt
dxv
222
2
2 0513.0)3/2/c o s ()06.0( smsm
dt
xda
st 833.0/
(2)质点从 x=-0.03m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图 14-13(b)中的位置 M转至位置 N，矢量转过的角度（即相位差） Δφ=5π/6。 该过程所需时间为
xoΔφ
ω
-A/2
M
N
图 14-13（ b）
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-26 已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为求,(1)合振动的振幅及初相；（ 2）若有另一同方向同频率的简谐运动 则 φ３ 为多少时,x1+x3的振幅最大？又 φ３ 为多少时,x2+x3的振幅最小？
]75.0)10c o s [ ()05.0( 11 tsmx
]25.0)10c o s [ ()05.0( 12 tsmx
])10co s [ ()07.0( 313 tsmx
解 （ 1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图。因为 Δφ=φ2-φ1=-π/2,故合振动振幅为
mAAAAA 2212221 108.7)2co s (2x
A1 A2
o
φ2φ1
A
φ
合振动初相位
r a da r c t g
AAAAa r c t g
48.111
)]c o sc o s/()s i ns i n[( 22112211
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
（ 2）要使 x1+x3振幅最大，即两振动同相，则由
Δφ=2k π 得要使 x2+x3的振幅最小，即两振动反相，则由
Δφ=(2k+1) π得
φ3=φ1+2kπ = 2kπ+0.75 π,k=0,± 1,± 2,……
φ3=φ2+(2k+1) π = 2k π +1.25 π,k=0,± 1,±
2,……
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-27 有 两同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为 0.20m，
合振动的相位与第一个振动的相位差为 π/6,若第一个振动的振幅为 0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解 采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量 A1沿 ox轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量 A与 A1之间的夹角 φ=π/6。 根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为
mAAAAA 10.0c o s2 12212
由于 A1,A2,A的量值恰好满足勾股定理，故 A1与 A2垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为
xA1
A2
o
θ
A
φ
2
（ a)，浮力大小为 F=mg，当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点 O，竖直向下为 x轴正向，
如图（ b)所示，则当货轮向下偏移 x位移时，受合外力为
FPF
14-3一远洋货轮，质量为 m，浮在水面时其水平截面积为 S。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为 ρ,且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期。
F
P
C
(a)
P
C
F’
x
o
x
(b)
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
gS xmgF
其中 F’为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为则货轮所受合外力
kxg S xFPF
式中 k=ρgS为常数，货轮作简谐运动
02
2
x
m
gS
dt
xd?
由 可得货轮运动的微分方程为
22 / dtxmdF
令,可得其振动周期为
mgS /2
gSmT /2/2
F
P
C
(a)
P
C
F’
x
o
x
(b)
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
)2()(s i n
)(s i n
111
222
xxkmg
xxkmgF
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 x1、
x2，则物体受力平衡，有
)1(s i n 2211 xkxkmg
按图（ b）所取坐标，物体沿 x轴移动位移 x时，两弹簧又分别被拉伸 x’1 和
x’2，即 x= x’1 +x’2,则物体受力为
14-5如图 (a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为 k1和
k2，物体在光滑斜面上振动。（ 1）证明其运动仍是简谐运动；（ 2）求系统的振动频率。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
kxx
kk
kkF
21
21
将式（ 1）代入式（ 2）得
)3(2211 xkxkF
由式（ 3）得而 x= x’1 +x’2,，则得到
)/,/ 2211 kFxkFx
式中 为常数，则物体作简谐运动，振动频率为
)/( 2121 kkkkk
mkkkk
m
k )/(
2
1
2
1
2 2121
讨论,斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅
A=2.0× 10-2m，周期 T=0.50s。当 t=0时，（ 1）物体在正方向端点；（ 2）物体在平衡位置，向负方向运动；（ 3）物体在 x=1.0× 10-2m处，向负方向运动；
（ 4）物体在 x=-1.0× 10-2m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。
分析 在振幅 A和周期 T已知的条件下，确定初相 φ是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。
（ 1） 解析法,由振动方程出发，根据初始条件，即 t=0时,x=x0和 v=v0来确定 φ值。
xo
N
p
x0
φ0
M
ω
（ 2） 旋转矢量法,如右图所示，将质点
P在 ox轴上振动的初始位置 x0和速度 v0的方向与旋转矢量图相对应来确定 φ0。
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14/2 sT解 由题给条件知 A=2.0× 10
-2m，
而初相 φ可采用分析中的两种不同方法来求。
解析法,根据简谐运动方程 ),c os ( tAx
当 t=0时有当.s i n,c o s 0 AvAx;0,1c o s,)1( 110 则时Ax;2,0,2,0c o s,0)2( 20220 取因时 vx;3,0,3,5.0c o s,100.1)3( 303320 取因时 vmx
.34,0,3,5.0c o s,100.1)4( 404420 取因时 vmx
第十四章 机械振动部分习题分析与解答旋转矢量法,分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图所示，它们所对应的初相分别为
])4c o s [ ()100.2()1( 12 tsmx
xo A/2
ω
-A/2
1
2 3
4
.34;3;2;0 4321
振幅 A、角频率 ω,初相 φ均确定后，
则各相应状态下的运动方程为
]2)4c o s [ ()100.2()2( 12 tsmx
]3)4c o s [ ()100.2()3( 12 tsmx
]34)4c o s [ ()100.2()4( 12 tsmx
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-13 一物体沿 x轴简谐运动，振幅为 0.06m，周期为 2.0s，当 t=0时位移为 0.03m，且向 x 轴正向运动。
求（ 1） t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；
（ 2）物体从 x=-0.03m处向 x轴负方向运动，到达平衡位置，至少需要多少时间？
当 t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为
]3/)c o s [ ()06.0( 1 tsmx
解 （ 1） 由题意知 A=0.06m,ω=2π/T=
πs-1由旋转矢量图 14-13（ a）可确定初相 φ0=- π/3则运动方程为
x
o
φ0
ω
A/2
图 14-13（ a）
第十四章 机械振动部分习题分析与解答当 t=0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为
mmx 0 5 2.0)3/2/c o s ()06.0(
11 094.0)3/2/s i n ()06.0( smsm
dt
dxv
222
2
2 0513.0)3/2/c o s ()06.0( smsm
dt
xda
st 833.0/
(2)质点从 x=-0.03m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图 14-13(b)中的位置 M转至位置 N，矢量转过的角度（即相位差） Δφ=5π/6。 该过程所需时间为
xoΔφ
ω
-A/2
M
N
图 14-13（ b）
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-26 已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为求,(1)合振动的振幅及初相；（ 2）若有另一同方向同频率的简谐运动 则 φ３ 为多少时,x1+x3的振幅最大？又 φ３ 为多少时,x2+x3的振幅最小？
]75.0)10c o s [ ()05.0( 11 tsmx
]25.0)10c o s [ ()05.0( 12 tsmx
])10co s [ ()07.0( 313 tsmx
解 （ 1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图。因为 Δφ=φ2-φ1=-π/2,故合振动振幅为
mAAAAA 2212221 108.7)2co s (2x
A1 A2
o
φ2φ1
A
φ
合振动初相位
r a da r c t g
AAAAa r c t g
48.111
)]c o sc o s/()s i ns i n[( 22112211
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
（ 2）要使 x1+x3振幅最大，即两振动同相，则由
Δφ=2k π 得要使 x2+x3的振幅最小，即两振动反相，则由
Δφ=(2k+1) π得
φ3=φ1+2kπ = 2kπ+0.75 π,k=0,± 1,± 2,……
φ3=φ2+(2k+1) π = 2k π +1.25 π,k=0,± 1,±
2,……
第十四章 机械振动部分习题分析与解答
14-27 有 两同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为 0.20m，
合振动的相位与第一个振动的相位差为 π/6,若第一个振动的振幅为 0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
解 采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量 A1沿 ox轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量 A与 A1之间的夹角 φ=π/6。 根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为
mAAAAA 10.0c o s2 12212
由于 A1,A2,A的量值恰好满足勾股定理，故 A1与 A2垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为
xA1
A2
o
θ
A
φ
2
