第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态,一昼夜的时间有多长?
按题意有,
22 )2(
T
mrmrmg
由于物体地球自转时,有向心加速度存在,当提供此加速度的力即为重力时,物体处于失重状态,由向心加速度和角速度的关系就可得一昼夜所需的时间,
则地球自转一天所需的时间为,
hs
grT
4.11007.5
8.9/10378.62/2
3
6
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-4 图示一斜面,倾角为 α,底边 AB长为 l=2.1m,质量为 m
的物体 从斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为 μ=0.14.试问,当 α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短?其数值为多少?
取沿斜面为坐标轴 Ox,
原点 O位于斜面顶点,
则由牛顿第二定律有
mamgmg c o ss in
该题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系 α=f(t),然后运用对 t求极值的方法即可得出数值来,
P?
fF
NF
o
m
BA
l
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有,
22 )c o s( s i n
2
1
2
1c o s/ tgatl
则,
)c os( s inc os
2
g
lt
为使下滑时间最短,可令,由上式得,0/ddt
0)s i n( c o sc o s)c o s( s i ns i n
则可得,049,/12tg
此时,
s
g
lt 99.0
)c os( s i nc os
2
m i n
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-8 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成,每一叶片的质量 m=136kg,长 l=3.66m,求当它的转速
n=320r/min时,两个叶片根部的张力,(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片）
螺旋桨旋转时，叶片上各点的加速度不同，在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的，在求叶片根部的张力时，可选取叶片上一小段，分析其受力，列出动力学方程，然后采用积分的方法求解。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答设叶片根部为原点 O，沿叶片背离原点 O的方向，距原点 O为 r处为 dr一小段叶片，其两侧对它的拉力分别为 FT（ r）与 FT（ r+dr）叶片转动时，该小段叶片作圆周运动，由牛顿定律有
o r
dr)(rF
T
)( drrFT?
r d r
l
mdrrFrFdF
TTT
2)()(
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答由于 时外侧,所以有,lr? 0?
TF
0
)(
2
rF
l
rTT
r d r
l
mdF?
)(2)(
2
)( 22
22
22
2
rl
l
mnrl
l
mrF
T
上式中取,即得叶片根部的张力0?r
NF To 51079.2
负号表示张力方向与坐标方向相反,
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-9在一只半径为 R的半球形碗内，有一粒质量为 m
的小钢球。当钢球以角速度 ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗旅底有多高？
维持钢球在水平面内作匀角速度转动时，必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力
（向心力），而该力是由碗内壁对球的支持力 FN的分力来提供的，由于支持为 FN始终垂直于碗内壁，所以支持力的大小和方向是随 ω而变的。取图示 Oxy坐标，列出动力学方程，即可求解钢球距碗底的高度。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
P?
NF
y
x
取钢球为隔离体,其受力分析如图所示,在图示坐标中列动力学方程,
s i ns i n 2mRmaF nN
mgF Nc o s
且有,
R
hRc o s
由上述各式可解得钢球距离碗底的高度为,
2?
gRh
可见,h随 的变化而变化,?
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-10一质量为 m的小球最初位于如图 2-10(a)所示的 A点，
然后沿半径为 r的光滑圆轨道 ADCB下滑。试求小球到达点 C时的角速度和对圆轨道的作用力。
该题可由牛顿第二定律求解。在取自然坐标的情况下，沿圆弧方向的加速度就是切向加速度
at，与其相对应的外力 Ft是重力的切向分量
mgsinα,而与法向加速度 an相对应的外力是支持力 FN和重力的法向分量 mgcos α.由此，可分别列出切向和法向的动力学方程 Ft=mdv/dt和
Fn=man.由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的，因此，需应用积分求解，为使运算简便，
可转换积分变量。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答小球在运动过程是受到重力 P和圆轨道对它的支持力 FN,取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得,
A
D C
B
r
o
P?
v?
te?
ne?
NF
)1(s in dtdvmmgF t
)2(c os
2
R
mvmgFF
Nn
v
rddt
dt
rd
dt
dsv 得由,
代入 (1)式,并根据小球从点 A运动到点 C的始末条件,进行积分,有,
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
vo drgv d v090 )s in(
得,
c o s2 rgv?
则小球在点 C的角速度为,
rg
r
v /)c o s2(
由式 (2)得,
c o s3c o s
2
mgmg
r
mvF
N
由此可得小球对圆轨道的作用力为,
c o s3 mgFF NN
负号表示 与 反向,
NF
ne?
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-12一质量为 10kg的质点在力 F=（ 120N.s-1)t+40N
的作用下，沿 x轴作直线运动。在 t=0时，质点位于
x=5.0m处，其速度 vo=6.0m.s-1.求质点在任意时刻的速度和位置。
这是在变力作用下的动力学问题。由于力是时间的函数，而加速度 a=dv/dt，这时，动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程，
解此微分方程可得质点的速度 v(t)；由速度的定义 v=dx/dt，用积分的方法可求出质点的位置。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答因加速度,在直线运动中,根据牛顿定律有,
dt
vda
dt
dvmt 40120
依据质点运动的初始条件,即 t0=0时,v0=6.0m·s-2,运用分离变量法对上式积分,得,
vv t dttdv0 0 )0.40.12( 20.60.40.6 ttv
又因 v=dx/dt,并由质点运动的初始条件,t0=0时
x0=5.0m,对上式分离变量积分,有
xx t dtttdx
0 0
2 )0.60.40.6(
32 0.20.20.60.5 tttx
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-13轻型飞机连同驾驶员总质量为 1.0× 103kg,飞机以
55.0m?s-1的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,
若阻力与时间成正比,比例系数 α =5.0× 102 N?s-1,求
(1)10s后飞机的速率 ;(2)飞机着陆后 10s内滑行的距离,
飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动,其水平方向所受制动力 F为变力,
且是时间的函数,在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解,
以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿定律及初始条件,有,
t
dt
dvmmaF
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
dt
m
tdvv
v
t
0 0
2
0 2 tmvv
因此,飞机着陆 10s后的速率为,10.30 smv
又
txx dttmvdx 0 20 )2(
0
故飞机着陆后 10s内所滑行的距离为,
mt
m
tvxxs 467
6
3
00
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-15 自地球表面垂直上抛一物体,要使它不返回地面,其初速度最小为多少?(略去空气阻力作用 )
要使竖直上抛物体能脱离地球不再返回地面,
即使其离开地球引力的范围,其速度 V≥0,为此,
可根据物体在地球引力场中的动力学方程导出
V-r关系加以讨论,就可确定脱离地球引力场所需的最小初速度即逃逸速度,
由动力学方程得,
dr
v d vm
dt
dvm
r
mmG E
2
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
hR Evv rdrGmv d v 2
0
)(202 hGmRGmvv EE
为使初速度最小,可取末速度接近于零,即 v=0,此时物体可视为无限远,即 h→∞,由上式可得,
gR
R
Gmv E 2
0
136 102.111040.680.92 sm
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-16 质量为 45.0kg的物体,由地面以初速 60.0m?s-1
竖直向上发射,物体受到空气的阻力为 Fr=kv,且
k=0.03N/m?s-1,（ 1）求物体发射到最大高度所需的时间,（ 2）最大高度是多少?
(1)物体 在空中受重力 mg和空气阻力 Fr=kv作用而减速,由牛顿定律得
dt
dvmkvmg
根据始末条件对上式积分,有,
t
v kvmg
dvmdt
0
0
0
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
s
mg
kv
k
mt 11.6)1ln ( 0
(2)利用 的关系代入式 (1),可得,
dy
vd v
dt
dv?
dy
dvmvkvmg
分离变量后积分,
0
0 0v
y
kvmg
m vd vdy
mkv
mg
kvmg
k
my 183])1l n ([
0
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2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态,一昼夜的时间有多长?
按题意有,
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由于物体地球自转时,有向心加速度存在,当提供此加速度的力即为重力时,物体处于失重状态,由向心加速度和角速度的关系就可得一昼夜所需的时间,
则地球自转一天所需的时间为,
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-4 图示一斜面,倾角为 α,底边 AB长为 l=2.1m,质量为 m
的物体 从斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为 μ=0.14.试问,当 α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短?其数值为多少?
取沿斜面为坐标轴 Ox,
原点 O位于斜面顶点,
则由牛顿第二定律有
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该题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系 α=f(t),然后运用对 t求极值的方法即可得出数值来,
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有,
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-8 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成,每一叶片的质量 m=136kg,长 l=3.66m,求当它的转速
n=320r/min时,两个叶片根部的张力,(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片）
螺旋桨旋转时，叶片上各点的加速度不同，在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的，在求叶片根部的张力时，可选取叶片上一小段，分析其受力，列出动力学方程，然后采用积分的方法求解。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答设叶片根部为原点 O，沿叶片背离原点 O的方向，距原点 O为 r处为 dr一小段叶片，其两侧对它的拉力分别为 FT（ r）与 FT（ r+dr）叶片转动时，该小段叶片作圆周运动，由牛顿定律有
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负号表示张力方向与坐标方向相反,
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-9在一只半径为 R的半球形碗内，有一粒质量为 m
的小钢球。当钢球以角速度 ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗旅底有多高？
维持钢球在水平面内作匀角速度转动时，必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力
（向心力），而该力是由碗内壁对球的支持力 FN的分力来提供的，由于支持为 FN始终垂直于碗内壁，所以支持力的大小和方向是随 ω而变的。取图示 Oxy坐标，列出动力学方程，即可求解钢球距碗底的高度。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
P?
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取钢球为隔离体,其受力分析如图所示,在图示坐标中列动力学方程,
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由上述各式可解得钢球距离碗底的高度为,
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可见,h随 的变化而变化,?
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-10一质量为 m的小球最初位于如图 2-10(a)所示的 A点，
然后沿半径为 r的光滑圆轨道 ADCB下滑。试求小球到达点 C时的角速度和对圆轨道的作用力。
该题可由牛顿第二定律求解。在取自然坐标的情况下，沿圆弧方向的加速度就是切向加速度
at，与其相对应的外力 Ft是重力的切向分量
mgsinα,而与法向加速度 an相对应的外力是支持力 FN和重力的法向分量 mgcos α.由此，可分别列出切向和法向的动力学方程 Ft=mdv/dt和
Fn=man.由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的，因此，需应用积分求解，为使运算简便，
可转换积分变量。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答小球在运动过程是受到重力 P和圆轨道对它的支持力 FN,取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得,
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代入 (1)式,并根据小球从点 A运动到点 C的始末条件,进行积分,有,
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
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则小球在点 C的角速度为,
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-12一质量为 10kg的质点在力 F=（ 120N.s-1)t+40N
的作用下，沿 x轴作直线运动。在 t=0时，质点位于
x=5.0m处，其速度 vo=6.0m.s-1.求质点在任意时刻的速度和位置。
这是在变力作用下的动力学问题。由于力是时间的函数，而加速度 a=dv/dt，这时，动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程，
解此微分方程可得质点的速度 v(t)；由速度的定义 v=dx/dt，用积分的方法可求出质点的位置。
第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答因加速度,在直线运动中,根据牛顿定律有,
dt
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依据质点运动的初始条件,即 t0=0时,v0=6.0m·s-2,运用分离变量法对上式积分,得,
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又因 v=dx/dt,并由质点运动的初始条件,t0=0时
x0=5.0m,对上式分离变量积分,有
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-13轻型飞机连同驾驶员总质量为 1.0× 103kg,飞机以
55.0m?s-1的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,
若阻力与时间成正比,比例系数 α =5.0× 102 N?s-1,求
(1)10s后飞机的速率 ;(2)飞机着陆后 10s内滑行的距离,
飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动,其水平方向所受制动力 F为变力,
且是时间的函数,在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解,
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因此,飞机着陆 10s后的速率为,10.30 smv
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-15 自地球表面垂直上抛一物体,要使它不返回地面,其初速度最小为多少?(略去空气阻力作用 )
要使竖直上抛物体能脱离地球不再返回地面,
即使其离开地球引力的范围,其速度 V≥0,为此,
可根据物体在地球引力场中的动力学方程导出
V-r关系加以讨论,就可确定脱离地球引力场所需的最小初速度即逃逸速度,
由动力学方程得,
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
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第二章 牛顿定律 部分习题分析与解答
2-16 质量为 45.0kg的物体,由地面以初速 60.0m?s-1
竖直向上发射,物体受到空气的阻力为 Fr=kv,且
k=0.03N/m?s-1,（ 1）求物体发射到最大高度所需的时间,（ 2）最大高度是多少?
(1)物体 在空中受重力 mg和空气阻力 Fr=kv作用而减速,由牛顿定律得
dt
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根据始末条件对上式积分,有,
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