第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-4 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为 I，它们在点 O的磁感强度各为多少？
解,(a)长直电流对点 O而言，有 Idr=0，因此它在点
O产生的磁场为零，则点 O处总的磁感强度为 1/4圆弧电流所激发，故有
R
IB
8
0
0
方向垂直纸面向外。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
(b)将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理得
R
I
R
IB
22
00
0
方向垂直纸面向里。
(c)将载流导线看作 1/2圆电流和两段半无限长直电流，
由叠加原理可得
R
I
R
I
R
I
R
I
R
IB
24444
00000
0
方向垂直纸面向外。
11-5 由导线弯成的 n边正多边形，其外接圆半径为 R，假设导线内的电流强度为 I.(1)证明中心 O处的磁感强度 B为第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
)(
2
0
n
tg
R
nIB?
(2)证明当 n →∞ 时,B等于载流圆环中心的磁感强度,
证,(1)将载流导线分解成如图所示的 n段等长的载流直导线，根据磁场的叠加原理，可求得点 O的磁感强度 B。
第 i段载流直导线在 O点的磁感强度为：
)]22c o s ()22[ c os (4 0 rIB i
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
)2s in (2 0 rIB i
Bi的方向垂直纸面向外,n段等长的载流直导线在点
O激发的磁场方向相同，因而点 O的磁感强度大小为：
inBB?由几何关系 r=Rcos(Δφ/2)和 Δφ=2π/n，代入并整理，得
)(2 0 ntgRnInBB i
(2)当 n →∞ 时,正 n边形趋于半径为 R的外接圆，由上式可得点 O的磁感强度 B的值为
R
I
n
n
n
R
I
n
tg
R
nI
BB
nn
i
n 2
)(
)s i n (
)c o s (
1
2
lim)(
2
limlim 000
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-7 如图所示，半径为 R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为 I，求球心 O处的磁感强度。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答解：作截面 Oxy与线圈正交，由于导线单层均匀覆盖在半球面上，沿圆周单位长度的线圈匝数为 N/(0.5πR).
现将半球面分割为无数薄圆盘片，则任一薄圆盘片均可等效为一个圆电流，由于每个薄圆盘片上的电流在球心 O产生的磁感强度方向一致，则球心 O的磁感强度为所有薄圆盘片的磁感强度的总和。
IRdRNI d NdI2为：任一薄圆盘片中的电流
)2211(
)(2 3/222
2
0 结论节例第处激发的磁场为：任一该圆电流在球心
dI
yx
y
dB
O
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
RdRNyx IyBBO 2)(2 3/222
22/
0
0?
为：处总的磁感强度球心
s i nc o s RyRx,又由于：
R
NId
R
NIB
4s i n
022/
0
0
磁感强度 B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
11-8 如图所示，一宽为 b的薄金属板，其电流为 I，试求在薄板的平面上，距板的一边为 r的点 P的磁感强度。
解：在薄金属板所在的平面内，以点 P为原点 O，作 Ox轴，
如下图所示，现将薄金属板分割成宽度为 dx的长直线电流，
其电流为 dI =Idx/b，该线电流在点 P激发的磁感强度第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
P
rb
I
P
dI
x
Odx
O r
B
r
I
2
0
)1ln (2 0 rbrI
x
dIdB
2
0?
所有线电流在点 P激发的磁场方向均相同，因而点 P的磁感强度 B为：
r
br
b
Idx
bx
IdBB br
r
ln
22
00
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答磁感强度的方向垂直纸面向里。
若金属导体板的宽度 b<<r，则
r
I
r
b
r
b
b
I
r
b
b
I
r
br
b
I
B
2
.,,])(
2
1
[
2
)1l n (
2
ln
2
0
2000
这表明，在 b<<r时，可将宽度为 b的载流薄金属板视为载流线。 B的分布曲线如上图所示。
11-10 如图所示，载流长直导线的电流为 I，试求通过矩形面积的磁通量。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
d1
d2
I
l
I
O dx x
解：在矩形平面上取一矩形面元 dS=ldx，如图所示，
载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
l d xxISdBd2 0
矩形平面的总磁通量：
1
200 ln
22
2
1 d
dIll d x
x
Id
d?
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-13 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为 I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度,(1)r<R1；
(2)R1<r<R2； (3)R2<r<R3； (4) r>R3；画出 B-r图线。
R1 R
2
R3 O
B
r
R1 R2 R3
解：同轴电缆到体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为 r的同心圆为积分路径，则有第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
IrBSdB 02
2
2
1
0
111 2 rR
IrBSdBRr?
r
R
IB
2
1
0
1 2?
IrBSdBRrR 02221 2
r
IB
2
0
2
]
)(
)([2
2
2
2
3
2
2
2
03332 RR
IRrIrBSdBRrR
2
2
2
3
22
30
3 2 RR
rR
r
IB
02443 rBSdBRr 04 B
磁感强度 B(r)的分布曲线如图所示。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-15 电流 I均匀地流过半径为 R的圆形长直导线，
试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量。
解：由题 11-12可得导线内部距轴线为 r处的磁感强度;
2
)( 20
R
IrrB
ldrdS?而第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答单位长度导线内的磁通量为：
42
0
0 2
0 Idr
R
IrR
11-18 如图所示，一根半径为 R
的无限长载流直导体，在导体上有一半径为 R'的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d。导体中有电流 I沿轴向流过，
并均匀分布在横截面上。试用安培环路定理求空腔中心的磁感强度。你能证明空腔中的磁场是均匀磁场吗？
R 2R'
O O'
d
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答解：将如图所示的载流导线看作两根半径分别为 R和 R'的实心圆柱导体，其电流密度 j均为
I/π(R2-R'2),但两导线上电流的流向相反，这相当于在原导体空腔处补上电流密度相同、电流方向相反的两束电流，而
O O'
d
r1 r2
α
β
A
B
C
B1
B2 P
222
0
2
02
00
jr
r
rjBrjrBIldB?
如图所示垂直方向与,re
2
1
2
120
2
10
1 22 r
r
B
BjrBjrB ；即,
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
，因而 由 图 可 知,又 由 于;,2 2 1 1r B r B
据叠加原理,B=B1+B2，由相似三角形的几何关系，有
)(22 22
00
RR
IdjdB
。 空 腔 内 的 磁 强 是 均 匀 场
，所以 的 磁 感 强 度 且点O O B P
OOP A P C?∽
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-21 在一个显像管的电子束中，电子有 1.2× 104eV
的能量，这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动。地球磁场的垂直分量 B⊥ =5.5 × 10-5T,并且方向向下。求,(1)电子束偏转方向； (2)电子束在显像管内通过 20cm到达屏面时光点的偏转距离；
B
x
y
y
O
0v R
O'FLΔx
e
B
v
αM N
解,(1)如图所示，由洛伦兹力 BvqF
可以判断电子束将偏向东方。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
（ 2）在如图所示的坐标中，电子在洛伦兹力作用下，
沿圆周运动，其轨道半径 R为
m
eB
mE
eB
mvR k 71.62
由题知 y=20cm，并由图中的几何关系可得电子束偏向东侧的距离
myRRx 322 1098.2
即显示屏上的图像将整体向东平移近 3mm。这种平移并不影响整幅图像的质量。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-24 试证明霍耳电场强度与稳恒电场强度之比为
neBEE CH //?
这里 ρ为材料电阻率,n为载流子的数密度。
证：在导体内稳恒电场强度为 EC= ρj= ρnev
由霍耳效应知，霍耳电场强度 EH= -v? B
因载流子定向运动方向与磁感强度正交，故 EH= v B，
所以，
neBn e vvBjvBEE CH ////
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-28 如图所示，一根长直导线载有电流 I1=30A，
矩形回路载有电流 I2=20A。试计算作用在回路上的合力。已知 d=1.0cm,b=8.0cm,?=0.12m.
d b
I1 I2
l
I1 I2
F1
F2
F3
F4
解：矩形上、下两端导线所受安培力 F1和 F2大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零。由于载流导线所在处磁感强度不相等，
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答所受的安培力 F3和 F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力。 F3和 F4大小分别为：;
2
210
3 d
lIIF
)(2
210
4 bd
lIIF
故合力的大小为
N
bd
lII
d
lIIFFF 3210210
43 1028.1)(22
合力的方向朝左，指向直导线。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-29 一直流变电站将电压为 500kv的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。已知两输电导线间单位长度的电容为 3.0?10-11F?m-1，若导线间的静电力与安培力正好抵消。求：（ 1）通过输电线的电流；（ 2）输送的功率。
解：单位长度导线上所受的安培力和静电力分别为：;
22
2
00
d
II
d
IIBf
B?
;
2
)(
22 0
2
0
2
0 d
CU
dd
Ef E
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答可得由 0 EB ff
A
CU
I
d
CU
d
I 3
000
22
0 105.4
2
)(
2
（ 2）输出功率
WUIP 91025.2
11-4 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为 I，它们在点 O的磁感强度各为多少？
解,(a)长直电流对点 O而言，有 Idr=0，因此它在点
O产生的磁场为零，则点 O处总的磁感强度为 1/4圆弧电流所激发，故有
R
IB
8
0
0
方向垂直纸面向外。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
(b)将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理得
R
I
R
IB
22
00
0
方向垂直纸面向里。
(c)将载流导线看作 1/2圆电流和两段半无限长直电流，
由叠加原理可得
R
I
R
I
R
I
R
I
R
IB
24444
00000
0
方向垂直纸面向外。
11-5 由导线弯成的 n边正多边形，其外接圆半径为 R，假设导线内的电流强度为 I.(1)证明中心 O处的磁感强度 B为第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
)(
2
0
n
tg
R
nIB?
(2)证明当 n →∞ 时,B等于载流圆环中心的磁感强度,
证,(1)将载流导线分解成如图所示的 n段等长的载流直导线，根据磁场的叠加原理，可求得点 O的磁感强度 B。
第 i段载流直导线在 O点的磁感强度为：
)]22c o s ()22[ c os (4 0 rIB i
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
)2s in (2 0 rIB i
Bi的方向垂直纸面向外,n段等长的载流直导线在点
O激发的磁场方向相同，因而点 O的磁感强度大小为：
inBB?由几何关系 r=Rcos(Δφ/2)和 Δφ=2π/n，代入并整理，得
)(2 0 ntgRnInBB i
(2)当 n →∞ 时,正 n边形趋于半径为 R的外接圆，由上式可得点 O的磁感强度 B的值为
R
I
n
n
n
R
I
n
tg
R
nI
BB
nn
i
n 2
)(
)s i n (
)c o s (
1
2
lim)(
2
limlim 000
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-7 如图所示，半径为 R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为 I，求球心 O处的磁感强度。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答解：作截面 Oxy与线圈正交，由于导线单层均匀覆盖在半球面上，沿圆周单位长度的线圈匝数为 N/(0.5πR).
现将半球面分割为无数薄圆盘片，则任一薄圆盘片均可等效为一个圆电流，由于每个薄圆盘片上的电流在球心 O产生的磁感强度方向一致，则球心 O的磁感强度为所有薄圆盘片的磁感强度的总和。
IRdRNI d NdI2为：任一薄圆盘片中的电流
)2211(
)(2 3/222
2
0 结论节例第处激发的磁场为：任一该圆电流在球心
dI
yx
y
dB
O
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
RdRNyx IyBBO 2)(2 3/222
22/
0
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为：处总的磁感强度球心
s i nc o s RyRx,又由于：
R
NId
R
NIB
4s i n
022/
0
0
磁感强度 B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
11-8 如图所示，一宽为 b的薄金属板，其电流为 I，试求在薄板的平面上，距板的一边为 r的点 P的磁感强度。
解：在薄金属板所在的平面内，以点 P为原点 O，作 Ox轴，
如下图所示，现将薄金属板分割成宽度为 dx的长直线电流，
其电流为 dI =Idx/b，该线电流在点 P激发的磁感强度第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
P
rb
I
P
dI
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Odx
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r
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2
0
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所有线电流在点 P激发的磁场方向均相同，因而点 P的磁感强度 B为：
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br
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Idx
bx
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22
00
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答磁感强度的方向垂直纸面向里。
若金属导体板的宽度 b<<r，则
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这表明，在 b<<r时，可将宽度为 b的载流薄金属板视为载流线。 B的分布曲线如上图所示。
11-10 如图所示，载流长直导线的电流为 I，试求通过矩形面积的磁通量。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
d1
d2
I
l
I
O dx x
解：在矩形平面上取一矩形面元 dS=ldx，如图所示，
载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
l d xxISdBd2 0
矩形平面的总磁通量：
1
200 ln
22
2
1 d
dIll d x
x
Id
d?
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-13 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为 I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度,(1)r<R1；
(2)R1<r<R2； (3)R2<r<R3； (4) r>R3；画出 B-r图线。
R1 R
2
R3 O
B
r
R1 R2 R3
解：同轴电缆到体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为 r的同心圆为积分路径，则有第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
IrBSdB 02
2
2
1
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r
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2
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r
IB
02443 rBSdBRr 04 B
磁感强度 B(r)的分布曲线如图所示。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-15 电流 I均匀地流过半径为 R的圆形长直导线，
试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量。
解：由题 11-12可得导线内部距轴线为 r处的磁感强度;
2
)( 20
R
IrrB
ldrdS?而第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答单位长度导线内的磁通量为：
42
0
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0 Idr
R
IrR
11-18 如图所示，一根半径为 R
的无限长载流直导体，在导体上有一半径为 R'的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d。导体中有电流 I沿轴向流过，
并均匀分布在横截面上。试用安培环路定理求空腔中心的磁感强度。你能证明空腔中的磁场是均匀磁场吗？
R 2R'
O O'
d
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答解：将如图所示的载流导线看作两根半径分别为 R和 R'的实心圆柱导体，其电流密度 j均为
I/π(R2-R'2),但两导线上电流的流向相反，这相当于在原导体空腔处补上电流密度相同、电流方向相反的两束电流，而
O O'
d
r1 r2
α
β
A
B
C
B1
B2 P
222
0
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如图所示垂直方向与,re
2
1
2
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10
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r
B
BjrBjrB ；即,
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
，因而 由 图 可 知,又 由 于;,2 2 1 1r B r B
据叠加原理,B=B1+B2，由相似三角形的几何关系，有
)(22 22
00
RR
IdjdB
。 空 腔 内 的 磁 强 是 均 匀 场
，所以 的 磁 感 强 度 且点O O B P
OOP A P C?∽
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-21 在一个显像管的电子束中，电子有 1.2× 104eV
的能量，这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动。地球磁场的垂直分量 B⊥ =5.5 × 10-5T,并且方向向下。求,(1)电子束偏转方向； (2)电子束在显像管内通过 20cm到达屏面时光点的偏转距离；
B
x
y
y
O
0v R
O'FLΔx
e
B
v
αM N
解,(1)如图所示，由洛伦兹力 BvqF
可以判断电子束将偏向东方。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
（ 2）在如图所示的坐标中，电子在洛伦兹力作用下，
沿圆周运动，其轨道半径 R为
m
eB
mE
eB
mvR k 71.62
由题知 y=20cm，并由图中的几何关系可得电子束偏向东侧的距离
myRRx 322 1098.2
即显示屏上的图像将整体向东平移近 3mm。这种平移并不影响整幅图像的质量。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-24 试证明霍耳电场强度与稳恒电场强度之比为
neBEE CH //?
这里 ρ为材料电阻率,n为载流子的数密度。
证：在导体内稳恒电场强度为 EC= ρj= ρnev
由霍耳效应知，霍耳电场强度 EH= -v? B
因载流子定向运动方向与磁感强度正交，故 EH= v B，
所以，
neBn e vvBjvBEE CH ////
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-28 如图所示，一根长直导线载有电流 I1=30A，
矩形回路载有电流 I2=20A。试计算作用在回路上的合力。已知 d=1.0cm,b=8.0cm,?=0.12m.
d b
I1 I2
l
I1 I2
F1
F2
F3
F4
解：矩形上、下两端导线所受安培力 F1和 F2大小相等，方向相反，对不变形的矩形回路来说，两力的矢量和为零。由于载流导线所在处磁感强度不相等，
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答所受的安培力 F3和 F4大小不同，且方向相反，因此线框所受的力为这两个力的合力。 F3和 F4大小分别为：;
2
210
3 d
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)(2
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4 bd
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故合力的大小为
N
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43 1028.1)(22
合力的方向朝左，指向直导线。
第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答
11-29 一直流变电站将电压为 500kv的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。已知两输电导线间单位长度的电容为 3.0?10-11F?m-1，若导线间的静电力与安培力正好抵消。求：（ 1）通过输电线的电流；（ 2）输送的功率。
解：单位长度导线上所受的安培力和静电力分别为：;
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第十一章 稳恒磁场 部分习题分析与解答可得由 0 EB ff
A
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（ 2）输出功率
WUIP 91025.2
