第七章 风险机制金融市场的风险机制是指风险通过影响金融市场的参与者的利益而约束其行为的过程。它是金融市场籍以发挥其功能的重要机制之一。
第一节 金融风险的定义和种类
一、金融风险的定义金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。从风险的定义可以看出，可能值可能低于也可能高于期望值，因此风险绝不是亏损的同义词，风险中既包含对市场主体不利的一面，也包含着有利的一面。换句话说，风险大的金融资产，其最终实际收益率并不一定比风险小的金融资产低，而常常是风险大收益也大，故有收益与风险相当之说。
二、金融风险的种类
金融风险的种类很多，按其来源可分为货币风险、利率风险、流动性风险、信用风险、市场风险和营运风险；按会计标准可分为会计风险和经济风险；按能否分散可分为系统性风险和非系统性风险。
(一)按风险来源分类
1．货币风险又称为外汇风险，指源于汇率变动而带来的风险。汇率风险又可细分为交易风险和折算风险，前者指因汇率的变动影响日常交易的收入，后者指因汇率的变动影响资产负债表中资产的价值和负债的成本。
2．利率风险指源于市场利率水平的变动而对证券资产的价值带来的风险。一般来说，利率的上 升会导致证券价格的下降，利率的下降会导致证券价格的上升。在利率水平变动幅度相同的情况下，长期证券受到的影响比短期证券的更大。货币风险和利率风险也通称之为价格风险。
3．流动性风险指源于金融资产变现的风险。证券的流动性主要取决于二级证券市场的发达程度和证券本身期限的长短。
4,信用风险又称为违约风险，指证券发行者因倒闭或其他原因不能履约而给投资者带来的风险。
5．市场风险指由于证券市场行情变动而引起投资实际收益率偏离预期收益率的可能性。当出现看涨行情时，多数的证券价格通常会上涨；当出现看跌行情时，多数证券价格通常会下跌。
6．营运风险指源于日常操作和工作流程失误而带来的风险，随着证券交易对电子技术的依赖程度的不断加深，营运风险变得越来越复杂。
(二)按会计标准分类
1．会计风险指从一个经济实体的财务报表中反映出来的风险。会计风险可以根据现金流量、资产负债表的期限结构、币种结构等信息进行客观的评估。
2．经济风险是对一个经济实体的整体运作带来的风险，因而比会计风险的范围更广。比如某企业的一笔浮动利率负债由于利率的上升而导致借款成本的上升，反映在财务报表上借款成本的上升就是会计风险，但是利率上升对该企业的影响可能远不止这些，供给商可能会要求提前支付你欠的货款，而顾客可能会要求延期支付欠你的货款，这将会使企业的现金流量恶化，导致更多的借款和支付更高的利息。从宏观经济来看，利率的提高可能会导致整个经济的衰退，减少个人的消费需求和企业的投资需求；利率的提高还可能导致外国套利的短期资本的流入，从而导致本币的升值，降低本国企业出口商品的竞争能力，所有这些因素都必须考虑在经济风险之内。
(三)按能否分散分类
1．系统性风险是由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的，这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动等等。这一部分风险影响所有金融变量的可能值，因此不能通过分散投资相互抵消或者削弱，因此又称为不可分散风险。换句话说，即使一个投资者持有一个充分分散化的组合也要承受这一部分风险。
2．非系统性风险是一种与特定公司或行业相关的风险，它与经济、政治和其他影响所有金融变量的因素无关。例如：一个新的竞争者可能开始生产同样的产品，一次技术突破使一种现有产品消亡。通过分散投资，非系统性风险能被降低;而且，如果分散是充分有效的，这种风险还能被消除，因此，又称为可分散风险。正由于此，在证券投资的风险中，重要的是不可避免的系统性风险。后面我们将进一步讨论系统性风险和非系统性风险的问题。
投资收益和风险的衡量
一、单个证券收益和风险的衡量
证券投资的收益有两个来源，即股利收入(或利息收入)加上资本利得（或资本损失）。比如在一定期间进行股票投资的收益率，等于现金股利加上价格的变化，再除以初始价格。假设投资者购买了100元的股票，该股票向投资者支付7元现金股利。一年后，该股票的价格上涨到106元。这样，该股票的投资收益率是（7+6）/100=13%。
因此证券投资单期的收益率可定义为：
（7.1）
其中：R是收益率，t指特定的时间段，Dt是第t期的现金股利（或利息收入），Pt是第t期的证券价格，P t-1 是第t-1期的证券价格。在公式（7.1）的分子中，括号里的部分（Pt- P t-1）代表该期间的资本利得或资本损失。
由于风险证券的收益不能事先确知，投资者只能估计各种可能发生的结果（事件）及每一种结果发生的可能性（概率），因而风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示：
（7.2）
其中：为预期收益率，Ri是第i种可能的收益率，Pi是收益率Ri发生的概率，n是可能性的数目。
预期收益率描述了以概率为权数的平均收益率。实际发生的收益率与预期收益率的偏差越大，投资于该证券的风险也就越大，因此对单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差来表示，标准差σ可用公式表示成：
(7.3)
标准差的直接含义是，当证券收益率服从正态分布时，三分之二的收益率在±σ范围内，95%的收益率在±2σ范围之内。下面通过一个例子来说明预期收益率和标准差的计算。
表7－1 某证券收益的概率、预期收益率和标准差
……………………………………………………………………………………………
预期收益率（）计算 方差（）计算
可能的收益率Ri 概率Pi ………………………… ………………………
（Ri）（Pi） （Ri-）2（Pi）
………………………………………………………………………………………………
-0.10 0.05 -0.005 (-0.10-0.09)2(0.05)
-0.02 0.10 -0.002 (-0.02-0.09)2(0.10)
0.04 0.20 0.008 (0.04 - 0.09)2(0.20)
0.09 0.30 0.027 (0.09 - 0.09)2(0.30)
0.14 0.20 0.028 (0.14 - 0.09)2(0.20)
0.20 0.10 0.020 (0.20 - 0.09)2(0.10)
0.28 0.05 0.014 (0.28 - 0.09)2(0.05)
标准差=(0.00703)0.5=0.0838=σ
………………………………………………………………………………………………
在表（7－1）所示的可能收益率分布中，它的预期收益率等于9%，标准差为8.38%。
二、证券组合收益和风险的衡量
到目前为止，我们仅讨论了单项投资的风险和收益。但实际上，投资者很少把所有财富都投资在一种证券上，而是构建一个证券组合，下面讨论证券组合收益和风险的衡量。
双证券组合收益和风险的衡量假设投资者不是将所有资产投资于单个风险证券上，而是投资于两个风险证券，那么该风险证券组合的收益和风险应如何计量呢？假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和B，其投资比重分别为XA和XB,XA+XB=1，则双证券组合的预期收益率P等于单个证券预期收益A和B以投资比重为权数的加权平均数,用公式表示:
P=XAA+XBB （7.5）
由于两个证券的风险具有相互抵消的可能性,双证券组合的风险就不能简单的等于单个证券的风险以投资比重为权数的加权平均数。用其收益率的方差σP2表示,其公式应为:
σP2=XA2σA2+ XB 2σB2+2XAXBσAB （7.6）
式中σAB为证券A和B实际收益率和预期收益率离差之积的期望值，在统计学中称为协方差，协方差可以用来衡量两个证券收益之间的互动性,其计算公式为：
σAB=(i（RAi-A）（RBi-B）Pi （7.7）
正的协方差表明两个变量朝同一方向变动的,负的协方差表明两个变量朝相反方向变动。两种证券收益率的协方差衡量这两种证券一起变动的程度。
表示两证券收益变动之间的互动关系，除了协方差外,还可以用相关系数ρAB表示，两者的关系为：
ρAB=σAB/σAσB （7.8）
相关系数的一个重要特征为其取值范围介于-1与+1之间，即-1≤ρAB≤+1。
因此公式（7.6）又可以写成：
σP2=XA2σA2+ XB 2σB2+2XAXBρABσAσB （7.9）
当取值为-1时，表示证券A、B收益变动完全负相关;当取值为+1时表示证券A、B完全正相关;当取值为0时，表示完全不相关。当0<ρAB<1时，表示正相关;当-1<ρAB<0时，表示负相关。如图7-1所示：
B的收益 B的收益 B的收益
,…,
A的收益 A的收益,,..,,,A的收益
,…,.
（a）完全正相关 （b）完全负相关 （c）不相关（此图要改）
图7-1 相关系数的三种典型情况从公式（7.6）至（7.9）可以看出，当ρ=1时，σP=XAσA+ XB σB。而当ρ<1时，σP<XAσA+ XB σB。特别地，当ρ=-1时，σP=(XAσA-XB σB(。
根据上面的分析可知，双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险（用方差或者标准差表示）,还取决于每两个证券之间的互动性（用协方差或相关系数表示）。
为了更好地理解分散化对于降低风险的作用，我们举个例子。假设市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。某投资者决定用这两只证券组成投资组合。
根据公式（7.5）和（7.6），组合的预期收益率和方差为：
P=XAA+XBB
σP2=XA212%2+ XB 220%2+2XAXB(0.3(12%(20%
=0.0144 XA2+0.04 XB 2+0.0144% XAXB
表7.2显示了不同权重下组合的预期收益率和标准差。从表中的第3和第6列可以看出，当证券A的权重从0逐步提高到1（相应地，证券B的权重从1逐步降低到0）时，组合的预期收益率从13%逐步降到8%，而组合的标准差也逐步从20%逐步降低后又回升到12%。其中，当XA=0.82,XB=1-0.82=0.18时，组合的标准差最低，为11.45%。权重的改变对组合预期收益率和标准差的影响如图8-2和8-3所示。具体计算方法也可参阅本书所附光盘的Excel模板（标题为第9章 两证券模型）。
表7－2 不同相关系数下投资组合的预期收益率和标准差
给定相关系数下投资组合的标准差(%)
XA
XB
预期收益率(%)
=-1
=0
=0.3
=1
0
1
13
20
20
20
20
0.1
0.9
12.5
16.8
18.04
18.4
19.2
0.2
0.8
12
13.6
16.18
16.88
18.4
0.3
0.7
11.5
10.4
14.46
15.47
17.6
0.4
0.6
11
7.2
12.92
14.2
16.8
0.5
0.5
10.5
4
11.66
13.11
16
0.6
0.4
10
0.8
10.76
12.26
15.2
0.7
0.3
9.5
2.4
10.32
11.7
14.4
0.8
0.2
9
5.6
10.4
11.45
13.6
0.9
0.1
8.5
8.8
10.98
11.56
12.8
1
0
8
12
12
12
12
最 小 方 差 组 合
XA
0.625
0.7353
0.82
-
XB
0.375
0.2647
0.18
-
预期收益率(%)
9.875
9.3235
8.9
-
标准差(%)
0
10.2899
11.4473
-
表7－ 2还给出了不同的相关系数下组合的预期收益率和标准差。从表中可以看出，相关系数对于组合的预期收益率水平是没有影响的。
图7-2也给出了不同相关系数下投资权重对组合标准差的影响。从图7-2可以看出，除了完全相关（?=1）外，最低方差组合的标准差均低于A、B两种证券的标准差。这充分说明了多样化的好处。
图7-2 投资权重与组合的预期收益率
图7-3 投资权重与组合的标准差
将图7-2和7-3结合起来看，我们可以得到一个能更直观地反映分散化效果的图形，如图7-4所示。从图中可以看出，当ρ=1时，双证券A、B组合P的收益和风险关系落在AB直线上（具体在那一点决定于投资比重XA和XB）;当ρ<1时，代表组合P的收益和风险所有点的集合是一条向后弯的曲线，表明在同等风险水平下收益更大，或者说在同等收益水平下风险更小，ρ越小，往后弯的程度越大;ρ=-1，是一条后弯的折线。
B
A
图7-4 双证券组合收益、风险与相关系数的关系
三个证券组合的收益和风险的衡量假设X1、X2、X3分别为投资于证券1、证券2、证券3的投资百分比，X1+X2+X3=1,1、2、3为其预期收益，σ12、σ22、σ32为方差，σ12、σ13、σ23为协方差，则三证券组合的预期收益率P为：
P=X11+X22+X33 （7.10）
三风险证券组合的风险为：
σP2=X12σ12+ X22σ22+ X32σ32+2X1X2σ12+2X1X3σ13+2X2X3σ23 （7.11）
(三)N个证券组合收益和风险的衡量
N个证券组合的收益由上面的分析可知,证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式表示：
（7.12）
其中：Xi是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数，i是证券i的预期收益率，n是证券组合中不同证券的总数。
2．N个证券组合的风险证券组合的风险(用标准差表示)的计算就不能简单地把组合中每个证券的标准差进行加权平均而得到，其计算公式为：
（7.13）
其中：n是组合中不同证券的总数目，Xi和 Xj分别是证券i和证券j投资资金占总投资额的比例，σij是证券i和证券j可能收益率的协方差。
公式（7.13）也可以用矩阵来表示，双加号∑∑意味着把方阵（n×n）的所有元素相加，假定n等于4，即该证券组合的方差为以下矩阵中各元素之和，该矩阵称为方差-协方差矩阵（Variance - Covariance Matrix）。
第一列 第二列 第三列 第四列第一行 X1X1σ1,1 X1X2σ1,2 X1X3σ1,3 X1X4σ1,4
第二行 X2X1σ2,1 X2X2σ2,2 X2X3σ2,3 X2X4σ2,4
第三行 X3X1σ3,1 X3X2σ3,2 X3X3σ3,3 X3X4σ3,4
第四行 X4X1σ4,1 X4X2σ4,2 X4X3σ4,3 X4X4σ4,4
由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。这一点可以通过考察方差-协方差矩阵看出来。在一个由两个证券组成的组合中，有两个加权方差和两个加权协方差。但是对一个大的组合而言，总方差主要取决于任意两种证券间的协方差。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。
现举例说明如何利用公式（7.13）计算证券组合的方差和标准差。假定某一股票年预期收益率为16%，标准差为15%，另一股票年预期收益率为14%，标准差为12%，两种股票的预计相关系数为0.4，每种股票投资的金额各占一半，那么证券组合的预期收益率是：
=0.5×16%+0.5×14%=15%
证券组合的方差等于下面的方差-协方差距阵的所有元素的加总。
第1种股票 第2种股票第1种股票 (0.5)2×1.0×(0.15)2 0.5×0.5×0.4×0.15×0.12
第2种股票 0.5×0.5×0.4×0.12×0.15 (0.5)2×1.0×(0.12)2
因此
σ2= (0.5)2×1.0×(0.15)2+2×0.5×0.5×0.4×0.12×0.15+ (0.5)2×1.0×(0.12)2
=0.012825
σ=[0.012825]0.5=11.3%
从上例可知，只要两种证券的相关系数小于1，证券组合的标准差就要小于两种证券的标准差的加权平均数0.5(15%+0.5(12%=13.5%。实际上，不论证券组合中包括多少种证券，只要证券组合中每对证券间的相关系数小于1，证券组合的标准差就会小于单个证券标准差的加权平均数，这意味着只要证券的变动不完全一致的，单个有高风险的证券就能组成一个只有中低风险的证券组合。
三、系统性风险的衡量
由于非系统性风险可以通过有效的证券组合来消除,所以当一个投资者拥有一个有效的证券组合时,他(或她)所面临的就只有系统性风险了。那么如何衡量这个系统性风险呢？
如果我们把证券市场处于均衡状态时的所有证券按其市值比重组成一个“市场组合”，这个组合的非系统性风险将等于零(。这样我们就可以用某种证券的收益率和市场组合收益率之间的β系数作为衡量这种证券系统性风险的指标。某种证券的β系数βi指的是该证券的收益率和和市场组合的收益率的协方差σim，再除以市场组合收益率的方差σm2，其公式为：
βi=σim /σm2 (7.14)
由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的β系数βi等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占整个组合总价值得比重Xi,其公式为:
(7.15)
如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险跟市场组合的系统性风险完全一样;如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合;如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场组合;如果β系数等于0,说明没有系统性风险。
证券组合与分散风险
“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”，如果将这句古老的谚语应用在投资决策中，就是说不要将所有的钱投资于同一证券上，通过分散投资可以降低投资风险，这是一个非常浅显易懂的道理。那么，应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢？将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢？
如前所述，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于两个证券收益的协方差或相关系数，而协方差或相关系数起着特别重要的作用。因此投资者建立的证券组合就不是一般地拼凑，而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。
当我们利用长时期的历史资料比较一个充分分散的证券组合和单一股票的收益和风险特征时，就会发现有个奇怪的现象。例如，在1989年1月至1993年12月间，IBM股票的月平均收益率为-0.61%，标准差为7.65%。而同期标准普尔500（S&P500）的月平均收益率和标准差分别为了1.2%和3.74%，即虽然IBM收益率的标准差大大高于标准普尔500指数的标准差，但是其月平均收益率却低于标准普尔500指数的月平均收益率。为什么会出现风险高的股票其收益率反而会低的现象呢？
原因在于每个证券的全部风险并非完全相关，构成一个证券组合时，单一证券收益率变化的一部分就可能被其他证券收益率反向变化所减弱或者完全抵消。事实上，可以发现证券组合的标准差一般都低于组合中单一证券的标准差，因为各组成证券的总风险已经分散化而大量抵消。只要通过分散化就可以使总风险大量抵消，我们就没有理由使预期收益率与总风险相对应；与投资预期收益率相对应的只能是通过分散投资不能相互抵消的那一部分风险，即系统性风险。
根据证券组合预期收益率和风险的计算公式可知,不管组合中证券的数量是多少,证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会影响到组合的收益率。但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明显。当然，在现实的证券市场上，大多数情况是各个证券收益之间存在一定的正相关关系，相关的程度有高有低。有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，以保证在一定的预期收益率水平上尽可能降低风险。
从理论上讲，一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券，就完全有可能消除所有的风险，但是在现实的证券市场上，各证券收益率的正相关程度很高,因为各证券的收益率在一定程度上受同一因素影响(如经济周期、利率的变化等)，因此，分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除系统性风险。
韦恩(韦格纳(Wayne Wagner)和谢拉(劳(Sheila Lau)根据1960年7月标准普尔的股票质量分级把200种在纽约证券交易所上市的股票样本分成六组，最高质量等级A+构成第一组，依次类推，从每一组股票中随机抽取1至20只股票组成证券组合，计算每一组合从1960年7月至1970年5月十年间的每月收益率，这一工作连续进行十次以减少对单一样本的依赖，然后对十个数值进行平均①。
表7－3 随机抽样A+质量股票组合的风险和分散效果
（1960年6月至1970年5月）
组合中股票数量
平均收益率
（%/月）
标准差
（%/月）
与市场的相关系数R
与市场的决定系数R2
1
0.88
7.0
0.54
0.29
2
0.69
5.0
0.63
0.40
3
0.74
4.8
0.75
0.56
4
0.65
4.6
0.79
0.62
5
0.71
4.6
0.79
0.62
10
0.68
4.2
0.85
0.72
15
0.69
4.0
0.88
0.77
20
0.67
3.9
0.89
0.80
资料来源：Wagner,W.,and S,Lau,1971,“The Effect of Diversification on Risks,” Financial Analyst Journal,November –December,P53,
表7－3中的决定系数R2为相关系数的平方值，其取值范围从0到1，它用以衡量证券组合的收益率变动（用方差表示）中可归因于市场收益率的比例，剩下的风险是组合所特有的风险，因此，一个证券组合的R2越接近1，这个组合越得到了充分地分散。从表中的数据可知：
1．一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只数无关，证券组合的风险随着股票只数的增加而减少。当股票组合从一只扩大到十只股票时，证券组合风险的下降很明显，但是随着组合中股票只数的增加，降低风险的边际效果在迅速递减，特别是当持有的股票超过10只时，下降的风险变得微乎其微。
2．平均而言，由随机抽取的20只股票构成的股票组合的总风险降低到只包含系统性风险的水平，单个证券风险的40%被抵消，这部分风险就是非系统性风险。
3．一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市场收益率的走向密切相关。其波动性或不确定性基本上就是市场总体的不确定性。投资者不论持有多少股票都必须承担这一部分风险。
根据以上的分析，证券组合包含证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系，可用图7-5来表示：
组合收益率标准差
非系统性风险
总风险
系统性风险
组合中证券的数量
图7-5 证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系
第四节 风险偏好和无差异曲线
对于任何一项投资而言，风险和收益都是一双孪生兄弟，那么风险和收益在投资者的投资决策中到底充当什么角度呢？风险机制如何发挥作用呢？这是本节和下一章将要着重论述的重点。
一、不满足性和厌恶风险
1952年，马科维茨（Harry M,Markowitz）发表了一篇具有里程碑意义的论文①，标志着现代投资组合理论的诞生，该理论对投资者对于收益和风险的态度有两个基本的假设：一个是不满足性，另一个就是厌恶风险。
（一）不满足性现代投资组合理论假设，投资者在其他情况相同的两个投资组合中进行选择时，总是选择预期回报率较高的那个组合。换句话说，在一期投资的情况下，投资者用同样的期初财富来投资，总是偏好获得较多的期末财富。这是因为较多的期末财富可为投资者未来提供更多的消费，从而获得更多的满足。
不满足性假设意味着，给定两个相同标准差的组合，如图7-6中的A和E，投资者将选择具有较高预期收益率的组合（A）。
A F
E
图7-6 不满足性、厌恶风险与投资组合的选择
（二）厌恶风险现代投资组合理论还假设：投资者是厌恶风险的（Risk Averse），即在其它条件相同的情况下，投资者将选择标准差较小的组合。
厌恶风险的假设意味着风险带给投资者的是负效用，因此如果没有收益来补偿，投资者是不会无谓冒风险的，例如，掷硬币赌博，正面你赢100元，反面你输100元，由于正反面的概率各为50%，因此这种赌博的预期收益率为0，而风险是很大的。显然，厌恶风险的投资者将拒绝进行这样的赌博，因为可能的“赢”带来的愉快程度小于可能的“输”带来的不愉快程度。
与厌恶风险的投资者相对应的风险中性（Risk-Neutral）和爱好风险的投资者(Risk Lover)。前者对风险的高低漠不关心，只关心预期收益率的高低。对后者而言，风险给他带来的是正效用，因此在其他条件不变情况下他将选择标准差大的组合。
在正常情况下，理性的投资者的确是厌恶风险的。但在某些极端的情况下，理性的投资者也可能是爱好风险的。例如，如果你身无分文，并欠别人1 000万元。此时若有人要与你掷硬币赌博，正面你赢1 000万元，反面你输1000万元。虽然其预期收益率为0。但你很可能会选择赌。因为若赌赢了，你就一身轻松了；若赌输了，你无非多欠人1000万元而已。
二、无差异曲线投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用（Utility）取决于投资的预期收益率和风险，其中预期收益率带来正的效用，风险带来负的效用。
对于一个不满足和厌恶风险的投资者而言，预期收益率越高，投资效用越大；风险越大，投资效用越小。
然而，不同的投资者对风险的厌恶程度和对收益的偏好程度是不同的，为了更好地反映收益和风险对投资者效用的影响程度，我们有必要从引入“无差异曲线”（Indifference Curve）的概念。
一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合。由于风险给投资者带来的负效用，而收益带给投资者的是正效用，因此为了使投资者的满足程度相同，高风险的投资必须有高的预期收益率。可见，无差异曲线的斜率是正的，这是无差异曲线的第一个特征，如图7-7所示。
I3 I2
I1
图7-7不满足和厌恶风险者的无差异曲线
无差异曲线的第二个特征是该曲线是下凸的。这意味着，要使投资者多冒等量的风险，给予他的补偿——预期收益率应越来越高。无差异曲线的这一特点是由预期收益率边际效用递减规律决定的。
无差异曲线的第三个特征是，同一投资者有无限多条无差异曲线。 这意味着对于任何一个风险——收益组合，投资者对其的偏好程度都能与其它组合相比。由于投资者对收益的不满足性和对风险的厌恶，因此在无差异曲线图中越靠左上方的无差异曲线代表的满足程度越高。投资者的目标就是尽量选择位于左上角的组合。
无差异曲线的第四个特征是，同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。我们可以用反证法加以证明，在图7-8中，假设某个投资者的无差异曲线相交于X点。由于X和A都在I1上，因此X和A给投资者带来的满足程度是相同的。同样，由于X和B者在I2上，因此X和B给投资者带来的满足程度也是相同的。这意味着，A和B给投资者带来的满足程度一定相同。然而我们以图中可以看出，B的预期收益率高于A，而风险都小于A。根据不满足性和厌恶风险的假设，B的满足程度一定大于A，这就产生了自相矛盾。显然上述假设不成立，即两条无差异曲线不能相交。
I2
I1
X
图7-8 无差异曲线相交
无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率，斜率越高，表明为了让投资者多冒同样的风险，必须给他提供的收益补偿也应越高，说明该投资者越厌恶风险。同样，斜率越小，表明该投资者厌恶风险程度较轻。图7-9用图形方式表示了三种不同程度厌恶风险的投资者的无差异曲线。
I3 I3
I2 I2 I3
I1 I1 I2
I1
（a） （ｂ） （ｃ）
图7-9 不同程度厌恶风险者的无差异曲线
三、投资者的投资效用函数为了更精确地衡量风险和预期收益对投资者效用水平的影响，我们可以引进投资效用函数（U）：
（7.16）
其中表示预期收益率，表示标准差（风险）。
在各种各样效用函数中，目前在金融理论界使用最为广泛的是下列投资效用函数：
（7.17）
其中A表示投资者的风险厌恶度，其典型值在2至4之间。
在一个完美的市场中，投资者对各种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但由于不同投资者的风险厌恶度不同，因此其投资决策也就不同。
假定一个投资者有两项投资工具可供选择。其中一项是风险资产X，其预期收益率为18.5%，标准差为30%。另一项是无风险资产Y（国库券），其无风险收益率为5%。那么投资者应选择哪项投资呢？若投资于国库券，则效用水平与A无关，恒等于5%。而投资于风险资产的效用水平则取决于投资者的风险厌恶度A。若A=2（激进型投资者），则U=9.5%，由于投资于风险资产的效用水平大于无风险资产，他将选择风险资产。若A=3（温和型投资者），则U=5%，这时他投资于风险资产和无风险资产是无差异的。若A=4（保守型投资者），则U=0.5%，由于投资风险资产的效用水平低于无风险资产，他将选择无风险资产。
在上例中，当投资者的风险厌恶度A等于3时，X和Y给投资者带来的效用水平是一样的，都等于无风险资产的收益率，我们把这个收益率称为X的等价确定收益率（Certainty Equivalent Rate）。不同投资者的风险厌恶度A不同，相同的风险资产对他而言等价确定收益率却不同。可见，准确度量风险厌恶度对投资决策有着重大意义。
为了帮助投资者衡量自己的风险厌恶度，Hube设计了一套问卷和评分体系，分数在9至14分的为保守型投资者，分数在15至21分的为温和型投资者，分数在22至27分的为激进型投资者。问题如下：
在你投资60天后，价格下跌20%。假设所有基本面均未改变，你会怎么做？
为避免更大的担忧，卖掉再试试其他的。
什么也不做，静等收回投资。
再买入。它曾是好的投资，现在也是便宜的投资。
现在换个角度看上面的问题。你的投资下跌了20%，但它是投资组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达成投资目标。
1）如果目标是5年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入
2）如果目标是15年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入
3）如果目标是30年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入在你买入退休基金后1个月，其价格上涨了25%。同样，基本面未变。沾沾自喜之后，你会怎么做？
卖掉锁定收益持有看跌期权并期待更多的收益再买入，因为可能还会上涨你为了15年后退休而投资。你更愿意怎么做？
投资于货币市场基金或有保证的投资契约，放弃获得大量收益的可能性，重点保证本金的安全。
一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望在有些增长的同时，还有固定收入的保障。
投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能会有巨幅波动，但在5或10年后有巨额收益的潜力。
你刚赢得一份大奖。但具体哪一个，由你自己定。
2000美元现金。
50%的机会获得5000美元
20%的机会获得15000美元有一个很好的投资机会刚出现。但你得借钱。你会接受贷款吗？
绝对不会也许会你的公司要向员工出售股票。公司经营者计划在3年内让公司上市。在此之前，你无法卖出股票，也不会得到红利。但当公司上市时你的投资将增殖10倍。你会投资多少钱买这种股票？
一点也不买两个月的工资四个月的工资风险厌恶度打分：
按以下方法将你的答案乘以不同的系数相加，就得出你的总分：
A答案的个数×1分= 分
B答案的个数×2分= 分
C答案的个数×3分= 分总分 分。
本章小结
1．金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。金融风险的种类很多，按其来源可分为货币风险、利率风险、流动性风险、信用风险、市场风险和营运风险；按会计标准可分为会计风险和经济风险；按能否分散可分为系统性风险和非系统性风险。
2．系统性风险是由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的，这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动等等。这一部分风险影响所有金融变量的可能值，因此不能通过分散投资相互抵消或者削弱。非系统性风险是一种与特定公司或行业相关的风险，它与影响所有金融变量的因素无关。通过分散投资，非系统性风险能被降低甚至消除。
3．由于风险证券的收益不能事先确知，投资者只能估计各种可能发生的结果（事件）及每一种结果发生的可能性（概率），因而风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示。对单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差来表示。
4．证券组合的预期收益率就是该组合中各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，证券组合的风险不仅取决于单个证券的风险，而且还取决于各种证券间收益率变化的互动性（用协方差表示）。随着组合中证券数目的增加，在决定组合的风险时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。
5．协方差用以衡量两个证券收益率之间的互动性。正的协方差表明两个变量朝同一方向变动的，负的协方差表明两个变量朝相反方向变动。此外，表示两证券收益率的互动关系还可以用相关系数ρ表示，相关系数的一个重要特征为其取值范围介于-1与+1之间。当取值为-1时，表示证券收益变动完全负相关;当取值为+1时表示证券完全正相关;当取值为0时，表示完全不相关。当0<ρ<1时，表示正相关;当-1<ρ<0时，表示负相关。
6．β系数是衡量一个证券系统性风险的重要指标，证券组合的β系数等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占组合总价值的比重。 如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险等于市场组合的风险;如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合的风险;如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场组合的风险;无风险资产的β系数等于0。
7,证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会必然地影响到组合的收益率,但是分散投资可以降低风险，即降低证券组合收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明显。证券组合的风险随着股票只数的增加而减少。对美国股票市场的实证检验表明，当股票组合从一只扩大到十只股票时，证券组合风险的下降很明显，但是随着组合中股票只数的增加，降低风险的边际效果在迅速递减，特别是当持有的股票超过10只时，下降的风险变得微乎其微。
8,投资者的目标是投资效用最大化，投资效用函数取决于投资预期收益和风险，假设投资者厌恶风险，预期收益越高，投资效用越大；风险越大，投资效用越小，据此我们可以得出正斜率的投资者等效用曲线和曲线族。
9,风险组合给厌恶风险的投资者带来的效用可以用该组合的确定等价收益率来衡量。确定等价收益率是指如果投资者可以确定地得到这个收益率，则它所带来的效用与风险组合是相同的。
本章重要概念预期收益率 风险 系统性风险与非系统性风险 会计风险与经济风险 预期收益率 标准差 协方差 相关系数 系数 分散化 证券组合 最小方差组合 不满足性 风险厌恶 风险中性 风险爱好 无差异曲线 效用函数 确定等价收益率
习题：
证券的系统性风险又称为：
（1）预想到的风险；（2）独特的或资产专有的风险；（3）市场风险；（4）基本风险。
证券的非系统性风险又称为：
（1）预想到的风险；（2）独特的或资产专有的风险；（3）市场风险；（4）基本风险。
哪种风险可以通过多样化来消除：
（1）预想到的风险；（2）系统性风险；（3）市场风险；（4）非系统性风险。
下面哪种说法是正确的？
（1）系统性风险对投资者不重要；
（2）系统性风险可以通过多样化来消除；
（3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险；
（4）承担风险的回报取决于系统性风险。
系统性风险可以用什么来衡量？
（1）贝塔系数；（2）相关系数；（3）收益率的标准差；（4）收益率的方差。
你拥有的投资组合30%投资于A股票，20%投资于B股票，10%投资于C股票，40%投资于D股票。这些股票的贝塔系数分别为1.2、0.6、1.5和0.8。请计算组合的贝塔系数。
你的投资组合包含3种证券：无风险资产和2只股票，它们的权重都是1/3，如果其中一只股票的贝塔系数等于1.6，而整个组合的系统性风险与市场是一样的，那么另一只股票的贝塔系数等于多少？
假定投资者的效用函数为：（下同）。投资国库券可以提供7%确定的收益率，而某一资产组合的预期收益率和标准差均为20%。，如果他的风险厌恶度为4，他会作出怎样的投资选择？如果他的风险厌恶度为8呢？
某投资者的效用函数为：。国库券的收益率为6%，而某一资产组合的预期收益率和标准差分别为14%和20%。要使该投资者更偏好风险资产组合，其风险厌恶度不能超过多少？要是该投资者更偏好国库券，其风险厌恶度不能低于多少？
假设股票市场的预期收益率和标准差分别为18%和16%，而黄金的预期收益率和标准差分别为8%和22%。
如果投资者都喜欢高收益、低风险，那么黄金是否可能有人愿意投资？如果愿意的话请用图示原因。
假设黄金和股票市场的相关系数等于1，那么是否还有人愿意持有黄金？如果上述假定的数字都是现实数据，那么此时市场是否均衡？
在以预期收益率为纵轴、标准差为横轴的坐标图上，画出如下投资者的无差异曲线（提示：从0%-25%选择几个可能的标准差的值，在给定效用水平和投资者风险厌恶度下，找出与这些标准差相对应的预期收益率，然后把这些预期收益率和标准差组合点连成一条线。）：
A=2，效用水平等于6%；
A=4，效用水平等于5%；
A=0（风险中性投资者），效用水平等于6%；
A=-2（风险爱好者），效用水平等于6%。
某投资者面临4个风险资产，其预期收益率和标准差如下表所示：
风险资产
1
10%
30%
2
15%
40%
3
20%
20%
4
25%
30%
如果他的风险厌恶度A=4，他会选择哪种资产？
如果他是风险中性者（A=0），他会选择哪种资产？
美国股市过去70年的历史数据表明，S&P500组合年收益率的均值比国库券收益率高8.5%，标准差为每年20%。假设这些数值代表了投资者对未来股市表现的平均预期，而目前国库券收益率为4%。
如果你按下表的权重投资于国库券和S&P500股票，请计算该投资组合的预期收益率和标准差。
国库券的权重
指数的权重
0
1．0
0．2
0．8
0．4
0．6
0．6
0．4
0．8
0．2
1．0
0
如果你的风险厌恶度A=2，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。
如果你的风险厌恶度A=4，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。
在年初，你拥有如下数量的4种证券，这些证券均不发放红利，其当前和预期年末价格为：
证券 股数 当前价格（元） 预期年末价（元）
A 100 50 60
B 200 35 40
C 50 25 50
D 100 100 110
这一年你的投资组合的期望收益率是多少？
15．你正考虑投资于A公司。你估计了该公司股票收益率的概率分布如下：
收益率（%） 概率
－10 0.10
0 0.25
10 0.40
20 0.20
30 0.05
基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。
16．股票A和B的期望收益率和标准差为：
股票 期望收益率（%） 标准差（%）
A 13 10
B 5 18
你购买20 000元股票A，并卖空10 000元的股票B，使用这些资金购买更多的股票A。两种证券间的相关系数为0.25。你的投资组合的期望收益率和标准差是多少？
17．你估计了证券A和B的投资收益率的联合概率分布如下：
证券A（%） 证券B（%） 概率
－10 15 0.15
5 10 0.20
10 5 0.30
20 0 0.35
基于你的估计，计算两种投资间的协方差和相关系数。
18．给定三种证券的方差——协方差矩阵以及每一证券在组合中的权重如下，计算组合的标准差。
证券A 证券B 证券C
证券A 459 －211 112
证券B －211 312 215
证券C 112 215 179
XA=0.5 XB=0.3 XC=0.2
19．你拥有三种证券，估计有如下的收益率的联合概率分布：
状态 证券A (%) 证券B(%) 证券 C (%) 概率
1 －10 10 0 0.30
2 0 10 10 0.20
3 10 5 15 0.30
4 20 －10 5 0.20
如果你的资金有20%投资于证券A，50%于B，30%于C，计算组合的期望收益率和标准差。
20．考虑两种证券，A和B，其标准差分别为30%和40%，如果两种证券的相关系数如下，计算等权数的组合的标准差。
（1） 0.9；
（2） 0.0；
（3）－0.9。
附录A 投资收益与风险的衡量方法的讨论未来收益率的衡量为了衡量投资组合未来的收益率，除了本章介绍的期望值（Mean，或者称为均值）外，还可以用中位数（Median）和众数（Mode）来衡量。
将未来各种可能的收益率由大到小排序，位于数列中心位置的标志值称为中位数。显然，在各种可能的收益率中，大于和小于中位数的个数各占50%。期望值和中位数的区别是显尔易见的。前者是以概率为权数的加权平均数，后者只考虑顺序。因此如果在可能的收益率中有较多极端值时，期望值和中位数就会存在较大差异。例如在考虑一国国民的平均收入时，由于少数人拥有极高的收入，收入的均值就会因为少数人过高的收入而被拉高，而中位数就不存在这个问题。但因为中位数没有考虑各种可能值出现的概率，因此在衡量诸如未来收益率之类的数值时，其缺点也是显而易见的。
众数是出现概率最高的结果。由于众数不是平均的结果，因此以其代表未来收益率时，准确性较差。
因此，目前国内外学术界和理论界在预测未来收益率，通常都使用期望值。
风险的衡量
在衡量风险的各种指标中，目前使用最多的是本章介绍的方差(Variance)和均方差(Standard Deviation)。如果说期望值本身是一阶矩的话，方差就是围绕着期望值的二阶中心矩。
虽然方差是衡量风险的较理想的指标，但也不是完美的指标，仍有一些缺陷。为了说明这个问题，我们看一下图7-10中两只股票收益率的概率分布。
A B
图7-10 投资收益分布的偏斜
在图7-10中，图A和图B是互为镜像的，因此它们的均值和方差相等。如果我们只根据均值和方差来判断投资的好坏，那就可以得出结论，A和B是等价的。但A和B显然是有差别的。A的特征是收益率经常低于期望值，但低的幅度较小；收益率高于期望值的可能性较小，但幅度可能很大。或者说它经常让人失望，但失望程度不大；它不经常让人惊喜，一旦惊喜则经常是大的惊喜。B的情况恰恰相反。当我们谈论风险时，我们实际上担心的是坏的惊喜。从这个意义上说，当面临A、B两种投资机会并只能选一个时，厌恶风险的理性投资者都会选A。
由此可见，我们在进行投资决策时，还要考虑分布的不对称，即偏斜（Skew）。偏斜（M3）是三阶中心矩，它可用下式来衡量：
（7.18）
由于3次方可以保留收益率偏离期望值的符号，因此它可以让我们将好的惊奇与坏的惊奇区分开来。3次方实际上还给大的惊喜以大的权重，从而使偏斜主要由分布中的“长尾”决定。因此，象A这样右偏的分布，其偏斜将是正的，而象B这样的左偏分布，其偏斜将是负的。
推而广之，分布的特征可以用分布的各阶矩来衡量。其中一阶矩（期望值）代表回报，二阶和高阶中心矩代表这种回报的不确定性。所有偶数阶中心矩衡量极端值的大小，它们的值越大代表不确定性越大。而奇数阶中心矩（M3，M5等）则衡量不对称性。正值代表正的偏斜，因此是投资者较喜欢的。如果我们要将所有这些阶矩纳入投资者的效用函数的话，现在最通行的办法就是用下式：
（7.19）
其中bi为正的常数，且i越大，b的值越小。m阶中心矩（Mm）的计算公式为：
（7.20）
值得注意的是，“好”（奇数）阶矩的系数为正，“坏”（偶数）阶矩的系数为负。
从理论上说，我们可以算出无穷阶中心矩。但在实际中，这显然是不现实的。那么投资者到底在投资决策中需要多少阶的中心矩呢？Samuelson(1970)通过证明得到如下结论：在很多重要的场合，期望值和方差的重要性相当，但三阶及其更高阶矩的重要性比期望值和方差小多了。换句话说，忽略比方差高阶的矩并不影响投资决策。Samuelson的理论支持是均值-方差分析如此流行的重要原因。
应该注意的是，Samuelson的证明有个很重要的前提：证券价格的变动是连续的，也就是说，证券价格不会突然跳跃，从而使投资者可以经常调整其投资组合从而使高阶矩变得无关紧要。
但在现实生活中，特别是在像中国股市这样典型的政策市中，股价出现跳跃是常有的事。即使在美国股市，个股价格也常因收购兼并等突发事件而呈跳跃性变动。此外，交易成本的存在也妨碍了投资者经常调整投资组合。所有这些因素都使高阶矩对投资决策产生较大的影响。但由于高阶矩较为复杂，因此在大多数分析中，人们均只考虑均值和方差。本书的投资组合理论也是建立在均值-方差分析是可行的这样一个假定前提下。
正态分布与对数正态分布现代投资组合理论大多假定证券收益率遵循正态分布。这是因为正态分布的特征可以完全用均值和方差来描述，从而与均值-方差分析法相一致。
单个证券的收益率分布显然与正态分布相去甚远。但Fisher 和Lorie (1970)证明了，即使单个证券的收益率分布不是正态的，但充分分散的投资组合的收益率却非常接近正态分布。
由于有限责任的性质决定了证券的价格不可能为负，而正态分布的取值范围为正负无穷大之间，这显然是相互矛盾的。为了解决这对矛盾，我们通常假定证券的连续复利收益率而不是比例收益率遵循正态分布。如果我们用r表示连续复利年收益率，S0表示当前股价，St表示t时刻的股价，t为以年为单位的时间长度，则：
两边取自然对数得：
由于lnS0和t均为常数，因此若r服从正态分布，则lnSt也服从正态分布，或者说St服从对数正态分布。这样S的取值范围就从0到正无穷大，从而与有限责任不会相互矛盾。
习题：
1．Z股票目前市价为10元，某投资咨询公司为该股票的红利和1年后的股价作了如下的情景分析：
情景
概率
现金红利（元）
期末股价（元）
1
0．1
0
0
2
0．2
0．2
2．00
3
0．3
0．4
12．00
4
0．25
0．6
16．00
5
0．15
0．8
25．00
请计算各情景的收益率以及这些收益率的均值、中位数、众数、标准差、三阶中心矩。该股票收益率的概率分布是否有正偏斜？
附录B：
预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计预期收益率、均方差、协方差和相关系数的估计在投资决策中有着举足轻重的作用。这里我们介绍较简单、也较常用的一种经验（Empirical）估计法，即根据过去的实际数据对未来进行估计。
首先，我们要选定样本期的长短。选择一个适当的样本期长度并不是一件简单的事。一般来说，数据越多，估计结果通常越精确。但是，相关经验研究表明，预期收益率、均方差、协方差和相关系数本身会随着时间的变化而变化，因此太老的数据对预测未来的用处可能用处不大。因此一个折中方案是使用最近90至180天的每日收盘股价进行估计。另一个经常使用的原则是选择与使用期相同长度的样本期。更为复杂的方法则是使用GARCH等计量经济方法。
另一个重要的问题是时间应使用日历时间还是交易时间。大量的经验研究结果显示，用交易时间较为合理。
令：n+1为我们选定的样本天数；
Si为在第i天的收盘股价（i=0，1，2，…，n）。
，表示第i天的连续复利收益率，i =1，2，…，n。
则预期收益率的估计值（）就等于ui的均值：
收益率的均方差（）的无偏估计为：
现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为和，均方差分别为，则其协方差（）的无偏估计为：
两种证券的相关系数（）的估计值为：
本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。
应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。
值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：
习题答案：
（3）
（2）
（4）
（4）
(1)
贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95
1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4
对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是：
U=20%-0.5×4×20%2=12%
而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。
对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是：
U=20%-0.5×8×20%2=4%
因此他会选择国库券。
风险资产组合的效用为：
U=14%-0.5A×20%2
国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%2必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%2必须小于6%，即A必须大于4。
（1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和黄金的相 关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。
（2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。
无差异曲线上的点必须满足效用函数：
将A=2，U=6%代入上式得：=6%+2
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
6%
5%
6.25%
10%
7%
15%
8.25%
20%
10%
25%
12.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。
将A=4，U=5%代入上式得：=5%+22
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
5%
5%
5．5%
10%
7%
15%
9．5%
20%
13%
25%
17．5%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。
将A=0，U=6%代入上式得：=6%。
可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。
将A=-2，U=6%代入上式得：=6%-2
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
6%
5%
5．75%
10%
5%
15%
3．75%
20%
2%
25%
-0.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U4所示。
（1）投资者会选择效用最高的风险资产。第1至4种风险资产的效用分别为-8%、-17%、12% 和7%，因此他会选择第3种风险资产。
（2）风险中性者会选择预期收益率最高的第4种风险资产。
（1）组合的预期收益率=国库券的权重×国库券收益率+指数的权重×指数的预期收益率
由于国库券的标准差为0，其与指数的协方差也为0，因此组合的标准差=指数的权重×指数的标准差。计算结果如下表所示。
国库券的权重
指数的权重
组合的预期收益率
组合的标准差
0
1．0
12．5%
20%
0．2
0．8
10．8%
16%
0．4
0．6
9．1%
12%
0．6
0．4
7．4%
8%
0．8
0．2
5．7%
4%
1．0
0
4%
0
（2）当A=2时，组合的效用U=组合的预期收益率-组合的方差，我们有：
国库券的权重
指数的权重
组合的效用（A=2）
0
1．0
8．5%
0．2
0．8
8．24%
0．4
0．6
7．66%
0．6
0．4
6．76%
0．8
0．2
5．54%
1．0
0
4%
可见，你应全部投资于S&P500股票。
（3）当A=4时，组合的效用U=组合的预期收益率-2×组合的方差，我们有：
国库券的权重
指数的权重
组合的效用（A=4）
0
1．0
4．5%
0．2
0．8
5．68%
0．4
0．6
6．22%
0．6
0．4
6．12%
0．8
0．2
5．38%
1．0
0
4%
可见，你应将资金60%投资于S&P500股票，40%投资于国库券。
计算过程如下表所示：
证券
权重
预期收益率
预期收益率*权重
A
0.215054
0.2
0.043010753
B
0.301075
0.14285714
0.043010753
C
0.053763
1
0.053763441
D
0.430108
0.1
0.043010753
小计
1
0.182795699
所以你的投资组合的预期收益率等于18.28%。
计算过程如下表所示：
收益率
概率
收益率*概率
离差平方*概率
-0.1
0.1
-0.01
0.0034225
0
0.25
0
0.00180625
0.1
0.4
0.04
0.00009
0.2
0.2
0.04
0.002645
0.3
0.05
0.015
0.00231125
小计
1
0.085
0.010275
预期收益率
0.085
标准差
0.10136567
该股票的预期收益率与标准差分别为：8.5%和10.14%。
你在A和B上的投资权重分别为150%和-50%。
预期收益率=150%×13%+（-50%）×5%=17%
方差=150%2×10%2+（-50%）2×18%+2×150%×（-50%）×0.25×10%×18%=0.06075
标准差=24.65%
证券A的预期收益率和标准差分别为9.5%和9.99%，证券B的预期收益率和标准差分别为 5.75%和5.31%。
协方差=-0.0052,
相关系数=-0.0052/(9.99%×5.31%)=-0.98
组合的方差=0.52×459+0.32×312+0.22×179
+2×0.5×0.3×(-211)+2×0.5×0.2×112+2×0.3×0.2×215
=130.57
标准差=11.43
A、B、C三种证券的预期收益率分别为：4%、4.5%和7.5%。
组合的收益率=4%×20%+4.5×50%+7.5×30%=5.3%
A、B、C三种证券的方差分别为0.0124、0.005725和0.003625
A、B两种证券的协方差为-0.0073
A、C两种证券的协方差为0.0035
B、C两种证券的协方差为-0.00013
组合的方差=0.22×0.0124+0.52×0.005725+0.32×0.003625
+2×0.2×0.5×(-0.0073)+2×0.2×0.3×0.0035+2×0.5×0.3×(-0.00013)
=0.001176
组合的标准差=3.43%
（1）当相关系数=0.9时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42+2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.1165
组合的标准差=34.13%
(2) 当相关系数=0时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42=0.0625
组合的标准差=25.00%
(3) 当相关系数=-0.9时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42-2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.0085
组合的标准差=9.22%
附录A习题答案：
各情景的收益率为如下表所示：
情景
概率
收益率
1
0．1
-100%
2
0．2
-78%
3
0．3
24%
4
0．25
66%
5
0．15
158%
均值=0.1×(-100%)+0.2×(-78%)+0.3×24%+0.25×66%+0.15×158%=21.8%
中位数=24%
众数=24%
均方差=82.15%
三阶中心矩=0.021081
可见，该股票的概率分布是正偏斜的。
第一节 金融风险的定义和种类
一、金融风险的定义金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。从风险的定义可以看出，可能值可能低于也可能高于期望值，因此风险绝不是亏损的同义词，风险中既包含对市场主体不利的一面，也包含着有利的一面。换句话说，风险大的金融资产，其最终实际收益率并不一定比风险小的金融资产低，而常常是风险大收益也大，故有收益与风险相当之说。
二、金融风险的种类
金融风险的种类很多，按其来源可分为货币风险、利率风险、流动性风险、信用风险、市场风险和营运风险；按会计标准可分为会计风险和经济风险；按能否分散可分为系统性风险和非系统性风险。
(一)按风险来源分类
1．货币风险又称为外汇风险，指源于汇率变动而带来的风险。汇率风险又可细分为交易风险和折算风险，前者指因汇率的变动影响日常交易的收入，后者指因汇率的变动影响资产负债表中资产的价值和负债的成本。
2．利率风险指源于市场利率水平的变动而对证券资产的价值带来的风险。一般来说，利率的上 升会导致证券价格的下降，利率的下降会导致证券价格的上升。在利率水平变动幅度相同的情况下，长期证券受到的影响比短期证券的更大。货币风险和利率风险也通称之为价格风险。
3．流动性风险指源于金融资产变现的风险。证券的流动性主要取决于二级证券市场的发达程度和证券本身期限的长短。
4,信用风险又称为违约风险，指证券发行者因倒闭或其他原因不能履约而给投资者带来的风险。
5．市场风险指由于证券市场行情变动而引起投资实际收益率偏离预期收益率的可能性。当出现看涨行情时，多数的证券价格通常会上涨；当出现看跌行情时，多数证券价格通常会下跌。
6．营运风险指源于日常操作和工作流程失误而带来的风险，随着证券交易对电子技术的依赖程度的不断加深，营运风险变得越来越复杂。
(二)按会计标准分类
1．会计风险指从一个经济实体的财务报表中反映出来的风险。会计风险可以根据现金流量、资产负债表的期限结构、币种结构等信息进行客观的评估。
2．经济风险是对一个经济实体的整体运作带来的风险，因而比会计风险的范围更广。比如某企业的一笔浮动利率负债由于利率的上升而导致借款成本的上升，反映在财务报表上借款成本的上升就是会计风险，但是利率上升对该企业的影响可能远不止这些，供给商可能会要求提前支付你欠的货款，而顾客可能会要求延期支付欠你的货款，这将会使企业的现金流量恶化，导致更多的借款和支付更高的利息。从宏观经济来看，利率的提高可能会导致整个经济的衰退，减少个人的消费需求和企业的投资需求；利率的提高还可能导致外国套利的短期资本的流入，从而导致本币的升值，降低本国企业出口商品的竞争能力，所有这些因素都必须考虑在经济风险之内。
(三)按能否分散分类
1．系统性风险是由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的，这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动等等。这一部分风险影响所有金融变量的可能值，因此不能通过分散投资相互抵消或者削弱，因此又称为不可分散风险。换句话说，即使一个投资者持有一个充分分散化的组合也要承受这一部分风险。
2．非系统性风险是一种与特定公司或行业相关的风险，它与经济、政治和其他影响所有金融变量的因素无关。例如：一个新的竞争者可能开始生产同样的产品，一次技术突破使一种现有产品消亡。通过分散投资，非系统性风险能被降低;而且，如果分散是充分有效的，这种风险还能被消除，因此，又称为可分散风险。正由于此，在证券投资的风险中，重要的是不可避免的系统性风险。后面我们将进一步讨论系统性风险和非系统性风险的问题。
投资收益和风险的衡量
一、单个证券收益和风险的衡量
证券投资的收益有两个来源，即股利收入(或利息收入)加上资本利得（或资本损失）。比如在一定期间进行股票投资的收益率，等于现金股利加上价格的变化，再除以初始价格。假设投资者购买了100元的股票，该股票向投资者支付7元现金股利。一年后，该股票的价格上涨到106元。这样，该股票的投资收益率是（7+6）/100=13%。
因此证券投资单期的收益率可定义为：
（7.1）
其中：R是收益率，t指特定的时间段，Dt是第t期的现金股利（或利息收入），Pt是第t期的证券价格，P t-1 是第t-1期的证券价格。在公式（7.1）的分子中，括号里的部分（Pt- P t-1）代表该期间的资本利得或资本损失。
由于风险证券的收益不能事先确知，投资者只能估计各种可能发生的结果（事件）及每一种结果发生的可能性（概率），因而风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示：
（7.2）
其中：为预期收益率，Ri是第i种可能的收益率，Pi是收益率Ri发生的概率，n是可能性的数目。
预期收益率描述了以概率为权数的平均收益率。实际发生的收益率与预期收益率的偏差越大，投资于该证券的风险也就越大，因此对单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差来表示，标准差σ可用公式表示成：
(7.3)
标准差的直接含义是，当证券收益率服从正态分布时，三分之二的收益率在±σ范围内，95%的收益率在±2σ范围之内。下面通过一个例子来说明预期收益率和标准差的计算。
表7－1 某证券收益的概率、预期收益率和标准差
……………………………………………………………………………………………
预期收益率（）计算 方差（）计算
可能的收益率Ri 概率Pi ………………………… ………………………
（Ri）（Pi） （Ri-）2（Pi）
………………………………………………………………………………………………
-0.10 0.05 -0.005 (-0.10-0.09)2(0.05)
-0.02 0.10 -0.002 (-0.02-0.09)2(0.10)
0.04 0.20 0.008 (0.04 - 0.09)2(0.20)
0.09 0.30 0.027 (0.09 - 0.09)2(0.30)
0.14 0.20 0.028 (0.14 - 0.09)2(0.20)
0.20 0.10 0.020 (0.20 - 0.09)2(0.10)
0.28 0.05 0.014 (0.28 - 0.09)2(0.05)
标准差=(0.00703)0.5=0.0838=σ
………………………………………………………………………………………………
在表（7－1）所示的可能收益率分布中，它的预期收益率等于9%，标准差为8.38%。
二、证券组合收益和风险的衡量
到目前为止，我们仅讨论了单项投资的风险和收益。但实际上，投资者很少把所有财富都投资在一种证券上，而是构建一个证券组合，下面讨论证券组合收益和风险的衡量。
双证券组合收益和风险的衡量假设投资者不是将所有资产投资于单个风险证券上，而是投资于两个风险证券，那么该风险证券组合的收益和风险应如何计量呢？假设某投资者将其资金分别投资于风险证券A和B，其投资比重分别为XA和XB,XA+XB=1，则双证券组合的预期收益率P等于单个证券预期收益A和B以投资比重为权数的加权平均数,用公式表示:
P=XAA+XBB （7.5）
由于两个证券的风险具有相互抵消的可能性,双证券组合的风险就不能简单的等于单个证券的风险以投资比重为权数的加权平均数。用其收益率的方差σP2表示,其公式应为:
σP2=XA2σA2+ XB 2σB2+2XAXBσAB （7.6）
式中σAB为证券A和B实际收益率和预期收益率离差之积的期望值，在统计学中称为协方差，协方差可以用来衡量两个证券收益之间的互动性,其计算公式为：
σAB=(i（RAi-A）（RBi-B）Pi （7.7）
正的协方差表明两个变量朝同一方向变动的,负的协方差表明两个变量朝相反方向变动。两种证券收益率的协方差衡量这两种证券一起变动的程度。
表示两证券收益变动之间的互动关系，除了协方差外,还可以用相关系数ρAB表示，两者的关系为：
ρAB=σAB/σAσB （7.8）
相关系数的一个重要特征为其取值范围介于-1与+1之间，即-1≤ρAB≤+1。
因此公式（7.6）又可以写成：
σP2=XA2σA2+ XB 2σB2+2XAXBρABσAσB （7.9）
当取值为-1时，表示证券A、B收益变动完全负相关;当取值为+1时表示证券A、B完全正相关;当取值为0时，表示完全不相关。当0<ρAB<1时，表示正相关;当-1<ρAB<0时，表示负相关。如图7-1所示：
B的收益 B的收益 B的收益
,…,
A的收益 A的收益,,..,,,A的收益
,…,.
（a）完全正相关 （b）完全负相关 （c）不相关（此图要改）
图7-1 相关系数的三种典型情况从公式（7.6）至（7.9）可以看出，当ρ=1时，σP=XAσA+ XB σB。而当ρ<1时，σP<XAσA+ XB σB。特别地，当ρ=-1时，σP=(XAσA-XB σB(。
根据上面的分析可知，双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险（用方差或者标准差表示）,还取决于每两个证券之间的互动性（用协方差或相关系数表示）。
为了更好地理解分散化对于降低风险的作用，我们举个例子。假设市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。某投资者决定用这两只证券组成投资组合。
根据公式（7.5）和（7.6），组合的预期收益率和方差为：
P=XAA+XBB
σP2=XA212%2+ XB 220%2+2XAXB(0.3(12%(20%
=0.0144 XA2+0.04 XB 2+0.0144% XAXB
表7.2显示了不同权重下组合的预期收益率和标准差。从表中的第3和第6列可以看出，当证券A的权重从0逐步提高到1（相应地，证券B的权重从1逐步降低到0）时，组合的预期收益率从13%逐步降到8%，而组合的标准差也逐步从20%逐步降低后又回升到12%。其中，当XA=0.82,XB=1-0.82=0.18时，组合的标准差最低，为11.45%。权重的改变对组合预期收益率和标准差的影响如图8-2和8-3所示。具体计算方法也可参阅本书所附光盘的Excel模板（标题为第9章 两证券模型）。
表7－2 不同相关系数下投资组合的预期收益率和标准差
给定相关系数下投资组合的标准差(%)
XA
XB
预期收益率(%)
=-1
=0
=0.3
=1
0
1
13
20
20
20
20
0.1
0.9
12.5
16.8
18.04
18.4
19.2
0.2
0.8
12
13.6
16.18
16.88
18.4
0.3
0.7
11.5
10.4
14.46
15.47
17.6
0.4
0.6
11
7.2
12.92
14.2
16.8
0.5
0.5
10.5
4
11.66
13.11
16
0.6
0.4
10
0.8
10.76
12.26
15.2
0.7
0.3
9.5
2.4
10.32
11.7
14.4
0.8
0.2
9
5.6
10.4
11.45
13.6
0.9
0.1
8.5
8.8
10.98
11.56
12.8
1
0
8
12
12
12
12
最 小 方 差 组 合
XA
0.625
0.7353
0.82
-
XB
0.375
0.2647
0.18
-
预期收益率(%)
9.875
9.3235
8.9
-
标准差(%)
0
10.2899
11.4473
-
表7－ 2还给出了不同的相关系数下组合的预期收益率和标准差。从表中可以看出，相关系数对于组合的预期收益率水平是没有影响的。
图7-2也给出了不同相关系数下投资权重对组合标准差的影响。从图7-2可以看出，除了完全相关（?=1）外，最低方差组合的标准差均低于A、B两种证券的标准差。这充分说明了多样化的好处。
图7-2 投资权重与组合的预期收益率
图7-3 投资权重与组合的标准差
将图7-2和7-3结合起来看，我们可以得到一个能更直观地反映分散化效果的图形，如图7-4所示。从图中可以看出，当ρ=1时，双证券A、B组合P的收益和风险关系落在AB直线上（具体在那一点决定于投资比重XA和XB）;当ρ<1时，代表组合P的收益和风险所有点的集合是一条向后弯的曲线，表明在同等风险水平下收益更大，或者说在同等收益水平下风险更小，ρ越小，往后弯的程度越大;ρ=-1，是一条后弯的折线。
B
A
图7-4 双证券组合收益、风险与相关系数的关系
三个证券组合的收益和风险的衡量假设X1、X2、X3分别为投资于证券1、证券2、证券3的投资百分比，X1+X2+X3=1,1、2、3为其预期收益，σ12、σ22、σ32为方差，σ12、σ13、σ23为协方差，则三证券组合的预期收益率P为：
P=X11+X22+X33 （7.10）
三风险证券组合的风险为：
σP2=X12σ12+ X22σ22+ X32σ32+2X1X2σ12+2X1X3σ13+2X2X3σ23 （7.11）
(三)N个证券组合收益和风险的衡量
N个证券组合的收益由上面的分析可知,证券组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式表示：
（7.12）
其中：Xi是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数，i是证券i的预期收益率，n是证券组合中不同证券的总数。
2．N个证券组合的风险证券组合的风险(用标准差表示)的计算就不能简单地把组合中每个证券的标准差进行加权平均而得到，其计算公式为：
（7.13）
其中：n是组合中不同证券的总数目，Xi和 Xj分别是证券i和证券j投资资金占总投资额的比例，σij是证券i和证券j可能收益率的协方差。
公式（7.13）也可以用矩阵来表示，双加号∑∑意味着把方阵（n×n）的所有元素相加，假定n等于4，即该证券组合的方差为以下矩阵中各元素之和，该矩阵称为方差-协方差矩阵（Variance - Covariance Matrix）。
第一列 第二列 第三列 第四列第一行 X1X1σ1,1 X1X2σ1,2 X1X3σ1,3 X1X4σ1,4
第二行 X2X1σ2,1 X2X2σ2,2 X2X3σ2,3 X2X4σ2,4
第三行 X3X1σ3,1 X3X2σ3,2 X3X3σ3,3 X3X4σ3,4
第四行 X4X1σ4,1 X4X2σ4,2 X4X3σ4,3 X4X4σ4,4
由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合中证券数目的增加，在决定组合方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。这一点可以通过考察方差-协方差矩阵看出来。在一个由两个证券组成的组合中，有两个加权方差和两个加权协方差。但是对一个大的组合而言，总方差主要取决于任意两种证券间的协方差。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。
现举例说明如何利用公式（7.13）计算证券组合的方差和标准差。假定某一股票年预期收益率为16%，标准差为15%，另一股票年预期收益率为14%，标准差为12%，两种股票的预计相关系数为0.4，每种股票投资的金额各占一半，那么证券组合的预期收益率是：
=0.5×16%+0.5×14%=15%
证券组合的方差等于下面的方差-协方差距阵的所有元素的加总。
第1种股票 第2种股票第1种股票 (0.5)2×1.0×(0.15)2 0.5×0.5×0.4×0.15×0.12
第2种股票 0.5×0.5×0.4×0.12×0.15 (0.5)2×1.0×(0.12)2
因此
σ2= (0.5)2×1.0×(0.15)2+2×0.5×0.5×0.4×0.12×0.15+ (0.5)2×1.0×(0.12)2
=0.012825
σ=[0.012825]0.5=11.3%
从上例可知，只要两种证券的相关系数小于1，证券组合的标准差就要小于两种证券的标准差的加权平均数0.5(15%+0.5(12%=13.5%。实际上，不论证券组合中包括多少种证券，只要证券组合中每对证券间的相关系数小于1，证券组合的标准差就会小于单个证券标准差的加权平均数，这意味着只要证券的变动不完全一致的，单个有高风险的证券就能组成一个只有中低风险的证券组合。
三、系统性风险的衡量
由于非系统性风险可以通过有效的证券组合来消除,所以当一个投资者拥有一个有效的证券组合时,他(或她)所面临的就只有系统性风险了。那么如何衡量这个系统性风险呢？
如果我们把证券市场处于均衡状态时的所有证券按其市值比重组成一个“市场组合”，这个组合的非系统性风险将等于零(。这样我们就可以用某种证券的收益率和市场组合收益率之间的β系数作为衡量这种证券系统性风险的指标。某种证券的β系数βi指的是该证券的收益率和和市场组合的收益率的协方差σim，再除以市场组合收益率的方差σm2，其公式为：
βi=σim /σm2 (7.14)
由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的β系数βi等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占整个组合总价值得比重Xi,其公式为:
(7.15)
如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险跟市场组合的系统性风险完全一样;如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合;如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场组合;如果β系数等于0,说明没有系统性风险。
证券组合与分散风险
“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”，如果将这句古老的谚语应用在投资决策中，就是说不要将所有的钱投资于同一证券上，通过分散投资可以降低投资风险，这是一个非常浅显易懂的道理。那么，应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢？将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢？
如前所述，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于两个证券收益的协方差或相关系数，而协方差或相关系数起着特别重要的作用。因此投资者建立的证券组合就不是一般地拼凑，而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。
当我们利用长时期的历史资料比较一个充分分散的证券组合和单一股票的收益和风险特征时，就会发现有个奇怪的现象。例如，在1989年1月至1993年12月间，IBM股票的月平均收益率为-0.61%，标准差为7.65%。而同期标准普尔500（S&P500）的月平均收益率和标准差分别为了1.2%和3.74%，即虽然IBM收益率的标准差大大高于标准普尔500指数的标准差，但是其月平均收益率却低于标准普尔500指数的月平均收益率。为什么会出现风险高的股票其收益率反而会低的现象呢？
原因在于每个证券的全部风险并非完全相关，构成一个证券组合时，单一证券收益率变化的一部分就可能被其他证券收益率反向变化所减弱或者完全抵消。事实上，可以发现证券组合的标准差一般都低于组合中单一证券的标准差，因为各组成证券的总风险已经分散化而大量抵消。只要通过分散化就可以使总风险大量抵消，我们就没有理由使预期收益率与总风险相对应；与投资预期收益率相对应的只能是通过分散投资不能相互抵消的那一部分风险，即系统性风险。
根据证券组合预期收益率和风险的计算公式可知,不管组合中证券的数量是多少,证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会影响到组合的收益率。但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明显。当然，在现实的证券市场上，大多数情况是各个证券收益之间存在一定的正相关关系，相关的程度有高有低。有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，以保证在一定的预期收益率水平上尽可能降低风险。
从理论上讲，一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券，就完全有可能消除所有的风险，但是在现实的证券市场上，各证券收益率的正相关程度很高,因为各证券的收益率在一定程度上受同一因素影响(如经济周期、利率的变化等)，因此，分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除系统性风险。
韦恩(韦格纳(Wayne Wagner)和谢拉(劳(Sheila Lau)根据1960年7月标准普尔的股票质量分级把200种在纽约证券交易所上市的股票样本分成六组，最高质量等级A+构成第一组，依次类推，从每一组股票中随机抽取1至20只股票组成证券组合，计算每一组合从1960年7月至1970年5月十年间的每月收益率，这一工作连续进行十次以减少对单一样本的依赖，然后对十个数值进行平均①。
表7－3 随机抽样A+质量股票组合的风险和分散效果
（1960年6月至1970年5月）
组合中股票数量
平均收益率
（%/月）
标准差
（%/月）
与市场的相关系数R
与市场的决定系数R2
1
0.88
7.0
0.54
0.29
2
0.69
5.0
0.63
0.40
3
0.74
4.8
0.75
0.56
4
0.65
4.6
0.79
0.62
5
0.71
4.6
0.79
0.62
10
0.68
4.2
0.85
0.72
15
0.69
4.0
0.88
0.77
20
0.67
3.9
0.89
0.80
资料来源：Wagner,W.,and S,Lau,1971,“The Effect of Diversification on Risks,” Financial Analyst Journal,November –December,P53,
表7－3中的决定系数R2为相关系数的平方值，其取值范围从0到1，它用以衡量证券组合的收益率变动（用方差表示）中可归因于市场收益率的比例，剩下的风险是组合所特有的风险，因此，一个证券组合的R2越接近1，这个组合越得到了充分地分散。从表中的数据可知：
1．一个证券组合的预期收益率与组合中股票的只数无关，证券组合的风险随着股票只数的增加而减少。当股票组合从一只扩大到十只股票时，证券组合风险的下降很明显，但是随着组合中股票只数的增加，降低风险的边际效果在迅速递减，特别是当持有的股票超过10只时，下降的风险变得微乎其微。
2．平均而言，由随机抽取的20只股票构成的股票组合的总风险降低到只包含系统性风险的水平，单个证券风险的40%被抵消，这部分风险就是非系统性风险。
3．一个充分分散的证券组合的收益率的变化与市场收益率的走向密切相关。其波动性或不确定性基本上就是市场总体的不确定性。投资者不论持有多少股票都必须承担这一部分风险。
根据以上的分析，证券组合包含证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系，可用图7-5来表示：
组合收益率标准差
非系统性风险
总风险
系统性风险
组合中证券的数量
图7-5 证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系
第四节 风险偏好和无差异曲线
对于任何一项投资而言，风险和收益都是一双孪生兄弟，那么风险和收益在投资者的投资决策中到底充当什么角度呢？风险机制如何发挥作用呢？这是本节和下一章将要着重论述的重点。
一、不满足性和厌恶风险
1952年，马科维茨（Harry M,Markowitz）发表了一篇具有里程碑意义的论文①，标志着现代投资组合理论的诞生，该理论对投资者对于收益和风险的态度有两个基本的假设：一个是不满足性，另一个就是厌恶风险。
（一）不满足性现代投资组合理论假设，投资者在其他情况相同的两个投资组合中进行选择时，总是选择预期回报率较高的那个组合。换句话说，在一期投资的情况下，投资者用同样的期初财富来投资，总是偏好获得较多的期末财富。这是因为较多的期末财富可为投资者未来提供更多的消费，从而获得更多的满足。
不满足性假设意味着，给定两个相同标准差的组合，如图7-6中的A和E，投资者将选择具有较高预期收益率的组合（A）。
A F
E
图7-6 不满足性、厌恶风险与投资组合的选择
（二）厌恶风险现代投资组合理论还假设：投资者是厌恶风险的（Risk Averse），即在其它条件相同的情况下，投资者将选择标准差较小的组合。
厌恶风险的假设意味着风险带给投资者的是负效用，因此如果没有收益来补偿，投资者是不会无谓冒风险的，例如，掷硬币赌博，正面你赢100元，反面你输100元，由于正反面的概率各为50%，因此这种赌博的预期收益率为0，而风险是很大的。显然，厌恶风险的投资者将拒绝进行这样的赌博，因为可能的“赢”带来的愉快程度小于可能的“输”带来的不愉快程度。
与厌恶风险的投资者相对应的风险中性（Risk-Neutral）和爱好风险的投资者(Risk Lover)。前者对风险的高低漠不关心，只关心预期收益率的高低。对后者而言，风险给他带来的是正效用，因此在其他条件不变情况下他将选择标准差大的组合。
在正常情况下，理性的投资者的确是厌恶风险的。但在某些极端的情况下，理性的投资者也可能是爱好风险的。例如，如果你身无分文，并欠别人1 000万元。此时若有人要与你掷硬币赌博，正面你赢1 000万元，反面你输1000万元。虽然其预期收益率为0。但你很可能会选择赌。因为若赌赢了，你就一身轻松了；若赌输了，你无非多欠人1000万元而已。
二、无差异曲线投资者的目标是投资效用最大化，而投资效用（Utility）取决于投资的预期收益率和风险，其中预期收益率带来正的效用，风险带来负的效用。
对于一个不满足和厌恶风险的投资者而言，预期收益率越高，投资效用越大；风险越大，投资效用越小。
然而，不同的投资者对风险的厌恶程度和对收益的偏好程度是不同的，为了更好地反映收益和风险对投资者效用的影响程度，我们有必要从引入“无差异曲线”（Indifference Curve）的概念。
一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合。由于风险给投资者带来的负效用，而收益带给投资者的是正效用，因此为了使投资者的满足程度相同，高风险的投资必须有高的预期收益率。可见，无差异曲线的斜率是正的，这是无差异曲线的第一个特征，如图7-7所示。
I3 I2
I1
图7-7不满足和厌恶风险者的无差异曲线
无差异曲线的第二个特征是该曲线是下凸的。这意味着，要使投资者多冒等量的风险，给予他的补偿——预期收益率应越来越高。无差异曲线的这一特点是由预期收益率边际效用递减规律决定的。
无差异曲线的第三个特征是，同一投资者有无限多条无差异曲线。 这意味着对于任何一个风险——收益组合，投资者对其的偏好程度都能与其它组合相比。由于投资者对收益的不满足性和对风险的厌恶，因此在无差异曲线图中越靠左上方的无差异曲线代表的满足程度越高。投资者的目标就是尽量选择位于左上角的组合。
无差异曲线的第四个特征是，同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。我们可以用反证法加以证明，在图7-8中，假设某个投资者的无差异曲线相交于X点。由于X和A都在I1上，因此X和A给投资者带来的满足程度是相同的。同样，由于X和B者在I2上，因此X和B给投资者带来的满足程度也是相同的。这意味着，A和B给投资者带来的满足程度一定相同。然而我们以图中可以看出，B的预期收益率高于A，而风险都小于A。根据不满足性和厌恶风险的假设，B的满足程度一定大于A，这就产生了自相矛盾。显然上述假设不成立，即两条无差异曲线不能相交。
I2
I1
X
图7-8 无差异曲线相交
无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率，斜率越高，表明为了让投资者多冒同样的风险，必须给他提供的收益补偿也应越高，说明该投资者越厌恶风险。同样，斜率越小，表明该投资者厌恶风险程度较轻。图7-9用图形方式表示了三种不同程度厌恶风险的投资者的无差异曲线。
I3 I3
I2 I2 I3
I1 I1 I2
I1
（a） （ｂ） （ｃ）
图7-9 不同程度厌恶风险者的无差异曲线
三、投资者的投资效用函数为了更精确地衡量风险和预期收益对投资者效用水平的影响，我们可以引进投资效用函数（U）：
（7.16）
其中表示预期收益率，表示标准差（风险）。
在各种各样效用函数中，目前在金融理论界使用最为广泛的是下列投资效用函数：
（7.17）
其中A表示投资者的风险厌恶度，其典型值在2至4之间。
在一个完美的市场中，投资者对各种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但由于不同投资者的风险厌恶度不同，因此其投资决策也就不同。
假定一个投资者有两项投资工具可供选择。其中一项是风险资产X，其预期收益率为18.5%，标准差为30%。另一项是无风险资产Y（国库券），其无风险收益率为5%。那么投资者应选择哪项投资呢？若投资于国库券，则效用水平与A无关，恒等于5%。而投资于风险资产的效用水平则取决于投资者的风险厌恶度A。若A=2（激进型投资者），则U=9.5%，由于投资于风险资产的效用水平大于无风险资产，他将选择风险资产。若A=3（温和型投资者），则U=5%，这时他投资于风险资产和无风险资产是无差异的。若A=4（保守型投资者），则U=0.5%，由于投资风险资产的效用水平低于无风险资产，他将选择无风险资产。
在上例中，当投资者的风险厌恶度A等于3时，X和Y给投资者带来的效用水平是一样的，都等于无风险资产的收益率，我们把这个收益率称为X的等价确定收益率（Certainty Equivalent Rate）。不同投资者的风险厌恶度A不同，相同的风险资产对他而言等价确定收益率却不同。可见，准确度量风险厌恶度对投资决策有着重大意义。
为了帮助投资者衡量自己的风险厌恶度，Hube设计了一套问卷和评分体系，分数在9至14分的为保守型投资者，分数在15至21分的为温和型投资者，分数在22至27分的为激进型投资者。问题如下：
在你投资60天后，价格下跌20%。假设所有基本面均未改变，你会怎么做？
为避免更大的担忧，卖掉再试试其他的。
什么也不做，静等收回投资。
再买入。它曾是好的投资，现在也是便宜的投资。
现在换个角度看上面的问题。你的投资下跌了20%，但它是投资组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达成投资目标。
1）如果目标是5年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入
2）如果目标是15年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入
3）如果目标是30年以后，你会怎么做？
A．卖掉
B．不动
C．再买入在你买入退休基金后1个月，其价格上涨了25%。同样，基本面未变。沾沾自喜之后，你会怎么做？
卖掉锁定收益持有看跌期权并期待更多的收益再买入，因为可能还会上涨你为了15年后退休而投资。你更愿意怎么做？
投资于货币市场基金或有保证的投资契约，放弃获得大量收益的可能性，重点保证本金的安全。
一半投入债券基金，一半投入股票基金，希望在有些增长的同时，还有固定收入的保障。
投资于不断增长的共同基金，其价值在该年可能会有巨幅波动，但在5或10年后有巨额收益的潜力。
你刚赢得一份大奖。但具体哪一个，由你自己定。
2000美元现金。
50%的机会获得5000美元
20%的机会获得15000美元有一个很好的投资机会刚出现。但你得借钱。你会接受贷款吗？
绝对不会也许会你的公司要向员工出售股票。公司经营者计划在3年内让公司上市。在此之前，你无法卖出股票，也不会得到红利。但当公司上市时你的投资将增殖10倍。你会投资多少钱买这种股票？
一点也不买两个月的工资四个月的工资风险厌恶度打分：
按以下方法将你的答案乘以不同的系数相加，就得出你的总分：
A答案的个数×1分= 分
B答案的个数×2分= 分
C答案的个数×3分= 分总分 分。
本章小结
1．金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。金融风险的种类很多，按其来源可分为货币风险、利率风险、流动性风险、信用风险、市场风险和营运风险；按会计标准可分为会计风险和经济风险；按能否分散可分为系统性风险和非系统性风险。
2．系统性风险是由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的，这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动等等。这一部分风险影响所有金融变量的可能值，因此不能通过分散投资相互抵消或者削弱。非系统性风险是一种与特定公司或行业相关的风险，它与影响所有金融变量的因素无关。通过分散投资，非系统性风险能被降低甚至消除。
3．由于风险证券的收益不能事先确知，投资者只能估计各种可能发生的结果（事件）及每一种结果发生的可能性（概率），因而风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示。对单个证券的风险，通常用统计学中的方差或标准差来表示。
4．证券组合的预期收益率就是该组合中各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，证券组合的风险不仅取决于单个证券的风险，而且还取决于各种证券间收益率变化的互动性（用协方差表示）。随着组合中证券数目的增加，在决定组合的风险时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。
5．协方差用以衡量两个证券收益率之间的互动性。正的协方差表明两个变量朝同一方向变动的，负的协方差表明两个变量朝相反方向变动。此外，表示两证券收益率的互动关系还可以用相关系数ρ表示，相关系数的一个重要特征为其取值范围介于-1与+1之间。当取值为-1时，表示证券收益变动完全负相关;当取值为+1时表示证券完全正相关;当取值为0时，表示完全不相关。当0<ρ<1时，表示正相关;当-1<ρ<0时，表示负相关。
6．β系数是衡量一个证券系统性风险的重要指标，证券组合的β系数等于该组合中各种证券的β系数的加权平均数,权重为各种证券的市值占组合总价值的比重。 如果一种证券或证券组合的β系数等于1,说明其系统性风险等于市场组合的风险;如果β系数大于1,说明其系统性风险大于市场组合的风险;如果β系数小于1,说明其系统性风险小于市场组合的风险;无风险资产的β系数等于0。
7,证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数,分散投资不会必然地影响到组合的收益率,但是分散投资可以降低风险，即降低证券组合收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,分散投资降低风险的效果就越明显。证券组合的风险随着股票只数的增加而减少。对美国股票市场的实证检验表明，当股票组合从一只扩大到十只股票时，证券组合风险的下降很明显，但是随着组合中股票只数的增加，降低风险的边际效果在迅速递减，特别是当持有的股票超过10只时，下降的风险变得微乎其微。
8,投资者的目标是投资效用最大化，投资效用函数取决于投资预期收益和风险，假设投资者厌恶风险，预期收益越高，投资效用越大；风险越大，投资效用越小，据此我们可以得出正斜率的投资者等效用曲线和曲线族。
9,风险组合给厌恶风险的投资者带来的效用可以用该组合的确定等价收益率来衡量。确定等价收益率是指如果投资者可以确定地得到这个收益率，则它所带来的效用与风险组合是相同的。
本章重要概念预期收益率 风险 系统性风险与非系统性风险 会计风险与经济风险 预期收益率 标准差 协方差 相关系数 系数 分散化 证券组合 最小方差组合 不满足性 风险厌恶 风险中性 风险爱好 无差异曲线 效用函数 确定等价收益率
习题：
证券的系统性风险又称为：
（1）预想到的风险；（2）独特的或资产专有的风险；（3）市场风险；（4）基本风险。
证券的非系统性风险又称为：
（1）预想到的风险；（2）独特的或资产专有的风险；（3）市场风险；（4）基本风险。
哪种风险可以通过多样化来消除：
（1）预想到的风险；（2）系统性风险；（3）市场风险；（4）非系统性风险。
下面哪种说法是正确的？
（1）系统性风险对投资者不重要；
（2）系统性风险可以通过多样化来消除；
（3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险；
（4）承担风险的回报取决于系统性风险。
系统性风险可以用什么来衡量？
（1）贝塔系数；（2）相关系数；（3）收益率的标准差；（4）收益率的方差。
你拥有的投资组合30%投资于A股票，20%投资于B股票，10%投资于C股票，40%投资于D股票。这些股票的贝塔系数分别为1.2、0.6、1.5和0.8。请计算组合的贝塔系数。
你的投资组合包含3种证券：无风险资产和2只股票，它们的权重都是1/3，如果其中一只股票的贝塔系数等于1.6，而整个组合的系统性风险与市场是一样的，那么另一只股票的贝塔系数等于多少？
假定投资者的效用函数为：（下同）。投资国库券可以提供7%确定的收益率，而某一资产组合的预期收益率和标准差均为20%。，如果他的风险厌恶度为4，他会作出怎样的投资选择？如果他的风险厌恶度为8呢？
某投资者的效用函数为：。国库券的收益率为6%，而某一资产组合的预期收益率和标准差分别为14%和20%。要使该投资者更偏好风险资产组合，其风险厌恶度不能超过多少？要是该投资者更偏好国库券，其风险厌恶度不能低于多少？
假设股票市场的预期收益率和标准差分别为18%和16%，而黄金的预期收益率和标准差分别为8%和22%。
如果投资者都喜欢高收益、低风险，那么黄金是否可能有人愿意投资？如果愿意的话请用图示原因。
假设黄金和股票市场的相关系数等于1，那么是否还有人愿意持有黄金？如果上述假定的数字都是现实数据，那么此时市场是否均衡？
在以预期收益率为纵轴、标准差为横轴的坐标图上，画出如下投资者的无差异曲线（提示：从0%-25%选择几个可能的标准差的值，在给定效用水平和投资者风险厌恶度下，找出与这些标准差相对应的预期收益率，然后把这些预期收益率和标准差组合点连成一条线。）：
A=2，效用水平等于6%；
A=4，效用水平等于5%；
A=0（风险中性投资者），效用水平等于6%；
A=-2（风险爱好者），效用水平等于6%。
某投资者面临4个风险资产，其预期收益率和标准差如下表所示：
风险资产
1
10%
30%
2
15%
40%
3
20%
20%
4
25%
30%
如果他的风险厌恶度A=4，他会选择哪种资产？
如果他是风险中性者（A=0），他会选择哪种资产？
美国股市过去70年的历史数据表明，S&P500组合年收益率的均值比国库券收益率高8.5%，标准差为每年20%。假设这些数值代表了投资者对未来股市表现的平均预期，而目前国库券收益率为4%。
如果你按下表的权重投资于国库券和S&P500股票，请计算该投资组合的预期收益率和标准差。
国库券的权重
指数的权重
0
1．0
0．2
0．8
0．4
0．6
0．6
0．4
0．8
0．2
1．0
0
如果你的风险厌恶度A=2，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。
如果你的风险厌恶度A=4，请计算每种组合的效用水平。你有何发现。
在年初，你拥有如下数量的4种证券，这些证券均不发放红利，其当前和预期年末价格为：
证券 股数 当前价格（元） 预期年末价（元）
A 100 50 60
B 200 35 40
C 50 25 50
D 100 100 110
这一年你的投资组合的期望收益率是多少？
15．你正考虑投资于A公司。你估计了该公司股票收益率的概率分布如下：
收益率（%） 概率
－10 0.10
0 0.25
10 0.40
20 0.20
30 0.05
基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。
16．股票A和B的期望收益率和标准差为：
股票 期望收益率（%） 标准差（%）
A 13 10
B 5 18
你购买20 000元股票A，并卖空10 000元的股票B，使用这些资金购买更多的股票A。两种证券间的相关系数为0.25。你的投资组合的期望收益率和标准差是多少？
17．你估计了证券A和B的投资收益率的联合概率分布如下：
证券A（%） 证券B（%） 概率
－10 15 0.15
5 10 0.20
10 5 0.30
20 0 0.35
基于你的估计，计算两种投资间的协方差和相关系数。
18．给定三种证券的方差——协方差矩阵以及每一证券在组合中的权重如下，计算组合的标准差。
证券A 证券B 证券C
证券A 459 －211 112
证券B －211 312 215
证券C 112 215 179
XA=0.5 XB=0.3 XC=0.2
19．你拥有三种证券，估计有如下的收益率的联合概率分布：
状态 证券A (%) 证券B(%) 证券 C (%) 概率
1 －10 10 0 0.30
2 0 10 10 0.20
3 10 5 15 0.30
4 20 －10 5 0.20
如果你的资金有20%投资于证券A，50%于B，30%于C，计算组合的期望收益率和标准差。
20．考虑两种证券，A和B，其标准差分别为30%和40%，如果两种证券的相关系数如下，计算等权数的组合的标准差。
（1） 0.9；
（2） 0.0；
（3）－0.9。
附录A 投资收益与风险的衡量方法的讨论未来收益率的衡量为了衡量投资组合未来的收益率，除了本章介绍的期望值（Mean，或者称为均值）外，还可以用中位数（Median）和众数（Mode）来衡量。
将未来各种可能的收益率由大到小排序，位于数列中心位置的标志值称为中位数。显然，在各种可能的收益率中，大于和小于中位数的个数各占50%。期望值和中位数的区别是显尔易见的。前者是以概率为权数的加权平均数，后者只考虑顺序。因此如果在可能的收益率中有较多极端值时，期望值和中位数就会存在较大差异。例如在考虑一国国民的平均收入时，由于少数人拥有极高的收入，收入的均值就会因为少数人过高的收入而被拉高，而中位数就不存在这个问题。但因为中位数没有考虑各种可能值出现的概率，因此在衡量诸如未来收益率之类的数值时，其缺点也是显而易见的。
众数是出现概率最高的结果。由于众数不是平均的结果，因此以其代表未来收益率时，准确性较差。
因此，目前国内外学术界和理论界在预测未来收益率，通常都使用期望值。
风险的衡量
在衡量风险的各种指标中，目前使用最多的是本章介绍的方差(Variance)和均方差(Standard Deviation)。如果说期望值本身是一阶矩的话，方差就是围绕着期望值的二阶中心矩。
虽然方差是衡量风险的较理想的指标，但也不是完美的指标，仍有一些缺陷。为了说明这个问题，我们看一下图7-10中两只股票收益率的概率分布。
A B
图7-10 投资收益分布的偏斜
在图7-10中，图A和图B是互为镜像的，因此它们的均值和方差相等。如果我们只根据均值和方差来判断投资的好坏，那就可以得出结论，A和B是等价的。但A和B显然是有差别的。A的特征是收益率经常低于期望值，但低的幅度较小；收益率高于期望值的可能性较小，但幅度可能很大。或者说它经常让人失望，但失望程度不大；它不经常让人惊喜，一旦惊喜则经常是大的惊喜。B的情况恰恰相反。当我们谈论风险时，我们实际上担心的是坏的惊喜。从这个意义上说，当面临A、B两种投资机会并只能选一个时，厌恶风险的理性投资者都会选A。
由此可见，我们在进行投资决策时，还要考虑分布的不对称，即偏斜（Skew）。偏斜（M3）是三阶中心矩，它可用下式来衡量：
（7.18）
由于3次方可以保留收益率偏离期望值的符号，因此它可以让我们将好的惊奇与坏的惊奇区分开来。3次方实际上还给大的惊喜以大的权重，从而使偏斜主要由分布中的“长尾”决定。因此，象A这样右偏的分布，其偏斜将是正的，而象B这样的左偏分布，其偏斜将是负的。
推而广之，分布的特征可以用分布的各阶矩来衡量。其中一阶矩（期望值）代表回报，二阶和高阶中心矩代表这种回报的不确定性。所有偶数阶中心矩衡量极端值的大小，它们的值越大代表不确定性越大。而奇数阶中心矩（M3，M5等）则衡量不对称性。正值代表正的偏斜，因此是投资者较喜欢的。如果我们要将所有这些阶矩纳入投资者的效用函数的话，现在最通行的办法就是用下式：
（7.19）
其中bi为正的常数，且i越大，b的值越小。m阶中心矩（Mm）的计算公式为：
（7.20）
值得注意的是，“好”（奇数）阶矩的系数为正，“坏”（偶数）阶矩的系数为负。
从理论上说，我们可以算出无穷阶中心矩。但在实际中，这显然是不现实的。那么投资者到底在投资决策中需要多少阶的中心矩呢？Samuelson(1970)通过证明得到如下结论：在很多重要的场合，期望值和方差的重要性相当，但三阶及其更高阶矩的重要性比期望值和方差小多了。换句话说，忽略比方差高阶的矩并不影响投资决策。Samuelson的理论支持是均值-方差分析如此流行的重要原因。
应该注意的是，Samuelson的证明有个很重要的前提：证券价格的变动是连续的，也就是说，证券价格不会突然跳跃，从而使投资者可以经常调整其投资组合从而使高阶矩变得无关紧要。
但在现实生活中，特别是在像中国股市这样典型的政策市中，股价出现跳跃是常有的事。即使在美国股市，个股价格也常因收购兼并等突发事件而呈跳跃性变动。此外，交易成本的存在也妨碍了投资者经常调整投资组合。所有这些因素都使高阶矩对投资决策产生较大的影响。但由于高阶矩较为复杂，因此在大多数分析中，人们均只考虑均值和方差。本书的投资组合理论也是建立在均值-方差分析是可行的这样一个假定前提下。
正态分布与对数正态分布现代投资组合理论大多假定证券收益率遵循正态分布。这是因为正态分布的特征可以完全用均值和方差来描述，从而与均值-方差分析法相一致。
单个证券的收益率分布显然与正态分布相去甚远。但Fisher 和Lorie (1970)证明了，即使单个证券的收益率分布不是正态的，但充分分散的投资组合的收益率却非常接近正态分布。
由于有限责任的性质决定了证券的价格不可能为负，而正态分布的取值范围为正负无穷大之间，这显然是相互矛盾的。为了解决这对矛盾，我们通常假定证券的连续复利收益率而不是比例收益率遵循正态分布。如果我们用r表示连续复利年收益率，S0表示当前股价，St表示t时刻的股价，t为以年为单位的时间长度，则：
两边取自然对数得：
由于lnS0和t均为常数，因此若r服从正态分布，则lnSt也服从正态分布，或者说St服从对数正态分布。这样S的取值范围就从0到正无穷大，从而与有限责任不会相互矛盾。
习题：
1．Z股票目前市价为10元，某投资咨询公司为该股票的红利和1年后的股价作了如下的情景分析：
情景
概率
现金红利（元）
期末股价（元）
1
0．1
0
0
2
0．2
0．2
2．00
3
0．3
0．4
12．00
4
0．25
0．6
16．00
5
0．15
0．8
25．00
请计算各情景的收益率以及这些收益率的均值、中位数、众数、标准差、三阶中心矩。该股票收益率的概率分布是否有正偏斜？
附录B：
预期收益率、均方差、协方差和相关系数的经验估计预期收益率、均方差、协方差和相关系数的估计在投资决策中有着举足轻重的作用。这里我们介绍较简单、也较常用的一种经验（Empirical）估计法，即根据过去的实际数据对未来进行估计。
首先，我们要选定样本期的长短。选择一个适当的样本期长度并不是一件简单的事。一般来说，数据越多，估计结果通常越精确。但是，相关经验研究表明，预期收益率、均方差、协方差和相关系数本身会随着时间的变化而变化，因此太老的数据对预测未来的用处可能用处不大。因此一个折中方案是使用最近90至180天的每日收盘股价进行估计。另一个经常使用的原则是选择与使用期相同长度的样本期。更为复杂的方法则是使用GARCH等计量经济方法。
另一个重要的问题是时间应使用日历时间还是交易时间。大量的经验研究结果显示，用交易时间较为合理。
令：n+1为我们选定的样本天数；
Si为在第i天的收盘股价（i=0，1，2，…，n）。
，表示第i天的连续复利收益率，i =1，2，…，n。
则预期收益率的估计值（）就等于ui的均值：
收益率的均方差（）的无偏估计为：
现假设有两种证券1和2，其连续复利年收益率分别为u1i和u2i，收益率的均值分别为和，均方差分别为，则其协方差（）的无偏估计为：
两种证券的相关系数（）的估计值为：
本书所附光盘中有一个根据上述方法用2002年5月29日至2002年7月9日之间招商银行与陆家嘴股票的收盘价格估计这两种股票在2002年7月10日的预期收益率、均方差、协方差和相关系数的EXCEL模板。作为一个简单的例子，我们取样本期间长度为30个交易日。
应该注意的是，根据历史数据估计未来的预期收益率存在很大的局限性，在实际应用时要特别小心。例如，根据这段时期估计的招商银行股票的连续复利预期年收益率高达213.61%，这显然有问题。这也是目前有关股票预期收益率的大多数经验研究（有人称为实证研究）所存在的问题。
值得一提的是，EXCEL本身就有求均值、标准差、协方差和相关系数的函数，其函数名分别为AVERAGE、STDEV、COVAR和CORREL。只是EXCEL中的COVAR计算公式为：
习题答案：
（3）
（2）
（4）
（4）
(1)
贝塔系数=30%×1.2+20%×0.6+10%×1.5×40%×0.8=0.95
1/3×1.6+1/3×X=1,X=1.4
对于A=4的投资者而言，风险资产组合的效用是：
U=20%-0.5×4×20%2=12%
而国库券的效用是7%，因此他会选择风险资产组合。
对于A=8的投资者而言，风险资产组合的效用是：
U=20%-0.5×8×20%2=4%
因此他会选择国库券。
风险资产组合的效用为：
U=14%-0.5A×20%2
国库券的效用为6%。为了使他更偏好风险资产组合，14%-0.5A×20%2必须大于6%，即A必须小于4。为了使他更偏好国库券，14%-0.5A×20%2必须小于6%，即A必须大于4。
（1）尽管孤立地来看黄金的预期收益率和标准差都不如股票理想，但如果股票和黄金的相 关系数很小（如图中的实线所示），投资者通过持有部分黄金仍有可能提高投资效用。
（2）如果股票和黄金的相关系数等于1（如图中的虚线所示），则任何理性的投资者都不会持有黄金的多头。此时黄金市场显然无法取得均衡。人们卖出或卖空黄金的结果将使黄金价格下跌、收益率提高。
无差异曲线上的点必须满足效用函数：
将A=2，U=6%代入上式得：=6%+2
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
6%
5%
6.25%
10%
7%
15%
8.25%
20%
10%
25%
12.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。
将A=4，U=5%代入上式得：=5%+22
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
5%
5%
5．5%
10%
7%
15%
9．5%
20%
13%
25%
17．5%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U1所示。
将A=0，U=6%代入上式得：=6%。
可见该投资者的无差异曲线就是一条经过（0，6%）点的水平线，如图中U3所示。
将A=-2，U=6%代入上式得：=6%-2
利用这个式子，我们可以得到与不同的值相对应的值，如下表：
0%
6%
5%
5．75%
10%
5%
15%
3．75%
20%
2%
25%
-0.25%
将这些点连起来就是该投资者的无差异曲线，如图中U4所示。
（1）投资者会选择效用最高的风险资产。第1至4种风险资产的效用分别为-8%、-17%、12% 和7%，因此他会选择第3种风险资产。
（2）风险中性者会选择预期收益率最高的第4种风险资产。
（1）组合的预期收益率=国库券的权重×国库券收益率+指数的权重×指数的预期收益率
由于国库券的标准差为0，其与指数的协方差也为0，因此组合的标准差=指数的权重×指数的标准差。计算结果如下表所示。
国库券的权重
指数的权重
组合的预期收益率
组合的标准差
0
1．0
12．5%
20%
0．2
0．8
10．8%
16%
0．4
0．6
9．1%
12%
0．6
0．4
7．4%
8%
0．8
0．2
5．7%
4%
1．0
0
4%
0
（2）当A=2时，组合的效用U=组合的预期收益率-组合的方差，我们有：
国库券的权重
指数的权重
组合的效用（A=2）
0
1．0
8．5%
0．2
0．8
8．24%
0．4
0．6
7．66%
0．6
0．4
6．76%
0．8
0．2
5．54%
1．0
0
4%
可见，你应全部投资于S&P500股票。
（3）当A=4时，组合的效用U=组合的预期收益率-2×组合的方差，我们有：
国库券的权重
指数的权重
组合的效用（A=4）
0
1．0
4．5%
0．2
0．8
5．68%
0．4
0．6
6．22%
0．6
0．4
6．12%
0．8
0．2
5．38%
1．0
0
4%
可见，你应将资金60%投资于S&P500股票，40%投资于国库券。
计算过程如下表所示：
证券
权重
预期收益率
预期收益率*权重
A
0.215054
0.2
0.043010753
B
0.301075
0.14285714
0.043010753
C
0.053763
1
0.053763441
D
0.430108
0.1
0.043010753
小计
1
0.182795699
所以你的投资组合的预期收益率等于18.28%。
计算过程如下表所示：
收益率
概率
收益率*概率
离差平方*概率
-0.1
0.1
-0.01
0.0034225
0
0.25
0
0.00180625
0.1
0.4
0.04
0.00009
0.2
0.2
0.04
0.002645
0.3
0.05
0.015
0.00231125
小计
1
0.085
0.010275
预期收益率
0.085
标准差
0.10136567
该股票的预期收益率与标准差分别为：8.5%和10.14%。
你在A和B上的投资权重分别为150%和-50%。
预期收益率=150%×13%+（-50%）×5%=17%
方差=150%2×10%2+（-50%）2×18%+2×150%×（-50%）×0.25×10%×18%=0.06075
标准差=24.65%
证券A的预期收益率和标准差分别为9.5%和9.99%，证券B的预期收益率和标准差分别为 5.75%和5.31%。
协方差=-0.0052,
相关系数=-0.0052/(9.99%×5.31%)=-0.98
组合的方差=0.52×459+0.32×312+0.22×179
+2×0.5×0.3×(-211)+2×0.5×0.2×112+2×0.3×0.2×215
=130.57
标准差=11.43
A、B、C三种证券的预期收益率分别为：4%、4.5%和7.5%。
组合的收益率=4%×20%+4.5×50%+7.5×30%=5.3%
A、B、C三种证券的方差分别为0.0124、0.005725和0.003625
A、B两种证券的协方差为-0.0073
A、C两种证券的协方差为0.0035
B、C两种证券的协方差为-0.00013
组合的方差=0.22×0.0124+0.52×0.005725+0.32×0.003625
+2×0.2×0.5×(-0.0073)+2×0.2×0.3×0.0035+2×0.5×0.3×(-0.00013)
=0.001176
组合的标准差=3.43%
（1）当相关系数=0.9时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42+2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.1165
组合的标准差=34.13%
(2) 当相关系数=0时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42=0.0625
组合的标准差=25.00%
(3) 当相关系数=-0.9时，
组合的方差=0.52×0.32+0.52×0.42-2×0.5×0.5×0.9×0.3×0.4=0.0085
组合的标准差=9.22%
附录A习题答案：
各情景的收益率为如下表所示：
情景
概率
收益率
1
0．1
-100%
2
0．2
-78%
3
0．3
24%
4
0．25
66%
5
0．15
158%
均值=0.1×(-100%)+0.2×(-78%)+0.3×24%+0.25×66%+0.15×158%=21.8%
中位数=24%
众数=24%
均方差=82.15%
三阶中心矩=0.021081
可见，该股票的概率分布是正偏斜的。
