第十三章 期权的定价
期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。我们将由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。
期权价格的特性内在价值和时间价值期权价格(或者说价值)等于期权的内在价值加上时间价值。
（一）期权的内在价值期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。对于欧式看涨期权来说，因多方只能在期权到期时行使，因此其内在价值为(ST-X)的现值。由于对于无收益资产而言，ST的现值就是当前的市价（S），而对于支付现金收益的资产来说，ST的现值为S-D，其中D表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。因此，无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D- Xe-r(T-t)。
对于无收益资产美式看涨期权而言，虽然多方可以随时行使期权，但我们在本节即将证明,在期权到期前提前行使无收益美式期权是不明智的,因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D- Xe-r(T-t)。
同样道理，无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为X e-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值都为X e-r(T-t)+D-S。美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。其中，无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。
当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。
（二）期权的时间价值期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。
时间价值
X e-r(T-t) S
图13.1 无收益资产看涨期权时间价值与(S-X e-r(T-t))的关系我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议价格分别为X1=10元，X2=8元，它们的有效期都是1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。那么这两种期权的时间价值谁高呢？
假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元。那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？为了比较这两种期权，我们假定1年后出现如下三种情况：
情况一：ST=14元。则期权持有者可从期权1中获利（14-10-2e0.1）=1.79元，可从期权2中获利（14-8-3.81e0.1）=1.79元。期权1获利金额等于期权2。
情况二：ST=10元。则期权1亏2e0.1=2.21元，期权2也亏3.81e0.1-2=2.21元。期权1亏损等于期权2。
情况三：ST=8元。则期权1亏2e0.1=2.21元，而期权2亏3.81 e0.1=4.21元。期权1亏损少于期权2。
由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。显然，期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。
我们再来比较如下两种期权。X1=10元，X3=12元。其它条件与上例相同。显然，期权1的内在价值为0，期权3的内在价值虽然也等于0，但S-X e-r(T-t)却等于-1.81元。通过同样的分析，我们也可以得出期权1 的时间价值应高于期权3的结论。综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产看涨期权的时间价值在S=X e-r(T-t)点最大的结论。
通过同样的分析，我们还可以得出如下结论：有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+ Xe-r(T-t) 点最大，而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t) 点最大，有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t)-D 点最大,无收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X 点最大，有收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X-D 点最大。
弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合是很重要的。
期权价格的影响因素期权价格的影响因素主要有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。
对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
（二）期权的有效期对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。
对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。例如，同一股票的两份欧式看涨期权，一个有效期1个月，另一个2个月，假定在6周后标的股票将有大量红利支付，由于支付红利会使股价下降，在这种情况下，有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期权。
但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（Marginal Time Value）为正值。
我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。换句话说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。这一点对组建和分析第五章中的期权差期组合和对角组合是很重要的。
（三）标的资产价格的波动率简单地说，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标，其确切定义将在本章第二节给出。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。
（四）无风险利率无风险利率对期权价格的影响我们可从两个角度来考察。
首先我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果状态1的无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（So），未来预期价格[E(ST)]较高。同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。这两种效应都将减少看跌期权的价值。但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使 期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。
其次我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。在标的资产价格与利率呈负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的降幅更大来实现的。同是贴现率也随之上升。对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降，而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看跌期权价格上升。
大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。因此我们在具体运用时要注意区别分析的角度。
（五）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。
二、期权价格的上、下限为了推导出期权定价的精确公式，我们先得找出期权价格的上、下限。
（一）期权价格 的上限
1．看涨期权价格的上限。
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（13.1）
其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。
2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：
（13.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：
（13.3）
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
（二）期权价格的下限由于确定期权价格的下限较为复杂，我们这里先给出欧式期权价格的下限，并区分无收益与有收益标的资产两种情况。
1．欧式看涨期权价格的下限。
（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协议价格。此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。若ST>X，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST(X，则不执行看涨期权，组合A 的价值为X。因此，在T时刻，组合A 的价值为：
而在T时刻，组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:
c+Xe-r(T-t)≥S
c≥S-Xe-r(T-t)
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：
（13.4）
（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（13.5）
2．欧式看跌期权价格的下限。
（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：
组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，如果ST<X，期权将被执行，组合C价值为X；如果ST>X，期权将不被执行，组合C价值为ST，即在组合C的价值为：
max（ST，X）
假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（13.6）
（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（13.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
三、提前执行美式期权的合理性美式期权与欧式期权的区别在于能否提前执行，因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不合理的，那么在定价时，美式期权就等同于欧式期权，从而大大降低定价的难度。
（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权.
由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。
我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于S-X，其中S表示时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为，其中表示T- 时段的远期利率。因此，若提前执行的话，在 时刻组合A的价值为：，而组合B的价值为。由于 因此。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。
比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：
C=c （13.8）
根据（13.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：
（13.9）
2．看跌期权为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合：
组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。
若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe-(T-τ)，因此组合A的价值也高于组合B。
比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。
由于美式期权可提前执行，因此其下限比（13.6）更严格：
（13.10）
（二 ）提前执行有收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权.
由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。
我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2……，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn。
由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。
我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。
根据式（13.5），在tn时刻期权的价值（Cn）
因此，如果：
即：
（13.11）
则在tn提前执行是不明智的。
相反，如果
（13.12）
则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。
同样，对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
（13.13）
由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：
（13.14）
2．看跌期权。
由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。
通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：
由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：
（13.15）
四、期权价格曲线的形状弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后，我们就可以初步推出期权价格曲线的形状。
（一）看涨期权价格曲线从构成要素讲，期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于S和X，而时间价值则取决于内在价值、r、波动率等因素。
我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和(时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和S－X e-r(T-t)。特别地，当S=0时，C=c=0。
此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如图13.2所示。
看涨期权价格
期权价格上限
(C=c=S)
看涨期权价格曲线
期权价格下限
(C=c=max(S-X e-r(T-t),0))
=内在价值
时间价值
虚值期权 平价期权 实值期权 S
(S<X e-r(T-t)) (S=X e-r(T-t)) (S>X e-r(T-t))
图13.2 无收益资产看涨期权价格曲线
有收益资产看涨期权价格曲线与图13.2类似，只是把X e-r(T-t)换成X e-r(T-t)+D。
（二）看跌期权价格曲线
1．欧式看跌期权价格曲线。
我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为，下限为。当时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S=时，时间价值最大。当S趋于0和(时，期权价格分别趋于和0。特别时，当S=0时，。
欧式看跌期权价格
上限
X e-r(T-t)
欧式看跌期权价格
下限、
内在价值
时间价值
X e-r(T-t) S
图13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线
r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如图13.3所示。
有收益资产期权价格曲线与图13.3相似，只是把换为
2．美式看跌期权价格曲线。
对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为X－S。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为X－S。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X－S是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如图13.4所示。
美式看跌期权价格曲线
X 上限
美式看跌期权价格
下限、
内在价值
时间价值
0
X S
图13.4 无收益资产美式看跌期权价格曲线有收益美式看跌期权价格曲线与图13.4相似，只是把X换成D+X。
五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系
（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系
1．无收益资产的欧式期权。
在标的资产没有收益的情况下，为了推导c和p之间的关系，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：
（13.16）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。
如果式（13.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（13.16）成立。
2．有收益资产欧式期权。
在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：
（13.17）
（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
1．无收益资产美式期权。
由于P>p,从式（13.16）中我们可得：
对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：
（13.18）
为了推导出C和P的更严密的关系，我们考虑以下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为。因此组合A的价值大于组合B。
如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于。因此组合A的价值也大于组合B。
这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：
由于c=C，因此，
结合式（13.18），我们可得：
（13.19）
由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（13.19）的不等式。
2．有收益资产美式期权同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：
S-D-X(C-P(S-D-Xe-r（T-t） （13.20）
第二节 期权组合的盈亏分布期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险--收益偏好，选择最适合自己的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略”的EXCEL软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据，该软件就可以自动给出盈亏分布图。
一,标的资产与期权组合通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但位置不同的盈亏图，如图13.5表示①。
图13.5（a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权（Covered Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相反。
图13.5（b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合的盈亏图刚好相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。
盈利 盈利
X-p
c+X-St
c
0 ST 0 ST
St X X-St-p
-p
c-St
-St -St
亏损 亏损
(a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合图13-5标的资产与期权组合的盈亏分布图差价组合差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。
牛市差价（Bull Spreads）组合。
牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。
如果我们用X1 和X 2 分别表示组合中的两个协议价格，且X1 <X 2,c1和c2分别表示协议价格为X1和X2的看涨期权的价格，显然，c1>c2，那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表13.2表示。
表13.2 牛市差价期权的盈亏状况标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST(X2 ST―X1―c1 X2―ST+c2 X2―X1+c2―c1
X1<ST<X2 ST―X1―c1 c2 ST―X1+c2―c1
ST(X1 -c1 c2 c2―c1
表13.2的结果可用图13.6表示，从图中可以看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故称牛市差价组合。
盈利
X2-X1+c2-c1
c2
0 X1 X2 ST
c2-c1
-c1
图13.6 看涨期权的牛市差价组合
通过比较标的资产现价与协议价格的关系，我们可以把牛市差价期权分为三类：(两虚值期权组合，指两个协议价格均比现货价格高；(多头实值期权加空头虚值期权组合，指多头期权的协议价格比现货价格低，而空头期权的协议价格比现货价格高；(两实值期权组合，指两个协议价格均比现货价格低。
此外，一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组合也是牛市差价组合，如图13.7所示。
比较看涨期权的牛市差价与看跌期权的牛市差价组合可以看，前者期初现金流为负，后者为正，但前者的最终收益可能大于后者。
盈利
X1-p1
p2
p2-p1 X1 X2
0 ST
-p1
X1-X2+p2-p1
p2-X2
图13.7 看跌期权的牛市差价组合熊市差价组合熊市差价（Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，它可以由一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头组成（如图13.8所示）也可以由一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头组成（如图13.9所示）。
盈利
c1
c1-c2
0
X1 X2 ST
c2
X1-X2+c1-c2
图13.8 看涨期权的熊市差价组合看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。
通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和“高”是指协议价格。两者的图形刚好与X轴对称。
X2-p2
X2-X1+p1-p2
p1
X2
0 ST
p1-p2 X1
-p2
p1-X1
图13.9 看跌期权的熊市差价组合
蝶式差价组合蝶式差价（Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。若X1 < X2 < X3，且X2=（X1+X3）/2，则蝶式差价组合有如下四种：(看涨期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权多头和两份协议价格为X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图13.10所示；(看涨期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权空头和两份协议价格为X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好与图13,10相反； (看跌期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权多头和两份协议价格为X2的看跌期权空头组成，其盈亏图如图13.11所示。(看跌期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权空头和两份协议价格为X2的看跌期权多头组成，其盈亏图与图13.11刚好相反。
盈利 盈利
X1-p1
2c2
2p2
X2-X1+2c2 X2-X1+2p2
-c1-c3 -p1-p3
0 X1 X2 X3 ST 0 X1 X2 X3 ST
2c2-c1-c3 2p2-p1-p3
-c3 -p1
-c1 -p3
2p2-2X2
图13.10 看涨期权贵的正向蝶式差价组合 图13.11 看跌期权的正向蝶式差价组合差期组合差期（Calendar Spreads）组合是由两份相同协议价格、不同期限的同种期权的不同头寸组成的组合。它有四种类型：(一份看涨期权多头与一份期限较短的看涨期权空头的组合，称看涨期权的正向差期组合。(一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。(一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权空头的组合，称看跌期权的正向差期组合。(一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。
我们先分析看涨期权的正向差期组合的盈亏分布。令T表示期限较短的期权到期时刻，c1、c2分别代表期限较长和较短的看涨期权的期初价格，c1T代表T时刻期限较长的看涨期权的时间价值,ST表示T时刻标的资产的价格。当期限较短的期权到期时,若ST((，空头亏ST－X－c2，而多头虽未到期，但由于此时ST已远高于X，故其价值趋近于ST－X，即多头盈利趋近于ST－X－c1，总盈亏趋近于c2－c1。若ST=X，空头赚c2，多头还未到期，尚有价值c1T，即多头亏c1－c1T，总盈亏为c2－c1+c1T。若ST(0，空头赚c2，多头虽未到期，但由于ST远低于X，故其价值趋于0，即多头亏损趋近于c1，总盈亏趋近于c2－c1。我们把上述三种情况列于表13.3。
表13.3看涨期权的正向差期组合的盈亏状况
ST的范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST(( 趋近ST―X―c1 X―ST+c2 趋近 c2―c1
ST=X c1T―c1 c2 c2―c1+c1T
ST(0 趋近-c1 c2 趋近 c2―c1
根据表13.3，我们可以画出看涨期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.12所示。看涨期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图13.12相反，故从略。
盈利
c2
c2-c1+c1T
0 X ST
c2-c1
-c1
图13.12 看涨期权的正向差期组合
用同样的分析法我们可以画出看跌期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.13所示。其中p1和p2 分别代表期限较长和较短的看跌期权的期初价格，p1T代表T时刻期限较长的看跌期权的时间价值。看跌期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图13.13相反，也从略。
X-p1
p2
p2-p1+p1T
0 ST
p2-p1 X
-p1
p2-X
图13.13 看跌期权的正向差期组合
四、对角组合对角组合（Diagonal Spreads）是指由两份协议价格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不同（T和T*，且T<T*）的同种期权的不同头寸组成②。它有八种类型：
看涨期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合。
在期限较短的期权到期时,若ST= X2，空头赚c2，由于多头尚未到期，其价值为X2－X1+c1T(即内在价值加时间价值)，按价值卖掉，则多头盈利X2－X1+c1T－c1，共计盈亏X2－X1+ c2－c1 +c1T；若ST ((，空头亏ST－X2－c2，多头虽未到期，但由于ST远高于X1，故此时多头价值趋近于ST －X1，即多头盈利ST －X1－c1，共计盈亏X2－X1+ c2－c1③；若ST (0，空头赚c2，多头虽未到期，但由于ST远低于X1，故此时多头价值趋近于0，即多头亏损c1，共计盈亏c2－c1。我们把上述三种情形列于表13.4。
表13.4 看涨期权的正向差价和差期组合
ST的范围 (X1,T*)多头的盈亏 (X2,T)空头的盈亏 总盈亏
ST(( 趋近于ST―X1―c1 X2―ST+c2 趋近 X2―X1+c2－c1
ST=X2 X2―X1+c1T―c1 c2 X2―X1+c2 ―c1+c1T
ST(0 趋近-c1 c2 趋近 c2―c1
根据表13.4，我们可以画出看涨期权的正向差价和差期组合的盈亏分布图如图13.14所示。
盈利
X2-X1+c2-c1+c1T
c2 X1
0 ST
X2
c2-c1
-c1
图13.14 看涨期权(X1,T*)多头加(X2,T)空头组合
看涨期权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合。其盈亏图与图13.14刚好相反。
3,看涨期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合。用同样的办法我们可以画出该组合的盈亏分布图如图13.15所示。
盈利
c1
c1-c2+c2T
c1-c2
X1
0 ST
X1-X2+c1-c2 X2
-c2
图13.15 看涨期权(X2,T*)多头加(X1,T)空头组合
4,看涨期权的（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，其盈亏分布图与图13.15刚好相反。
看跌期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合，其盈亏图如图13.16所示。
盈利
p2
X1-p1
p2-p1
X1 p2-p1+p1T
X1-X2+p2-p1 X2 ST
-p1
p2-X2
图13.16 看跌期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合
看跌期权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合，其盈亏图与图13.16刚好相反。
看跌期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合，其盈亏图如图13.17所示。
盈利
X2-X1+p1-p2+p2T
p1
X2-X1+p1-p2
0 ST
X1 X2
p1-p2
-p2
图13.17 看跌期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合
看跌期权的（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，其盈亏图与图13.17刚好相反。
五、混合期权混合组合是由看涨期权和看跌期权构成的组合，其形式可谓五花八门，这里仅介绍最简单的几种。
跨式组合跨式组合（Straddle）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和一份看跌期权组成。跨式组合分为两种：底部跨式组合和顶部跨式组合。前者由两份多头组成，后者由两份空头组成。
底部跨式组合的盈亏图如图13.18所示，顶部跨式组合的盈亏图与图13.18刚好相反。
盈利
X-p
X-c-p
0
-c X ST
-p
-c-p
图13.18 底部跨式组合
条式组合和带式组合条式组合（Strip）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和两份看跌期权组成。条式组合也分底部和顶部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。底部条式组合的盈亏图如图13.19所示，顶部条式组合的盈亏图刚好相反。
盈利
2X-2p
2X-2p-c
X
ST
-c
-2p
-c-2p
图13.19 底部条式组合
带式组合（Strap）由具有相同协议价格、相同期限的资产的两份看涨期权和一份看跌期权组成，带式组合也分底部和预部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。底部带式组合的盈亏图如图13.20所示，顶部带式组合的盈亏图刚好相反。
盈利
X-p
X-2c-p
X
0 ST
-p
-2c
-2c-p
图13.20 底部带式组合
宽跨式组合。
宽跨式组合（Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌期权组成，其中看涨期权的协议价格高于看跌期权。宽跨式组合也分底部和顶部，前者由多头组成，后者由空头组成。前者的盈亏图如图13.21所示。后者的盈亏图刚好相反。
盈利
X1-P
X1-c-p
0 X1 X2 ST
-c
-p
-c-p
图13.21 底部宽跨式组合
从理论上讲，只要期权协议价格足够多，期权的组合种类是无限的。投资者可以根据自己对未来价格的判断、套期保值和套利的不同需要、以及自己的风险——收益偏好，随心所欲地组建不同的期权组合，甚至构建新的金融品种。而金融工具的拆分和组合正是金融工程学研究的主要内容。在现实生活中,各种期权组合盈亏图的具体形状是由构成该组合的各种期权的价格决定的。从理论上讲，盈亏曲线在X轴上方的部分与下方的部分在概率上应该是平衡的，即各组合的净现值应等于零。但在现实生活中，由于各种期权价格是分别由各自的供求决定的，所以常常出现不平衡的情况。有时盈亏曲线甚至完全位于X轴的上方或下方，这时就出现了无风险套利的大好机会。
期权定价的理论基础
为了精确地找出期权价格与S、X、r、波动率、期限之间的关系，我们必须引入统计学中较为复杂的概念——随机过程，它是了解期权及更复杂衍生证券定价的基础。
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（E(F(Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的，或称随机的，因此效率市场假说又称随机漫步理论。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此 以往的价格和成交量等技术面信息的以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续随机过程可分为离散时间和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量和连续变量过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，但我们仍可把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于现在的值。
二、布朗运动布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家罗伯特(布朗（Robert Brown）命名。然而真正用于描述布朗运动的随机过程的定义是维纳（Wiener）给出的，因此布朗运动又称维纳过程。
（一）标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：
特征1：和的关系满足（13.21）：
= （13.21）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。
从特征1可知，本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为，方差为。
从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。
现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。我们用z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/，因此，
（13.22）
其中(i=1，2，……N）是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，是相互独立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N=T，标准差为 。
由此我们可以发现两个特征：(在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为0，标准差为的正态分布。(对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。
当(0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
（13.23）
（二）普通布朗运动为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率（Drift Rate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后，z的方差为1.0(T。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动：
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
从式（13.21）和（13.24）可知，在短时间后，x值的变化值为：
因此，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。
三、证券⑤价格的变化过程证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此我们可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：
（13.25）
其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率（又称预期收益率）， 表示证券收益率单位时间的方差，表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz遵循标准布朗运动。
从（13.21）和上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：
可见，也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。换句话说，
（13.26）
其中表示均值为m，标准差为s的正态分布。
式（13.25）所描述的随机过程也称为几何布朗运动。
在式（13.25），我们涉及两个符号：，其大小取决于时间计量单位。在本书中，若无特别申明，我们通常以年为时间的计量单位。
根据资本资产定价原理，值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好，由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（）是无关的。相反，证券价格的波动率（）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可理解为证券价格的“脾气”，我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式（13.25）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（13.25）把当作常数，实际上，证券价格的脾气是会变的。会随时间变化而变化。因此用历史数据估计值时，应尽量用最新一段时间的数据，而且要注意这只是一种近似。
应该注意的是，由于比例变化不具有可加性（例如股价先增长10%，再增长15%，其总增长幅度不是25%，而应该是26.5%），因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为。
例13.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。
在本例中，=0.20，=0.18，其股价过程为：
在随后短时间时隔后的股价变化为：
由于1周等于0.0192年，因此
上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值。
四、伊藤过程和伊藤引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（13.24）得到伊藤⑥过程（Ito Process）：
（13.27）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
（13.28）
其中，dz是一个标准布朗运动。由于 和都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为：，方差率为。
公式（13.28）就是著名的伊藤引理⑦。
从式（13.25）中，我们可得：
（13.29）
其中，和为常数。我们知道，衍生证券的价格是标的证券价格S和时间t的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
（13.30）
比较式（13.29）和(13.30)可看出，衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个基本的不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。
五、证券价格自然对数变化过程我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。
令，由于
代入式（13.30），我们就可得出证券价格对数G所遵循的随机过程为：
由于和是常数，所以上式说明证券价格对数G也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前面的分析可知，在当前时刻t和将来某一时刻T之间G的变化都是正态分布的，其均值为，方差为。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
这意味着：
（13.31）
也就是说，证券价格对数的变化呈正态分布。
如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。
根据正态分布的特性，从式（13.31）可以得到：
（13.32）
这表明ST服从对数正态分布。lnST的标准差与成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）与我们考虑的未来时间的长度的平方根成正比。这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。
例13.2
设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。
由式（13.32）可知，6个月后ST的概率分布为：
由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95%，因此，置信度为95%时：
因此，6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95%。
根据式（13.32）和对数正态分布的特性,可知ST的期望值E(ST)为：
（13.33）
这与作为预期收益率的定义相符。ST的方差var(ST)为：
（13.34）
例13.3
请问在例13.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？
半年后，A股票价格的期望值为54.71元，标准差为或7.78。
布莱克——舒尔斯期权定价模型
现在，我们就可以根据上述随机过程的有关知识推导著名的布莱克——舒尔斯（Black—Scholes）微分方程及期权定价公式。
一、布莱克——舒尔斯微分方程由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种基本的不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。
推导布莱克——舒尔斯微分方程需要用到如下假设：
1．证券价格遵循几何布朗过程，即和为常数；
2．允许卖空标的证券；
3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；
4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；
5．不存在无风险套利机会；
6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
7．在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
实际上，有些假设条件我们可以放松，如、和r可以是t的函数⑧。
（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导由于我们假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
其在一个小的时间间隔中，S的变化值为：
（13.35）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，从式（13.30）可得：
在一个小的时间间隔中，f的变化 值为：
（13.36）
由于dz都是代表标准布朗运动，因此（13.35）和（13.36）中的相同，都等于。因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性。为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：
（13.37）
在时间后，该投资组合的价值变化为：
（13.38）
将式（13.35）和（13.36）代入式（13.38），可得：
（13.39）
由于式（13.39）中不含有，该组合的价值在一个小时间间隔后必定没有风险，因此该组合在中的瞬时收益率一定等于中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：
把式（13.37）和（13.39）代入上式得：
化简为：
（13.40）
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
应该注意的是，当S和t变化时， 的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克——舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心中的变化。
（二）风险中性定价原理从式（13.40）可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。于是，我们就可以利用布莱克——舒尔斯微分方程所揭示的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。这就是风险中性定价原理。
在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，通过这种假定所获得的结论不仅适用 于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：
11－0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。
从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。由于不同的概率决定了股票具有不同的风险度，从而也决定了厌恶风险的投资者对该股票要求有不同的预期收益率。然而，无论该股票上升或下降的概率如何，也无论投资者厌恶风险程度如何，该期权的价值都等于0.31元。
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
1973年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式⑨。
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：
其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：
（13.41）
在风险中性条件下，我们可以用r取代式（13.32）所表示lnST概率分布中的，即：
（13.42）
对式（13.41）右边求值是一种积分过程，结果为：
（13.43）
其中，
N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于X的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有。
这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（13.43）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
由于欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，因此把式（13.43）代入式（13.16）可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式,
（13.44）
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出⑩。
三、有收益资产的期权定价公式到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的期权定价并不复杂。
（一）有收益资产欧式期权的定价公式在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率⑾，就可直接套用公式（13.43）和（13.44）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（13.43）和（13.44）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替式（13.43）和（13.44）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格，从而使布莱克——舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。
对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：
（13.45）
（13.46）
其中，
例13.4
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。
由于英镑会产生无风险收益，现在的1英镑等于6个月后的英镑，而现在的英镑等于6个月后的1英镑，因此可令，并代入式（13.43）就可求出期权价格。
通过查累积正态分布函数N（x）的数据表，我们可以得出：
c=1.4268(0.4298-1.4484(0.4023=0.0305=3.05美分因此,6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。
（二）有收益资产美式期权的定价
1．美式看涨期权当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，其方法我们在本章第一节已论述过。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。
例13.5
假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。
首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据本章第一节的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：
在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除权日前不等式右边为：
由于2.4385>1.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。
第二次除权日前不等右边为：
由于0.4148<1.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：
因此S=48.1284，代入式（13.43）得：
其中，
由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此
对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：
因此S=49.0408元，代入式（13.43）得：
其中，
由于c11>c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元。
2．美式看跌期权由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。
二叉树期权定价摸型
由于美式看跌期权无法用布莱克——舒尔斯期权定价公式进行精确定价，因此要用其它替代方法，如二叉树期权定价模型，该模型是由科克斯（J.Cox）、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的。
一、无收益资产期权的定价二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格从开始的S运动到两个新值Su和Sd中的一个，如图13.5所示。其中，u>1，d<1，且u=1/d。因此S到Su是价格的“上升”运动，S到Sd是价格“下降”运动。价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1－p。
图13.5时间内证券价格的变动
为了对期权进行定价，二叉树模型也应用风险中性定价原理，并假定：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现来计算现值。
（一）参数p、u和d的确定在风险中性的条件下，证券的预期收益率等于无风险利率r，因此若该时段初证券价格为S，则在小时间间隔段未的证券价格期望值为。参数p、u和d的值必须满足这个要求，即：
(13.47)
二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，根据本章第2节的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量X的方差等于X2的期望值与X期望值平方之差，因此：
(13.48)
从式（13.47）、（13.48）和u=1/d可以求得，当很小时：
（13.49）
（13.50）
（13.51）
（二）证券价格的树型结构应用二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图13.6所示。
图13.6 证券价格的树型结构
当时间为0时，证券价格为S。时间为时，证券价格要么上涨到Su，要么下降到Sd；时间为2时，证券价格就有三种可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此类推。一般而言，在时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：
其中j=0，1，2，……，i
（三）倒推定价法在二叉树模型中，期权定价从树型结构图的末端T时刻开始，采用倒推法定价。由于在T时刻的期权价值是已知的。例如，看涨期权价值为，看跌期权价值为。因此在风险中性条件下在求解时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T时的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率r贴现求出。同理，要求解时的每一结点的期权价值时，也可以将时的期权价值预期值在时间内以无风险利率r贴现求出。依此类推。如果是美式期权，就要看在树型结构的每一个结点上，提前执行期权是否比将期权再持有时间更有利。采用这种倒推法，最终可以求出0时刻（当前时刻）的期权价值。
例13.6
假设标的股票为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该股权的价值。
为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（13.49）到（13.51），可以算出：
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图13.7所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。
在时刻，股票在第j个结点（j=0，1，2，……i）的价格等于。例如，F结点（i=4，j=1）的股价等于。在最后那些结点处，期权价值等于。例如，G结点的期权价格等于50 －35.36=14.64。
图13.7 不付红利股票美式看跌期权二叉树
从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是时间内期权价值期望值的现值。例如，E结点处的期权价值等于：
而F结点处的期权价值等于：
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。因此E结点的期权价值应为2.66元。而在F结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提前执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。
如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当非常小时，期权价值将等于4.29元。
（四）美式看跌期权的定价公式假定将某种无收益证券的美式看跌期权的有效期划分成N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，我们将称为结点的期权价值。同时用表示结点处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是，所以有：
，其中j=0，1，2，……，N
当时间从变为时，从结点移动到结点的概率为p，移动到的概率为1－p。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
其中。如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比较，由此可得：
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30个就可得到较为理想的结果。
二、有收益资产期权的定价
（一）支付连续收益率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率q的收益时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r－q，因此式（13.47）就变为：
同时，式（13.49）变为：
（13.53）
式（13.50）和（13.51）仍然适用。
对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，q为国外无风险利率，因此式（13.50）至（13.52）可用于股价指数和外汇的美式看跌期权的定价。
对于期货期权来说，布莱克曾证明，在对期货期权定价时期货的价格可以和支付连续红利率r的证券同样对待⑿，因此对于期货期权而言，q=r，即：
（13.53）
这样式（13.50）、（13.51）和（13.53）就可用于美式期货看跌期权的定价。
（二）支付已知收益资产的期权定价
1．已知红利率若标的资产在未来某一确定时间将支付已知收益率，我们只要调整在各个结点上的证券价格就可根据式（13.49）至（13.51）算出期权价格。调整方法如下：
如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
j=0，1，……,i
对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若δi为0时刻到时刻之间所有除权日的红利支付率，则时刻结点的相应的证券价格为：
2．已知红利额若标的资产在未来某一确定日期将支付已知数额的收益，则除权后树枝再不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额收益的话。
为了简化起见，我们仍可以把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一个除息日，而且。x时刻不确定部分的价值S* 为：
当时
当时
其中D表示收益金额。设为S*的标准差，假设是常数，用代替式（13.49）到（13.51）中的就可计算出参数p、u和d，这样就可用通常的方法构造出模拟S*的二叉树了。通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟S的二叉树。在时刻，当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0，1，2……，i
当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0，1，2……，i
简短小结
1．期权价格的影响因素有：标的资产的市价、期权的协议价格、期权的有效期、标的资产价格的波动率、无风险利率、标的资产的收益。
2．期权价值等于内在价值与时间价值之和。内在价值等于零和期权立即执行时所具有的价值这两者之中的较大值。期权时间价值在内在价值为零时最大，并随标的资产市价与协议价格之间差额的绝对值变大而递减。随着时间的延长，期权时间价值是递增的，但增幅是递减的。
标的资产价格波动率越高，时间价值也越大。无风险利率对期权价格的影响较复杂，应具体问题具体分析。
3．期权价格上下限如表13.1所示。
上 限
下 限
欧式
看涨
无收益
S
有收益
S
看跌
无收益
有收益
美式
看涨
无收益
S
有收益
S
看跌
无收益
X
有收益
X
4．提前执行无收益资产看涨期权是不合理的，而提前执行看跌期权和有收益资产看涨期权，则有可能是合理的。
5．无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系为：
6．有收益资产欧式期权平价关系为：
7．美式看涨期权与看跌期权之间不存在平价关系。
8．所有期权和期权组合都可画出盈亏分布图。
9．为了给期权定价，我们假设期权标的资产遵循几何布朗运动，据此可以推导出著名的布莱克——舒尔斯微分方程：
10．在对衍生证券定价时，我们可以假设所有投资者都是风险中性的，这就是风险中性定价原理。它可大大简化衍生证券的定价，然而得出的结论也适用于厌恶风险情况。
11．布莱克——舒尔斯定价公式可用于看跌期权和美式看涨期权定价。对美式看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟、有限差分以及解析近似方法求出。
本章重要概念：
协议价格 期权价格 时间价值 内在价值 欧式期权 美式期权 虚值期权 平价期权 实值期权 看涨期权 看跌期权 看涨期权与看跌期权平价 差价组合 差期组合 对角组合 混合组合 随机过程 布朗运动 伊腾引理 风险中性定价原理 二叉树模型
习题：
1．某投资者买进一份看涨期权同时卖出一份相同标的资产、相同期限相同协议价格的看跌期权，请描述该投资者的状况。
2．请解释为什么相同标的资产、相同期限、相同协议价格的美式期权的价值总是大于等于欧式期权。
3．设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股息协议价格为27元，有效期3个月的看涨期权价格的下限。
4．某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？
5．假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东。该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值高于债务，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。
（1）请将你的股权表示为公司价值的期权；
（2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权；
（3）你有什么办法来提高股权的价值？
6．设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期权的价格，其中X3>X2>X1且X3―X2=X2―X1，所有期权的到期日相同，请证明：
7、请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本。
8、箱型差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是X1和X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。
9．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：(第二天收盘时的预期价格，(第二天收盘时股价的标准差，(在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。
10.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为(1和(2，方差率分别为(12和(22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？
（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关；
（2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为(。
11．假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。
12．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。
13．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。
14．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
15．某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请用间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。
习题答案：
该投资者最终的结果为：
max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X
可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。
本习题说明了如下问题：
欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。
远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。
当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。
美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权力外，还有提前执行的权力，因此美式期权的价值至少应不低于欧式期权。
下限为：
30－27e-0.06×0.25=3.40元。
看跌期权价格为：
p=c+Xe-rT+D-S0
=2+25e-0.5×0.08+0.5e-0.1667×0.08+0.5e-0.4167×0.08-24
=3.00元。
（1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为：
max(V-D,0)
这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。
（2）债权人的结果为：
min(V,D)=D-max(D-V,0)
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。
（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为：
当ST(X1时，组合价值＝0；
当X1<ST(X2时，组合价值＝ST-X1>0；
当X2<ST(X3时，组合价值＝ST-X1-2(ST-X2)=X2-X1-(ST-X2)(0；
当ST>X3时，组合价值＝ST-X1-2(ST-X2)+ST-X3=X2-X1-(X3-X2)=0.
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组合现在的价值也应大于等于0，这意味着：
c1+c3-2c2(0,或者说：
c2(0.5(c1+c3).
令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价：
c1+X1e-rT=p1+S
c2+X2e-rT=p2+S
c3+X3e-rT=p3+S
因此，
c1+c2-2c3+(X1+X3-2X2)e-rT=p1+p3-2p2
由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样，
c1+c2-2c3=p1+p3-2p2
证毕。
看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为：
期末股价范围
看涨期权的牛市差价组合
看跌期权的熊市差价组合
总结果
ST(X2
X2-X1
0
X2-X1
X1<ST<X2
ST－X1
X2-ST
X2-X1
ST(X1
0
X2-X1
X2-X1
从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。
由于
在本题中，S＝50，(＝0.16,(=0.30,(t=1/365=0.00274.因此，
(S/50(((0.16(0.00274,0.3(0.002740.5)
=((0.0004,0.0157)
(S(((0.022,0.785)
因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96(0.785至50.022+1.96(0.785,即48.48元至51.56元之间。
（1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为：
X2的概率分布为：
根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为：
这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为的普通布朗运动。
（2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为：
如果都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为：
这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为+ 的普通布朗运动。
在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25,
因此，
这样，欧式看跌期权价格为，
根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有：
由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为：
同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有：
可见，，看涨期权和看跌期权平价公式成立。
D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65
可见，
显然，该美式期权是不应提早执行的。
红利的现值为：
该期权可以用欧式期权定价公式定价：
S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32
N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184
因此，看涨期权价格为：
构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：
28.5e-0.08×0.08333=28.31元。
这意味着：
-c+40Δ=28.31
c=40×0.75-28.31=1.69元。
再在本题中，S=40，X=40，r=0.05,σ=0.30,T=0.25,Δt=0.0833。用本书光盘所附软件可以求出如下结果。
计算结果
△t
u
d
a
p
1-p
0.0833
1.0905
0.9170
1.0042
0.5024
0.4976
红色表示股价，黄色表示欧式期权价格，绿色表示美式期权价格
51.87
0.00
47.56
0.00
0.00
43.62
0.00
43.62
0.81
0.00
40.00
0.81
40.00
0.00
2.34
1.64
2.38
36.68
1.64
36.68
3.89
3.32
3.98
33.64
3.32
6.20
6.36
30.85
9.15
9.15
期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的，它涉及到随机过程等较为复杂的概念。我们将由浅入深，尽量深入浅出地导出期权定价公式，并找出衍生证券定价的一般方法。
期权价格的特性内在价值和时间价值期权价格(或者说价值)等于期权的内在价值加上时间价值。
（一）期权的内在价值期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。对于欧式看涨期权来说，因多方只能在期权到期时行使，因此其内在价值为(ST-X)的现值。由于对于无收益资产而言，ST的现值就是当前的市价（S），而对于支付现金收益的资产来说，ST的现值为S-D，其中D表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。因此，无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D- Xe-r(T-t)。
对于无收益资产美式看涨期权而言，虽然多方可以随时行使期权，但我们在本节即将证明,在期权到期前提前行使无收益美式期权是不明智的,因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D- Xe-r(T-t)。
同样道理，无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为X e-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值都为X e-r(T-t)+D-S。美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。其中，无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。
当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。
（二）期权的时间价值期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。
时间价值
X e-r(T-t) S
图13.1 无收益资产看涨期权时间价值与(S-X e-r(T-t))的关系我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议价格分别为X1=10元，X2=8元，它们的有效期都是1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。那么这两种期权的时间价值谁高呢？
假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元。那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？为了比较这两种期权，我们假定1年后出现如下三种情况：
情况一：ST=14元。则期权持有者可从期权1中获利（14-10-2e0.1）=1.79元，可从期权2中获利（14-8-3.81e0.1）=1.79元。期权1获利金额等于期权2。
情况二：ST=10元。则期权1亏2e0.1=2.21元，期权2也亏3.81e0.1-2=2.21元。期权1亏损等于期权2。
情况三：ST=8元。则期权1亏2e0.1=2.21元，而期权2亏3.81 e0.1=4.21元。期权1亏损少于期权2。
由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。显然，期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。
我们再来比较如下两种期权。X1=10元，X3=12元。其它条件与上例相同。显然，期权1的内在价值为0，期权3的内在价值虽然也等于0，但S-X e-r(T-t)却等于-1.81元。通过同样的分析，我们也可以得出期权1 的时间价值应高于期权3的结论。综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产看涨期权的时间价值在S=X e-r(T-t)点最大的结论。
通过同样的分析，我们还可以得出如下结论：有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+ Xe-r(T-t) 点最大，而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t) 点最大，有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S= Xe-r(T-t)-D 点最大,无收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X 点最大，有收益资产美式看跌期权的时间价值在S= X-D 点最大。
弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合是很重要的。
期权价格的影响因素期权价格的影响因素主要有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。
对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
（二）期权的有效期对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。
对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。例如，同一股票的两份欧式看涨期权，一个有效期1个月，另一个2个月，假定在6周后标的股票将有大量红利支付，由于支付红利会使股价下降，在这种情况下，有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期权。
但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（Marginal Time Value）为正值。
我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。换句话说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。这一点对组建和分析第五章中的期权差期组合和对角组合是很重要的。
（三）标的资产价格的波动率简单地说，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标，其确切定义将在本章第二节给出。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。
（四）无风险利率无风险利率对期权价格的影响我们可从两个角度来考察。
首先我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果状态1的无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（So），未来预期价格[E(ST)]较高。同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。这两种效应都将减少看跌期权的价值。但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使 期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。
其次我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。在标的资产价格与利率呈负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的降幅更大来实现的。同是贴现率也随之上升。对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降，而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看跌期权价格上升。
大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。因此我们在具体运用时要注意区别分析的角度。
（五）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。
二、期权价格的上、下限为了推导出期权定价的精确公式，我们先得找出期权价格的上、下限。
（一）期权价格 的上限
1．看涨期权价格的上限。
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（13.1）
其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。
2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：
（13.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：
（13.3）
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
（二）期权价格的下限由于确定期权价格的下限较为复杂，我们这里先给出欧式期权价格的下限，并区分无收益与有收益标的资产两种情况。
1．欧式看涨期权价格的下限。
（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协议价格。此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。若ST>X，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST(X，则不执行看涨期权，组合A 的价值为X。因此，在T时刻，组合A 的价值为：
而在T时刻，组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:
c+Xe-r(T-t)≥S
c≥S-Xe-r(T-t)
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：
（13.4）
（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（13.5）
2．欧式看跌期权价格的下限。
（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：
组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，如果ST<X，期权将被执行，组合C价值为X；如果ST>X，期权将不被执行，组合C价值为ST，即在组合C的价值为：
max（ST，X）
假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（13.6）
（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（13.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
三、提前执行美式期权的合理性美式期权与欧式期权的区别在于能否提前执行，因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不合理的，那么在定价时，美式期权就等同于欧式期权，从而大大降低定价的难度。
（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权.
由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。为了精确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。
我们再来看一下提前执行美式期权的情况。若在时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于S-X，其中S表示时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为，其中表示T- 时段的远期利率。因此，若提前执行的话，在 时刻组合A的价值为：，而组合B的价值为。由于 因此。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。
比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：
C=c （13.8）
根据（13.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：
（13.9）
2．看跌期权为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合：
组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。
若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe-(T-τ)，因此组合A的价值也高于组合B。
比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。
由于美式期权可提前执行，因此其下限比（13.6）更严格：
（13.10）
（二 ）提前执行有收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权.
由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。
我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2……，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn。
由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。
我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。
根据式（13.5），在tn时刻期权的价值（Cn）
因此，如果：
即：
（13.11）
则在tn提前执行是不明智的。
相反，如果
（13.12）
则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。
同样，对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
（13.13）
由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：
（13.14）
2．看跌期权。
由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。
通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：
由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：
（13.15）
四、期权价格曲线的形状弄清了期权价格的影响因素和期权价格上下限后，我们就可以初步推出期权价格曲线的形状。
（一）看涨期权价格曲线从构成要素讲，期权价格等于内在价值加上时间价值。内在价值主要取决于S和X，而时间价值则取决于内在价值、r、波动率等因素。
我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和(时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和S－X e-r(T-t)。特别地，当S=0时，C=c=0。
此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如图13.2所示。
看涨期权价格
期权价格上限
(C=c=S)
看涨期权价格曲线
期权价格下限
(C=c=max(S-X e-r(T-t),0))
=内在价值
时间价值
虚值期权 平价期权 实值期权 S
(S<X e-r(T-t)) (S=X e-r(T-t)) (S>X e-r(T-t))
图13.2 无收益资产看涨期权价格曲线
有收益资产看涨期权价格曲线与图13.2类似，只是把X e-r(T-t)换成X e-r(T-t)+D。
（二）看跌期权价格曲线
1．欧式看跌期权价格曲线。
我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为，下限为。当时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S=时，时间价值最大。当S趋于0和(时，期权价格分别趋于和0。特别时，当S=0时，。
欧式看跌期权价格
上限
X e-r(T-t)
欧式看跌期权价格
下限、
内在价值
时间价值
X e-r(T-t) S
图13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线
r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如图13.3所示。
有收益资产期权价格曲线与图13.3相似，只是把换为
2．美式看跌期权价格曲线。
对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为X－S。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为X－S。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X－S是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如图13.4所示。
美式看跌期权价格曲线
X 上限
美式看跌期权价格
下限、
内在价值
时间价值
0
X S
图13.4 无收益资产美式看跌期权价格曲线有收益美式看跌期权价格曲线与图13.4相似，只是把X换成D+X。
五、看涨期权与看跌期权之间的平价关系
（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系
1．无收益资产的欧式期权。
在标的资产没有收益的情况下，为了推导c和p之间的关系，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：
（13.16）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。
如果式（13.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（13.16）成立。
2．有收益资产欧式期权。
在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：
（13.17）
（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
1．无收益资产美式期权。
由于P>p,从式（13.16）中我们可得：
对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：
（13.18）
为了推导出C和P的更严密的关系，我们考虑以下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为。因此组合A的价值大于组合B。
如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于。因此组合A的价值也大于组合B。
这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：
由于c=C，因此，
结合式（13.18），我们可得：
（13.19）
由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（13.19）的不等式。
2．有收益资产美式期权同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：
S-D-X(C-P(S-D-Xe-r（T-t） （13.20）
第二节 期权组合的盈亏分布期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险--收益偏好，选择最适合自己的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。本书所附光盘中题为“期权交易策略”的EXCEL软件有本节中所提到的所有期权组合的盈亏分布计算软件。读者只要输入有关数据，该软件就可以自动给出盈亏分布图。
一,标的资产与期权组合通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但位置不同的盈亏图，如图13.5表示①。
图13.5（a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权（Covered Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相反。
图13.5（b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合的盈亏图刚好相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。
盈利 盈利
X-p
c+X-St
c
0 ST 0 ST
St X X-St-p
-p
c-St
-St -St
亏损 亏损
(a)标的资产多头与看涨期权空头的组合 (b)标的资产多头与看跌期权多头的组合图13-5标的资产与期权组合的盈亏分布图差价组合差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。
牛市差价（Bull Spreads）组合。
牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。
如果我们用X1 和X 2 分别表示组合中的两个协议价格，且X1 <X 2,c1和c2分别表示协议价格为X1和X2的看涨期权的价格，显然，c1>c2，那么牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表13.2表示。
表13.2 牛市差价期权的盈亏状况标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST(X2 ST―X1―c1 X2―ST+c2 X2―X1+c2―c1
X1<ST<X2 ST―X1―c1 c2 ST―X1+c2―c1
ST(X1 -c1 c2 c2―c1
表13.2的结果可用图13.6表示，从图中可以看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故称牛市差价组合。
盈利
X2-X1+c2-c1
c2
0 X1 X2 ST
c2-c1
-c1
图13.6 看涨期权的牛市差价组合
通过比较标的资产现价与协议价格的关系，我们可以把牛市差价期权分为三类：(两虚值期权组合，指两个协议价格均比现货价格高；(多头实值期权加空头虚值期权组合，指多头期权的协议价格比现货价格低，而空头期权的协议价格比现货价格高；(两实值期权组合，指两个协议价格均比现货价格低。
此外，一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组合也是牛市差价组合，如图13.7所示。
比较看涨期权的牛市差价与看跌期权的牛市差价组合可以看，前者期初现金流为负，后者为正，但前者的最终收益可能大于后者。
盈利
X1-p1
p2
p2-p1 X1 X2
0 ST
-p1
X1-X2+p2-p1
p2-X2
图13.7 看跌期权的牛市差价组合熊市差价组合熊市差价（Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，它可以由一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头组成（如图13.8所示）也可以由一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头组成（如图13.9所示）。
盈利
c1
c1-c2
0
X1 X2 ST
c2
X1-X2+c1-c2
图13.8 看涨期权的熊市差价组合看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。
通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和“高”是指协议价格。两者的图形刚好与X轴对称。
X2-p2
X2-X1+p1-p2
p1
X2
0 ST
p1-p2 X1
-p2
p1-X1
图13.9 看跌期权的熊市差价组合
蝶式差价组合蝶式差价（Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。若X1 < X2 < X3，且X2=（X1+X3）/2，则蝶式差价组合有如下四种：(看涨期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权多头和两份协议价格为X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图13.10所示；(看涨期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权空头和两份协议价格为X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好与图13,10相反； (看跌期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权多头和两份协议价格为X2的看跌期权空头组成，其盈亏图如图13.11所示。(看跌期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权空头和两份协议价格为X2的看跌期权多头组成，其盈亏图与图13.11刚好相反。
盈利 盈利
X1-p1
2c2
2p2
X2-X1+2c2 X2-X1+2p2
-c1-c3 -p1-p3
0 X1 X2 X3 ST 0 X1 X2 X3 ST
2c2-c1-c3 2p2-p1-p3
-c3 -p1
-c1 -p3
2p2-2X2
图13.10 看涨期权贵的正向蝶式差价组合 图13.11 看跌期权的正向蝶式差价组合差期组合差期（Calendar Spreads）组合是由两份相同协议价格、不同期限的同种期权的不同头寸组成的组合。它有四种类型：(一份看涨期权多头与一份期限较短的看涨期权空头的组合，称看涨期权的正向差期组合。(一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。(一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权空头的组合，称看跌期权的正向差期组合。(一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。
我们先分析看涨期权的正向差期组合的盈亏分布。令T表示期限较短的期权到期时刻，c1、c2分别代表期限较长和较短的看涨期权的期初价格，c1T代表T时刻期限较长的看涨期权的时间价值,ST表示T时刻标的资产的价格。当期限较短的期权到期时,若ST((，空头亏ST－X－c2，而多头虽未到期，但由于此时ST已远高于X，故其价值趋近于ST－X，即多头盈利趋近于ST－X－c1，总盈亏趋近于c2－c1。若ST=X，空头赚c2，多头还未到期，尚有价值c1T，即多头亏c1－c1T，总盈亏为c2－c1+c1T。若ST(0，空头赚c2，多头虽未到期，但由于ST远低于X，故其价值趋于0，即多头亏损趋近于c1，总盈亏趋近于c2－c1。我们把上述三种情况列于表13.3。
表13.3看涨期权的正向差期组合的盈亏状况
ST的范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏
ST(( 趋近ST―X―c1 X―ST+c2 趋近 c2―c1
ST=X c1T―c1 c2 c2―c1+c1T
ST(0 趋近-c1 c2 趋近 c2―c1
根据表13.3，我们可以画出看涨期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.12所示。看涨期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图13.12相反，故从略。
盈利
c2
c2-c1+c1T
0 X ST
c2-c1
-c1
图13.12 看涨期权的正向差期组合
用同样的分析法我们可以画出看跌期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.13所示。其中p1和p2 分别代表期限较长和较短的看跌期权的期初价格，p1T代表T时刻期限较长的看跌期权的时间价值。看跌期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图13.13相反，也从略。
X-p1
p2
p2-p1+p1T
0 ST
p2-p1 X
-p1
p2-X
图13.13 看跌期权的正向差期组合
四、对角组合对角组合（Diagonal Spreads）是指由两份协议价格不同（X1和X2，且X1<X2）、期限也不同（T和T*，且T<T*）的同种期权的不同头寸组成②。它有八种类型：
看涨期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合。
在期限较短的期权到期时,若ST= X2，空头赚c2，由于多头尚未到期，其价值为X2－X1+c1T(即内在价值加时间价值)，按价值卖掉，则多头盈利X2－X1+c1T－c1，共计盈亏X2－X1+ c2－c1 +c1T；若ST ((，空头亏ST－X2－c2，多头虽未到期，但由于ST远高于X1，故此时多头价值趋近于ST －X1，即多头盈利ST －X1－c1，共计盈亏X2－X1+ c2－c1③；若ST (0，空头赚c2，多头虽未到期，但由于ST远低于X1，故此时多头价值趋近于0，即多头亏损c1，共计盈亏c2－c1。我们把上述三种情形列于表13.4。
表13.4 看涨期权的正向差价和差期组合
ST的范围 (X1,T*)多头的盈亏 (X2,T)空头的盈亏 总盈亏
ST(( 趋近于ST―X1―c1 X2―ST+c2 趋近 X2―X1+c2－c1
ST=X2 X2―X1+c1T―c1 c2 X2―X1+c2 ―c1+c1T
ST(0 趋近-c1 c2 趋近 c2―c1
根据表13.4，我们可以画出看涨期权的正向差价和差期组合的盈亏分布图如图13.14所示。
盈利
X2-X1+c2-c1+c1T
c2 X1
0 ST
X2
c2-c1
-c1
图13.14 看涨期权(X1,T*)多头加(X2,T)空头组合
看涨期权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合。其盈亏图与图13.14刚好相反。
3,看涨期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合。用同样的办法我们可以画出该组合的盈亏分布图如图13.15所示。
盈利
c1
c1-c2+c2T
c1-c2
X1
0 ST
X1-X2+c1-c2 X2
-c2
图13.15 看涨期权(X2,T*)多头加(X1,T)空头组合
4,看涨期权的（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，其盈亏分布图与图13.15刚好相反。
看跌期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合，其盈亏图如图13.16所示。
盈利
p2
X1-p1
p2-p1
X1 p2-p1+p1T
X1-X2+p2-p1 X2 ST
-p1
p2-X2
图13.16 看跌期权的（X1，T*）多头加（X2，T）空头组合
看跌期权的（X1，T*）空头加（X2，T）多头组合，其盈亏图与图13.16刚好相反。
看跌期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合，其盈亏图如图13.17所示。
盈利
X2-X1+p1-p2+p2T
p1
X2-X1+p1-p2
0 ST
X1 X2
p1-p2
-p2
图13.17 看跌期权的（X2，T*）多头加（X1，T）空头组合
看跌期权的（X2，T*）空头加（X1，T）多头组合，其盈亏图与图13.17刚好相反。
五、混合期权混合组合是由看涨期权和看跌期权构成的组合，其形式可谓五花八门，这里仅介绍最简单的几种。
跨式组合跨式组合（Straddle）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和一份看跌期权组成。跨式组合分为两种：底部跨式组合和顶部跨式组合。前者由两份多头组成，后者由两份空头组成。
底部跨式组合的盈亏图如图13.18所示，顶部跨式组合的盈亏图与图13.18刚好相反。
盈利
X-p
X-c-p
0
-c X ST
-p
-c-p
图13.18 底部跨式组合
条式组合和带式组合条式组合（Strip）由具有相同协议价格、相同期限的一份看涨期权和两份看跌期权组成。条式组合也分底部和顶部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。底部条式组合的盈亏图如图13.19所示，顶部条式组合的盈亏图刚好相反。
盈利
2X-2p
2X-2p-c
X
ST
-c
-2p
-c-2p
图13.19 底部条式组合
带式组合（Strap）由具有相同协议价格、相同期限的资产的两份看涨期权和一份看跌期权组成，带式组合也分底部和预部两种，前者由多头构成，后者由空头构成。底部带式组合的盈亏图如图13.20所示，顶部带式组合的盈亏图刚好相反。
盈利
X-p
X-2c-p
X
0 ST
-p
-2c
-2c-p
图13.20 底部带式组合
宽跨式组合。
宽跨式组合（Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌期权组成，其中看涨期权的协议价格高于看跌期权。宽跨式组合也分底部和顶部，前者由多头组成，后者由空头组成。前者的盈亏图如图13.21所示。后者的盈亏图刚好相反。
盈利
X1-P
X1-c-p
0 X1 X2 ST
-c
-p
-c-p
图13.21 底部宽跨式组合
从理论上讲，只要期权协议价格足够多，期权的组合种类是无限的。投资者可以根据自己对未来价格的判断、套期保值和套利的不同需要、以及自己的风险——收益偏好，随心所欲地组建不同的期权组合，甚至构建新的金融品种。而金融工具的拆分和组合正是金融工程学研究的主要内容。在现实生活中,各种期权组合盈亏图的具体形状是由构成该组合的各种期权的价格决定的。从理论上讲，盈亏曲线在X轴上方的部分与下方的部分在概率上应该是平衡的，即各组合的净现值应等于零。但在现实生活中，由于各种期权价格是分别由各自的供求决定的，所以常常出现不平衡的情况。有时盈亏曲线甚至完全位于X轴的上方或下方，这时就出现了无风险套利的大好机会。
期权定价的理论基础
为了精确地找出期权价格与S、X、r、波动率、期限之间的关系，我们必须引入统计学中较为复杂的概念——随机过程，它是了解期权及更复杂衍生证券定价的基础。
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
1965年，法玛（E(F(Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的，或称随机的，因此效率市场假说又称随机漫步理论。
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。
弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。
半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此 以往的价格和成交量等技术面信息的以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”）对挑选证券都没有用处。
效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分析。结果发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。所谓随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续随机过程可分为离散时间和连续时间随机过程，前者是指变量只能在某些分离的时间点上变化的过程，后者指变量可以在连续的时间段变化的过程。根据变量取值范围是否连续划分，随机过程可分为离散变量和连续变量过程，前者指变量只能取某些离散值，而后者指变量可以在某一范围内取任意值。从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，但我们仍可把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于现在的值。
二、布朗运动布朗运动（Brownian Motion）起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述，以发现这种现象的英国植物学家罗伯特(布朗（Robert Brown）命名。然而真正用于描述布朗运动的随机过程的定义是维纳（Wiener）给出的，因此布朗运动又称维纳过程。
（一）标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：
特征1：和的关系满足（13.21）：
= （13.21）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔，的值相互独立。
从特征1可知，本身也具有正态分布特征，其均值为0，标准差为，方差为。
从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。
现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形。我们用z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量，它可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量，其中N=T/，因此，
（13.22）
其中(i=1，2，……N）是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，是相互独立的，因此z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N=T，标准差为 。
由此我们可以发现两个特征：(在任意长度的时间间隔T中，遵循标准布朗运动的变量的变化值具有均值为0，标准差为的正态分布。(对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。
当(0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
（13.23）
（二）普通布朗运动为了得到普通的布朗运动，我们必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率（Drift Rate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（Variance Rate）是指单位时间的方差。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值。方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间段后，z的方差为1.0(T。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运动：
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
从式（13.21）和（13.24）可知，在短时间后，x值的变化值为：
因此，Δx也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。同样，在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为，方差为b2T。
三、证券⑤价格的变化过程证券价格的变化过程可以用普遍布朗运动来描述。但由于投资者关心的是证券价格的变动幅度而不是变动的绝对值，因此我们可以用证券价格比例的方式来定义证券价格的布朗运动：
（13.25）
其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率（又称预期收益率）， 表示证券收益率单位时间的方差，表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率（Volatility），dz遵循标准布朗运动。
从（13.21）和上式可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：
可见，也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。换句话说，
（13.26）
其中表示均值为m，标准差为s的正态分布。
式（13.25）所描述的随机过程也称为几何布朗运动。
在式（13.25），我们涉及两个符号：，其大小取决于时间计量单位。在本书中，若无特别申明，我们通常以年为时间的计量单位。
根据资本资产定价原理，值取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好，由于后者涉及主观因素，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率（）是无关的。相反，证券价格的波动率（）对于衍生证券的定价则是相当重要的。证券价格的波动率可理解为证券价格的“脾气”，我们可以通过历史数据来观察各种证券“脾气”的大小，然后通过公式（13.25）来确定其未来价格的概率分布。应该注意的是，公式（13.25）把当作常数，实际上，证券价格的脾气是会变的。会随时间变化而变化。因此用历史数据估计值时，应尽量用最新一段时间的数据，而且要注意这只是一种近似。
应该注意的是，由于比例变化不具有可加性（例如股价先增长10%，再增长15%，其总增长幅度不是25%，而应该是26.5%），因此我们并不能象以前一样推导出在任意时间长度T后证券价格比例变化的标准差为。
例13.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。
在本例中，=0.20，=0.18，其股价过程为：
在随后短时间时隔后的股价变化为：
由于1周等于0.0192年，因此
上式表示一周后股价的增加值是均值为0.384元，标准差为2.49元的正态分布的随机抽样值。
四、伊藤过程和伊藤引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（13.24）得到伊藤⑥过程（Ito Process）：
（13.27）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
在伊藤过程的基础上，伊藤进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
（13.28）
其中，dz是一个标准布朗运动。由于 和都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为：，方差率为。
公式（13.28）就是著名的伊藤引理⑦。
从式（13.25）中，我们可得：
（13.29）
其中，和为常数。我们知道，衍生证券的价格是标的证券价格S和时间t的函数。根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
（13.30）
比较式（13.29）和(13.30)可看出，衍生证券价格G和标的证券价格S都受同一个基本的不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。
五、证券价格自然对数变化过程我们可用伊藤引理来推导证券价格自然对数lnS变化所遵循的随机过程。
令，由于
代入式（13.30），我们就可得出证券价格对数G所遵循的随机过程为：
由于和是常数，所以上式说明证券价格对数G也遵循普通布朗运动，它具有恒定的漂移率和恒定的方差率。由前面的分析可知，在当前时刻t和将来某一时刻T之间G的变化都是正态分布的，其均值为，方差为。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为：
这意味着：
（13.31）
也就是说，证券价格对数的变化呈正态分布。
如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。
根据正态分布的特性，从式（13.31）可以得到：
（13.32）
这表明ST服从对数正态分布。lnST的标准差与成比例，这说明证券价格对数的不确定性（用标准差表示）与我们考虑的未来时间的长度的平方根成正比。这就解决了前面所说的证券价格比例变化的标准差与时间不成正比的问题。
例13.2
设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。
由式（13.32）可知，6个月后ST的概率分布为：
由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95%，因此，置信度为95%时：
因此，6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95%。
根据式（13.32）和对数正态分布的特性,可知ST的期望值E(ST)为：
（13.33）
这与作为预期收益率的定义相符。ST的方差var(ST)为：
（13.34）
例13.3
请问在例13.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？
半年后，A股票价格的期望值为54.71元，标准差为或7.78。
布莱克——舒尔斯期权定价模型
现在，我们就可以根据上述随机过程的有关知识推导著名的布莱克——舒尔斯（Black—Scholes）微分方程及期权定价公式。
一、布莱克——舒尔斯微分方程由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种基本的不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。
推导布莱克——舒尔斯微分方程需要用到如下假设：
1．证券价格遵循几何布朗过程，即和为常数；
2．允许卖空标的证券；
3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；
4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；
5．不存在无风险套利机会；
6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
7．在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
实际上，有些假设条件我们可以放松，如、和r可以是t的函数⑧。
（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导由于我们假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
其在一个小的时间间隔中，S的变化值为：
（13.35）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，从式（13.30）可得：
在一个小的时间间隔中，f的变化 值为：
（13.36）
由于dz都是代表标准布朗运动，因此（13.35）和（13.36）中的相同，都等于。因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性。为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：
（13.37）
在时间后，该投资组合的价值变化为：
（13.38）
将式（13.35）和（13.36）代入式（13.38），可得：
（13.39）
由于式（13.39）中不含有，该组合的价值在一个小时间间隔后必定没有风险，因此该组合在中的瞬时收益率一定等于中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：
把式（13.37）和（13.39）代入上式得：
化简为：
（13.40）
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
应该注意的是，当S和t变化时， 的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据的变化而相应调整标的证券的数量。当然，推导布莱克——舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心中的变化。
（二）风险中性定价原理从式（13.40）可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的波动率（）和无风险利率，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。于是，我们就可以利用布莱克——舒尔斯微分方程所揭示的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。这就是风险中性定价原理。
在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，通过这种假定所获得的结论不仅适用 于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：
11－0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。
从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。由于不同的概率决定了股票具有不同的风险度，从而也决定了厌恶风险的投资者对该股票要求有不同的预期收益率。然而，无论该股票上升或下降的概率如何，也无论投资者厌恶风险程度如何，该期权的价值都等于0.31元。
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
1973年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式⑨。
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：
其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：
（13.41）
在风险中性条件下，我们可以用r取代式（13.32）所表示lnST概率分布中的，即：
（13.42）
对式（13.41）右边求值是一种积分过程，结果为：
（13.43）
其中，
N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于X的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有。
这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（13.43）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
由于欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，因此把式（13.43）代入式（13.16）可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式,
（13.44）
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但可以用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出⑩。
三、有收益资产的期权定价公式到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的期权定价并不复杂。
（一）有收益资产欧式期权的定价公式在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率⑾，就可直接套用公式（13.43）和（13.44）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（13.43）和（13.44）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替式（13.43）和（13.44）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格，从而使布莱克——舒尔斯的欧式期权定价公式适用欧式货币期权和股价指数期权的定价。
对于欧式期货期权，布莱克教授也给出了定价公式：
（13.45）
（13.46）
其中，
例13.4
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利年利率为10%，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑欧式看涨期权价格。
由于英镑会产生无风险收益，现在的1英镑等于6个月后的英镑，而现在的英镑等于6个月后的1英镑，因此可令，并代入式（13.43）就可求出期权价格。
通过查累积正态分布函数N（x）的数据表，我们可以得出：
c=1.4268(0.4298-1.4484(0.4023=0.0305=3.05美分因此,6个月期英镑欧式看涨期权价格为3.05美分。
（二）有收益资产美式期权的定价
1．美式看涨期权当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，其方法我们在本章第一节已论述过。若不合理，则按欧式期权处理；若在tn提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。
例13.5
假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。
首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据本章第一节的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：
在本例中，D1=D2=1.0元，而第一次除权日前不等式右边为：
由于2.4385>1.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。
第二次除权日前不等右边为：
由于0.4148<1.0元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。
然后，要比较1年期和11个月期欧式看涨期权价格。
对于1年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：
因此S=48.1284，代入式（13.43）得：
其中，
由于N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此
对于11个月期的欧式看涨期权来说，由于红利的现值为：
因此S=49.0408元，代入式（13.43）得：
其中，
由于c11>c12，因此该美式看涨期权价值近似为7.2824元。
2．美式看跌期权由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。
二叉树期权定价摸型
由于美式看跌期权无法用布莱克——舒尔斯期权定价公式进行精确定价，因此要用其它替代方法，如二叉树期权定价模型，该模型是由科克斯（J.Cox）、罗斯(S.Ross)和鲁宾斯坦(M.Rubinstein)于1979年首先提出的。
一、无收益资产期权的定价二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔内证券价格从开始的S运动到两个新值Su和Sd中的一个，如图13.5所示。其中，u>1，d<1，且u=1/d。因此S到Su是价格的“上升”运动，S到Sd是价格“下降”运动。价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1－p。
图13.5时间内证券价格的变动
为了对期权进行定价，二叉树模型也应用风险中性定价原理，并假定：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现来计算现值。
（一）参数p、u和d的确定在风险中性的条件下，证券的预期收益率等于无风险利率r，因此若该时段初证券价格为S，则在小时间间隔段未的证券价格期望值为。参数p、u和d的值必须满足这个要求，即：
(13.47)
二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，根据本章第2节的讨论，在一个小时间段内证券价格变化的方差是。根据方差的定义，变量X的方差等于X2的期望值与X期望值平方之差，因此：
(13.48)
从式（13.47）、（13.48）和u=1/d可以求得，当很小时：
（13.49）
（13.50）
（13.51）
（二）证券价格的树型结构应用二叉树模型来表示证券价格变化的完整树型结构如图13.6所示。
图13.6 证券价格的树型结构
当时间为0时，证券价格为S。时间为时，证券价格要么上涨到Su，要么下降到Sd；时间为2时，证券价格就有三种可能：Su2、Sud（等于S）和Sd2，以此类推。一般而言，在时刻，证券价格有i+1种可能，它们可用符号表示为：
其中j=0，1，2，……，i
（三）倒推定价法在二叉树模型中，期权定价从树型结构图的末端T时刻开始，采用倒推法定价。由于在T时刻的期权价值是已知的。例如，看涨期权价值为，看跌期权价值为。因此在风险中性条件下在求解时刻的每一结点上的期权价值时，都可通过将T时的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率r贴现求出。同理，要求解时的每一结点的期权价值时，也可以将时的期权价值预期值在时间内以无风险利率r贴现求出。依此类推。如果是美式期权，就要看在树型结构的每一个结点上，提前执行期权是否比将期权再持有时间更有利。采用这种倒推法，最终可以求出0时刻（当前时刻）的期权价值。
例13.6
假设标的股票为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该股权的价值。
为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（13.49）到（13.51），可以算出：
据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图13.7所示。在每个结点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率总是等于0.5076，下降概率总是等于0.4924。
在时刻，股票在第j个结点（j=0，1，2，……i）的价格等于。例如，F结点（i=4，j=1）的股价等于。在最后那些结点处，期权价值等于。例如，G结点的期权价格等于50 －35.36=14.64。
图13.7 不付红利股票美式看跌期权二叉树
从最后一列结点处的期权价值可以计算出倒数第二列结点的期权价值。首先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是时间内期权价值期望值的现值。例如，E结点处的期权价值等于：
而F结点处的期权价值等于：
然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权价值为0，因为股票市价和协议价格都等于50，显然不应提前执行。因此E结点的期权价值应为2.66元。而在F结点，如果提前执行，期权价值等于50.00－39.69元，等于10.31元，大于上述的9.90元。因此，若股价到达F结点，就应提前执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.31元，而不是9.90元。
用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点处的期权价值为4.48元。
如果我们把期权有效期分成更多小时段，结点数会更多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。当非常小时，期权价值将等于4.29元。
（四）美式看跌期权的定价公式假定将某种无收益证券的美式看跌期权的有效期划分成N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，我们将称为结点的期权价值。同时用表示结点处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是，所以有：
，其中j=0，1，2，……，N
当时间从变为时，从结点移动到结点的概率为p，移动到的概率为1－p。假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
其中。如果考虑提前执行的可能性的话，式中的必须与期权的内在价值比较，由此可得：
按这种倒推法计算，当时间区间的划分趋于无穷大，或者说当每一区间趋于0时，就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验，一般将时间区间分成30个就可得到较为理想的结果。
二、有收益资产期权的定价
（一）支付连续收益率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率q的收益时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r－q，因此式（13.47）就变为：
同时，式（13.49）变为：
（13.53）
式（13.50）和（13.51）仍然适用。
对于股价指数期权来说，q 为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，q为国外无风险利率，因此式（13.50）至（13.52）可用于股价指数和外汇的美式看跌期权的定价。
对于期货期权来说，布莱克曾证明，在对期货期权定价时期货的价格可以和支付连续红利率r的证券同样对待⑿，因此对于期货期权而言，q=r，即：
（13.53）
这样式（13.50）、（13.51）和（13.53）就可用于美式期货看跌期权的定价。
（二）支付已知收益资产的期权定价
1．已知红利率若标的资产在未来某一确定时间将支付已知收益率，我们只要调整在各个结点上的证券价格就可根据式（13.49）至（13.51）算出期权价格。调整方法如下：
如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
如果时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
j=0，1，……,i
对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，也可进行同样处理。若δi为0时刻到时刻之间所有除权日的红利支付率，则时刻结点的相应的证券价格为：
2．已知红利额若标的资产在未来某一确定日期将支付已知数额的收益，则除权后树枝再不再重合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别是如果支付多次已知数额收益的话。
为了简化起见，我们仍可以把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一个除息日，而且。x时刻不确定部分的价值S* 为：
当时
当时
其中D表示收益金额。设为S*的标准差，假设是常数，用代替式（13.49）到（13.51）中的就可计算出参数p、u和d，这样就可用通常的方法构造出模拟S*的二叉树了。通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟S的二叉树。在时刻，当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0，1，2……，i
当时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
j=0，1，2……，i
简短小结
1．期权价格的影响因素有：标的资产的市价、期权的协议价格、期权的有效期、标的资产价格的波动率、无风险利率、标的资产的收益。
2．期权价值等于内在价值与时间价值之和。内在价值等于零和期权立即执行时所具有的价值这两者之中的较大值。期权时间价值在内在价值为零时最大，并随标的资产市价与协议价格之间差额的绝对值变大而递减。随着时间的延长，期权时间价值是递增的，但增幅是递减的。
标的资产价格波动率越高，时间价值也越大。无风险利率对期权价格的影响较复杂，应具体问题具体分析。
3．期权价格上下限如表13.1所示。
上 限
下 限
欧式
看涨
无收益
S
有收益
S
看跌
无收益
有收益
美式
看涨
无收益
S
有收益
S
看跌
无收益
X
有收益
X
4．提前执行无收益资产看涨期权是不合理的，而提前执行看跌期权和有收益资产看涨期权，则有可能是合理的。
5．无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系为：
6．有收益资产欧式期权平价关系为：
7．美式看涨期权与看跌期权之间不存在平价关系。
8．所有期权和期权组合都可画出盈亏分布图。
9．为了给期权定价，我们假设期权标的资产遵循几何布朗运动，据此可以推导出著名的布莱克——舒尔斯微分方程：
10．在对衍生证券定价时，我们可以假设所有投资者都是风险中性的，这就是风险中性定价原理。它可大大简化衍生证券的定价，然而得出的结论也适用于厌恶风险情况。
11．布莱克——舒尔斯定价公式可用于看跌期权和美式看涨期权定价。对美式看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟、有限差分以及解析近似方法求出。
本章重要概念：
协议价格 期权价格 时间价值 内在价值 欧式期权 美式期权 虚值期权 平价期权 实值期权 看涨期权 看跌期权 看涨期权与看跌期权平价 差价组合 差期组合 对角组合 混合组合 随机过程 布朗运动 伊腾引理 风险中性定价原理 二叉树模型
习题：
1．某投资者买进一份看涨期权同时卖出一份相同标的资产、相同期限相同协议价格的看跌期权，请描述该投资者的状况。
2．请解释为什么相同标的资产、相同期限、相同协议价格的美式期权的价值总是大于等于欧式期权。
3．设某一无红利支付股票的现货价格为30元，连续复利无风险年利率为6%，求该股息协议价格为27元，有效期3个月的看涨期权价格的下限。
4．某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧式看跌期权价格等于多少？
5．假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东。该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值高于债务，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。
（1）请将你的股权表示为公司价值的期权；
（2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权；
（3）你有什么办法来提高股权的价值？
6．设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期权的价格，其中X3>X2>X1且X3―X2=X2―X1，所有期权的到期日相同，请证明：
7、请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本。
8、箱型差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是X1和X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。
9．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：(第二天收盘时的预期价格，(第二天收盘时股价的标准差，(在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。
10.变量X1和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为(1和(2，方差率分别为(12和(22。请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？
（1）在任何短时间间隔中X1和X2的变动都不相关；
（2）在任何短时间间隔中X1和X2变动的相关系数为(。
11．假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%，该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。
12．请证明布莱克－舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。
13．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。
14．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
15．某种不支付红利股票市价为40元，年波动率为30%，无风险利率为5%，请用间隔时间为一个月的二叉树模型（可以使用本书光盘中所附软件）计算该股票协议价格为40元、有效期3个月的美式和欧式看跌期权价格。
习题答案：
该投资者最终的结果为：
max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X
可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。
本习题说明了如下问题：
欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。
远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。
当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。此时看涨期权和看跌期权的价值相等。
美式期权的持有者除了拥有欧式期权持有者的所有权力外，还有提前执行的权力，因此美式期权的价值至少应不低于欧式期权。
下限为：
30－27e-0.06×0.25=3.40元。
看跌期权价格为：
p=c+Xe-rT+D-S0
=2+25e-0.5×0.08+0.5e-0.1667×0.08+0.5e-0.4167×0.08-24
=3.00元。
（1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为：
max(V-D,0)
这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。
（2）债权人的结果为：
min(V,D)=D-max(D-V,0)
由于max(D-V,0)是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。因此该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。
（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。第一种办法对股东和债权人都有利。第二种办法则有利于股东而不利于债权人。进行风险投资显然属于第二种办法。
考虑一个组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头、一份协议价格为X3的欧式看涨期权多头和2份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组合。在4种不同的状态下，该组合的价值分别为：
当ST(X1时，组合价值＝0；
当X1<ST(X2时，组合价值＝ST-X1>0；
当X2<ST(X3时，组合价值＝ST-X1-2(ST-X2)=X2-X1-(ST-X2)(0；
当ST>X3时，组合价值＝ST-X1-2(ST-X2)+ST-X3=X2-X1-(X3-X2)=0.
以上分析表明，在期权到期时，该组合价值一定大于等于0，那么在无套利条件下，该组合现在的价值也应大于等于0，这意味着：
c1+c3-2c2(0,或者说：
c2(0.5(c1+c3).
令c1、c2、c3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看涨期权的价格，p1、p2、p3分别表示协议价格为X1、X2和X3的欧式看跌期权的价格。根据看涨期权看跌期权平价：
c1+X1e-rT=p1+S
c2+X2e-rT=p2+S
c3+X3e-rT=p3+S
因此，
c1+c2-2c3+(X1+X3-2X2)e-rT=p1+p3-2p2
由于X2-X1=X3-X2,因此，X1+X3-2X2＝0。这样，
c1+c2-2c3=p1+p3-2p2
证毕。
看涨期权的牛市差价组合由一份协议价格为X1的欧式看涨期权多头和一份协议价格为X2的欧式看涨期权空头组成。看跌期权的熊市差价组合由一份协议价格为X2的欧式看跌期权多头和一份协议价格为X1的欧式看跌期权空头组成。其结果为：
期末股价范围
看涨期权的牛市差价组合
看跌期权的熊市差价组合
总结果
ST(X2
X2-X1
0
X2-X1
X1<ST<X2
ST－X1
X2-ST
X2-X1
ST(X1
0
X2-X1
X2-X1
从上表可以看出，在任何情况下，该箱型组合的结果都是X2-X1。在不存在套利机会的情况下，该组合目前的价值应该等于X2-X1的现值。
由于
在本题中，S＝50，(＝0.16,(=0.30,(t=1/365=0.00274.因此，
(S/50(((0.16(0.00274,0.3(0.002740.5)
=((0.0004,0.0157)
(S(((0.022,0.785)
因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96(0.785至50.022+1.96(0.785,即48.48元至51.56元之间。
（1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。经过一段时间T后，X1的概率分布为：
X2的概率分布为：
根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为：
这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为的普通布朗运动。
（2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为：
如果都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为：
这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为+ 的普通布朗运动。
在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25,
因此，
这样，欧式看跌期权价格为，
根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有：
由于N（-d1）=1-N(d1),上式变为：
同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有：
可见，，看涨期权和看跌期权平价公式成立。
D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65
可见，
显然，该美式期权是不应提早执行的。
红利的现值为：
该期权可以用欧式期权定价公式定价：
S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32
N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184
因此，看涨期权价格为：
构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。因此，该组合的现值应该等于：
28.5e-0.08×0.08333=28.31元。
这意味着：
-c+40Δ=28.31
c=40×0.75-28.31=1.69元。
再在本题中，S=40，X=40，r=0.05,σ=0.30,T=0.25,Δt=0.0833。用本书光盘所附软件可以求出如下结果。
计算结果
△t
u
d
a
p
1-p
0.0833
1.0905
0.9170
1.0042
0.5024
0.4976
红色表示股价，黄色表示欧式期权价格，绿色表示美式期权价格
51.87
0.00
47.56
0.00
0.00
43.62
0.00
43.62
0.81
0.00
40.00
0.81
40.00
0.00
2.34
1.64
2.38
36.68
1.64
36.68
3.89
3.32
3.98
33.64
3.32
6.20
6.36
30.85
9.15
9.15
